59
5(6,67Ç1&,$(&$3$&,7Æ1&,$
5(6,67Ç1&,$(/(,'(2+0
r
r
No capítulo 6 definimos a equação J = σE como sendo uma densidade de corrente de
condução. Multiplicando ambos os lados por uma área S, ela ficará:
r
r
J.S = σSE (A )
(8.1)
I = σSE (A )
(8.2)
Se o campo elétrico for uniforme, ele pode ser definido como sendo o quociente da diferença
de potencial entre dois pontos, pela distância entre eles. Então:
I=
σSV
( A)
L
(8.3)
O termo σS
é o inverso da resistência R do material. Portanto, a equação 8.3 nada mais é do
L
que a conhecida lei de Ohm:
I=
r
V
V
( A ) ; R = (Ω )
R
I
(8.4)
r
E a equação J = σE também pode ser definida como a lei de Ohm na forma pontual.
O termo σS
permite calcular a resistência de uma amostra de material, em função de suas
L
características elétricas e de sua geometria. A equação 8.4 define a resistência elétrica como
sendo o quociente entre duas grandezas escalares, V e I. Se substituirmos a diferença de
potencial V pela integral ao longo de um caminho do vetor intensidade de campo elétrico, e a
corrente por uma integral de superfície do densidade de corrente (também expresso em termos
do vetor intensidade de campo elétrico), teremos uma expressão para a resistência elétrica em
termos do campo elétrico. Essa expressão é muito útil para o cálculo de resistência de
configurações mais complexas, como veremos nos exemplos 8.1, 8.2, 8.3.
60
b
R=
r
r
− ∫ E.dL
a
r
r ( Ω)
(8.5)
∫ σE.dS
)L[DQGRH0HPRUL]DQGR
Antes de prosseguir, refaça em seu caderno de estudos as passagens para obter a equação 8.5,
partindo da expressão para a corrente de condução.
([HPSOR
Considere dois cilindros condutores concêntricos de raios a m e b m (cabo coaxial), conforme
a figura 8.1. Existe um diferença de potencial entre eles, e em consequencia estabelecer-se-á
uma corrente de fuga entre o condutor interno e o condutor externo. Se a corrente de fuga for
I A/m, e a condutividade do material igual a σ, calcule o valor da resistência de fuga.
6ROXomR
I
a
a
b
b
figura 8.1 - Cabo Co-axial
Pela simetria do problema, a corrente entre
os dois condutores se distribui radialmente.
Vamos inicialmente calcular a densidade de
r
corrente J em um ponto distante r do
centro do cabo. Para um metro de cabo, a
corrente de fuga total será:
r
E=
r
E=
r
J
( V / m)
σ
I
.â r (V / m)
2πrσ
I = ∫ J.dS (A )
r r
A diferença de potencial entre os dois
cilindros condutores é:
I = J.2πr.1 (A)
Vab = Va − Vb = − ∫ E.d r (V )
a
r r
b
r
J =
I
. a$ r
2 πr
r
(A / m 2 )
O campo elétrico E em um ponto r será,
portanto:
I
.dr (V )
b 2πrσ
Vab = − ∫
a
61
Vab =
I
b
ln (V )
2πσ a
R=
Vab
1
b
=
ln (Ω)
I 2πσ a
Portanto, a resistência de fuga por metro
será:
([HPSOR
Considere agora que o dielétrico entre os dois condutores é formado por dois meios, conforme
a figura 8.2. calcule a resistência de fuga por metro de cabo co-axial.
6ROXomR
a
σ1
R eq =
σ2
b
R eq =
A corrente se distribui radialmente. Como
há dois meios diferente, podemos
considerar que ela é a soma de duas
correntes I1 e I1.
I = I1 + I 2 ( A )
V
R eq =
figura 8.2 - Cabo co-axial com 2 dielétricos
em paralelo
V
V
=
(Ω )
I I1 + I 2
R1
V
+V
(Ω )
R2
R 1.R 2
(Ω )
R1 + R 2
Por analogia com o exemplo anterior
podemos escrever as expressões para R1 e
R2:
R1 =
1
b
1
b
ln (Ω) ; R 2 =
ln (Ω)
πσ1 a
πσ 2 a
A resistência equivalente será:
A diferença de potencial entre os dois
condutores é constante. Portanto:
R1 =
V
V
(Ω ) ; R 2 = (Ω )
I1
I2
R eq =
1
b
ln (Ω )
π(σ1 + σ 2 ) a
([HPSOR
Considere agora a configuração mostrada na figura 8.3. Calcular a resistência de fuga.
6ROXomR
σ2
b
c
a
σ1
62
a
figura 8.3 - Cabo co-axial com dielétricos
em série
c
As correntes nos meios 1 e 2 são iguais :
V1 =
I = I1 = I 2 ( A )
A diferença
condutores é:
de
potencial
r
1
I
c
ln (V)
2πσ1 a
cr
entre
r
V1 = − ∫ E .d r (V)
r
V2 = ∫ E 2 .d r (V )
os
b
V2 =
V = V1 + V2 (V )
V1 = R 1.I (V) ; V2 = R 2 .I (V)
R1 =
R 1 .I + R 2 .I = R eq .I (V )
1
c
1
b
ln (Ω) ; R 2 =
ln (Ω)
2πσ1 a
2πσ2 c
R eq =
R eq = R 1 + R 2 (Ω)
I
b
ln (V )
2πσ 2 c
1  1
c 1
b
 ln +
ln  (Ω)
2π  σ1 a σ 2 c 
&$3$&,7Æ1&,$
Sejam dois condutores imersos em um dielétrico homogêneo. O condutor M1 é carregado com
uma carga de Q Coulombs positivos. Consequentemente, o uma carga de mesma magnitude,
porém de sinal contrário será induzida no condutor M2. Portanto uma diferença de potencial
V será estabelecida entre esses dois condutores.
A capacitância C deste sistema é definida como :
C=
Q
(F)
V
(8.6)
Ou, termos do vetor intensidade de campo elétrico:
r
r
∫ εE.dS
C = sup r r (F)
− ∫ E.dL
inf
(8.7)
Entende-se por a capacitância a capacidade de um sistema em armazenar energia em um
campo eletrostático.
E
M1
M2
63
figura 8.4 - Dois condutores carregados, imersos em um dielétrico
([HPSOR
O capacitor de placas paralelas. Duas placas paralelas iguais de área S, são separadas por um
distância d. O dielétrico entre elas tem permissividade ε. Calcular a capacitância C.
6ROXomR
+ σs
d
E
- σs
figura 8.5 - Capacitor de placas paralelas
C=
Q
(F)
V
V=
Q = ρ s .S (C)
V=− ∫
sup
inf
r
r
E.dL = − ∫
C=
0ρs
d
ε
.dz (V )
ρsd
( V)
ε
ρsS
εS
=
(F)
(ρs ε )d d
independente de Q e V.
([HPSOR
Suponha agora que dielétrico tenha a configuração mostrada na figura 8.6. Calcular a
capacitância C.
6ROXomR
d
E
V
figura 8.6 - Capacitor com 2 dielétricos em paralelo.
Pelas condições de fronteira:
E t1 = E t 2
64
r
r
r
E1 = E 2 = E
r
r
r
r
D1 = ε 1 E 1 = ε 1 E ( C / m 2 )
r
r
r
ε1E.S1 + ε 2 E.S 2 = Q (C)
Pela lei de Gauss:
r
(ε1S1 + ε 2 S 2 ) V = Q (C)
∫ D.dS = Q (C)
d
s
r
r
r
r
ε1S1 ε 2S 2 Q
+
= (F)
d
d
V
∫s1 D1 .dS = Q1 (C)
∫s2
r
D1S1 + D 2 S 2 = Q (C)
r
D 2 = ε 2 E 2 = ε 2 E (C / m 2 )
r
r
∫s1 D1 .dS + ∫s2 D 2 .dS = Q (C)
D 2 .dS = Q 2 (C)
C1 + C 2 = C (F)
Q = Q1 + Q 2 (C)
([HPSOR
Suponha agora que o dielétrico tenha a configuração da figura 8.7. Calcular C.
6ROXomR
V2
d
D
V
V1
figura 8.7 - Capacitor com 2 dielétricos em série
Pelas condições de fronteira :
D n1 = D n 2 = D
ε 1 E 1 = ε 2 E 2 (C / m 2 )
Pela lei de Gauss:
r
D.S = Q ( C ) ⇒ D =
V1 = E1d1 (V) ; V2 = E 2 d 2 (V )
V = V1 + V2 (V )
V=
D
D
d 1 + d 2 ( V)
ε1
ε2
r
∫ D.dS= Q (C)
V =Q
Q
(C / m 2 )
S
d1
d
+ Q 2 ( V)
Sε1
Sε 2
V d1 d 2
=
+
Q ε1S ε 2 S
65
1 1 1
= +
(1 / F)
C C1 C 2
(;(5&Ë&,26
1) - Calcule a resistência entre duas superfícies curvas concentricas, uma de raio r = 0.2 m,
outra de raio 0.4 m, limitadas por um ângulo de 30º, se o material entre elas possui
condutividade σ = 6,17×107 S/m.
2) - Calcule a resistência de um condutor de alumínio de 2 m de comprimento, seção reta
quadrada, sendo S = 1 mm2 em uma extremidade, e aumentando linearmente até S = 4 mm2
na outra extremidade.
3) - Por um defeito de fabricação, um cabo coaxial possui um deslocamento entre os centros
dos condutores interno e externo conforme mostrado na figura 1. Determine a resistência de
isolação por metro desse cabo. O dielétrico possui permissimivade relativa igual a 2.
4) - resolver o problema anterior, considerando os cabos concêntricos. Compare os resultados.
5) - Encontre a capacitância entre as superfícies condutoras externa e interna mostrada na
figura 2.
0.8 cm
2 cm
4 cm
figura 1 - figura do problema 3
6) - Calcule a capacitância por unidade de comprimento entre um condutor cilindrico de 6 cm
de diâmetro e um plano condutor, paralelo ao eixo desse cilindro, distante 10 m do mesmo.
εr = 5,5
30º
60 mm
5 mm
66
figura 2 - figura do problema 5
7) - Um capacitor de placas paralelas com área de 0,30 m2 e separação 6 mm contém três
dielétricos assim distribuídos : εr1 = 3.0, com espessura de 1 mm. εr2 = 4.5 com espessura
de 2 mm e εr3 = 6,0 com espessura de 3 mm. Aplicando-se uma ddp de 1200 V sobre o
capacitor, encontre a diferença de potencial e o gradiente do potencial (intensidade do
campo elétrico) em cada dielétrico.
8) - A figura 3 mostra um cabo coaxial cujo condutor interno possui raio de 0,6 mm e o
condutor externo raio de 6 mm. Calcule a capacitância por unidade de comprimento com os
espaçadores como indicado
12.5mm
50 mm
figura 3 - figura do problema 8
9) - Um cabo de potência blindado opera numa tensão de 12,5 kV no condutor interno em
relação à capa cilíndrica. Existem duas isolações: a primeira tem permeabilidade relativa
igual a 6,0, e é do condutor interno em r = 0,8 cm a r = 1,0 cm, enquanto que a segunda
tem permeabilidade relativa igual a 3,0 e vai de r = 1,0 cm a r = 3,0 cm, que corresponde à
superfície interna da capa externa. Encontre o máximo gradiente de tensão em cada isolação
empregada.
10) - Um certo cabo de potência blindado tem isolação de polietileno para o qual εr = 3,26 e
rigidez dielétrica 18,1 MV/m. Qual é o limite superior sobre o condutor interno em relação
à blindagem quando o condutor interno possui raio de 1 cm e o lado interno da blindagem
concêntrica apresenta raio de r = 8,0 cm ?