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A Pesquisa Operacional e o Desenvolvimento Sustentável
ESTRATÉGIA DE OTIMIZAÇÃO PARA ALOCAÇÃO DE
REGULADORES DE TENSÃO EM REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE
ENERGIA ELÉTRICA
José Federico Vizcaino González1 Celso Cavellucci2 Christiano Lyra Filho3
Departamento de Engenharia de Sistemas – DENSIS
Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação – FEEC
Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP
Av. Albert Einstein, 400. C. P.: 6101 – Cidade Universitária. 13083-970 – Campinas, SP,
BRASIL
1
[email protected], [email protected], [email protected]
RESUMO
Este trabalho propõe uma metodologia para a alocação de reguladores de tensão em
redes de distribuição de energia elétrica. A metodologia proposta consiste de uma meta-heurística
dividida em duas fases: construtiva e evolutiva. Na primeira fase os reguladores são alocados de
forma a obter uma solução factível (todos as barras do sistema dentro dos limites de tensão
desejados). Um algoritmo memético é utilizado na fase evolutiva para melhorar a solução obtida
na fase construtiva, otimizando uma função objetivo considerando os custos das perdas elétricas e
dos reguladores de tensão. Um estudo de caso é apresentado para mostrar o desempenho da
metodologia em redes de distribuição de energia elétrica.
PALAVRAS CHAVE. alocação de reguladores de tensão, algoritmos evolutivos, otimização
combinatória, redes de distribuição de energia elétrica
ABSTRACT
This paper discusses a methodology to solve the voltage regulator allocation problem in
power distribution systems. The proposed methodology is a meta-heuristic method divided in two
phases: constructive and evolutive. The constructive phase allocates voltage regulator in such a
way to find a feasible solution (all voltage nodes in the system must be inside certain limits). A
memetic algorithm is used in the evolutive phase to improve the solution obtained by the
constructive algorithm to find an adequate solution that optimizes an objective function
considering loss and voltage regulator costs. A case study presents the results of methodology
application on power distribution network.
KEYWORDS.
voltage regulator allocation, evolutive algorithms, combinatorial
optimization, power distribution networks
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1. Introdução
Os níveis de tensões nos sistemas de distribuição de energia elétrica decrescem ao
longo dos circuitos que alimentam seus usuários, conseqüência de dissipações de energia (perdas)
nas resistências elétricas das linhas e equipamentos. Estas perdas podem ser reduzidas utilizando
estratégias como alteração da configuração de operação da rede (Bueno, Lyra e Cavellucci, 2004)
e instalação de capacitores (Mendes, França, Lyra, Pissarra e Cavellucci, 2005). Porém, estas
estratégias podem mostrar-se insuficientes para manter os níveis de tensão dentro de valores
regulamentados, ± 5% do valor da tensão de operação do sistema de distribuição. Nestes casos,
quando as variações dos níveis de tensão atingem valores críticos (acima ou abaixo dos níveis de
regulamentados), reguladores de tensão são instalados na rede de distribuição. Os reguladores de
tensão são projetados para manter níveis de tensão constante na sua saída, quando submetidos a
uma variação de tensão na sua entrada fora de limites previamente especificados (Gönen, 1986).
Além de manter os níveis de tensão, os reguladores de tensão contribuem também para redução
de perdas, pois aumentado o nível de tensão à jusante de sua instalação o fluxo de corrente
elétrica diminui. Entretanto, a amplitude desses benefícios depende de políticas adequadas de
definição da quantidade, localização e níveis de regulação. Matematicamente, o problema de
alocação de reguladores de tensão (PART) pode ser formulado como um problema de otimização
inteira mista não-linear. A solução desse problema define estratégias de alocação e controle
buscando um compromisso entre os investimentos em equipamentos, a regulação de tensões em
limites desejados e as reduções de perdas técnicas nos sistemas de distribuição.
Na literatura da área poucos são os trabalhos que propõem uma metodologia para
resolver o PART. Grainger e Cinvalar (1985), Cinvalar e Grainger (1985a e 1985b), propõem
um método heurístico para resolver o problema de controle de tensão e de reativos. Salama et al.
(1996) resolve de forma desacoplada o problema de controle de tensão e de reativos, usando um
método de programação dinâmica para alocação de capacitores e um método heurístico para a
instalação de reguladores de tensão em redes de distribuição de energia elétrica. Safigianni e Salis
(2000) utilizam um algoritmo heurístico com duas etapas para resolver o problema de alocação
ótima de reguladores de tensão em redes de distribuição. Um algoritmo genético para alocação de
reguladores de tensão é proposto em De Souza et al. (2004). Outros trabalhos ficam restritos ao
controle de tensão e de reativos na subestação (Lu e Hsu, 1995; Lu e Hsu, 1997).
Este trabalho descreve uma metodologia de duas fases para a resolução do problema de
alocação de reguladores de tensão. A solução deste problema busca definir a melhor estratégia
possível de localização e o tipo de regulador de tensão a ser instalado de forma a satisfazer as
restrições de tensão e de corrente da rede de distribuição. Na seção a seguir apresenta-se a
formulação do PART. Na Seção 3 descreve-se a metodologia proposta para resolver o PART. Os
resultados obtidos pela aplicação da metodologia são mostrados na Seção 4. Conclusões e
comentários são apresentados na Seção5.
2. Formulação do Problema
A formulação do PART apoia-se na representação da rede de distribuição por meio de
grafos (Ahuja et al., 1993; Cavelucci e Lyra, 1997). Grafos são entidades matemáticas formadas
por um conjunto de nós (N) e ligações entre esses nós, denominadas arcos (M). Nesta
representação, pode-se associar o grafo G = [N, M] ao sistema de distribuição, sendo os nós do
conjunto N representam pontos significativos da rede, como transformadores, barramentos de
carga e pontos de ramificações de linhas - um nó raiz é incluído em N para evitar dificuldades
associadas ao tratamento computacional de aspectos de conectividade da rede. Os arcos do
conjunto M estão associados a linhas de distribuição e chaves.
Uma formulação para o problema de localização e controle de reguladores de tensão,
Prt, é apresentada a seguir.
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Prt = maxrt {(F ( p)0 − F ( p)) − F (r )}
s.a.:
(1)
Ai = d
v = g (i, z)
(2)
(3)
v ≤ v j ≤ v , ∀j ∈ N
(4)
i k ≤ i ( r ) k , ∀r ∈ R , ∀k ∈ M
(5)
A função objetivo é representada pela equação (1), sendo F(p)0 o custo inicial das
perdas (antes da otimização), F(p) o custo das perdas depois da otimização e F(r) é o custo dos
reguladores de tensão instalados. Quando se aumenta a tensão nos nós da rede pela utilização de
reguladores de tensão, a corrente nos respectivos arcos tende a diminuir, e como resultado é
obtida uma redução das perdas na rede de distribuição.
A Equação (2) representam o fornecimento da energia requerida pelos usuários do
sistema de distribuição, sendo A a matriz incidência da rede de distribuição (nó-arco), i o vetor de
correntes nos arcos e d o vetor de demandas nos nós (potência requerida pelos usuários da rede).
Na equação (3) v representa o vetor das tensões e z o vetor das impedâncias. As equações (2) e
(3) representam as equações de fluxo de carga do sistema. Os limites de tensão em cada nó estão
representados pela equação (4), sendo N o conjunto de todos os nós da rede de distribuição. A
equação (5) representa a restrição de corrente dos reguladores de tensão (i(r)k é a capacidade de
corrente do regulador instalado à jusante do arco k e R são os tipos de reguladores disponíveis).
A função de custo de perdas pode ser descrita pela equação (6) a seguir:
F ( p) = ce ∑k∈M rk ik2 ,
(6)
Onde: rk é a resistência do arco k, ik a corrente que circula pelo arco k e ce o custo do kW de
energia elétrica dissipada.
A solução do problema Prt define uma política de alocação que maximize o lucro obtido
com a instalação dos reguladores de tensão, satisfazendo a demanda de energia elétrica dos
usuários e mantendo as tensões entre limites regulamentados.
3. Metodologia para a Solução do Problema
Uma metodologia de duas fases é proposta para resolver o PART: uma fase construtiva e
a fase evolutiva. Na fase construtiva obtém-se uma solução factível de custo elevado por meio de
uma heurística gulosa. Em seguida, na fase evolutiva, busca-se melhorar a solução obtida
utilizando um algoritmo memético, diminuindo o número de reguladores de tensão alocados na
primeira fase e/ou encontrando melhores locais para sua instalação.
3.1 Heurística Construtiva
Na fase construtiva é utilizado o algoritmo guloso proposto por Safigianni e Salis
(2000), resumido no procedimento apresentado a seguir.
ConstruirSoluçãoInicial()
para i = 0 até i < NÚMERO_DE_NOS faça:
se a tensão no nó i é menor que MAX_TENSÃO
incluir o regulador de tensão apropriado;
calcular novo estado da rede usando FluxoCarga();
i=0;
senão
i = i + 1;
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O objetivo deste primeiro passo é construir uma solução inicial factível (as tensões de
todos os nós dentro dos limites) do PART, utilizada pelo algoritmo genético para a construção do
cromossomo. Para incluir o regulador de tensão apropriado é necessário adequar a capacidade do
regulador escolhido ao fluxo de corrente no arco à montante. O novo estado da rede é obtido
resolvendo as equações (2) e (3) do problema Prt usando o procedimento FluxoCarga(). Este
procedimento é baseado no método proposto por Shirmohammadi e Hong (1989).
Pode-se observar que nesta primeira fase não é levado em consideração nenhum tipo
de custo envolvido.
3.2 Algoritmo Memético
Uma alternativa para melhorar a solução obtida na fase construtiva desta metodologia é
utilizar o paradigma da computação evolutiva, que compreende métodos baseados na evolução
natural de uma população de indivíduos através de seleção, cruzamento e mutação randômica
(Bäck, Fogel e Michalewicz; 2000). Em particular utiliza-se a abordagem por algoritmos
meméticos (Moscato,1999), geralmente citados como algoritmos genéticos híbridos.
Algoritmos meméticos (AM) podem ser considerados como uma extensão dos
algoritmos genéticos (AG). De forma geral, ambos consistem em fazer uma população de
indivíduos (soluções do problema) evoluir através de processos de recombinação, mutação e
seleção natural. Os indivíduos mais adaptados deverão sobreviver por mais tempo, perpetuando
assim suas características. Após um número suficiente de gerações, espera-se que a população
esteja assim formada por indivíduos que representem as melhores soluções para o problema. A
principal diferença entre os AM e os AG situa-se na inclusão de uma fase de otimização a que
são submetidos os novos indivíduos gerados (Moscato, 1999), é importante destacar que é usual
incluir uma fase de busca local no algoritmo genético associada ao conhecimento do problema
abordado. A seguir mostra-se um pseudo-código simplificado de um AM, ressaltando a função de
busca local no algoritmo.
Algoritmo Memético()
GerarPopulaçãoInicial();
geração = 1;
faça
Selecionar();
Reconbinar();
Mutação();
BuscaLocal();
AtualizaPopulação();
geração = geração + 1;
enquanto(critério de parada não for satisfeito)
Observa-se que a realização da busca local a cada geração depende da complexidade do
algoritmo de busca utilizado. Caso seja necessário é possível fazer uma busca local ao final de
um determinado número de gerações (ou época) ou no final do algoritmo de forma a diminuir o
impacto da busca no tempo computacional do algoritmo. Na metodologia proposta é
implementada a busca local ao final de uma época.
3.2.1 Factibilidade
Existem duas possibilidades nas quais uma determinada solução é infactível para o
PART. A primeira, ou de tensão, é quando pelo menos um dos nós da rede tem seu nível de
tensão fora dos limites preestabelecidos. A segunda, ou de corrente, é quando a corrente fluindo
através do regulador de tensão ultrapassa sua capacidade, representada no grafo pela capacidade
do trecho à montante de um regulador instalado. Quando existe infactibilidade de corrente é
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possível factibilizar a solução modificando o tipo de regulador instalado se isto é possível (se
existe um regulador de maior capacidade). Ao existir infactibilidade de tensão a solução deve ser
descartada.
3.1.2 Codificação do Cromossomo
O cromossomo de cada um dos indivíduos da população, que representa uma solução
para o PART, possui uma codificação inteira onde cada posição ou alelo no cromossomo
corresponde a uma determinada barra do sistema (nó), com informação de se existe ou não
regulador instalado e, se existir, qual a capacidade de regulador (“-1” – Não existe regulador
instalado e “0...n” – Tipo de regulador instalado). A Figura 3.1 mostra um exemplo da
codificação do cromossomo.
-1 0
-1
1
-1
-1
Figura 3.1: Codificação inteira do cromossomo.
A solução obtida na fase construtiva é usada para determinar o número de alelos do
cromossomo e posição de cada nó dentro do mesmo, com o objetivo de diminuir o espaço de
busca do algoritmo memético.
O cromossomo é formado a partir de um vetor com os nós (barras do sistema de
distribuição) contidos nos caminhos entre os nós com reguladores instalados e o primeiro nó do
alimentador da rede de distribuição. A Figura 3.2 mostra como são determinados as posições dos
nós no cromossomo e seu tamanho, em (a) é apresentada uma rede exemplo com dois reguladores
alocados nos nós 5 e 9.
5
4
1
6
3
2
7
9
8
(a)
-1
-1
-1
-1
1
2
3
4
(b)
0
5
-1
-1
0
7
8
9
Figura 3.2: Formação do cromossomo.
Na Figura 3.2 (b) mostra-se o vetor resultante da união dos dois caminhos
representados pelos vetores [1, 2, 3, 4, 5] e [1, 2, 3, 7, 8, 9], usados na formação do cromossomo
dos indivíduos.
A população inicial é composta por indivíduos gerados aleatoriamente que possuem um
número de reguladores igual ou menor ao número de reguladores encontrados na fase construtiva,
garantindo a factibilidade de cada um dos indivíduos gerados.
3.2.3 Operadores
A população inicial será evoluída pelos operadores de seleção, recombinação, mutação
e busca local com o compromisso de garantir sempre a factibilidade de cada indivíduo e avaliada
pela função de adaptação que corresponde à função objetivo do problema descrita pela Equação 1
apresentada na Seção 2.
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Seleção
Os indivíduos que vão participar da recombinação são escolhidos através do operador
de seleção, esta seleção é aleatória com maior probabilidade para indivíduos mais aptos, i.e.
aqueles que apresentam maiores valores da função de aptidão. Este procedimento é conhecido
como método da roleta (Goldberg, 1989).
Para selecionar o indivíduo que será substituído na população pelo novo indivíduo
utiliza-se também o método da roleta. Neste caso, a maior probabilidade é para os indivíduos com
menor função de aptidão.
Recombinação
O operador de recombinação é aplicado a um par de indivíduos (cromossomos)
selecionados da população pelo operador de seleção. Os indivíduos selecionados, Pai-1 e Pai-2 na
Figura 3.3, são recombinados por cruzamento com um ponto de corte (Goldberg, 1989),
resultando um novo indivíduo (Filho). A Figura 3.3 mostra um exemplo da aplicação do operador
de recombinação.
Ponto de corte
Pai 1
-1
0
-1
-1
1
Pai 2
-1
-1
1
-1
-1
Filho
-1
0
1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
-1
1
-1
Figura 3.3: Cruzamento de um ponto
Através da recombinação é possível transmitir as características dos pais ao novo
indivíduo. O indivíduo resultante da recombinação (Filho) será aceito apenas se ele representa
uma solução factível (a tensão de todos os nós está dentro dos limites e as capacidades dos
reguladores estão respeitadas).
Mutação
O operador de mutação tem como objetivo modificar o cromossomo do indivíduo
selecionado acrescentando ou removendo reguladores de tensão para introduzir mudanças
aleatórias na população. A mutação pode melhorar, ou piorar, o indivíduo selecionado, portanto
retarda a convergência da população até um máximo local.
Para melhorar a eficiência do algoritmo cada indivíduo mantém informação dos
reguladores existentes no seu cromossomo e a localização de cada um deles. Este procedimento
acelera a seleção do regulador que vai ser retirado. Sempre que aconteça uma adição de um
regulador é necessário verificar que não ultrapasse a quantidade máxima indicada pelo algoritmo
da fase construtiva.
3.2.5 Busca Local
O objetivo da busca local é reduzir o número de reguladores instalados na melhor
solução da população atual e/ou melhorar a localização dos reguladores instalados visando
aumentar o valor da função de aptidão. A busca local é executada ao final de cada época. A
seguir é apresentado o procedimento resumido do algoritmo de busca local.
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Procedimento BuscaLocal(n)
construir lista L de reguladores existentes no cromossomo C;
faça todos os contadores de vizinhança CVi iguais a 0;
enquanto existir reguladores na lista L faça:
selecionar regulador i em L;
alocar o regulador i no nó predecessor a Ci, seja este o pred_no;
se CVi igual a n
retirar i de L;
senão
faça CVi = CVi + 1;
se já existe regulador instalado em pred_no
reduzir reguladores;
verificar a nova solução;
se a nova solução é factível e melhor que a solução atual
faça melhor_solução = nova_solução;
senão
realocar o regulador i na posição Ci e retirá-lo da lista L;
retornar melhor_solução
A busca local recebe um parâmetro n que define a vizinhança que cada regulador pode
percorrer. Observe que em alguns casos não é possível abranger todo o espaço de busca, sendo
assim este mecanismo de redução de vizinhança pode resultar vantajoso. A Figura 3.4 ilustra o
funcionamento da busca local. Na inicialização do algoritmo são incluídos dois reguladores, 5 e
9, na lista L e atribui-se o valor zero aos respectivos contadores de vizinhança. Em seguida, os
reguladores são selecionados conforme a profundidade no grafo do nó no qual ele está instalado.
No caso representado pelo diagrama mostrado na Figura 3.4, suponha que o regulador instalado
no nó 9 seja escolhido por ser de maior profundidade. Por exemplo, se ao parâmetro n atribui-se o
valor 5, os reguladores seguiriam o caminho indicado pelas setas até chegar ao nó 1. No caso de n
igual a 2 as posições limite para cada regulador são os nós 3 e 7 respectivamente, como mostra a
Figura 3.4.
n=2
4
1
2
5
6
3
7
8
9
Posição final dos reguladores para n = 2
Figura 3.4: Busca Local.
A cada passo verifica-se a factibilidade e a qualidade da solução, assim, se a nova
solução obtida é infactível por tensão ou corrente, ou a função de aptidão da mesma é menor que
a da solução no passo anterior, o regulador i é retirado da lista e não participa nos passos
subseqüentes. Na Figura 3.4 é indicada a posição final dos reguladores (para n igual a 2) se não é
verificada infactibilidade e/ou piora na qualidade da solução.
4. Resultados
Para verificar o desempenho da metodologia proposta neste trabalho foi realizado um
estudo de caso utilizando uma instância que representa uma rede de distribuição de energia
elétrica de 819 barras (nós) com características de topologia e carga baseadas numa rede real. A
Figura 4.1 mostra a topologia da rede utilizada no estudo.
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SUBESTAÇÃO
Figura 4.1: Topologia da rede de distribuição estudada.
O estudo foi realizado considerando o perfil de carga diária representado pelo gráfico
mostrado na Figura 4.2. Os valores dos patamares de carga foram adotados consultando técnicos
da área.
Perfil
de
Carga
100%
80%
80%
60%
30%
Madrugada
0
Manha
6
Tarde
12
Pico
18
Noite
21
24
Horas
Figura 4.2: Perfis de carga horária considerada para o estudo de caso.
Os valores do preço médio da energia elétrica adotados para o estudo de caso foram de
100,00 R$ /MWh no horário de pico e 20,00 R$ /MWh nos outros horários, utilizando juros de
12 % ao ano e uma taxa de amortização de 5 anos. No estudo foram usados dois tipos de
reguladores de tensão cujos dados são apresentados na Tabela 4.1, o custo dos reguladores é
aproximadamente igual ao praticado no mercado. O horizonte de tempo do estudo é 1 ano.
Capacidade Regulação
(MVA)
(%)
5
10
10
10
Número de
taps
16
16
Custo
(R$)
40.000
50.000
Tabela 4.1: Reguladores de Tensão utilizados no estudo.
Na Figura 4.3 mostra-se a condição inicial da rede de distribuição submetida ao estudo.
Pode-se observar no traçado mais escuro as regiões com tensões dentro dos limites desejados e
com traçado cinza claro aquelas regiões onde as tensões estão abaixo do limite regulamentado.
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Figura 4.3: Níveis de tensões iniciais na rede de distribuição estudada.
Na implementação do algoritmo genético vários parâmetros precisam ser determinados
para obter um funcionamento adequado. O ajuste destes parâmetros é uma tarefa difícil na
implementação dos algoritmos evolutivos em geral. Neste estudo de caso, os parâmetros foram
ajustados utilizando os resultados obtidos na execução do algoritmo para várias instâncias, e com
os quais verificou-se a melhor relação custo-benefício. Os melhores resultados foram obtidos
para uma população de 40 indivíduos, com uma taxa de mutação de 10%, com probabilidade de
retirada de regulador de 85% e adição de 15%. Cada época é definida por 20 gerações e ao final
da mesma é realizada uma busca local. O critério de parada é alcançado quando são detectadas 20
épocas sem melhoria na solução do problema.
A Figura 4.4 mostra a posição dos reguladores proposta na solução obtida na fase
construtiva do método.
Figura 4.4: Reguladores de tensão propostos na fase construtiva.
Como pode ser observado, na solução obtida pela fase construtiva são propostos 5
reguladores de tensão (na Figura 4.4 indicados em círculos tracejados), que poderão ser reduzidos
na fase do algoritmo memético. A importância desta fase construtiva resume-se a obter uma
solução factível que permita fazer uma redução do cromossomo no algoritmo genético,
possibilitando melhor desempenho do algoritmo na exploração do espaço de busca. Por exemplo,
neste estudo de caso temos 819 (total de nós na rede) possíveis nós para fazer a alocação de
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reguladores de tensão, esse número é reduzido a 136 (resultado da união dos 5 conjuntos de nós),
usando os resultados do algoritmo construtivo.
A Figura 4.5 mostra a melhor solução obtida pelo algoritmo genético.
Figura 4.5: Reguladores de tensão propostos pelo algoritmo genético.
Na Figura 4.5 observa-se que o número de reguladores definidos pelo algoritmo
genético foi reduzido de 5 para 2, obtendo assim uma solução otimizada sem violar as restrições
de factibilidade do PART. A Tabela 4.2 resume os resultados obtidos pelo algoritmo para a
melhor solução.
Número de
gerações
520
Tempo
computacional
(s)
18
Custo Inicial
Custo Final das
Custo dos
das Perdas
Perdas
Reguladores
(R$)
(R$)
(R$)
34.786
32.976
23.865
Tabela 4.2: Resultados computacionais.
Custo
Total
(R$)
-22.055
O custo negativo na última coluna é decorrente do alto custo dos reguladores de tensão
se comparado com a economia obtida pela redução das perdas, porém os níveis das tensões em
todos os nós da rede são mantidos nos limites regulamentares (esta condição é uma restrição do
problema que deve ser satisfeita), justificando a instalação dos reguladores de tensão propostos.
5. Conclusões
Este artigo descreveu uma metodologia de duas fases para definir estratégias de
instalação de reguladores de tensão em redes de distribuição de energia elétrica. Na primeira fase
é definida uma solução factível do problema. Esta solução é melhorada na segunda fase pela
aplicação de um algoritmo evolutivo, em particular um algoritmo memético.
A metodologia mostrou-se promissora, observando a boa qualidade dos resultados
obtidos quanto os níveis de tensão. O tempo computacional do algoritmo é adequado se
considerando a dimensão das redes submetidas a teste (819 nós).
Como continuidade do trabalho será considerado no modelo de otimização o controle
do taps (degraus de regulação) dos reguladores e dos transformadores da subestação.
Agradecimentos
Este trabalho teve o apoio da CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico
e Tecnológico), entidade do governo brasileiro voltada para pesquisa e desenvolvimento.
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