Rodrigo Pereira David
Técnica de Estimação de Canal Utilizando
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CC
Símbolos Pilotos em Sistemas OFDM
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial para
obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pósgraduação em Engenharia Elétrica do Departamento de
Engenharia Elétrica da PUC-Rio.
Orientador: Prof. Raimundo Sampaio Neto
Rio de Janeiro
Maio de 2007
Rodrigo Pereira David
Técnica de Estimação de Canal Utilizando
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CC
Símbolos Pilotos em Sistemas OFDM
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção
do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em
Engenharia Elétrica do Departamento de Engenharia Elétrica
do Centro Técnico Científico da PUC-Rio. Aprovada pela
Comissão Examinadora abaixo assinada.
Prof. Raimundo Sampaio Neto
Orientador
Centro de Estudos em Telecomunicações – PUC-Rio
Prof. José Mauro Pedro Fortes
Centro de Estudos em Telecomunicações – PUC-Rio
Prof. Marco Antonio Grivet Mattoso Maia
Centro de Estudos em Telecomunicações – PUC-Rio
Prof. Pedro Henrique Gouvêa Coelho
UERJ
Prof. José Eugenio Leal
Coordenador Setorial do Centro
Técnico Científico
Rio de Janeiro, 14 de maio de 2007
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou
parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e
do orientador.
Rodrigo Pereira David
Graduou-se em Engenharia Elétrica com ênfase em
Telecomunicações na Universidade do Estado do Rio de Janeiro
(UERJ) em julho de 2002
Ficha Catalográfica
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CC
David, Rodrigo Pereira
Técnica de estimação de canal utilizando símbolos
pilotos e sistemas OFDM / Rodrigo Pereira David ;
orientador: Raimundo Sampaio Neto. – 2007.
132 f. ; 30 cm
Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica) –
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de
Janeiro, 2007.
Inclui bibliografia
1. Engenharia elétrica – Teses. 2. Transmissão Digital.
3. OFDM. 4. Estimação de Canal. 5. Algoritmos Adaptativos.
I. Sampaio Neto, Raimundo. II. Pontifícia Universidade
Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia
Elétrica. III. Título.
CDD: 621.3
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CC
Para meus filhos, Frederico e Arthur,
em todos os momentos da minha vida.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CC
Agradecimentos
Ao meu orientador Professor Raimundo Sampaio Neto pela sua dedicação
no ensino e por sua excelente orientação desta dissertação de Mestrado.
Ao colega Aureo Serrano de Marins Neto pela contribuição fundamental
para o desenvolvimento da minha dissertação.
À Star One e à PUC-Rio pelos auxílios concedidos, sem os quais este
trabalho não poderia ser realizado.
Aos meus pais Domingos e Regina pelo amor e apoio sempre presentes.
À minha esposa Alessandra pelo companheirismo e compreensão nesta
etapa de minha vida.
Resumo
Pereira David, Rodrigo; Sampaio Neto, Raimundo (Orientador). Técnica de
Estimação de Canal Utilizando Símbolos Pilotos em Sistemas OFDM.
Rio de Janeiro, 2007. 132p. Dissertação de Mestrado – Departamento de
Engenharia Elétrica, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Este trabalho tem como finalidade explorar uma técnica de redução do erro
de estimativas da resposta de freqüência discreta do canal geradas por símbolos
piloto em sistemas de transmissão OFDM (Orthogonal Frequency Division
Multiplexing). Nesta técnica, uma transformação linear projeta o vetor que
contem as estimativas obtidas inicialmente no subespaço em que a verdadeira
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resposta de freqüência do canal tem que estar, resultando em uma redução da
variância do erro das estimativas. A aplicação conjunta desta técnica com
filtragem adaptativa para a estimação da resposta de freqüência do canal também
está no contexto desta dissertação. Os resultados dos experimentos são analisados
em termos da taxa de erro de bit média obtida e da convergência dos algoritmos
adaptativos empregados nas etapas de estimação de canal no receptor.
Palavras-chave
Estimação de Canal, Filtragem Adaptativa, OFDM.
Abstract
Pereira David, Rodrigo; Sampaio Neto, Raimundo (Advisor). Pilot Assisted
Channel Estimation for Signal Detection in OFDM Systems. Rio de
Janeiro, 2007. 132p. MSc. Dissertation - Departamento de Engenharia
Elétrica, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
This work studies a technique for error reduction in estimates of the discrete
channel frequency response obtained with aid of pilot symbols in OFDM
(Orthogonal Frequency Division Multiplexing) transmission systems. In this
technique the vector that contains the initial discrete channel frequency response
estimate is projected into the subspace where the true channel frequency response
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has to lie, yielding a new channel estimate with a reduced error variance. The joint
application of this technique with adaptive filtering for channel estimation is also
developed herein. The performance of the proposed methods is analyzed in terms
of the mean bit error rate achieved and of the convergence of the adaptive channel
estimation algorithms used in the receiver.
Keywords
Digital Transmission; OFDM; Channel Estimation; Adaptative Algorithms.
Sumário
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CC
1. Introdução
12
2. Técnica de Transmissão OFDM
2.1.Transmissão e Recepção do sinal OFDM
2.2. Geração e detecção dos sinais por meio de IDFT/DFT
2.3. Intervalo de guarda – sistemas CP e ZP-OFDM
2.4. Processamento do sinal OFDM na transmissão e recepção
2.5. Vantagens e desvantagens do uso da técnica a OFDM
15
20
23
25
27
29
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
3.1. Transmissão e recepção de sinais CP-OFDM
3.2. Transmissão e recepção de sinais ZP-OFDM
3.3. Modelagem dos Canais de Propagação
3.3.1. Desvanecimento Multipercurso
3.3.2. Resposta ao Impulso de um Canal Multipercurso
3.3.3. Tipos de Desvanescimento Multipercurso
3.3.4. Modelagem Canal de Propagação
32
36
41
45
46
48
53
56
4. Estimação de Canal
4.1. Estimação de canal utilizando símbolos piloto e matriz purificadora
4.1.1. Estimação de canal Pós-DFT com símbolos piloto em sistemas
CP-OFDM
4.1.2. Estimação de canal Pós-DFT com símbolos piloto em sistemas
ZP-OFDM
4.2. Estimação de canal Pré-DFT com símbolos piloto
4.3. Desempenho do esquema de estimação proposto nos sistemas CPOFDM e ZP-OFDM
59
61
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
5.1. Estimação de Canal Adaptativa utilizando algoritmo LS
5.1.1. Algoritmo LS Recursivo (RLS - Recursive Least Squares)
5.2. Desempenho do esquema de estimação de canal adaptativo RLS nos
sistemas CP-OFDM e ZP-OFDM
5.2.1. Desempenho do esquema de estimação de canal adaptativo RLS
nos sistemas CP- OFDM e ZP-OFDM para canal fixo
5.2.2. Desempenho do esquema de estimação de canal adaptativo RLS
nos sistemas CP-OFDM e ZP-OFDM para canal variante
66
69
69
74
82
88
92
99
101
111
6. Conclusão
125
7. Referências bibliográficas
128
8. Apêndice
130
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Lista de Figuras
Figura 2.1 – Ortogonalidade no domínio da freqüência
Figura 2.2 – Ortogonalidade no domínio do tempo
Figura 2.3 – Equivalente banda básica do esquema geral de receptor
ótimo utilizando correlator (projeção nas bases)
Figura 2.4 – Detalhamento da transmissão e recepção para o sistema
OFDM
Figura 3.1 – Transmissão do sinal OFDM
Figura 3.2 – Conversor Analógico/Digital
Figura 3.3 – Recepção do Sinal OFDM
Figura 3.4 – Modelo equivalente para recepção OFDM
Figura 3.5 – Modelo discreto de transmissão CP-OPFM
Figura 3.6 – Modelo discreto de recepção CP-OFDM
Figura 3.7. – Sinal de transmissão ZP-OFDM
Figura 3.8 – Sinal de recepção ZP-OFDM
Figura 3.9 – Envoltória de um sinal em um ambiente rádio móvel
Figura 3.10 – Fenômeno do Multipercurso
Figura 3.11 – Envoltória do sinal recebido em um ambiente rádio móvel
Figura 3.12 – Exemplo de resposta ao impulso de um canal multipercurso
Figura 3.13 – Exemplo de resposta ao impulso de um canal multipercurso
estacionário
Figura 3.14 – Perfil de potência do retardo
Figura 3.15 – Resposta impulsiva do canal em faixa estreita
Figura 3.16 – Espectro de Potência Doppler
Figura 4.1 – Modelo de estimação de canal Pós-DFT utilizando matriz
purificadora
Figura 4.2 – Magnitude da resposta em freqüência para hL = [ 0.8677
0.4339 0.2169 0.1085 ]T
Figura 4.3 – CP-OFDM - Canal Fixo – Erro Médio Quadrático das
Estimativas Zero-Forcing e Zero-Forcing Refinadas para Eb/No=10dB
Figura 4.4 – Magnitude da resposta em freqüência para hL = [ 0.8677
0.4339 0.2169 0.1085 ]T
Figura 4.5 – ZP-OFDM - Canal Fixo – Erro Médio Quadrático das
Estimativas Zero-Forcing e Zero-Forcing Refinadas para Eb/No=13dB
Figura 4.6 – Processamentos alternativos para estimação refinada de
canal Pré-DFT
Figura 4.7 – CP-OFDM - Canal Fixo - Estimação Proposta de Canal com
Pilotos
Figura 4.8 – CP-OFDM - Canal Fixo - Estimação Proposta de Canal
com Pilotos
Figura 4.9 – CP-OFDM - Canal Fixo - Degradação do desempenho das
estimativas purificadas
19
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85
86
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Figura 4.10 – ZP-OFDM - Canal Fixo - Degradação do desempenho das
estimativas purificadas
Figura 5.1 – CP-OFDM - Canal Fixo - Estimação de Canal com Pilotos
utilizando algoritmo RLS-comprimento do canal conhecido a apriori
Figura 5.2 – CP-OFDM - Canal Fixo – Erro Médio Quadrático entre as
estimativas de canal com Pilotos utilizando algoritmo RLS com matriz
purificadora e sem matriz purificadora
Figura 5.3 – ZP-OFDM - Canal Fixo - Estimação de Canal com Pilotos
utilizando algoritmo RLS-comprimento do canal conhecido a apriori
Figura 5.4 – ZP-OFDM - Canal Fixo – Erro Médio Quadrático entre as
estimativas de canal com Pilotos utilizando algoritmo RLS com matriz
purificadora e sem matriz purificadora
Figura 5.5 – CP-OFDM - Canal Fixo - Estimação de Canal com Pilotos
utilizando algoritmo RLS-comprimento G da faixa de guarda utilizado
para estimar o comprimento do canal
Figura 5.6 – CP-OFDM - Canal Fixo – Erro Médio Quadrático entre as
estimativas de canal com Pilotos utilizando algoritmo RLS com matriz
purificadora e sem matriz purificadora
Figura 5.7 – ZP-OFDM - Canal Fixo - Estimação de Canal com Pilotos
utilizando algoritmo RLS-comprimento G da faixa de guarda utilizado
para estimar o comprimento do canal
Figura 5.8 – ZP-OFDM - Canal Fixo – Erro Médio Quadrático entre as
estimativas de canal com Pilotos utilizando algoritmo RLS com matriz
purificadora e sem matriz purificadora
Figura 5.9 – CP-OFDM - Canal Variante fdTofdm=10-5 - Estimação de
Canal com Pilotos utilizando algoritmo RLS
Figura 5.10 – CP-OFDM - Canal Variante fdTofdm=10-5 – Erro Médio
Quadrático entre as estimativas de canal com Pilotos utilizando algoritmo
RLS com matriz purificadora e sem matriz purificadora
Figura 5.11 – CP-OFDM - Canal Variante fdTofdm=10-4 - Estimação de
Canal com Pilotos utilizando algoritmo RLS
Figura 5.12 – CP-OFDM - Canal Variante fdTofdm=10-4 – Erro Médio
Quadrático entre as estimativas de canal com Pilotos utilizando algoritmo
RLS com matriz purificadora e sem matriz purificadora
Figura 5.13 – CP-OFDM - Canal Variante fdTofdm=10-3 - Estimação de
Canal com Pilotos utilizando algoritmo RLS
Figura 5.14 – CP-OFDM - Canal Variante fdTofdm=10-3 – Erro Médio
Quadrático entre as estimativas de canal com Pilotos utilizando algoritmo
RLS com matriz purificadora e sem matriz purificadora
Figura 5.15 – ZP-OFDM - Canal Variante fdTofdm=10-5 - Estimação de
Canal com Pilotos utilizando algoritmo RLS
Figura 5.16 – ZP-OFDM - Canal Variante fdTofdm=10-5 – Erro Médio
Quadrático entre as estimativas de canal com Pilotos utilizando algoritmo
RLS com matriz purificadora e sem matriz purificadora
Figura 5.17 – ZP-OFDM - Canal Variante fdTofdm=10-4 - Estimação de
Canal com Pilotos utilizando algoritmo RLS
Figura 5.18 – ZP-OFDM - Canal Variante fdTofdm=10-4 – Erro Médio
Quadrático entre as estimativas de canal com Pilotos utilizando algoritmo
RLS com matriz purificadora e sem matriz purificadora
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Figura 5.19 – ZP-OFDM - Canal Variante fdTofdm=10-3 - Estimação de
Canal com Pilotos utilizando algoritmo RLS
Figura 5.20 – ZP-OFDM - Canal Variante fdTofdm=10-3 – Erro Médio
Quadrático entre as estimativas de canal com Pilotos utilizando algoritmo
RLS com matriz purificadora e sem matriz purificadora
122
123
1
Introdução
Este trabalho tem como finalidade explorar uma técnica de redução do erro
de estimativas da resposta de freqüência discreta do canal geradas por símbolos
piloto em sistemas de transmissão OFDM.
A principal motivação para este trabalho é o estudo do uso de uma técnica
que através de uma transformação linear projeta o vetor que contem as estimativas
obtidas inicialmente no subespaço em que a verdadeira resposta de freqüência do
canal tem que estar, resultando em uma redução da variância do erro das
estimativas de canal em sistemas de transmissão OFDM a fim de adequá-la no
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atual contexto de se transmitir dados em altas taxas, com significante eficiência no
uso da largura de faixa de freqüências disponível, e por meio de canais de
propagação ruidosos e variantes.
A estimação de canal por meio de símbolos piloto pode seguir duas
abordagens distintas. Na primeira abordagem, os símbolos piloto são inseridos
periodicamente em todas as subportadoras dos símbolos OFDM. Por outro lado,
os símbolos piloto podem ser inseridos em todos os símbolos OFDM transmitidos,
com distribuição uniforme entre as subportadoras do sistema [1], [2].
A primeira abordagem, denominada estimativa de canal por meio de blocos
de símbolos piloto (block pilots), foi desenvolvida para aplicação em canais de
propagação com desvanecimento lento. A estimativa de canal pode ser refinada
utilizando-se os conceitos de filtragem adaptativa. Dentre os métodos que podem
ser aplicados, temos o LS (Least Squares) e o MMSE (Minimum Mean-Square
Error) [3].
A segunda abordagem, denominada estimativa de canal combinada por meio
de símbolos piloto (comb pilots), foi introduzida para satisfazer a necessidade de
equalização dos sinais em ambientes de propagação que variam até mesmo
durante o intervalo de duração dos símbolos OFDM. Este tipo de estimativa
trabalha com algoritmos para estimar o canal nas freqüências dos símbolos piloto,
de modo a interpolar o canal em toda a faixa de transmissão dos símbolos OFDM.
A estimação de canal nas freqüências dos símbolos piloto pode ser feita por meio
1. Introdução
13
dos métodos LS, MMSE e LMS (Least Mean-Squares). Os tipos de interpolação
empregados são: linear, de segunda ordem, passa-baixa, spline cúbica e de
domínio do tempo [2].
Uma das principais contribuições deste trabalho é o desenvolvimento de
uma técnica que efetivamente reduz o ruído das estimativas de resposta de
freqüência do canal através de uma transformação linear. Esta transformação
linear é obtida através da multiplicação da estimativa de canal inicialmente
gerada, por uma matriz previamente determinada. Deste modo, a implementação
do algoritmo que reduz o ruído das estimativas de resposta de freqüência do canal
é simples e efetiva.
A idéia da redução de ruído da estimativa de resposta de freqüência do canal
em sistemas OFDM, já havia sido mencionada anteriormente [22]. No presente
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trabalho, esta metodologia foi desenvolvida independentemente e formulada sob
um novo ponto de vista de projeção em subespaços que permite um tratamento
matemático mais adequado, elegante e com um maior embasamento teórico. Além
disso, aqui a técnica de redução foi examinada em diferentes cenários e aplicada
conjuntamente com filtragem adaptativa a fim de se obter uma redução contínua
do ruído na estimação da resposta de freqüência do canal.
Esta dissertação é organizada da seguinte forma. O Capítulo 2 apresenta os
principais conceitos da técnica de transmissão OFDM, a transmissão digital de
sinais OFDM e os sistemas CP-OFDM (Cyclic Prefix -Orthogonal Frequency
Division Multiplexing ) e ZP-OFDM (Zero Padding - Orthogonal Frequency
Division Multiplexing).
O Capítulo 3 trata da modelagem de sinais, onde é apresentado o modelo
discreto para a transmissão de sinais OFDM.
Neste capítulo também são
apresentados os tipos de canal de propagação utilizados nesta dissertação.
O Capítulo 4 apresenta o método de estimação do canal de propagação por
meio de blocos de símbolos piloto no receptor OFDM, antes e após o estágio de
DFT (Discrete Fourier Transform) na recepção. Neste capítulo é proposta uma
técnica de redução do ruído das estimativas de canal geradas através deste
método. As simulações de desempenho são apresentadas no final do capítulo.
O Capítulo 5 apresenta os conceitos de filtragem adaptativa como um
método de refinamento da estimativa gerada através do método de bloco de
1. Introdução
14
símbolos piloto. É apresentada a aplicação conjunta da filtragem adaptativa com a
técnica de redução de ruído da estimativa de canal, proposta no capítulo anterior.
As simulações de desempenho são apresentadas no final do capítulo.
Finalizando, o Capítulo 6 apresenta as conclusões desta dissertação e
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sugestões para trabalhos futuros.
15
2
Técnica de Transmissão OFDM
Na área de telecomunicações, novas aplicações estão surgindo como, por
exemplo, o desenvolvimento da transmissão terrestre de TV com modulação
digital, o que necessita um grande compromisso entre a taxa de bits transmitidos e
a largura de banda. Para os atuais sistemas multimídia, as taxas de bits variam de
alguns kbps (para voz), até 20 Mbps, para HDTV (High Definition Television), a
televisão de alta definição.
Ao se enfrentar esta questão, o primeiro ponto que surge é como transmitir
uma grande quantidade de bits/s no ar garantindo-se a qualidade do serviço, isto é,
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que modulação poderá atender, da melhor maneira, os compromissos
contraditórios (taxa de bits e largura de banda). O ambiente de propagação
terrestre é severo devido à existência de muitas ondas refletidas, ou seja, um
ambiente de propagação multipercurso, o que provoca desvanecimento seletivo do
sinal transmitido, além de outros efeitos. Uma solução poderia ser a utilização de
técnicas de equalização no receptor; no entanto, existem dificuldades práticas
relacionadas à maneira de se operar esta equalização em tempo real nas taxas da
ordem de Mbps e utilizando-se um hardware compacto e de baixo custo. Um
candidato promissor que elimina a necessidade de complexos equalizadores é o
OFDM, uma técnica de modulação que utiliza múltiplas portadoras [4].
Aplicações do tipo Wireless LAN, que utilizam taxas de transmissão desde
20Mbps até 100Mbs para as redes de alta velocidade, e outras aplicações
modernas, que exigem taxas cada vez maiores, sofrem severamente com os feitos
do desvanecimento seletivo. A solução utilizada pelos sistemas de transmissão
serial tradicionais, que utilizam uma simples portadora, é o uso de equalização
para combater a interferência entre símbolos (ISI), causada pelo espalhamento de
retardo do canal, tipo de degradação comum em canais de propagação
multipercurso. Entretanto, quanto maior a taxa de transmissão desejada, maior
será a ISI e maior será a complexidade (maior número de taps) do equalizador.
Assim uma forma mais eficiente de equalização ou uma nova técnica de
transmissão deve ser buscada. Um sistema de transmissão baseado na modulação
16
2. Técnica de Transmissão OFDM
multiportadora, também chamado de sistema de transmissão paralelo ou
multiplexado, surge então como uma alternativa para aliviar os problemas do
sistema serial, que utiliza modulação com portadora simples. A modulação
multiportadora se enquadra nesse último caso e será analisada em detalhes a
seguir, com o propósito de entender como ela consegue diminuir os problemas da
modulação com portadora simples mencionados.
Uma vantagem da técnica de transmissão paralela ou multiportadora, sobre
a transmissão serial, e talvez a principal, é a redução da sensibilidade do sistema
ao espalhamento de retardo do canal, e portanto, à interferência entre símbolos.
Ao dividir o sinal de entrada com uma alta taxa de transmissão, R, em M sinais
com uma baixa taxa (
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desses
M
novos
R
), que são transmitidos por M subportadoras, cada um
M
sinais
irá
agora
experimentar
um
desvanecimento
aproximadamente plano em freqüência, ao contrário do sinal de banda larga
original, que sofre o efeito severo do desvanecimento seletivo do canal rádio
móvel. Analisando sob outro ponto de vista, para o sistema paralelo, o intervalo
de símbolo é aumentado de um fator M reduzindo, portanto, a sensibilidade ao
espalhamento de retardo do canal e à interferência entre símbolos associados [5].
A técnica de transmissão OFDM consiste na transmissão paralela de dados
em subportadoras ortogonais [4], [5], [6], [7]. Em cada subportadora é transmitida
uma seqüência de pulsos modulados digitalmente (modulação AM-PM), com um
valor reduzido para a taxa de transmissão de símbolos.
Primeiramente, é considerado o caso onde uma seqüência de bits é usada
para modular um sistema de transmissão digital de única portadora (M = 1). Para
símbolos de duração Ts, o sinal de transmissão ssc(t) é dado pela seguinte
expressão:
s sc (t ) = ℜ(m(t )e j 2πf c t )
(2-1)
onde fc representa a freqüência da portadora para transmissão em rádio freqüência
(RF), m(t) representa a envoltória complexa de s(t) com relação a freqüência fc e o
termo ℜ denota a parte real do termo entre parênteses.
2. Técnica de Transmissão OFDM
17
A envoltória complexa de ssc(t),pode ser representada pela seguinte equação:
m(t ) =
∞
∑d
n = −∞
onde
n
g (t − nTs )
(2-2)
dn ∈ ( Ai + jBi ) iM=1 , representa o ponto na constelação do esquema de
modulação AM-PM transmitido no n-ésimo intervalo de sinalização e g(t) denota
o pulso formatador do sinal na transmissão.
Com o uso de pulsos formatadores de Nyquist, a largura de faixa equivalente
de ruído ocupada pelo sistema de transmissão de única portadora (Bs) é dada por:
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Bs =
1
2Ts
(2-3)
A largura de faixa ocupada por cada uma das M subportadoras OFDM (Bsub)
é definida como:
B sub =
Bs
M
(2-4)
Assim a taxa de símbolos de cada subportadora OFDM é reduzida por um
fator igual a M, o número de subportadoras do sistema OFDM. Isto implica em
um aumento da duração dos pulsos transmitidos por cada subportadora.
Sendo assim, os valores de T e de Bofdm, definidos como a duração dos
símbolos e a largura de faixa de um sistema de transmissão OFDM,
respectivamente, são dados por:
T = MTs
(2-5)
Bofdm = MB sub = B s
(2-6)
2. Técnica de Transmissão OFDM
18
Assim o valor da banda ocupada por um sistema OFDM, dado em (2-6), é
igual ao valor obtido para um sistema de transmissão de única portadora, dado em
(2-4).
Entretanto, por empregar uma transmissão paralela de dados em
subportadoras ortogonais estreitas, a técnica de transmissão OFDM torna o
sistema de transmissão mais robusto aos efeitos da seletividade em freqüência,
visto que há um aumento intervalo de duração dos pulsos transmitidos em cada
subportadora. O uso de pulsos de maior período torna o sistema mais imune aos
efeitos de espalhamento de retardo do canal canais de propagação multipercurso.
Os tipos de canal de propagação serão detalhados no próximo capítulo.
A técnica OFDM constitui uma evolução da técnica FDM (Frequency
Division Multiplexing), a qual se utiliza de bandas de guarda para separar os
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espectros dos sinais de cada subportadora do sinal de transmissão. Isto resulta em
desperdício de faixa de freqüências, fato inadmissível nos sistemas de transmissão
atuais.
Para contornar este problema, a técnica OFDM utiliza-se da sobreposição
espectral de M subportadoras, com espaçamento em freqüência dado por Δf =
1
.
T
O termo T representa o intervalo de duração de um símbolo OFDM. Note que
cada símbolo OFDM é formado por um conjunto de M subsímbolos de um
esquema de modulação AM-PM, ambos de duração Ts.
Verifica-se que o uso da sobreposição espectral garante um melhor
aproveitamento da largura de faixa de freqüências destinada ao sistema.
Apesar de haver sobreposição espectral, os espectros dos sinais de cada
subportadora são matematicamente ortogonais entre si, o que permite a
demodulação dos feixes de símbolos recebidos, na condição de sincronismo de
portadora e de relógio na recepção.
O espaçamento entre subportadoras é determinado de forma que cada
subportadora seja alocada na posição dos nulos espectrais das demais,
preservando a condição de ortogonalidade no domínio da freqüência. Para tanto,
os pulsos utilizados na transmissão para cada subportadora devem ser retangulares
com isso, de acordo com as propriedades da Transformada de Fourier, o espectro
em cada um dos subcanais terá a forma de uma sinc(f) centrada na freqüência da
19
2. Técnica de Transmissão OFDM
subportadora correspondente aquele subcanal. Os zeros da sinc(f) ocorrem a
distâncias
1
(onde k é um inteiro), da freqüência da subportadora, de tal forma
T
que, se as subportadoras forem espaçadas de
1
não haverá superposição de
T
espectro nas freqüências centrais onde a informação estará contida. Dessa forma
teremos a ortogonalidade das subportadoras e a informação poderá ser totalmente
recuperada com uma demodulação/equalização no domínio da frequência. Na
Figura 2.1 temos o espectro de freqüência de um sinal OFDM em banda básica
mostrando a superposição entre as sincs de cada subportadora para compor o
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espectro total:
Figura 2.1 – Ortogonalidade no domínio da freqüência.
Por outro lado, a ortogonalidade no domínio do tempo decorre do fato de
que cada subportadora possui exatamente um número inteiro de ciclos dentro de
um intervalo de duração de um símbolo OFDM. Preservada a condição de
ortogonalidade observa-se que, no domínio do tempo, duas subportadoras
quaisquer do sinal de transmissão OFDM em banda básica diferem exatamente de
um número inteiro de ciclos, como pode ser observado na Figura 2.2.
20
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
2. Técnica de Transmissão OFDM
Figura 2.2 – Ortogonalidade no domínio do tempo
2.1
Transmissão e Recepção do sinal OFDM
Os sinais de cada uma das M subportadoras do sistema OFDM podem ser
expressos da seguinte forma:
⎧ℜ(d i e j 2π ( f i + f c ) t ), t ∈ [0, T ]
s i (t ) = ⎨
0, t ∉ [0, T ]
⎩
com fi
+1
– fi =
i = 0 , 1 , 2 , ... , M - 1
(2-7)
1
e os termos complexos di representam o mapeamento dos
T
símbolos na constelação do esquema de modulação empregado na subportadora
de ordem i. O sinal si(t) pode ser expresso como:
21
2. Técnica de Transmissão OFDM
s i (t ) = ℜ(d i e
i
j 2π ( ) t
T
e j 2πf c t ),0 ≤ t ≤ T
(2-8)
Para cada intervalo de duração T, o sinal de transmissão OFDM,
representado por sofdm(t), é formado pela combinação dos sinais modulados nas
subportadoras do sistema. Para isto, um conjunto de M sub-símbolos é utilizado
para formar cada símbolo OFDM, sendo que cada sub-símbolo modula apenas
uma das subportadoras do sistema. Se g(t) denota a expressão do pulso
formatador, definido como um pulso retangular unitário com duração T, o sinal
sofdm(t) e sua envoltória complexa s(t) em relação à freqüência fc, são dados por:
M −1
s ofdm (t ) = ℜ( ∑ d i g (t )e
i
j 2π ( ) t
T
e j 2πf ct ),0 ≤ t ≤ T
(2-9)
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i =0
s (t ) =
M −1
∑ d i g (t )e
i
j 2π ( ) t
T
,0 ≤ t ≤ T
(2-10)
i =0
A recepção do sinal OFDM pode ser implementada, baseando-se na
ortogonalidade das subportadoras si(t), por meio de uma estrutura de correlatores
ou filtros casados, conforme ilustrado na Figura 2.3:
∫
T
∫
T
o
(.)
r1 = s1 + n1
b1(t)
r(t) = s(t) + n(t)
.
.
o
(.)
rM = sM + nM
bM(t)
Figura 2.3 – Equivalente banda básica do esquema geral de receptor ótimo utilizando
correlator (projeção nas bases)
22
2. Técnica de Transmissão OFDM
Para esta estrutura, a envoltória complexa do sinal na recepção representado
por r(t), é formada pela soma da envoltória complexa s(t) do sinal de transmissão
OFDM com a envoltória complexa do ruído no receptor n(t).
No receptor, o sinal r(t) é correlacionado com funções base do tipo:
bi (t ) = e − ( j 2πfti +θ ) ,0 ≤ t ≤ T
i = 0 , 1 , 2 , ... , M - 1
(2-11)
Notando-se, a partir da Figura 2.3, que ri representa a saída do i-ésimo
correlator tem-se:
T
ri = ∫ e
− ( j 2πft i +θ )
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0
ri = n i + e
− jθ
k
k
( j 2π t )
( j 2π t ) ⎤
⎡ M −1
⎤
T
T − ( j 2πft +θ ) ⎡ M −1
− ( j 2πfti +θ )
i
T
T
+ n(t )⎥ dt = ∫ n(t )e
+∫ e
⎢∑ d k e
⎢∑ dk e
⎥ dt
0
0
⎣ k =0
⎦
⎣ k =0
⎦
k −i
t)
⎡ M −1
⎤
T ( j 2π
T
dt ⎥
⎢ ∑ d k ∫0 e
⎣ k =0
⎦
(2-12)
Sendo as funções bi(t) ortogonais:
∫
T
0
⎧T , se i = k
bi* (t )bk (t ) = ⎨
⎩ 0, se i ≠ k
(2-13)
como as parcelas do somatório em (2-13) são nulas pra i ≠ k obtem-se:
ri = Te-jθdi + ni
(2-14)
Na condição de sincronismo de portadora (θ = 0) e relógio, a saída do iésimo correlator corresponde ao símbolo mapeado na constelação do esquema
AM-PM da i-ésima subportadora, acrescido de uma parcela devido ao ruído. Esta
saída é encaminhada a um receptor de mínima distância.
Como podemos notar pelas Figuras 2.3, uma implementação paralela é
totalmente inviável na prática, já que seriam necessários bancos de M osciladores
23
2. Técnica de Transmissão OFDM
e filtros analógicos, e o número de subportadoras M que justificam a escolha da
técnica OFDM costuma ser da ordem das centenas ou milhares.
Na década de 70, o conceito de modulação multiportadora em que se baseia
OFDM já havia sido descoberto e estudado, contudo, não havendo tecnologia
naquela época que permitisse a sua implementação, a idéia ficou apenas em
caráter teórico. A partir da segunda metade da década de 80, com o avanço na
microeletrônica e o surgimento dos DSPs, surgiram então os primeiros protótipos
de sistemas com modulação OFDM, utilizando implementações baseadas em FFT
(Fast Fourier Transform) [7], [8] como será visto na próxima seção.
2.2
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Geração e detecção dos sinais por meio de IDFT/DFT
A abordagem matemática do sinal OFDM na transmissão e recepção recai
na transformada discreta de Fourier (DFT) [5], [7], [9], [10] devido ao uso de um
número finito de M subportadoras.
Considere o equivalente passa-baixa de um símbolo OFDM, dado em (210), e repetido aqui por conveniência:
M −1
s (t ) = ∑ d i e
n
j 2π ( ) t
T
,0 ≤ t ≤ T
(2-15)
n =0
onde M representa o número de subportadoras, T é o intervalo de duração dos
símbolos OFDM e os termos di denotam os sub-símbolos mapeados nas
constelações dos esquemas de cada subportadora. O sinal s(t) amostrado M vezes,
nos instantes t = lTs, é dado por:
M −1
s (lTs ) ≡ s l = ∑ d n e
j 2πl (
n
)
N
, l = 0,1,..M- 1
(2-16)
n =0
A aplicação da DFT sobre um vetor qualquer de entrada x (de M
componentes) gera um vetor X, cujas componentes são dadas por:
24
2. Técnica de Transmissão OFDM
X( k ) =
1
M
M −1
∑ x(n)e
− j 2πk (
n
)
M
,0 ≤ k ≤ M − 1
(2-17)
n=0
O fator multiplicativo
1
foi colocado em (2-17) apenas por conveniência,
M
sem perda de generalidade.
Aplicando-se a transformada inversa de Fourier (IDFT) sobre o vetor X
retorna-se ao vetor x. As componentes de x são obtidas das componentes de X por
meio de:
x ( n) =
M −1
∑ X(k )e
− j 2πk (
n
)
M
,0 ≤ n ≤ M − 1
(2-18)
k =0
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Comparando (2-16) com a definição para a operação de IDFT, dada em (218), tem-se:
s (lTs ) ≡ sl =
M −1
∑d
n =0
n
e
j 2πl (
n
)
N
≡ IDFT (d k ), l = 0,1,..., M − 1
(2-19)
Assim a amostra da envoltória complexa do sinal de transmissão OFDM,
s(t), pode ser obtida por meio da aplicação do algoritmo IDFT sobre a seqüência
dk (k = 0, 1, ..., M –1), gerando M amostras de s(t), seguidas de um filtro passa-
baixa para interpolar as amostras geradas.
Equivalentemente, o sinal de recepção OFDM pode ser obtido amostrandose o sinal recebido a uma taxa de
1
e, aplicando-se o algoritmo de DFT sobre
Ts
cada bloco de M amostras recebidas. Em condições ideais do canal de propagação
essa operação fornece os valores dk , uma vez que:
1
d k ≡ DFT ( s(lTs )) ≡
M
^
M −1
∑s e
l =0
l
j 2π (
kl
)
N
(2-20)
25
2. Técnica de Transmissão OFDM
1
dk =
M
^
2π
M −1 M −1
∑ ∑d
l =0 n =0
n
e
jM
( n−k )l
1
=
M
2π
j ( n−k ) M
⎡
1
1− e M
dk =
dn ⎢
∑
2π
j ( n−k )
M n =0 ⎢
⎢⎣ 1 − e M
^
M −1
⎛ M −1 ⎡ j 2π ( n − k ) ⎤ l ⎞
⎟
d n ⎜ ∑ ⎢e N
⎥ ⎟
∑
⎜
n =0
⎦ ⎠
⎝ l =0 ⎣
M −1
⎤
⎥=d
k
⎥
⎥⎦
(2-21)
(2-22)
Assim foi definido o processo de geração e detecção do sinal OFDM que
pode ser realizado utilizando processamento digital de sinais, lançando mão das
propriedades da Transformada Discreta de Fourier (DFT) que pode ser calculada
de forma rápida e eficiente através do algoritmo FFT (Fast Fourier Transform).
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2.3
Intervalo de guarda – sistemas CP e ZP-OFDM
Uma das principais vantagens do uso da técnica de transmissão OFDM é
sua robustez contra o espalhamento de retardo do canal (τrms) [4]. O aumento do
tempo de duração dos símbolos (T = MTs) eleva a tolerância do sistema aos efeitos
do espalhamento de retardo, pois há uma redução no valor da relação entre τrms e
T, tornando o sistema mais imunine a ISI, ou para sistemas OFDM, IBI (InterBlock Interference – Interferência entre Símbolos OFDM).
Para reduzir os efeitos da IBI sobre o sinal recebido, um intervalo de guarda
de duração Tg é introduzido em cada símbolo OFDM. Este intervalo deve ser
dimensionado de forma que, na transmissão de um determinado símbolo OFDM,
a resposta da convolução entre o sinal transmitido e o canal de propagação não
interfira na recepção do símbolo seguinte [9]. Com a inserção do intervalo de
guarda, a duração de um símbolo OFDM (Tofdm) passa a ser definida por:
Tofdm = T + Tg
(2-23)
O intervalo de guarda pode ser formado pela extensão cíclica do símbolo ou
pelo preenchimento de zeros. No primeiro caso, o intervalo de guarda é
acrescentado no ínicio de cada símbolo OFDM, de forma a gerar o sinal de
2. Técnica de Transmissão OFDM
26
transmissão CP-OFDM (Cyclic Prefix – Orthogonal Frequency Division
Multiplexing). No segundo caso, a inserção de zeros é feita no final de cada
símbolo OFDM, e deste modo obtém-se o sinal de transmissão ZP-OFDM (Zero
Padding – Orthogonal Frequency Division Multipexing).
Na transmissão CP-OFDM, a extensão cíclica corresponde à inserção, no
início de cada símbolo OFDM, de uma cópia do bloco formado pelas G =
Tg
Ts
últimas amostras deste símbolo. Note que, para o receptor CP-OFDM
convencional, as informações contidas no intervalo de guarda são descartadas no
receptor [9], logo somente as M amostras, contidas no intervalo T, são utilizadas
para o cálculo da operação de DFT.
Na transmissão ZP-OFDM, o símbolo OFDM correspondente é preenchido
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com G amostras zero, o que permite eliminar a IBI na recepção. É importante
destacar que, nesta dissertação, considera-se o receptor ZP-OFDM onde as
informações contidas no intervalo de guarda não são descartadas [1], mas
utilizadas no cálculo da operação de DFT.
O número de amostras considerado para dimensionar o tamanho do
intervalo de guarda, em cada um dos sistemas, é função do valor de espalhamento
de retardo do canal (τrms), que será definido no Capítulo 3. Os efeitos do canal de
propagação, [10], [11], [12], [13], [14] sobre as componentes do sinal de
transmissão OFDM é assunto do próximo capítulo. Entretanto, se os valores de
τrms forem menores que a duração Tg, ou alternativamente o número de amostras
G for maior que o comprimento em amostras do canal de propagação, definido
como L, haverá ausência de interferências entre as subportadoras que compões
cada símbolo OFDM. Deste modo, não haverá ICI (Inter-Carrier Interference –
Interferência entre subportadoras), e assim não há perda de ortogonalidade entre
as subportadoras na recepção.
Na próxima sub-seção o processo de transmissão e recepção do sinal OFDM
bem como os seus parâmetros de projeto.
27
2. Técnica de Transmissão OFDM
2.4
Processamento do sinal OFDM na transmissão e recepção
Os principais parâmetros para o projeto de um sistema de transmissão
OFDM são: a largura de faixa de freqüências (Bs), a taxa de transmissão requerida
para o sistema (R) e o espalhamento de retardo do canal (τrms).
O projeto do sistema de transmissão OFDM também deve considerar o
espalhamento Doppler do canal [11], [12], [13], [14] definido como o
deslocamento da freqüência da portadora, e a degradação da SNR (Signal-toNoise Ratio – Relação Sinal Ruído) devido ao ruído de fase e aos desvios de
freqüência [15], [9].
Com base no espalhamento de retardo do canal multipercurso (τrms), define-
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se a duração do intervalo de guarda, representado por Tg [9]. De acordo com o tipo
de transmissão desejado, CP ou ZP-OFDM, aplica-se a extensão cíclica ou a
inserção de zeros, respectivamente, ambas contendo G amostras. Ao adicionar o
intervalo de guarda, os símbolos OFDM passam a ter duração Tofdm, dada em (223).
Entretanto, deve-se atentar para o fato de que o descarte das amostras
contidas no intervalo de guarda, durante o processamento do sinal CP-OFDM na
recepção, insere uma degradação na SNR do sistema, dada por [10]:
SNR perda = −10 log(1 −
Tg
Tofdm
)
(2-24)
Para minimizar o valor de SNRperda, a duração de um símbolo OFDM
(Tofdm) deve ser muito maior que o valor do intervalo de guarda (Tg). No entanto,
um alto valor para Tofdm implica na necessidade de um número maior de
subportadoras para o sistema [9], aumentando a sua complexidade.
Determinada a duração de cada símbolo OFDM, o número de subportadoras
é obtido pela razão entre a banda disponível para o sistema (Bs) e o espaçamento
entre subportadoras ( Δf =
1
). Atendidos os requisitos relativos a τrms e a Bs taxa
T
de transmissão requerida para o sistema (R), bem como o desempenho em termos
28
2. Técnica de Transmissão OFDM
da BER (Bit Error Rate - Taxa de Erro de Bit), são obtidos por meio da escolha
de um esquema de modulação AM-PM apropriado para ser empregado nas
subportadoras.
O processamento dos sinais na transmissão e recepção de um sistema de
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OFDM [9] é ilustrado na Figura 2.4.
Figura 2.4 – Detalhamento da transmissão e recepção para o sistema OFDM
Após a codificação dos bits de entrada, o processamento do sinal de
transmissão OFDM inicia-se com o mapeamento de blocos de M sub-símbolos (de
duração Ts) nas constelações associadas aos esquemas de modulação de cada uma
das M subportadoras do sistema, gerando a seqüência {d k }k =0 .
M −1
Conforme visto da seção 2.3, a IDFT desta seqüência corresponde às
amostras, tomadas a uma taxa de
T = MTs.
1
, do sinal s(t), dado em (2-10) e de duração
Ts
2. Técnica de Transmissão OFDM
29
As amostras da envoltória complexa do sinal de transmissão OFDM s(t),
concatenadas com as amostras inseridas no intervalo de guarda, são aplicadas em
um digital/analógico (D/A), de forma a gerar o sinal que irá modular a portadora
de alta freqüência, cujo espectro está centrado na freqüência fc.
O processamento do sinal de recepção OFDM inicia-se com a demodulação
do resultado da convolução entre o sinal de transmissão em alta freqüência e a
resposta impulsional do canal de propagação. O sinal demodulado é aplicado em
um conversor analógico/digital (A/D), de modo a gerar as P = M + G amostras do
símbolo OFDM a serem processadas pelo receptor.
Primeiramente, estas amostras são aplicadas em processos de sincronização
do intervalo de duração dos blocos e compensação de possíveis erros de
sincronização de freqüência. Terminada esta etapa, para sistemas de transmissão
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CP-OFDM convencional, as amostras contidas no intervalo de guarda com
extensão cíclica são removidas do conjunto de amostras do sinal corrigido em
freqüência. No caso do sinal ZP-OFDM, o intervalo de guarda é preservado, o que
implica em um redimensionamento da operação DFT no receptor, com objetivo de
contemplar a dimensão P do bloco de observações. Maiores detalhes serão vistos
no próximo capítulo.
Em ambos os sistemas, o bloco de amostras do sinal corrigido em
freqüência é submetido à operação de DFT, de forma a obter, na recepção, as
estimativas dos sub-símbolos dk transmitidos. Estas estimativas, por sua vez, são
desmapeadas e, após a etapa de decodificação do canal, geram os bits de
informação.
2.5
Vantagens e desvantagens do uso da técnica a OFDM
Dentre as vantagens da técnica OFDM, verifica-se que sua aplicação torna o
sistema de transmissão digital mais robusto aos efeitos da seletividade em
freqüência [5], [9], expressos em termos do espalhamento de retardo do canal
(τrms). Isto decorre do aumento no tempo de duração dos símbolos transmitidos em
cada subportadora (T = MTs).
2. Técnica de Transmissão OFDM
30
Uma outra vantagem é a capacidade de eliminar a IBI (interferência entre
símbolos OFDM), e em muitos casos a ISI (interferência entre subsímbolos), ao se
utilizar o intervalo de guarda em cada símbolo OFDM transmitido.
Por empregar a transmissão paralela de dados em subportadoras de largura
de faixa estreita, a técnica OFDM permite aproximar as respostas em freqüência
das parcelas do canal ao caso ideal de planura na resposta em amplitude e
linearidade na resposta em fase. O conjunto resultante de canais paralelos estreitos
no domínio da freqüência caracteriza um cenário de desvanecimento plano, o que
vem a simplificar as necessidades de equalização.
Os sistemas de transmissão OFDM apresentam maior robustez ao ruído
impulsivo, devido ao aumento no tempo de duração dos símbolos. Caso hajam
erros provocados por ruído de rajada, os símbolos podem ser recuperados na
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recepção por meio de esquemas apropriados de codificação, como o uso de
técnicas de interleaving [16].
Dentre as desvantagens da técnica OFDM, verifica-se a incompatibilidade
do uso do esquema convencional de transmissão em canais seletivos em
freqüência com desvanecimento, uma vez que a informação transmitida em uma
subportadora pode ser perdida, na presença de um desvanecimento profundo, caso
do sistema CP-OFDM [9]. Por conta disto, métodos de codificação são
combinados com técnicas de interleaving [16], para combater os efeitos do
desvanecimento.
No caso do interleaving no domínio do tempo, os bits são enviados em
instantes distintos, com intervalos maiores que o tempo de coerência do canal, que
será introduzido no Capítulo 3. Este método é aplicável em ambientes
caracterizados por apresentar desvanecimento rápido. Entretanto, isto implica em
retardo na transmissão de dados o que muitas vezes é intolerável.
O interleaving no domínio da freqüência é recomendado para ambientes
com alto grau de espalhamento. Os bits codificados são enviados em bandas de
freqüências distintas, separadas pela largura de faixa de coerência do canal.
Outra desvantagem da técnica OFDM é o problema de picos de potência
[17]. A envoltória complexa do sinal de transmissão OFDM pode apresentar altas
excursões de amplitude. O sinal OFDM em banda básica é formado pela soma de
M sinais complexos modulados em diferentes freqüências. Em alguns casos, estes
2. Técnica de Transmissão OFDM
31
sinais poderão se somar ou anular em fase, resultando em um alto valor para a
PAPR (Peak-to-Average Power Ratio) do sistema. Neste cenário, o amplificador
de potência do transmissor irá introduzir distorções não-lineares que por sua vez
irão destruir a ortogonalidade entre subportadoras.
A técnica OFDM também é vulnerável a desvios de freqüência, como
também a problemas de sincronização na freqüência [15]. Os desvios de
freqüência provocam a perda da ortogonalidade entre as subportadoras do sistema.
Já os erros de sincronização provocam um deslocamento de fase nos símbolos
estimados. A sensibilidade de sistemas OFDM com relação aos desvios de
freqüência das subportadoras e ruído de fase são analisados em [15].
Em particular, o OFDM é mais sensível a estes tipos de degradação do que
os sistemas de transmissão de única portadora, sendo que a sensibilidade cresce
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com o tamanho da constelação empregada, devido ao fato dos símbolos OFDM
serem de maior duração (T = MTs), além da presença de interferências quando há
perda de ortogonalidade entre as subportadoras.
Neste capítulo foram apresentados os principais conceitos da técnica de
transmissão OFDM onde foram abordados os detalhes do processo de transmissão
de sinais CP-OFDM e ZP-OFDM, bem como as vantagens de desvantagens do
uso da técnica OFDM. No próximo capítulo são apresentados os modelos
discretos para a transmissão de sinais CP-OFDM e ZP-OFDM , juntamente com a
definição dos tipos de canal de propagação utilizados nesta dissertação.
32
3
Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
A técnica de transmissão OFDM efetua a transmissão paralela de dados em
subportadoras ortogonais de banda estreita. O n-ésimo símbolo OFDM é formado
por blocos de sub-símbolos da forma [1], [6], [18]:
d(n) = [ d1(n) d2(n) : : : dM(n)]T
(3-1)
onde M representa o número de subportadoras do sistema e os termos di(n)
representam os sub-símbolos mapeados na constelação do esquema de modulação
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AM-PM empregado. Nesta dissertação os termos di(n) são considerados, sem
perda de generalidade, com energia unitária (Es = 1) e i.i.d. (estatisticamente
independentes e igualmente distribuídos).
A duração dos símbolos OFDM, definida como T, pode ser expressa em
função de Ts, a duração dos sub-símbolos em cada subportadora. O valor de T e
dado por:
T = MTs
(3-2)
As principais implementações de um sistema de transmissão OFDM são CP
e ZP-OFDM. Estes sistemas utilizam-se de intervalos de guarda com extensão
cíclica e inserção de zeros, respectivamente. Com a inserção do intervalo de
guarda, a duração de um símbolo OFDM (Tofdm) passa a ser definida por:
Tofdm = T + Tg
(3-3)
Nesta Seção é apresentado o modelo discreto de transmissão de sinais
OFDM. Este modelo é utilizado para descrever a transmissão de sinais dos
sistemas CP e ZP-OFDM.
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
33
Para formar o n-ésimo símbolo de transmissão OFDM, aplica-se a operação
de IDFT de N pontos sobre o vetor de subsímbolos d(n) de dimensão Mx1. A
figura 3.1 ilustra o processo discreto de geração do sinal de transmissão de apenas
um símbolo OFDM, onde se supôs n = 0, sendo este índice suprimido
temporariamente por conveniência de notação. Note-se ainda que a inserção de
um intervalo de guarda não é considerado aqui. Isto será feito mais adiante, nas
sub-seções 3.1 e 3.2.
{di }
M
IDFT
i =1
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dM
...
d2
d1
WM
{si }iM=1
∑ s p(t − iT )
D/A
H
d
M
i =1
s
i
s = WMH d
Figura 3.1 – Transmissão do sinal OFDM
Na Figura 3.1, o termo WMH representa a matriz para a operação de IDFT,
de dimensão MxM.
Os elementos da matriz WMH são dados por:
ik
Wi ,k =
1 j 2π N
e
i,k = 0,..., M – 1
N
(3-4)
No instante n, o vetor s(n) = WMH d(n) de dimensão Mx1, representa o sinal
de transmissão OFDM no "domínio do tempo". O sinal de transmissão OFDM em
banda básica, definido como s(t), é obtido por meio da aplicação do vetor s na
entrada do conversor digital/analógico, que é detalhado na Figura 3.2.
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
sM
s2
s1
M
s(t ) = ∑ si p (t − iTs )
...
Ts
34
i =1
Formatador
p(t)
MTs
M
∑ s δ (t − iT )
i =1
i
s
Figura 3.2 – Conversor Analógico/Digital
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O pulso p(t) representa o pulso formatador para o sinal de transmissão
OFDM e o sinal de transmissão s(t) é definido no intervalo 0 ≤ t ≤ T.
A Figura 3.3 ilustra o processo de recepção do sinal OFDM:
hc(t)
hd(t)
r(t) = z(t) + no(t)
r(lTs)
s(t)
n(t)
t=lTs ; i=1,...,M
Figura 3.3 – Recepção do sinal OFDM
Na Figura 3.3, o sinal z(t) é definido por z(t) =
∑ s h(t − iT )
i
s
onde h(t) é
i
dado pela convolução entre o pulso formatador p(t), o filtro de detecção hd(t) e a
resposta impulsional do canal de propagação hc(t). Assim h(t)= p(t) ∗ hd(t) ∗ hc(t).
De igual modo, o sinal n(t) representa a filtragem do ruído gaussiano branco n(t)
pelo filtro de detecção hd(t), sendo expresso por no(t) = n(t) ∗ hd(t).
Os sinais z(t) e no(t) são usados para representar o sinal de observação r(t).
No instante de amostragem t = lTs tem-se:
r (lTs ) = z (lTs ) + no (lTs )
(3-5)
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
35
onde as amostras de no(t) são estatisticamente independentes. Esta suposição é
verdadeira quando, por exemplo o filtro de detecção hd(t) é casado ao pulso
formatador p(t) e o pulso resultante da convolução hd(t) ∗ p(t) atende ao primeiro
critério de Nyquist que evitaria interferência entre símbolos em canais não
dispersivos. Neste caso, as amostras de no(t) tomadas à intervalos de sub-símbolos
Ts são descorrelatadas e conseqüentemente independentes visto que o ruído n(t) é
gaussiano.
Em (3-5), o índice l referencia uma amostra obtida para o símbolo OFDM
considerado durante o intervalo 1 ≤ l ≤ M. Usando-se a notação h(l) ≡ h(lTs), o
sinal z(t) pode ser expresso, nos instantes de amostragem, da seguinte forma:
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z(l)≡ z(lTs) =
∑ s h((l − i)T ) = ∑ s h
i
i
s
l −i
= sl ∗ hl
(3-6)
i
i
Considerando que cada amostra z(l) é resultado da convolução discreta da
seqüência sl com a seqüência hl, o modelo discreto para a recepção do sinal
OFDM é representado na Figura 3.4.
Filtro
discreto
{sl }lM=1
{zl }lM=1+ L
{rl }lM=1+ L
h(l)
s = WM Hd
z
Duração de
L amostras
n
r=z+n
Figura 3.4 – Modelo equivalente para recepção OFDM
Para um instante genérico n e considerando-se por enquanto a transmissão e
recepção de um único símbolo OFDM, o sinal que chega ao receptor,
representado pelo vetor z(n), é dado por:
z(n) = H s(n) = H WMH d(n)
(3-7)
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
36
onde o termo H representa a matriz de convolução discreta para o canal h(l). A
matriz H representa uma matriz Toeplitz de dimensão MxM cuja primeira coluna é
dada por: [h0...hL-1 01...0M-L]T
O sinal de observação, representado pelo vetor r(n) é dado por:
r(n) = z(n) + n(n)
(3-8)
onde n(n) representa um vetor de ruído gaussiano na recepção com média nula e
matriz covariância Kn = σ2 I.
Assim tendo descrito o modelo discreto de transmissão OFDM, nas
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próximas seções este modelo é particularizado para os sistemas CP e ZP-OFDM.
3.1
Transmissão e recepção de sinais CP-OFDM
No instante n, o sinal de transmissão CP-OFDM scp(n) é obtido ao se
adicionar um intervalo de guarda ao sinal de transmissão original s(n) = WMH
d(n).
Este intervalo de guarda é formado por um conjunto de G amostras da
extensão cíclica do sinal s(n). Assim o número de amostras transmitidas por
símbolo CP-OFDM é igual a P = M + G.
A Figura 3.5 ilustra o processo discreto de geração do sinal de um símbolo
de transmissão CP-OFDM [1], [19] onde se supôs n = 0, sendo este índice
suprimido temporariamente por conveniência de notação:
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
37
{si }iP= P−G +1
{di }
M
{s }
P
CP ,i i =1
i =1
dM
...
d2
d1
IDFT
.
.
.
S/P
WMH
.
.
.
P/S
{si }iM=1
Figura 3.5 – Modelo discreto de transmissão CP-OPFM
No instante n o sinal de transmissão scp(n) de dimensão Px1 é dado por:
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scp(n) = Mcp d(n)
(3-9)
⎡ WcpH ⎤
onde Mcp= ⎢ H ⎥ e a matriz WcpH é formada pelas últimas G linhas da matriz
⎣ WM ⎦
IDFT WMH.
Considerando o vetor hL = [ho h1 . . . hL-1]T a resposta impulsional do canal
de comprimento L e sendo o ncp (n) um vetor de ruído na recepção, modelo
discreto de recepção de um símbolo CP-OFDM, para o instante n = 0,
é
representado na Figura 3.6:
{s }
Filtro
discreto
P
cp ,l l =1
hL(l)
scp = Mcpd
{z }
zcp
Duração de
L amostras
{r }
P
cp ,l l =1
P
cp ,l l =1
rcp= zcp+ ncp
ncp
Figura 3.6 – Modelo discreto de recepção CP-OFDM
Remoção
do
prefixo
cíclico
{rl }lM=1
{xl }lM=1
WM
r
xcp=WMr
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
38
Em geral, M > G ≥ L-1 e em um sistema real, há transmissão contínua de
símbolos CP-OFDM e, devido à presença do canal, considera-se que há
superposição entre os símbolos CP-OFDM recebidos. Deste modo n-ésima
observação de dimensão Px1 pode ser expressa como [1]:
rcp(n)= HMcpd(n) + HibiMcpd(n-1) + ncp(n)
(3-10)
A matriz H representa uma matriz Toeplitz de dimensão PxP cuja primeira
coluna é dada por: [h0...hL-1 01...0P-L]T
A matriz Hibi é uma matriz Toeplitz triangular superior de dimensão PxP,
que representa a incidência de IBI (Inter Block Interference) sua primeira linha é
dada por [01...0P-L+1 hL-1 ...h1] [1].
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Após a remoção da extensão cíclica no receptor e, desde que G ≥ L-1, a nésima observação de dimensão Mx1 pode ser expressada como [1]:
r(n) = [0 MxG
I MxM ]rcp(n) = Circ(h)WMH d(n) + n(n)
(3-11)
Em (3-10) n(n) é um vetor de ruído de dimensão Mx1com média nula e
matriz covariância:
Kn = [0 MxG
I MxM ] Kncp [0 MxG
I MxM ] = σ2 I
T
(3-12)
Assim a adição e remoção do prefixo cíclico, por meio de matrizes pré
definidas, não altera as estatísticas do vetor ruído.
O termo Circ(h) representa uma matriz circulante de dimensão MxM cuja
primeira coluna dada pelo vetor h = [h0...hL-1 01...0M-L]T
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
⎡ ho
⎢ M
⎢
⎢hL − 2
⎢
Circ(h) = ⎢ hL −1
⎢ 0
⎢
⎢ M
⎢ 0
⎣
0
0
O O
O
O
hL −1 L
O
O
O
39
O
O
O
O O
O O
O
O
O
0
hL −1
hL − 2 L
L
O
h1 ⎤
M ⎥⎥
hL −1 ⎥
⎥
0 ⎥
M ⎥
⎥
0 ⎥
h0 ⎥⎦ MxM
(3-13)
Assim o uso do intervalo de guarda com extensão cíclica permite tratar a
operação de convolução linear entre a resposta ao impulso do canal e o sinal de
transmissão CP-OFDM como uma convolução circular [1],[19].
Após a demodulação com a matriz DFT representada por WM, o sinal
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recebido no domínio da freqüência é dado por [1]:
xcp(n)= WM Circ(h) WMH d(n) + WM n(n)
(3-14)
xcp(n)=D(q)d(n) + n’(n)
(3-15)
Em (3-14) a matriz circulante Circ(h) foi diagonalizada pela pré/pós
multiplicação das matrizes IDFT e DFT, pelo fato de que qualquer matriz
circulante é diagonalizável pela operação da Transformada Discreta de Fourier
[7], [8]. As componentes da matriz diagonal D(q) resultante são formadas pelas
componentes da resposta em freqüência do canal q =
M WM h.
As estatísticas de um vetor gaussiano branco não se alteram com a aplicação
de uma transformação ortogonal (WM), de modo que em (3-14), n’(n) representa
um vetor gaussiano branco com média nula e matriz covariância Kn’ = σ2 I. Assim
os vetores n(n) e n´(n) são equivalentes.
Para canais seletivos em freqüência invariantes no tempo (pelo menos
durante o período de um símbolo OFDM) a matriz circulante Circ(h) pode ser
gerada após a operação DFT no receptor, pois as componentes de h são constantes
durante o bloco de M subsímbolos que formam um símbolo OFDM. Deste modo a
operação de multiplicar o vetor de observação r(n), dado por (3-11), pela matriz
DFT WM resulta em uma matriz diagonal D(q), observado em (3-15), cuja
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
40
diagonal principal são formadas pelas componentes de q. Deste modo verifica-se
através de (3-15) que o i-ésimo subsímbolo de cada bloco fica ponderado por um
fator complexo correspondente a resposta em freqüência do canal na i-ésima
subportadora. Conseqüentemente o canal multipercurso, no domínio do tempo, é
transformado em um conjunto de canais paralelos e estreitos, no domínio da
freqüência, cada qual representando as distorções sofridas pelo sinal nas
subportadoras do sistema caracterizando assim um cenário de desvanecimento
plano [1].
Assim para canais fixos o processo de equalização pós-DFT é simplificado
pois cada sub-símbolo necessita de um equalizador de apenas 1 tap visando
eliminar as distorções multiplicativas provocadas pelo canal na seqüência xcp(n).
Entretanto observa-se que um sub-símbolo di(n) pode não ser recuperado na
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recepção se houver um nulo na resposta de freqüência associado q(i)=0
implicando em uma limitação para os sistemas de transmissão CP-OFDM.
Os equalizadores ZF (Zero Forcing) e MMSE supõem o conhecimento
ideal do canal de propagação no receptor e são representados pelas matrizes G cp
zf e
G cp
mmse de dimensões MxM. Considerando que subsímbolos CP-OFDM possuem
energia unitária, pertencentes a uma constelação AM-PM balanceada e que o
vetor de ruído n(n) possui matriz covariância Kn = σ2 I as matrizes são dadas por:
-1
G cp
zf = D(q)
(3-16)
[
H
G cp
D(q)D(q) H + σ 2 I
mmse = D(q )
]
−1
(3-17)
As matrizes de equalização apresentadas em (3-16) e (3-17) multiplicam as
observações em (3-15) antes da detecção de sinais, implementada com receptor de
mínima distância.
No Capítulo 4, esses equalizadores são usados como figura de mérito para
avaliação do desempenho da estimativa Pós-DFT e Pré-DFT do canal de
propagação.
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
41
3.2
Transmissão e recepção de sinais ZP-OFDM
No instante n, o sinal de transmissão ZP-OFDM szp(n) é obtido ao se
adicionar um intervalo de guarda, composto por uma seqüência de G zeros
[1],[19], ao sinal de transmissão original s(n) = WMH d(n) de dimensão Mx1.
Assim o número de amostras transmitidas por símbolo OFDM é igual a P = M +
G.
A figura 3.7 ilustra o processo discreto de geração do sinal de um símbolo
de transmissão ZP-OFDM [1], [19] onde supôs-se n = 0, sendo este índice
suprimido temporariamente por conveniência de notação:
{di }
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M
l =1
IDFT
S/P
dM
...
d2
d1
.
.
.
WMH
.
.
.
P/S
{0}Gi=1
Figura 3.7 – Sinal de transmissão ZP-OFDM
O sinal de transmissão szp(n) de dimensão Px1 é dado por :
szp(n) = Mzp d(n)
(3-18)
onde:
⎡W H ⎤
Mzp= ⎢ M ⎥ , combina a operação de IDFT(modulação de múltiplas
⎣ 0 ⎦
portadoras) e a técnica de inserção de zeros (zero padding) .
{s }
P
ZP ,i i =1
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
42
Assim como na seção anterior considerando-se o vetor hL = [ho h1 . . . hL-1]T
a resposta impulsional do canal de comprimento L e sendo nzp (n) o vetor de ruído
na recepção, o modelo discreto de recepção de um símbolo ZP-OFDM, para o
instante n = 0, é representado na figura 3.8:
{s }
Filtro
discreto
P
zp ,l l =1
Duração de
L amostras
{x }
P
zp ,l l =1
hL(l)
szp = Mzpd
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{r }
{zl }lP=1
rzp= zzp + nzp
zzp
P
zp ,l l =1
WP
xzp = WPrzp
nzp
Figura 3.8 – Sinal de recepção ZP-OFDM
Assim como no sinal CP-ODFM, considera-se que há superposição entre os
símbolos ZP-OFDM recebidos, e a n-ésima observação do sistema ZP-OFDM, de
dimensão Px1, pode ser expressa como [1]:
rzp(n)= HMzpd(n) + HibiMzpd(n-1) + nzp(n)
(3-19)
Uma característica da técnica ZP-OFDM está no fato de, dado a condição de
G ≥ L-1 , a matriz de zeros de dimensão GxM contida na parte inferior de Mzp,
definida em (3-18), elimina a interferência entre símbolos ZP-OFDM no vetor de
observação rzp(n), uma vez que:
HibiMzp = 0
(3-20)
Deste modo (3-19) se torna:
rzp(n)= HMzpd(n) + nzp(n)
(3-21)
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
43
Assim o sistema ZP-OFDM possui máximo ganho de diversidade, vindo a
recuperar a perda presente nos sistemas CP-OFDM. Isto vem do fato do sistema
ZP-OFDM ser capaz de remover as interferências entre símbolos OFDM
mantendo a operação de convolução linear entre o canal de propagação e
seqüência de símbolos transmitidos. No CP-OFDM, o uso do intervalo de guarda
com extensão cíclica permite tratar a convolução linear entre a resposta
impulsional do canal e o sinal transmitido como uma operação de convolução
circular.
Como foi visto na seção anterior o uso do intervalo de guarda com extensão
cíclica no CP-OFDM permite tratar o canal multipercurso como um conjunto de
canais paralelos estreitos representando as distorções sofridas pelo sinal nas
subportadoras do sistema. Esta propriedade do sistema CP-OFDM pode ser
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observada também em sistemas ZP-OFDM. Visto que o uso do intervalo de
guarda preenchido por zeros permite eliminar a contribuição das G últimas
colunas da matriz de convolução discreta para o canal H, do cálculo da
interferência entre símbolos OFDM observada na detecção de símbolos ZPOFDM. Assim a aplicação da matriz H em (3-21) é equivalente a operação de
convolução circular entre a resposta impulsional do canal e o sinal ZP-OFDM
transmitido, szp.
Assim a matriz H pode ser diagonalizada por meio da operação de DFT de
P pontos. Esta operação é feita a partir da matriz de DFT WP de dimensão PxP.
Este processamento das observações rzp(n) feito no receptor é ilustrado na figura
3.2.2.
Assim aplicando a DFT de P pontos em (3-21) tem-se:
xzp(n) = WPHMzpd(n) + WP nzp(n) = WPH WPH WP Mzpd(n)
= D(q)Vd(n) + n(n)
onde q =
(3-22)
P WP h cuja componentes são a resposta em freqüência do canal para
cada uma das P subportadoras, D(q) é uma matriz diagonal de dimensão PxP,
cuja diagonal é formada pelos elementos de q e V é uma matriz estruturada, de
dimensão PxM, obtida através do produto matricial WP Mzp.
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
44
Através de (3-20) verifica-se, que o l-ésimo subsímbolo fica ponderado por
uma fator complexo que é o resultado do produto da l-ésima componente de q e a
l-ésima linha da matriz V. Assim no sistema ZP-OFDM os subsímbolos não são
zerados diretamente pela resposta em freqüência do canal, diferentemente do
sistema CP-OFDM. Portanto os subsímbolos que se situam em subportadoras cuja
resposta de freqüência do canal são nulos podem ser recuperados.
Para sistemas ZP-OFDM, equalizadores ZF e MMSE também são usados
como figura de mérito para avaliação do desempenho da estimativa Pós-DFT e
Pré-DFT do canal de propagaçã apresentado no Capítulo 4. Os equalizadores ZF e
MMSE supõem o conhecimento ideal do canal de propagação no receptor e são
zp
representados pelas matrizes G zp
zf e G mmse de dimensões PxP. Considerando que
subsímbolos CP-OFDM possuem energia unitária, pertencentes a uma constelação
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AM-PM balanceada e que o vetor de ruído n(n) possui matriz covariância
Kn = σ2 I as matrizes são dadas por:
†
G zp
zf = (D(q)V)
(3-23)
[
zp
G mmse
= V H D(q) H D(q)VV H D(q) H + σ 2 I
]
−1
(3-24)
onde a operação (.)† indica a matriz pseudoinversa.
As matrizes de equalização apresentadas em (3-23) e (3-24) multiplicam as
observações em (3-22) antes da detecção de sinais, implementada com receptor de
mínima distância.
É importante ressaltar que as equalizadores apresentadas em (3-23) e (3-24)
são de mínima norma. O equalizador dado por (3-23) requer a computação da
pseudoinversa de D(q)V, de dimensão PxM, que de maneira geral requer uma
complexidade computacional considerável. Isto motiva o desenvolvimento de
esquemas de equalização de baixa complexidade, porém sub-ótimos, para
receptores ZP-OFDM.
Um esquema subótimo para o equalizador ZF apresentado em (3-23) é dado
por:
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
†
-1
G zp
zf = V D(q)
45
(3-25)
Como V = WP Mzp temos que:
V† = [MzpHWPHWPMzp]-1MzpHWPH = MzpHWPH = VH
(3-26)
Assim (3-25) se torna:
H
-1
G zp
zf = V D(q)
(3-27)
Como a matriz V não é dependente do canal sua pseudoinversa V†, que
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conforme (3-24) é igual a VH, pode ser pré computada, assim do ponto de vista
operacional, é necessário somente inverter a matriz diagonal D(q), supondo o
conhecimento ideal do canal. Este esquema reduz bastante a complexidade do
equalizador porém não é de de norma mínima pois, em geral, V†D(q)-1≠ (D(q)V)†
[1]. Outra penalidade existente é na detecção de subsímbolos localizados nas
subportadoras cujas freqüências correspondem a nulos da resposta de freqüência
do canal, devido a amplificação do ruído [1].
3.3
Modelagem dos Canais de Propagação
Um canal de radiopropagação móvel pode ser caracterizado através de três
fenômenos principais: atenuações com a distância, dadas pelos modelos de
predição de atenuação, desvanecimentos em larga escala, resultantes do efeito de
sombreamento (prédios e morros obstruindo a passagem do sinal) e
desvanecimentos em pequena escala associados ao efeito multipercurso. Os dois
primeiros fenômenos, atenuação com a distância e efeito sombreamento, podem
ser tratados conjuntamente e vistos como uma variação no nível médio do sinal. Já
o desvanecimento em pequena escala devido ao multipercurso pode ser entendido
como sendo variações rápidas da amplitude do sinal com o tempo sobre o nível
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
46
médio anterior. A Figura 3.9 ilustra um sinal típico de um ambiente móvel
considerando os três efeitos mencionados.
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Figura 3.9 – Envoltória de um sinal em um ambiente rádio móvel
3.3.1
Desvanecimento Multipercurso
O desvanecimento multipercurso se caracteriza por rápidas flutuações
sofridas na amplitude da envoltória de um sinal num canal rádio móvel, durante
um curto intervalo de tempo. Esse tipo de desvanecimento é causado pelo tão
conhecido fenômeno do multipercurso [14]. A Figura 3.10 ilustra o fenômeno do
multipercurso.
Figura 3.10 – Fenômeno do Multipercurso
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
47
Em um ambiente rádio móvel urbano típico (que são aqueles de maior
interesse), as antenas dos receptores móveis ficam bem abaixo do nível dos
prédios de tal forma que não existe linha de visada direta entre transmissor (antena
rádio base) e receptor (móvel). Os principais mecanismos de propagação pelos
quais as ondas de rádio alcançam a antena receptora são as reflexões nas
superfícies dos prédios e as difrações nos contornos dos mesmos, como está
ilustrado na Figura 3.8.
Em uma típica situação de multipercurso várias ondas de rádio alcançam a
antena do receptor através dos mais diversos caminhos e direções, e portanto,
chegam com os mais diversos atrasos. Essas ondas se combinam fasorialmente na
antena do receptor interferindo umas com as outras ora de forma construtiva ora
de forma destrutiva, tendo como resultado uma onda cuja amplitude e fase podem
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variar enormemente. A Figura 3.11 ilustra um sinal com as rápidas variações na
envoltória devido ao multipercurso. Este sinal está normalizado com relação às
atenuações em grande escala, de tal forma que o nível médio pode ser considerado
constante, o que permite o enfoque apenas no desvanecimento em pequena escala.
Figura 3.11 – Envoltória do sinal recebido em um ambiente rádio móvel
Se considerarmos o movimento relativo entre transmissor e receptor, cada
componente do sinal que chega à antena do receptor experimenta um desvio de
freqüência, de tal forma que o espectro de freqüência do sinal recebido sofre um
espalhamento. Esse fenômeno pode ser visto como uma manifestação no domínio
da freqüência do desvanecimento na envoltória do sinal recebido no domínio do
tempo.
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
48
Suponha que o móvel esteja se movendo a uma velocidade constante v e que
uma das ondas componentes do multipercurso chegue até a antena do móvel,
fazendo um ângulo de θ graus com a direção do movimento. Essa componente
então irá sofrer um desvio de frequência dado por:
f =
ν
cos θ
λ
(3-28)
onde λ é o comprimento de onda da portadora .
O máximo desvio Doppler irá então acontecer para as componentes do sinal
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que chegarem na mesma direção do movimento do receptor ( θ = 0° e θ = 180° ):
fd =
ν
(3-29)
λ
3.3.2
Resposta ao Impulso de um Canal Multipercurso
As variações em pequena escala de um sinal rádio móvel podem ser
diretamente relacionadas à resposta ao impulso do canal. A resposta ao impulso é
uma caracterização do canal em faixa larga, como veremos mais adiante. O canal
rádio móvel pode ser modelado como sendo um filtro linear com resposta ao
impulso variante no tempo, onde essas variações são devidas ao movimento do
receptor [14]. O fato de o canal poder ser modelado como um filtro é
conseqüência direta de o sinal resultante no receptor ser dado pela soma de
amplitudes e atrasos das várias ondas componentes do multipercurso que chegam,
num dado instante de tempo.
Definindo hc(t,τ) como a resposta do canal multipercurso, no instante t, a um
impulso aplicado no instante t - τ e si (t) o sinal transmitido, então o sinal
resultante da ação do canal em s(t) é dada por:
∞
so (t) = ∫ h(t ,τ ) s (t − τ )dτ
−∞
(3-30)
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
49
Sabendo que o sinal recebido em um canal multipercurso consiste numa
série de versões atenuadas, atrasadas e defasadas, do sinal original então a
resposta impulsiva em banda base de um canal multipercurso pode ser expressa
por:
L −1
hc (t ,τ ) = ∑ ai (t ,τ ) exp[ j (2π . f c .τ i (t ) + φi (t ,τ ) )]δ (τ − τ i (t ) )
(3-31)
i −0
onde ai(t,τ) e τi(t) são respectivamente as amplitudes reais e os atrasos do i-ésima
componente do multipercurso no instante t. O termo 2π . f c .τ i (t ) + φ i (t ,τ )
representa o deslocamento de fase devido à propagação no espaço livre do i-ésima
componente. A Figura 3.12 ilustra um exemplo de uma possível resposta ao
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impulso de um canal multipercurso.
Figura 3.12 – Exemplo de resposta ao impulso de um canal multipercurso
Pode-se simplificar (3-31) considerando que os atrasos τi(t) são invariantes
no tempo:
L −1
hc (t ,τ ) = ∑ hi (t )δ (τ − τ i )
i =0
onde hi (t ) = ai (t ) exp[ j (2π . f c .τ i + φi (t ) )]
(3-32)
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
50
Se assumirmos que a resposta impulsiva do canal é invariante no tempo, ou
pelo menos estacionária no sentido amplo em um curto intervalo de tempo, então
a resposta ao impulso do canal pode ser simplificada para:
L −1
hc (τ ) = ∑ hiδ (τ − τ i )
(3-33)
i =0
Na Figura 3.13 temos um possível exemplo da resposta impulsiva invariante
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no tempo, dada pela expressão (3-33):
h(τ)
h1
τ1
h2
τ2
h3
τ3
h4
τ4
τ
Figura 3.13 – Exemplo de resposta ao impulso de um canal multipercurso estacionário
A medição ou predição de hc(t) é feita utilizando-se um pulso de teste p(t)
que aproxime a função impulso no transmissor, isto é p(t) ≅ δ(t-τ). Este processo
de obtenção de uma aproximação para a resposta ao impulso do canal é chamado
de sondagem do canal, enquanto que a resposta obtida é denominada perfil de
potência do retardo. A Figura 3.14 mostra um exemplo de um perfil de potência
do retardo, P(τ), obtida para um dado canal.
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
51
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
Figura 3.14 – Perfil de potência do retardo
A partir do perfil de potência do retardo podemos definir um conjunto de
parâmetros que servem para caracterizar o canal rádio móvel. Os principais
parâmetros são os parâmetros de dispersão no tempo, a saber, o retardo médio e o
espalhamento de retardo do canal (delay spread) e a banda de coerência do canal
(Bcoer).
O retardo médio é definido como o primeiro momento do perfil de potência
do retardo:
+∞
τ = E (τ ) =
∫ τP(τ )dτ
−∞
+∞
(3-34)
∫ P(τ )dτ
−∞
O espalhamento de retardo do canal é definido como a raiz quadrada do
segundo momento central (variância) do perfil de potência do retardo:
τ rms
⎡ +∞
⎤
2
⎢ ∫ (τ − τ ) P(τ )dτ ⎥
⎥
= E (τ − τ ) 2 = ⎢ − ∞ + ∞
⎢
⎥
P(τ )dτ
⎢
⎥
∫
⎢⎣
⎥⎦
−∞
1/ 2
(3-35)
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
52
A banda de coerência Bcoer do canal é apenas uma definição baseada no
espalhamento de retardos. A banda de coerência é uma medida estatística da faixa
de freqüências na qual o canal pode ser considerado “plano”, isto é, com
aproximadamente ganho constante e fase linear. Em outras palavras, a banda de
coerência representa a faixa de freqüência do canal na qual duas componentes de
freqüência tem uma grande probabilidade de terem suas amplitudes correlatadas
[14]. A definição da intensidade dessa correlação é apenas um critério a ser
escolhido. Por exemplo, para correlações maiores que 0.9 (90%) a banda de
coerência pode ser expressa aproximadamente por [14]:
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Bcoer =
1
50τ rms
(3-36)
onde τrms é dado em (3-35)
O tipo de desvanecimento sofrido por um sinal ao atravessar um canal rádio
móvel depende da relação entre natureza do próprio sinal transmitido e as
características do canal [14]. Dependendo da relação entre os parâmetros do sinal
tais como, largura de banda, intervalo de símbolo, etc., e os parâmetros de
caracterização do canal tais como, espalhamento de retardos e espalhamento
Doppler, diferentes tipos de sinais sofrem diferentes tipos de desvanecimento.
O canal de radiopropagação móvel pode ser caracterizado por dois
fenômenos independentes, cuja manifestação depende da natureza do sinal a ser
transmitido (faixa estreita ou faixa larga). O espalhamento de retardos do canal
ocasiona dispersão no tempo e seletividade na freqüência, enquanto que o
espalhamento Doppler causa dispersão na freqüência e seletividade no tempo.
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
53
3.3.3
Tipos de Desvanescimento Multipercurso
Desvanescimento Plano:
Se o canal possui ganho constante e resposta em fase linear em uma faixa de
freqüências maior do que a largura de banda do sinal a ser transmitido, então este
sinal ao atravessar o canal sofre o que chamamos de desvanecimento plano [14].
Colocando de outra forma, o desvanecimento plano ocorre se a largura de banda
do sinal Bs for menor do que a banda de coerência Bcoer do canal ou, de forma
equivalente, se o espalhamento de retardo do canal for desprezível se comparado
ao intervalo do símbolo Ts. As condições para o desvanecimento plano são,
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portanto:
B S << Bcoer
(3-37a)
ou
TS >> σ τ
(3-37b)
Nesse caso, o sinal recebido em faixa estreita pode ser expresso da seguinte
forma:
r (t ) = I (t ) cos ω C t − Q(t ) sen ω C t
(3-38)
r (t ) = A cos(ω C t + θ )
(3-39)
onde I(t) e Q(t), as componentes em fase e quadratura do sinal recebido podem ser
representados como variáveis aleatórias gaussianas de média zero e variância σ, A
é a envoltória do sinal recebido é dada por A = I (t ) + Q(t ) e a fase θ do sinal
2
recebido é dada por θ = tg −1
Q(t )
:
I (t )
2
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
54
Pode-se mostrar que neste caso A e θ são variáveis aleatórias com
distribuição Rayleigh de parâmetro σ e distribuição uniforme em [0, 2π], onde a
distribuição Rayleigh é dada por:
A2
)
p r ( A) = 2 exp(−
σ
2σ 2
A
R≥0
(3-40)
No caso de desvanecimento plano (transmissão em faixa estreita), toda a
estatística de retardos descrita na seção anterior passa a ser desprezível já que
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TS >> σ τ e a resposta impulsiva do canal é ilustrada na Figura 3.15.
Fig. 3.15 – Resposta impulsiva do canal em faixa estreita
Portanto, apenas o fenômeno de dispersão na freqüência / seletividade no
tempo devido ao efeito Doppler se manifesta no caso de transmissão em faixa
estreita. O que temos na realidade é o espalhamento Doppler no domínio da
freqüência e seu efeito dual no domínio do tempo, o desvanecimento Rayleigh.
Um modelo mais vastamente utilizado na literatura para caracterizar o
espalhamento Doppler é o modelo de desvanecimento plano de Clarke, descrito
por [11], [12], [13], [14].:
S( f ) =
f ≤ fd
1.5
⎛ f − fC
⎝ fd
π . f d 1 − ⎜⎜
⎞
⎟⎟
⎠
2
(3-41)
onde fd é o desvio Doppler máximo dado em (3-29) e fc é a frequência da
portadora de RF. A Figura 3.16 mostra o espectro Doppler em RF do modelo de
Clarke.
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
55
freqüência,f
Figura 3.16 – Espectro de Potência Doppler
Desvanescimento Seletivo:
Se o canal possui ganho constante e resposta em fase linear em uma faixa de
freqüências menor do que a largura de banda do sinal a ser transmitido, então este
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sinal ao atravessar o canal irá sofrer o que chamamos de desvanecimento seletivo
[14]. Colocando de outra forma, o desvanecimento seletivo ocorre se a largura de
banda do sinal for maior do que a banda de coerência do canal ou, de forma
equivalente, se o espalhamento de retardo do canal for da mesma ordem de
grandeza ou até maior do que o intervalo do símbolo do sinal. Desta forma, as
condições para o desvanecimento seletivo são:
B S > Bcoer
(3-42a)
ou
TS < τ rms
(3-42b)
No caso do desvanecimento seletivo, ou transmissão em faixa larga,
ocasiona dispersão no tempo/seletividade na freqüência. Assim, agora são levados
em consideração o espalhamento de retardo do canal e as estatísticas de retardo. O
canal, no caso do desvanecimento seletivo, é também chamado de canal
dispersivo no tempo e sua resposta impulsiva é então dada pela expressão (3-33) e
pela Figura (3.13).
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
56
3.3.4
Modelagem do Canal de Propagação
Os canais de propagação considerados nesta dissertação são os que
provocam desvanecimento seletivo: canal de propagação multipercurso fixo (com
seletividade em freqüência e sem efeito Doppler) e canal de propagação
multipercurso variante no tempo (com seletividade em freqüência e efeito
Doppler), que são tratados respectivamente como: canal fixo e canal variante.
Como visto anteriormente r(t) representa o sinal OFDM recebido em banda
básica e pode ser expresso através de:
∞
r(t) = ∫ hc (t ,τ ) s (t − τ )dτ + n(t )
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−∞
(3-43)
A resposta do canal de propagação ao impulso adotado nesta dissertação foi
definido em (3-32) e é reescrito aqui por conveniência:
L −1
hc (t ,τ ) = ∑ hi (t )δ (τ − τ i )
(3-44)
i =0
onde o termo τi representa o retardo associado ao i-ésimo percurso, o qual é
aproximado como um múltiplo do intervalo de duração de sub-símbolos Ts. A
variância de cada ganho, assim como os retardos, são geralmente determinados
por meio de medidas de propagação[14].
A seqüência de coeficientes de um canal variante pode ser representada por:
hi(n) = pi αi(n) i = 0,1,...,L-1
(3-45)
Os termos αi(n) são variáveis aleatórias complexas gaussianas, obtidas
através da filtragem de um ruído gaussiano branco complexo por um filtro F(f) ,
cuja função de transferência é dada por (3-41).
Este processo corresponde a geração de seqüências de variáveis aleatórias
de Rayleigh correlatadas e com E[| α l2 (n) |] =1.
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
57
Para esta dissertação os pesos pl utilizados para representar o canal são
dados por: p0 = 0.8677, p1 = 0.4339, p2 = 0.2169 e p3 = 0.1085.
Para canais variantes, o produto fdTs indica a rapidez do desvanecimento
atuante no canal e quanto menor for o valor de fdTs mais rápida é a variação
temporal do canal. A fim de avaliar a rapidez do desvanecimento em cada símbolo
OFDM, deve utilizar o produto fdTofdm dado por:
fdTofdm = P fdTs = (M + G) fdTs
(3-46)
onde M é o número de subportadoras do símbolo OFDM e G é o número de
amostras considerado para o intervalo de guarda.
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Quando não há variações temporais durante o intervalo de duração Tofdm de
um símbolo OFDM, tampouco de um número elevado de símbolos OFDM, este
canal é classificado como um canal de propagação multipercurso fixo (canal fixo).
Se as variações de um canal de propagação ocorrem durante o intervalo de
duração dos símbolos OFDM, este é classificado como canal de propagação
multipercurso variante no tempo (canal variante). Neste caso, a representação do
canal pela matriz de convolução discreta H, definida em (3-7), somente é válida
quando a variação do canal for suficientemente lenta (fdTofdm reduzido e.g. 10-5,
10-4) de modo que não haja variações significativas no canal durante um período
Tofdm de um símbolo OFDM. Assim nesta dissertação o canal foi modelado de
forma que as variações do canal ocorram somente entre os símbolos OFDM de
forma que durante o período Tofdm o canal se mantém fixo. Isto permite que o
modelo de representação do canal por matrizes circulantes, descrito nas seções 3.1
e 3.2, possam ser diagonalizadas após a operação de DFT no receptor OFDM,
continue válido o que não ocorreria caso o canal variasse durante o período Tofdm
pois neste caso o canal não poderia ser representado por uma matriz circulante e
por conseqüência não poderia ser diagonalizada após operação DFT, tornando
inválido o modelo de transmissão OFDM adotado nesta dissertação. Este modelo
de canal variante faz com que o n-ésimo símbolo OFDM tenha uma resposta de
freqüência de canal q(n) permitindo que os equalizadores ZF e MMSE possam ser
utilizados como figura de mérito para avaliação do esquema de estimação de canal
3. Modelo discreto de transmissão de sinais OFDM
58
variante descrito no Capítulo 5. Neste caso supõe-se que o receptor tem
conhecimento da resposta de freqüência de canal q(n) para cada instante n de
forma que para o sistema CP-OFDM os equalizadores ZF e MMSE ideais são
dados por:
-1
G cp
zf (n) = D (q(n))
(3-47)
[
H
D(q(n))D(q(n)) H + σ 2 I
G cp
mmse (n) = D(q ( n))
]
−1
(3-48)
e para sistemas ZP-OFDM por:
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†
G zp
zf (n) = (DP(q(n))V)
(3-49)
[
zp
G mmse
(n)= V H D(q(n)) H D(q(n))VV H D(q(n)) H + σ 2 I
]
−1
(3-50)
59
4
Estimação de Canal
As técnicas de modulação M-PSK, utilizada nesta dissertação para mapear
sub-símbolos s(n), podem ser classificadas em duas categorias: diferencial e
coerente. Utilizando o método de modulação diferencial para mapear os símbolos
M-PSK das subportadoras OFDM, não há necessidade de se estimar o canal, já
que a informação está codificada na diferença de fase entre dois símbolos
consecutivos. Essa é uma técnica comumentemente utilizada em sistemas rádio
móveis para reduzir a complexidade no receptor, já que um estimador de canal
não se faz necessário. Modulação diferencial é utilizada no padrão Europeu para
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difusão de áudio digital, o DAB (Digital Audio Broadcast) e também no padrão
americano IS-136 usado para comunicação celular baseada em TDMA. A
modulação diferencial possui duas desvantagens principais: uma perda adicional
de 3 dB na relação SNR, e portanto um desempenho inferior se comparada à
modulação coerente e uma ineficiência para usar constelações com vários níveis
de amplitude (multiamplitude). A modulação coerente, por outro lado, permite o
uso de constelações multiamplitude de maneira eficiente, sendo assim adequada
para as transmissões a altas taxas [20], [21]. A estrutura do seu receptor é mais
complexa já que deve incluir um estimador de canal. Para canais “com par de
fios” (wired channels) como é o caso do canal telefônico por exemplo, certamente
a modulação coerente será a melhor escolha, pois o canal dificilmente muda com
o tempo. Contudo, para os canais rádio móveis, altamente variantes no tempo, a
eficiência desse tipo de modulação faz com que ela passe a ser uma alternativa
interessante para as transmissões com taxas elevadas, como é o caso da difusão de
vídeo digital, DVB (Digital Video Broadcast).
Portanto, passa a ser atraente o estudo de estimadores de canal a serem
usados em esquemas com modulação coerente. Esse estudo inclui análise de
técnicas para estimação do canal e análise do desempenho do estimador.
Em um sistema OFDM, cada subcanal se comporta como um canal de
portadora simples em um ambiente com desvanecimento plano. Assim, de uma
maneira geral, os sistemas OFDM podem aproveitar as mesmas técnicas de
4. Estimação de Canal
60
estimação de canal desenvolvidas para os sistemas de única portadora, usando-as
para cada uma de suas subportadoras. Existem dois métodos principais para
estimação do canal: o método baseado em pilotos, símbolos de treinamento ou
sequências de treinamento, também chamado método DA (Data-Aided design) ou
PSAM (Pilot Symbol Assisted Modulation); e o método DD, “Decisão-Direta”
(Decision-Directed), que se baseia em decisões anteriores para realizar a
estimação [2]. O primeiro é espectralmente ineficiente enquanto que o segundo
sofre de propagação de erros. Neste capítulo são abordados os principais conceitos
para se obter a estimativa da resposta de freqüência do canal de propagação para a
recepção de sinais CP e ZP-OFDM. Uma estimativa dinâmica de canal é
necessária antes da detecção de sinais, uma vez que os canais de propagação, em
sistemas de comunicações móveis, são seletivos em freqüência e variantes no
tempo [11], [12], [13], [14].
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As técnicas de estimação de canal abordadas neste capítulo utilizam-se de
símbolos piloto [1], [2], [6]. Os símbolos pilotos são definidos como um conjunto
de sub-símbolos s(n), gerados para transmissão, os quais são conhecidos pelo
receptor. Isto possibilita o mapeamento da resposta do canal em cada
subportadora do sistema, sendo esta empregada na detecção dos sinais CP e ZPOFDM.
São analisadas duas abordagens para estimação de canal com símbolos
piloto, sendo que ambas consideram o uso do primeiro símbolo OFDM, em cada
bloco de símbolos transmitidos, como o conjunto de símbolos piloto usado na
obtenção da resposta em freqüência do canal.
A primeira abordagem, apresentada na Seção 4.1, obtém a estimativa da
resposta de freqüência do canal após a demodulação do símbolo OFDM pela
operação DFT, estimativa essa que é obtida no inicio de cada bloco de símbolos
OFDM, sendo utilizada ao longo do bloco. Canais rádio móveis grealmente são
modelados como canais de multipercurso com resposta ao impulso finita (FIR) e o
intervalo de guarda geralmente tem uma duração maior que o comprimento da
resposta impulsional do canal. Com base neste fato é apresentado um método para
refinamento da estimativa inicialmente obtida. Na Seção 4.2 é apresentada uma
abordagem alternativa onde a resposta de freqüência do canal é estimada antes da
demodulação do símbolo OFDM.
4. Estimação de Canal
61
Por outro lado na Seção 4.3 estuda-se a possibilidade de utilização de
métodos adaptativos para rastrear as variações de canal dentro de cada bloco de
símbolos OFDM.
Por fim são apresentados resultados de desempenho para as técnicas
propostas e para os experimentos realizados nesta dissertação.
4.1
Estimação de canal utilizando símbolos piloto e matriz purificadora
Para se estimar a resposta de freqüência do canal, supõe-se aqui que
símbolos piloto são inseridos em todas as subportadoras dos primeiros símbolos
de transmissão CP e ZP-OFDM, caracterizando o uso de blocos de símbolos
piloto. Uma outra possibilidade seria distribuir os símbolos piloto uniformemente
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pelas subportadoras do sistema. Neste caso devem-se empregar critérios
adequados para a detecção de sinais [1], [2].
A estimativa de canal por meio de blocos de símbolos piloto foi
desenvolvida para detecção de sinais propagados em canais variantes lentos no
tempo, que apresentam valor reduzido para o produto fdTofdm.
A idéia do esquema de estimação de canal em blocos proposto nesta
dissertação baseia-se no conhecimento a priori do comprimento da resposta
impulsional do canal hL(n). Tendo esse conhecimento prévio podemos determinar
quais componentes do vetor estimativa de canal ĥ(n) apresentam apenas
contribuição do ruído e assim não têm nenhuma informação do canal [22]. Desta
forma quando o comprimento do canal é L e o comprimento do símbolo OFDM é
N, uma maneira de melhorar a qualidade da estimativa é manter as L primeiras
componentes de ĥ(n) e zerar as outras N-L componentes. Assim estamos
eliminando da estimativa do canal no tempo componentes apenas ruidosas. Após
este processo de decimação e preenchimento com zeros do vetor ĥ(n) aplica-se
uma DFT retornando a estimativa para o domínio da freqüência.
Quando o comprimento do canal é um parâmetro desconhecido pode-se
utilizar o comprimento G da faixa de guarda do sistema OFDM como um limite
superior, tendo em vista que o tamanho da faixa de guarda é projetado para ser
maior que o comprimento do canal.
4. Estimação de Canal
62
As estimativas Pós-DFT refinadas da resposta de freqüência do canal para
sistemas CP e ZP-OFDM passam pelas seguintes etapas de refinamento: mudança
para o domínio do tempo da estimativa inicial, decimação das componentes
ruidosas, zero padding da estimativa resultante e retorno para o domínio da
freqüência.
Como estas operações são lineares podemos obter uma matriz que opera
uma transformação linear na estimativa inicial tendo como resultado a estimativa
purificada tanto no sistema CP-ODFM quanto no sistema ZP-OFDM. Isto é feito
a seguir.
Como visto anteriormente o n-ésimo símbolo OFDM no receptor após a
operação de DFT pode ser expresso como:
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x(n) = S(n)q(n) + WN n(n)
(4-1)
Onde WN é a matriz DFT normalizada N x N, sendo N = M para os sistemas CP e
N = P para os sistemas ZP-OFDM, a matriz S(n) = D(s(n)) é uma matriz diagonal
contendo as componentes do vetor s(n), que são quantidades complexas em geral,
supostamente conhecidas e determinada a partir dos símbolos piloto.O vetor q(n),
de dimensão N, contem a resposta de freqüência do canal em cada uma das N
subportadoras:
q = DFT[ho h1 . . . hL 01 0 . . . 0N-L ] =
[
N WN h TL
]
T
0T , e n(n) é vetor de
ruído gaussiano branco com matriz covariância Kn = σ2 I.
Supondo S(n) inversível a estimativa Zero-forcing da resposta de freqüência
∧
do canal de cada bloco OFDM, q zf(n), é dada por:
∧
q zf(n) = S-1(n)x(n) = q (n) + S-1(n) WN n(n) = q (n) + nzf(n)
(4-2)
onde o ruído da estimativa ZF :
nzf(n) = S-1(n) WN n(n)
(4-2a)
4. Estimação de Canal
63
tem matriz covariância dada por:
Kzf = S-1 WN E[n nH] WNH (S-1)H
(4-3)
resultando em :
Kzf = S-1σ2 I (S-1)H = σ2 S-1(S-1)H
(4-4)
onde o índice de tempo n foi suprimido para a facilidade de notação. Passando a
∧
estimativa da resposta de freqüência do canal q zf para o domínio do tempo:
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ĥ=
1
∧
N
WN H q zf
(4-5)
tem-se:
⎡ ⎤
ĥ = ⎢h L ⎥ +
⎢⎣ 0 ⎥⎦
1
N
WN H nzf
(4-6)
onde hL é a resposta impulsional do canal com L componentes. Finalmente
chamando
1
N
WN H nzf de ñzf a expressão final para ĥ :
⎡ ⎤
ĥ = ⎢h L ⎥ + ñzf
⎢⎣ 0 ⎥⎦
(4-7)
Verifica-se a partir de (4-6) que as N-L últimas componentes de ĥ possuem
apenas contribuições ruidosas não tendo nenhuma informação sobre o canal [22].
Assim estas componentes podem ser decimadas e substituídas por zeros,
originando uma nova estimativa ĥ d:
4. Estimação de Canal
⎡I
ĥ d = ⎢ LXL
⎣ 0
64
0⎤
ĥ
0⎥⎦
(4-8)
Deste modo somente as L primeiras componentes de ĥd, contendo as
componentes do canal ruidosas, contribuem na operação IDFT no retorno para o
domínio da freqüência, refinando assim a estimativa final como pode ser visto
mais adiante através da análise das matrizes de covariância das estimativas.
Aplicando-se então a matriz DFT na estimativa ĥd resulta de (4-8) e (4-5)
que:
∧
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q final =
⎡I
N WN ⎢ LXL
⎣ 0
⎡I
N WN ⎢ LXL
⎣ 0
0⎤
0⎥⎦
0⎤
ĥ=
0⎥⎦
1
N
∧
WNH q zf
(4-9)
ou ainda,
∧
q
∧
H
final = Wo Wo q zf
(4-10)
onde Wo é uma matriz N x L que contem as L primeiras colunas da matriz DFT
normalizada WN:
⎡I ⎤
Wo = WN ⎢ LxL ⎥
⎣ 0 ⎦
(4-11)
Utilizando-se (4-10) e (4-2) tem-se que:
∧
q final = Wo WoH q + Wo WoH nzf
e, como q =
⎡h ⎤
N WN ⎢ L ⎥ =
⎣0 ⎦
N Wo hL
(4-12)
(4-12a)
4. Estimação de Canal
65
resulta, uma vez que WoH Wo = I
∧
q final = q + Wo Wo H nzf = q + nfinal
(4-13)
A matriz covariância do ruído nfinal = Wo WoH nzf da estimativa refinada é
então:
Kq final = Wo Wo H Kzf Wo Wo H
(4-14)
onde Kzf é dada por (4-4).
A partir de (4-10) pode-se observar que o processo de refinamento da
estimativa da resposta de freqüência de cada bloco OFDM pode ser obtido através
∧
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de uma transformação linear da estimativa inicial q zf:
∧
∧
q final = B q zf
(4-15)
onde B = Wo Wo H é a matriz NxN purificadora que refina a estimativa inicia,
possuindo a seguinte estrutura:
⎡ L
⎢N
⎢
⎢ B21
B= ⎢
⎢ B31
⎢ .
⎢
⎢ BN 1
⎣
B12
L
N
B32
.
BN 2
⎤
. . B1N ⎥
⎥
. . B2 N ⎥
⎥
. . B3 N ⎥
. .
. ⎥
L ⎥
⎥
. .
N ⎦
(4-16)
A transformação linear, dada em (4-15), pode ser interpretada como uma
∧
projeção da estimativa de resposta de freqüência do canal q zf no subespaço
gerado por Wo (G(Wo)). Note-se que de acordo com (4-12a), a verdadeira
resposta de freqüência do canal q tem que pertencer a G(Wo). O subespaço
4. Estimação de Canal
66
G(Wo) possui dimensão L ≤ N, tendo a matriz que projeta um vetor v ∈ CN no
subespaço G(Wo) a forma Wo (WoH Wo)-1 WoH = Wo WoH = B.
No apêndice A é mostrado que a multiplicação pela matriz B reduz a
∧
variância do ruído branco nzf da estimativa de canal q zf por um fator
L
,
N
∧
purificando assim a estimativa q zf.
Abaixo segue um diagrama em blocos ilustrando o processo de estimação de
canal Pós-DFT nos sistema OFDM utilizando matriz purificadora:
∧
r(n)
DFT
x(n)
S-1
∧
q zf (n)
q final (n)
WN
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B
Figura 4.1 – Modelo de estimação de canal Pós-DFT utilizando matriz purificadora
A seguir são apresentadas às estimativas do canal na freqüência para os
sistemas CP e ZP-OFDM utilizando matriz purificadora.
4.1.1
Estimação de canal Pós-DFT com símbolos piloto em sistemas
CP-OFDM
Utilizando os resultados já apresentados na seção anterior, para sistemas
CP-OFDM (N = M) temos:
xcp(n) = Scp(n) q (n) + WM n(n)
(4-17)
com Scp(n) = D(s) onde s(n) = b(n) cujas componentes bi(n) são símbolos piloto
de uma constelação M-PSK com norma unitária e
q = DFT[ho h1 . . . hL 01 0 . . . 0M-L]
4. Estimação de Canal
67
∧
De acordo com (4-2) estimativa zero-forcing q zf(n) da resposta de
freqüência do canal de cada bloco OFDM:
∧
q zf(n) = q(n) + nzf (n)
(4-18)
onde a matriz covariância de nzf (n) pode ser calculado a partir de (4-4) e
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suprimindo-se a variável n resulta:
Kzf = σ2 Scp-1(Scp-1)H
(4-19)
Kzf = σ2 D(|bi|-2) = σ2 I
(4-20)
Melhoria da estimativa de canal Pós-DFT para o sistema CP-OFDM:
Aplicando a matriz purificadora B na estimativa inicial qzf(n):
∧
∧
q final = B q zf
(4-21)
onde B = Wo WoH e Wo tem dimensão M x L. A matriz covariância do ruído
∧
em q
final
é obtida substituindo-se (4-20) em (4-21) resultando em:
Kq final = σ2 Wo WoH = σ2 B
(4-22)
A partir de (4-16), é fácil verificar que no presente caso a diagonal da matriz
B em (4-22) possui componentes iguais a
∧
L
. Deste modo, q final é uma
M
estimativa com ruído colorido cujas componentes possuem variâncias iguais a σ2
L
. Comparando-se Kzf, em (4-20), com Kq final, em (4-22), observa-se que as
M
variâncias das componentes de ruído da estimativa inicial foram reduzidas por um
fator de
L
, pelo procedimento da purificação.
M
4. Estimação de Canal
68
Abaixo segue um comparativo dos erros médio quadráticos das
componentes das estimativas de resposta de freqüência do canal, em um sistema
CP-OFDM, descrito por hL = [ 0.8677 0.4339 0.2169 0.1085 ]T, ilustrado na
Figura 4.2, utilizando o método de blocos de pilotos descrito em (4-2) e a
estimativa refinada, descrita em (4-15). As curvas de erro médio quadrático foram
a média de 900 experimentos cada qual composto pela transmissão e recepção de
1 símbolo piloto onde cada símbolo é formado por M + L subsímbolos QPSK. O
número de subportadoras é M = 40 e o intervalo de guarda possui dimensão L =
10, sendo considerado um Eb/No=13dB em todos os experimentos:
magnitude da resposta em frequencia do canal
2
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1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0
5
10
15
20
subportadoras
25
30
35
Figura 4.2 – Magnitude da resposta em freqüência para hL = [ 0.8677 0.4339 0.2169
0.1085 ]T
40
4. Estimação de Canal
69
erro medio quadratico das estimativas da resposta em frequencia do canal
0.04
estimativas zero-forcing
estimativas zero-forcing refinadas
0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
0.01
0.005
0
5
10
15
20
25
Numero de subportadoras CP-OFDM
30
35
Figura 4.3 – CP-OFDM - Canal Fixo – Erro Médio Quadrático das Estimativas ZeroForcing e Zero-Forcing Refinadas para Eb/No=13dB
4.1.2
Estimação de canal Pós-DFT com símbolos piloto em sistemas
ZP-OFDM
Para sistemas ZP-ODFM (N = P), os símbolos OFDM no receptor após a
operação de DFT são expressos como:
xzp(n) = Szp(n)q(n) + WP n(n)
(4-23)
onde Szp(n) = D(szp(n))
(4-23a)
⎡W H ⎤
com szp(n) = WP ⎢ M ⎥ b(n) = Vb(n)
⎣ 0 ⎦
(4-23b)
40
4. Estimação de Canal
70
sendo b(n) o vetor de dimensão Mx1 contendo os símbolos pilotos, extraídos de
uma constelação M-PSK com norma unitária.
∧
Novamente de acordo com (4-2), a estimativa q zf (n) zero-forcing de canal
é dada por:
∧
q zf(n)= q(n) + Szf-1(n) WP n(n) = q(n) + nzf (n)
(4-24)
Note que as componentes de szp em (4-23b), no caso geral, não possuem
normas iguais podendo inclusive conter zeros tornando assim a matriz diagonal
Szp não inversível. No entanto se os símbolos pilotos bi são feitos iguais as
componentes de szp resultam também iguais, com norma não nula, garantindo
assim a inversibilidade da matriz Szp, além de evitar que as componentes da
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matriz covariância do vetor de ruído nzf tenham variâncias diferentes. Para
verificar isso considera-se um vetor b de símbolos pilotos iguais:
⎡b ⎤
⎢b ⎥
⎢ ⎥
⎢.⎥
bMx1 = ⎢ ⎥
⎢.⎥
⎢.⎥
⎢ ⎥
⎣⎢b ⎦⎥
(4-25)
Substituindo (4-25) em (4-23b) e suprimindo-se a variável n, resulta:
⎡ WMH b ⎤
szp = WP ⎢
⎥
⎣ 0Gx1 ⎦
(4-26)
Como a soma das componentes de cada linha de WMH é igual a zero,
excetuando-se a primeira linha cujo somatório é igual a M , (4-26) se torna:
4. Estimação de Canal
71
⎡
⎢
⎡1 ⎤
⎢
⎢0 ⎥
⎢
⎢ ⎥
⎢
⎢.⎥
⎡b M ⎤
⎢
szp = WP ⎢
⎥ = b M WP ⎢ . ⎥ = b M ⎢
⎢ ⎥
⎣ 0 P −1x1 ⎦
⎢
⎢.⎥
⎢
⎢ ⎥
⎢
⎢⎣0⎥⎦
⎢
⎣⎢
1 ⎤
⎥
P⎥
1 ⎥
P⎥
. ⎥
⎥
. ⎥
. ⎥
1 ⎥
⎥
P ⎦⎥
(4-27)
e, portanto:
M
bI
P
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Szp = D(szp)=
(4-28)
Utilizando-se (4-28) e (4-4) tem-se que, no caso ZP, o ruído da estimativa
zero-forcing tem matriz covariância dada por:
Kzf = σ2
P
I
M
(4-29)
Melhoria da estimativa de canal Pós-DFT para o sistema ZP-OFDM:
∧
Aplicando a matriz purificadora B na estimativa inicial q zf (n) resulta em:
∧
∧
q final = B q zf
(4-30)
onde B = Wo WoH e Wo agora tem dimensão P x L
∧
e a matriz de covariância do ruído em q
final
é obtida substituindo (4-29) em (4-
14) resultando:
Kq final = σ2
P
P
Wo WoH = σ2
B
M
M
(4-31)
4. Estimação de Canal
72
ou ainda
Kq final
⎡ L
⎢ P
⎢
P ⎢ B 21
2
=σ M ⎢
⎢ B31
⎢ .
⎢
⎢ B P1
⎣
B12
L
P
B32
.
BP 2
⎤
⎡ L
. . B1P ⎥
⎢M
⎥
⎢
⎢ B21
. . B2 P ⎥
⎥ = σ2 ⎢
. . B3 P ⎥
⎢ B31
⎥
⎢ .
. .
.
⎥
⎢
L
⎥
⎢ BP1
. .
⎣
P ⎦
B12
L
M
B32
.
BP 2
⎤
. . B1P ⎥
⎥
. . B2 P ⎥
⎥ (4-32)
. . B3 P ⎥
. .
. ⎥
L ⎥
. .
⎥
M ⎦
∧
Assim q final é uma estimativa com ruído colorido cujas componentes
possuem variâncias iguais a σ2
L
. É interessante notar que apesar das
M
componentes do vetor de ruído presente nas estimativas iniciais zero forcing do
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CP e do ZP-OFDM possuírem variâncias diferentes, como pode ser verificado em
(4-20) e (4-29), após a aplicação da matriz purificadora as componentes dos
ruídos presentes nas estimativas finais dos dois sistemas tem variâncias iguais a
σ2
L
.
M
Abaixo segue um comparativo dos erros médios quadráticos das
componentes das estimativas de resposta de freqüência do canal, em um sistema
ZP-OFDM, descrito por hL = [ 0.8677 0.4339 0.2169 0.1085 ]T, ilustrado na
Figura 4.4, utilizando o método de blocos de pilotos descrito em (4-2) e a
estimativa refinada, descrita em (4-15). As curvas de erro médio quadrático foram
a média de 900 experimentos cada qual composto pela transmissão e recepção de
1 símbolo piloto onde cada símbolo é formado por M + L subsímbolos QPSK. O
número de subportadoras é M = 40 e o intervalo de guarda possui dimensão L =
10, sendo considerado um Eb/No=13dB em todos os experimentos:
4. Estimação de Canal
73
magnitude da resposta em frequencia do canal
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
0.8
0.6
0.4
0
5
10
15
20
25
subportadoras
30
35
40
45
Figura 4.4 – Magnitude da resposta em freqüência para hL = [ 0.8677 0.4339 0.2169
0.1085 ]T
50
4. Estimação de Canal
74
erro medio quadratico das estimativas da resposta em frequencia do canal
0.04
estimativas zero-forcing
estimativas zero-forcing refinadas
0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
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0.01
0.005
0
5
10
15
20
25
30
35
Numero de subportadoras ZP-OFDM
40
45
Figura 4.5 – ZP-OFDM - Canal Fixo – Erro Médio Quadrático das Estimativas ZeroForcing e Zero-Forcing Refinadas para Eb/No=13dB
4.2
Estimação de canal Pré-DFT com símbolos piloto
Nesta seção é apresentada uma abordagem alternativa para a estimação da
resposta de freqüência do canal. Esta abordagem também utiliza blocos de pilotos,
porém a estimativa do canal é obtida antes dos símbolos OFDM recebidos serem
processados pela matriz DFT no receptor.
O n-ésimo símbolo OFDM no receptor antes da operação de DFT pode ser
expresso como:
r(n) = Pc(n)h(n) + n(n)
(4-33)
50
4. Estimação de Canal
75
onde Pc é uma matriz circulante cuja 1°coluna contem a IDFT dos símbolos
piloto,ou seja,
Pc = Circ(WNH s(n)) onde o vetor s(n), conforme apresentado em (4-1),
possui componentes complexas determinadas a partir dos símbolos piloto.
O vetor h(n), de dimensão N, é dado por:
⎡ ⎤
h = ⎢h L ⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦
(4-34)
onde hL de dimensão L contem a resposta impulsiona do canal. Por fim n(n), em
(4-33), é vetor de ruído gaussiano branco com matriz covariância Kn = σ2 I.
Supondo Pc(n) inversível, a estimativa zero-forcing da resposta impulsional
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do canal é dada por:
ĥzf = Pc-1r
(4-35)
onde o índice de tempo n foi suprimido para facilidade de notação.
Passando a estimativa da resposta impulsional do canal ĥzf para o domínio
da freqüência obtemos a estimativa da resposta de freqüência do canal:
∧
q zf =
N WN ĥzf
(4-36)
Para mostrar que a estimativa Pré-DFT dada por (4-36) é idêntica à
estimativa Pós-DFT dada por (4-2) utilizaremos a propriedade utilizada no
Capítulo 3, onde uma matriz circulante é diagonalizada pela pré e pósmultiplicação pelas matrizes DFT e IDFT normalizadas. Aplicando esta
propriedade em Pc temos:
Pc = Circ (WNH s) =
N WNH D(s) WN =
N WNH S WN
onde S = D(s) é mesmo que em (4-1) e conseqüentemente temos:
(4-37)
4. Estimação de Canal
1
Pc-1 =
76
WNH S-1WN
N
(4-38)
Substituindo (4-38) e (4-35) em (4-36) obtêm-se:
∧
N WN Pc-1r =
q zf =
N WN
1
N
WNH S-1WN r = S-1WN r
(4-39)
∧
A estimativa q zf dada por (4-39) é a idêntica a estimativa Pós-DFT obtida
através de (4-2) cujo processo de obtenção é ilustrado na Figura 4.1. Assim,
analogamente ao caso Pós-DFT, para se obter a estimativa refinada basta
∧
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multiplicar q zf pela matriz purificadora B obtendo:
∧
∧
q final = B q zf
(4-40)
Resultado igual ao obtido na estimativa refinada Pós-DFT dada em (4-15).
Uma maneira alternativa de se gerar esta estimativa pode ainda ser obtida
por meio da utilização do mesmo método de purificação da estimativa inicial
apresentado na Seção 4.1. Tendo em vista que a estimativa inicial ĥzf dada em (435) possui N componentes onde apenas as L primeiras contêm informação do
canal, e portanto, as N-L últimas componentes são ruidosas. Assim conforme visto
na Seção 4.1, para se refinar a estimativa ĥzf , as suas N-L últimas componentes
são decimadas e preenchidas com zeros (vale ressaltar que conforme apresentado
na Seção 4.2, quando comprimento do canal é um parâmetro desconhecido utilizase o comprimento G da faixa de guarda como limite superior):
⎡I
ĥ final = ⎢ LXL
⎣ 0
0⎤
ĥzf
0⎥⎦
(4-41)
4. Estimação de Canal
77
Substituindo (4-35) e (4-38) em (4-41) tem-se:
⎡I
ĥ final = ⎢ LXL
⎣ 0
0⎤ -1
⎡I
Pc r = ⎢ LXL
⎥
0⎦
⎣ 0
0⎤ 1
WNH S-1WN r
⎥
0⎦ N
(4-42)
Passando a estimativa refinada da resposta ao impulso do canal para o
domínio da freqüência obtêm-se:
∧
q final =
⎡I
N WN ⎢ LXL
⎣ 0
0⎤ 1
WNH S-1WN r
0⎥⎦ N
∧
q final = Wo WoH S-1WN r = B S-1WN r
(4-43)
(4-44)
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Substituindo (4-35) em (4-44) resulta que:
∧
∧
q final =B q zf
(4-45)
Resultado igual ao obtido em (4-40). Estes processamentos alternativos para
geração da estimativa refinadas pré-DFT estão ilustradas na Fig. 4.5.
Tendo em vista o conhecimento a priori do comprimento do canal ou a
faixa de guarda G como um limite superior para estimativa do comprimento do
canal, podemos utilizar em (4-31) uma matriz circulante truncada Po de dimensão
N x L onde as últimas N-L colunas são suprimidas deste modo o vetor r pode ser
expresso como:
r(n) = Po(n) hL(n) + n(n)
⎡I ⎤
onde Po = Pc ⎢ LxL ⎥
⎣ 0 ⎦
impulsional do canal.
(4-46)
e hL(n) é vetor de dimensão Lx1 contendo a resposta
4. Estimação de Canal
78
Assim podemos calcular a estimativa zero-forcing de hL(n) através de :
ĥL = Po†r = (PoH Po)-1PH r
(4-47)
onde Po† é a matriz pseudoinversa de Po.
A estimativa em (4-47) apresenta a vantagem de ter a dimensão igual à do
canal. Assim para se obter a estimativa da resposta de freqüência do canal em
cada uma das N subportadoras do símbolo OFDM temos que completar com N-L
zeros, o vetor ĥL obtido por meio de (4-47), e passar para o domínio da freqüência
o vetor resultante:
∧
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q final =
⎡I ⎤
N WN ⎢ LxL ⎥ ĥL
⎣ 0 ⎦
(4-48)
Substituindo (4-47) em (4-48) obtemos:
∧
q final =
N Wo Po†r
(4-49)
Esta estimativa já está refinada e é idêntica, como será mostrado mais
adiante nesta seção, as estimativas Pós e Pré-DFT obtidas respectivamente em (415) e (4-40), ao sistema CP-OFDM e ZP-OFDM (caso utilize pilotos iguais).
Assim a abordagem Pré-DFT de obtenção da estimativa da resposta em
freqüência do canal definida por (4-49) tem a vantagem de não necessitar da
matriz purificadora de canal para refinar a estimativa e tendo em vista que termo
(PoH Po) em (4-47) possui dimensão LxL, exige uma inversão de matriz com
dimensão menor que as abordagem Pré-DFT anteriores onde é necessário a
inversão da matriz Pc que possui dimensão NxN.
4. Estimação de Canal
79
A Figura 4.6 ilustra os três processos alternativos para obtenção da
estimativa refinada Pré-DFT discutidos nesta seção:
∧
r
ĥzf
Pc-1
∧
q zf
q final
N WN
1
Decima as N -L
componentes
e completa com
zeros
B
∧
q final
N WN
1
ĥL
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Po†
Completa as N -L
componentes
com zeros
N WN
∧
q final
1
Figura 4.6 – Processamentos alternativos para estimação refinada de canal Pré-DFT
Para verificar que o processamento que utiliza a matriz pseudoinversa Po†
conduz à mesma estimativa dada por (4-40).
No caso de sistemas CP-OFDM ( N = M):
⎡I ⎤
Po = Pc ⎢ LxL ⎥ =
⎣ 0 ⎦
⎡I ⎤
M WMH ScpWM ⎢ LxL ⎥
⎣ 0 ⎦
(4-50)
onde Scp é dado em (4-17) assim:
⎡I⎤
(PoH Po) = M [I 0] WMH ScpH WM WMH ScpWM ⎢ ⎥
⎣0 ⎦
(4-51)
(PoH Po) = M WoH ScpH ScpWo = M WoH D(|bi|2) Wo
(4-52)
4. Estimação de Canal
80
Como bi são símbolos de uma constelação M-PSK com norma unitária
temos:
(PoH Po)-1 = (M WoH Wo )-1 =
1
I LxL
M
(4-53)
Substituindo (4-53) em (4-49) tem-se:
∧
q final =
N Wo (PoH Po)-1PoH r = Wo [I 0] WMH ScpH WM r
∧
q final = Wo WoH ScpH WM r = B ScpH WM r
(4-54)
(4-55)
Tendo em vista que os símbolos piloto bi possuem norma unitária tem-se
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que ScpH Scp = I, ou seja ScpH = Scp-1. Deste modo a estimativa de canal Pré-DFT
para sistemas CP-OFDM dada por (4-55) é a mesma estimativa de canal Pós-DFT
obtida em (4-21).
Para o caso ZP-OFDM (N = P).
⎡I ⎤
Po = Pc ⎢ LxL ⎥ =
⎣ 0 ⎦
⎡I ⎤
P WPH SzpWP ⎢ LxL ⎥
⎣ 0 ⎦
(4-56)
onde Szp, para o caso de subsímbolos pilotos iguais, é dado em (4-28). Assim:
⎡I⎤
(PoH Po) = P [I 0] WMH SzpH WM WMH SzpWM ⎢ ⎥
⎣0 ⎦
(PoH Po) = P WoH SzpH SzpWo = P WoH D(
(PoH Po) = M WoH D(|b|2) Wo
(PoH Po)-1 = M (WoH Wo )-1 =
M 2
|b| ) Wo
P
(4-57)
(4-58)
(4-59)
1
I LxL
M
(4-60)
4. Estimação de Canal
81
Substituindo (4-60) em (4-49) tem-se:
∧
q final =
P Wo (PoH Po)-1PoH r =
∧
q final = Wo WoH D(
Como Szp = D(
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D(
P
Wo [I
M
0] WPH SzpH WP r
P
b * )WP r
M
(4-62)
M
b ) e b possuem norma unitária tem-se:
P
P
b * )Szp = I
M
e portanto D(
(4-61)
(4-63)
P
b * ) = Szp-1
M
(4-64)
Assim finalmente substituindo (4-64) em (4-62):
∧
q final = B Szp-1 WP r
(4-65)
A estimativa de canal Pré-DFT para sistemas ZP-OFDM dada por (4-65) é a
mesma estimativa de canal Pós-DFT obtida em obtida em (4-30). Conforme
ressaltado, este resultado é válido se forem utilizados blocos de pilotos iguais o
que garante a condição dada em (4-64). Para sistemas CP-OFDM não há esta
restrição.
Nesta seção foram apresentados três esquemas Pré-DFT, ilustrados na figura
4.5, para estimação de canal. Os dois esquemas que utilizam a matriz circulante Pc
geram estimativas de canal idênticas às estimativas Pós-DFT obtidas na Seção 4.1
para os casos CP-OFDM e ZP-OFDM. O terceiro esquema que utiliza a matriz
circulante truncada Po também apresenta as mesmas estimativas de canal obtidas
na Seção 4.1 para o caso CP-OFDM. Já para o sistema ZP-OFDM isto é verdade
se forem utilizados pilotos iguais.
4. Estimação de Canal
82
Foi verificado então que as estimativas Pré-DFT e Pós-DFT apresentam
resultados idênticos para ambos sistemas CP e ZP-OFDM. Por conveniência será
utilizado o esquema de estimação Pós-DFT no restante desta dissertação. Vale
ressaltar que os resultados obtidos, caso o esquema de estimação Pós-DFT fosse
utilizado, seriam idênticos.
4.3
Desempenho do esquema de estimação proposto nos sistemas
CP-OFDM e ZP-OFDM
Nesta Seção são apresentadas resultados do desempenho do sistema OFDM
que utiliza o esquema de estimação Pós-DFT, dado em (4-15), que utiliza matriz
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purificadora, considerando-se como comparação esquema de estimação de canal
sem purificação, introduzido em (4-2), para sinais CP-OFDM e ZP-OFDM, em
um canal de propagação fixo descrito por hL = [0.8677 0.4339 0.2169 0.1085 ]T.
Estes resultados foram obtidos por meio de rotinas de simulação dos conceitos
teóricos desenvolvidas em MATLAB.
As curvas obtidas são o resultado da média de 100 experimentos cada qual
composto da transmissão e recepção de 100 símbolos OFDM, onde cada símbolo
é formado por M + G subsímbolos QPSK, onde o primeiro símbolo OFDM é
utilizado como símbolo piloto. O número de subportadoras é M = 40 e o intervalo
de guarda possui dimensão G = 10.
∧
Para sistemas CP-OFDM as estimativas q zf dada em (4-18) e a estimativa
∧
q final dada em (4-21), geradas a partir do símbolo piloto, são usadas, nos
resultados aqui apresentados, para detecção dos sinais do bloco de símbolos
recebidos, segundo critério ZF [29] e conforme o equalizador descrito em (3-16).
Sendo assim, o sinal ycp(n), dado na saída do equalizador é dado por:
∧
ycp(n) = D( q )-1xcp(n)
(4-66)
4. Estimação de Canal
∧
83
∧
onde q = q zf para estimativas não purificadas e
∧
∧
q = q final para estimativas
purificadas e xcp(n) é definido em (4-17). Conforme discutido no Capítulo 3, o
sinal ycp(n), em (4-66), é utilizado na detecção de sinais, implementado com
receptor de mínima distância.
∧
Para sistemas ZP-OFDM as estimativas q zf dada em (4-24) e a estimativa
∧
q final dada em (4-30), geradas a partir do símbolo piloto (cujas componentes são
iguais), são usadas, nos resultados aqui apresentados, para detecção dos sinais do
bloco de símbolos recebidos, conforme o equalizador descrito em (3-14). Sendo
assim, o sinal ycp(n), dado na saída do equalizador é dado por:
∧
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
yzp(n) = (DP( q )V)† xzp(n)
∧
∧
(4-67)
Onde q = q zf para estimativas não purificadas e
∧
∧
q = q final para estimativas
purificadas, V é definido em (3-22) e xcp(n) é definido em (4-23). Conforme
discutido no Capítulo 3, o sinal ycp(n), em (4-66), é utilizado na detecção de
sinais, implementado com receptor de mínima distância.
Para sistemas CP-OFDM, os equalizadores ZF e MMSE nas curvas de
desempenho, são definidos em (3-16) e (3-17). No caso de sistemas ZP-OFDM, a
detecção utiliza os equalizadores ZF e MMSE em (3-23) e (3-24). Em ambos os
casos, considera-se o conhecimento perfeito do canal no receptor. Assim os dois
equalizadores são considerados como figura de mérito para comparação com o
desempenho dos equalizadores ZF dados em (4-66) e (4-67).
Para sistemas CP-OFDM, as curvas de desempenho obtidas, sem
compensação da degradação imposta pelo canal de propagação, são resultado da
detecção das observações definidas em (3-15), usando um detector de mínima
distância. De igual modo, para sistemas ZP-OFDM as curvas de desempenho
obtidas, sem compensação de canal, resultam da detecção das observações
definidas em (3-22) multiplicadas por VH, conforme o equalizador subótimo
apresentado em (3-25), porém sem compensação de canal.
4. Estimação de Canal
84
Para computação das estimativas purificadas para os sistemas CP-OFDM e
ZP-OFDM foi considerado o conhecimento a priori do comprimento L = 4 canal.
Assim a matriz Wo possui L colunas para os dois sistemas.
Abaixo são apresentadas curvas para taxa de erro de bit média em função da
relação sinal ruído:
Sistema de Transmissao CP-OFDM
0
10
-1
10
Taxa de Erro de Bit (TEB)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
-2
10
-3
10
-4
10
qpsk (awgn)
qpsk (awgn e canal fixo)
qpsk (awgn e canal fixo qpsk (awgn e canal fixo qpsk (awgn e canal fixo qpsk (awgn e canal fixo -
-5
10
equalizaçao zf pos-dft)
equalizaçao mmse pos-dft)
piloto pos-dft)
piloto pos-dft purificado)
-6
10
0
1
2
3
4
5
Eb/No (dB)
6
7
Figura 4.7 – CP-OFDM - Canal Fixo - Estimação Proposta de Canal com Pilotos
8
9
10
4. Estimação de Canal
85
Sistema de Transmissao ZP-OFDM
0
10
-1
10
Taxa de Erro de Bit (TEB)
-2
10
-3
10
-4
10
qpsk (awgn)
qpsk (awgn e canal fixo)
qpsk (awgn e canal fixo qpsk (awgn e canal fixo qpsk (awgn e canal fixo qpsk (awgn e canal fixo -
-5
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
10
equalizaçao zf pos-dft)
equalizaçao mmse pos-dft)
piloto pos-dft)
piloto pos-dft purificado)
-6
10
0
1
2
3
4
5
Eb/No (dB)
6
7
8
9
Figura 4.8 – ZP-OFDM - Canal Fixo - Estimação Proposta de Canal com Pilotos
Comparando-se as curvas de desempenho, nas Figuras 4-7 e 4-8, verifica-se
que em ambos os sistemas CP-OFDM e ZP-OFDM houve uma redução do nível
de Eb/No requerido para uma dada probabilidade de erro de aproximadamente
3dB, quando a estimativa de canal purificada é utilizada na detecção dos
símbolos. No presente caso onde o comprimento L do canal é conhecido nota-se
que a curva da estimativa purificada tem praticamente o mesmo desempenho das
curvas dos equalizadores ZF e MMSE onde o canal é conhecido no receptor.
A fim de se verificar a perda de desempenho caso se utilize o comprimento
da faixa de guarda G como estimativa do comprimento de canal quando este é um
parâmetro desconhecido em sistemas CP-OFDM e ZP-OFDM. São apresentadas
curvas para taxa de erro de bit média em função da relação sinal ruído para
estimativas purificadas que utilizam matriz Wo com G = 10 colunas e Wo com L =
4 colunas para sistemas CP-OFDM e ZP-OFDM:
10
4. Estimação de Canal
86
Sistema de Transmissao CP-OFDM
0
10
-1
10
Taxa de Erro de Bit (TEB)
-2
10
-3
10
-4
10
qpsk (awgn)
qpsk (awgn e canal fixo)
qpsk (awgn e canal fixo - equalizaçao zf pos-dft)
qpsk (awgn e canal fixo - equalizaçao mmse pos-dft)
qpsk (awgn e canal fixo - piloto pos-dft)
qpsk (awgn e canal fixo - matriz Wo com L colunas)
qpsk(awgn e canal fixo - matriz Wo com G colunas)
-5
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
10
-6
10
0
1
2
3
4
5
Eb/N0 (dB)
6
7
8
9
Figura 4.9 – CP-OFDM - Canal Fixo - Degradação do desempenho das estimativas
purificadas
10
4. Estimação de Canal
87
Sistema de Transmissao ZP-OFDM
0
10
-1
10
Taxa de Erro de Bit (TEB)
-2
10
-3
10
-4
qpsk (awgn)
qpsk (awgn e canal fixo)
qpsk (awgn e canal fixo - equalizaçao zf pos-dft)
qpsk (awgn e canal fixo - equalizaçao mmse pos-dft)
qpsk (awgn e canal fixo - piloto pos-dft)
qpsk (awgn e canal fixo - matriz Wo com L colunas)
qpsk(awgn e canal fixo - matriz Wo com G colunas)
10
-5
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
10
-6
10
0
1
2
3
4
5
Eb/No (dB)
6
7
8
9
Figura 4.10 – ZP-OFDM - Canal Fixo - Degradação do desempenho das estimativas
purificadas
Comparando-se as curvas de desempenho, nas Figuras 4-9 e 4-10, quando se
utiliza comprimento G = 10 da faixa de guarda na obtenção das estimativas
purificadas há uma ligeira perda de desempenho em relação às estimativas
purificadas quando se utiliza o comprimento real do canal L = 4 como era de se
esperar. Esta perda de desempenho tende a aumentar à medida que a relação entre
G e L aumenta. Assim é importante que o comprimento da faixa de guarda seja
bem dimensionado para o ambiente de propagação onde os sistemas CP e ZPOFDM serão utilizados.
No próximo capítulo serão estudados métodos para adaptativos para reduzir
a variância das estimativas de canal fixo e rastreamento das variações temporais
de canais variantes dentro de cada bloco de símbolos OFDM.
10
88
5
Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
No capítulo anterior foram apresentados métodos para estimação de canal
utilizando símbolos piloto em sistemas CP-OFDM e ZP-OFDM. As estimativas
de canal, obtidas no inicio do bloco de símbolos OFDM recebidos, são utilizadas
em equalizadores ZF ou MMSE, sendo os sinais na saída deste equalizadores
utilizados na detecção dos sub-símbolos OFDM. A estimativa de canal inicial é
então utilizada pelos equalizadores ao longo de todo bloco de símbolos OFDM.
Esta seção aborda métodos para redução da variância do erro da estimativa
inicialmente obtida ao longo do bloco de símbolos OFDM. Isto é especialmente
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importante para canais variantes no tempo, pois neste caso a variância do erro da
estimativa inicial aumenta gradativamente ao longo do bloco de símbolos OFDM.
∧
A estimativa do canal utilizando matriz purificadora q final em (4-15) é
obtida através de um símbolo piloto OFDM. A matriz covariância Kq
final
das
estimativas é dada então por (4-14). Para canais fixos, as componentes desta
matriz variâncias podem ser diminuídas se a estimativa de canal for o resultado
da média de N estimativas obtidas independentemente. Chamando a média de N
∧
∧
∧
∧
estimativas independentes q final(1) , q final(2), ..., q final(N) de q médio
∧
q médio =
1
N
N
^
∑ q final (n) =
n =1
1
N
N
∑ (q + nfinal (n)) = q +
n =1
1
N
tem-se que:
N
∑n
n =1
final
( n)
(5-1)
Onde q é a resposta de freqüência do canal dado em (4-12a) e nfinal dado em (4∧
13) é o ruído da estimativa q final. Considerando que os vetores de ruído no
somatório em (5-1) são estatisticamente independentes e têm média nula, a matriz
∧
covariância de q médio é dado por:
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
Kq médio =
1
N2
∑ E[n
]
H
final
( n)n final (n) =
n
89
N
1
Kq final =
Kq final
2
N
N
(5-2)
Assim as variâncias das componentes da média das estimativas do canal são
reduzidas por um fator de
1
.
N
Assim o uso de N símbolos piloto, ao invés de apenas um símbolo piloto, no
início de cada bloco de símbolos OFDM, x(n) definido em (4-1), transmitidos tem
a vantagem de produzir uma estimativa com uma variância menor, à custa da
redução do troughput, pois neste caso utiliza-se N símbolos somente para
transmissão de símbolos piloto.
Uma maneira alternativa para obter a redução da variância da estimativa do
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canal sem a utilização de N símbolos piloto pode ser feita utilizando um símbolo
∧
piloto no início do bloco OFDM para gerar a estimativa de canal refinada q final,
estimativa esta que é, então, utilizada como condição inicial para o método de
decisão direta (decision directed) utilizado para obtenção das estimativas de canal
em cada símbolo x(n) do bloco OFDM. A estimativa de canal de cada símbolo
x(n) é utilizada para se estimar um vetor ŝ(n) contendo os valores complexos
transmitidos em cada subportadora do símbolo OFDM posterior. O vetor ŝ(n) é
∧
finalmente utilizado para gerar uma estimativa do canal q adap(n) no n-ésimo
símbolo x(n) da seguinte forma:
∧
q adap(n) =
1 n ^ −1
B n ^ −1
B
S
(
i
)
x
(
i
)
=
∑
∑ S(i) x(i)
n + 1 i =0
n + 1 i =0
(5-3)
onde B é a matriz purificadora definida após (4-15), para sistemas CP-OFDM
x(n) = xcp(n),definido em (4-17) e para sistemas ZP-OFDM x(n) = xzp(n), definido
em (4-23).A matriz Ŝ(n) = diag(ŝ(n)) onde ŝ(n) é dado por:
∧
^
ŝ(n) = disc[D( q adap(n-1))-1 x(n)] = d(n)
para sistemas CP-OFDM e por:
, n = 1 , 3...
(5-4a)
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
∧
†
^
ŝ(n) = Vdisc[(D( q adap(n-1)V) x(n)] = V d(n)
90
, n = 1 , 3...
(5-4b)
para sistemas ZP-OFDM.
A função disc[z] retorna, para cada componente de z, o símbolo da
constelação M-PSK utilizado, pelo critério de mínima distância, resultando em um
^
vetor d(n) . No instante inicial n = 0 tem-se:
Ŝ(0) = S(0)
(5-5)
onde S é a matriz diagonal contendo os símbolos piloto definida em (4-1).Para
sistemas CP-OFDM S = Scp ,definida em (4-17), e para sistemas ZP-OFDM, S =
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Szp, definida em (4-23b).
∧
Pode-se observar a partir de (5-3) que a estimativa q adap(n) no instante
∧
inicial n = 0 é igual a estimativa do canal refinada q final gerada a partir do
símbolo piloto inicial.
Comparando-se (5-3) com (4-15) e (4-2) nota-se que B Ŝ(i)-1x(i) é uma
∧
aproximação da estimativa de canal purificada q final(i) pois Ŝ(i) pode diferir de
S(i) visto que as componentes de Ŝ(i) contêm
estimativas dos símbolos
transmitidos nas subportadoras do símbolo OFDM no instante i. Deste modo
∧
∧
q adap(n) pode ser visto como uma aproximação de q médio, no instante n. Assim, a
∧
∧
estimativa de canal q adap(n) tem a variância reduzida em relação a q adap(0), a
estimativa obtida a partir do símbolo piloto, tendo o fator de redução um limite
inferior de
1
.
n +1
Para um bloco de símbolos OFDM recebido, as estimativas de canal são
calculadas para cada instante n e refinadas utilizando as estimativas calculadas
anteriormente constituindo-se assim um método adaptativo para redução da
variância. É importante ressaltar que em situações de baixa relação sinal-ruído os
erros em ŝ(n), dado em (5-4), podem se propagar continuamente, aumentando o
erro da estimativa em (5-3).
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
91
O método de redução da variância da estimativa apresentada em (5-1) e (5∧
3) é uma aproximação da média estatística da estimativa de canal q final (n). A
média estatística de uma seqüência de variáveis aleatórias de média constante
pode ser vista como a componente DC da mesma, deste modo a operação que a
retorna a média estatística de uma variável aleatória pode ser vista como uma
filtragem passa-baixa perfeita que retorna a componente DC da seqüência. Assim
a aproximação da média estatística em (5-1) e (5-3) pode ser entendida como um
processo de filtragem da estimativa de canal visando reduzir o ruído da estimativa.
Para o caso de canal fixo com resposta de freqüência q, a média da estimativa de
canal é a própria resposta em freqüência do canal q como pode ser visto em (4-1).
Deste modo a filtragem da estimativa de canal utilizando (5-1) e (5-3) converge
no sentido da média quadrática, para o valor correto q.
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Para canais variantes no tempo, o método de redução da variância da
estimativa do canal apresentado em (5-1) deve ser modificado para se adaptar as
variações temporais do canal. A introdução de um fator de esquecimento 0 < λ <
∧
1, em (5-3), faz com as estimativas de canal q final(n) nos instantes n mais recentes
tenham maior peso no somatório que as estimativas em instantes n mais distantes
do presente, “esquecendo” assim o passado:
∧
q adap(n) =
n
∑λ
i =0
n-i
^
n
^
B S(i ) −1 x(i ) = B∑ λ n-i S(i ) −1 x(i )
(5-6)
i =0
Para canais com variações temporais rápidas o valor de λ deve ser reduzido
para que uma maior quantidade de estimativas passadas, que tenham variado
significativamente em relação à estimativa atual, sejam descartadas. Porém isto
torna a redução da variância da estimativa menor, pois o número de termos
significativos no somatório em (5-6) diminui Para canais com variações lentas, a
resposta de freqüência do canal, q(n), varia pouco ao longo bloco de símbolos
OFDM assim λ pode ser escolhido próximo à unidade fazendo com que a redução
da variância da estimativa de canal no instante n seja bem próxima a redução
obtida para canais fixos. Alternativamente, analisando o somatório em (5-6)
verifica-se que se trata da operação de convolução discreta da seqüência
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
92
BŜ(n)-1x(n) com a seqüência λnu(n), onde u(n) representa a seqüência degrau
unitário. Esta convolução discreta equivale a passar a seqüência BŜ(n)-1x(n) por
um filtro passa-baixas discreto com um pólo λ. Assim a banda do filtro passabaixas deve ser suficiente para acomodar as variações temporais de q(n) evitandose distorção do espectro, e estreita o suficiente para reduzir a variância do ruído
em BŜ(n)-1x(n). Assim como a banda desse filtro é inversamente proporcional a λ,
se o canal varia rápido a banda do filtro deve ser aumentada e conseqüentemente
λ deve ser diminuído. Caso o canal varie mais lentamente reduz-se a banda do
filtro aumentando λ. Para canais fixos o valor de λ é igual a unidade torna (5-7)
igual a (5-3) e conforme n aumenta, (5-7) tende para um passa-baixas ideal que
retorna somente a componente DC da seqüência BŜ(n)-1x(n), ou seja a média
estatística da seqüência BŜ(n)-1x(n) que é a resposta em freqüência do canal q.
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Assim foi apresentado em (5-6) um método adaptativo para redução da
variância do erro da estimativa, obtida a partir de uma estimativa inicial.
Analisando (5-6) é observado que a redução da variância da estimativa é obtida
através da média ponderada das estimativas de canal Ŝ(n)-1x(n), obtidas através do
método decision-directed, e são posteriormente refinadas pela matriz purificadora
B.
Um procedimento adaptativo para reduzir a variância do ruído da estimativa
de canal a partir de uma estimativa inicial com um desempenho superior ao uso da
média ponderada, dada em (5-6), pode ser obtido utilizando-se o algoritmo LS
(Least Squares) para aproximar a solução MMSE (solução de Wiener) [3], [8],
[21].
5.1
Estimação de Canal Adaptativa utilizando algoritmo LS
A idéia por atrás do algoritmo LS é minimizar a função custo Least Squares
ponderado definido como [3], [8], [21]:
∧
C( q ) =
n
∑λ
i =0
n-i
e(i )
2
(5-7)
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
93
onde 0 < λ ≤ 1, introduzido em (5-6) é um fator de esquecimento que
efetivamente limita o número de amostras de entrada na função custo, tendo a
mesma função que em (5-6), ou seja, dar um peso maior as entradas nos instantes
mais recentes. O vetor erro e(i) é a diferença entre o vetor observado x(i) e o vetor
∧
que observaríamos se q(n) = q (n) e se não houvesse ruído. É provado que
algoritmos baseados na função custo (5-7), chamados de algoritmos LS possuem
a taxa de convergência mais rápida que outros algoritmos adaptativos como o
LMS [8].
Para o modelo de estimação do canal introduzido nesta dissertação o vetor
erro é dado por:
∧
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e(i) = x(i) - Ŝ(i) q
(5-8)
∧
onde Ŝ(i), é definido após (5-3) e q (n) é a estimativa resposta de freqüência do
canal no domínio da freqüência (não necessariamente purificada pela matriz B).
Substituindo (5-8) em (5-7) tem-se:
∧
C( q (n)) =
n
∑λ
n-i
^
^
2
x(i ) - S(i ) q(n)
(5-9)
i =0
∧
A função custo C( q (n)) é minimizada calculando seu gradiente em relação
∧
as componentes de q (n) e igualando o resultado a zero:
∧
∇C( q (n)) =
n
∑λ
i =0
n-i
^
^
^
⎡^
⎤
2⎢S(i ) H S(i ) q(n) − S(i ) H x(i )⎥
⎣
⎦
n
n
^
∧
⎡^
⎤^
⎡^
⎤
∇ C( q (n)) = 0 ∴ ∑ λ n-i ⎢S(i ) H S(i )⎥ q( n) = ∑ λ n-i ⎢S(i ) H x(i )⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
i =0
i =0
Esta igualdade pode ser escrita sob forma de matrizes:
(5-10)
(5-11)
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
∧
R(n) q (n) = P(n)
n
onde R(n)=
∑λ
n-i
i =0
94
(5-12)
⎡^ H ^ ⎤
⎢⎣S(i ) S(i )⎥⎦ e P(n) =
n
∑λ
n-i
i =0
⎡^ H
⎤
⎢⎣S(i ) x(i )⎥⎦
∧
De (5-12) tem-se que o vetor q (n) que minimiza a função custo em (5-9) é
dada por:
∧
q (n) = R(n)-1P(n)
(5-13)
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∧
A estimativa de canal q (n) é a estimativa minimiza a soma dos erros
quadráticos obtidos para um certo número de entradas passadas que é determinado
pelo fator de esquecimento λ obtida para cada instante n através de (5-13), sendo
uma aproximação da solução de Wiener [8]. De fato, λ dá um peso maior as
∧
amostras mais recentes, de modo que C( q (n)) tende a esquecer o passado,
fazendo com que pequenas variações temporais podem ser rastreadas. Para canais
fixos o valor de λ deve ser igual à unidade. Em um ambiente de canal variante o
valor λ não tem influência na taxa de convergência, porém determina a
capacidade de rastreamento do algoritmo [8].
A fim de obter uma maior velocidade de convergência em (5-13),
∧
multiplica-se estimativa de canal q (n) em cada instante n, pela matriz
purificadora B fazendo com que a variância da estimativa de canal seja reduzida
em cada instante n:
∧
∧
q adap (n) = B q (n) = B R(n)-1P(n)
∧
Assim q adap (n) pode ser expresso como:
(5-14)
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
^
⎡ n
⎤⎤
⎡^
q adap (n) = B ⎢∑ λ n-i ⎢S(i ) H S(i )⎥ ⎥
⎣
⎦⎦
⎣ i =0
∧
−1
⎡ n n-i ⎡ ^ H
⎤⎤
⎢∑ λ ⎢S(i ) x(i )⎥ ⎥
⎣
⎦⎦
⎣ i =0
95
(5-15)
Um desenvolvimento análogo pode ser feito utilizando uma estimativa de
∧
canal q (n) com uma restrição dada por:
∧
q (n) = N Wo ĥL(n)
(5-16)
onde ĥL(n) é a estimativa da resposta impulsional do canal com L componentes,
ou seja, com o mesmo comprimento da resposta impulsional do canal h(n). Isto
∧
significa que a estimativa de canal q (n) fica restrita ao sub-espaço gerado por Wo,
ou seja ao subespaço onde a verdadeira resposta de freqüência tem que estar, em
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∧
outras palavras q (n) está purificado. Assim a função a ser minimizada passa a ser
então:
C(ĥL(n)) =
n
∑λ
n-i
i =0
^
^
2
x(i ) - S(i ) N Wo h L (n)
(5-17)
Minimizando-se (5-17) em relação a ĥL e utilizando-se (5-16) obtêm-se uma
∧
estimativa de canal q adap (n) já purificada dada por:
^
⎡ n
⎤⎤
⎡ H ^
q adap(n)=Wo ⎢∑ λ n-i ⎢ Wo S(i ) H S(i ) Wo ⎥ ⎥
⎦⎦
⎣
⎣ i =0
∧
−1
⎡ n n-i ⎡ H ^ H
⎤⎤
⎢∑ λ ⎢ Wo S(i ) x(i )⎥ ⎥ (5⎣
⎦⎦
⎣ i =0
18)
Conforme visto em (5-4a), para sistemas CP-OFDM, as componentes da
matriz diagonal Ŝ(n) são símbolos M-PSK com norma unitária, deste modo temse:
Ŝ(n)H Ŝ(n) = I
(5-19)
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
96
conseqüentemente:
WoH Ŝ(n)H Ŝ(n)Wo = I
(5-20)
Assim substituindo (5-19) e (5-20) em (5-15) e (5-18) respectivamente
obtêm-se, para sistemas CP-OFDM, obtêm-se uma expressão simplificada para
∧
q adap (n):
−1
⎤ ⎡ n
⎡ n
⎡ H ^
⎤⎤
q adap (n) = Wo ⎢∑ λ n-i ⎥ ⎢∑ λn-i ⎢ Wo S(i ) H x (i )⎥ ⎥ =
⎣
⎦⎦
⎦ ⎣ i =0
⎣ i =0
∧
−1
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⎡ n
⎤ ⎡ n
⎡^
⎤⎤
B ⎢∑ λ n-i ⎥ ⎢∑ λn-i ⎢S(i ) H x (i )⎥ ⎥ =
⎣
⎦⎦
⎣ i =0
⎦ ⎣ i =0
⎤
⎡ 1 − λ ⎤ ⎡ n n-i ⎡ ^ H
λ ⎢S(i) x (i )⎤⎥ ⎥
= B⎢
n +1 ⎥ ⎢∑
⎣
⎦⎦
⎣1 − λ ⎦ ⎣ i =0
(5-21)
Assim a partir de (5-21) observa-se que para sistemas CP-OFDM, a
∧
estimativa de canal purificada q adap (n) que aproxima a solução de Wiener obtida,
minimizando a função de custo para estimativas de canal geral, dada em (5-9), e
posteriormente multiplicando o resultado pela matriz de purificação B gera o
mesmo resultado que minimizando a função de custo para estimativas de canal
pré-purificadas dada em (5-17).
Para sistemas ZP-OFDM, as componentes da matriz diagonal Ŝ(n) são o
resultado da combinação linear de símbolos M-PSK com norma unitária,
conforme visto em (5-4b) assim a condição dada em (5-19) não é mais válida.
∧
Neste caso q adap (n) deve ser obtido através de (5-15) ou (5-18) que geram
resultados bastante semelhantes. Assim nesta dissertação a expressão dada (5-15)
é utilizada pela menor complexidade computacional, pois exige uma inversão de
uma matriz diagonal PxP (Ŝ(n)H Ŝ(n)) enquanto que (5-18) exige uma inversão
de uma matriz não diagonal PxP (WoH Ŝ(n)H Ŝ(n) Wo).
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
97
5.1.1
Algoritmo LS Recursivo (RLS - Recursive Least Squares)
Na subseção anterior foi derivado uma expressão (5-14) para determinar a
∧
estimativa da freqüência de canal q (n), que minimiza a função custo dada em (59), repetida aqui por conveniência:
∧
q (n) = R(n)-1P(n)
que pode ser resolvida recursivamente como será visto a seguir.
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Expressando primeiramente P(n), dada em (5-12), em termos de P(n) e
P(n-1) :
n
P(n) =
∑ λn-i ⎡⎢S(i) H x(i)⎤⎥ =
i =0
^
⎣
⎦
n −1
∑ λn-i ⎡⎢S(i) H x(i)⎤⎥ + λ0 S(i) H x(i)
i =0
^
⎣
^
⎦
^
P(n) = λ P(n-1) + S(n) H x(n)
(5-22)
(5-23)
Similarmente para R(n), dado em (5-12), em termos de R(n) e R(n-1):
n
^
^
^
⎡^
⎤ n −1
⎡^
⎤
⎡^
⎤
R(n)= ∑ λ n-i ⎢S(n) H S(n)⎥ = ∑ λ n-i ⎢S(n) H S(n)⎥ + λ0 ⎢S(n) H S(n)⎥
⎣
⎦ i =0
⎣
⎦
⎣
⎦
i =0
^
^
R(n) = λ R(n-1) + S(n) H S(n)
(5-24)
(5-25)
Como R(n) é uma matriz diagonal o cálculo de sua inversa é simples, não
sendo necessário assim desenvolver uma forma recursiva para calcular
diretamente R(n)-1 como é feito nos algoritmos RLS convencionais [8], [21].
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
98
Para sistemas CP-OFDM, observa-se através de (5-20), que a matriz R(n)-1
não varia com n sendo definida por:
⎡ 1− λ ⎤
R(n)-1 = ⎢
I
n +1 ⎥
⎣1 − λ ⎦
(5-26)
∧
Assim para se obter q adap (n), em sistemas CP-OFDM, é necessário
calcular recursivamente a matriz P(n). Desta forma substituindo (5-23) em (5-21)
obtêm-se a expressão recursiva:
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^
∧
⎡ 1− λ ⎤
⎡ 1− λ ⎤
[λ
P
(n-1)
+
S
( n ) H x ( n) ] = B ⎢
P(n) (5-27)
q adap (n)= B ⎢
n +1 ⎥
n +1 ⎥
⎣1 − λ ⎦
⎣1 − λ ⎦
∧
onde as condições iniciais para q adap (0) e P(0) são obtidas partir do símbolo
piloto no início do bloco de símbolos CP-OFDM recebidos:
∧
q adap (0) = BS-1x(0)
(5-28)
P (0) = SH x(0)
(5-29)
onde S é a matriz diagonal contendo os símbolos piloto definida em (4-1).
Para sistemas ZP-OFDM, R(n) não é constante, tendo assim que ser
∧
calculada recursivamente. Desta forma q adap (n) é obtida substituindo (5-23) e (525) em (5-15) resultando em:
^
∧
^
-1
q adap(n)=B[λ R(n-1) + S(n) H S(n) ]
= BR(n)-1P(n)
^
[λ P(n-1) + S(n) H x(n) ] =
(5-30)
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
99
∧
onde as condições iniciais para q adap (0), R(0) e P(0) são obtidas partir do
símbolo piloto no início do bloco de símbolos ZP-OFDM recebidos:
∧
q adap (0) = BS-1x(0)
(5-31)
P (0) = SH x(0)
(5-32)
R(0) = SHS
(5-33)
Assim foi desenvolvido em (5-27) e (5-30), um algoritmo recursivo RLS,
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para sistemas CP e ZP-OFDM respectivamente que retorna para cada instante n a
estimativa da resposta de freqüência do canal que minimiza a função custo em (59) a partir de uma estimativa inicial, purificada pela matriz B, obtida pelo símbolo
piloto no início do bloco de símbolos CP e ZP-OFDM recebidos.
O desempenho deste esquema adaptativo de estimação de canal para
sistemas CP-OFDM e ZP-OFDM, é mostrado na próxima seção.
5.2
Desempenho do esquema de estimação de canal adaptativo RLS nos
sistemas CP-OFDM e ZP-OFDM
Nesta Seção são apresentados os resultados do desempenho do esquema de
estimação de canal adaptativa Pós-DFT, obtidas através de (5-14) que utiliza
matriz purificadora, utilizando o algoritmo RLS apresentado na subseção 5.1.1,
considerando-se como comparação o esquema de estimação de estimação de canal
adaptativa RLS sem purificação, obtidos a partir de (5-13), para sinais CP-OFDM
e ZP-OFDM, em um canal de propagação fixo descrito por hL = [ 0.8677 0.4339
0.2169 0.1085 ]T. A fim de se observar o desempenho do esquema de estimação
RLS em ambientes de propagação com variações temporais são utilizados canais
de propagação variantes, descrito na subseção 3.3.4, onde o valor de fdTofdm é
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
100
variado a fim de se verificar o desempenho do esquema de estimação RLS em
diferentes velocidades de desvanecimento atuante no canal.
Os resultados das simulações foram obtidos por meio de rotinas de
simulação dos conceitos teóricos desenvolvidas em MATLAB.
As curvas obtidas são o resultado da média de 100 experimentos cada qual
composto da transmissão e recepção de 100 símbolos OFDM, onde cada símbolo
é formado por M + G sub-símbolos QPSK, onde o primeiro símbolo OFDM é
utilizado como símbolo piloto. O número de subportadoras é M = 40 e o intervalo
de guarda possui dimensão G = 10.
Para sistemas CP-OFDM, os equalizadores ZF e MMSE, nas curvas de
desempenho, definidas em (3-16) e (3-17) para canais fixos e (3-47) e (3-48) para
canais variantes. No caso de sistemas ZP-OFDM, a detecção utiliza os
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
equalizadores ZF e MMSE em (3-23) e (3-24) para canais fixos e (3-49) e (3-50)
para canais variantes. Em ambos os casos, é considerado o conhecimento perfeito
do canal no receptor para os casos de canal fixo e variante. Assim os dois
equalizadores são considerados como figura de mérito para comparação com o
desempenho dos equalizadores ZF dados por:
∧
ycp(n) = D( q adap (n))-1xcp(n)
(5-34)
para sistemas CP-OFDM e
∧
yzp(n) = (DP( q adap (n))V)† xzp(n)
(5-35)
para sistemas ZP-OFDM
Para sistemas CP-OFDM, as curvas de desempenho obtidas, sem
compensação da degradação imposta pelo canal de propagação, são o resultado da
detecção das observações definidas em (3-15), usando um detector de mínima
distância. De igual modo, para sistemas ZP-OFDM as curvas de desempenho
obtidas, sem compensação de canal, resultam da detecção das observações
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
101
definidas em (3-22) multiplicadas por VH, conforme o equalizador subótimo
apresentado em (3-25), neste caso sem compensação de canal.
5.2.1
Desempenho do esquema de estimação de canal adaptativo RLS nos
sistemas CP-OFDM e ZP-OFDM para canal fixo
Nesta subseção são apresentados os resultados das simulações para sinais
CP-OFDM e ZP-OFDM, em um canal de propagação fixo descrito por
hL = [ 0.8677 0.4339 0.2169 0.1085 ]T. Primeiramente é considerado o
conhecimento a priori do comprimento do canal L = 4, deste modo a matriz Wo
possui L colunas para os sistemas CP e ZP-OFDM. O valor de λ foi 0,999, bem
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próximo a unidade, visto que o canal é fixo.
Abaixo são apresentadas, para os sistemas CP e ZP-OFDM, curvas para taxa
de erro de bit média em função da relação sinal ruído e o erro médio quadrático
das estimativas de canal produzidas pelos esquemas de estimação RLS com matriz
purificadora e sem matriz purificadora, para um valor de Eb/No = 13dB, para
ambos os sistemas:
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
102
Sistema de Transmissao CP-OFDM
0
10
-1
10
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
Taxa de Erro de Bit (TEB)
-2
10
-3
10
-4
10
qpsk (awgn)
qpsk (awgn e canal fixo)
qpsk (awgn e canal fixo qpsk (awgn e canal fixo qpsk (awgn e canal fixo qpsk (awgn e canal fixo -
-5
10
equalizaçao zf pos-dft)
equalizaçao mmse pos-dft)
piloto RLS pos-dft)
RLS piloto pos-dft purificado)
-6
10
0
1
2
3
4
5
Eb/No (dB)
6
7
8
9
Figura 5.1 – CP-OFDM - Canal Fixo - Estimação de Canal com Pilotos utilizando
algoritmo RLS-comprimento do canal conhecido a apriori
10
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
103
CP-OFDM - Piloto Adaptativo RLS Pos-DFT - Eb/No = 10 dB
1.4
piloto RLS
piloto RLS purificado
1.2
Erro Medio Quadratico
1
0.8
0.6
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
60
Numero de Simbolos CP-OFDM
70
80
90
Figura 5.2 – CP-OFDM - Canal Fixo – Erro Médio Quadrático entre as estimativas de
canal com Pilotos utilizando algoritmo RLS com matriz purificadora e sem matriz
purificadora
100
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
104
Sistema de Transmissao ZP-OFDM
0
10
-1
10
-2
Taxa de Erro de Bit (TEB)
10
-3
10
-4
10
-5
10
qpsk (awgn)
qpsk (awgn e canal fixo)
qpsk (awgn e canal fixo qpsk (awgn e canal fixo qpsk (awgn e canal fixo qpsk (awgn e canal fixo -
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
-6
10
equalizaçao zf pos-dft)
equalizaçao mmse pos-dft)
piloto RLS pos-dft)
RLS piloto pos-dft purificado)
-7
10
0
1
2
3
4
5
Eb/No (dB)
6
7
8
9
Figura 5.3 – ZP-OFDM - Canal Fixo - Estimação de Canal com Pilotos utilizando
algoritmo RLS-comprimento do canal conhecido a apriori
10
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
105
ZP-OFDM - Piloto Adaptativo RLS Pos-DFT - Eb/No = 10 dB
1.6
piloto RLS
piloto RLS purificado
1.4
Erro Medio Quadratico
1.2
1
0.8
0.6
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
60
Numero de Simbolos ZP-OFDM
70
80
90
Figura 5.4 – ZP-OFDM - Canal Fixo – Erro Médio Quadrático entre as estimativas de
canal com Pilotos utilizando algoritmo RLS com matriz
purificadora e sem matriz
purificadora
Observando as curvas de desempenho, nas Figuras 5-1 e 5-3, que em ambos
os sistemas CP-OFDM e ZP-OFDM as curvas de desempenho utilizando o
esquema de estimação RLS de canal com matriz purificadora, são praticamente
coincidentes com as curvas dos equalizadores ZF e MMSE onde o canal é
conhecido no receptor. Além disso, o valor de Eb/No requerido para uma dada
probabilidade de erro para o esquema de estimação RLS utilizando matriz
purificadora é 2 dB menor que o esquema de estimação RLS sem matriz
purificadora para sistemas CP-OFDM e 1dB menor para sistemas ZP-OFDM.
O melhor desempenho do esquema de estimação RLS com matriz
purificadora pode ser verificado nas figuras 5-2 e 5-4 onde o erro médio
quadrático das estimativas RLS purificadas e não purificadas são apresentadas
para um valor de Eb/No = 13dB. Verifica-se que a estimativa inicial no esquema
100
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
106
RLS purificado, para o sistema CP-OFDM e ZP-OFDM, possui um erro médio
quadrático
L
vezes menor que o erro médio quadrático da estimativa inicial do
M
esquema RLS não purificada. No caso RLS purificado o erro médio quadrático
converge para zero em aproximadamente 20 símbolos enquanto que no caso RLS
não purificado o erro médio quadrático não converge para zero ficando um erro
residual em ambos os sistemas CP-OFDM e ZP-OFDM.
A fim de se verificar a perda de desempenho caso se utilize o comprimento
da faixa de guarda G = 10 como estimativa do comprimento de canal quando este
é um parâmetro desconhecido em sistemas CP-OFDM e ZP-OFDM, neste caso a
matriz Wo possui G colunas, são apresentadas curvas para taxa de erro de bit
média em função da relação sinal ruído para estimativas pelos esquemas de
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
estimação RLS com matriz purificadora e sem matriz purificadora e o erro médio
quadrático das estimativas de canal produzidas pelos esquemas de estimação RLS
com matriz purificadora e sem matriz purificadora para os dois sistemas:
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
107
Sistema de Transmissao CP-OFDM
0
10
-1
10
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
Taxa de Erro de Bit (TEB)
-2
10
-3
10
-4
10
qpsk (awgn)
qpsk (awgn e canal fixo)
qpsk (awgn e canal fixo qpsk (awgn e canal fixo qpsk (awgn e canal fixo qpsk (awgn e canal fixo -
-5
10
equalizaçao zf pos-dft)
equalizaçao mmse pos-dft)
piloto RLS pos-dft)
RLS piloto pos-dft purificado)
-6
10
0
1
2
3
4
5
Eb/No (dB)
6
7
8
9
Figura 5.5 – CP-OFDM - Canal Fixo - Estimação de Canal com Pilotos utilizando
algoritmo RLS-comprimento G da faixa de guarda utilizado para estimar o comprimento
do canal
10
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
108
CP-OFDM - Piloto Adaptativo RLS Pos-DFT - Eb/No = 10 dB
1.4
piloto RLS
piloto RLS purificado
1.2
Erro Medio Quadratico
1
0.8
0.6
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
60
Numero de Simbolos CP-OFDM
70
80
90
Figura 5.6 – CP-OFDM - Canal Fixo – Erro Médio Quadrático entre as estimativas de
canal com Pilotos utilizando algoritmo RLS com matriz purificadora e sem matriz
purificadora
100
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
109
Sistema de Transmissao ZP-OFDM
0
10
-1
10
Taxa de Erro de Bit (TEB)
-2
10
-3
10
-4
10
qpsk (awgn)
qpsk (awgn e canal fixo)
qpsk (awgn e canal fixo qpsk (awgn e canal fixo qpsk (awgn e canal fixo qpsk (awgn e canal fixo -
-5
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
10
equalizaçao zf pos-dft)
equalizaçao mmse pos-dft)
piloto RLS pos-dft)
RLS piloto pos-dft purificado)
-6
10
0
1
2
3
4
5
Eb/No (dB)
6
7
8
9
Figura 5.7 – ZP-OFDM - Canal Fixo - Estimação de Canal com Pilotos utilizando
algoritmo RLS-comprimento G da faixa de guarda utilizado para estimar o comprimento
do canal
10
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
110
ZP-OFDM - Piloto Adaptativo RLS Pos-DFT - Eb/No = 10 dB
1.6
piloto RLS
piloto RLS purificado
1.4
Erro Medio Quadratico
1.2
1
0.8
0.6
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
60
Numero de Simbolos ZP-OFDM
70
80
90
Figura 5.8 – ZP-OFDM - Canal Fixo – Erro Médio Quadrático entre as estimativas de
canal com Pilotos utilizando algoritmo RLS com matriz purificadora e sem matriz
purificadora.
A perda de desempenho pode ser verificada através das figuras 5-6 e 5-8
onde são apresentadas os valores de erros médios quadráticos das estimativas RLS
purificadas e não purificadas para um Eb/No=13dB para os sistemas CP-OFDM e
ZP-OFDM respectivamente. Verifica-se que a estimativa inicial no esquema RLS
purificado, para o sistema CP-OFDM e ZP-OFDM, possui um erro médio
quadrático
G
vezes menor que o erro médio quadrático da estimativa inicial do
M
esquema RLS não purificada. No esquema de estimação com matriz purificada o
valor de erro médio quadrático converge para zero em aproximadamente 50
símbolos. No entanto esta perda de desempenho no erro médio quadrático quando
se utiliza o comprimento G da faixa de guarda ao invés do comprimento L do
canal não é perceptível no desempenho da taxa de erro bit média visto que
100
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
111
observando as curvas de desempenho, nas figuras 5-5 e 5-6, que em ambos os
sistemas CP-OFDM e ZP-OFDM as curvas de desempenho utilizando o esquema
de estimação RLS de canal com matriz purificadora, são praticamente iguais às
curvas dos equalizadores ZF e MMSE onde o canal é conhecido no receptor como
no caso anterior onde o comprimento L = 4 era conhecido, o que indica que o
esquema de estimação de canal RLS utilizando matriz purificadora é pouco
sensível a estimativas conservadoras do comprimento do canal.
Assim se o comprimento da faixa de guarda for bem dimensionado, sendo
seu comprimento G maior que o comprimento L do canal, a matriz Wo pode ser
feita com G colunas não sendo necessário o conhecimento a priori do canal.
Na próxima subseção será apresentado o desempenho do esquema de
estimação de canal RLS com matriz purificadora e sem matriz purificadora para
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
canais variantes utilizando G como estimativa do comprimento do canal.
5.2.2
Desempenho do esquema de estimação de canal adaptativo RLS nos
sistemas CP-OFDM e ZP-OFDM para canal variante
Nesta subseção são apresentados os resultados das simulações para sinais
CP-OFDM e ZP-OFDM, em um canal de propagação variante, com as
características descritas na sub-seção 3.1.1, onde é descrito que as variações
temporais do canal ocorrem somente entre símbolos OFDM, de modo que as
características do canal permanecem fixas dentro do intervalo de duração Tofdm do
símbolo OFDM. Para se verificar o desempenho do esquema de estimação RLS
para diferentes velocidades de desvanecimento do canal são utilizados três valores
para fdTofdm: 10-5, 10-4 e 10-3 de forma que a velocidade do canal aumenta
gradativamente desde o mais lento (10-5) até o mais rápido (10-3). O valor de λ foi
ajustado para acompanhar as variações do canal, quanto mais lento o canal mais
próximo da unidade deve ser este valor. Para os valores fdTofdm = 10-5 , 10-4 e 10-3,
os valores de λ utilizados foram 0,99, 0,95 e 0,75 respectivamente, para ambos os
sistemas CP-OFDM e ZP-OFDM.
Para o esquema de estimação de canal com matriz purificadora o
comprimento do intervalo de guarda G é utilizado como estimativa do
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
112
comprimento do canal. Assim a matriz Wo possui G colunas para os sistemas CP
e ZP-OFDM.
Abaixo são apresentadas curvas para taxa de erro de bit média em função da
relação sinal ruído e curvas de erro médio quadrático para estimativas obtidas
pelos esquemas de estimação RLS com matriz purificadora e sem matriz
purificadora a para os sistemas CP-OFDM e ZP-OFDM:
Sistema de Transmissao CP-OFDM
0
10
-1
-2
Taxa de Erro de Bit (TEB)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
10
10
-3
10
-4
10
qpsk (awgn)
qpsk (awgn e canal variante)
qpsk (awgn e canal variante qpsk (awgn e canal variante qpsk (awgn e canal variante qpsk (awgn e canal variante -
-5
10
equalizaçao zf pos-dft)
equalizaçao mmse pos-dft)
piloto RLS pos-dft)
RLS piloto pos-dft purificado)
-6
10
0
1
2
3
4
5
Eb/No (dB)
6
7
8
9
Figura 5.9 – CP-OFDM - Canal Variante fdTofdm=10-5 - Estimação de Canal com Pilotos
utilizando algoritmo RLS.
10
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
113
CP-OFDM - Piloto Adaptativo RLS Pos-DFT - Eb/No = 10 dB
1.4
piloto RLS
piloto RLS purificado
1.2
Erro Medio Quadratico
1
0.8
0.6
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
60
Numero de Simbolos CP-OFDM
70
80
90
Figura 5.10 – CP-OFDM - Canal Variante fdTofdm=10-5 – Erro Médio Quadrático entre as
estimativas de canal com Pilotos utilizando algoritmo RLS com matriz purificadora e sem
matriz purificadora
100
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
114
Sistema de Transmissao CP-OFDM
0
10
-1
10
Taxa de Erro de Bit (TEB)
-2
10
-3
10
-4
10
qpsk (awgn)
qpsk (awgn e canal variante)
qpsk (awgn e canal variante qpsk (awgn e canal variante qpsk (awgn e canal variante qpsk (awgn e canal variante -
-5
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
10
equalizaçao zf pos-dft)
equalizaçao mmse pos-dft)
piloto RLS pos-dft)
RLS piloto pos-dft purificado)
-6
10
0
1
2
3
4
5
Eb/No (dB)
6
7
8
9
Figura 5.11 – CP-OFDM - Canal Variante fdTofdm=10-4 - Estimação de Canal com Pilotos
utilizando algoritmo RLS
10
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
115
CP-OFDM - Piloto Adaptativo RLS Pos-DFT - Eb/No = 10 dB
1.4
piloto RLS
piloto RLS purificado
1.2
Erro Medio Quadratico
1
0.8
0.6
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
60
Numero de Simbolos CP-OFDM
70
80
90
Figura 5.12 – CP-OFDM - Canal Variante fdTofdm=10-4 – Erro Médio Quadrático entre as
estimativas de canal com Pilotos utilizando algoritmo RLS com matriz purificadora e sem
matriz purificadora
100
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
116
Sistema de Transmissao CP-OFDM
0
10
-1
10
Taxa de Erro de Bit (TEB)
-2
10
-3
10
-4
10
qpsk (awgn)
qpsk (awgn e canal variante)
qpsk (awgn e canal variante qpsk (awgn e canal variante qpsk (awgn e canal variante qpsk (awgn e canal variante -
-5
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
10
equalizaçao zf pos-dft)
equalizaçao mmse pos-dft)
piloto RLS pos-dft)
RLS piloto pos-dft purificado)
-6
10
0
1
2
3
4
5
Eb/No (dB)
6
7
8
9
Figura 5.13 – CP-OFDM - Canal Variante fdTofdm=10-3 - Estimação de Canal com Pilotos
utilizando algoritmo RLS
10
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
117
CP-OFDM - Piloto Adaptativo RLS Pos-DFT - Eb/No = 10 dB
1.4
piloto RLS
piloto RLS purificado
1.2
Erro Medio Quadratico
1
0.8
0.6
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
60
Numero de Simbolos CP-OFDM
70
80
90
Figura 5.14 – CP-OFDM - Canal Variante fdTofdm=10-3 – Erro Médio Quadrático entre as
estimativas de canal com Pilotos utilizando algoritmo RLS com matriz purificadora e sem
matriz purificadora
100
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
118
Sistema de Transmissao ZP-OFDM
0
10
-1
10
-2
Taxa de Erro de Bit (TEB)
10
-3
10
-4
10
-5
qpsk (awgn)
qpsk (awgn e canal variante)
qpsk (awgn e canal variante qpsk (awgn e canal variante qpsk (awgn e canal variante qpsk (awgn e canal variante -
10
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
-6
10
equalizaçao zf pos-dft)
equalizaçao mmse pos-dft)
piloto RLS pos-dft)
RLS piloto pos-dft purificado)
-7
10
0
1
2
3
4
5
Eb/No (dB)
6
7
8
9
Figura 5.15 – ZP-OFDM - Canal Variante fdTofdm=10-5 - Estimação de Canal com Pilotos
utilizando algoritmo RLS
10
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
119
ZP-OFDM - Piloto Adaptativo RLS Pos-DFT - Eb/No = 10 dB
1.6
piloto RLS
piloto RLS purificado
1.4
Erro Medio Quadratico
1.2
1
0.8
0.6
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
60
Numero de Simbolos ZP-OFDM
70
80
90
Figura 5.16 – ZP-OFDM - Canal Variante fdTofdm=10-5 – Erro Médio Quadrático entre as
estimativas de canal com Pilotos utilizando algoritmo RLS com matriz purificadora e sem
matriz purificadora
100
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
120
Sistema de Transmissao ZP-OFDM
0
10
-1
10
Taxa de Erro de Bit (TEB)
-2
10
-3
10
-4
10
qpsk (awgn)
qpsk (awgn e canal variante)
qpsk (awgn e canal variante qpsk (awgn e canal variante qpsk (awgn e canal variante qpsk (awgn e canal variante -
-5
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
10
equalizaçao zf pos-dft)
equalizaçao mmse pos-dft)
piloto RLS pos-dft)
RLS piloto pos-dft purificado)
-6
10
0
1
2
3
4
5
Eb/No (dB)
6
7
8
9
Figura 5.17 – ZP-OFDM - Canal Variante fdTofdm=10-4 - Estimação de Canal com Pilotos
utilizando algoritmo RLS
10
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
121
ZP-OFDM - Piloto Adaptativo RLS Pos-DFT - Eb/No = 10 dB
1.8
piloto RLS
piloto RLS purificado
1.6
1.4
Erro Medio Quadratico
1.2
1
0.8
0.6
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
60
Numero de Simbolos ZP-OFDM
70
80
90
Figura 5.18 – ZP-OFDM - Canal Variante fdTofdm=10-4 – Erro Médio Quadrático entre as
estimativas de canal com Pilotos utilizando algoritmo RLS com matriz purificadora e sem
matriz purificadora
100
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
122
Sistema de Transmissao ZP-OFDM
0
10
-1
10
Taxa de Erro de Bit (TEB)
-2
10
-3
10
-4
10
qpsk (awgn)
qpsk (awgn e canal variante)
qpsk (awgn e canal variante qpsk (awgn e canal variante qpsk (awgn e canal variante qpsk (awgn e canal variante -
-5
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
10
equalizaçao zf pos-dft)
equalizaçao mmse pos-dft)
piloto RLS pos-dft)
RLS piloto pos-dft purificado)
-6
10
0
1
2
3
4
5
Eb/No (dB)
6
7
8
9
Figura 5.19 – ZP-OFDM - Canal Variante fdTofdm=10-3 - Estimação de Canal com Pilotos
utilizando algoritmo RLS
10
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
123
ZP-OFDM - Piloto Adaptativo RLS Pos-DFT - Eb/No = 10 dB
1.6
piloto RLS
piloto RLS purificado
1.4
Erro Medio Quadratico
1.2
1
0.8
0.6
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0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
60
Numero de Simbolos ZP-OFDM
70
80
90
Figura 5.20 – ZP-OFDM - Canal Variante fdTofdm=10-3 – Erro Médio Quadrático entre as
estimativas de canal com Pilotos utilizando algoritmo RLS com matriz purificadora e sem
matriz purificadora
Observando as curvas de desempenho para os sistemas CP-OFDM e ZPOFDM verifica-se que as curvas de desempenho utilizando o esquema de
estimação RLS de canal com matriz purificadora, são praticamente coincidentes
com desempenhos das curvas dos equalizadores ZF e MMSE onde o canal é
conhecido no receptor. Para os canais mais lentos, fdTofdm = 10-5 e 10-4, o valor de
Eb/No requerido para uma dada probabilidade de erro para o esquema de
estimação RLS utilizando matriz purificadora é aproximadamente 2 dB menor que
o mesmo esquema de estimação sem matriz purificadora para sistemas CP-OFDM
e 1dB menor para sistemas ZP-OFDM mantendo assim a mesma relação
observada mesmo no caso de canal fixo. Isto pode ser verificado analisando as
curvas de erro médio quadrático para canais variantes mais lentos, fdTofdm = 10-5 e
10-4. Nestas figuras observa-se que os valores de erro médio quadrático das
100
5. Estimação de Canal Adaptativa com Símbolos Piloto
124
estimativas RLS purificadas convergem para aproximadamente zero em 20
símbolos similarmente ao caso de canal fixo e as estimativas RLS não purificadas
apresentam um erro residual um pouco maior que no caso do canal fixo. Assim o
compromisso de se aumentar a banda do filtro, por meio da redução de λ, para
tentar acompanhar as variações da resposta de freqüência do canal sem aumentar
demasiadamente a variância do ruído da estimativa é melhor atendido pelo
esquema de estimação com matriz purificadora.
Isto é mais notável para canais mais rápidos, como o canal com
fdTofdm = 10-3. Observa-se nas figuras 5-13 e 5-19, que as curvas de desempenho
utilizando o esquema de estimação de canal com matriz purificadora continuam
praticamente coincidentes aos desempenhos das curvas dos equalizadores ZF e
MMSE. Porém o Eb/No requerido para uma dada probabilidade de erro neste caso
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para o esquema de estimação utilizando matriz purificadora é aproximadamente 5
dB menor que o esquema sem matriz purificadora para sistemas CP-OFDM e
4dB menor para sistemas ZP-OFDM, aumentando assim a vantagem observada
no caso de canal fixo. Isto pode ser verificado através das figuras 5-14 e 5-20,
onde os erros médios quadráticos das estimativas purificadas e não purificadas
para fdTofdm = 10-3 estão apresentadas. Nestas figuras observa-se que os valores de
erro médio quadrático das estimativas RLS purificadas apresentam um pequeno
valor residual de erro após convergência enquanto que para as estimativas não
purificadas estes valores não convergem no intervalo de observação utilizado nas
simulações. Assim, para canais rápidos o compromisso de se aumentar a banda do
filtro, por meio da redução de λ, para tentar acompanhar as variações da resposta
de freqüência do canal sem aumentar demasiadamente a variância do ruído da
estimativa só pode ser atendido pelo esquema que utiliza matriz purificadora.
6
Conclusão
O presente trabalho buscou apresentar uma técnica de redução do ruído das
estimativas de canal geradas a partir de bloco de símbolos piloto em sinais dos
sistemas CP e ZP-OFDM.
Primeiramente, foi feita uma análise dos principais conceitos da técnica de
transmissão OFDM, onde foi detalhado o processo de geração dos sinais CP e ZPOFDM. Foi introduzido em seguida um modelo discreto para transmissão e
recepção de sinais CP-OFDM, que consideram os efeitos causados pelo canal de
propagação de múltiplos percursos e com desvanecimento. O modelo discreto de
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sinais permitiu identificar, na recepção dos sinais, a abordagem para se aplicar a
técnica de estimação de canal, utilizando bloco de símbolos OFDM, no tratamento
das observações.
Para a estimação de canal em sistemas CP e ZP-OFDM, foi apresentado, no
Capítulo 4, o desenvolvimento teórico de duas abordagens distintas de estimação
de resposta de freqüência do canal utilizando bloco de símbolos piloto. Na
primeira abordagem, a estimativa de freqüência do canal é calculada, após a
operação de DFT no receptor, no início de cada bloco de B símbolos e aplicada,
segundo o critério de equalização ZF, na detecção dos símbolos do bloco
correspondente. Na segunda abordagem a estimativa de freqüência do canal
também é calculada segundo critério ZF no início de cada bloco de B símbolos,
porém as estimativas são calculadas antes da operação DFT no receptor.
Para as estimativas obtidas através das duas abordagens de estimação de
canal utilizando blocos de símbolos piloto foi proposto um método de redução do
ruído destas estimativas. Este método constitui-se de uma operação de
transformação linear, obtida através da multiplicação das estimativas pela matriz
purificadora B, que projeta as estimativas no subespaço onde resposta de
freqüência do canal q pertence, quando se tem o conhecimento a priori do
comprimento do canal. Verificou-se que, para canais fixos, o desempenho do uso
das estimativas purificadas pela o método de redução do ruído, nos equalizadores
ZF utilizados na detecção dos sinais CP e ZP-OFDM, é bem superior ao uso das
6. Conclusão
126
estimativas não purificadas ficando este desempenho bem próximo aos dos
equalizadores ZF e MMSE onde se utiliza a verdadeira resposta de freqüência do
canal.
A fim de obter uma redução continua do ruído das estimativas de canal ao
longo do bloco de símbolos OFDM foi proposto a aplicação conjunta de filtragem
adaptativa com a técnica de redução de ruído da estimativa. Nesta abordagem
sugere o uso da estimativa purificada, pela matriz B, como condição inicial para o
processo adaptativo de refinamento das estimativas subseqüentes. A estimação
adaptativa das respostas de freqüência de canal é implementada segundo critério
ZF e o algoritmo RLS, por meio da técnica de decisão direta (decision directed).
As estimativas obtidas em cada n-ésima iteração são purificadas através da
multiplicação da matriz B e utilizadas nos equalizadores ZF utilizados na detecção
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dos n-ésimos sinais CP e ZP-OFDM. Foi verificado que, em caso de canais fixos,
para ambos os sistemas CP e ZP-OFDM o uso de refinamento adaptativo em
conjunto com a matriz purificadora B introduz uma melhoria no desempenho se
comparado com o uso da estimativa purificada pela matriz B sem a realimentação.
Para ambos os sistemas CP e ZP-OFDM, o desempenho fica praticamente
idêntico aos dos equalizadores ZF e MMSE onde se utiliza a verdadeira resposta
de freqüência do canal. Além disso, foi verificado que este método é pouco
sensível a estimações conservadoras do comprimento do canal. Assim não é
necessário ter o conhecimento a priori do canal podendo ser utilizado o
comprimento da faixa de guarda no método de redução do ruído da estimativa, o
que facilita bastante o dimensionamento da matriz purificadora B.
A aplicação conjunta de filtragem adaptativa junto com a técnica de redução
de ruído da estimativa apresenta vantagem adicional de poder ser utilizada em
canais variantes lentos, onde na a variação de canal dentro do intervalo de duração
de um símbolo OFDM. Neste tipo de ambiente de propagação o desempenho do
uso das estimativas geradas por este método em equalizadores ZF, em termos de
número de bits errados também, é praticamente igual ao dos equalizadores ZF e
MMSE onde a resposta de freqüência do canal é conhecida em cada instante n.
Neste caso o parâmetro λ do algoritmo adaptativo RLS deve ser bem ajustado de
forma a acompanhar as variações de canal sem aumentar a variância do ruído das
estimativas.
6. Conclusão
127
Nesta dissertação foi visto que o uso da matriz purificadora em estimativas
de resposta de freqüência do canal, para sistemas OFDM, produzidas por métodos
de bloco de símbolos piloto (block pilots) reduz a variância do erro da estimativa
produzido pelo ruído aditivo. Uma sugestão para trabalho futuro seria o estudo do
uso da matriz purificadora em estimativas produzidas por métodos de estimativa
de canal combinada utilizando símbolos piloto (comb pilots) onde além do erro
produzido pelo ruído aditivo existe o erro produzido pela interpolação utilizada
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para gerar as estimativas de resposta em freqüência do canal.
7
Referências bibliográficas
[1] MUQUET, B.; WANG, Z.; GIANNAKIS, G. B.; DE COURVILLE, M;
DUHAMEL, P. Cyclic Prefix or Zero Padding for Wireless Multicarrier
Communications? IEEE Transactions on Communications, p.2136–2148,
December 2002.
[2] COLERI, S.; ERGEN, M.; PURI, A.; BAHAI, A. Channel Estimation
Techniques Based on Pilot Arrangement in OFDM Systems. IEEE
Transactions on Broadcasting, p. 223–229, September 2002.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
[3] HAYKIN, S. Adaptive Filter Theory. Prentice-Hall, 2002.
[4] Zou, W.Y., Wu, Y. COFDM: an overview, vol. 41. IEEE Transactions on
Communications, pp. 1-8, Março, 1995.
[5] CHANG, R. W.; GIBBY, R. A. A Theoretical Study of Performance of an
Orthogonal Multiplexing Data Transmission Scheme. IEEE Transactions on
Communication Technology, p.529–540, August 1968.
[6] NETO, A. S. M.; Equalização e Estimação de Canal em Sistemas de
Transmissão OFDM, Setembro 1995. Dissertação de Mestrado - Pontifícia
Universidade Católica do Rio de Janeiro
[7] WEINSTEIN, S.B., EBERT, P.M. Data transmission by frequency division
multiplexing using the discrete Fourier transform, vol. COM-19. IEEE
Transactions on Communication Technology, p.628-634, Outubro, 1971.
[8] BENEDETTO, S.; BIGLIERI, E.; CASTELLANI, V. Digital Transmission
Theory, New Jersey, Prentice Hall, 1987
[9] PRASAD, R.; VAN NEE, R. OFDM for Wireless Multimedia
Communications. Artech House, 2000.
[10] HARADA, H.; PRASAD, R. Simulation and Software Radio for Mobile
Communications. Artech House, 2002.
[11] SKLAR, B. Rayleigh Fading Channels in Mobile Digital
Communications Systems - Part I: Characterization. IEEE Communications
Magazine, p.90–100, July 1997.
[12] SKLAR, B. Rayleigh Fading Channels in Mobile Digital
Communications Systems - Part II: Mitigation. IEEE Communications
Magazine, p.102–109, July 1997.
7. Referências bibliográficas
129
[13] RAPPAPORT, T. S. Wireless Communications: Principles and Practice.
Prentice-Hall, 1999.
[14] J. D. Parsons, The Mobile Radio Propagation Channel, Wiley, 1992;
[15] POLLET, T.; VAN BLADEL, M.; MOENECLAEY, M. BER Sensitivity of
OFDM Systems to Carrier Frequency Offset and Wiener Phase Noise. IEEE
Transactions on Communications, p.191–193, April 1995.
[16] WICKER, S. B. Error Control Systems for Digital Communications and
Storage. Prentice-Hall, 1995.
[17] OCHIAI, H.; IMAI, H. On the Distribution of the Peak-to-Average Power
Ratio in OFDM Signals. IEEE Transations on Communications, p.282–289,
February 2001.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0410293/CA
[18] WANG, Z.; GIANNAKIS, G. B. Wireless Multicarrier Communications:
Where Fourier Meets Shannon. IEEE Signal Processing Magazine, p.29–47, May
2000.
[19] MUQUET, B. Novel Receiver and Decoding Schemes for Wireless OFDM
Systems with Cyclic Prefix or Zero Padding. PhD thesis, ´Ecole Nationale
Sup´erieure des Téléecommunications, June 2001.
[20] OPPENHEIM, A. V.; SCHAFER, R. W. Discrete-Time Signal Processing.
Prentice-Hall, 1989.
[21] S. HAYKIN, Communication Systems- 3/e, Wiley, 1994.
[22] VAN DE BEEK, J.-J.; EDFORS, O.; SANDELL, M.; WILSON, S.K.;
BORJESSON, P.O. On channel estimation in OFDM systems. IEEE 45th
Vehicular Technology Conference. Volume 2, p.815-816, July 1995.
8
Apêndice
∧
Temos que q zf é uma estimativa da resposta de freqüência do canal de propagação
q de dimensão N:
∧
∧
q zf = q + ( q zf – q) = q + nzf
(A-1)
onde nzf é o ruído da estimativa dado em (4-2), cujo valor médio quadrático é
dado por:
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σzf2 = E[||nzf||2] = E[nzfH nzf] = tr(E[nzf nzfH])
(A-2)
onde a função tr[z] retorna o traço da matriz z.
Como a resposta de freqüência do canal é q = N Wo hL, então q pertence ao
subspaço gerado por Wo (G(Wo)) se B é a matriz que projeta um qualquer vetor
vetor v ∈ CN, no subespaço G(Wo) então B tem a forma B = Wo (WoH Wo)-1 WoH
∧
e a projeção de q zf em G(Wo) é :
∧
∧
q zfP = B q zf = Bq + Bnzf = q + nzfP
(A-3)
onde nzfP = B nzf é a projeção do vetor erro no subspaço G(Wo) de dimensão L ≤
N, cujo valor médio quadrático é menor que o valor médio quadrático de nzf dado
em (A-2), ou seja:
E[||nzfP||2] ≤ E[||nzf||2].
(A-4)
Isto pode ser verificado a partir da identidade:
nzf = (I – B) nzf+ Bnzf ,
(A-5)
resultando que
||nzf||2 = ||Bnzf||2 + || (I – B)nzf||2 - 2Re[((I – B) nzf) H Bnzf]
(A-6)
8. Apêndices
131
Mas,
2Re[((I – B) nzf) H Bnzf] = 2Re[nzfH (I – BH) Bnzf] = 2Re[nzfH (B – BH
B)nzf] = 2Re[nzfH (B – B)nzf] = 0
(A-7)
onde utilizou-se o fato de que B é uma matriz de projeção, BH = B e B2 = B.
Substituindo (A-7) em (A-6) e levando em conta que o termo || (I – B)nzf||2 ≥ 0
tem-se que:
||Bnzf||2 = ||nzf||2 - || (I – B)nzf||2 ∴ ||Bnzf||2 ≤ ||nzf||2
(A-8)
Comprovando assim a afirmativa dada em (A-4) demonstrando que a projeção da
∧
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estimativa q zf em G(Wo), obtida através da multiplicação da matriz B reduz o
erro médio quadrático da estimativa. A seguir será calculado o valor dessa
redução no caso em que o erro da estimativa é branco.
∧
Tem-se que o valor médio qudrático de q zfP é dado por:
E[||nzfP||2] = E[nzfHBH B nzf] = tr(E[BH nzfHnzfB]) =
tr(BHRzfB])
(A-9)
onde Rzf é a matriz autocorrelação de nzf .
Para o caso em que nzf, de N componentes, é um vetor de ruído gaussiano branco
temos que a matriz correlação Rzf é igual a matriz covariância Kzf = σ2I assim o
valor médio quadrático de nzf é:
E[||nzf||2] = Nσ2
(A-10)
Conseqüêntemente a variância de nzfP é dada por:
E[||nzfP||2] = tr(BH Rzf B]) = σ2 tr(BH B]) = σ2 tr(B)
(A-11)
8. Apêndices
132
Caso se tenha o conhecimento prévio do comprimento do canal, Wo possui L
colunas vi ortogonais, cada uma possuindo norma unitária tem-se que a matriz B
pode ser expressa como:
B = Wo (WoH Wo)-1 WoH = Wo WoH =
L
∑v v
i
H
(A-12)
i
i
Substituindo (A-12) em (A-11) obtem-se:
E[||nzfP||2] = σ2 tr(B) = σ2
∑ tr[v v
L
i
i
H
i
] =σ ∑ v
2
L
2
i
= σ2 L
(A-13)
i
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Finalmente tem-se:
⎛L⎞
E[||nzfP||2] = σ2 N ⎜ ⎟
⎝N⎠
(A-14)
Comprovando assim que a matriz B reduz a variância do ruído da estimativa de
∧
canal q zf , dado por (A-10), por um fator
L
.
N