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Um automóvel de 1200 kg viaja por uma estrada horizontal a uma velocidade constante
de 90 km/h, em dado momento o automóvel inicia uma subida com inclinação de 10 o com a
horizontal. Sendo dados o coeficiente de atrito entre o pneu e a estrada igual a 0,5 e o
coeficiente aerodinâmico do automóvel igual a 0,4, se a potência do motor é mantida constante
durante todo o trajeto, determine:
a) A resultante das forças dissipativas exercidas sobre o veículo;
b) A potência desenvolvida pelo motor em HP (horsepower);
c) A velocidade que o veículo mantém na subida em km/h.
Dados sen 10 o = 0,1736, g = 10 m/s 2, 1 HP = 746 W.
Dados do problema






m = 1 200 kg ;
v 1 = 90 km/h ;
o
θ = 10 ;
μ = 0,5 ;
c = 0,4 unidades S.I. ;
2
g = 10 m/s .
massa do automóvel:
velocidade do automóvel:
inclinação da estrada:
coeficiente de atrito:
coeficiente aerodinâmico:
aceleração local da gravidade:
Esquema do problema
⃗ at )
Na figura 1 são mostrados os elementos dados no problemas e a força de atrito ( F
⃗
e a força de resistência do ar ( F r ).
figura 1
Solução
Em primeiro lugar devemos converter a velocidade do carro dada em quilômetros por
hora ( km/h ) para metros por segundo ( m/s ) usada no Sistema Internacional ( S.I. )
v 1 = 90
km 1 000 m
1h
90 m
.
.
=
= 25 m/s
h
1 km 3 600 s 3,6 s
a) Considerando o trecho horizontal da estrada, adotamos um sistema de referência com eixo
x orientado para a direita e eixo y orientado para cima, separando o carro da estrada
estudamos as forças que atuam nele
direção x:
•
•
⃗ at : força de atrito;
F
⃗ r : força de resistência do ar.
F
direção y:
•
•
⃗p : força peso;
⃗ : reação normal da estrada sobre o carro.
N
1
figura 2
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⃗ D ) devido ao atrito e a resistência do ar,
Na direção x temos as forças dissipativas ( F
como as duas atuam no mesmo sentido, contra o movimento do carro, a sua resultante será
dada pela somas das duas forças, em módulo temos
F D = F at +F r
(I)
2
a força de atrito é dada por F at = μ N e a força de resistência do ar é F r = cv , substituindo
estes valores na expressão (I), temos
F D = μ N+c v
2
(II)
Na direção y não há movimento a força peso e a reação normal se anulam
p−N = 0
(III)
p = mg
(IV)
a força peso é dada por
substituindo a expressão (IV) em (III), temos
m g −N = 0
N = mg
(V)
Substituindo a expressão (V) em (II), obtemos
F D = μm g +c v
2
substituindo os valores dados no problema, temos
F D = 0,5 . 1 200 .10+0,4 .25
F D = 6 000+0,4 .625
2
F D = 6 250 N
b) A potência desenvolvida pelo motor é dada por
P =Fv
Como o carro está com velocidade constante
⃗ MP ) é igual as forças que
a força motora no plano ( F
⃗
resistem ao movimento ( F D ). figura 3. Assim a força
será F = F MP = F D , calculada no item anterior, e a
velocidade será v = v 1 dada no problema
P = F Dv 1
P = 6 250. 25
P = 156 250 W
(VI)
figura 3
(VII)
convertendo este valor dado em watts (W) usado no Sistema Internacional (S.I.) para HP,
temos
P = 156 250 W .
1 HP
= 209 HP
746 W
P = 209 HP
2
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c) Considerando o trecho em subida a força feita pelo motor deve ser maior, pois além de
equilibrar as forças dissipativas, de atrito e de resistência do ar, deve compensar também a
componente da força peso paralela à subida.
Adotamos um sistema de referência xy com o eixo x paralelo ao plano inclinado e
sentido ascendente e eixo y para cima perpendicular ao plano (figura 4-A).
figura 4
A força peso pode ser decomposta em duas, uma componente paralela ( ⃗p P ) ao eixo x
e a outra normal ou perpendicular ( ⃗p N ). Da figura 4-B vemos que a força peso é perpendicular
ao plano horizontal, forma um ângulo de 90º, o ângulo entre o plano inclinado, que contém a
componente paralela, e o plano horizontal é dado como 10º, como os ângulos internos de um
triângulo devem somar 180º o ângulo entre a força peso e a componente paralela deve ser 80º.
No triângulo à direita temos que a componente normal faz com o plano inclinado um ângulo de
90º então o ângulo entre a força peso e a componente normal deve medir 10º, é um ângulo
complementar.
Desenhamos as forças num sistema de eixos coordenados, figura 4-C.
Na direção x temos as forças dissipativas, devido ao atrito e a resistência do ar, e a
⃗ R ) será
componente do peso paralela ao plano, então a força que resiste ao movimento ( F
dada pela soma destas forças
F R = F at +F r + p P
(VIII)
a componente paralela da força peso é dada por
pP = p sen 10
o
(IX)
substituindo a expressão (IV) em (IX), obtemos
pP = m g sen 10
o
(X)
Substituindo a expressão (X) em (VIII), temos
FR=F
at +F r +m g sen 10
⏟
o
FD
os dois primeiros termos do lado direito da igualdade representam as forças dissipativas
calculadas no item (a), substituindo este valor e os demais valores dados no problema
F R = 6 250+1 200 .10. 0,1736
F R = 6 250+2 083,2
F R = 8 333,2 N
Como o carro mantém a potência durante a subida usamos o valor calculado na
⃗ MS ) é igual a força que resiste ao movimento
expressão (VII), a força motora na subida ( F
⃗
⃗
( F R ). figura 5 abaixo, a velocidade ( v 2 ) na subida será
3
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P =FRv 2
156 250 = 8333,2 v 2
156 250
v2=
8 333,2
v 2 = 18,8 m/s
Convertendo este valor para quilômetros por
hora ( km/h )
v 21 = 18,8
figura 5
m 1 km 3 600 s
km
.
.
= 18,8 . 3,6
= 67,7 km/h
s 1 000 m 1 h
h
v 2 = 67,7 km/h
4