Capítulo 8: Transferência de calor
por condução
Equação da condução de calor
Condução de calor
unidimensional e em regime
permanente
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Condução
Um corpo sólido isolado está em equilíbrio térmico se
a sua temperatura for a mesma em qualquer parte
do corpo.
Se a temperatura no sólido não for uniforme, calor
será transferido por atividade molecular das regiões
de temperaturas elevadas para as de baixas
temperaturas.
Este processo de transferência de calor por condução
é dependente do tempo e continuará ocorrendo até
que um campo uniforme de temperatura exista em
todo o corpo isolado.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Condução
• A transferência de energia ocorre por interação
molecular (associada a energia cinética entre as
partículas individuais ou em grupo, etc...) e não há
transporte de massa (sistema):
– Exemplos: ferro elétrico, moldes de fundição, parede com
isolamento, etc.
• Sua contribuição para o processo global de
transferência de calor pode ser bastante
significativa, dependendo do material usado.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Modelo de condução térmica
• O mecanismo de transferência de calor por
condução térmica consiste de um processo de
difusão .
• Uma espécie (normalmente temperatura) é
“transportada” da região de ‘maior’ concentração
para a de ‘baixa’ concentração.
• Joseph Fourier modelou a difusão em função do
gradiente de temperatura e de uma constante de
proporcionalidade.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Modelo de condução térmica
• O taxa de calor por unidade de área, ou fluxo de
calor ( q& "), depende da área em que ele cruza,
portanto possui uma natureza vetorial !
Y
q ′′y
r
r
&q" = i . q& "x + j . q& "y
q ′′x
X
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Modelo de condução térmica
• Fourier postulou que a taxa
de transferência de calor por
unidade de área da superfície (a)
é proporcional ao gradiente
"
&
q
de temperatura normal à
viz
superfície (dT/dn). A cte de
T
proporcionalidade
corresponde à
condutibilidade térmica do
material(k):
r
&
uur Q
∂T
q& ′′ =
= −k
A
∂n
EM-524 Fenômenos de Transporte
∂T
q& = − k
∂n
"
n
n
(a)
dT/dn
n
Perfil de temperatura ao longo
da linha a-a, paralela ao vetor
normal n
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Modelo de condução térmica
∂T
q& = − k
∂n
"
n
r
&
uur Q
∂T
q& ′′ =
= −k
A
∂n
Por que o sinal negativo na
lei de Fourier??
Por que o fluxo de calor é
positivo quando flui na
direção do decréscimo da
temperatura (segunda lei
da termodinâmica).
EM-524 Fenômenos de Transporte
n
(a)
(a)
q& "viz
T
dT/dn
n
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Condutibilidade térmica (k)
• É uma propriedade termofísica do material através
do qual o calor flui.
• Usualmente refere-se a um material com
comportamento isotrópico e homogêneo
–
–
Comportamento isotrópico: quando não há variação
de propriedade com a direção.
Comportamento homogêneo: quando a propriedade é
constante em toda a superfície do material.
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Condutibilidade térmica (k)
W/m.oC
• Unidades:
ou
Btu/h.ft.oF.
• Em muitos materiais
apresenta uma grande
dependência da
temperatura e uma
pequena da pressão.
• Para o mesmo fluxo de
calor, quanto maior for k
menor é a variação de
temperatura ao longo da
superfície.
EM-524 Fenômenos de Transporte
k (W/ m.oC) a 300K
Alumínio
237
Cobre
401
60,5
Aço carbono
Manta (fibra de 0,046
vidro)
Areia
0,027
Madeira
(carvalho)
Vidro
Pele (tecido
humano)
0,19
1,4
0,37
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Modelo de condução térmica
• O fluxo de calor na direção x:
• O fluxo de calor na direção y:
Y
q& ′′y = −k ( dT dy )
uur r
r
q& ′′ = i ⋅ q ′′x + j ⋅ q ′′y
q ′′y
q ′′x
X
EM-524 Fenômenos de Transporte
q& ′′x = −k ( dT dx )
uur
r  ∂T  r  ∂T 
q& ′′ = − i ⋅  k
 − j ⋅ k

∂
x
y
∂




uur
q& ′′ = −k ⋅ ∇T = −k ⋅ gradT
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Exemplo: Uma lona de freio é pressionada contra um tambor
rotativo de aço. Calor é gerado na superfície de contato
tambor-lona na taxa de 200 W/m2. 90% do calor gerado passa
para o tambor de aço, o restante passa pela lona. Determine
os gradientes térmicos no ponto de contato tambor-lona.
q& "l = 0,1 * 200 = 20 W/m 2
q& "t = 0,9 * 200 = 180 W/m 2
r
"
&
dT
dT
−
q
- 20
"
l
q& l = −k
⇒
=
=
= −1538,5 o C/m
dr
dr
k
0,013
"
&
−
q
dT
dT
- 180
t
&q"t = −k
⇒
=
=
= −2,975 o C/m
dr
dr
k
60,5
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Exemplo: O fluxo de calor na superfície diagonal da cunha de
baquelite é de 680 Btu/h.ft2. Determine o fluxo de calor e o
gradiente de temperatura nas direções x e y.
Y
Fluxo calor x:
qx = q.sin30o = 340 Btu/h.ft2
q ′′
•
30o
q ′′y
Fluxo calor y:
q ′′x
qy = q.cos30o= 589 Btu/h.ft2
X
Grad T, x:
dT/dx = -qx/k = -340/0,8089 = - 420,3 oF/ft
Grad T, y:
dT/dy = -qy/k = -589/0,8089 = - 728,15 oF/ft
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Formulação – Sistema infinitesimal ou
elemento do sólido
z
&
Q
z
y
z + ∆z
x
&
Q
y
&
Q
x
y + ∆y
d
&
Q
x
z
x
x+ ∆x
d
&
Q
y
y
y
d
x
&
Q
z
z
Considerando que a conversão de alguma forma de energia
(elétrica, química) em energia térmica pode ocorrer dentro do
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sistema.
Primeira Lei da Termodinâmica
• A taxa de transferência de calor do elemento é a
soma da taxa de transferência de calor através das
fronteiras do elemento e a taxa na qual energia
térmica é gerada internamente Q
& .
( )
g
• Aplicando a 1ª lei e considerando que não há
realização de trabalho e nem variação de energia
cinética e potencial, pode-se escrever que:
∂U
&
&
Q + Qg =
∂t
Q• é a taxa de energia que atravessa a superfície;
Q
• g é a taxa de energia gerada dentro do sistema;
U é a energia interna do sistema.
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Taxa de troca de energia interna
• A única forma de energia presente no elemento é a
energia interna do material e pode-se escrever
que:
∂U
∂T
= ρc
∂t
∂t
• Admitiu-se que o calor específico é constante, pois
as variações de temperatura na barra é pequena.
• Também foi admitido que o sistema é
incompressível.
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Taxa líquida de condução
• A lei de Fourier é utilizada para determinar a taxa
líquida de transferência de calor por condução
(material) através das seis superfícies planas do
elemento.
• Considerando a condutibilidade térmica do
material constante, a forma diferencial da taxa
líquida de condução:
"
"
"
2
2
2
&
&
&

∂q c ∂q c ∂q c
∂ T ∂ T ∂ T
+
+
= k 2 + 2 + 2 
∂x
∂y
∂z
∂y
∂z 
 ∂x
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Taxa de calor gerada internamente
• O calor gerado dentro do elemento é expresso em
termos de volume: q& "'
( )
• Ou seja, refere-se à energia interna específica
gerada por unidade de volume.
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Equação da condução de calor
• No sistema de coordenadas cartesianas, a equação
da condução de calor é:
 ∂ T ∂ T ∂ T  "'
∂T
k  2 + 2 + 2  + q& = ρc
∂y
∂z 
∂t
 ∂x
2
• Ou:
2
2
∂T
k∇ T + q& = ρc
∂t
2
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"'
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Equação da condução de calor
• No sistema de coordenadas cilíndricas, a equação
da condução de calor é:
 ∂ T 1 ∂T 1 ∂ T ∂ T  "'
∂T
&
k 2 +
q
+ 2
+
+
= ρc

2
2
r ∂r r ∂θ
∂z 
∂t
 ∂r
2
EM-524 Fenômenos de Transporte
2
2
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Condições de contorno
• Para determinar a distribuição de temperatura em
um meio é necessário resolver a formulação correta
da equação de calor.
• Esta solução depende das condições físicas
existentes nas fronteiras do meio e, se a situação
for dependente do tempo, das condições existentes
no meio em um determinado instante (t).
• As condições de fronteira são chamadas de
condições de contorno.
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Temperatura especificada
EM-524 Fenômenos de Transporte
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Parede Finas
• Considerando uma camada de material que
apresenta um condutibilidade térmica constante k,
espessura L e temperaturas superficiais impostas
T0 e TL.
• A solução deste problema é simples quando as
camadas podem ser consideradas finas, em
consideração as dimensões do corpo que está
sendo isolado.
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Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Condução de calor unidimensional
em RP
 ∂ 2 T ∂ 2 T ∂ 2 T  "'
∂T
k  2 + 2 + 2  + q& = ρc
∂y
∂z 
∂t
 ∂x
• Para um elemento unidimensional em que não haja
geração de calor interna e em regime permanente,
da equação da condução de calor pode-se escrever
que:
 ∂ 2T 
 2  = 0
 ∂x 
• A solução geral:
T = Ax + B
Perfil
linear
de
temperatura
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Condução de calor unidimensional
em RP
• Para o caso em que os dois
lados da placa infinita estão
em temperaturas uniformes
as condições de contorno
são:
– Para x = 0
– Para x = L
=>
=>
T = T0
T = TL
• Resolvendo a equação
diferencial com estas
condições de contorno
obtém-se:
x
T = (TL − To ) + To
L
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Fluxo de Calor
x
T = (TL − To ) + To
L
• O fluxo de calor pode ser calculado através da Lei
de Fourier como:
dT k
q& = −k
= (To − TL )
dx L
"
kA
"
&
(To − TL )
Q = q& * A =
L
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Analogia: transferência de calor (RP) e
fluxo de corrente
∆V
I=
R
kA
&
Q=
∆T
L
•
Fluxo elétrico: I → Fluxo de calor: Q
Potencial elétrico: ∆V → Temperatura: ∆T
Resistência elétrica: R → Resistência térmica: RT = L/kA
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Analogia: transferência de calor (RP) e
fluxo de corrente
Q
Rk=
∆T kA
&
Q=
=
( T2 − T1 )
R
L
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Condução de calor unidimensional
em RP
• Caso uma condição de contorno de convecção esteja
presente em x = 0, as condições de contorno são:
– Para x = 0
– Para x = L
=> h(T∞
∞-T) = -k(dT/dx)
=> T = T2
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Condução de calor unidimensional
em RP
• Para a condição de contorno de convecção:
T = Ax + B
• Neste caso:
T2 − T∞
A=
L + k/h
 T∞ − T2 
B = T2 + 
L

 L + k/h 
• E a expressão para a
distribuição de temperaturas:
x
 T∞ − T2 
T=
 1 +  + T2

 1 + k/Lh  L 
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Condução de calor unidimensional
em RP
• Para a condição de contorno de convecção, a taxa
de transferência de calor através da placa é:
& =
Q
T∞ − T2
1/hA + L/kA
• E a temperatura na superfície
do sólido em contato com o
fluido é:
 T∞ − T2 
T1 = 
+ T2

 1 + k/Lh 
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Condução de calor unidimensional
em RP
• A taxa de transferência de
calor também pode ser
determinada na fronteira
com convecção:
T∞ − T1
&
Q = hA(T∞ − T1 ) =
1/hA
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Condução de calor unidimensional
em RP
• A taxa de transferência de calor também pode ser determinada
na análise do circuito térmico equivalente:
Rc
Rk
• A resistência total oferecida pelo sistema é a soma das
resistências oferecidas pela fronteira com convecção e pelo
sólido:
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1
L
∑ R = hA + kA
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Condução de calor unidimensional
em RP
• A taxa total de transferência de calor pela placa é:
T∞ − T2
T∞ − T2
&
Q=
=
∑ R L/kA + 1/hA
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Condução de calor unidimensional
em RP
No caso de parede compostas, o conceito de
resistência térmica pode ser utilizado de forma
análoga a circuitos elétricos série/paralelo
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Exemplo: Uma fita de aquecimento é fixada a uma face de uma
grande placa de liga de alumínio 2024-T6 com 3 cm de espessura.
A outra face da placa é exposta ao meio circunvizinho, que está a
uma temperatura de 20º C. O lado de fora da fita de aquecimento
está completamente isolado. Determinar a taxa de calor que
precisa ser fornecida para manter a superfície da placa que está
exposta ao ar a uma temperatura de 80º C. Determinar também a
temperatura da superfície na qual a fita de aquecimento está
fixada. O coeficiente de transferência de calor entre a superfície
da placa e o ar é de 5 W/m2.ºC.
Isolamento
térmico
Liga de alumínio 2024-T6
Ar:
h = 5 W/m2.oC
T∞=20 ºC
Tp=80 ºC
Elemento de aquecimento
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Isolamento
térmico
Liga de alumínio 2024-T6
Ar:
h = 5 W/m2.oC
T∞=20 ºC
Tp=80 ºC
Elemento de aquecimento
q& "
Tq
L/kA Tp 1/hA
T∞
• A condutibilidade da
placa de alumínio a 80º C
é: k=181,8 W/m2 oC.
• A transferência de calor é
unidimensional e com
temperatura de parede
uniforme.
• O fluxo de calor pode ser
determinado pela condição de
contorno de convecção:
q& " = h(Tp − T∞ ) = 5(80 − 20) = 300 W/m 2
• A temperatura Tq pode ser determinada pela condição de
contorno de condução da placa:
kA
 0,03 
" L
&
Q=
(Tq − Tp ) ⇒ Tq = q&
+ Tp = 300 * 
 + 80 = 80,05 o C
L
k
181,8


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Cilindro oco
• O circuito térmico também pode ser usado ara
determinar a taxa de transferência de calor
unidimensional em RP em cilindro oco ou
composto.
• Neste caso a direção do fluxo será puramente
radial.
• Considere um cilindro com raio interno ri e externo
ro , comprimento l e temperaturas internas Ti e
externa To.
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Distribuição de temperatura unidimensional
• Considerando que não há geração interna de calor e
que o regime é permanente, a equação diferencial
apropriada para o cilindro oco é:
2
∂ T 1 ∂T
=0
+
2
∂r
r ∂r
• As condições de contorno são:
– Para r = ri
– Para r = ro
=>
=>
T = Ti
T = To
 Ti − To 
• Integrando a equação: T = Ti − 
 ln( r / ri )
 ln( ro / ri ) 
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Taxa de transferência de calor
• A expressão para a taxa total de transferência de
calor é:
T −T
& =
Q
i
o
ln(ro /ri )
2πkL
• A resistência equivalente oferecida pelo cilindro à
transferência de calor é:
ln(ro /ri )
R=
2πkL
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Exemplo: Um tubo liso de aço carbono com diâmetro interno de
5,25 cm e espessura de 0,78 cm, é recoberto com seis camadas de
papel corrugado de asbesto com 2 cm de espessura no total. A
temperatura do vapor de água no lado interno do tubo é de 150oC
e o ar no lado externo é de 25oC. Estime: i) a temperatura da
superfície do lado externo do isolamento e ii) a taxa de
transferência de calor por metro de comprimento do tubo. Dados:
hvapor = 1500 W/m2oC & har = 5 W/m2oC
kpapel = 0,078 W/moC
kaço = 60,5 W/moC
Tabs. A-15.4
A-14
Circuito Equivalente
RcH2O Rkaço Rkpapel Rcar
d1 = 5,25
150oC
25oC
?
d3 = 10,81
d2 = 6,81
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kpapel = 0,078 W/moC
Circuito Equivalente
kaço = 60,5 W/moC
RcH2O Rkaço Rkpapel Rcar
hvapor = 1500 W/m2oC & har = 5 W/m2oC
150oC
25oC
T = 25oC
d1 = 5,25
T = 150oC
d3 = 10,81
d2 = 6,81
Rc H2O
Rk aço
1
0,004
=
=
πd1 L.hvap
L
ln( d 2 / d1 ) 0,000685
=
=
2πk aço L
L
EM-524 Fenômenos de Transporte
ln( d 3 / d 2 ) 0,9433
Rk papel =
=
2πk papel L
L
1
0,589
Rcar =
=
πd 3 L.har
L
1,5370
R eq =
L
&
Q
L
=
∆T
= 81,33W / m
1,5370
Text,papel − Tar
&
& * Rc + T
Q=
⇒ Tpapel = Q
ar
ar
Rcar
0,589 

o
Text,papel =  81,33L *
 + 25 = 72,9 C
L 

(
)
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
FIM !
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero