UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE – Faculdade de Engenharia
Transmissão de calor
3º Ano
Prof. Dr. Engº Jorge Nhambiu & Engº Paxis
Roque
1
Aula 4 Aula Prática-1
‰
Equação Diferencial de Transmissão de Calor e
as Condições de Contorno
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Problema -4.1
Um ferro de engomar com uma base
plana de área 120 cm2 é submetido a um
fluxo de calor de 1500 W na superfície
esquerda e a uma temperatura
especificada de 90ºC na superfície direita
(veja esquema). Escreva a equação de
ç de calor para
p este caso sabendo
condução
que a espessura da placa é de L=0,8 cm e
que o coeficiente de condutibilidade
térmica k= 25 W/m
W/m°C
C. Determine a
temperatura na superfície esquerda e a
variação de temperatura na base do ferro.
k
Q=1500 W
T2 =90°C
A=120 cm2
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L=0,8 cm
x
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Problema -4.1 (Resolução I)
Assume-se:
p
1.Escoamento estacionário e unidimensional sendo a espessura
da base do ferro desprezível;
2 Condutibilidade térmica constante (k = 25 W/m⋅
2.Condutibilidade
W/m °C);
C);
3.Não há geração de calor no ferro;
4.Desprezam-se as perdas de calor na parte superior do ferro.
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Problema -4.1 (Resolução II)
Desprezando as perdas de calor, todo calor gerado pela resistência
eléctrica do ferro transfere-se para a base. O fluxo de calor no interior
da base determina-se de:
Q& 0
1500 W
2
q&0 =
=
=
125.000
W/m
Abase 120 × 10−4 m 2
Assumindo qque a direcção
ç normal é a do eixo x,, ppara x=0 a esquerda
q
da superfície, a equação de condução de calor para este caso será:
d 2T
=0
2
dx
Pois, o regime é estacionário, não há geração de calor no interior da
b
base
e a condutibilidade
d ibilid d térmica
é i é constante.
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Problema -4.1 (Resolução III)
Das condições iniciais e condições de fronteira obtém-se;
−k
dT (0)
= q&0 = 125.000 W/m 2
dx
E ppode-se escrever qque:
T ( L) = T2 = 90°C
Integrando a equação diferencial duas vezes em função de x,
x
resulta:
dT
= C1
dx
T ( x ) = C1x + C2
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.
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Problema -4.1 (Resolução IV)
Aplicando as condições de fronteira tem-se:
x = 0: − kC1 = q&0
x = L:
→
q&
C1 = − 0
k
T ( L) = C1 L + C2 = T2
pois
→
−k
dT (0)
= q&0
dx
C2 = T2 − C1 L →
q& 0 L
C2 = T2 +
k
Substituindo os valores de C1 e C2 na equação:
T ( x ) = C1x + C2
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Problema -4.1 (Resolução V)
Resulta:
q&0
q&0 L q&0 ( L − x)
=
+ T2
T ( x) = − x + T2 +
k
k
k
(
(125000
W/m
/ 2 )(0,
)( 008 − x)m
)
T ( x) =
+ 90°C
25 W/m ⋅°C
T ( x) = 5000(0,
( , 008 − x) + 90
A temperatura da placa quando x=0 será:
T (0) = 5000(0, 008 − 0) + 90 = 130°C
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Problema -4.2 (I)
Ar comprimido escoa numa conduta submetida a uma fluxo
uniforme de calor na parte externa.
externa Escreva a equação de
condução para este caso. Determine a temperatura na superfície
externa da conduta e a variação de temperatura na conduta. O
coeficiente de transferência de calor por convecção é igual a 40
W/m⋅°C, o raio interno do cilindro igual a 3cm e o externo 4cm.
r
250 W
r2
Ar, ‐5°C
Ar, 5C
r1
L=8 m
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Problema -4.2 (Resolução I)
Assume-se:
1.Escoamento estacionário e unidimensional;
2.Condutibilidade térmica constante (k = 20 W/m⋅°C);
3.Não há geração de calor na conduta;
4.Todo o calor ggerado no aquecimento
q
transfere-se à conduta.
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Problema -4.2 (Resolução II)
O fluxo de calor que atravessa a superfície da conduta
determina-se
determina
se de:
q&s =
Q& s
Q& s
250 W
=
=
= 124,33 W/m 2
A2 2π r2 L 2π (0,04 m)(8 m)
Note-se que a transferência de calor é unidimensional na
direcção radial de r e o fluxo de calor é na direcção negativa de
r A equação matemática de condução de calor pode ser escrita
r.
como:
d ⎛ dT ⎞
⎜r
⎟=0
dr ⎝ dr ⎠
e
−k
dT (r1 )
= h[T∞ − T (r1 )]
dr
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Problema -4.2 (Resolução III)
E resulta:
k
dT (r2 )
= q& s
dr
Integrando a expressão diferencial em relação ao raio r obtém-se
dT
= C1
r
dr
Dividindo ambas ppartes da equação
q ç por
p r tem-se:
dT C1
=
dr
r
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Problema -4.2 (Resolução IV)
Integrando obtém-se:
T (r ) = C1 ln r + C2
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias
arbitrárias.
Aplicando
p ca do as condições
co d ções de fronteira
o e a tem-se:
e se:
r = r2:
r = r1: − k
k
C1
q& r
= q& s → C1 = s 2
r2
k
⎛
⎛
C1
k ⎞ q& s r2
k ⎞
⎟⎟
⎟⎟C1 = T∞ − ⎜⎜ ln r1 −
= h[T∞ − (C1 ln r1 + C 2 )] → C 2 = T∞ − ⎜⎜ ln r1 −
hr1 ⎠ k
hr1 ⎠
r1
⎝
⎝
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Problema -4.2 (Resolução V)
Substituindo C1 e C2 na solução geral, a variação de temperatura
d
determina-se
i
d
de:
⎛
⎛
⎛ r k ⎞ q&s r2
k ⎞
k ⎞
=
+
ln
−
ln
+
=
+
T (r ) = C1 ln r + T∞ − ⎜ ln r1 −
C
T
r
r
C
T
⎟ 1 ∞ ⎜
⎟ 1 ∞ ⎜ ln +
⎟
1
hr
hr
r
hr
1 ⎠
1 ⎠
1 ⎠ k
⎝
⎝
⎝ 1
⎛ r
⎞ ((124,33
20 W/m ⋅°C
, W/m 2 )(0,
)( , 04 m))
T (r ) = −5°C + ⎜ ln
l
+
⎟
2
⋅°
r
(40
W/m
C)(0,03
m)
20 W/m ⋅°C
⎝ 1
⎠
⎛ r
⎞
T (r ) = −5 + 0, 249 ⎜ ln + 16, 67 ⎟
⎝ r1
⎠
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Problema -4.2 (Resolução VI)
A temperatura interna determina-se de:
⎛
⎞
r
(r = r1): T (r1 ) = −5 + 0
0, 249 ⎜ ln 1 + 16
16, 67 ⎟ = −5 + 0,
0 249 ( 0 + 16,
16 67 ) = −0,85
0 85 º C
⎝
r1
⎠
E a temperatura
temperat ra na superfície
s perfície de:
(r = r2):
⎛ r
⎞
⎛ 0, 04
⎞
T (r1 ) = −5 + 0,, 249 ⎜ ln 2 + 16,, 67 ⎟ = −5 + 0,, 249 ⎜ ln
+ 16,, 67 ⎟ = −0,, 77 º C
0 03
⎝ 0,
⎠
⎝ r1
⎠
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Problema -4.3 (I)
Um recipiente esférico é submetido a uma temperatura
especificada
p
na superfície
p
interna e arrefecido ppor ar na superfície
p
externa. Formule a expressão matemática de condução de calor
para a esfera e determine a taxa de transferência de calor
considerando o escoamento unidimensional e o coeficiente de
troca de calor por convecção igual a 40 W/m⋅°C. A condutibilidade
térmica da esfera é de 18 W/m⋅°C. Os raios interno e externo da
esfera
f medem
d 25 cm e 30 cm respectivamente.
i
T1
k
r1
r2
T∞
h
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Problema -4.3 (Resolução I)
Assume-se:
1E
1.Escoamento
estacionário
i á i e unidimensional;
idi
i
l
2.Condutibilidade térmica constante (k = 18 W/m⋅°C);
3.Não há geração de calor na esfera.
Note se que a transferência de calor é unidimensional na
Note-se
direcção radial de r e o fluxo de calor é na direcção negativa de r.
A equação matemática de condução de calor pode ser escrita
como:
d ⎛ 2 dT ⎞
⎟=0
⎜r
dr ⎝
dr ⎠
Sendo:
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T (r1 ) = T1 = 0° C
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Problema -4.3 (Resolução II)
Das condições de contorno de convecção na parte exterior temse:
−k
dT (r2 )
= h[T (r2 ) − T∞ ]
dr
Integrando a expressão diferencial em relação ao raio r obtém-se:
dT
r
= C1
dr
2
Dividindo ambos os termos ppor r2 resulta qque:
dT C1
= 2
dr r
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Problema -4.3 (Resolução III)
Integrando a expressão tem-se:
C1
T (r ) = −
+ C2
r
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias
Aplicando as condições de fronteira tem-se:
tem se:
r = r1:
r = r2:
T ( r1 ) = −
−k
C1
+ C2 = T1
r1
⎛ C1
⎞
C1
⎜
h
C
T
=
−
+
−
2
∞⎟
2
⎟
⎜
r2
⎝ r2
⎠
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Problema -4.3 (Resolução IV)
Escrevendo as equações em função de C1 e C2 tem-se:
C1 =
r2 (T1 − T∞ )
r
k
1− 2 −
r1 hr2
e
C2 = T1 +
C1
T1 − T∞ r2
= T1 +
r
k r1
r1
1− 2 −
r1 hr2
Substituindo C2 e C2 na equação da solução geral, a variação de
temperatura determina-se de:
T (r ) = −
T (r ) =
⎛ 1 1⎞
C1
C
T1 − T∞ ⎛ r2 r2 ⎞
+ T1 + 1 = C1 ⎜ − ⎟ + T1 =
⎜ − ⎟ + T1
r
k
r
r1
r
r
⎝ 1
⎠
⎝ r1 r ⎠
1− 2 −
r1 hr2
(0 − 25)°C
0,3
⎛ 0,3 0,3 ⎞
−
+
°
=
−
0
C
14,
7(1,
2
)
⎜ 0, 25 r ⎟
0,3
18 W/m ⋅°C
r
⎝
⎠
−
1−
2
0 25 (40 W/m ⋅°C)(0
0,
C)(0,33 m)
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Problema -4.3 (Resolução V)
A taxa de transferência
s e ê c de ccalor
o através
vés dda pparede
ede dda es
esfera
e se
será::
C
r (T − T )
dT
Q& = −kA
= −k (4π r 2 ) 21 = −4π kC1 = −4π k 2 1 ∞
r
k
dx
r
1− 2 −
r1 hr2
Q& = −4π (18 W/m
W/ ⋅°°C)
(0,3 m)(0
)(0 − 25)
5)°C
= 997,9
997 9 W
0,3
18 W/m ⋅°C
−
1−
0, 25 (40 W/m 2 ⋅°C)(0,3 m)
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Trabalho Para Casa 01
Considere uma grande parede plana de espessura L = 0,3 m, condutividade
térmica k = 2,5 W / m
m° C, e superfície A = 12 m2. O lado esquerdo da parede em
x = 0 é submetido a um fluxo de calor de q0 = 700 W/m2, enquanto a temperatura
medida nessa superfície é T1 = 80 ° C. Assumindo que a condutividade térmica é
constante e que não há geração de calor na parede, (a) expresse a equação
diferencial e as condições de contorno para um regime estacionário unidimensional
d condução
de
d ã d
de calor
l através
é d
da parede,
d (b) obtenha
b h equação
ã para a variação
i ã d
de
temperatura na parede, resolvendo a equação diferencial, e (c) calcule as
temperaturas
p
desde o ponto
p
x=0 até x=L com um incremento de 0,01
, m ((trace
um gráfico).
Enviar até as 5 horas de sexta-feira dia 5 de Março com o “subject”: TPC01
Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu
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