CARREIRAS NÍVEL MÉDIO
Disciplina: Matemática
Tema: Equação do 2º Grau
Prof.: Valdeci Lima
Data: 26/06/2007
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Chamamos de equação do 2º toda equação do tipo ax2 + bx + c = 0, em que a, b e c são os
coeficientes e x é a variável, com a ≠ 0
Obs: A expressão ax2 + bx + c = 0 é chamada forma algébrica da equação do segundo grau.
EQUAÇÃO COMPLETA E EQUAÇÃO IMCOMPLETA
Pela definição, teremos sempre a ≠ 0. Porém, podemos ter b = 0 ou c = 0, ou b e c iguais a 0.
Equação Completa: Quando b ≠ 0 e c ≠ 0
Ex: x2 – 10x +7 = 0 ( a = 1; b = - 10 ; c = 7 )
Equação Incompleta:
1º Caso: a ≠ 0, b ≠ 0 e c = 0 → uma das raízes será sempre igual a zero.
Ex: 2x2 + 5x = 0 ( a = 2, b = 5 e c = 0 )
2º Caso: a ≠ 0, b = 0 e c ≠ 0 → raízes reais e simétricas
Ex: 4x2 – 25 = 0 ( a = 4, b = 0 e c = - 25 )
3º Caso: a ≠ 0, b = 0 e c = 0 → as duas raízes serão iguais à zero.
Ex: 3x2 (a =3, b = 0 e c = 0 )
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU INCOMPLETAS
1º Caso: a ≠ 0, b ≠ 0 e c = 0 → ax2 + bx = 0 ( uma das raízes será sempre igual a zero.)
Colocando x em evidência, temos:
ax2 + bx = 0 → x ( ax + b ) = 0, dessa forma obtemos: x = 0 ou ( ax + b ) = 0
para ( ax + b ) = 0, temos:
x=−
b
a
Ex: a) x2 – 8x = 0 → x ( x – 8 ) = 0
x = 0 e x – 8 =0 → x = 8, x1 = 0 e x2 = 8
2º Caso: a ≠ 0, b = 0 e c ≠ 0 → ax2 + c = 0 (raízes reais e simétricas )
para ax2 + c = 0 , temos: x =
±
c
, se
a
c
< 0, a equação não terá raízes reais.
a
Ex: a) x2 – 25 = 0 → x = ±
25 = ± 5 → x1 = 5 e x2 = - 5
b) x +16 = 0 → x = ± − 16 → ∉ a R.
2
3º Caso: a ≠ 0, b = 0 e c = 0 → ax2 + = 0 ( as duas raízes serão iguais à zero.)
Ex: 3x2 = 0 → x1 = x2 = 0
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU COMPLETA
Obs: a resolução será feita pela fórmula de BHASKARA que é
X =
−b± ∆
.
2a
Temos o delta, também chamado de discriminante (∆)→ ∆ = b2 – 4ac
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU COMPLETA
a) x2 – 5x + 6 = 0 b) x2– 9x +14 = 0 c) x2 – 4x + 21= 0
= 0 f) 6x2 – 11x – 2 = 0 g) – 10x2 + x +2 =0
SOLUÇÃO:
-1–
d) x2 + 6x – 40 = 0
e) 15x2 – 13x + 2
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Disciplina: Matemática
Tema: Equação do 2º Grau
Prof.: Valdeci Lima
Data: 26/06/2007
Lembrando:
∆ = b2 – 4ac e
X =
−b± ∆
2a
a) x2 – 5x + 6 = 0
a=1
b=-5
⇒ ∆ = (- 5)2 – 4.1.6 = 1 →
5 ±1
x=
x1= 3 e x2 = 2
2
c=6
− (− 5) ± 1
x=
⇒
2 .1
b) x2 – 9x + 14 = 0
a=1
b = -9
c = 14
2
∆ = (-9) – 4 . 1 . 14
x=
⇒
∆ = 25
⇒
25 = ± 5
− ( − 9) ± 5
9±5
⇒x=
⇒ x1 = 7
2 .1
2
c) x2 – 4x – 21 = 0
a=1
b = -4
x2 = 2
c = -21
100 = ±10
⇒ ∆ = 100 ⇒
− (−4) ± 10
4 ± 10
x=
⇒x=
⇒ x1 = 7
2 .1
2
2
∆ = (-4) – 4 . 1 .(-21)
d)x2 + 6x – 40 = 0
a=1
b=6
2
∆ = 6 – 4 . 1(-40)
⇒ ∆ = 196 ⇒
e) 15x2 – 13x + 2 = 0
a = 15
b = -13
2
∆ = (-13) – 4 . 15 . 2
x2 = -3
196 = ±14
x2 = -10
c=2
⇒
49 = ±7
6 1
x2 =
=
30 5
∆ = 49 ∆ =
− (−13) ± 7
20 2
⇒ x1 =
=
2.15
30 3
f) 6x2 – 11x – 2 = 0
a=6
b = -11
c = -2
2
∆ = (-11) – 4 . 6 .(-2)
x=
e
c = -40
− 6 ± 14
⇒ x1 = 4
x=
2 .1
x=
1= ± 1
⇒
∆ = 169
⇒
− (−11) ± 13 11 ± 13
24
=
⇒x =
=2
2 .6
12
12
169 = ±13
−2
1
x2 =
=−
12
6
g) –10x2 + x + 2 = 0
a = -10
b=1
c=2
∆ = 12 – 4.(-10) . 2
⇒
∆ =81
⇒
81 = ±9
-2–
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Disciplina: Matemática
Tema: Equação do 2º Grau
Prof.: Valdeci Lima
Data: 26/06/2007
x=
−1± 9
−1± 9
8
2
=
⇒x =
=−
2.(−10)
− 20
− 20
5
x2 =
− 10 1
=
− 20 2
RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E AS RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU.
Dado ax2 + bx + c = 0, temos:
Soma das raízes →
−
b
c
e produtos das raízes →
a
a
COMPOSIÇÃO DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU DADAS AS RAÍZES
Dada a equação: ax2 + bx + c = 0, temos → x2 – ( S )x + P = 0, em que:
S → é a soma das raízes e P → é produto das raízes
Ex: Compor as seguintes equações do 2º grau, dadas as raízes:
a) 2 e 5 b) – 3 e 7 c) 1/4 e 2/5
Solução:
a) x2 – ( S )x + P = 0 → S = 2 + 5 = 7 e P = 2.5 = 10
x2 – ( 7 )x + 10 = 0 → x2 – 7x + 10 = 10
b) x2 – ( S )x + P = 0 C S = ( - 3 ) + 7 = 4 e P = ( - 3 ).7 = - 21
x2 – ( 4 )x + ( - 21 ) = 0 → x2 – 4x – 21 = 0
c) ) x2 – ( S )x + P = 0 → S =
1 2 13
1 2 2
+ =
e P= . =
4 5 20
4 5 20
x2 – (13/20)x + 2/20 = 0 → 20x2 – 13x + 2 = 0
IMPORTANTE:
∆ < 0 → Não há raízes reais → x1 e x2 são imaginárias
∆ = 0 → duas raízes reais e iguais → x1 = x2
∆ > 0 → duas raízes reais e distintas ( diferentes ) → x1 ≠ x2
Problemas do 2º Grau
São problemas que ao traduzirmos para linguagem matemática, recaem em uma equação do 2º Grau.
Exercícios Resolvidos:
1) Calcule o número inteiro e positivo que multiplicado pelo seu consecutivo, seja igual a 42.
Solução:
Números Consecutivos → x
e
x+1
X .(x + 1) = 42 ⇒ x2 + x – 42 = 0
Resolvendo a equação, obtemos: x1 = 6
e
x2 = 7
R: x = 6
2) Calcule dois números cuja soma seja 8 e o produto seja 12.
Solução:
Chamaremos os números de X e Y.
x + y = 8 → y = 8 − x

 x. y = 12 → x.(8 − x) = 12
8x – x2 = 12 ⇒ x2 – 8x + 12 = 0
Resolvendo a equação, obtemos:
x2 = 2
x1 = 6 e
-3–
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Tema: Equação do 2º Grau
Prof.: Valdeci Lima
Data: 26/06/2007
Substituindo:
y=8–6=2
y=8–2=6
R: 2 e
6
3) Qual o maior de dois números cuja soma é 2 e cujo produto é
3
?
4
Solução:
Chamaremos os números de X e Y.
x + y = 2 → y = 2 − x

3

 x. y = 4
Substituindo:
x . (2 – x) =
3
⇒ 4( 2 x − x 2 ) = 3
4
⇒ 4x2 – 8x + 3 = 0
8x – 4x2 = 3
Resolvendo a equação obtemos:
x1 = 3 / 2
e
x2 = 1 / 2
R: O maior será 3 / 2 ou 1,5.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Resolva as seguintes do 2º grau incompletas
a) 5x2 = 0 b) x2 + x = 0 c) 4x2 – x = 0 d) R2 – 16 = 0 e) 4y2 – 9 = 0 f) x2 + 1 = 0
Respostas: a) 0 e 0 b) 0 e – 1 c) 0 e ¼ d) ± 4 e) ± 3/2 f) não há raízes reais
2) Resolva as seguintes equações do 2º grau
a) x2 – 7x + 10 = 0 b) x2 – 5x – 24 = 0 c) x2 – x – 6 = 0 d) x2 + 5x + 6 = 0 e) 2x2 + x + 1 = 0 f)
2x2 – 16x + 32 = 0 g) – x2 + 3x – 3 = 0
Respostas:
a) V = {2,5} b) V = {-3, 8} c) V = {-2, 3} d) V = {-3, -2} e) V = { } f) V = {4} g) V = { }
3) Resolva os seguintes problemas do 2º grau:
a) Calcular o número inteiro e positivo que multiplicado pelo seu consecutivo, seja igual a 56.
b) Qual é o número real x, positivo, tal que o seu quadrado é igual ao seu triplo ?
c) Determine dois números inteiros e consecutivos tais que a soma de seus quadrados seja 85.
d) qual é o número negativo cujo quadrado somado com o triplo é igual a 40 ?
e) A soma de um número real inteiro e positivo com o seu inverso dá 10/3. Calcule esse número.
f) A soma das idades de um pai e de seu filho é 38 anos, calcular essas idades, sabendo que daqui a 2
anos a idade do pai é igual o quadrado da idade do filho.
g) Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, você encontrará o
quíntuplo do número x. Qual é esse número ?
Respostas:
a) 7 b) 4 c) 6 e 7 ou – 6 e –7 d) – 8 e) 3 f) 4 e 34 g) 7 ou – 2
EQUAÇÕES BIQUADRADA
-4–
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Prof.: Valdeci Lima
Data: 26/06/2007
As equações do 4º grau, do tipo ax4 + bx2 + c = 0 que só contém termos de grau par, chama-se
equações biquadrada.
Os coeficientes a, b e c são números reais e a ≠ 0
RESOLUÇÃO:
Para resolver uma equação biquadrada ax4 + bx2 + c = 0, substituímos x2 por y, x4 por y2 e
resolvemos a equação ay2 + by + c = 0. Devemos substituir a solução da última equação na relação x2
=y→x=±
y
Obs: y deverá ser real e positivo
Ex: Resolver em R a equação: x4 – 15x2 – 16 = 0
Solução:
X4 = y2 e x2 = y → y2 – 15y – 16 = 0
Y1 = - 1 ( não serve ) e y2 = 16 → x =
± 16 = ± 4
EXERCÍCIOS
1) Determine o conjunto verdade das seguintes equações biquadradas sendo U = R.
a) x4 – 26x2 + 25 = 0 b) x4 – 5x2 + 21 = 0
Respostas:
a) V = {- 5, - 1, 1,5} b) V = { }
Chamamos de equação do 2º toda equação do tipo ax2 + bx + c = 0, em que a, b e c são os
coeficientes e x é a variável, com a ≠ 0
Obs: A expressão ax2 + bx + c = 0 é chamada forma algébrica da equação do segundo grau.
EQUAÇÃO COMPLETA E EQUAÇÃO IMCOMPLETA
Pela definição, teremos sempre a ≠ 0. Porém, podemos ter b = 0 ou c = 0, ou b e c iguais a 0.
Equação Completa: Quando b ≠ 0 e c ≠ 0
Ex: x2 – 10x +7 = 0 ( a = 1; b = - 10 ; c = 7 )
Equação Incompleta:
1º Caso: a ≠ 0, b ≠ 0 e c = 0 → uma das raízes será sempre igual a zero.
Ex: 2x2 + 5x = 0 ( a = 2, b = 5 e c = 0 )
2º Caso: a ≠ 0, b = 0 e c ≠ 0 → raízes reais e simétricas
Ex: 4x2 – 25 = 0 ( a = 4, b = 0 e c = - 25 )
3º Caso: a ≠ 0, b = 0 e c = 0 → as duas raízes serão iguais à zero.
Ex: 3x2 (a =3, b = 0 e c = 0 )
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU INCOMPLETAS
1º Caso: a ≠ 0, b ≠ 0 e c = 0 → ax2 + bx = 0 ( uma das raízes será sempre igual a zero.)
Colocando x em evidência, temos:
ax2 + bx = 0 → x ( ax + b ) = 0, dessa forma obtemos: x = 0 ou ( ax + b ) = 0
para ( ax + b ) = 0, temos:
x=−
b
a
Ex: a) x2 – 8x = 0 → x ( x – 8 ) = 0
x = 0 e x – 8 =0 → x = 8, x1 = 0 e x2 = 8
2º Caso: a ≠ 0, b = 0 e c ≠ 0 → ax2 + c = 0 (raízes reais e simétricas )
-5–
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Tema: Equação do 2º Grau
Prof.: Valdeci Lima
Data: 26/06/2007
±
para ax2 + c = 0 , temos: x =
Ex: a) x2 – 25 = 0 → x = ±
c
, se
a
c
< 0, a equação não terá raízes reais.
a
25 = ± 5 → x1 = 5 e x2 = - 5
b) x +16 = 0 → x = ± − 16 → ∉ a R.
3º Caso: a ≠ 0, b = 0 e c = 0 → ax2 + = 0 ( as duas raízes serão iguais à zero.)
Ex: 3x2 = 0 → x1 = x2 = 0
2
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU COMPLETA
Obs: a resolução será feita pela fórmula de BHASKARA que é
X =
−b± ∆
.
2a
Temos o delta, também chamado de discriminante (∆)→ ∆ = b2 – 4ac
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU COMPLETA
a) x2 – 5x + 6 = 0 b) x2– 9x +14 = 0 c) x2 – 4x + 21= 0
= 0 f) 6x2 – 11x – 2 = 0 g) – 10x2 + x +2 =0
d) x2 + 6x – 40 = 0
SOLUÇÃO:
Lembrando:
∆ = b2 – 4ac e
X =
−b± ∆
2a
a) x2 – 5x + 6 = 0
a=1
x=
b=-5
⇒ ∆ = (- 5)2 – 4.1.6 = 1 →
5 ±1
x=
x1= 3 e x2 = 2
2
c=6
− (− 5) ± 1
⇒
2 .1
b) x2 – 9x + 14 = 0
a=1
b = -9
2
∆ = (-9) – 4 . 1 . 14
x=
c = 14
⇒
∆ = 25
⇒
− ( − 9) ± 5
9±5
⇒x=
⇒ x1 = 7
2 .1
2
c) x2 – 4x – 21 = 0
a=1
b = -4
25 = ± 5
x2 = 2
c = -21
⇒ ∆ = 100 ⇒
− (−4) ± 10
4 ± 10
x=
⇒x=
⇒ x1 = 7
2 .1
2
100 = ±10
2
∆ = (-4) – 4 . 1 .(-21)
d)x2 + 6x – 40 = 0
a=1
b=6
e
x2 = -3
c = -40
-6–
1= ± 1
e) 15x2 – 13x + 2
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Disciplina: Matemática
Tema: Equação do 2º Grau
Prof.: Valdeci Lima
Data: 26/06/2007
∆ = 62– 4 . 1(-40)
x=
⇒ ∆ = 196 ⇒
− 6 ± 14
⇒ x1 = 4
2 .1
x2 = -10
e) 15x2 – 13x + 2 = 0
a = 15
b = -13
2
∆ = (-13) – 4 . 15 . 2
x=
196 = ±14
c=2
⇒
49 = ±7
6 1
x2 =
=
30 5
∆ = 49 ∆ =
− (−13) ± 7
20 2
⇒ x1 =
=
2.15
30 3
f) 6x2 – 11x – 2 = 0
a=6
b = -11
c = -2
2
∆ = (-11) – 4 . 6 .(-2)
⇒
∆ = 169
⇒
− (−11) ± 13 11 ± 13
24
=
⇒x =
=2
x=
2 .6
12
12
169 = ±13
−2
1
x2 =
=−
12
6
g) –10x2 + x + 2 = 0
a = -10
b=1
c=2
⇒
⇒
81 = ±9
−1± 9
−1± 9
8
2
− 10 1
=
⇒x =
=−
x2 =
=
x=
2.(−10)
− 20
− 20
5
− 20 2
∆ = 12 – 4.(-10) . 2
∆ =81
RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E AS RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU.
Dado ax2 + bx + c = 0, temos:
Soma das raízes →
−
b
c
e produtos das raízes →
a
a
COMPOSIÇÃO DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU DADAS AS RAÍZES
Dada a equação: ax2 + bx + c = 0, temos → x2 – ( S )x + P = 0, em que:
S → é a soma das raízes e P → é produto das raízes
Ex: Compor as seguintes equações do 2º grau, dadas as raízes:
a) 2 e 5 b) – 3 e 7 c) 1/4 e 2/5
Solução:
a) x2 – ( S )x + P = 0 → S = 2 + 5 = 7 e P = 2.5 = 10
x2 – ( 7 )x + 10 = 0 → x2 – 7x + 10 = 10
b) x2 – ( S )x + P = 0 C S = ( - 3 ) + 7 = 4 e P = ( - 3 ).7 = - 21
x2 – ( 4 )x + ( - 21 ) = 0 → x2 – 4x – 21 = 0
c) ) x2 – ( S )x + P = 0 → S =
1 2 13
1 2 2
+ =
e P= . =
4 5 20
4 5 20
x2 – (13/20)x + 2/20 = 0 → 20x2 – 13x + 2 = 0
IMPORTANTE:
∆ < 0 → Não há raízes reais → x1 e x2 são imaginárias
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Tema: Equação do 2º Grau
Prof.: Valdeci Lima
Data: 26/06/2007
∆ = 0 → duas raízes reais e iguais → x1 = x2
∆ > 0 → duas raízes reais e distintas ( diferentes ) → x1 ≠ x2
Problemas do 2º Grau
São problemas que ao traduzirmos para linguagem matemática, recaem em uma equação do 2º Grau.
Exercícios Resolvidos:
1) Calcule o número inteiro e positivo que multiplicado pelo seu consecutivo, seja igual a 42.
Solução:
Números Consecutivos → x
e
x+1
X .(x + 1) = 42 ⇒ x2 + x – 42 = 0
Resolvendo a equação, obtemos: x1 = 6
e
x2 = 7
R: x = 6
2) Calcule dois números cuja soma seja 8 e o produto seja 12.
Solução:
Chamaremos os números de X e Y.
x + y = 8 → y = 8 − x

 x. y = 12 → x.(8 − x) = 12
8x – x2 = 12 ⇒ x2 – 8x + 12 = 0
Resolvendo a equação, obtemos:
x1 = 6 e
x2 = 2
Substituindo:
y=8–6=2
y=8–2=6
R: 2 e
6
3) Qual o maior de dois números cuja soma é 2 e cujo produto é
3
?
4
Solução:
Chamaremos os números de X e Y.
x + y = 2 → y = 2 − x

3

 x. y = 4
Substituindo:
x . (2 – x) =
3
⇒ 4( 2 x − x 2 ) = 3
4
⇒ 4x2 – 8x + 3 = 0
8x – 4x2 = 3
Resolvendo a equação obtemos:
x1 = 3 / 2
e
x2 = 1 / 2
R: O maior será 3 / 2 ou 1,5.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Resolva as seguintes do 2º grau incompletas
a) 5x2 = 0 b) x2 + x = 0 c) 4x2 – x = 0 d) R2 – 16 = 0 e) 4y2 – 9 = 0 f) x2 + 1 = 0
Respostas: a) 0 e 0 b) 0 e – 1 c) 0 e ¼ d) ± 4 e) ± 3/2 f) não há raízes reais
-8–
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Disciplina: Matemática
Tema: Equação do 2º Grau
Prof.: Valdeci Lima
Data: 26/06/2007
2) Resolva as seguintes equações do 2º grau
a) x2 – 7x + 10 = 0 b) x2 – 5x – 24 = 0 c) x2 – x – 6 = 0 d) x2 + 5x + 6 = 0 e) 2x2 + x + 1 = 0 f)
2x2 – 16x + 32 = 0 g) – x2 + 3x – 3 = 0
Respostas:
a) V = {2,5} b) V = {-3, 8} c) V = {-2, 3} d) V = {-3, -2} e) V = { } f) V = {4} g) V = { }
3) Resolva os seguintes problemas do 2º grau:
a) Calcular o número inteiro e positivo que multiplicado pelo seu consecutivo, seja igual a 56.
b) Qual é o número real x, positivo, tal que o seu quadrado é igual ao seu triplo ?
c) Determine dois números inteiros e consecutivos tais que a soma de seus quadrados seja 85.
d) qual é o número negativo cujo quadrado somado com o triplo é igual a 40 ?
e) A soma de um número real inteiro e positivo com o seu inverso dá 10/3. Calcule esse número.
f) A soma das idades de um pai e de seu filho é 38 anos, calcular essas idades, sabendo que daqui a 2
anos a idade do pai é igual o quadrado da idade do filho.
g) Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, você encontrará o
quíntuplo do número x. Qual é esse número ?
Respostas:
a) 7 b) 4 c) 6 e 7 ou – 6 e –7 d) – 8 e) 3 f) 4 e 34 g) 7 ou – 2
EQUAÇÕES BIQUADRADA
As equações do 4º grau, do tipo ax4 + bx2 + c = 0 que só contém termos de grau par, chama-se
equações biquadrada.
Os coeficientes a, b e c são números reais e a ≠ 0
RESOLUÇÃO:
Para resolver uma equação biquadrada ax4 + bx2 + c = 0, substituímos x2 por y, x4 por y2 e
resolvemos a equação ay2 + by + c = 0. Devemos substituir a solução da última equação na relação x2
=y→x=±
y
Obs: y deverá ser real e positivo
Ex: Resolver em R a equação: x4 – 15x2 – 16 = 0
Solução:
X4 = y2 e x2 = y → y2 – 15y – 16 = 0
Y1 = - 1 ( não serve ) e y2 = 16 → x =
± 16 = ± 4
EXERCÍCIOS
1) Determine o conjunto verdade das seguintes equações biquadradas sendo U = R.
a) x4 – 26x2 + 25 = 0 b) x4 – 5x2 + 21 = 0
Respostas:
a) V = {- 5, - 1, 1,5} b) V = { }
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