GUIDG.COM – PG. 1
5/7/2011 – CDI-1: Inequações, passo à passo, exercícios resolvidos.
TAGS: Exercícios resolvidos, Inequações, passo à passo, soluções, cálculo 1, desigualdades, matemática básica.
Exercícios iniciais:
Determine o conjunto solução das inequações:
i) x 2 + 1< 2x 2 @ 3 ≤ @ 5x :
Solução:
Resolvendo em partes:
y1)
x 2 + 1 < 2x 2 @ 3
@x2 + 4 < 0
x2@ 4 > 0
w
w
w
w
w
w
w
x = F p4 = F 2
y2)
2x 2 @ 3 ≤ @ 5x
2x 2 + 5x @ 3 ≤ 0
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
`w
aw
`w
a
q25 @ 4 2 @ 3
@
5
F
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
x=
4
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
p
@
5
F
49
5f
F
7f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f @
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
x= f
= f
4
4
1f
f
f
x i = e x ii = @ 3
2
Logo o conjunto solução é a interseção de y1 e y2 , então montamos o diagrama:
R
S
S = x 2R |@3 ≤ x <@2
B
c
ou por intervalos S = @ 3, @ 2
Exercício para o leitor:
ii) @ 5 < x 2 @ 3 < 1
R
S
S = x 2 R | @ 2 < x <2
ou por intervalos
b
c
S = @ 2, 2
GUIDG.COM – PG. 2
TAGS: Exercícios resolvidos.
Livro: Calculo A – Funções, Limite, Derivação, Noções de integração (5ª Edição, revista e ampliada).
Diva Marília Flemming, Mirian Buss Gonçalves
(Números reais, pg. 15) - 1.6 Exercícios. (Inequações)
1. Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo.
Fazer a representação gráfica.
a
a
a 3 @ x < 5 + 3x
l x4 ≥ x2
a
1f
@
xf
f
f 3x
f
f
f
f
f
f
f 1f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
b 2x @ 5 < f
+ f
+ f
3 4
3
a f
xf
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
m f
<4
x @3
a
c 2 > @ 3 @ 3x ≥ @ 7
d
n
a 5f
f
f
f 3f
f
f
f
<
x
a
4
o
e x ≤9
2
a
f x 2 @ 3x + 2 > 0
a
g 1 @ x @ 2x 2 ≥ 0
h
a xf
+
1f
xf
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
2@x
a
<
3+x
i x3 + 1 > x2 + x
j
k
ab
c`
a
a f
2f
+
2f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f xf
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
≤
x@2
4+x
>1
a f
3f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
x@5
≤2
a
p x3 @ x2 @ x @ 2 > 0
a
q x 3 @ 3x + 2 ≤ 0
r
a f
1f
3f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
x+1
≥
x@2
a
s 8x 3 @ 4x 2 @ 2x + 1 < 0
x2 @ 1 x + 4 ≤ 0
x@2
1f
f
f
f
f
xf
@
3f
a 2f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
a
t 12x 3 @ 20x 2 ≥ @ 11x + 2
≤1
Soluções:
a
a 3 @ x < 5 + 3x
Por tratar-se de uma desigualdade simples, podemos resolver da seguinte maneira:
3 @ x < 5 + 3x
3 @ x @ 5 @ 3x < 0
@ 4x @ 2 < 0
4x + 2 > 0
4x> @ 2
2f
f
f
x >@ f
4
1f
f
x >@ f
2
f
g
1f
f
S= @ f
,+1
2
GUIDG.COM – PG. 3
1f
@
xf
f
f 3x
f
f
f
f
f
f
f 1f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
b 2x @ 5 < f
+ f
+ f
3 4
3
Solução:
a
2x
@
xf
f
f
f
f
f
f
f 5f
f 1f
f 3x
f
f
f
f
f
f 1f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
@ f
< f
+ f
+ f
1 1 3 4
3
b
c
m A m A c 1,3,4 = 12
24x
@
60
<
4f
+
9x
+f
4f
@
4x
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
12
a
c 2 > @ 3 @ 3x ≥ @ 7
Solução:
2 > @ 3 @ 3x ≥ @ 7
5 > @ 3x ≥ @ 4
@ 5 < 3x ≤ 4
5f
4f
f
f
f
@ f
<x ≤ f
3
3
f
G
5f
f 4f
f
f
S= @ f
, f
3 3
24x @ 60 @ 4 @ 9x @ 4 + 4x < 0
19x @ 68 < 0
68
f
f
f
f
f
f
x< f
19
f
g
68
f
f
f
f
f
f
f
S = @1 ,
19
d
a 5f
f
f
f 3f
f
f
f
x
<
4
Solução:
5f
f
f
f 3f
f
f
f
@ <0
x 4
20
@
3x
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
<0
x4
ou
b
c
@
3x
+
20
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
< 0 inequação quociente
4x
Análise do comportamento de sinais das funções. Pela última desigualdade queremos a parte menor que
zero (negativa):
y1
a
@ 3x + 20 < 0
@ 3x + 20 = 0
@ 3x = @ 20
20
f
f
f
f
f
f
f
x=
3
y2
a
4x< 0
x =0
Então montamos o diagrama de sinais:
Logo, vemos que os valores que tornam a desigualdade verdadeira é a união de dois intervalos:
b
c
S = @1 ,0 S
f
g
20
f
f
f
f
f
f
f
,+1
3
GUIDG.COM – PG. 4
a
e x2 ≤ 9
x2@ 9 ≤ 0
b
c
2
x 2 @ 3 ≤ 0 produto notavel, diferença de quadrados
`
a`
a
b
c
x + 3 A x @ 3 ≤ 0 inequação produto
Análise do comportamento de sinais das funções:
y1
a
x+3≤0
x + 3 = 0 [ x =@3
y2
a
x @3 ≤ 0
x @3 =0[x =3
E assim montamos o diagrama de sinais:
Portanto encontramos os valores que tornam esta inequação verdadeira:
R
S
B
S = x 2 R | @ 3 ≤ x ≤ 3 ou por intervalos S = @ 3,3
C
GUIDG.COM – PG. 5
a
f x 2 @ 3x + 2 > 0
x 2 @ 3x + 2 = 0
Para resolver, precisamos comparar com a equação do segundo grau: ax² + bx + c = 0 , assim
identificamos os valores de a = 1, b = -3, c = 2 . Isso se repetirá sempre, é importante saber!
x=
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
2
q
@
bf
F
bf
@
4f
Af
af
Af
cf
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
2a
Agora substituímos nessa fórmula, que é conhecida como fórmula de Bhaskara, daqui pra frente será
muito útil, portanto você deve memorizar! Substituindo os valores na fórmula temos:
x
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
`
a q`
a2
` a` a
@
@
3f
F
@
3f
@
4f
Af
1f
Af
2f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
` a
=
=
2 1
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
p
p
3f
F
9f
@
8f
3f
F
1f
3f
F
1f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
=
=
2
2
2
Resolvendo, encontramos os valores de x : S = { 1, 2 }
Mas o exercícios não quer os valores de x , e sim os valores de x para os quais a função é maior que
zero (símbolo >), então fazemos o gráfico para melhor visualizar:
O software Geogebra gera esse gráfico
facilmente, mas você também deve aprender a
fazer o gráfico sem a ajuda do computador, veja
que só precisamos dos valores de x e do sinal de
a , que identifica se a parábola esta para cima
(positivo) ou para baixo (negativo).
Agora podemos responder a pergunta. Para que valores a função é maior que zero?
A resposta é a parte cinza do gráfico, ou
b
c b
c
R
S
S = @1 ,1 S 2, + 1 ou ainda S = x 2 R | x 2
6
1<x<2
a
g 1 @ x @ 2x 2 ≥ 0
Este fica como exercício para o leitor. O processo de resolução é o mesmo, mas veja que o sinal de a é
negativo, então a parábola esta para baixo.
V
W
F
G
1f
1f
f
f
f
f
S = x 2ℜ|@1 ≤ x ≤
ou por intervalos: @ 1,
2
2
GUIDG.COM – PG. 6
h
a xf
+
1f
xf
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
2@x
<
3+x
Solução:
Veja que x ≠ 2 e x ≠ @ 3 (veja que o denominador não pode ser zero) ... então:
`
a`
a
`
a
xf
+
1f
3f
+
xf
<
xf
2f
@
xf
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
`
a`
a
2@x 3 + x
2
2x
+
2x
+f
3f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
<0
2
@x @x + 6
Inequação quociente, resolvendo o numerador:
a
y1 2x 2 + 2x + 3< 0
2x 2 + 2x + 3 = 0
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
`w
aw
`w
a
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
q4 @ 4 2 3
@
2f
F
p
2f
F
@
20
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f @
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
x=
=
4
4
Como vemos deu raiz negativa e isso implica que não existem raízes Reais tais que tornem a equação
verdadeira, isto é, as raízes são números complexos. Logo a função é positiva para todo x pertencente aos
reais.
Resolvendo o denominador:
a
y2 @ x 2 @ x + 6 < 0
@ x2@ x + 6 = 0
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
`w
aw
`w
a
q1 @ 4 @ 1 6
1f
F
F
5f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f 1f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
x=
=
@2
@2
x i = @ 3 e x ii = 2
Logo, temos os valores que satisfazem a inequação e podemos ver neste esboço.
(em vermelho os valores de x):
A solução é dada após montarmos o diagrama de sinais:
Então os valores que tornam a inequação verdadeira é o conjunto:
R
S
b
c b
c
S = x 2 ℜ | x< @ 3 e x>2 ou por intervalos S = @1 , @ 3 S 2, + 1
GUIDG.COM – PG. 7
a
i x3 + 1 > x2 + x
Solução:
x3 + 1 @ x2@ x > 0
`
a
`
a
x2 x @ 1 @ 1 x @ 1 > 0
b
c`
a
x2@ 1 x @ 1 > 0
y1
a
x 2 @ 1> 0
y2
x2@1w
=w
0
w
w
w
p
x =F 1 =F 1
a
x @1>0
x @1 =0
x =1
Montamos o diagrama de sinais de y1 com y2 :
Portanto o conjunto de números que satisfazem a inequação:
R
S
b
c b
c
S = x 2 R | @ 1 < x < 1 e x >1 ou por intervalos S = @ 1,1 S 1, + 1
j
ab
c`
a
x2 @ 1 x + 4 ≤ 0
Inequação produto, resolvendo:
y1
a
x2@ 1 ≤ 0
y2
x2@ 1 = 0
a
x+4≤0
x +4=0
x =@4
Montando o diagrama de sinais temos:
Portanto o conjunto de números que satisfazem a inequação:
R
S
S = x 2 R | x ≤ @ 4 e @ 1 ≤ x ≤ 1 ou
b
C B
C
@1 , @ 4 S @ 1,1
GUIDG.COM – PG. 8
k
a f
2f
+
2f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f xf
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
x@2
≤
x@2
≤1
Solução:
Resolvendo cada inequação separadamente, com x ≠ 2 :
2f
+
2f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f xf
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
≤
x @2 x @2
2f
@
xf
@
2f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
≤0
x @2
z
~y 1 |
~x
`
a
@
xf
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
`
a ≤0
x
@
2
{
~
~
~ }
~
~
~y
b
c
passando ao lado esquerdo e simplificando
b
c
ineq A prod A
y2
Pelo gráfico das funções podemos concluir, visualizando o digrama de sinais:
Logo
b
C
b
c
S 1 = @ 1 ,0 U 2, + 1
Agora, resolvendo o lado direito:
xf
+
2f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
≤1
x @2
xf
+
2f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
@1 ≤ 0
x @2
4f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
≤0
x @2
b
c
mmc e simplificação
Pelo gráfico da função do denominador, concluímos:
b
c
S 2 = @ 1 ,2
GUIDG.COM – PG. 9
Comparado as soluções:
b
C
b
c
S 1 = @ 1 ,0 U 2, + 1
b
c
S 2 = @ 1 ,2
Visualizando por intervalos, lembrando que x ≠ 2 para não zerar no denominador:
A única solução (ou o domínio) que satisfaz simultaneamente as duas inequações é a interseção das
soluções:
R
S
S = x 2R | x ≤ 0
ou
b
S = @1 , 0
C
a
l x4 ≥ x2
Solução
x4 ≥ x2
x4@ x2 ≥ 0
b
cb
c
x2 + x x2@ x ≥ 0
a
a
y1 x 2 + x ≥ 0
y2 x 2 @ x ≥ 0
x2 + x = 0
x2@ x = 0
x=
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
2
q
@
1f
F
1f
@
4f
Af
1f
Af
0f
1f
F
1f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f @
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
2
x i = 0 x ii = @ 1
=
2
Montando o diagrama de sinais:
E assim:
b
C B
c
PQ
S = @1 , @ 1 S 1, + 1 S 0
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
`
a2
q @1 @4A1A0
1f
F
F
1f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f 1f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
x=
=
2
2
x i = 1 e x ii = 0
GUIDG.COM – PG. 10
a f
xf
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
m f
<4
x @3
Ficabcomo exercício
para
o leitor.
c b
c
S = @1 ,3 U 4, + 1
n
1f
f
f
f
f
xf
@
3f
a 2f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
4+x
>1
1f
1f
6f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
xf
@
3f
xf
@
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f 2f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
2f
2f
4+x
=
4+x
@ 1>0
xf
@
6f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
2f
4+x
@ 1>0
xf
@
6f
1f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
ff
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
A f
@ 1>0
2 4+x
xf
@
6f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
8 + 2x
@ 1>0
xf
@
6f
+f
2x
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f 8f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
@ f
>0
8 + 2x 8 + 2x
xf
@
6f
@
8f
@
2x
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
>0
8 + 2x
@
xf
@
14
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
>0
8 + 2x
Da última desigualdade temos:
y1) -x-14 > 0
-x -14 = 0
-x = 14
x = -14
y2) 8+2x > 0
2x +8 = 0
x = -8/2 = -4
b
c
Logo, os valores de x que tornam a desigualdade verdadeira é o intervalo aberto: S = @ 14, @ 4 . Isto
é, a inequação é verdadeira para todo x pertencente a este intervalo, exceto as bordas x = -14 e x = -4 .
GUIDG.COM – PG. 11
o
a f
3f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
x@5
a
≤2
Fica como exercício para o leitor.
c F 13
f
f
f
f
f
f
f
b
S = @1 , @ 5 U
2
,+1
g
p x3 @ x2 @ x @ 2 > 0
x3@ x2@ x @ 2 = 0
O método para encontrar as raízes de polinômios como este se chama Pesquisa de raízes , e é assim:
(-2) é o coeficiente d, e 1 é o coeficiente a da função polinomial.
As possíveis raízes são os divisores inteiros de d, e de a, na fração d/a .
Divisores de
d(-2): {±1, ±2}
Divisores de
a(1): {±1}
P
Q
Possíveis raízes: dffff: F 1, F 2
a
Agora utiliza-se o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir o polinômio pelas possíveis raízes e achar a
primeira que reduza o grau:
1
-1
2
1
1
1
1
-1
0
-2
1
b
-1
-1
1
1
-2
-3
-3
0
c`
a
F
F
V
E re-escrevemos a função polinomial como: x 2 + x + 1 A x @ 2 = 0
Mas estamos procurando por valores tais que:
y1
a
y2
a
b
c`
a
x2 + x + 1 A x @ 2 > 0
x @2>0
x @2 =0[x =2
x 2 + x + 1>0
x2 + x + 1 = 0
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
p
@
1f
F
1f
@
4f
Af
1f
Af
1f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
x=
2
b
c
+ x 2R
logo 9
as raízes são números complexos
b
c
Como y2 é maior que zero para todo x pertencente aos Reais, temos que: S = 2, + 1
GUIDG.COM – PG. 12
a
q x 3 @ 3x + 2 ≤ 0
Neste caso a soma dos coeficientes resulta num valor igual a zero:
a = 1 , b = -3 , c = 2
a+b+c = 0
Conclui-se que 1 é raiz da equação, para mais informações consulte o exercício “t”.
Prosseguimos realizando a divisão de polinômios.
Divisão de polinômios, método da chave:
x³ - 3x + 2
x-1
-x³ + x²
x² + x - 2
= 0 + x² -3x + 2
-x² + x
= 0-2x + 2
+2x - 2
= 0+0 Então 1 é raiz.
Logo podemos escrever:
x³ -3x + 2 = (x -1)(x² + x -2) ≤ 0
y1)
x-1 ≤ 0
x -1 = 0
x=1
y2)
x² + x -2 ≤ 0
x² + x – 2 = 0
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
`w
a
q1 @ 4.1 A @ 2
@
1f
F
1f
F
3f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f @
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
x=
=
2
2
x i = 1 e x ii = @ 2
2
b
C
P Q
Portanto o intervalo que satisfaz a inequação é: S = @1 , @ 2 U 1
GUIDG.COM – PG. 13
r
a f
1f
3f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
≥
x+1
x@2
Solução:
Verificando o denominador vemos que: x ≠ -1 e x ≠ 2 .
1f
3f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
x+1
@
x @2
≥0
`
a
`
a
@
3f
xf
+f
1f
xf
@
2f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
`
a`
a ≥
x + 1 x @2
0
xf
@
2f
@
3x
@
3f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
≥0
2
x @ 2x + x @ 2
@
2x
@
5f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
x2@ x @ 2
≥0
Resolvendo a última desigualdade:
y1)
-2x -5 ≥ 0
-2x -5 = 0
-2x = 5
2x = -5
x = -5/2
y2) x² -x -2 ≥ 0
x² -x -2 = 0
Vamos resolver esta equação de segundo grau usando
Soma e Produto, isto é dois números somados que são
iguais à S, e dois números multiplicados que são iguais
à P:
bf
1f
f
f @
f
f
f
f
f
f
f
f
S =@ f
=@ f
=1
a
1
cf
f
f 2f
f
P= f
=@ f
=@2
a
1
xi = @ 1
e
x ii = 2
Pois S: @ 1 + 2 = 1
Logo, as raízes são
e
`
xi = @ 1
e
x ii = 2
Com isso montamos o diagrama:
f
a
P: 1 A @ 2 = @ 2
c
G b
5f
f
Logo os valores de x que satisfazem a inequação é o intervalo S = @ 1 , @ f
S @ 1,2 .
2
GUIDG.COM – PG. 14
a
s 8x 3 @ 4x 2 @ 2x + 1 < 0
Uma das formas de resolver este exercício é fatorando o polinômio:
`
a
`
a
8x 3 @ 4x 2 @ 2x + 1 = 4x 2 2x @ 1 @ 2x @ 1 <0
`
ab
c
2x @ 1 4x 2 @ 1 <0
Resolvendo a última desigualdade:
y1) 2x-1< 0
2x-1= 0
2x= 1
x=1/2
y2) 4x² -1 < 0
4x²-1 = 0
4x² = 1
x² = ¼
w
w
w
w
w
w
w
w
w
1
1f
f
f
f
f
f
f
x = ±s = F
4
então: x i = @
2
1f
f
f
e
2
1f
f
x ii = f
2
Então montamos o diagrama:
Logo, os valores que tornam a desigualdade verdadeira é o intervalo:
S = (-∞ , -1/2)
GUIDG.COM – PG. 15
a
t 12x 3 @ 20x 2 ≥ @ 11x + 2
O procedimento já foi visto na resolução do exercício ( p ) , chama-se Pesquisa de raízes, infelizmente
são poucos os alunos que tenham estudado este assunto no ensino médio, portanto se você não entender
deverá estudar Polinômios e equações polinomiais.
Solução:
12x3 @ 20x 2 + 11x @ 2 ≥ 0
12x 3 @ 20x 2 + 11x @ 2 = 0
Agora devemos fatorar o polinômio e precisamos das raízes. O procedimento é um pouco longo, mas
funciona.
Pesquisa de raízes:
(-2) é o coeficiente d , e 12 é o coeficiente a da função polinomial.
As possíveis raízes são os divisores inteiros de d , e de a , na fração d/a .
Divisores de d(-2): {±1, ±2}
Divisores de a(12): {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}
V
W
1f
1f
2f
2f
f
f
f
f 1f
f 1f
f
f 1f
f
f
f
f
f
f
f 2f
f 2f
f
f 2f
f
f
f
f
f
f
Possíveis Raízes: df
: F 1, F f
,F f
,F f
,F f
,F f
, F 2, F f
,F f
,F f
,F f
,F f
a
2
3
4
6
12
2
3
4
6
12
Percebemos que algumas são equivalentes, e resumimos o conjunto em:
V
W
1f
1f
2f
df
f
f
f
f 1f
f 1f
f
f 1f
f
f
f
f
f
f
f
: F 1, F f
,F f
,F f
,F f
,F f
, F 2, F f
2
3
4
6
12
3
a
Agora utiliza-se o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir o polinômio pelas possíveis raízes e achar a
primeira que reduza o grau:
1
-1
1/2
12
12
12
12
-20
-8
-32
-14
11
3
43
4
-2
1
-45
0
Logo podemos re-escrever a função polinomial como um produto:
cf
g
1f
f
f
12x @ 14x + 4 A x @ = 0
2
b
2
Mas estamos procurando por valores tais que:
b
cf
12x 2 @ 14x + 4 A x @
g
1f
f
f
≥0
2
F
F
V
GUIDG.COM – PG. 16
cf
g
1f
f
f
12x @ 14x + 4 A x @ ≥ 0
2
b
2
Resolvendo a última desigualdade:
a
1f
f
y1 x @ f
≥0
2
1f
f
x@ f
=0
2
1f
f
x= f
2
a
y 2 12x 2 @ 14x + 4 ≥ 0
12x 2 @ 14x + 4 = 0
6x 2 @ 7x + 2 = 0
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
p
F
1f
7f
F
49
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4f
Af
6f
Af
2f
f
f
f
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f 7f
f
f
f
f
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f
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f
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f
f
f
f
f
f
=
x=
12
12
xi =
8f
f
f
f
f
f
f 2f
f
f
12
=
3
e
x ii =
6f
f
f
f
f
f
f 1f
f
f
12
=
2
Então, montamos o diagrama:
Logo, os valores de x que tornam a inequação verdadeira é o intervalo:
S = {1/2} U [2/3 , +∞ )
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