Considerações sobre matrizes no controlo
1 - Valores Próprios, Vectores Próprios e Equação
Característica
Os valores próprios e vectores próprios duma matriz são valores
particulares obtidos da equação
λv=Av
onde:
(1)
A é uma matriz quadrada de dimensão (n × n)
λ é um valor próprio de A e é um valor escalar
v é um vector próprio de A correspondente a λ. A sua dimensão é
(n × 1)
A equação (1) implica que existam alguns valores particulares de v
associados a A, para os quais a multiplicação do vector v pela matriz A
simplesmente escala cada elemento de v pelo factor de escala λ.
Um vector pode-se ver como um segmento de recta com determinada
amplitude (comprimento) e direcção, num espaço vectorial com várias
dimensões, quantas as da ordem do vector (mais do que três dimensões é
difícil de visualizar, mas o principio aplica-se igualmente). Por exemplo,
o vector v = [1 2 3]T pode-se representar como na figura 1.
x3
Av
x3
v
3
v
Bv
x2
3
x2
2
2
1
x1
a) v não é um vector próprio
1
x1
b) v é um vector próprio
Figura 1 – Vectores próprios
No produto A v, a matriz quadrada A opera em v produzindo o resultado
com as mesmas dimensões de v e, portanto, pode-se representar no
mesmo espaço vectorial.
A figura 1 ilustra o conceito de vector próprio. Se, após a transformação,
A v não é colinear com v, então v não é um vector próprio de A, como se
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Considerações sobre matrizes no controlo
mostra na figura 1a. Se, após a transformação, B v é colinear com v, então
v é um vector próprio de B, como se mostra na figura 1b.
Assim, a equação (1) representa o caso especial e significativo no qual
A v e v apontam na mesma direcção, diferindo, apenas, no comprimento
pelo factor de λ.
Para se obterem os valores próprios e vectores próprios, deve-se proceder
da seguinte forma. Primeiro, manipular a equação (1):
λv−Av=0
ou
[λ I − A] v = 0
(2)
onde 0 é o vector nulo ( com dimensão n × 1 e todos os elementos a zero).
De notar a necessidade de manter a dimensão da matriz conforme,
inserindo a matriz unitária In para multiplicar o escalar λ, quando se extrai
o factor v. É um requisito comum na álgebra de matrizes e não pode ser
esquecido. Por outro lado, v foi extraído, como factor do lado direito dos
parêntesis, de forma a manter correcta a ordem multiplicativa.
A equação (2) pode reescrever-se na forma v = [λ I − A]-1 0. A solução
trivial v = 0 não tem interesse, já que a inversa de [λ I − A] não existe.
Assim a solução trivial não será utilizada. O outro caso que nos interessa
é:
|λ I − A| = 0
(3)
A equação (3) é extremamente importante em controlo e chama-se
equação característica de A. Se se obtém a equação característica,
partindo da função de transferência no domínio da frequência, o
resultado, eventualmente, é o mesmo visto de forma diferente.
Resolvendo a equação (3), em relação a λ, obtêm-se os valores próprios
da matriz. Por exemplo, para a matriz
6 2
A=

4 1 
a equação característica é:
λ−6 −2
λ 0   6 2 
 0 λ  − 4 1  = − 4 λ − 1

 

= (λ − 6) (λ − 1) − 8 = λ2 − 7λ − 2 = 0
As soluções da equação são:
λ1 = 7.275 e λ2 = −0.275.
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Considerações sobre matrizes no controlo
Utilizando a equação (1) e substituindo cada valor próprio de cada vez
obtêm-se os vectores próprios. Visto que estes especificam a direcção que
a equação (1) toma, a sua amplitude não é importante e, portanto, os
vectores podem ter qualquer escala. Consequentemente cada elemento
também é afectado.
Usando λ1 e A na equação (1) virá
 v11  6 2  v11 
7.275   = 
 
v21  4 1  v21 
conduzindo a: 7.275 v11 = 6 v11 + 2 v21 e 7.275 v21 = 4 v11 + v21.
Ou, de outra forma, 1.275 v11 = 2 v21 e 4 v11 = 6.275 v21.
Estas equações são idênticas. Portanto, possuem, como anteriormente
sugerido, um número infinito de soluções possíveis, obtendo-se cada
equação da outra através de factores de escala. Arbitrariamente,
escolhendo v11 = 1 conduz a v21 = 0.638. Portanto, correspondendo ao
valor próprio λ1 = 7.275, tem-se o vector próprio
 1 
v1 = 

0.638
De forma análoga, tem-se para λ2 = −0.275
 1 
v2 = 

− 3.138
No MATLAB usa-se o comando eig para calcular os vectores próprios da
matriz, em que os vectores próprios são escalados, de forma normalizada,
para o comprimento unitário. Por exemplo, para os dois vectores próprios
anteriores o MATLAB responderia, respectivamente:
0.843
0.538


e
− 0.304
 0.954 


As direcções são as mesmas, mas os comprimentos foram escalados para
a unidade.
Nota: O MATLAB possui o comando “eigshow” que ilustra o conceito
de valor e vector próprio.
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Considerações sobre matrizes no controlo
2 - Representação em diagrama de blocos duma matriz
Algumas matrizes possuem valores próprios facilmente determináveis e
conduzem a modelos de sistemas com estruturas particularmente úteis
para algumas aplicações. Por exemplo, a matriz diagonal possui os seus
valores próprios na diagonal principal. Se se desenhar o diagrama de
blocos correspondente, este representa uma série de ganhos
independentes, iguais aos valores próprios, sem interacção entre eles.
A matriz triangular superior possui todos os elementos nulos abaixo da
diagonal principal como, por exemplo:
entradas
1
2 3
1 6 5
0 − 4 2 


0 0 7 
saídas
1
2
3
Esta matriz também possui os valores próprios na diagonal principal, i.e.,
os valores próprios desta matriz são 1, −4 e 7. Em termos de diagrama de
blocos, esta matriz representa um sistema no qual a entrada 1 apenas
alimenta a saída 1. A saída 3 é alimentada apenas pela entrada 3, mas a
entrada 3 também alimenta as saídas 1 e 2. A figura 2 mostra o diagrama
de blocos correspondente
x1
1
x2
6
∑
y1
∑
y2
∑
y3
-4
5
x3
2
7
Figura 2 – Diagrama de blocos duma matriz
Os valores próprios também possuem outras propriedades interessantes.
Por exemplo, o determinante de qualquer matriz quadrada é o produto dos
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Considerações sobre matrizes no controlo
seus valores próprios. O traço de qualquer matriz quadrada, que é a soma
dos elementos da diagonal principal, é a soma dos seus valores próprios.
Estas duas propriedades tanto se aplicam às matrizes diagonal e
triangular, como também a qualquer outra matriz quadrada.
3 - Sugestões de trabalho
1. Determinar, utilizando o MATLAB, os valores próprios da matriz
[ 1 6 5; 0 −4 2; 0 0 7] e confirme que são os elementos da diagonal
principal.
2. Determinar quais das seguintes matrizes são singulares, podendo, para
isso, utilizar os comandos do MATLAB ( eig, det, eigshow)
A=[ 6 2; 4 1 ],
B=[ 5/4 0; 0 −3/4 ],
C=[ 1 0; 0 1 ],
D=[ 0 1; 1 0 ],
E=[ 0 1; −1 0 ],
F=[ 1 3; 4 2 ] / 4,
G=[ 1 3; 2 4 ] / 4,
H=[ 3 1; 4 2 ] / 4,
K=[ 3 1; −2 4 ] / 4,
L=[ 2 4; 2 4 ] / 4,
M=[ 2 4; −1 −2 ] / 4
N=[ 5/4 0; 0 3/4 ].
3. Utilizando o SIMULINK e recorrendo à representação em diagrama
de blocos duma matriz, represente o sistema dado por:
A=[0 1 0; 0 −1 1;0 0 −5]
B=[0 0 5]’
C=[1 0 0]
D=0
Deve-se ter em consideração que um sistema representado no espaço
de estados tem por equações :
x! = A x + B u
y=C x+Du
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Considerações sobre matrizes no controlo
Neste exemplo, para representar cada matriz, aconselha-se a formar
um bloco na forma dum subsistema com 3 entradas e 3 saídas com os
respectivos elementos da matriz apresentados como ganhos. Um
exemplo desta representação mostra-se na figura 3.
In1
1
In2
2
In3
3
Gain2
0
Gain11
1
Gain14
0
Gain3
0
Gain12
Gain15
1
Gain4
0
Gain13
-1
Gain16
0
Sum3
Out1
1
-5
Sum4
Out2
2
Sum5
Out3
3
Figura 3 – Diagrama de blocos duma matriz no simulink
Para representar o bloco integrador aconselha-se a formar um bloco na
forma dum subsistema com 3 entradas e 3 saídas. Um exemplo desta
representação mostra-se na figura 4.
1
In1
2
In2
3
In3
1
s
Integrator1
1
s
Integrator2
1
s
Integrator3
1
Out1
2
Out2
3
Out3
Figura 4 – Representação do diagrama de blocos do integrador
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Considerações sobre matrizes no controlo
Uma forma possível de representação do diagrama de blocos do
sistema global mostra-se na figura 5.
In1
Out1
In2
Out2
In3
Out3
Matriz D
1
Step
Gain
0
Gain1
Sum9
In1
In2
In3
Out1
Sum6
Out1
In1
Out1
In2
Out2
In2
Out2
In3
Out3
In3
Out3
Mux
Out2
Out3
Sum10
Sum7
0
In1
Mux
Scope
Matriz B
integrador
Matriz C
Gain2
Sum11
Sum8
Out1
In1
Out2
In2
Out3
In3
Matriz A
Figura 5 – Representação do diagrama de blocos do sistema global
4. Pretendem-se observar no mesmo gráfico os sinais de entrada e de
saída do sistema. O sinal de entrada será o degrau unitário. O sinal
de saída será a resposta do sistema a esta entrada. Procure alterar a
matriz D de forma que essa representação seja possível.
5. Confirme o resultado no SIMULINK, comparando-o com o
resultado obtido no MATLAB, através do comando:
» [y,x,t]=step(A,B,C,D);plot(t,x);grid
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