índice Ö
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL
Traço de uma Matriz
DEFINIÇÃO 1
A, B, C, ..., matrizes quadradas de ordem n × n
n
tr( A ) = ∑ aii
i =1
MATLAB
t = trace( A )
PROPRIEDADES
tr( A ± B ) = tr( A ) ± tr( B )
tr(α ⋅ A ) = α ⋅ tr( A )
tr( A ⋅ B ) = tr( B ⋅ A )
tr( A ⋅ B ⋅ C ) = tr( B ⋅ C ⋅ A ) = tr(C ⋅ A ⋅ B )
n
n
tr( A ⋅ A ′ ) = tr( A ′ ⋅ A ) = ∑ ∑ aij2
i =1 j =1
Determinante e inversa de uma matriz quadrada
DEFINIÇÃO 2
[ ]
A = aij : n × n
C ij = cofactor do elemento aij
= ( −1)
EXEMPLO 1
i+ j
 determinanteda submatriz de A, obtida 
×

 por eliminaçaoda linha i e da coluna j
 2 1 3
A = −1 2 4


 5 6 1
C13 = ( −1) ⋅
4
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−1 2
= ( −1) ⋅ ( 6) − ( 2) ⋅ ( 5) = −16
5 6
B1
índice Ö
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL
DEFINIÇÃO 3
A:n × n
d = det( A )
n
det( A ) = A = ∑ aij ⋅ C ij
;
Cálculo de um determinante
;
Regra de Laplace
i =1
n
= ∑ aij ⋅ C ij
j =1
PROPRIEDADES
n
∑a
j =1
ij
n
∑a
i =1
ij
⋅ C kj = 0
⋅ C ik = 0
 matriz diagonal 
n


A:n × n =
ou
⇒ A = ∏ aii


i =1
matriz triangular
α ⋅ A = αn ⋅ A
A⋅B = A ⋅ B
 A C
[0] B = A ⋅ B


DEFINIÇÃO 4
A:n × n
A −1 ⋅ A = A ⋅ A −1 = I n
MATLAB
A −1 é a inversa da matriz quadrada A
inv( A )
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B2
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL
índice Ö
PROPRIEDADES:
A −1 =
′
1
⋅ C ij
A
[ ]
(α ⋅ A )−1 = α −1 ⋅ ( A )−1
( A ⋅ B )−1 = B −1 ⋅ A −1
A ≠ 0 ⇔ A não é singular
⇔ A possui inversa (única)
⇔ A solução única da equação A ⋅ x = b é x = A −1 ⋅ b
Produto de Kronecker
DEFINIÇÃO 5
[ ]
A = aij : m × n
[ ]
B = bij : p × q
 a11⋅ B L a1n⋅ B 
A⊗ B= M
O
M  : ( m ⋅ p) × ( n ⋅ q)


B
B
a
L
a
 m 1⋅
mn⋅ 

PROPRIEDADES
A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C
( A ⊗ B )′ = A ′ ⊗ B ′
( A ⊗ B )-1 = A −1 ⊗ B −1
( A ⊗ B ) ⋅ (C ⊗ D ) = ( A ⋅ C ) ⊗ ( B ⋅ D )
A ⊗ (B + C) = A ⊗ B + A ⊗ C
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B3
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL
índice Ö
Operador “vec”
DEFINIÇÃO 6
A:m × n
a (1) 
a 
(2)
vec( A ) =  :( m ⋅ n) × 1
 M 
a ( n ) 
 
MATLAB:
A(:)
EXEMPLO 2
3 1 2
A=

0 3 1
 3
 0
 
 −
 1
vec( A ) =  
 3
 −
 2
 
 1
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B4
índice Ö
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL
Matrizes Ortogonais
DEFINIÇÃO 7
A: n × n
A ⋅ A ′ = A ′ ⋅ A = I n ⇔ A é ortogonal
EXEMPLO 3
I n é ortogonal
cos θ − sin θ
 sin θ cos θ 


PROPRIEDADES
A ortogonal
é ortogonal
⇒ A −1 = A ′
⇒ A = ±1
a ′( i ) ⋅ a ( i ) = 1
a i′ ⋅ a i = 1
⇒

a i′ ⋅ a j = 0, i ≠ j a ′( i ) ⋅ a ( j ) = 0, i ≠ j
A, B ortogonais ⇒ A ⋅ B ortogonal
Matriz de Centragem
DEFINIÇÃO 8
Matriz de centragem dos elementos de um vector na média dos
elementos desse vector.
1
H = In − J n
n
PROPRIEDADES
;
J n = 1 ⋅1′
H é idempotente:
H2 = H
H é simétrica:
H′ = H
x: n × 1 ; H ⋅ x = x − x ⋅ 1 n ;
1 n
x = ∑ xi
n 1
1 n
2
x ′⋅H ⋅ x = ⋅ ∑ ( x i − x )
n i =1
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B5
índice Ö
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL
Exercício 2 (MATLAB)
Normalização das colunas de uma matriz X: n × p
PROGRAMA
H = eye (n) - ones (n) / 2
matriz de centragem
Xc = H * X
centragem das colunas de X
S = cov (X)
matriz de variâncias-covariâncas
D = diag (diag (sqrt (S)))
desvios-padrão das colunas na
diagonal da matriz D
Xn = Xc * inv(D)
divisão de cada coluna de Xc pelo
respectivo desvio-padrão
Xn: matriz com colunas
normalizadas, i.e, com médias nulas
e desvios-padrão iguais à unidade.
VERIFICAÇÃO
FUNÇÕES
medias = mean ( Xn )
médias das colunas de Xn
desviopd = std ( Xn )
desvios-padrão das colunas de Xn
EYE
ONES
MEAN
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COV
DIAG
SQRT
INV
STD
B6
índice Ö
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL
Decomposição de Matrizes
Decomposição em Valores Singulares (D.V.S)
DEFINIÇÃO 9
X: n × p ;
n> p
X = U ⋅ S ⋅ V′
(D.V.S)
U: n × p ; S: p × p ;
U ′⋅U = I p
;
V: p × p
as colunas de U são ortogonais
V ⋅ V ′ = V ′⋅V = I p
a matriz V é ortogonal
;
S = diag ( s1 , s 2 , …, s p )
s1 ≥ s 2 ≥ …≥ s p > 0 ; valores singulares de X
PROPRIEDADE
EXEMPLO 5
MATLAB
D.V.S. de uma matriz X: n × p é única
X
=
.
−8.87  −0.483
 −1336
 −1326
.
−304
.   −0.392

 
.   −0.241
 −8.43 −140
 −320
.
−6.46   −0181
.

 127
.
−6.20   −0.060

=
396
.
.   0.030
 −113
 4.96 −0.60   0121
.

 
6.73  0.302
.
 766
 1112
8.73  0.423
.

 
713
.   0.483
 14.36
[U,S, V] = svd( X )
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;
U
⋅
S
⋅
V′
−0.094 
0.378 

0.283
−0.378 
−0.567 3314
.
0  0.867 0.5 
⋅
⋅
0.378   0
10.58   0
0.867
−0.283

0189
. 
0189
. 

−0.094 
[U,S, V] = svd( X, 0)
B7
índice Ö
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL
Decomposição Espectral (D.E.) de uma matriz simétrica
DEFINIÇÃO 10
A: n × n ;
matriz simétrica
A = Γ ⋅ Λ ⋅ Γ′
(D .E .)
 ⇒ A⋅Γ = Γ⋅Λ
Γ ′ : n × n ; ortogonal
(D.E.)
Λ = diag ( λ 1 , λ 2 , …, λ n )
λ 1 ≥ λ 2 ≥ …≥ λ n
valores característicos de A

valores proprios de A
raízes latentes de A

As colunas de Γ são os vectores característicos de A
GAUSS
λ 1 ≤ λ 2 ≤ …≤ λ n
MATLAB
(?)
EXEMPLO 6
2 1 1
1 0 0 
1 2 1 = Γ ⋅ 0 1 0  ⋅ Γ ′




1 1 2 
0 0 4 
Λ
A

 0
 1
Γ=
 2
 −1

 2
−2
6
1
6
1
6
1 
3
1 

3
1 

3
VERIFICAR
!
EXERCÍCIO
A ⋅ γ (k ) = γ k ⋅ γ (k )
MATLAB
[V,D] = eig( X ) ⇒ X ⋅ V = V ⋅ D
VERIFICAR
X ⋅ v ( k ) = dk ⋅ v ( k )
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B8
índice Ö
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL
Raíz quadrada de uma matriz simétrica
DEFINIÇÃO
A: n × n
;
matriz simétrica
A = Γ ⋅ Λ ⋅ Γ′
;
decomposição espectral
Γ: n × n
;
ortogonal
Λ = diag ( λ 1 , λ 2 , …, λ n )
Λ 2 = diag ( λ 1 , …, λ n )
1
( Λ− 2 ) −1 = Λ− 2 = diag (
1
1
λ1
, …,
1
λn
)
A 2 = Γ ⋅ Λ 2 ⋅ Γ′
;
raiz quadrada de A
( A 2 )′ = A
;
simétrica
1
PROPRIEDADES
1
1
1
1
2
A 2 ⋅A 2 = A
1
1
A − 2 = ( A 2 ) −1 = Γ ⋅ Λ− 2 ⋅ Γ ′
1
1
1
A 2 ⋅ A− 2 = A− 2 ⋅ A 2 = In
1
1
1
1
A − 2 ⋅ A − 2 = A −1
1
VERIFICAR
1
!
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B9
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL
MATLAB
índice Ö
[V, D] = eig( A )
(A
− 12
=B
)
B = V ⋅ sqrt( D ) ⋅ V ′
Calcular:
sqrtm (A) e comparar com B
Definição:
Y*Y=A
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B10
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL
índice Ö
Propriedades dos Valores Característicos
PROPRIEDADES
n
1) tr ( A ) = ∑ λ i ;
1
n
2) | A | = Π λ i ;
1
3) rank ( A ) = # de valores característicos não nulos de A;
4) A: n × n ; simétrica ; não singular;
A −1 = ( Γ ⋅ Λ ⋅ Γ ′ ) −1 = ( Γ ′ ) −1 ⋅ Λ−1 ⋅ Γ −1
= Γ ⋅ Λ−1 ⋅ Γ ′
a) A e A −1 têm os mesmos vectores característicos
b) Os valores característicos de A −1 são os recíprocos dos valores
característicos de A;
5) Os valores característicos de uma matriz real são reais;
6) Os valores característicos de uma matriz diagonal são os
elementos diagonais;
7) Se λ i ≠ λ j os correspondentes vectores característicos, x i e x j
são ortogonais;
8) Cada valor característico λ i e respectivo vector característico
x i de uma matriz simétrica A satisfaz a equação A ⋅ x i = λ i ⋅ x i .
EXERCÍCIO
Verificar computacionalmente as propriedades 1)-8).
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B11
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL
índice Ö
Relações entre a D.V.S. da matriz X e D.E. da matriz X ′⋅X
RELAÇÕES
1) X = U ⋅ S ⋅ V ′ →
X ′⋅X = ( U ⋅ S ⋅ V ′ )′ ⋅ ( U ⋅ S ⋅ V ′ )
= V ⋅ S ′⋅ ( U ′⋅ U ) ⋅ S ⋅ V ′
= V ⋅ S ′⋅ S ⋅ V ′
= V ⋅ S 2 ⋅ V′
2) X ′⋅X = Γ ⋅ Λ ⋅ Γ ′ (decomposição espectral)
Comparando 1) e 2) conclui-se que:
a) Λ = S 2
;
λi ≥ 0
b) Γ = V
MATLAB
X = EXAMS
[U, S, V] = sdv(X, 0)
A=X´*X
[V,D] = eig (A)
VERIFICAR
D=S^2
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B12
índice Ö
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL
TRABALHO PRÁTICO 1 - C
Cálculos
Programação
ΠCalcular a matriz S de
variâncias/covariâncias amostrais da
matriz de dados CORK;
GAUSS / MATLAB
 Fazer a decomposição espectral da
matriz S;
{U, S, V}
= svd2 (X)
[U, S, V]
= svd(X,0)
Ž Calcular os valores característicos e
os vectores característicos da matriz
S −1 ;
{va, ve}
= eigrs2 (X)
va ; vector n × 1 contendo os valores
característicos da matriz X, real e
simétrica;
ve ; matriz n × n cujas colunas são
vectores característicos de X.
[V,D]
= eig ( X )
Cada coluna de V é um vector
característico de X;
Cada elemento diagonal de D é um valor
característico de X.
 Comprovar os resultados obtidos em
1.-3. pelas definições envolvidas e
avalie a precisão dos algoritmos.
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B13