PIERRE FERMAT
17 DE AGOSTO DE 1601, EM BEAUMONT-DE-LOMAGNE, FRANÇA.
12 DE JANEIRO DE 1665, EM CASTRES, FRANÇA.
Resumo: Pierre Fermat foi um jurista francês que chegou a ser promovido em 1648 à
importante posição de conselheiro do rei. Apesar da honestidade e da dignidade com que
Fermat realizava seu trabalho, sua notoriedade se deve ao fato de ele ter sido um dos
maiores matemáticos amadores da história. Em meio ao seu interesse pelo estudo das
propriedades e relações entre os números, por volta de 1637, Fermat escreveu no rodapé de
um livro uma enigmática nota a respeito de um problema que estudava.
Palavras-chave: Teoremas de Fermat, Teoria da probabilidade, o ultimo teorema de
Fermat.
INTRODUÇÃO
No início do século XVII, a maior parte dos matemáticos eram amadores, o que não
impediu o aparecimento de figuras decisivas para um período dos mais cruciais para a
história da matemática. A França, durante o segundo terço deste século, constitui o centro,
por excelência, da matemática. As figuras principais foram Descartes, Fermat, Torricelli
(Gilles Persone de Roberval), Desargues, Pascal e Mersenne.
A atividade destes matemáticos, num período em que não existiam revistas
científicas, tinha por base círculos de discussão e uma constante correspondência. De certa
forma, em oposição às universidades, que se mantinham fiéis ao escolástico medieval
surgem academias, à volta dos grupos de discussão de homens cultos que, pelo contrário,
exprimiam o novo espírito de investigação (Struik, 1989).
O padre Mersenne (1588-1648) desempenhou um papel de grande importância.
Lutou contra a atmosfera de segredo, encorajando todos os matemáticos a exporem as suas
idéias. Contribuiu assim, de modo decisivo, para o desenvolvimento de uma ciência que
estava em risco de permanecer oculta nos manuscritos secretos de cada matemático.
“A matemática desenvolve-se mais em termos de lógica interna do que sob a ação
de forças econômicas, sociais ou técnicas (Boyer, 1996)”. A atividade dos matemáticos
estendeu-se a muitos campos. Enriqueceram os assuntos clássicos com resultados originais,
lançaram novas luzes sobre campos antigos e criaram mesmo novos temas de pesquisa
matemática. Um exemplo do primeiro caso foi a teoria dos números estudada por Fermat
num livro de Diofanto; um exemplo do segundo caso foi a nova interpretação da
geometria; a teoria matemática das probabilidades foi uma criação inteiramente nova.
Contudo, os grandes desenvolvimentos da matemática, aconteceram na geometria analítica
e na análise infinitesimal.
Com a morte de Desargues em 1661, de Pascal em 1662 e de Fermat em 1665, encerrou-se
um grande período da matemática francesa.
TEORIA DOS NÚMEROS
Fermat tinha um fascínio especial pelos números, por isso dedicava parte do seu
tempo a resolver os problemas do livro Arithmetica, uma tradução em latim, da autoria de
Claude Gaspar Bachet. Este estudo levava-o a pensar e a equacionar novas questões,
tentando alcançar novos resultados.
Fermat tornou-se, desta forma, um dos fundadores da teoria dos números que
estuda, principalmente, a estrutura dos sistemas numéricos e as propriedades dos números
inteiros positivos e dos números primos. Estes últimos são elementos essenciais da teoria
dos números e formam um conjunto de números que fascina a humanidade desde sempre,
por não parecer haver um padrão, por mais complexo que seja, que regule a sua estrutura.
Atualmente, existe uma razão prática para o estudo dos primos, a sua aplicabilidade à
criptografia.
Fermat investigou, sobretudo, números perfeitos e amigáveis, números figurados,
quadrados mágicos, triplos pitagóricos, e acima de tudo, os números primos. Desenvolveu
vários teoremas nesta área, entre os quais o Último Teorema de Fermat, que não foi o
único, nem se calhar o mais relevante da teoria dos números.
Um dos mais importantes teoremas foi o que é hoje conhecido como o Pequeno
Teorema de Fermat, um pequeno teorema que, no entanto, é uma obra-prima de
criatividade e um resultado com implicações espantosas. Tornou-se conhecido no meio
acadêmico em 1640, por ter sido enviado por carta para outro matemático. “Se p é um
número primo então para qualquer inteiro a, ap - a é divisível por p”.
Uma demonstração bastante simples desta proposição foi apresentada pela primeira
vez, cerca de um século mais tarde, por Euler (embora Leibniz tenha deixado uma mais
antiga em manuscrito), através do método de indução.
Em 1992, Pomerance prova que este conjunto tem cardinalidade infinito. Fermat
afirmou uma outra proposição, relacionada com esta:
"Qualquer n é primo se e só se 2n - 2 é divisível por n inteiro maior que 1"
Uma das implicações é um caso particular do Pequeno Teorema de Fermat, mas a
implicação contrária veio-se provar mais tarde que era falsa, através de um contraexemplo: 2341 - 2 é divisível por 341, mas 341= 11x31, logo 341 é um número composto e
não um número primo.
Fermat formulou, ainda, um processo de verificação de não primalidade, bastando
para isso, escolher o valor de a apropriado:
"Se p primo e a não divisível por p então ap-1 - 1 é divisível por p".
Contudo, este teste não é um resultado completo, porque para cada valor de a existe
um infinidade de não primos p para os quais ap-1 - 1 é divisível por p, chamados os
pseudoprimos de base a. Mais ainda, existem não primos p que são pseudoprimos em todas
as bases a, os denominados números de Carmichael, já referidos anteriormente. Apesar de
tudo isto, este processo constitui a base de muitos dos testes atualmente utilizados para
verificar se um número é ou não primo.
Fermat sabia, do estudo dos números primos, que estes (exceto o 2) podem ser
escritos da forma 4n+1 ou 4n-1, e que qualquer uma destas duas formas pode ser expressa
como diferença de dois quadrados, de uma e uma só maneira. Tendo conhecimento que 4n1, nunca pode ser escrito como soma de dois quadrados, prova por absurdo e utilizando o
método denominado "descida infinita" criado por si.
Fermat formulou também, outra proposição sobre propriedades dos números
primos, baseado numa indução sobre apenas os cinco casos n=0,1,2,3,4.
Por Fermat nunca revelar as demonstrações que tinha, alguns dos seus teoremas
acabaram por ser conhecidos pelo nome de quem os demonstrou. Um exemplo disso é o
chamado 'Teorema dos Quatro Quadrados de Lagrange', demonstrado em 1770. “Todo o
inteiro positivo é a soma de no máximo quatro quadrados perfeitos”.
Um dos mais belos e difíceis enunciados relaciona-se com o estudo dos números
figurados. Foi apresentado por Fermat, em correspondência com Pascal, no ano de 1654, e
provado por Cauchy apenas no século XIX:
Todo o inteiro positivo é soma de no máximo três números triangulares, ou no
máximo quatro números quadráticos, ou cinco pentagonais, ou seis hexagonais, e assim
por diante, infinitamente.
Diz-se que dois números são amigáveis se a soma dos divisores de cada um deles é
igual ao outro.
O único exemplo descoberto pelos pitagóricos foi (220 e 284): Os divisores de 220
são 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110 cuja soma é 284.Os divisores de 284 são 1,2,4,71,142
cuja soma é 220.
Fermat estudou este assunto e encontrou, por volta do ano 1636, o primeiro par de
amigáveis (17296 e 18416) conhecido depois do descoberto na antiguidade .
GEOMETRIA ANALÍTICA
"A geometria analítica é o resultado de uma frutuosa ligação de dois ramos da
matemática: a geometria (que trata de pontos, conjuntos de pontos e propriedades a eles
relativos) e a análise (que estuda os números e as relações entre eles)" (Marques, 1991).
A primeira ligação entre a geometria e os números foi feita na antiguidade pelos
matemáticos gregos que usavam figuras geométricas para resolver equações (álgebra
geométrica). Dois mil anos depois, Descartes e Fermat seguiram o caminho inverso
traduzindo as relações geométricas por equações.
Foi no estudo de trabalhos de Viète que Fermat e Descartes compreenderam a
análise que os gregos tinham feito. E ao usarem as mesmas técnicas de base que
relacionam a álgebra e a geometria, desenvolveram o que culminou, mais tarde, na
moderna geometria analítica.
Fermat e Descartes traduziram por equações e letras o que os gregos já tinham
escrito por palavras e com proporções e, introduziram o método das coordenadas na
geometria. A introdução das coordenadas teve como imediata conseqüência à redução dos
estudos feitos sobre a resolução gráfica de equações. Da aplicação dos métodos analíticos à
geometria, deduziram que os problemas da interpolação de duas ou mais medidas
proporcionais, o problema da trisecção do ângulo, etc., não se podem resolver com a régua
e o compasso.
A idéia de definir a posição de um ponto por meio de uma seqüência de números
foi sugerida, de modo natural, em problemas de navegação que levaram a adaptar o sistema
das coordenadas geográficas. Cada ponto da superfície marítima fica determinado por um
par de números designados de latitude e longitude e, se o ponto está situado acima ou
abaixo do nível do mar, um terceiro número torna-se necessário juntar para o localizar: a
altitude.
É o nome de Descartes que aparece como o fundador da geometria analítica.
Descartes ao apoiar-se em estudos elaborados por matemáticos gregos vai formalizar a
idéia de definir a posição de cada ponto por meio de uma seqüência de números. Assim, as
figuras geométricas passam a ser descritas por meio de equações e/ou de inequações, o
que permite transformar questões de pura geometria em questões de análise. Os teoremas
de geometria tornam-se demonstráveis por meio da análise e muitas questões delicadas
desta, podem ser visualizadas graficamente e interpretadas intuitivamente quando
apresentadas em termos de geometria.
Mas ao que parece, a geometria analítica foi desenvolvida em simultâneo, tanto por
Descartes, que publicou a sua Géométrie em 1637, como por Fermat, em escritos
anteriores não publicados.
Fermat tinha um profundo interesse nas obras clássicas, principalmente nas de
Euclides, Apolónio e Diofanto. Pensa-se que o estudo e a reconstituição da obra perdida
Plane Loci (Lugares Planos) de Apolónio, baseado em alusões contidas na Coleção
Matemática de Papus, tenha tido como conseqüência o tratado Ad locus planos et sólidos
isagoge (introdução aos lugares planos e sólidos), escrita antes de 1637, mas publicada
postumamente, apenas em 1679. Aí aparecem os princípios fundamentais do método das
coordenadas, se não de uma forma extensa como na Géométrie de Descartes, pelo menos
em forma tão clara ou mais (Marques, 1991). Por exemplo, nos escritos de Fermat aparece
à equação da reta, que não figura explicitamente na obra de Descartes e 'o princípio
fundamental da geometria analítica', no plano:
Tanto Descartes como Fermat desenvolveram a geometria analítica sem
considerarem abscissas negativas, mas perceberam a existência de uma geometria analítica
a mais de duas dimensões, pelo menos a três. Fermat explícita isso mesmo no seu trabalho.
Há certos problemas que envolvem só uma incógnita e que podem ser chamados
determinados, para distinguir dos problemas de lugares. Há outros que envolvem duas
incógnitas e que nunca podem ser reduzidos a uma só, estes são os problemas de lugares.
Nos primeiros problemas, procuramos um ponto único, nos segundos uma curva. Mas se o
problema proposto envolve três incógnitas, deve-se achar, para satisfazer à equação, não
apenas um ponto ou uma curva, mas toda a superfície. Assim aparecem superfícies como
lugares, etc.
A descrição da geometria analítica de Fermat era muito mais sistemática e didática
que a de Descartes. Além disso, era mais próxima da atual, pelo fato de tomar o eixo das
ordenadas, como usualmente, perpendicular ao eixo das abscissas.
A geometria analítica, nunca se deparou com contradições e tal é o seu poder
matemático de sugerir novos problemas e novas questões, que depressa se tornou uma
ferramenta indispensável para a investigação.
TEORIA DAS PROBABILIDADES
Fermat teve uma amizade muito grande com Pascal, embora esta amizade fosse
curta. A correspondência entre os dois serviu de fundação para a teoria das probabilidades,
e por causa disso, ambos são hoje considerados fundadores do assunto.
A ciência da probabilidade começou com o chamado problema dos pontos:
“Determine a divisão das apostas de um jogo de azar entre jogadores igualmente hábeis,
supondo-se conhecido o marcador no momento da opção e número de pontos necessários
para ganhar o jogo”.
Pascal e Fermat, na sua histórica correspondência refletiram sobre outros problemas
relacionados com o problema dos pontos como a divisão da aposta para o caso de mais do
que dois apostadores ou para o caso de dois jogadores com habilidades diferentes.
Fermat não publicou nenhum dos seus numerosos e geniais estudos, à excepção de
uma memória incerta num volume do padre Lalouvére, publicada em 1660, limitando-se a
registrar as suas descobertas na margem dos livros e, particularmente, nas margens de uma
edição de 1621 das obras do matemático grego Diofanto de Alexandria.
Seu filho Samuel conseguiu reunir todas as suas Obras Matemáticas em 1679, que é
tudo o que dele nos resta.
O Ultimo Teorema de Fermat
Foi depois de ler uma série de observações e problemas relativos ao Teorema de
Pitágoras e aos triplos pitagóricos, que Fermat olhou mais atentamente para a equação:
x2+y2=z2, que tem infinitas soluções e a modificou de modo a obter uma muito
semelhante. Passou a considerar uma nova equação em que o expoente era maior do que
dois e chegou à proposição: xn+yn=zn, com n>2 e x, y ,z e n inteiros positivos, não tem
soluções.
Fermat não formalizava as suas conclusões. Contentava-se em rabiscar o que era
necessário para se recordar de que tinha encontrado uma solução. Muitas vezes usava as
margens dos livros para esboçar um comentário, um raciocínio, um pensamento ou alguma
nota que achasse mais interessante.
Junto do problema que suscitou aquela nova proposição escreveu, então, a seguinte nota:
"É impossível para um cubo ser escrito como a soma de dois cubos ou uma quarta
potência ser escrita como a soma de duas quartas potências ou, em geral, para qualquer
número que é uma potência maior do que a segunda, ser escrito como a soma de duas
potências com o mesmo expoente." (Singh, 1998, p. 82)
Contudo, não apresenta nenhuma demonstração e, na margem do livro, acrescenta
apenas:
Descobri uma demonstração maravilhosa desta proposição que, no entanto, não
cabe nas margens deste livro.
Este resultado correu o risco de cair no esquecimento, pois Fermat nunca o revelou
aos matemáticos seus contemporâneos. Não fosse o seu filho mais velho perceber a
importância das notas escritas pelo pai no exemplar da Arithmetica, reuni-las e publica-las
numa edição especial, a Arithmetica de Diofanto Contendo Observações por P. de Fermat,
em 1670, não teríamos tomado conhecimento da sua existência. As 48 observações
apresentadas neste livro não estavam acompanhadas da respectiva demonstração, mas
acabaram por ser provadas, uma após outra, sendo esta, a última. Por esta razão, ficou
conhecida como 'O Último Teorema de Fermat'.
Este misterioso comentário manteve gerações de matemáticos ocupados. Durante os
séculos seguintes, tentou-se encontrar, de algum modo, uma demonstração da proposição
ou constatar que era falsa, o que não aconteceu até 1994. Se Fermat tinha realmente uma
demonstração, ninguém sabe. O que sabemos atualmente, é que a demonstração encontrada
requer métodos que não estavam disponíveis no século XVII. Mas quer Fermat tenha
notado qualquer coisa que escapou a toda agente desde então, quer se tenha iludido a si
próprio, a sua observação quase casual, foi responsável por uma vasta quantidade de
matemática, como por exemplo, a descoberta da teoria dos Anéis Comutativos.
De Fermat, conhece-se apenas um esboço de demonstração para n=4. Euler
conseguiu uma demonstração para n=3 e o caso n=5 foi provado por Dirichlet, em 1828 e
por Legendre, em 1830. Em 1832, Dirichlet prova o resultado para n=14 e em 1839,
Gabriel Lamé sugeriu uma demonstração para n=7, mas não estava completamente certa.
Sophie Germain provou que se p é primo ímpar menor que cem, a equação não tem
solução em inteiros não divisíveis por p. Kummer demonstra o último teorema de Fermat
para expoentes n que são primos regulares (inclui todos os primos menores que 100 exceto
o 37, 59, 67). Em 1980, Wagstaff mostra que o teorema é válido para todo o n até 125
000.
Kummer, em 1847, na tentativa de demonstrar o 'Último Teorema de Fermat', criou
o método dos divisores complexos, a que chamou números complexos ideais, contribuindo
para o desenvolvimento da teoria dos números.
Em 1983, Gerd Faltings descobre que para todo os n>3, a existirem soluções da
equação de Fermat, estas são em número finito e mais tarde, D. R. Heath-Brown provou
que a proporção de inteiros positivos n para os quais a equação não tem soluções, tende
para 100% quando n aumenta (Stewart, 1995).
O 'Último Teorema de Fermat' alcançou grande popularidade pela sua resistência
aos poderosos métodos de demonstração da teoria dos números e por ter sido objeto de
vários concursos públicos que envolviam avultadas recompensas. Por exemplo, em 1908, o
professor Paul Wolfskehl da Real Academia de Göttingen, Alemanha, oferecia um prêmio
de 100 000 marcos à primeira pessoa que desse uma demonstração completa da conjectura
de Fermat.
Devido à inflação que se seguiu à 1ª Grande Guerra Mundial, o valor econômico
deste prêmio ficou reduzido a quase nada. Todos os anos eram enviados para a Academia,
um grande número de «soluções» incorretas, incluindo algumas de matemáticos
profissionais, que chegaram mesmo a publicá-las. Sem exceção, em todas elas foram
descobertas algumas falhas.
Em 1920, quando perguntaram a Hilbert, porque não tentava descobrir uma
demonstração, ele respondeu: "Antes de começar, deveria passar três anos a estudar
intensamente, e não tenho assim tanto tempo para desperdiçar num provável fracasso."
(Stewart, 1995)
O 'Último Teorema de Fermat' é um exemplo de um teorema tão bom, que até os
seus fracassos têm enriquecido a matemática de uma forma impossível de quantificar."
(Stewart, 1995).
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Face ao trabalho que me foi proposto, realizei uma investigação o mais objetiva e
rigorosa possível.
Com este trabalho, conheci melhor a vida de Pierre Fermat um matemático notável,
bem como a origem das probabilidades, o sua teoria dos números, a sua colaboração com a
geometria analítica e o seu último teorema. Para, além disso, descobri que Fermat era um
matemático amador e não publicava suas teorias.
Resta-me, então dizer que não perdi tempo, mas sim ganhei cultura e
enriquecimento ao meu conhecimento.
BIBLIOGRAFIA
LIVROS:
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Links
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http://www.geocities.com/jogosdeazar/fermat.htm
http://www.mat.ufpr.br/fermat.htm
www.lps.usp.br/neo/jocelyn/historia_jocelyn.htm
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<http://www.apm.pt/apm/Curiosidades/curio9.htm>
Vasconcelos, C. (2000). A noção de Função na Idade Moderna. [em linha] URL:
<http://www.ipv.pt/millenium/17_ect3.htm
Por: Fernando Zílio
Acadêmico do 4º ano do curso de licenciatura em matemática