Resolução - Lista 3 – Cálculo I Exercício 1 – página 61: Encontre as funções compostas , , , e determine o domínio de cada uma delas, para cada par de funções e dados: c) = e = + 2 Calculando : = ï = 1 = ï Encontrando o domínio de : Não existem restrições para a função = , logo o domínio da função será: = ℝ Calculando : = ï + 2 = + 2 + 2 + 2 Encontrando o domínio de : Não existem restrições para a função + 2 = + 2 + 2 + 2, logo o domínio da função + 2 será: = ℝ Calculando : = ï + 2= Encontrando o domínio da função + 2= : Neste caso existe uma restrição. O denominador da fração deve ser diferente de 0. Logo temos: + 2 ≠ 0 ï + 2) ≠ 0 Como neste curso estamos interessados em domínios que estejam contidos nos reais, temos que o domínio da função será: = ∈ ℝ| ≠ 0! Calculando : = 1 1 2 = + ï Neste caso existe uma restrição. O denominador da fração deve ser diferente de 0. Logo temos: ≠0 e ≠0 Logo temos que ≠ 0. Portanto o domínio da função será: = ∈ ℝ| ≠ 0! Exercício 2 – página 62: Expresse cada uma das funções dadas como composição de duas outras funções. a) " = 7 − Podemos observar que o fator 7 − pode ser representado por uma função % ficando: % = 7 − A outra parte da função " que é a parte que tem o expoente pode ser representada por uma função &', onde &' será: &' = ' Quando fazemos &% obtemos a função ": &7 − = 7 − = " Logo as funções que compostas formam " são &' = ' e % = 7 − . b)( = cos √ Podemos observar que √ pode ser representada por uma função - tal que: - = √ A outra parte da função, a parte que tem cosseno, pode ser representada por uma função ./ tal que: ./ = cos / Quando fazemos a composição de funções .-, obtemos a função (: .√ = cos √ = ( Logo as funções que quando compostas formam ( são - = √ e ./ = cos / c) % = 0 Podemos observar que − 2 pode ser representada por uma função 1 tal que: 1 = − 2 A outra parte da função pode ser representada por uma função 23 tal que: 23 = 1 3 Quando as funções 1 e 23 são compostas, obtemos a função %: 21 = 2 − 2 = 0 = % d) 45 = √sin 5 Podemos representar sin 5 por uma função 85 tal que: 85 = sin 5 Também podemos representar a outra parte da função 45 como uma função 9, tal que: 9 = :9 Quando compostas as funções 9 e 85, obtemos a função 45: 85 = sin 5 = :sin 5 = 45 Exercício 3 – página 77: Determine a inversa de cada função dada e dê sua expressão como uma função de x. b) = √ + 2 Para encontrar a inversa, devemos isolar . Para facilitar a álgebra, = ;: ; = √ + 2 ï √ = ; − 2 ï ï ; = √ + 2 ; − 2 = √ ï ï ; = :; − 2 Escrevendo a função em termos de x, obtemos: 0 = √ − 2 c) = 3 + − 2= Novamente, para encontrar a inversa, devemos isolar . Para facilitar a álgebra, = ;: ; = 3 + − 2= 2 + :; − 3 = ; > ï ; − 3 = − 2= ï :; − 3 = − 2 > ï Escrevendo a função em termos de x, obtemos: > 0 = √ − 3 + 2 Exercício 9 – página 78: Uma cultura de bactérias cresce segundo a lei 15 = ?10@A , onde 15 é o número de bactérias em 5 horas, 5 ≥ 0, e ? e C são constantes estritamente positivas. Se após 2 horas o número inicial de bactérias, 10, é duplicado, após 6 horas qual será o número de bactérias? A função 15 = ?10@A nos diz quantas bactérias existem numa cultura em função do tempo t. Segundo enunciado,? e C são constantes positivas e o tempo deve ser 5 ≥ 0. Para a resolução deste exercício, devemos descobrir os valores das constantes? e C antes de encontrar o número de bactérias na cultura após 6 horas. Primeiramente, pode-se encontrar quantas bactérias existiam na cultura no instante inicial, tomando como o início 5 = 0 e assim encontrando10: 15 = ?10@A Para 5 = 0 horas temos: 10 = ?10@D 10 = ? Portanto a constante ? é igual ao número inicial de bactérias na cultura. A função pode ser reescrita como: 15 = 1010@A Agora, o enunciado nos diz que a quantidade de bactérias na cultura após 2 horas será o dobro da quantidade inicial, em outras palavras: 12 = 210 Através dessa informação, conseguimos encontrar o valor da constante C fazendo: 12 = 1010@ ï 210 = 1010@ ï 2 = 10@ Aplicando o logaritmo de base 10 para retirar C do expoente: log 2 = log 10@ ï log 2 = 2C ï GHI =C ï C = 0,150514997 Obs: Quando omitida a base do logaritmo, normalmente trata-se da base 10. Agora que conhecemos os valores das constantes ? e C, podemos encontrar a quantidade de bactérias na cultura após 6 horas em termos de 10: 16 = 1010D,=D=LMMN.P ï 16 = 810 Resposta: Após 6 horas, o número de bactérias é 8 vezes maior do que a quantidade inicial de bactérias. Exercício 10 – página 78: Suponha que uma determinada substância radioativa se desintegre de acordo com a função 95 = 9D 20D,D=A , onde 95 é a quantidade após 5 anos, 9D é a quantidade inicial e 5 é o tempo decorrido, em anos. Sabemos que a quantidade da substância está reduzida à metade da quantidade inicial. Quanto tempo já passou? Segundo o enunciado, a função 95 = 9D 20D,D=A representa a quantidade de uma substância radioativa que varia com o tempo. O enunciado nos diz que a quantidade de substância se reduziu pela metade, portanto: 9 5U = ï VW ï =2 0D,D=AU X 9 5U = 9D 2 ï 0D,D=AU 20 = 2 X VW = 9D 2 0D,D=AU X 0D,D=AU Por propriedade de exponenciais, sabemos que 20 = 2 ï X = 20 , logo podemos fazer: 0D,D=AU X Utilizando a propriedade de potências de mesma base, podemos igualar os expoentes: −1 = −0,05 5U 5U = 20 anos Resposta: O tempo necessário para que a massa da substância radioativa diminua pela metade é de 20 anos.