A IMPORTÂNCIA DA DISCIPLINA ÁLGEBRA LINEAR NOS CURSOS DE
ENGENHARIA
Solange dos Santos Nieto1, Célia Mendes Carvalho Lopes 2
Abstract  Linear Algebra plays an important role in the
mathematics and its applications. Teaching the elements of
linear algebra is an excellent chance to initiate the student
in the precision of the mathematical argument, as well as in
the construction of demonstrations. Its teaching goes from
the simplest and direct presentation, aiming at, particularly,
the users not mathematicians, to the deepened theories more
as, for example, the concept of Vectorial Spaces in more
advanced algebraic theories. In this work, it is discussed the
main causes of failure in the teaching of this discipline,
having as guide in our analysis the previous knowledge of
Mathematics of the freshman students in the course of
Engineering.
Key words - Linear Algebra, Construction of Knowledge,
Quality in Teaching.
A Álgebra Linear ocupa papel importante nas diversas
áreas da Matemática – da Análise à Estatística, onde se
utilizam, constantemente, os Cálculos Matricial e Vetorial.
A importância da Álgebra Linear tem crescido nas últimas
décadas, os modelos matemáticos lineares assumiram um
importante papel juntamente com o desenvolvimento da
informática e como seria de se esperar, esse
desenvolvimento estimulou um notável crescimento de
interesse em Álgebra Linear.
Sua importância vai desde as ciências sociais às ciências
exatas, permitindo seu uso diário em áreas como economia,
aviação, exploração petrolífera e circuitos eletrônicos.
A disciplina Álgebra Linear surge no terceiro grau, na
grade curricular de diversas áreas, como na Matemática,
Física, Engenharia, Economia e, geralmente, no primeiro
ano contendo quatro ou duas horas aulas.
Em cada uma dessas áreas, a ênfase dada a essa
disciplina é diferente, podendo-se dizer que existem diversos
cursos de Álgebra linear.
Os livros didáticos apresentam esse conteúdo
matemático de formas bem diferenciadas. Alguns autores,
preocupados com o julgamento dos alunos, colocam no
prefácio de seus livros, esclarecimentos que o conteúdo
desenvolvido é tangível e concreto.
Sabemos que ensinar Álgebra Linear para os cursos, dos
quais ela faz parte, não é uma tarefa fácil, constituindo-se
um desafio e requerendo um grande esforço.
Os livros mais antigos de Álgebra Linear apresentavam
uma abordagem expositiva tradicional, o que para os alunos
atuais é incompatível. O desenvolvimento axiomático,
apesar de importante, não parece apropriado, dependendo a
que curso se destina.
Mas, é surpreendente que poucos livros sobre Álgebra
Linear acompanharam as necessidades diversificadas das
pessoas que utilizam seus conteúdos dependendo de cada
campo de atuação.
Porém, resta outro problema, também importante, que
consiste na Álgebra Linear necessária para cada curso no
qual a Álgebra Linear não é um fim, mas um meio para seu
melhor exercício.
Barufi [1], em sua tese de doutorado, nos revela dados
alarmantes sobre o “fracasso no ensino de Cálculo”
disciplina que é tema de vários trabalhos em eventos
nacionais e internacionais.
Nosso trabalho irá abordar, com alguns exemplos, as
dificuldades que esta disciplina, a Álgebra Linear, apresenta
para o seu aprendizado, alertando que o nível de reprovação
já está alcançando o de Cálculo Diferencial e Integral.
Nesse sentido, cabe destacar e apresentar alguns
elementos fundamentais que influenciam e determinam as
transformações do saber ensinado na escola.
A transição da matemática desenvolvida no ensino
médio para a do ensino universitário apresenta uma série de
dificuldades para os alunos.
A introdução de idéias abstratas implica numa mudança
profunda de como o aluno deve mudar sua forma de
raciocinar.
Para Guzman et.al. [2] ao se ingressar na universidade
os alunos passam por “uma transição difícil, [...] as
demonstrações adquirem novo e importante valor. Eles têm
que completar e estabelecer através de deduções lógicas
propriedades e definições formais”.
A definição de espaço vetorial é apresentada no livro [3]
é: “Seja V um conjunto de elementos chamados vetores, no
qual as operações de adição de vetores e multiplicação de
vetores por escalares. Isto é, dados os vetores u e v de V e
um escalar k, os vetores u + v e ku também pertencem a V
(isto é, V é fechado para a adição de vetores e a
multiplicação de vetores por escalares). Então V é chamado
espaço vetorial se, dados três vetores quaisquer u, v e w de
V e dois escalares k e m, as propriedades a seguir são
válidas” (não apresentaremos as 8 propriedades, pois a
definição já esclarece nossa preocupação).
1 Solange dos Santos Nieto, Universidade Presbiteriana Mackenzie, Rua Itambé, 45, 01239-902, São Paulo, SP, Brazil, [email protected]
2 Célia Mendes Carvalho Lopes, Universidade Presbiteriana Mackenzie, Rua Itambé, 45, 01239-902, São Paulo, SP, Brazil, [email protected]
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Exemplificando, ao utilizarmos o espaço vetorial das
matrizes quadradas de ordem 2 (geralmente notado por M2),
teríamos condição de recordar as operações envolvendo as
matrizes, que a soma de matrizes só é possível se elas
tiverem mesma ordem e que a multiplicação de um escalar
por uma matriz, não altera a ordem da matriz.
Usando como referência o exemplo das matrizes,
podemos observar como são as relações estabelecidas pelos
alunos entre o conteúdo desenvolvido no ensino médio e na
universidade.
Que tipo de ligação o aluno vai fazer? Como os novos
significados são construídos? Primeiramente, devemos
mencionar que a idéia de significado liga-se diretamente
com a idéia de conhecimento. Segundo Machado [4]
conhecer é, cada vez mais, conhecer o significado.
A cultura das escolas de ensino médio é complexa,
imprevisível e erroneamente inclinada para uma série muito
específica de valores acadêmicos.
Não é que as escolas de ensino médio não se importem
com seus alunos, mas as estruturas existentes e as culturas
sagradas do ensino médio estão arraigadas em uma
orientação acadêmica tradicional, isto é, a estrutura é feita
para um cumprimento da matéria e não para uma maior
atenção ao aluno.
Os currículos fixam as matérias, a carga horária e os
alunos devem aprendê-las para que ao final do ensino médio,
sejam aprovados no vestibular e possam dar seqüência a
mais disciplinas no ensino superior.
Para Grécia [5] (2001, p. 27),
A maneira como os sistemas educativos organizam o ensino
dos temas incluídos nos currículos envolve uma determinada
concepção dos processos de aquisição dos conhecimentos. Até agora,
tem predominado uma concepção segundo a qual basta decompor um
saber, em sua modalidade cultural, em pequenos pedacinhos isolados,
e então organizar sua ingestão por parte dos alunos, em períodos
breves e bem delimitados, segundo seqüências determinadas sobre a
base da análise do próprio saber. Esta maneira de organizar o ensino
não atribui importância ao contexto específico em que os
conhecimentos são adquiridos, nem à sua significação e valor
funcional, durante sua aquisição.
O funcionamento das nossas escolas, e dos próprios
processos educativos de hoje, nasceu no início do século
XIX, em plena sociedade industrial, onde os valores
reinantes eram do glorioso mundo mecanizado.
Mas é nesse ambiente que ainda estamos, o aluno é
como uma peça de máquina. O conhecimento que é
confundido com conteúdo, passa das cabeças dos
professores, para as cabeças vazias dos alunos.
No Brasil, o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM)
evidenciou os problemas, que muitos já sabiam, mas poucos
se preocupam em tentar solucionar.
A transição que o aluno sofre do ensino médio para o
ensino superior é uma mudança de status importante na vida
de um jovem, mais independência, experiência,
oportunidades
mais
interessantes
e
expectativas
desconhecidas.
©2006 WCCSETE
Com um olhar mais didático, podemos sugerir
mudanças metodológicas que influenciassem e interessassem
o estudante. Se nosso objetivo é ensinar ao aluno o conceito
de Espaços Vetoriais, uma sugestão é começar com exemplo
do ensino médio.
Wenger [6] define quatro componentes fundamentais
para uma teoria social de aprendizagem: significado, prática,
comunidade e identidade, que estão intimamente interligadas
como mostra a figura a seguir:
comunidade
prática
aprendizagem
identidade
significado
FIGURA 1
•
•
•
•
Significado: capacidade que temos de encontrar
um sentido ao que aprendemos.
Prática: aprendemos fazendo.
Comunidade: aprendizagem como presença.
Identidade: aprendemos através do processo de
construção da nossa própria identidade.
Se quisermos oferecer mais aos alunos de hoje e um
futuro melhor para o mundo que herdarão amanhã, não há
dúvidas que é necessário buscar mudanças para o nosso
ensino, sejam eles, fundamental, médio ou superiores.
Mudanças também já estão ocorrendo de uma cultura
escrita para uma visual, as novas tecnologias apresentam
questões significativas para as relações entre professores e
alunos, escola e casa, sala de aula e o mundo fora da escola.
Precisamos valorizar as oportunidades da procura de
significado, da prática, da comunidade, da procura de
identidade. Cabe a nós educadores nos empenharmos em
criar perspectivas para além da tradicional preocupação com
os conteúdos abrindo espaço à imaginação.
Apesar de muitos conceitos de Álgebra Linear serem
muito abstratos, conseguimos aplicar técnicas que envolvem
uma matemática simples para resolver alguns problemas
práticos, como a aplicação na teoria de grafos, uma área
recente da matemática tendo como pré-requisito
propriedades das operações com matrizes.
Grafos podem ser aplicados em estudos de logística,
planejamentos
de
auto-estradas,
localizações
de
distribuidoras, tabelas de placares dos jogos de um
campeonato, redes de comunicação etc.
De acordo com Moore [7], um “grafo orientado é uma
coleção não vazia de um número finito de vértices Pi
juntamente com um número finto de arestas direcionadas
PiPj que ligam alguns ou todos desses. Um grafo orientado é
chamado um dígrafo se ele não contém nenhum “loop”
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(laço) e possui no máximo uma aresta de Pi a Pj, para cada i
e j”. A figura 2 ilustra um dígrafo.
4
3
2
[bij ] = M = 1
1
1
1
3
4
1
1
1
1
1
1
2
2
2
0
1
1
2
2
2
0
1
1
2
2
3
0
1
1
0
0
0
1
Note que o elemento b35=2 indica que existem dois
modos de ir de Belo Horizonte para Brasília com exatamente
uma escala intermediária. No caso, as possibilidades são
Belo Horizonte – Rio de Janeiro – Brasília ou Belo
Horizonte – São Paulo – Brasília. O elemento b16=1 indica
que há somente uma forma de sair de São Paulo com destino
a Goiânia com exatamente uma escala, no caso o trecho
correspondente é São Paulo – Brasília – Goiânia.
Se calcularmos o cubo da matriz, então se tem o número
de modos que o vértice Pi é levado ao vértice Pj, em
exatamente três passos, e assim sucessivamente.
FIGURA 2
Grafos
orientados
podem
ser
representados
matricialmente de modo que cada elemento aij da matriz
possuirá o número de arestas direcionadas do vértice Pi para
o Pj. No caso dos dígrafos, o elemento um representa uma
aresta orientada ligando Pi a Pj e zero caso contrário.
SP
RJ
BH
PA
BR
GO
SP
0
1
1
1
1
0
RJ
1
0
1
1
1
0
BH
1
1
0
0
0
0
PA
1
1
0
0
0
0
BR
1
1
0
0
0
1
GO
0
0
0
0
1
0
O que corresponde à matriz
0
1
M = 1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
Se elevarmos tal matriz ao quadrado então os elementos
bij da nova matriz indicam o número de formas que podemos
ir do vértice Pi para o vértice Pj em exatamente dois passos.
©2006 WCCSETE
6
7
3
[c i j ] = M = 7
7
8
1
7
6
7
7
8
1
7
7
2
2
2
2
7
7
2
2
2
2
1
1
2
2
3
0
8
8
2
2
2
3
A matriz soma M + M2, isto é, a matriz do dígrafo
somada à sua matriz quadrada indica o número de forma que
o vértice Pi é levado em Pj em até dois passos. De modo que
é possível se saber se é possível ir de um ponto a outro com
no máximo uma escala.
4
4
2
[d ij ] = M + M = 2
2
2
1
4
4
2
2
2
1
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
3
1
1
1
0
0
1
1
O elemento d36=0 indica que não é possível ir de Belo
Horizonte para Goiânia diretamente e nem com uma só
escala. Mas, pela matriz M3, segue que tal percurso pode ser
feito com exatamente duas escalas e de dois modos
possíveis, já que elemento c36=2.
Com base nesses dados, se uma outra companhia aérea
que desejasse realizar vôos nessa rota pode, através da
informação da figura 2, implantar novos trechos de vôos e
analisando as matrizes poderia fazer uma verificação se é
uma boa estratégia enfrentar concorrência com as rotas
existentes, ou se mudaria a quantidade de escalas para se
chegar de um lugar ao outro.
É claro que a teoria dos grafos é um dos muitos fatores
que deverão ser analisados, mas com o exemplo exibido
poder-se-ia tirar boas conclusões. Essa teoria pode ser
utilizada em um grande número de situações.
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REFERÊNCIAS
[1]
Barufi, M.C.B., A Construção/negociação de significados no curso
universitário de Cálculo Diferencial e Integral. Tese de doutorado.
São Paulo: FE-USP, 1999.
[2]
Guzman, M., Hodgson, B.R., Robert, A., Villani, V., Difficulties in
the passage from secondary to tertiary education. Documenta
mathematica, extra volume ICM 1998, pp. 747-762.
[3]
Edwards, C.H.Jr., Penney, E.D., Introdução à Álgebra Linear. Trad.
João P C. dos Santos e outros. Prentice-Hall do Brasil, Rio de Janeiro,
1987.
[4]
Machado, N.J., Epistemologia e didática: as concepções de
conhecimentos e inteligência e a prática docente. 5ª edição. São
Paulo: Cortez, 2002.
[5]
Grecia, G., A didática da matemática, in Parra, C.; Saiz, J., Didática
da Matemática: reflexes psicopedagógicas. Trad. Juan Acuña Llorens.
Porto Alegre, Artes Médicas, 2001.
[6]
Wenger, E., Communities of Practice. Learning, Meaning and
Identity. Cambridge University Press, 1998.
[7]
Moore, H.G., Yaquad, A. A First Course in Linear Algebra with
Applications. 3ed. San Diego: Academic Press, 1998.
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