Nº:
ALUNO(A):
SÉRIE: 2.0
TURMA:
DISCIPLINA: Matemática
DATA:
Valdemiro/Ricardo
PROPOSTA DE TRABALHO
Quando perguntado sobre o que significa matemática, para muitos, certamente, significa fazer alguns
cálculos básicos de utilidade bem prática da vida do dia-a-dia da pessoa. Como um dos exemplos mais comuns que
faria parte da vida de uma pessoa, poder-se-ia citar o caso de alguém comprar algo que custa R$3,50 e ao se dar
uma nota de R$5,00 este alguém receberia um troco de R$1,50.
Este exemplo, possivelmente, quanto ao uso da matemática, para pessoas mais simples ou com menos
tempo de estudo, seria uma das citações que mais seria encontrada. Para um representante da academia, no
entanto, pessoa ligada ao mundo acadêmico, ao ser interrogado sobre o que para ela seria matemática, a resposta,
com certeza, seria bem mais sofisticada. Possivelmente, uma das respostas dadas seria a de que se está à busca
de uma explicação teórica e geral para problemas e conjecturas ainda não solucionadas ou, então, uma segunda
resposta a ser esperada, é a de que a matemática é a procura de demonstrações para paradoxos estabelecidos
pelos humanos ao longo da história e que ainda não possuem respostas. E, finalmente, ao aluno, o que seria
matemática para este?
Para a maioria, infelizmente, uma resposta muito comum, é a de que se trata de algo chato, difícil e sem
muita serventia. Enquanto estudante até o Ensino Médio, representa, em média, 4 a 5 aulas encontros semanais de
aulas em que um professor acaba trazendo informações com muita simbologia, fórmulas e técnicas de cálculo e
que, normalmente, não são nada fáceis a muitos dos alunos. Para alguns poucos, contudo, representa um desafio
bem mais agradável para se exercitar o pensamento lógico e o de se solucionar problemas sejam eles formais da
própria ciência ou, então, sejam elas situações práticas do contexto humano.
Assim, por exemplo, utilizando o conteúdo de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares, ou seja,
matéria que é estudada, no geral, na Segunda Série do Ensino Médio poder-se-ia, por exemplo, perguntar pela
solução do sistema de equações formada por x – 2y – 2z = - 1, x – y + z = - 2 e, finalmente, 2x + y + 3z = 1. Tratase, portanto, de um sistema com três equações e três variáveis. Ao aluno, normalmente, é apresentado de como é
possível solucionar este sistema com base em alguma técnica de cálculo. Usando, por exemplo, Cramer, será
obtido o valor de x = 1, y = 2 e z = - 1. Também, ainda, deve ser apresentada a solução S = { ( 1, 2, - 1 ) } e, quando
muito, algumas outras considerações são feitas. Uma delas, em geral, é a de que é possível a verificação da
solução nas próprias equações.
Enfim, cabe aqui, a pergunta natural da maioria dos alunos, qual seja, e daí, para que serve tudo isto que
aprendemos sobre sistemas lineares? Algum professor, talvez, no intuito de mostrar um pouco de conhecimento a
mais, então, partiria dizendo que ao representar cada equação esta solução encontrada representa um ponto e este
passa a mostrar isto tudo num plano cartesiano tridimensional pensando que estará dando mais uma contribuição
significativa tanto desta situação quanto a de tantas outras possíveis. O professor conseguiu, ao fazer isto, sair do
formalismo por acaso? Mais uma vez, então, vem a pergunta: O que devemos, então, fazer para propor um projeto
diferenciado ou diferente disto que foi apresentado acima?
Uma primeira tentativa, muito comum pelos autores de livros é trazer todo este vasto conhecimento para
algumas aplicações práticas. Tomando como exemplo, um livro destes, então, este trás a seguinte situação
problema que vem formulado em seguida.
Para a fabricação de caminhões, uma indústria montadora precisa de eixos e rodas para seus três modelos
de caminhões com a especificação apresentado na primeira tabela abaixo. Para os dois primeiros meses do ano, a
produção deve seguir a tabela do lado direito. Utilizando o conceito de multiplicação de matrizes, responda, então,
nessas condições, quantos eixos e quantas rodas são necessários, em cada um dos meses, para que a montadora
atinja a produção planejada?
Utilizando, então, o conhecimento que foi trabalhado sobre multiplicação de matrizes, se montaria duas
matrizes e, ao fazermos os cálculos, conforme é ilustrado em seguida, vem à resposta depois do igual. Os valores
foram obtidos multiplicando-se os respectivos elementos da linha da primeira matriz com os elementos das colunas
da segunda fazendo-se, sempre, a soma destes produtos obtidos ( regra de cálculo ).
 30 20 
  215 154 
 2 3 4 

 25 18  = 
 .
 4 6 8  20 15   430 308 


O que foi conseguido como resposta? Que leitura, então, é preciso saber fazer? Para a produção planejada,
são necessários 215 eixos para janeiro e 154 para fevereiro. São precisas 430 rodas para janeiro e 308 rodas para
fevereiro.
Todos os autores, infelizmente, variando um pouco, quem sabe, com os casos de aplicações, tratam sempre
de situações que podem e devem ser classificados como de utilidade. O exemplo acima deixa isto muito claro, pois
a indústria sabe quantos eixos e rodas necessitam em cada um dos respectivos meses. Nós, por influência, destes
livros, temos hábito, repetir este modelo utilitarista.
Uma escola como a nossa, contudo, por se orientar segundo uma proposta educacional que segue uma
orientação diferente, visa que o professor e os alunos em especial, além de aprender a excelência acadêmica,
também atinjam a excelência humana. Inspirada na leitura da realidade, refletindo-a, todos possam imaginar a
construção de mundo digno de vida para todos. A pergunta decorrente é imediata, ou seja, a questão é: Trata-se
apenas de resolver, em matemática, o sistema linear acima ou saber dos eixos e rodas? O que propor e o que fazer
então diante desta novidade que foi apresentada?
Sem dúvida que é importante saber determinar, tal como aconteceu no problema, o número de eixos e de
rodas. Porém, a Pedagogia Inaciana e a Proposta Pedagógica do Professor de Matemática visam que o aluno seja
SUJEITO. Como tal, a matemática além de útil precisa ser de uma Matemática Significativa, ou seja, que o
problema seja próprio para um pensar reflexivo, de análise, de crítica, de questionamento ou, como pode ser visto
nos documentos da Pedagogia Inaciana, que seja de um Contexto Experimental Reflexivo e de Ação.
Pessoalmente, entendemos que devemos buscar aquelas situações que provocam na pessoa uma maior aquisição
de consciência crítica.
Portanto, nesta proposta, devemos propor PROBLEMAS os mais diversos para serem resolvidos. Aqui,
ninguém pode querer, simplesmente, fazer cópias daquilo que vem nos livros. É preciso CRIAR e, como tal,
devemos formular, dialogando e pensando em conjunto, alunos, sociedade e professor. O que se deseja é que se
vá INVENTAR o que poderíamos chamar de um problema ORIGINAL, importante e que nos dê visibilidade para a
construção de um Mundo em que todos sejam felizes.
a) Formular um Problema Contextualizado:
Para tornar um pouco mais explícito, lançamos a idéia de que a partir do estudo de matrizes e a operação
de subtração, façamos uma proposta. Não seria um problema por demais interessante imaginar uma tabela
( matriz ) com informações do total da população do meu bairro, do bairro mais populoso da cidade e da própria
Curitiba em 1970 e hoje? Por sua vez, tomando como referência os dados de todas as pessoas que tem vida digna
com os mesmos tipos de informação de bairros e épocas me leva o pensar sobre algo. Quem está em jogo? Os
pobres, excluídos, os sem... Diante do proposto, então, devo lançar mão de pesquisar, de buscar as informações, os
dados e elaborar meios de apresentá-los. Num site, talvez, isto seja possível. Tendo feito, então, esta busca,
descrevemos abaixo estas informações.
População
Pessoas com vida digna
Uberaba
Cic
Curitiba
1970
18211
21973
609026
2000
60338
157461
1587315
Uberaba
Cic
Curitiba
1970
17118
19995
566394
2000
48278
107073
1328398
b) Resolver Matematicamente:
Traduzindo em subtração de matrizes temos:
60338   17118
48278   1093 12060 
 18211

 
 

 21973 157461  −  19995 107073  =  1978 50388 
 609026 1587315   566394 1328398   42632 258917 

 
 

c) Análise:
Estes dados traduzem, então, uma realidade, ou seja, a primeira matriz representa a população. A segunda
indica as pessoas que possuem vida digna. Logo, o resultado obtido indica 1093 pobres em 1970 e 12060 em 2000
no bairro do Uberaba. Já no bairro do Cic, em 1970 havia 1978 pobres e que em 2000 pulou para 50388 e,
finalmente, a cidade de Curitiba, em 1970 possuía 42632 pobres e em 2000 passou a ter 258917.
O que nisto parece ser importante é que não convém apenas saber traduzir os dados em matrizes e realizar
a diferença corretamente (lembramos que também isto é preciso saber fazer). Como uma primeira questão que se
impõem, é essencial fazer uma análise. A primeira matriz, por exemplo, mostra que enquanto Curitiba cresceu 2,6
vezes neste período, o bairro Uberaba cresceu 3,3 vezes e, o espantoso de tudo isto, foi o Cic que cresceu 7,1
vezes, o bairro que mais cresceu nesta época na cidade de Curitiba. Quanto aos pobres, tanto o Uberaba quanto o
Cic, em 1970 possuíam poucos pobres e que, em 2000, mostram um crescimento acentuado de pobreza. Na
verdade, enquanto Curitiba teve cerca de 6 vezes aumentado a pobreza, o bairro Uberaba cresceu 11 vezes e, mais
uma vez, o Cic aumentou cerca de 25 vezes. Este dado é um dos mais assustadores. Estas últimas informações,
explicam, com certeza, porque estes bairros são considerados os mais violentos de Curitiba.
d) Conclusão:
Finalmente, como estudo mais conclusivo, trata-se, isto sim, de formular questionamentos quanto aos
resultados finais obtidos. A conclusão é que a pobreza cresceu na cidade de Curitiba. Porém, o que fica evidente é
que no bairro onde a população mais cresceu, junto, também, cresceu, de forma explosiva, a pobreza.
Como professor, enfim, devemos contribuir lançando perguntas as mais diversas. Uma das mais
importantes, talvez seja quanto a este aumento da pobreza na tão falada “Capital Ecológica”, que atitudes, afinal,
cada um de nós individualmente ou como grupo deve e pode ter para que este trágico quadro possa ser mudado.
Depois, sem dúvida, é importante a participação dos alunos e de toda a comunidade educativa nesta
questão onde os questionamentos que irão aflorar sobre esta temática aprofundarão ainda mais a questão tratada.
Isto deve incrementar e provocar um bom debate. Finalmente, pensando na resolução do problema levantado serão
construídas, seja individualmente, seja em grupo e com a participação de todos, possíveis ALTERNATIVAS para a
mudança do que foi observado e concluído.
O Trabalho:
1) Introdução:
Para executar um bom trabalho é preciso que se tenha muita imaginação, criatividade e criticidade. Para que o
estudo que se deseja tenha algum significado, o contexto a ser utilizado, então, deve despertar uma consciência
reflexiva.
2) Objetivo:
Criar ou elaborar uma situação problema contextualizada com base em um dos conteúdos da matéria
estudados até então nesta respectiva Série (Geometria, Progressões ou este estudo de Matrizes até Sistemas
Lineares) para que o ensino seja mais significativo e, com isto, desperte uma análise reflexiva possibilitando
encaminhamentos de transformação social.
3) Quantos, quando e onde:
O trabalho poderá ser feito em equipe de no máximo quatro pessoas com data de entrega até 16 de outubro
(quinta-feira), preferencialmente numa folha cartolina ou, então, num recurso qualquer de computador ( vídeo,
p.point, outros,...).
4) Como:
Deve apresentar a formulação do problema, sua resolução matemática, alguma análise e/ou reflexão e,
finalmente, uma conclusão.
5) Critérios Avaliativos:
Para fins avaliativos salientamos que estes são alguns dos critérios essenciais. Uma nota boa depende, acima
de tudo, da capacidade de criação do grupo e da formulação do problema ( um só ) tendo um contexto que exige ou
desperte uma reflexão crítica ( 0, 5), da solução correta do problema apresentado ( 0, 5), da análise (0,5) e de uma
conclusão bem elabora e coerente com o que o problema apresentou (0,5) totalizando a nota (2, 0). Este trabalho
valerá 20% da terceira nota de prova no terceiro trimestre.
6) Divulgação
Como proposta final, um ou dois melhores trabalhos de cada turma será apresentado na sala para toda a turma
no mês de novembro agendado pelo professor e, depois, será exposto na Internet da escola. Lembramos que,
depois do trabalho ter sido apresentado a toda a turma, deverá acontecer um debate conduzido pelo próprio grupo
de alunos do trabalho e com a participação do próprio professor interferindo com suas idéias. Os trabalhos feitos em
cartolina poderão ser expostos na sala de aula.
Maiores dúvidas e encaminhamentos, sempre procurem conversar com os professores de matemática do
Segundo Ano do Ensino Médio.
Um bom trabalho.
Professores Valdemiro e Ricardo.