Apêndice A
Funções Contı́nuas
Elaine Machtyngier
A.1
Teorema de Bolzano
Se f é uma funçao contı́nua sobre um intervalo fechado [a, b] e f (a) e f (b) têm sinais contrários, então, existe pelo
menos um ponto c ∈ (a, b), tal que f (c) = 0.
A idéia da demonstração analı́tica do teorema nos parece muito simples. Consideremos o conjunto A que contém
todos os números x de [a, b] tais que f é negativa em [a, x]. Como f é negativa em a e positiva em b, pela continuidade
da função o conjunto A contém alguns pontos maiores do que a.
Suponhamos agora que c é o menor número que é maior que todos os elementos de A: evidentemente
a < c < b. A idéia é mostrar que f (c) = 0. Para isso basta provarmos que as possibilidades f (c) < 0 e f (c) > 0 levam
a contradição.
Se f (c) < 0, pela continuidade da função, existe um intervalo aberto I, pequeno, contendo c, tal que ∀ x ∈ I, f (x) <
0. Em particular esta desigualdade vale para algum x maiore do que c; mas como I ⊂ A, isto contradiz o fato de que c
é maior do que qualquer elemento de A. Portanto, como a possibilidade f (c) < 0 conduz a uma contradição, podemos
eliminá-la.
A única possibilidade que resta é se f (c) > 0, novamente pela continuidade da função, existe um intervalo aberto
I, pequeno, contendo c, tal que ∀x ∈ I, f (x) > 0, em particular para algum x menor do que c. Isto significa que este
número não está em A e assim poderı́amos ter escolhido um número menor do que c que ainda seria maior do que
todos os elementos de A. Novamente temos uma contradição. Logo, f (c) > 0 também pode ser eliminada. Portanto,
f (c) = 0 e a demonstração está terminada.
A demonstração feita acima só foi possı́vel por termos escolhido c como sendo o menor número que é maior
que todos os elementos de A. É claro que sempre podemos escolher um número c maior que todos os elementos de
A. Basta fazer, por exemplo, c = b, mas não é tão claro que podemos escolher o menor de todos.√ De fato, suponhamos
que A seja o conjunto de todos os números racionais x ≥ 0 tais que x2 < 2. Como o número 2 não é racional, não
2
existe o menor número racional maior que todos os elementos de A: para qualquer
√ y tal que y > 2, racional, que
escolhermos, sempre poderemos encontrar outro menor. Entretanto, sabemos que 2 é o número real que procuramos,
ou seja, neste exemplo verificamos que o conjunto dos números reais satisfaz uma nova propriedade que enunciaremos,
rigorosamente, a seguir.
Definição A.1.1 Seja A um conjunto de números reais. Se existe um número x tal que x ≥ a para todo a ∈ A,
dizemos que A é limitado superiormente, e chamamos x de cota superior de A.
Cotas inferiores são definidas de modo análogo, ou seja:
Definição A.1.2 Um conjunto A de números reais é limitado inferiormente se existe um número x tal que x ≤ a
para todo a ∈ A, e chamamos x de cota inferior de A.
Se A é limitado superior e inferiormente, dizemos que A é limitado.
Os conjuntos R dos números reais, Z dos números inteiros e N dos números naturais são exemplos de conjuntos
que não são limitados superiormente (nem inferiormente nos dois primeiros casos). Um exemplo de um conjunto
limitado superiormente é:
A = {a | 2 ≤ a < 5} .
Para demonstrar que A é limitado superiormente basta exibir uma cota superior de A; por exemplo, 273 é uma cota
superior de A, e igualmente 7, 6 21 , 5 16 e 5. Evidentemente, 5 é a cota superior mı́nima de A. Mesmo que a expressão
que acabamos de introduzir seja compreendida por si mesma, vamos dar uma definição explı́cita.
396
Cap. A. Funções Contı́nuas
Definição A.1.3 Seja A limitado superiormente. Suponhamos que x tenha as seguintes propriedades:
(a) x é uma cota superior de A;
(b) se y é uma cota superior de A, então x ≤ y.
Nestas condições, x é uma cota superior mı́nima de A e é chamado supremo de A. Usamos a abreviação “sup” para
designar o supremo de um conjunto.
Observação A.1.1 Se x = sup A e y = sup A, então x = y.
De fato: x ≤ y pois y é uma cota superior e x = supA, e
y ≤ x pois x é uma cota superior e y = supA, logo x = y.
De modo análogo, definimos:
Definição A.1.4 Um número x é uma cota inferior máxima de A se:
(a) x é uma cota inferior de A;
(b) se y é uma cota inferior de A, então x ≥ y.
A cota inferior máxima de A é também chamada ı́nfimo de A. Usamos a abreviação “inf ” para designar o ı́nfimo de
um conjunto.
Exemplos
(a) Seja A o conjunto de todos os números da forma 1/n, com n = 1, 2, 3, . . .. A é limitado e supA = 1 e inf A = 0.
Note que, neste caso, o sup pertence ao conjunto, enquanto o inf não pertence. De modo geral, o sup (ou o inf) de
um conjunto pode ou não pertencer ao conjunto.
(b) Seja A o conjunto de todos os números reais não negativos. A é limitado inferiormente, porém não o é superiormente e inf A = 0.
Naturalmente surge a questão: quais são os conjuntos que têm uma cota superior mı́nima ou uma cota inferior
máxima? Consideraremos apenas o problema das cotas superiores mı́nimas, já que com ele, as questões relativas a
cotas inferiores máximas serão resolvidas fácilmente por analogia.
Sabemos que se A não é limitado superiormente, então A não tem cota superior e portanto não tem cota superior
mı́nima. Além disso, não podemos afirmar que todos os conjuntos que têm uma cota superior terão uma cota superior
mı́nima, basta olharmos por exemplo o conjunto A dos números racionais positivos x, tais que x2 > 2 discutido
anteriomente. Porém, existe a cota superior mı́nima deste conjunto se a procuramos no conjunto dos números reais.
Propriedade da cota superior mı́nima: Se A é um conjunto não-vazio de números reais, limitado superiormente,
então A tem uma cota superior mı́nima.
Demonstração Seja A1 o seguinte conjunto de números reais: a1 ∈ A1 ⇔ ∃ x ∈ A tal que a1 < x. Seja A2 o conjunto
de todos os reais que não estão em A1 . É claro que nenhum elemento de A1 é cota superior de A, enquanto que todo
elemento de A2 o é. Para mostrarmos a existência do supremo, basta verificarmos que A2 possui um mı́nimo.
Inicialmente observamos que todo número real está em A1 ou em A2 e nenhum número real está simultaneamente
em A1 e em A2 . Além disso:
(a) como A ̸= ∅, ∃ x ∈ A, assim ∀a ∈ R tal que a < x, a ∈ A1 =⇒ A1 ̸= ∅.
(b) como A é limitado superiormente, ∃ y ∈ R tal que x ≤ y, ∀x ∈ A =⇒ A2 ̸= ∅.
(c) Se a1 ∈ A1 ⇒ ∃ x ∈ A tal que a1 < x e x ≤ a2 , ∀a2 ∈ A2 . Assim, a1 < a2 para todo a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 .
Portanto, como não existem “lacunas” ou “buracos” no conjunto dos números reais, ∃ γ ∈ R tal que a1 ≤ γ ≤ a2
para todo a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 . Assim, ou A1 possui máximo, ou A2 possui mı́nimo.
Se a1 ∈ A1 ⇒ ∃ x ∈ A tal que a1 < x, consideremos a′1 ∈ R tal que a1 < a′1 < x. Sendo a′1 < x, a′1 ∈ A1 , de
modo que a1 não é o maior número de A1 . Como A1 não possui máximo, temos que A2 possui mı́nimo e a prova da
propriedade está encerrada.
Agora podemos dar uma versão rigorosa da demonstração do Teorema de Bolzano que desenvolvemos no inı́cio da
seção.
Considere o conjunto A = {x ∈ R | a ≤ x < b e f (x) ≤ 0 em [a, x]}. Como a ∈ A ⇒ A ̸= ∅ e sendo f contı́nua em
[a, b] com f (a) < 0, ∃ δ > 0 tal que A contém todos os x ∈ [a, b] que satisfazem a ≤ x < a + δ.
Além disso, A é limitado superiormente, pois b é uma cota superior de A. Também, sendo f contı́nua em [a, b] com
f (b) > 0, ∃ δ > 0 tal que todos os x que satisfazem b − δ < x ≤ b são cotas superiores de A.
Pela propriedade demonstrada acima concluı́mos que A tem uma cota superior mı́nima c e que a < c < b. Queremos
mostrar que f (c) = 0.
Se f (c) < 0 ⇒ ∃ δ > 0 tal que f (x) < 0, ∀x ∈ (c − δ, c + δ) e assim existiria x1 ∈ (c, c + δ), c < x1 tal que f (x1 ) < 0,
mas isto contraria o fato de c ser o supremo de A. Logo, a hipótese de que f (c) < 0 é falsa.
Se f (c) > 0 ⇒ ∃ δ > 0 tal que f (x) > 0, ∀x ∈ (c − δ, c + δ). Como c é o sup A, sabemos que ∃ x0 ∈ A que satisfaz
c − δ < x0 < c, e isto significa que f é negativa em [a, x0 ], o que é impossı́vel, pois f (x0 ) > 0. Deste modo, a hipótese
f (c) > 0 também nos leva a uma contradição. Portanto a única alternativa possı́vel é f (c) = 0.
W.Bianchini, A.R.Santos
A.1.1
397
Exercı́cios
(1) Demonstre que existe algum x que satisfaz as igualdades abaixo:
(a) x5 + 5x4 + 2x + 1 = 0
(b) x179 +
163
= 119
1 + x2 + sen2 x
(c) senx = x − 1.
(2) Encontrar a cota superior mı́nima e a cota inferior máxima dos seguintes conjuntos, caso existam:
}
{
1
{
}
(a)
|n∈N .
(e) x | x2 + x + 1 ≥ 0 .
n
{
}
{
}
(f) x | x2 + x − 1 < 0 .
1
{
}
(b)
| n ∈ Z e n ̸= 0 .
n
(g) x | x < 0 e x2 + x − 1 < 0 .
{
}
(c) {x | x = 0 ou x = 1/n para algum n ∈ N }.
1
n
{
}
+
(−1)
(h)
|
n
∈
N
.
√
n
(d) x | 0 ≤ x ≤ 2 e x é racional .
(3) Seja f uma função contı́nua em [a, b] com f (a) < 0 < f (b).
(a) A demonstração do teorema de Bolzano estabeleceu que existe um x mı́nimo em [a, b] com f (x) = 0. Demonstrar
que existe em [a, b] um x máximo com f (x) = 0.
(b) Na demonstração do teorema de Bolzano consideramos o conjunto A = {x ∈ R | a ≤ x < b e f (x) ≤ 0 em [a, x]}.
Faça uma outra demonstração do Teorema utilizando o conjunto B = {x ∈ R | a ≤ x < b e f (x) ≤ 0}. Dê um exemplo
no qual os conjuntos A e B não coincidam.
(4) Suponha que f é contı́nua em [a, b] e que f (a) = f (b) = 0. Suponha também que f (x0 ) > 0 para algum x0 ∈ [a, b].
Demonstrar que existem números c e d com a ≤ c < x0 < d ≤ b e tais que f (c) = f (d) = 0, mas f (x) > 0 para todo
x ∈ (c, d). Sugestão: utilize o problema anterior.
A.2
Teorema dos valores extremos
Seja f uma função contı́nua definida em um intervalo fechado [a, b]. Então existem números c e d no intervalo [a, b],
tais que, f (c) é o valor máximo e f (d) é o valor mı́nimo de f em [a, b].
Para demonstrarmos este teorema necessitamos definir alguns conceitos de forma rigorosa.
Definição A.2.1 Dizemos que um ponto x ∈ IR é um ponto de acumulação do conjunto A ⊂ IR se para todo ε > 0
existe um ponto a ∈ A tal que |x − a| < ε, x ̸= a.
Princı́pio do ponto de acumulação
Se um intervalo finito contém uma infinidade de números, estes possuem ao menos um ponto de acumulação.
Demonstração Inicialmente consideremos o intervalo de 0 até 1. Dividiremos este intervalo em 10 partes iguais
por meio dos pontos 0,1, 0,2, ..., 0,9. Pelo menos um destes subintervalos deve conter uma infinidade de pontos.
Suponhamos que o intervalo que começa com o número 0, a1 seja aquele (ou um daqueles se houver vários) que tem a
propriedade mencionada. Subdividiremos, agora, este intervalo em 10 partes iguais empregando os pontos de subdivisão
0, a1 1, 0, a1 2, ..., 0, a1 9. Novamente será verdade que, no mı́nimo, um desses subintervalos deve conter uma infinidade
de pontos; admitamos que seja o subintervalo que começa com o número 0, a1 a2 . Mais uma vez o subdividiremos
em dez partes – notando que uma dessas partes deve conter uma infinidade de pontos – e continuaremos o processo.
Consideremos, agora, o número decimal
c = 0, a1 a2 a3 a4 ....
É claro que este representa um ponto de acumulação para o nosso conjunto de números. Cada intervalo, por menor
que seja, em cujo interior estiver situado o ponto c, conterá subintervalos do nosso sistema de subdivisão com um certo
grau de precisão em diante, e estes subintervalos contêm uma infinidade de números do conjunto.
Se o intervalo considerado fosse desde a até a + h, nada de essencial seria alterado no raciocı́nio acima. O ponto
de acumulação seria representado por um número da forma a + h × 0, a1 a2 a3 a4 . . ..
Demonstração do teorema dos valores extremos
Vamos provar que existe c ∈ [a, b] tal que f (c) é o valor máximo da função. A demonstração da existência de um
número d ∈ [a, b] tal que f (d) é o valor mı́nimo da função é feita por analogia.
Seja A = {y ∈ IR | y = f(x) para algum x ∈ [a, b]}. Suponhamos que A não seja limitado superiormente. Desta
forma, existe uma seqüência de números x1 , x2 , x3 , ..., xn , ..., no intervalo [a, b], para a qual f (xn ) cresce além de
qualquer limite. Tal seqüencia tem ao menos um ponto de acumulação x no intervalo considerado. Desta forma,
∃ δ > 0 tal que |x − xn | < δ e |f (x) − f (xn )| > 1, e a função é descontı́nua no ponto x, o que contradiz a hipótese.
398
Cap. A. Funções Contı́nuas
Assim, existe uma cota superior mı́nima M para o conjunto A. Ou há um ponto x tal que f (x) = M , e a prova do
Teorema estaria terminada, ou existe uma seqüencia de números x1 , x2 , x3 , ..., xn , ..., no intervalo [a, b] para a qual
lim f (xn ) = M
n→∞
De acordo com o princı́pio do ponto de acumulação formulado acima, podemos escolher uma subseqüência de
números xn que convirja para c ∈ [a, b]. Chamemos tal subseqüência c1 , c2 , c3 , ..., cn , ..., de modo que
lim cn = c
n→∞
É certo que
lim f (cn ) = M
n→∞
Como a função é contı́nua no intervalo [a, b], e em particular no ponto c, temos que
lim f (cn ) = f (c)
n→∞
Logo, f (c) = M . M é, portanto, o valor da função no ponto c, que está no interior ou sobre os extremos do intervalo
[a, b], como querı́amos demonstrar.