ASSUNTO: Oscilações
por
Jordan Del Nero
[email protected]
UFPA/CCEN/DF
Pêndulo balístico
Campus Universitário do Guamá
66.075-110 - Belém - Pará - Brasil
Pêndulo de Foucault
Introdução
Ao observar o movimento de um candelabro na Catedral de
Pisa (Itália), Galileu (1564-1642) reparou que, embora os
movimentos se tornassem cada vez mais curtos, o intervalo
de tempo de cada balanço (ou período de oscilação)
permanecia o mesmo. Resolveu então verificar esse fato.
Imprimindo movimento a uma pedra suspensa por um
barbante.
- Ele mediu o intervalo de tempo de cada balanço,
utilizando as batidas de seu próprio pulso. E concluiu que
sua observação estava correta: o período permanecia
praticamente o mesmo, enquanto as oscilações se tornavam
mais curtas.
Introdução
Galileu fez uma série de experiências usando pedras de
diferentes pesos e barbantes de diferentes comprimentos,
constatando 2 fatos de importância fundamental:
1- quanto maior o comprimento do barbante, maior o
período de oscilação;
2- o período de oscilação do pêndulo não depende do peso
do corpo (no caso, a pedra).
Isso significa que qualquer corpo (pedra ou bala de canhão)
preso a um fio de mesmo comprimento tem período
idêntico.
- Esse resultado destruiu o pensamento aristotélico, aceito
até então, de que os corpos pesados caem mais depressa
que os leves.
Introdução
Galileu deve ter pensado: “Se tanto os corpos pesados
como os leves, suspensos por fios de mesmo comprimento,
levam o mesmo tempo para descer, então esses corpos, se
largados simultaneamente de uma mesma altura, deverão
levar o mesmo tempo para chegar ao solo”.
- Ele procurou demonstrar isso. Não sabemos se de fato ele
realizou essa experiência, mas conta-se que ele subiu no
topo da torre de Pisa e de lá deixou cair simultaneamente
uma bala de mosquete e outra de canhão; para espanto de
seus opositores aristotélicos, elas chegaram realmente
juntas.
Introdução
- Além de provar sua teoria, Galileu mostrou que na
verdade, o movimento de um pêndulo nada mais é do que a
queda de um corpo desviado da vertical por uma restrição
imposta pelo barbante, este faz com que o objeto se mova
ao longo de um arco de circunferência, cujo centro está no
ponto de suspensão.
Oscilações
Tudo ao nosso redor oscila!!!
Vamos tratar as oscilações mais simples i.é. regidas pela lei de
Hooke.
“O deslocamento é proporcional
a força aplicada”
As principais formas de oscilação podem ser reduzidas a sistemas
do tipo.
massa-mola.
O Pêndulo.
Ondas.
Ondas de superfície.
http://ww2.unime.it/dipart/i_fismed/wbt/ita/pendolo/pendolo_ita.htm
Generalidades das oscilações Livres.
A força elástica (F = – kx) é uma força do tipo restauradora e o
movimento da massa oscilante é M.H.S.
A força restauradora é a força que produz a deformação na mola,
enquanto que a 2a. Lei de Newton é a força que produz o
movimento na partícula oscilante. Logo, a equação de movimento
é dada por:
F  Felast .  Frest .
2
d x
a 2
ma  kx
temos
2
d x
m 2  kx
dt
2


k
wo 
m
dt
2
d x
2
 wo x  0
2
dt
(Eq. Dif. Linear,
Homogênea, de 2a.
Ordem)
Soluções: A função cosseno ou seno e a função exponencial (mais
geral).
2

1-
d
x
k
 x  A.cos  wot   

x

0
2

dt
m
 dx
v    wo A.sen  wot   
 dt
k
k
2
2
wo 

w


d x
2
2
o
a  2   wo A.cos  wot      wo x
m
m
dt

2-
 x  Ae

 dx
t

A

e

 dt
d 2x
2 t 

A

e
 2
 dt
t
2
d x k
 x0
2
dt
m
k
 i
 iwo
m
Obs: Se  = 90o, x = A.sen(wt).
x  Aet
x  aeiwot  beiwot
1 i
1 i
a  A.e , b  Ae
2
2
 ei wot    ei wot   
x  A

2


x  A cos  wot   
Solução:
x  A cos  wot   
Solução:
x  A cos  wot   
A animação mostra o MHS de 3 sistemas massa-mola não amortecido, com
freqüências naturais (da esquerda para a direita) de ωo, 2ωo, e 3ωo. Todos os 3
sistemas estão inicialmente em repouso, porém deslocados de uma distância xm
de equilíbrio. O período do movimento oscilatório é definedo como o tempo
requerido para o sistema partir de uma posição, completar um ciclo de
movimento e retornar à posição inicial.
⇒ plot da posição versus o tempo, você pode determinar o período para cada
dos 3 osciladores?
Determinação da amplitude de oscilação A e da constante de fase 
para o M.H.S. Eles dependem das condições iniciais da partícula, isto
é, xo (t=0) e vo (t=0).
1
0
 x  A.cos  wot     A. cos .cos  wot   s en.s en  wot  

1
0
 dx
v    wo A.sen  wot      wo A cos  .s en  wot   s en .cos  wot  
 dt
xo  A.cos 
vo  wo Asen
Dividindo um pelo outro:
sen vo A

.
cos  wo A xo
Elevando ao quadrado e somando:
2
1
v
xo 2  o 2  A2 .  sen2  cos 2  
wo
vo
tg  
wo xo
2
v
A2  xo 2  o 2
wo
 vo 
  arctg  

 wo xo 
2
v
A  xo 2  o 2
wo
Determinação da energia potencial elástica para o M.H.S.
Como vimos anteriormente, a força no M.H.S é dependente da posição x. Isto é,
dada pela Lei de Hooke:
F  x   kx
Entretanto, na determinação da energia, temos:
1- Pela área da figura (triângulo
retângulo):
A
b.h
A E p  x  
2
F  x  .x
Ep  x 
2
kx 2
Ep  x 
2
2- Pela definição:
F  x  
dE p  x 
dx
 dE  x     F  x .dx
E  x      k   x.dx
p
p
kx 2
Ep  x 
2
Determinação das energias para o M.H.S.
 x  A.cos  wot   

 dx
v    wo A.sen  wot   
 dt
 x 2  A2 .cos 2  wot   

 2  dx 2
2 2
2
v


w
A
.
sen
 wot   

o
 
 dt 

kx 2 mv 2
Eo  E p  Ec 

 cte.
2
2
k
kA2 cos2  wot    mwo 2 A2 s en 2  wot   
Eo 

2
2
Eo 
kA2 cos 2  wot     s en2  wot   
2
kA2
Eo 
2
1
Determinação das energias para o M.H.S.

kx 2 kA2
2
E


.cos
 wot   
 p 2
2

2 2
2
mw
mv

2
o A
E


.
sen
 wot   
 c
2
2


kA2
 Eo 
2

armazenada na mola
armazenada no bloco
Determinação das energias para o M.H.S.
Determinação das energias para o M.H.S.
2 2
2
mw
kx 2 kA2
mv
2
o A
Ep 

.cos  wot     Ec 

.sen2  wot   
2
2
2
2
kA2
Eo 
2
Vários H2O
1 H2 O
Determinação das energias para o M.H.S:
Ep
Sistemas Localizados
k
Exemplos:
v
Ec
m
1- Sistema mecânico
Sistemas massa-mola

Ec armazenada no bloco de massa m
Ep armazenada na mola de k
2- Sistema eletromagnético
Emag

Emag armazenada no indutor (L)
circuito LC
Eelét armazenada no capacitor (C)
Eelet.
Aplicações do M.H.S
Aplicações do M.H.S
(Eq. Dif. Angular)
4 2l
g 2
T
(em laboratório)
Aplicações do M.H.S
Aplicações do M.H.S
(Eq. Dif. Angular)
T 2 mgh
I
4 2
(em laboratório)
Aplicações do M.H.S
Aplicações do M.H.S
(Eq. Dif. Angular)
Aplicações do M.H.S
Molécula Diatômica
Potencial de Lennard-Jones: Potencial de interação entre 2 átomos que
forma a molécula diatômica.
6
 a 12
a
  
E p  r   D.    2.   
 r  
 r 
r: é a distância de equilíbrio (corresponde ao máximo de Ep(r)).
Para r = a, temos: E p  r  a   D.1  2.1  E p  r  a    D
D: é a energia de dissociação (separação) da molécula diatômica.
6
  a 12
 a   
d  D.    2.    
 r   
dE p  r 
  r 
F r   

dr
dr
Aplicações do M.H.S
Molécula Diatômica
6
  a 12
 a   
d  D.    2.    
 r   
dE p  r 
  r 
F r   

dr
dr
F  r   D
d  a12 r 12  2.a 6 r 6 
dr
  D 12.a12 r 13   6.2.a 6 r 7 
 a12 a 6 
F  r   12 D.  13  7 
r 
r
Para F(r) = 0, temos:
6
6 6
6
a
aa a

1

6
r
r 6r 7 r 7
ra
(distância interatômica de equilíbrio)
Aplicações do M.H.S
Molécula Diatômica
A freqüência angular wo é dada por:
k
wo 

m1m2

m1  m2
onde, k é determinado por:
 d 2Ep r  
k 
 dr 2 

r a
(massa reduzida)
Aplicações do M.H.S
Molécula Diatômica
Ex: A energia de uma molécula diatômica no estado fundamental de momento
angular nulo, é uma função da distância R dada por:
6
12
 Ro 
 Ro 
E p  R    A.    B  
R
R
6
12
 10 

19  10
E p  R   16.10 . 
  8.10 

R
R




19
10
onde: Ro = 10-10m, A = 16.10-19J e B = 8.10-19J. a) Esboce Ep(R);
10
Aplicações do M.H.S
Molécula Diatômica
b) Determine a distância interatômica de equilíbrio e a energia de dissociação da
molécula;
F  R  
dE p  R 
dR

d  A.Ro 6 R 6  B.Ro12 R 12 
dR
Ro 6
Ro12
F  R   6 A. 7  12.B 13
R
R
6
6
6
R
R
R
Para F(R) = 0, temos: 6 A. o  12.B o o
R7
R6 R7
6
R  Ro 6 2
B
A
R  Ro  1010 m
12
 Ro 
 Ro 
E p  R  Ro    A.    B  
 Ro 
 Ro 
E p  R  Ro    A  B  1019  16  8
E p  R  Ro   8.1019 J
Aplicações do M.H.S
Molécula Diatômica
c) Determine a freqüência de vibração da molécula de massa reduzida M (em kg),
isto é, wo (M) =?
1u.m.a = 6.10-26kg
m1m2
1

 u.m.a  3.1026 kg
m1  m2 2
 d 2Ep  R 
k 
 dR 2 

 R  Ro
k
Ro 6
Ro12
k  42 A. 8  156 B. 14
Ro
Ro
d 6 A.Ro 6 R 7  12 B.Ro12 R 13
dR
42
156
k   A. 2  B. 2
Ro
Ro
k  16.1019.42.1020  8.1019.156.1020
k  6720  12480
k
wo 

5760
wo 
3.1026
wo  1013 1920
wo  43,8.1013 rad / s
k  16.420  8.1560
k  5760 N / m
Aplicações do M.H.S
A
Ro  2
B
6
A B
U  12A  B
U r 12 r 66
r
r
A
B
F  12A 13  6B 7
F  12 13r  6 7r
r
r
Relação entre M.H.S e M.C.U
=
Relação entre M.H.S e M.C.U
=
=
Relação entre M.H.S e M.C.U
Módulo do vetor posição:
r 
2
2
   
x  y   i x    j y   x 2  y 2  R sen 2  cos2   R
   
2
^
2
^
Módulo do velocidade:
v
2
vx  v y
2
2
2
  

  i vx    j v y   vx 2  v y 2  wR sen 2  cos2   wR
  

^
^
Módulo do aceleração:
a 
2
ax  a y
2
2
2

 

  i ax    j a y   ax 2  a y 2  w2 R sen 2  cos2   w2 R

 

^
^
2
v2
v
2
a w R  R
R
R
Onde: R = A.
Relação entre M.H.S e M.C.U
Vetor girante de Fresnel
Todo m.h.s pode ser representado por um vetor girante como o
representado na fig. e denominado vetor girante de Fresnel (OP).
P
A

O
x
Q
Supondo esse vetor girando no sentido anti-horário com w = cte, o
mesmo representará um m.h.s de função horária:
Onde,
a) x (elongação) é a projeção desse vetor no eixo Ox;
b) A (amplitude) é numericamente igual à intensidade do vetor OP;
c)  (fase inicial) é a direção segundo o eixo Ox no instante inicial;
d) w (pulsação) tem as características da velocidade angular do
movimento de P.
Superposição de 2 M.H.S de mesma direção
1) Os M.H.S tem a mesma freqüência:
Seja um corpo C sujeito à ação simultânea de 2 m.h.s de mesma
freqüência, cujas funções horárias são:
y
x1 = A1.cos(wt+1)
A``
A2
A``2
y
y2
A
x2 = A2.cos(wt+2)
Δ A 
1
2
1
A``1
y1
O x2
x1
A´2
e
Representamos esses m.h.s pelos
x vetores girantes de Fresnel, OA1
e OA2 .
A´1
A´
x
O movimento resultante da composição de 2 m.h.s é também
harmônico simples e de mesma freqüência dos movimentos
componentes.
Superposição de 2 M.H.S de mesma direção
Seja x = A.cos(wt+) a função horária do m.h.s resultante onde
x = x1 + x2.
1) Cálculo da amplitude resultante:
Através da Lei dos Cossenos;
Onde: Δ = 2 - 1 é a defasagem entre os m.h.s componentes.
Casos Particulares: a) Δ  = 2 - 1 = 0
b) Δ  = 2 - 1 = 
=>
=>
A = A1 + A2
A = A1 - A2
2) Cálculo da fase inicial do movimento resultante:
No triângulo AOA´, temos:
, como OA´ = x1 + x2 e OA´´ = y1 + y2, temos:
Superposição de 2 M.H.S de direções ortogonais
É importante no estudo da luz polarizada e circuitos de c.a.
Ay
y


Ax
Ay  Ax ,   , wx = wy = wo
x
 x  Ax .cos  wot   

 y  Ay .cos  wot   
Equação da trajetória da partícula: o objetivo é eliminar o tempo t das
eqs. de x e y. Para o caso geral, temos que somar e subtrair por  em y:
y  Ay .cos  wot        
cos  A  B  cos A.cos B  senA.senB
y  Ay . cos  wot    .cos      sen  wot    .sen    
Temos ainda que,
x
e      (diferença de fase)
cos  wot    
Ax
Superposição de 2 M.H.S de direções ortogonais
y  Ay . cos  wot    .cos      sen  wot    .sen    
x
cos  wot    
Ax
Logo,
 x 
s en  wot     1   
 Ax 
2
   
x

Ax 2  x 2
y  Ay .  .cos  
.sen 
Ax
 Ax

yAx  Ay x.cos   Ay Ax 2  x 2 .sen
 yA  A x.cos  
x
y
2

  Ay Ax  x .sen
2
2

2
y 2 Ax 2  2 Ax Ay xy.cos   Ay 2 x2 cos2   Ay 2 Ax 2 .sen2   Ay 2 x2 .sen2 
Superposição de 2 M.H.S de direções ortogonais
y 2 Ax 2  2 Ax Ay xy.cos   Ay 2 x2 cos2   Ay 2 Ax 2 .sen2   Ay 2 x2 .sen2 
1
y 2 Ax 2  Ay 2 x2  cos2   sen2    2 Ax Ay xy.cos   Ay 2 Ax 2 .sen2 
Ax 2 y 2  Ay 2 x2  2 Ax Ay xy.cos   Ay 2 Ax 2 .sen2 
Equação geral da trajetória
1o caso:
Para  =  /2
=> cos = 0 e sen = 1. Logo,
Ax 2 y 2  Ay 2 x2  Ay 2 Ax 2
: Ay 2 Ax 2
y 2 x2
 2  1 (equação da elipse)
2
Ay Ax
Superposição de 2 M.H.S de direções ortogonais
1o caso:
Obs: Se Ax = Ay = A. Então,
2o caso:
Para  = 0
y  x 1
2
2
(Equação da
Circunferência)
=> cos = 1 e sen = 0. Logo,
Ax 2 y 2  Ay 2 x2  2 Ax Ay xy.cos   Ay 2 Ax 2 .sen2 
Ax 2 y 2  Ay 2 x2  2 Ax Ay xy  0
Obs: Caso mais geral,
wx wy => oscilador
anisotrópico.
3o caso:
Para  =  
 A y  A x
x
2
2 2
y
y
Ay
Ax
x
0
(equação da reta)
=> cos = -1 e sen = 0. Logo,
Ax y  Ay x  2 Ax Ay xy  0
2
2
 A y  A x
x
y
2
0
y
Ay
Ax
x
Superposição de 2 M.H.S de direções ortogonais
Exemplo:
 x  Ax .cos  wot   

 y  Ay .cos  wot   
 x  Ax .cos  wot 

 y  Ay .cos  wot   
Fx(t)
Fy(t)
Oscilações de 2 corpos
x1
x2
k
m2
m1
O
-Os extremos da mola são localizados
pelas coordenadas x1(t) e x2(t).
-o comprimento da mola, em qualquer
instante, é x1 – x2.
-F
F
Sendo l o comprimento normal da mola, sem distensão, a variação de
comprimento da mola, x(t) será portanto:
x  0  distendida
(deslocamento relativo
dos blocos em relação
a O)
x   x1  x2   l


 x  0  normal
 x  0  comprimida

Aplicando a 2a Lei de Newton para m1 e m2, temos:
2
2
d x1
m1 2  kx
dt
e
d x2
m2 2  kx
dt
Oscilações de 2 corpos
Multiplicando a la equação por m2 e a 2a por m1 e subtraindo as 2, temos:
2
2
d x1
d x2
m1m2 2  m1m2 2  m2 kx  m1kx
dt
dt
que pode ser reescrita como:
2
2

m1m2 d x1 d x2 
 2  2   kx
m1  m2  dt
dt 
 é a massa reduzida do sistema.
d 2x k
 x0
2
dt

2
2

d x1 d x2 
d x d x1 d x2 d l
 2  2  2  2  2 
2
dt
dt
dt
dt
dt 
 dt
2
Onde:
0
d 2x k
 x0
2
dt
m
2
2
2
Oscilações de 2 corpos
m1m2

m1  m2
1
1
1


 m1 m2
Para massas finitas  é sempre menor do que m1 ou m2.
d 2x k
 x0
2
dt

wo 
2
k

Logo, x, v e a relativos dos 2 blocos são dados por:

 x  A.cos  wot   

 dx
v    wo A.sen  wot   
 dt

d 2x
2
2
a



w
A
.cos
w
t




w
 o 

o
o x
2
dt


 x   x1  x2   l

 dx
v   v1  v2
 dt

d 2x
a  2  a1  a2
dt

Oscilações de 2 corpos
x
m2
k
O
m1
-F
- Para um corpo preso a Terra , temos:
0
m2
1
1
1


 m1 m2
1
1 1


 m1 
  m1
Oscilações de 2 corpos  molécula diatômica
k
Eixo de simetria
Ex: H2, CO e HCl
Obs: O acoplamento dos átomos que constituem essas moléculas é
eletromagnético. Entretanto, introduzimos o conceito de  e de deslocamento relativo x.
Oscilações de 2 corpos
Osciladores Acopladas
Daniel A. Russell, Kettering University
Dois osciladores massa-mola estão acoplados juntos por uma corda esticada.
Oscilações Amortecidas
A discussão do movimento harmônico
simples, no estudo anterior, indica que as
oscilações têm uma amplitude constante.
Entretanto, experimentalmente, podemos
perceber que um corpo que vibra, como
uma mola ou um pêndulo, oscila com uma
amplitude que gradualmente decresce e,
eventualmente,
pára.
Ou
seja,
o
movimento oscilatório é amortecido.
Para
explicarmos
dinamicamente
o
amortecimento, suporemos que, além da
força elástica (F = – kx), age outra força
de sentido oposto ao da velocidade.
Escreveremos essa força como
F  F
e a equação do movimento é
ma  kx   v
2
d x
dx
lembrando que v 
e que
a 2
dt
dt
2
d x
dx
temos
m 2  kx  
dt
dt
Dividindo por m e colocando os termos do
lado direito para o esquerdo obtemos:
d x  dx k

 x0
2
dt
m dt m
2
Tendo em mente que
k
 
m
2
0
e
2 

m
A equação finalmente fica
2
d x
dx
2
 2
 0 x  0
2
dt
dt
(Eq. Dif. Linear,
Homogênea, de 2a.
Ordem)
Equação
Vamos resolver a equação diferencial e discutir as
possíveis possibilidades.
d 2x
dx
2

2



0x 0
2
dt
dt
d 2x
2
t


Ae
dt 2
dx
  Ae t
dt
t
Solução: x  Ae
  2    0
2
2
0
2  4   
2

2
2
0


2  2   
2
2
0
2
1      
2
      
2

xce
1
2
0
2
0
 2      
2

   2 02 t

c e
2
0

   2 02 t
2
(Equação Geral para o M.H.A)
Vamos analisar os seguintes casos.
1º
  0 - Superamortecido
t
x  c1e e
 2 02 t

x  e  c1e

t
2
2




t
0t
 c2e e
 2 02 t
 c2e
  2 02 t


2º
 < 0 - Subamortecido
2
2
i



t
t
0
x  c1e e

x  e  c1e

t
3º
2
2

i



t
t
0
 c2e e
i 02  2 t
 c2e
i 02  2 t


 = 0 - Extremamente amortecido
Para duas raízes iguais teremos como solução:
xe
t
c1  tc2 
1o Caso: wo > /2
Sub-crítico
2o Caso: wo = /2
crítico
3o Caso: wo < /2
Super-crítico
1o Caso: wo > /2
3o Caso: wo < /2
2o Caso: wo = /2
Sistema massa-mola com amortecimento
A animação mostre 2 sistemas massa-mola inicialmente em repouso, porém
deslocado do equilibrio de x=xmax . A massa preta é não amortecida e a
massa azul é amortecida (sobamortecida). Depois sendo liberada do
repouso a massa (preta) não amortecida exibi MHS enquanto a massa (azul)
amortecida exibi um movimento oscilatorio que decai com o tempo.
Amplitude
tempo
d x  b  dx
2
    0 x  0
2
dt
 m  dt
2
Solução:

 x  Ae t

 dx
t

A

e

 dt
d 2x
2 t

A

e
 2
 dt
Raízes:
b
A e    A e t  wo 2 Ae t  0
m
2 t
 2 b
2
Ae       wo   0
m


t

Aet  0
b
      wo 2  0 (equação do 2o grau)
m
2
2


b
b
2
      4w0 
 m 

m



2
Raízes:
Como:
2


b
 b 
2
 
 
 w0 

  2m 

2m


b

m
e
w w 
2
0
x  A.e t
Solução:
x  aeiwt  beiwt
1 i
1 i
a  A.e , b  Ae
2
2
x  Ae

 t
2
 ei wt    ei wt   


2


x  Ae

 t
2
cos  wt   

4
1o Caso: wo > /2
2
temos:

    iw
2
Determinação da amplitude de oscilação A e da constante de fase 
para o M.H.A. Eles dependem das condições iniciais da partícula, isto
é, xo (t=0) e vo (t=0).

 t
2

 t
2
1
1
0

 x  A.e cos  wt     A.e cos  .cos  wt   s en.s en  wt  

1
 1


t

t
v  dx   wAe 2 .sen  wt      Ae 2 cos  wt   
 dt
2

vo  wAsen  A cos 
xo  A.cos 
2
Substituindo xo em vo, temos:

vo  wAsen  xo
2
 

sen    vo  xo  wA
2 

 
 

  arcsen   vo  xo  wA
2 
 

Determinação da amplitude de oscilação A e da constante de fase 
para o M.H.A. Eles dependem das condições iniciais da partícula, isto
é, xo (t=0) e vo (t=0).

vo  wAsen  A cos 
2
xo  A.cos 
2
x
cos 2   o2
A
2
x
s en2  1  o2
A
Substituindo em vo, temos:

w A  xo  vo  xo
2

vo   w A  xo  xo
2
2
 w
A  xo
2
2
2
2

2
 

  vo  xo 
2 

A s en  A2  xo 2
2
2
 

 vo  xo 
2 

2
A  xo 
w2
2
Determinação da energia no M.H.A:
kx 2 mv 2
E

2
2

 t

2
2  t
2
2
x

A
.
e
cos
wt



x

A
.
e
cos


 wt   




 t
 t
dx

v    wAe 2 .sen  wt     Ae 2 cos  wt     c  d
 dt
2
0


t

2
2 2  t
2
2
c

d

w
A
.
e
s
en
wt



Ae
.  w.sen  wt      cos  wt    





0
 2
  A2e t cos 2  wt   
 4
Se  << w.
k
kA2e t cos2  wt    mw2 A2e t s en2  wt   
E

2
2
Determinação da energia no M.H.A:
k
Se  << w.
kA2e t cos2  wt    mw2 A2e t s en2  wt   
E

2
2
E
kA2e t cos2  wt     s en2  wt    
1
2
kA2  t
E
e
2
E  Eoe t
Termo de amortecimento.
A energia não é mais
constante. Pois, o sistema
não é mais conservativo.
Eo é a energia no M.H.S.
dE d
  Eo e t    Eoe t  cte
dt dt
A energia dissipada em calor (Efeito Joule) é:

 t
2 2
dW
 bv 2  t   bA e
dt
s en2  wt   
A energia dissipada em um ciclo de oscilação (entre t e t+, onde  = 2/w) é:
t 

t
t
2
w


 t
2 2
dW
dt  bv 2  t   bA e
dt
t
s en  wt   .dt 
t
Logo,
2
2
w

t
t
2
w

sen 2  wt   .dt
 << w
t
 1 1 2

 2  1  2 
1   2  2 cos  2wt    .dt   w   2  w 

   
 
dW b 2  2 t  2 
 Ae  
dt 2
 w
Chama-se fator de mérito ou fator de qualidade Q do oscilador a razão entre:
E
Q  2
dW
dt

 t
2 2
k
Ae
2
Q  2


b 2 2 t  2 
Ae  
2
 w
wk
Q
b
b

 
m

wk w0 k
Q

m m
Caso de amortecimento fraco: Q >> 1.
d x  b  dx
2
    0 x  0
2
dt
 m  dt
2
Solução:

 x  Ae t

 dx
t

A

e

 dt
d 2x
2 t

A

e
 2
 dt
Raízes:
b
A e    A e t  wo 2 Ae t  0
m
2 t
 2 b
2
Ae       wo   0
m


t

Aet  0
b
      wo 2  0 (equação do 2o grau)
m
2
2


b
b
2
      4w0 
 m 

m



2
Raízes:
Como:
2


b
 b 
2
 
 
 w0 

  2m 

2m


b

m
e
w w 
2
0
x  A.e t
Solução:
x  aewt  be wt
1 
1 
a  A.e , b  Ae
2
2
x  Ae

 t
2
x  Ae
 e wt    e wt   


2



 t
2
cosh  wt   

4
2o Caso: wo < /2
2
temos:

  w
2

dx d   2 t
v    Ae cosh  wt    
dt dt 

v  wAe

 t
2
  2 t
s enh  wt     Ae cosh  wt   
2

 t
2



w
s
enh
wt



cosh
wt







2

v  Ae
Obs:
d
cosh  t    s enh  t 
dt
Determinação da amplitude de oscilação A e da constante de fase 
para o M.H.A. Eles dependem das condições iniciais do circuito, isto
é, xo (t=0) e vo (t=0).

 t
2

 t
2
1
1
0

 x  A.e cosh  wt     A.e cosh  .cosh  wt   s enh.s enh  wt  
1
1



 t
 t
v  dx  wAe 2 .senh  wt      Ae 2 cosh  wt   
 dt
2

vo  wAsenh  A cosh 
2
Substituindo xo em vo, temos:

vo  wAsenh  xo
2
 

senh   vo  xo  wA
2 

xo  A.cosh 

 

  arcsenh  vo  xo  wA
2 


Determinação da amplitude de oscilação A e da constante de fase 
para o M.H.A. Eles dependem das condições iniciais do circuito, isto
é, xo (t=0) e vo (t=0).
xo  A.cosh 
2
x
cosh 2   o2
A
e
2
x
s enh2  1  o2
A
Substituindo em io, temos:
w
A  xo
2
2
2
2

2
 

  vo  xo 
2 

A s enh  A2  xo 2

w A  xo  vo  xo
2

vo  w A  xo  xo
2
2

vo  wAsenh  A cosh 
2
2
2
 

 vo  xo 
2 

2
A  xo 
w2
2
Determinação da energia no circuito RLC:
kx 2 mv 2
E

2
2

 t

2
2  t
2
2
x

A
.
e
cosh
wt



x

A
.
e
cosh


 wt   




 t
 t
dx

v   wAe 2 .senh  wt     Ae 2 cosh  wt     c  d
 dt
2
0
0
2
2
2


t
2
2


t
 c  d   w A .e s enh  wt     A e .  w.senh  wt    . cosh  wt   



  2 2  t
 A e cosh 2  wt   
 4
Se  >> w.
kA2e t cosh 2  wt    m 2 A2e t cosh 2  wt   
E

2
8
d x  b  dx
2
    0 x  0
2
dt
 m  dt
2
Solução:

 x  Ae t

 dx
t

A

e

 dt
d 2x
2 t

A

e
 2
 dt
Raízes:
b
A e    A e t  wo 2 Ae t  0
m
2 t
 2 b
2
Ae       wo   0
m


t

Aet  0
b
      wo 2  0 (equação do 2o grau)
m
2
2


b
b
2
      4w0 
 m 

m



2
Raízes:
Como:
2


b
 b 
2
 
 
 w0 

  2m 

2m


b

m
w0
e
x  A.e t
Solução:
x  aet  bet
1
ab A
2
xe

 t
2
e
et  1  t
 2A
 2  1  t 
x  Ae

 t
2
1  t 
temos:
3o Caso: wo = /2
 

2

dx d   2 t
v    Ae 1  t  
dt dt 


 t
  2 t
v   Ae 1  t   Ae 2
2
v  Ae

 t
2
   
1   t 
 2 2 
Oscilador Harmônico Forçado
2
Fo
d x k
 x  cos  w´t 
2
dt
m
m
Solução:
 z  t   x  t   iy  t   zo .eiw´t
.

iw´t
z
t

iw
´
z
.
e
 iw´z  t 
  
o
 ..
 z  t    w´2 zo .eiw´t   w´2 z  t 
Solução transiente
(Eq. Dif. Linear, nãohomogênea de 2a ordem)
Fo iw´t
 wo  w´  z  m e
2
2
Solução
Fo
eiw´t
z
Estacionária ou
2
2
m  wo  w´  não-homogênea
Fo cos  w´t 
x
Parte real
2
2
m  wo  w´ 
Fo cos  w´t 
Solução Geral: x  A.cos  wot    
m  wo 2  w´2 
Oscilador Harmônico Amortecido e Forçado
Fo
d 2 x  dx k

 x  cos  w´t 
2
dt
m dt m
m
Solução:
y = w´
 z  t   x  t   iy  t   zo .eiw´t
.

iw´t
z
t

iw
´
z
.
e
 iw´z  t 
  
o
 ..
 z  t    w´2 zo .eiw´t   w´2 z  t 
z  x  iy
(Eq. Dif. Linear, nãohomogênea de 2a ordem)
Fo iw´t
 wo  w´ i w´ z  m e
2
2
Fo
eiw´t
z
m  wo 2  w´2 i w´
Fo
zo 
m  wo 2  w´2 i w´

 z  Fo  r
1
1
2
2
m
x 2  y 2   wo 2  w´2    w´ 


i 2
2
2
2
2 2
2 2 i 2
z

w

w
´

i

w
´

r
.
e

w

w
´


w´ .e


 2 o
2
o

2



  w´ 
y
 w´

 
 arctg 
 2  arctg    arctg  2
x = wo2 – w´2
2 
2
2
 m  wo  w´  
x
 wo  w´ 



y = w´
Oscilador Harmônico Amortecido e Forçado
z  x  iy

 z  Fo  r
1
1
2 
2
2
2
2 2
m
x  y   wo  w´    w´


i 2
2
2
2
2 2
2 2 i
 z2  wo  w´ i w´ r2 .e   wo  w´    w´ .e 2

2



  w´ 
y
 w´

 
 arctg 
 2  arctg    arctg  2
x = wo2 – w´2
2 
2
2


m
w

w
´
x


 wo  w´ 

o


http://ww2.unime.it/dipart/i_fismed/wbt/ita/pendolo/pendolo_ita.htm
Oscilador Harmônico Amortecido e Forçado
z1 r1 i2
zo   .e
z2 r2
Fo
zo 
m
zo 
w
o
2

2 2
 w´

2
m2
ei
w´2
Fo
m  wo  w´
2
2

2 2
  2 w´2
ei
Solução
z  t   x  t   iy  t   zo .eiw´t
Estacionária ou
Fo
i w´t  
não-homogênea
z
e
2
2
2 2
m  wo  w´    2 w´2
Fo i w´t   Fo
z e
 . cos  w´t     i.sen  w´t    
G
G
1o Caso: Força do tipo função de Dirac
2o Caso: Força aumenta rápido
3o Caso: Força aumenta lentamente
O Oscilador Harmônico Forçado
Força aplicada a massa de um oscilador amortecido forçado sobre uma
superfície rigida.
Resposta Transient a uma força aplicada: Três osciladores massa-mola idênticos
amortecido , todos com frequência natural f0=1, estão inicialmente no repouso. Uma
força harmônica F=F0cos(2  f t) é aplicada a cada dos 3 iniciando em t=0. As
frequências forçadas ω da força aplicada são f0=0.4, f0=1.01, f0=1.6 .
A animação mostra a resposta das massas à forças aplicadas. A direção e magnitude
da força aplicada são indicadas pelas setas. As linhas horizontais pontilhadas provem
de uma referência para comparar magnitudes resultantes do deslocamento fixo.
Determinação da posição em função do tempo, x = x(t) no M.H.A.F:
Oscilações Forçadas.
O sistema massa-mola quando excitado tem como característica
a existência de UMA freqüência específica onde ocorre o fenômeno
da ressonância.O fator  refere-se aos valores do amortecimento e A
é a amplitude da oscilação.
Oscilações Forçadas.
O sistema massa-mola quando excitado tem como característica
a existência de UMA freqüência específica onde ocorre o fenômeno
da ressonância.O fator  refere-se ao valores do amortecimento e A
é a amplitude da oscilação.
Modos de Oscilação
Antissimétrico
Simétrico
Torção
Oscilação
ASSUNTO:
Movimento Ondulatório
(Ondas em meios elásticos)
por
Jordan Del Nero
[email protected]
UFPA/CCEN/DF
Campus Universitário do Guamá
66.075-110 - Belém - Pará - Brasil
Objetivos
Depois de estudar este assunto você será capaz de:
1- ser capaz de enunciar o significado de: ondas (longitudinal e transversal),
superposição, onda harmônica, intensidade e nível de intensidade.
2- reconhecer as grandezas de que depende a velocidade escalar das ondas
mecânicas.
3- ser capaz de enunciar as relações entre v, T, f, , w e k de uma onda
harmônica.
4- ser capaz de deduzir as expressões do deslocamento Doppler da frequência
de uma fonte móvel, ou de um receptor móvel, e usar estas expressões na
resolução de problemas.
5- ser capaz de construir configurações das ondas estacionárias em cordas
vibrantes e em colunas de ar vibrantes de tubos de órgãos, e daí obter as
frequências possíveis das ondas estacionárias.
6- saber a dependência entre a intensidade de uma onda (I) e a amplitude (A).
7- ser capaz de calcular o nível sonoro em decibéis a partir da I (W/m2).
Obs: Propriedades importantes para se entender a produção da fala, o funcionamento do ouvido e as aplicações do ultra-som em Biologia, Medicina,.....
INTRODUÇÃO
Em nosso cotidiano, estamos sempre em contato com algum tipo de onda. Existem
ondas que podemos enxergar, outras que podemos ouvir e muitas não podemos nem
ver nem ouvir. Porém, todas possuem algo em comum: São energias que se propagam
através de um meio (material ou vácuo).
Podemos perceber claramente essa propagação, quando fazemos um abalo, numa
corda que esteja esticada, notaremos que um pulso de natureza ondulatória, irá se
propagar por ela. Podemos notar outro tipo de onda quando jogamos uma pedra na
superfície de um lago.
Ondas (Pulso ou Movimento Ondulatório)
É uma perturbação, ocasionada por uma fonte, que transporta energia e quantidade de
movimento (sem o transporte simultâneo de matéria), de um ponto para outro no
espaço, e se propaga num meio elástico (deformável) ou num campo oscilante
(vácuo).
Natureza das Ondas
Ondas mecânicas: São ondas que transportam energia mecânica e precisam de um
meio material para se propagar (oscilam em torno de uma posição de equilíbrio).
Ex: ondas que se propagam em cordas, molas elásticas, as que se propagam na
superfície dos líquidos, as ondas sonoras, e outras
Ondas eletromagnéticas: São ondas que aparecem quando se tem cargas elétricas
em movimento. Elas se propagam no vácuo.
Ex: qualquer tipo de luz.
Classificação quanto a direção de vibração
Longitudinais: são ondas que se propagam e vibram
na mesma direção (paralela).
Transversais: são ondas em que a direção de
propagação é perpendicular a direção de vibração.
v
Elementos de uma onda:
Crista: ponto em deslocamento máximo acima do ponto de equilíbrio
Vale: ponto em deslocamento máximo abaixo do ponto de equilíbrio.
Ponto de equilíbrio: ponto de deslocamento nulo (A = 0).
Amplitude: distância entre um ponto de equilíbrio e uma crista, ou um vale.
Comprimento de onda (): é a distância percorrida por uma onda durante cada
período.
Período: É o intervalo de tempo em que acontece uma repetição.
Freqüência: É o numero de repetições que ocorrem, em um determinado tempo.
no de repet.
f 
t

v
crista
crista
A
A
vale
f 

1
T
crista
Ponto de
equilíbrio
vale
Classificação quanto a direção (liberdade) de propagação:
a)Unidimensionais: são ondas que se propagam numa só direção.
Ex: ondas se propagando numa corda ou mola.
b)Bidimensionais: são ondas que se propagam ao longo de um plano.
Ex: ondas na superfície de um lago
Obs: Não são nem longitudinal
nem transversal. É uma
combinação dos 2 movimentos.
Descrevem trajetória
elíptica (quase circular) enquanto
se propagam.
c)Tridimensionais: são ondas que se propagam em todas as direções.
Ex: o som, a luz.
Exemplos de ondas (movimento ondulatório):
Ondas na superfície da água
Ondas em meio Elástico
Ondas luminosas
Ondas sonoras
Obs: Cada tipo de onda pode ser caracterizado pela oscilação de uma ou
mais variáveis físicas que se propagam através do espaço.
1- ondas eletromagnéticas: as variáveis físicas que oscilam são os vetores
campo elétrico (E) e magnético (H) que se propagam no vácuo. Os olhos
são receptores especiais que detectam essas ondas com  entre 4000 e
7000 Å (ondas visíveis ou ondas luminosas).
2- ondas sonoras: a variável física que sofre oscilação é a pressão. Os
ouvidos constituem receptores especiais de ondas sonoras com f de 20 a
20000 Hz.
Obs: A mecânica dos átomos e das partículas
subatômicas é denominado Mecânica ondulatória e
é descrita pela função de onda .
Ondas podem ser transversais:
Ondas eletromagnéticas são transversais:
Ondas transversais exibem o fenômeno de polarização
linear
que quando combinadas podem
gerar ondas circularmente polarizadas.
Duas ondas transversais com eixos de polarização formando um certo
ângulo e diferentes fases, quando combinadas, exibem o fenômeno de
polarização circular:
Ondas podem ser longitudinais:
Ondas sonoras são longitudinais:
Classificação das ondas de acordo com o comportamento de uma partícula do meio
que transporta a onda, durante o tempo em que esta se propaga:
Pulso ou onda única: deformação provocada numa das extremidades e que se
desloca (propaga) ao longo de uma corda.
Trem de ondas: Se continuarmos a mover para diante e para trás a corda. Se o
movimento for periódico o trem de ondas é periódico.
Ex: é a onda harmônica simples que produz em cada partícula um M.H.S, no qual
suas superfícies cujos pontos estão em fase de movimento. Tais superfícies
denominam-se frentes de ondas (lugar geométrico dos pontos do meio primeiramente
atingidos pela perturbação propagada pela onda). Se o meio for homogêneo e
isotrópico, a direção de propagação será sempre perpendicular à frente de onda. A
normal às frentes de onda, que indica a direção em que as ondas se propagam é
chamada raio.
Obs: uma característica deles é terem um princípio e um fim.
Formas das frentes de onda:
1- Perturbação for em 1-D
Frente de ondas planas e os raios são retas paralelas.
produzidas por
lâminas vibrantes
2- Perturbação for em 3-D a partir de uma fonte puntual
Frente de ondas esféricas e os raios são linhas radiais, traçadas a partir
da fonte, em todas as direções.
Obs: Longe da fonte as frentes esféricas tem R  0 e podem ser consideradas
como planas.
Obs: O pulso desloca-se ao longo da corda com uma velocidade
definida que depende da tensão (elasticidade que origina as forças
restauradoras em qualquer parte do meio deslocada de sua posição de
equilíbrio) e da natureza da corda (inércia que determina como a
porção deslocada do meio responderá a tais forças restauradoras).
- O destino do pulso na outra extremidade da corda depende do modo
de fixação da corda neste ponto.
|v| e A = cte
F
-F
Extremo Fixo (3a Lei de Newton):
Observa-se a inversão da fase da
onda refletida.
Extremo Livre: Sem inversão da fase
da onda refletida.
Exemplos de pulsos ondulatórios:
(Pulso numa corda é
um pulso ondulatório)
(o relâmpago é um pulso
ondulatório luminoso)
(o trovão é um pulso ondulatório
sonoro)
(uma onda de maré é um
pulso ondulatório na água)
Vista lateral
Vista superior
As ondas ainda podem ser progressivas ou estacionárias:
Onda progressiva: cada partícula do meio vibra com a mesma
amplitude.
Ex: ondas sonoras produzidas na fala.
Onda estacionária: a amplitude é função da posição do ponto, sendo
máxima nos ventres (ou cristas). Uma outra característica é que todos
os pontos do meio oscilam com a mesma freqüência, exceto os nós (A
= 0), que estão permanentemente em repouso.
Ex: ondas originadas no interior de uma flauta.
Imaginemos um pulso ondulatório qualquer que se propaga na direção
Ox. Em dado instante, suponhamos t = 0, a forma do pulso pode ser
representado pela função:
y  f  x
t=0
sendo y o deslocamento de um ponto do pulso na posição x. Num
instante t posterior o pulso está mais adiante, admitimos ter percorrido
para a direita a distância vt, sendo v o módulo da velocidade da onda,
suposta constante. A forma do pulso no instante t é dado pela função:
y  f  x  vt 
t = t (onda progressiva)
Equação geral do pulso de qualquer forma e que se propaga para a
direita. Da mesma forma temos o pulso se propagando para a
esquerda:
y  f  x  vt 
t=t
Representação dos deslocamentos do pulso:
y
vt
t=t
x
x
y  f  x  vt 
(Deslocamento
do pulso para a
direita)
Ao aumentar t, x aumenta a fim
de que (x – vt) seja cte.
y
t=0
x
y
-vt
y  f  x
y  f  x  vt 
t=t
x
(Deslocamento do
pulso para a esquerda)
Ao aumentar t, x decresce a fim
de que (x + vt) seja cte.
Já vimos que no caso de um pulso que se movimente para a direita,
exige-se, para uma fase particular que
x  vt  cte
y
vt
t=t
Diferenciando em relação ao tempo
x
y
vt
x
t=t
dx
v  0
dt
dx (velocidade de fase
Logo,
v
do pulso)
dt
x
Obs: Se o pulso progredir para a esquerda, teremos – v como
velocidade de fase.
y
y
vt
t=t
-vt
t=t
x
x
Outra interpretação para a equação geral do pulso (Onda Harmônica)
Notemos que y na equação geral depende de x e t. Isto é, y = f(x,t).
Entretanto, se fixarmos o valor de t = 0 a equação fornece y = f(x). Isto
define uma curva que representa a forma verdadeira do pulso no
instante considerado, ou seja, é um “instantâneo” do pulso naquele
instante. Agora se fixarmos um valor de x (ponto do pulso), então,
y = f(t).
Consideremos uma frente de onda particular. Suponhamos que no
instante t = 0 haja numa corda um trem de ondas, descrito pela equação
 2
y  ym sen 
 

x  (forma do pulso ou onda senoidal)

(comprimento de onda do
(amplitude do pulso senoidal)
trem de ondas)
Suponhamos que no decorrer do tempo, o pulso se propague para a
direita com velocidade de fase v. Portanto, a equação do pulso no
instante t é
 2
 (Deslocamento do
y  ym sen   x  vt  

 pulso para a direita)
Note que esta equação tem a forma exigida para uma onda
progressiva.
y
t=0 t=t

x
vt
O período T é o tempo necessário para que a onda percorra a distância
de um comprimento de onda , portanto,
  vT
Levando este valor na equação de onda obtém-se:
  x t 
y  ym sen  2    
   T 
Uma forma mais compacta para a equação anterior é dada por:
y  ym sen  kx  wt 
ou
2

 k  
, onde: 
 w  2

T
(no de onda)
(freq. angular)
y  ym sen  kx  wt  (deslocamento para a esquerda)
Comparando:   vT
 w
2

.
Temos,
e k
v 
,w 
T k

T
2
Nas 2 equações da onda (direita e esquerda), supusemos que o
deslocamento y = 0 em x = 0 e em t = 0. Nem sempre é isto que
ocorre. A expressão geral de um trem de ondas senoidal que progride
para a direita é
y  ym sen  kx  wt   
sendo  a constante de fase. Para  = 90o, y (x = 0, t = 0) = ym.
Neste exemplo particular,
y  ymcos  kx  wt 
pois a função co-seno é deslocada de 90o em relação ao seno.
Fixando a atenção em determinado ponto da corda, digamos em
x = /k, o deslocamento y nesse ponto pode ser escrito como
(Eq. do M.H.S e da
y  ym sen  wt    Onda Harmônica)
Pois sen(-) = sen = sen(wt+). Essa equação é análoga à (eq.15-29
– Halliday Vol.2) para o M.H.S. Portanto, qualquer elemento
particular da corada executa M.H.S em torno da posição de equilíbrio,
à proporção que o trem de ondas progride na corda.
Nestas expressões y é a função de onda. No caso de ondas numa
corda, a função de onda representa o deslocamento vertical da corda,
no ponto x e no instante t. Por isso, ela é uma função de 2 variáveis, y
= f(x,t). Funções análogas são a pressão p(x-vt) no caso de ondas
sonoras e o deslocamento de moléculas de gás em relação a posição
de equilíbrio.
Ex1: Uma onda senoidal tem amplitude de 1cm e  = 30cm. Qual é seu
deslocamento vertical em x = 15cm?
Solução: Assumir no tempo t = 0. Logo, temos:
 2
y  ym sen 
 

x

 2 
y  sen  15   sen  0cm
 30 
Ex2: A equação de uma onda transversal numa corda é:
y  2sen  0,628x  314t 
na qual x (em m) e y (em cm) e t em seg.. Determine ym, , v e f da
onda.
Solução:
y  ym sen  kx  wt 
kx  0,628x
w
v
k
k  0,628m
ym  2cm
1
314
v
 5cm / s
62,8
2

 0,1cm
62,8
v
5
f  
 50 Hz
 0,1
Ex2: A equação de uma onda transversal progressiva numa corda é:
y  20sen   0,01x  2t 
na qual x e y são medidos em cm e t em seg.. Determine ym, , v e f
da onda.
Solução:
2

 2

y  ym sen   x  vt  


2
x   0, 01x
2


vt   2t
v
 0, 01
ym  20cm
  200cm
v    200cm / s
200
f  
 1Hz
 200
Equação da onda:
Uma equação de onda geral y(x,t) é a solução de uma equação
diferencial denominada equação de onda. A equação de onda
relaciona a derivada 2a da função de onda, em relação a x, à derivada
2a em relação a t. Em virtude dessas 2 variáveis, as derivadas são
parciais. Podemos obter a equação de onda da equação abaixo:
y  ym sen  kx  wt 
(Solução particular das ondas
harmônicas)
Entretanto, podemos escrever da seguinte maneira:
y  ym sen  kx  kvt 
w
, onde: v 
k
w  kv
Derivadas em relação a x:
dy d  ym sen  kx  kvt  
y´

 kym cos  kx  kvt 
dx
dx
d 2 y d  kym cos  kx  kvt  
y´´ 2 
 k 2 ym s en  kx  kvt   k 2 y
dx
dx
Equação da onda:
y  ym sen  kx  kvt 
v = cte
Derivadas em relação a t:
dy d  ym sen  kx  kvt  
y´

 kvym cos  kx  kvt 
dt
dx
d 2 y d  kvym cos  kx  kvt  
y´´ 2 
 k 2v 2 ym s en  kx  kvt   k 2v 2 y
dt
dt
Combinando as equações que contém as 2as derivadas em relação a t e
x, temos:
d2y
2
2


k
yv
Obs: Se y for o
dt 2
deslocamento de
2
2
d y d y 2 Equação de onda uma
corda

v
dt 2 dx 2
vibrante,
esta
equação descreve
d2y 1 d2y
 2 2
as ondas na corda.
2
dx
v dt
Obs: A mesma equação também descreve as ondas sonoras (y é a
variação de pressão ou densidade de um gás) e eletromagnéticas (y é o
campo elétrico ou magnético).
Essa equação é satisfeita por qualquer onda em 1-D que se propaga sem
dispersão (alargamento do pulso), ou modificação da forma.
Demonstração: Mostramos que em geral esta onda tem uma função de
onda que pode exprimir-se como função de x + vt ou de x – vt.
Podemos mostrar com facilidade que x + vt ou x – vt satisfaz a
equação de onda. Seja  = x – vt e consideremos qualquer função de
onda
y  y  x  vt   y  
Pela regra da cadeia: dy  dy d  y´ d
dx
d dx
dx
Desde que d/dx =1 e d/dt = -v , temos:
dy dy d
d

 y´
e
dt d dt
dt
dy
dy
e
 y´
 vy´
dx
dt
Tomando as derivadas segundas, obtemos:
d2y
 y´´
2
dx
Logo , fornece:
e
d2y
dy´
dy´ d
2


v


v

v
y´´
2
dt
dt
d dt
2
d2y
d
y
2
v
2
dt
dx 2
d2y 1 d2y
 2 2
2
dx
v dt
Equação de onda
Obs: Essa equação é importante, pois é uma conseqüência direta da 2a
Lei de Newton, F = ma, aplicada a um segmento de corda. No caso de
ondas acústicas deduz-se das leis de Newton aplicadas a fluidos. No
caso de ondas eletromagnéticas deduz-se das equações de Maxwell para
os campos elétrico e magnético.
Discutimos somente o caso das ondas numa corda para ilustrar o fato da
equação de onda ser uma conseqüência da mecânica de Newton.
y
x
2
T
segmento isolado de uma corda
Obs: dedução para amplitudes de onda pequena.
Isto é,  pequenos. Assim, o comprimento do
segmento é x e a massa .x.
A corda desloca-se verticalmente com a a = d2y/dt2 . A força
vertical resultante é:
1
F
-T = tensão na corda
y
 T .sen2  T .sen1
Se  é pequeno,   sen = tg, onde tg = coeficiente angular da curva = y/ x = S.
Então,
F
y
 T .  tg2  tg1   T .  S2  S1   T .S
Igualando a 2a Lei de Newton, temos:
2 y
.x 2  T .S
t
segmento isolado de uma corda
y
x
2
T
S
2 y
T.
 . 2
x
t
No limite de x  0 e t  0, temos:
S
2 y
T .lim
 .lim 2
x 0 x
t 0 t
1
-T = tensão na corda
Da equação de onda:
S dS d  dy  d 2 y

   2
lim
dx dx  dx  dx
x 0 x
d2y
d2y
T . 2  . 2
dx
dt
d2y  d2y
 . 2
2
dx
T dt
d2y 1 d2y
 2 2
2
dx
v dt
Logo, a velocidade de propagação
da onda na corda é:
tensão

1
 2
T v
v
T

massa por unidade de comprimento (densidade linear)
Uma importante propriedade da equação de onda é a de ser linear;
isto é, a função y(x,t) e suas derivadas ocorrem apenas na 1a potência.
Não existem termos em y2, ou (dy/dx)2, y.d2y/dt2 ou (d2y/dt2)2
(termos não-lineares). Uma importante propriedade das eqs. lineares
é a de que sendo y1(x,t) e y2(x,t) duas soluções da eq., a combinação
linear
y3  x, t   C1 y1  x, t   C2 y2  x, t 
(expressão matemática do
princípio de superposição)
onde C1 e C2 são quaisquer constantes, também é uma solução. Se
quaisquer 2 ondas satisfazem a equação de onda, a respectiva soma
também satisfaz a mesma equação.
Esse princípio é válido para amplitudes de ondas pequenas, de modo
que, sen  tg, seja verdadeira. Quando as amplitudes são grandes,
essa aproximação não é válida, e a eq. resultante, que relaciona as
derivadas temporais e espaciais de y(x,t) não é linear, nem a soma das
2 soluções é uma solução (não vale o princípio de superposição).
- Como já vimos a velocidade de propagação de uma onda mecânica
depende da inércia (no caso, ) e da elasticidade do meio (no caso, T).
Outro tratamento para determinação de v:
v
l

segmento isolado de uma corda que se
movimenta para a direita e para a esquerda de
comprimento l.
T


R
T
O
Expressão da força resultante na direção vertical:
F
y
l / 2 

l
 2T .sen  2T  2T
T
R
R
sen   , s  R. e s  l / 2
Expressão da força que produz a aceleração centrípeta
das partículas na corda, dirigida para O:
v 2 l.v 2
Fcp  m 
R
R
(é o arco de um círculo
de raio) R
l l.v 2
T

R
R
v
T

tensão
densidade
linear
Combinando as 2 equações, temos: propriedade inercial: armazena energia cinética
propriedade elástica: armazena energia potencial
Obs: Outro tratamento é através de análise dimensional.
Já sabemos que a velocidade de propagação depende das propriedades
do meio que são a elasticidade (tensão que é uma força) e a inércia
(densidade de massa linear da corda). Portanto,
kg.m M .L
T  2  2  MLT 2
s
T
Logo,
e
kg M


 ML1
m
L
MLT 2
2 2


L
T
1

ML
T
Enquanto que,
m L
v    LT 1
s T
Se tirarmos a raiz quadrada de T/, teremos:
MLT 2
2 2
1 que é a dimensão de
v


L
T

LT
velocidade.

ML1
T
- A velocidade com a qual a onda percorre um meio é determinada
pelas propriedades do meio.
tensão
Velocidade para ondas transversais numa corda:
Velocidade para ondas longitudinais num fluido:
Velocidade para ondas longitudinais num sólido:
v
v
T

densidade linear da corda
módulo volumétrico
F/A
B
V / V

B

v

densidade do fluido
módulo de Young
F/A

l / l
densidade do sólido
- A freqüência de uma onda é naturalmente determinada pela
freqüência da fonte. Uma vez determinado f e v podemos determinar
, tem-se:
v

f
 vT
Obs: Essas velocidades que dependem da inércia e da elasticidade do
meio, dependem também da temperatura e da pressão. Entretanto, não
dependem de f e  das ondas. Nesse caso, os meios em que essas ondas
propagam são considerados não-dispersivos aquele em que a forma da
onda não se altera à medida que a onda se propaga e sua v = cte, desde
que sejam fixadas as características de elasticidade e inércia do meio.
Ex: ondas sonoras no ar e as ondas numa corda perfeitamente flexível e
inextensível. Assim, o termo corda designará uma corda nessas
condições ideais e as ondas, de modo geral, serão não-dispersivas.
Logo,

  f  cte

v   f  cte 

  f  cte
Ex: a velocidade do som no ar a 20oC independe da f e é igual a
334m/s, isto é, a v = 334m/s = cte (som audível, infra-som e ultrasom).
Obs: Quando a onda passa de um meio para outro, v e  mudam,
enquanto f = cte, pois a característica da fonte é a mesma.
Relação entre comprimento de onda e frequência.
f
v
Relação entre comprimento de onda e frequência.
v
f
Obs: Por outro lado existem ondas cuja forma se altera com a
propagação, e v da onda varia com  [v = f()]. Nesse caso, diz-se que
a onda sofreu dispersão e o meio no qual ela se propaga é dispersivo.
Ex: ondas oceânicas e terremotos. As ondas eletromagnéticas que se
propagam no vácuo, ou num meio rarefeito como o ar, são nãodispersivas. Entretanto, em meios densos como a água ou o vidro, sua
v varia com . Devido à dispersão ocorre a separação da luz branca nas
cores que constituem o arco-íris (num prisma).
A velocidade de propagação das ondas depende da natureza do meio em que ela se
propaga e da sua freqüência. O prisma é o melhor exemplo. A decomposição da luz
branca em suas componentes é resultado das características do ângulo de incidência
e da velocidade da luz no prisma em função da sua respectiva cor.
Mesmo no caso de uma oscilação muito complexa como um terremoto a velocidade
de propagação depende do comprimento de onda  e do tipo de onda, dentre outros
fatores.
A diferença de tempo de chegada das ondas em um terremoto permite a estimativa
da distância do seu epicentro.
Uma outra maneira pela qual um pulso pode mudar a sua forma é pela perda de
energia mecânica para o meio ou para a vizinhança (como por, resistência do ar ou
atrito interno). Nesse caso a amplitude da onda diminui com o tempo e a onda é dita
ser atenuada.
Não existe nenhuma relação entre v da onda no meio [relacionada com essa energia
transmitida] e a v com que um ponto oscila em torno da sua posição de equilíbrio
[relacionada a quantidade de energia da onda].
Princípio de Superposição de ondas:
É um dos princípios básicos do movimento ondulatório que estabelece que “2 ou
mais ondas podem passar pela mesma região do espaço de um modo completamente
independente e que o deslocamento das partículas do meio é obtido pela adição direta
dos deslocamentos que cada uma das ondas separadas produziria na ausência de todas
as outras”. Isto é, um fato experimental. É válido para eqs. lineares.
Exemplos: som de uma orquestra (superposição de vários instrumentos), o sinal de
uma emissora de rádio ou televisão (superposição de várias emissoras), em meios
elásticos é válido se a força restauradora obedecer a Lei de Hooke (eq. Linear),
ondas eletromagnéticas é válido porque as relações matemáticas entre os campos
elétrico e magnético é também linear.
Explosões violentas criam ondas de choque, embora sejam ondas elásticas
longitudinais no ar, comportam-se diferentemente das ondas sonoras comuns. A eq.
que governa a propagação dessas ondas é quadrática e o princípio de superposição
não é válido.
Princípio de Superposição de ondas:
Importância Física: É que quando válido ele torna possível analisar um movimento
ondulatório complicado como combinação de ondas simples. Com efeito, foi o
matemático francês J. Fourier (1768-1830) que demonstrou que para obter a forma
mais geral de onda periódica, são necessários apenas ondas harmônicas. Ele provou
que qualquer movimento periódico de uma partícula pode ser representado como
combinação de M.H.S. por exemplo, se y(t) representa o movimento de uma fonte de
ondas de período T, pode-se escrever:
y  t   Ao  A1senwt  A2 sen2wt  A3sen3wt  ....  B1coswt  B2cos 2wt  B3cos3wt
sendo w = 2/T. A expressão acima constitui uma série de Fourier, onde as
constantes An e Bn para n = 0, 1,.. tem valores definidos para um dado movimento
periódico. Logo,

y  t     An .senwt  Bncoswt  ou
n 0


y  x     An .senkn x  Bn cos kn x 
n 0
y  x  vt     An .sen  kn x  wnt   Bncos  kn x  wnt 
n 0
Princípio de Superposição de ondas:
Exemplos de série de Fourier
1- Função serra:
Pode-se mostrar que neste caso an = 0, e bn = 2 (1)n+1 / n. Ou seja, a função acima pode ser descrita,
até os termos de ondem n = k (nota: k aqui não é
numero de onda, mas apenas um número inteiro),
pela série
Dependendo onde paramos a série, ou seja, em qual número k paramos a série, a
reprodução da função pela série [10.22], fica melhor e melhor. Vemos isso nas figuras
abaixo para k = 4, 16.
k=4
k = 16
Quando o movimento não é periódico, como em um pulso, a soma é substituída por
uma integral, denominada integral de Fourier.
DIFRAÇÃO :
A propriedade que as ondas tem de contornar obstáculos e fendas, damos o nome de
difração. Essa propriedade possibilita que as ondas alcancem, certas regiões, que
seriam impossíveis de serem atingidas caso sua propagação fosse retilínea
Onda sonora
(som)
Onda eletromagnética
(Luz)
Uma característica única das ondas e que serve para separar um fenômeno ondulatório
daquele causado por um feixe de partículas é o fenômeno da difração. Identificado
inicialmente por Grimaldi no século XVII e estudado por Fresnel, dentre outros, a partir
do século XIX. A difração caracteriza-se por uma dispersão do fenômeno ondulatório
para regiões além da sua linha de propagação original.
Consideremos que uma onda,
propagando-se na superfície da
água, encontre um obstáculo
dotado de estreita abertura,
como mostra a figura ao lado.
DIFRAÇÃO :
Ao passar pela abertura a onda se espalha em todas as direções.
O fenômeno da difração somente é nítido quando as dimensões da abertura ou do
obstáculo forem da ordem de grandeza do comprimento de onda da onda incidente.
Com a luz também ocorre a difração, porém é mais difícil percebermos a difração de
ondas luminosas, porque os obstáculos e aberturas em que a luz incide são
normalmente bastante grandes em relação ao seu comprimento de onda.
POLARIZAÇÃO:
Se agitarmos uma corda desordenadamente, vamos obter uma onda que chamamos de
não-polarizada ou natural. Porém se fizermos a onda natural passar por uma fenda, a
onda resultante terá um movimento ordenado, de apenas uma direção.
A polarização é uma propriedade das ondas eletromagnéticas, inclusive da luz , que
confina a onda a um único plano de vibração.
Ex: o óculos
- Duas ou mais ondas viajam no mesmo meio independentemente e podem passar
através da outra. Este é o chamado princípio da superposição. Matematicamente
y  x, t   y1  x, t   y2  x, t 
(princípio da superposição)
Em regiões em que elas podem se superpor há somente uma única perturbação.
Observamos uma interferência.
Se duas ondas com amplitudes iguais se somam em fase, isto é, se os máximos se
encontram, então observamos uma onda com amplitude igual à soma das amplitudes
das ondas originais. Teremos uma interferência construtiva
Se as duas ondas superpostas estiverem, no entanto, totalmente fora de fase, isto é, se
os máximos se encontram com os mínimos, as duas ondas tendem a se cancelar.
Teremos uma interferência destrutiva.
y2(x,t) y1(x,t)
y1(x,t)
y2(x,t)
Interferência
construtiva
Interferência
destrutiva
- O efeito combinado de 2 ou mais ondas num ponto é chamado, de forma geral,
interferência. Esse é um fenômeno característico e exclusivo do movimento
ondulatório. Não existe nada análogo no movimento de partículas, pois elas não
podem ser adicionadas dessa forma.
Quando o pulso resultante da superposição é maior que qualquer de seus
componentes, ocorre o que se chama de interferência construtiva.
Por outro lado, se um dos pulsos é invertido com relação ao outro, durante a
superposição eles tendem a se anular. Essa interferência é chamada destrutiva.
Exemplo de interferência gerada na água por 2 fontes puntiformes (2 pedras que
caem na água formando 2 ondas circulares e o fenômeno de interferência).
regiões claras
interferência
difração
regiões escuras
T. Young (1806) com a luz
( = 2n)
interferência
Crista-a-crista
n
x
Vale-a-vale
Estão em fase
Crista-a-vale
Interferência Construtiva
( =  2n)
 /2 n
Crista-a-vale
Estão fora de fase.
Interferência Destrutiva
Exemplo:
Quem nunca viu (ao menos na TV) e ficou deslumbrado com o surf nas grandes
ondas do mar caribenho?
Vamos praticar!!!!
http://www.ngsir.netfirms.co
m/englishhtm/TwaveA.htm
Na verdade um dos fatores que mais influenciam no enorme tamanho das belas,
fascinantes e muito perigosas, ondas do mar, nada mais é do que o fenômeno da
sobreposição de ondas (interferências construtivas).
É importante ressaltar, que o efeito resultante de várias ondas é igual a soma
(interferência constritiva) ou subtração (interferência destrutiva) dos efeitos que cada
onda produziriam isoladamente.
Interferência Construtiva
Interferência Destrutiva
Após o encontro, as ondas mantêm exatamente a mesma forma que teria, se não
acontecesse interferência.
Ondas podem ser geradas coerentemente i.é. mesmo quando temos
uma grande quantidade de ondas provenientes de uma fonte elas não
se interferem porque suas fases e comprimentos de onda são iguais.
Para 2 ondas harmônicas que estão defasadas de um ângulo  de mesma amplitude e
freqüência o princípio da superposição fica na forma
y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t) = ym [sen(kx - wt + ) + sen(kx - wt )]
Usando a relação
sen a + sen b = 2 sen [(a+b)/2]. cos [(a-b)/2]
substituindo
y(x,t) = 2ym {sen[(2kx - 2wt + )/2] . cos[(kx – wt +  - kx + wt)/2]}
amplitude
temos que
y(x,t) = 2ym. cos(/2).[ sen(kx - wt + /2) ] (onda resultante)
Logo, se a fase  = 0o, a
interferência é construtiva
2ym
ym +ym
Enquanto que se a fase  = ,
a interferência é destrutiva
Obs: vermelho é a resultante, isto é, y(x,t).
Caso as amplitudes
sejam diferentes a
interferência
é
parcial.
Ondas Complexas
São ondas que apresentam freqüências diferentes (w1  w2).
Exemplo: o fenômeno de batimento que tem 2 ondas com freqüências
quase iguais.
Duas Ondas Senoidais
- mesma amplitude, direção e velocidade
- pequena diferença entre freqüências
- pelo princípio da superposição:
onde:
sen a + sen b = 2 cos [(a - b)/2]. sen [(a + b)/2]
sen(k1x –w1t) + sen(k2x –w2t) = 2 cos [(k1x –w1t – k2x +w2t )/2]. sen [(k1x –w1t + k2x -w2t
)/2]
sen(k1x –w1t) + sen(k2x –w2t) = 2 cos [(k1 – k2)x/2 – (w1 - w2)t/2]. sen [(k1 + k2)x/2 –
(w1 + w2)t/2]
Onde: w = 2f.
cosseno: oscila com f = (f1 - f2) / 2, controla o “envelope” da onda
resultante, o qual causa a percepção do batimento
seno: oscila com f = (f1 + f2) / 2, a freqüência percebida
Freqüência de Batimento: fbat = (f1 - f2)
TONNNNN.....
Toonnnnnn......
TOINHoIIIII....!
Aplicação: afinação de instrumentos musicais.
Podem ser observadas em osciloscópio.
Ondas Estacionárias
Se superpomos ondas iguais, mas com velocidades opostas, obtemos ondas
estacionárias. Isto pode ser visto usando a equação abaixo:
y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t)
y1(x,t) = ym sen(kx + wt)
y2(x,t) = ym sen(kx - wt )
(princípio da superposição)
(onda para a esquerda)
(onda para a direita)
y(x,t) = 2ym {sen[(2kx)/2] . cos[(2wt)/2]}
y(x,t) = [2ym sen(kx)] cos(wt)
(onda estacionária)
Ondas propagam-se e, se há vínculo imposto na sua parte inicial e terminal, teremos
a reflexão da onda inicial. A soma destas duas oscilações resulta uma onda
estacionária.
Onda Progressiva
Onda Progressiva
 para a esquerda.
onda estacionária
para a Direita.
Ondas Estacionárias
Vemos portanto, que esta relação não é da forma [f(x-vt)] ou [f(x+vt)], e que
portanto não descreve uma onda que se propaga. Em cada ponto x, há uma vibração
determinada pela freqüência angular [w = 2/T]. Os pontos em que sen(kx) se
anulam são chamados de nós. Estes pontos são obtidos quando kx = n, onde n = 0,
1, 2 ,... e k = 2/. Logo, obtemos que eles acontecem para
x=n/2
(nós)
enquanto que os anti-nós acontecem nas regiões intermediárias aos nós (nos
máximos dos sen(kx)), ou seja, para kx = (n+1/2). Logo,
x = (n+1/2)  / 2
(anti-nós)
Para cordas presas em dois pontos fixos (como as cordas de um violão), podemos
induzir ondas estacionárias (vibrações) onde os pontos fixos serão necessariamente
nós. Logo, temos que, se a corda possui comprimento L, então os comprimentos de
ondas possíveis são obtidos da relação [x = n  / 2 ], substituindo x por L, temos:
 = 2L / n
(comprimentos de ondas dos harmônicos)
onde n = 1, 2, 3, ... (note que o valor n = 0 não é físico nesse caso - seria uma onda
com comprimento de onda infinito, ou seja, onda nenhuma). Estes são conhecidos
como os comprimentos de ondas dos harmônicos da corda.
Ondas Estacionárias
As vibrações da corda são transmitidas para as moléculas de ar e, devido à
propagação da perturbação, chegam aos nossos ouvidos na forma de som. A
frequência desses sons pode ser obtida da relação acima, resultando em
f = v /  = n v / 2L
(frequências dos harmônicos)
Nas animações abaixo, obtida de "Multimedia Physics Studios", observamos os três
primeiros harmônicos em uma corda ("nodes" é a palavra inglesa para nós).
1o harmônico (ou fundamental)
Obs: As cordas vibrantes
freqüentemente
oscilam
tão rapidamente que o olho
humano apenas percebe
uma mancha cuja forma é
a da envoltória do
movimento.
2o harmônico
3o harmônico
Ondas Estacionárias
Portanto, a energia permanece “estacionária” na corda, embora alterando-se entre
energia cinética de vibração (característica inercial que nos dá a Ec) e energia
potencial elástica (característica elástica que nos dá a Ep). O movimento é
ondulatório porque podemos imaginá-lo como decorrente de uma superposição de
ondas que se propagam em sentidos opostos (uma para a direita e outra para a
esquerda).
Podemos, com a mesma razão, interpretar o movimento como uma oscilação com
M.H.S de freqüência angular w e cuja amplitude depende da sua posição. Cada
elemento da corda possui inércia e elasticidade; a corda como um todo pode ser
pensada como um conjunto de osciladores acoplados.
Portanto, a corda vibrante é a idêntica, em principio, a um sistema massa-mola,
excetuando o fato de este sistema ter apenas uma freqüência natural, enquanto uma
corda vibrante possui um grande número de freqüências naturais.
Obs: Num sistema massa-mola temos um sistema mecânico do tipo localizado, pois
suas energias se encontram em partes do sistema, isto é, a Ec no bloco de massa m e
a Ep na mola de constante elástica k. enquanto que o movimento numa corda é do
tipo distribuído, porque qualquer elemento dela possui característica inercial e
elástica.
Problema mais minucioso do processo de reflexão de uma onda:
Superposição de uma onda incidente e de uma onda refletida, sendo a adição de 2
ondas progressivas de sentidos opostos, originará uma onda estacionária.
|v| e A = cte
anel
onda incidente
F
(fixo)
F
(móvel)
-F
onda refletida
(3a
Extremo Fixo
Lei de Newton):
Observa-se a inversão da fase da
onda refletida. Essas 2 ondas
interferem destrutivamente, pois não
houve deslocamento da corda (fixa)
temos um nó. E elas estão fora de
fase com ângulo de 180o.
Extremo Livre: Sem inversão da fase da
onda refletida. A força é aplicada na corda
como ela é móvel (tem o anel), ela fica
acelerada. Essas 2 ondas interferem
construtivamente,
pois
houve
deslocamento máximo da corda (móvel)
temos um anti-nodo. E elas estão em fase
com ângulo de 0o.
Obs: Admitimos aqui que ocorreu reflexão total no contorno do corpo (corda).
- Entretanto, quando a onda (ou pulso) passa de um meio a outro, dizemos que essa
onda sofreu uma refração (v e  variam e f = cte). Porém, uma parte da onda é
refletida com inversão e sem inversão de fase, isso vai depender das densidades
lineares do meio, enquanto que outra parte é transmitida.
Duas cordas com densidades lineares diferentes:
Densidade linear de A < Densidade linear de B
Meio de densidade linear A.
vA e A
Meio de densidade linear B.
v B e B
f = cte
Observa-se INVERSÃO da fase da onda refletida.
 = 0o => interferência construtiva
onda refletida
Densidade linear de A > Densidade linear de B
onda transmitida
É válida:
Observa-se a NÃO inversão da fase da onda refletida.
 = 180o => interferência destrutiva
v
T

Ressonância:
Em geral, sempre que, sobre um sistema capaz de oscilar, atuar uma série de
impulsos periódicos cuja f seja igual ou quase igual à freqüência natural do sistema
(fn), este último começará também a oscilar com amplitude relativamente grande.
Tal fenômeno denomina-se ressonância; diz-se que o sistema ressoa com o impulso
aplicado.
Quando uma corda é
/2
Condições de onda
estacionária na corda fixa
em ambas as extremidades
Obs: Se a corda for posta para vibrar e abandonada, as oscilações gradualmente
cessarão (presença de forças dissipativas => atrito, resistência do ar) Se aplicarmos
uma força no sistema, ele poderá adquirir energia; quando a freqüência dessa força
for próxima de uma das freqüências naturais da corda, está vibrará com grande
amplitude e com aquelas freqüências (a corda possui um grande número de
freqüência naturais – série harmônica ), a ressonância pode ocorrer.
Ondas estacionárias numa corda.
Meia onda.
Ondas estacionárias numa corda.
Onda inteira.
Ondas estacionárias numa corda.
1½ de onda.
Ondas estacionárias numa corda.
1 onda inteira (azul) , 1½ de onda (amarelo) e 2 ondas inteiras (vermelha).
f 2  2 f1
2  L
f3  3 f1
2L
3 
3
v
fn  n
2L
f 4  4 f1
4 
L
2
Exemplo de fenômeno de Ressonância:
Simulação computacional do efeito do
vento na estrutura de uma ponte.
Efeito do vento na estrutura de
uma ponte incorretamente projetada.
torção
oscilação
Ponte de Tacoma Narrows (1940)
com 4 meses de funcionamento
Condição de Ressonância para uma onda estacionária numa corda de
comprimento L, fixa numa extremidade e livre na outra, é::
Ln

4
v
Ln
4f
v
f n
4L
Obs: Os harmônicos pares não existem.
n  1,3,5,7,....(ímpar )
freqüência fundamental
v

f n  nf1  f1 
4L

Obs: Utilizando condições de contorno na equação da onda estacionária, podemos
encontrar as condição de ressonância para uma onda estacionária numa corda de
comprimento L, fixa em ambas as extremidades e fixa numa extremidade e livre na
outra:
(princípio da superposição)
y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t)
(onda para a esquerda)
y1(x,t) = ym sen(kx + wt)
(onda para a direita)
y2(x,t) = ym sen(kx - wt )
(onda estacionária)
y(x,t) = [2ym sen(kx)] cos(wt)
1- Se a corda de comprimento l, estiver fixa em ambas as extremidades, isto é, x =
0 e x = L. Logo, temos as seguintes condições de contorno:
y(x=0,t) = 0
sen(k0) = 0
condição é
satisfeita
e
y(x=L,t) = 0
sen(kL) = 0
k n L = n
Ln
n
2
n  2 / kn
2- Se a mesma corda estiver fixa em uma das extremidades e livre na outra, isto é, x
= 0 e x = L. Logo, temos as seguintes condições de contorno:
y(x=0,t) = 0
sen(k0) = 0
condição é
satisfeita
e
ponto de máximo e
mínimo
y(x=L,t) = 1
sen(kL) = 1
kn L  n

2
com n = 1, 3, 5, ... (ímpar)
2
n 
kn
Ln
kn 
n
4
2
n
Ty
Taxa de transmissão da
energia
P
1

t 
 P  x, t  .dt
t
ou
1 2
ym wkT
2
2
2 v
P  2 ym 2  v 2
P

2
2
2 v 
P  2 ym    v

wk  k 2v  4 2v /  2
P  2 2 ym 2 f 2  v
Transporte de energias por ondas: De um modo geral, quando não há dissipação de
energia, pode-se dizer que a intensidade I de uma onda progressiva é igual a
energia E transmitida pela onda dividida pela área S, perpendicular à direção de
propagação, num intervalo de tempo t, isto é
I
E
P

S .t S
potência transmitida ou média
No caso particular de uma onda transversal ou longitudinal de freqüência f e
amplitude ym, se propagando com velocidade v num meio de densidade , pode-se
deduzir:
I  P  2 2 ym 2 f 2 v
(válida para todas as
ondas harmônicas)
Exemplo: fonte de dimensões pequena com relação as distâncias d1 e d2.
d2
fonte
Potência é constante, temos:
S1
S2
d1
S1 = 4d12
e
S2 = 4d22
I1 
I2 
P
 P  4 d12 I1
S1
I1 d 2 2
 2
I 2 d1
P
 P  4 d 2 2 I 2
Lei do inverso
S2
da distância
ASSUNTO:
Movimento Ondulatório
(Ondas em meios sonoros)
por
Jordan Del Nero
[email protected]
UFPA/CCEN/DF
Campus Universitário do Guamá
66.075-110 - Belém - Pará - Brasil
INTRODUÇÃO
O som é um dos meios pelo qual os animais superiores se comunicam e
obtém informações sobre o ambiente ao seu redor. Eles possuem órgãos
especiais para produzir e detectar os sons:
Como funciona as cordas vocais?
De que forma o ouvido humano detecta os sons?
Antes de responder a essas perguntas, conceitos básicos de ondas
sonoras, de sistemas vibrantes e de ressonância serão apresentados.
Ondas sonoras
são
longitudinais:
Ondas Sonoras:
Uma onda sonora é produzida por um elemento vibrador que pode ser desde um
cristal, um alto-falante, uma corda vibrante – como no caso de alguns instrumentos
musicais – até uma corda vocal. Todos esses elementos vibradores causam variações
na densidade ou pressão do meio ao seu redor. Caso o meio seja o ar, ocorre
compressão e rarefação, que se propagam como ondas progressivas. As partículas
materiais que transmitem a onda oscilam paralelamente à direção de propagação da
própria onda. Portanto, as ondas sonoras, freqüentemente chamadas ondas de
compressão, ondas de pressão, ou simplesmente som, são ondas mecânicas
longitudinais que podem se propagar em sólidos, líquidos e gases.
Essas ondas, ao se propagarem através de um meio elástico, podem atingir o ouvido
e produzir uma sensação sonora. Entretanto, o aparelho de audição do ser humano é
sensível somente a sons com f de 20 e 20.000 Hz. Ondas abaixo de 20Hz são
chamadas infra-som (são geralmente produzidos por fontes de grande tamanho como
os terremotos) e acima de 20.000Hz, ultra-som (podem ser produzidos por vibrações
elásticas de um cristal de quartzo induzidos por ressonância com um E alternado –
efeito piezoelétrico).
A faixa de f audível para animais pode ser diferente da do homen. No caso:
Morcegos: 10.000 Hz a 120.000 Hz
Golfinhos: 10.000 Hz a 240.000 Hz
Cães:
15 Hz a 50.000 Hz
Gatos: 60Hz a 65.000 Hz.
Ondas Sonoras:
Infra-som
20Hz
Ultra-som
Frequência f
Rinocerontes: comunicando com outro.
20kHz
Morcêgo: navegando e localizando comida.
Ondas Sonoras:
O elemento vibrador alternadamente comprime o ar em volta dele, em seu
movimento para a frente, rarefazendo-o em seu movimento de volta. O ar transmite
estas perturbações em forma de onda que se propaga a partir da fonte.
tubo comprimido com o ar
Ao penetrar no ouvido, estas ondas originam a sensação sonora. As ondas cujas
formas são aproximadamente periódicas, ou consistem de um pequeno número de
componentes aproximadamente periódicas, originam uma sensação agradável (se a
intensidade não for muito grande), como acontece com os sons musicais. Uma onda
sonora cuja forma é aperiódica nos dá a sensação de barulho (que pode ser
representado como uma superposição de ondas periódicas, mas o número de
componentes é muito grande).
Produção de Ondas Sonoras:
diapasão
Zonas de compressão e rarefação
tubo comprimido com o ar
Produção de Ondas Sonoras:
tambor
tubo comprimido com o ar
Portanto, uma onda harmônica sonora 1-D pode ser produzida efetuando-se um
M.H.S de freqüência w num pistão da fig. que impele uma coluna de ar num tubo
longo e estreito.
pistão
tubo comprimido com o ar
Forma-se uma onda de pressão que pode ser descrita por:
y  ym sen  kx wt   / 2   ymcos  kx wt 
p  pm sen  kx wt 
t0
p > 0 => zona de compressão
p < 0 => zona de rarefação
t0
(movimento p/ a direita e
esquerda das ondas de
pressão)
(coluna de ar => onda longitudinal)
y e p defasados de 90o (/2)
p = 0 e y = ym
Gráfico do deslocamento horizontal y e da variação de pressão p dos elementos de
volume do ar em função da posição x e instante t:
ponto de densidade máxima => p é máximo
p > 0 => zona de compressão
ym
pm
p < 0 =>
zona de
rarefação
ponto de densidade mínima => p é mínimo
Observamos no gráfico que quando p = 1 (p = pm é máximo), y = 0 (são pontos de
deslocamento nulo), e vice-versa. Também quando o gás se expande, a pressão
diminui e vice-versa.
De modo semelhante às ondas transversais em uma corda, podemos expressar,
usando as leis de movimento de Newton, a velocidade de propagação da onda
longitudinal (som, coluna de ar no pistão) em termos das propriedades elástica e
inercial do meio.
(v + v) t
p
v + v
v
R
Q
p
v
coluna com ar
P
zona de compressão (elemento é desacelerado)
(p + p)
v < 0. Logo, v + v < v.
p acelera-o até adquirir a velocidade v original.
v.t
Apliquemos as Leis de Newton ao elemento do fluido (ar) enquanto penetra na zona
de compressão. A força resultante que atua sobre ele durante a saída da zona é:
V  AL  Avt

 F   p  p  A  pA  p. A

v
F

ma


m  V   AL   Avt a  
t
(densidade do fluido fora da zona)
(volume)
p. A  ma
Substituindo, temos:
 v 
p. A   Avt   
 t 
v
p    vv
v
 v 2   p v
v
Agora se fizermos:

p
v  
2
v A.t.v A.L V



v
A.t.v
A.L
V
V
V
B   p
V
V
(módulo volumétrico)
(variação relativa de volume)
v  B
2
v
B

B > 0, pois p > 0 acarreta V < 0.
Outro tratamento na determinação da velocidade de propagação da onda
longitudinal (som, coluna de ar no pistão) em termos das propriedades elástica e
inercial do meio.
Apliquemos este resultado a um gás ideal. Utizemos a equação dos gases ideais:
pV  nRT
onde: n é o número de moles do gás e R = 8,314 J/mol.K é a constante dos gases ideais.
Para calcular o módulo de elasticidade de um gás ideal, precisamos relacionar V à  p.
Diferenciando a equação acima, temos:
d  pV   d  nRT 
p.dV  V .dp  nR.dT
Se a compressão do gás ocorre a T = cte, dT = 0 (compressão isotérmica). Logo,
temos:
p   dp
p.dV  V .dp  0
v
B


Bisotérmica


p

dV
V
 Bisotérmica
(módulo de elasticidade
isotérmica)
(velocidade do gás se as compressões e
rarefações forem isotérmicas)
Escrevendo a equação em termos da temperatuta, usando a equação dos gases
ideais:
nRT  RT
p

V
M
onde: M é a massa molecular e  = m/V = nM/V é a densidade do fluido.
 RT
v


M
p
v
RT
M
(velocidade do gás em função de T
foi obtida por Newton)
Obs: Dá a dependência correta de v com T, mas os valores de v são cerca de 20%
mais baixos em comparação com os resultados experimentais.
Para uma transformação adiabática, temos:
pV   cte
Badiab   p
v
Badiab

p
 RT



M
(ondas
sonoras)
Não tem troca de calor.
Obs: É uma correção na eq. de Newton,  é uma cte que depende da natureza do gás.
Isto é, observe a demonstração abaixo:
dT = 0
(relação entre os calores
específicos a p e V ctes).
Obs: Se o meio for um sólido (barra fina) o módulo volumétrico B é substituído
por um módulo de alongamento (módulo de Young).
- Logo, como vimos no capítulo anterior, a velocidade com a qual a onda percorre
um meio é determinada pelas propriedades do meio.
tensão
Velocidade para ondas transversais numa corda:
v
T

densidade linear da corda
módulo volumétrico
Velocidade para ondas longitudinais (som)
num fluido (no ar):
v
F/A
B
V / V

B
densidade do fluido
Velocidade para ondas longitudinais (som)
num sólido:

v

módulo de Young
F/A

L / L
densidade do sólido
Velocidade do som em vários meios:
Obs: a velocidade do som em vários meios dependendo da temperatura (T).
Propagação de ondas sonoras:
À medida que uma onda sonora avança num tubo, cada volume elementar do fluido
oscila em torno de sua posição de equilíbrio.
Os deslocamentos se realizam para a direita e para a esquerda sobre a direção x, na
qual a onda sonora se propaga.
y  ym sen  kx wt   / 2   ymcos  kx wt 
horizontal em
ondas longitudinais
Em geral, é mais conveniente trabalhar com as variações de pressão em uma onda
sonora do que os deslocamentos reais das partículas que transmitem a onda. Portanto,
vamos escrever a equação de onda em termos da variação na pressão.
Da relação:
B   p
Podemos escrever ainda,
V
V
V
p   B
V
V
p  B
V
V
A.y
y
dy
p  B
 B
  B lim
 B
x 0 x
V
A.x
dx
Obs: y = f(x,t). Entretanto, consideramos t = cte.
Propagação de ondas sonoras:
Considerando o deslocamento como descrevendo um M.H.S, temos:
y  ym cos  kx  wt 
Sabendo que,
Como,
v
dy
 kym .sen  kx  wt 
p também é H.S
dx
dy
p  Bkym .sen  kx  wt 
p  B
dx
B

B  v
2
Obs: Portanto, uma onda sonora pode ser
considerada
tanto
uma
onda
de
deslocamento quanto de pressão.
p   v2 ym .sen  kx  wt 
(amplitude da pressão)
pm   v 2 ym
Logo,
Obs: Não foi considerado, a estrutura
molecular da matéria e tratamos o fluído
como um meio contínuo.
p  pm .sen  kx  wt 
Fontes Sonoras

Fontes Sonoras na Música
cordas: guitarra, piano, violino.
membranas: tímbale, tarol, bumbo.
colunas de ar: flauta, oboé, órgão de tubo.
blocos de madeira .
barras de aço: marimba, xilofone.
Ondas Estacionárias num Tubo
- comprimento L do tubo fixo e da ordem de grandeza do comprimento de onda: L ~ .
- extremidade fechada: nodo de deslocamento (amplitude nula).
- extremidade aberta: antinodo de deslocamento (amplitude máxima).
- analogia com ondas numa corda com uma ou ambas as extremidades fixas.
diapasão
Ondas Estacionárias (harmônicos ou modos de vibração) em tubos de órgão:
Os 4 primeiros harmônicos ou modos:
v
2L
1  2L
f 2  2 f1
2  L
f1 
f1 
v
4L
1  4L
2L
f3  3 f1 3 
3
L
f 4  4 f1 4 
2
f3  3 f1
4L
2 
3
Obs: modos de pressão (amarelo) e freqüência (azul). Para tubo fechado não existe
n = par. As condições para que ocorra ressonância são as mesmas:
Ln

2
n = 1, 3, ...
v
f n
2L
(aberto)
Ln

4
n = 1, 2, 3, 4,...
v
f n
4L
(fechado)
Exemplo de fenômeno de Ressonância:
Simulação computacional do efeito do
vento na estrutura de uma ponte.
Efeito do vento na estrutura de
uma ponte incorretamente projetada.
torção
oscilação
Ponte de Tacoma Narrows (1940)
com 4 meses de funcionamento
Exemplo de fenômeno de Ressonância para medir a vsom no ar:
Obs: Ressonância quando f = fn
vsom.no.ar  ?
coluna variável (nível da água)
v
f
Distância entre 2 posições
sucessivas de ressonância:

s

2
Logo, 2s  v
f
  2s
v  2sf
Sabendo que, a f = 1080 Hz (diapasão) e que s = 15,3 cm. Portanto, v é:
v  2sf  0,306.1080  330m / s
  2s  30,6cm
Qual o significado físico de a? Outros gases poderiam ser usados no experimento?
1a ressonância
s=a
3a ressonância
s=d
5a ressonância
s = 2d

Instrumentos
- tamanho físico rege o intervalo de
freqüências em que o instrumento foi
projetado para tocar
- família do saxofone: baixo, barítono, tenor,
alto, soprano
- família do violão: baixo, violoncelo, viola,
violino
Faixas de freqüência para:
voz humana
Instrumento de
corda
Instrumento de
sopro



Tipo
f (Hz)
baixo
barítono
tenor
alto
soprano
80-365
100-450
140-540
180-730
270-1230
contrabaixo
violoncelo
viola
violino
harpa
piano
45-250
80-830
150-1200
30-2200
200-3500
30-4100
baixo tuba
trombone
clarinete
oboé
flauta
45-350
85-500
210-1700
150-1800
300-2200

Instrumentos Diferentes (Timbre)
- componentes em quantidades diferentes.
-a mesma nota (freqüência) pode soar de modo distinto.
ex: piano e violão tocando lá.

Instrumentos Diferentes (Timbre
- componentes em quantidades diferentes.
-a mesma nota (freqüência) pode soar de modo distinto (ex:
piano e violão tocando lá).
Várias ondas, quando convenientemente somadas podem tomar a forma de
um pulso:
+
+
+ .... =
+
Ondas Complexas => Batimento

(2 ondas para a direita)
(princípio de superposição)
Ondas Complexas => Batimento
Gráfico do batimento
Representação Batimento: x = 0. Logo,
y  ymcos  kx  wt 
y  ymcos  wt 
y  y1  y2
y  ym cos  w1t   cos  w2t  
w1  2 f1  w2  2 f 2
y = y(f)
y  ym cos  2 f1t   cos  2 f 2t 
onde:
cos a + cos b = 2 cos [(a - b)/2]. cos [(a + b)/2]
cos(2f1t) + cos(2f2t) = 2 cos [2(f1 – f2)t/2]. cos [2(f1 – f2)t/2

  f1  f 2   
  f1  f 2  
y  2 ym .cos  2 
 t   .cos  2 
t
  2  
  2  


f = (f1 + f2)/2
famp = (f1 - f2)/2
(receptores de rádio AM)
Máximo de amplitude
ocorrerá batimento
quando for = 1.
Obs: O número de batimento por ciclo será o dobro de famp ou fbat = f1 - f2
cosseno: oscila com f = (f1 - f2) / 2, controla o “envelope” da onda
resultante, o qual causa a percepção do batimento
seno: oscila com f = (f1 + f2) / 2, a freqüência percebida
Freqüência de Batimento: fbat = (f1 - f2)
TONNNNN.....
Toonnnnnn......
TOINHoIIIII....!
Aplicação: afinação de instrumentos musicais.
Podem ser observadas em osciloscópio.
(1842)
A cor de um corpo luminoso, assim como a altura do som de uma onda sonora deve
mudar em virtude do movimento relativo da fonte e do observador.
Fonte Estacionária
- produzidos sons com
freqüência constante.
- frentes de onda propagam-se
O
simetricamente.
- comprimento de onda:
distância entre duas frentes de
onda.
- observadores detectarão a
mesma freqüência da fonte.
O´
distância percorrida pela fonte
até o observador
aproxima do observador
afasta do observador
Pequenas Velocidades
 vF 
f ´ f F 1  
 vs 
Fonte com Velocidade vF = 0,7 vs < vs
- fonte move-se para a direita, alterando os
comprimentos de onda
- um observador à direita perceberia uma
freqüência maior
- um observador à esquerda perceberia uma
freqüência menor
O
O´
vO << vsom
vF << vsom
v = velocidade relativa entre vF e vO
Fonte com Velocidade vF = vs
- frentes de onda acumulam-se na
frente da fonte.
- observador à direita nada notará
até que a fonte chegue até ele.
- onda de choque 3-D intensa na
frente da fonte.
- ondas de proa 2-D perturbação
em forma de V em objetos na
superfície de um líquido.
O
O´
Fonte com Velocidade vs < vF = 1,4 vs
- velocidade supersônica.
- equação do Efeito Doppler não se aplica mais.
- fonte move-se mais rápido que as ondas sonoras que ela cria.
- um observador à direita ouvirá o som após a fonte passar por ele.
- formação do cone de Mach.
- geração do estrondo duplo (ou sônico) em aeronaves.
vs t vs
sen 

vF t vF
O

vs t
P1
vF t
P2
O´
y
y
y
y
y
y
y

Intensidade e Nível Sonoro
Intensidade
- energia transmitida pela onda num dado tempo a uma certa área.
- numa fonte pontual, a onda de som é esférica e
I = P / (4  r 2)
2
pm
I
2 v
y
pm   vwym
Nível de Som
Z  v
e


- proporcional ao quadrado da amplitude.
- evidência de um grande intervalo nos
limites da audição humana.
- chamado "volume" do som.
(Impedância acústica do meio)
- sensibilidade auditiva humana
- escala mais conveniente
- unidade: dB (decibel)
- intensidade padrão: Io = 10-12 W/m2
- limite inferior da audição: I = Io =>  = 10 log 1 = 0
Intensidade e Nível Sonoro
Espectro Acústico
-Gráfico de Fletcher-Munson
(mede a sensibilidade do ouvido
humano)
- limites: audição, dor
- regiões: música, fala
- freqüência ideal (ressonância)
Níveis de Som
(limiar de audição)
(nível doloroso)

nível
médio
Aplicações das ondas sonoras
1- Fonação (Produção da fala)
Fonação envolve centros de controle específicos da fala no córtex cerebral, funções
mecânicas da produção de um som audível (voz) e o controle desse som para
produzir um fonema definido. O fonema por sua vez é amplificado pelas cavidades
ressonantes constituídas pela boca, nariz, seios nasais, faringe e caixa torácica.
A voz é o efeito da corrente de ar que vem dos pulmões através da laringe e da boca,
acompanhada de vibrações das cordas vocais, que são pregas situadas ao longo das
paredes laterais da laringe, tensionadas e posicionadas por vários músculos
específicos nos limites da laringe.
Dessa forma, é produzida uma série de pulsos de som com freqüências que
dependem da tensão e da massa das cordas vocais.
O espectro de freqüência produzidos por um homem mostra que sua freqüência
fundamental é de cerca de 125 Hz (mais compridas e tem maior massa) ,
acompanhada de diversos harmômicos, enquanto que para mulheres é de 250 Hz
(menos compridas e tem menor massa) .
Nível sonoro num conversação
normal é de 60 dB
ajuste
45 dB (lugar silencioso)
90 dB (lugar barulhento)
Aplicações das ondas sonoras
2- O Ouvido Humano
A Fonação e a audição são meios importantes de comunicação do ser humano.
A audição envolve um sistema mecânico que estimula as células receptoras do som,
chamadas células ciliadas; sensores que produzem o potencial de ação nas células
nervosas e o córtex auditivo, que é uma parte do cérebro que decodifica e interpreta
esses estímulos nervosos.
A função do ouvido é converter uma fraca onda
mecânica no ar em estímulos nervosos. O ouvido é
constituído de 3 partes: ouvido externo – orelha (parte
menos importante da audição, porém auxiliam as ondas
sonoras a convergirem para o canal auditivo) e canal
auditivo (cerca de 2,5 cm de comprimento comparado ao
tubo de órgão aberto em uma extremidade e fechado na
outra pela membrana timpânica, que separa o ouvido
externo do médio, ambos contendo ar), ouvido médio –
martelo, bigorna e estribo e ouvido interno (também
chamado labirinto – ósseo (vestíbulo, cóclea e canais
semicirculares) e membranoso)– cóclea contendo fluido,
onde acontece a conversação do som em pulso elétrico.
Aplicações das ondas sonoras
2- O Ouvido Humano
• O ouvido externo.
• O conduto auditivo externo se comporta como um
tubo acústico fechado cuja freqüência de ressonância é
dada por :
f
v

1
4.L
• onde v é a velocidade do som no ar a 27OC = 340 m/s
• L é o comprimento do meato auditivo, de 2 a 3 cm.
• Isto nos fornece que a freqüência de ressonância do
meato externo está compreendida entre 2.900 e 4.350
Hz.
Aplicações das ondas sonoras
3- Ultra-som na Medicina
As fontes de ondas incoerentes são amplamente distribuídas na natureza.
A luz de uma vela, a luz das estrelas, a luz de uma lâmpada fluorescente,
o raio X de uso médico, os ruídos sonoros e etc.
Ondas, diferem do caso massa-mola
devido a existência
de uma distribuição infinita de massa
ao longo do seu comprimento. Neste caso teremos infinitas
freqüências de ressonância sendo uma a “fundamental” e seus
múltiplos ou semitons.
Freqüência Fundamental
10 Harmônico
30 Harmônico
40 Harmônico
Como cada onda tem diferente freqüência, a sua velocidade de
propagação será diferente e, com o tempo, o pulso perde a sua
amplitude original.
O fenômeno da dispersão de um pulso pode não ocorrer devido
a não linearidades. Aí temos um SÓLITON que também é um
pulso dispersivo mas neste caso há uma compensação.
O sistema com uma distribuição bidimensional de massa
também tem comportamento ondulatório.
Quando são dadas as condições de contorno para a livre
oscilação teremos situações em que os máximos e mínimos
serão regidos por suas freqüências harmônicas características
ou tons e também sobretons.
As figuras de Chladni exemplificam as possibilidades dos
modos de oscilação de uma placa retangular ou um disco.
Na Prática!!!
PROFESSOR: Jordan Del Nero
[email protected]
Hidrostática

Estudo dos fluidos (líquidos e gases) em repouso
submetido apenas à ação da gravidade e de pressões
externas.
Características dos líquidos e dos gases:

Líquido: moléculas muito próxima uma da outra,
densidade maior que a dos gases, são pouco compressíveis
e ocupa a parte mais baixa do recipiente (escoam sob a
ação da gravidade).

Gases:
densidade
moléculas muito distante uma da outra,
relativamente
pequena,
facilmente
compressíveis e tem por inteiro o volume do recipiente que
o contém (expandem) por qualquer que seja a sua forma.
Hidrostática

Fluido é toda substância que pode escoar
facilmente e quando submetido a pequenas
forças muda de forma.

Partícula Fluida é uma certa quantidade
de fluido que possui uma certa continuidade.
Características dos fluidos:
Mobilidade molecular
Ausência de forma própria
Empuxo
 Mobilidade molecular
 Empuxo
 Ausência de forma própria
Critérios para distinguir um fluido (líquido ou gás)
de um sólido
Microscópico: a distância relativa das moléculas é
variável, umas deslizam sobre as outras (camadas).
Macroscópico: a força necessária para causar uma
deformação permanente é proporcional a velocidade
dessa deformação, não há um limite inferior para o
tamanho da deformação.
Obs: Nos sólidos, as moléculas mantém posições
relativas fixas e é necessário ter uma força mínima para
conseguir uma deformação permanente.
Critérios para distinguir um fluido (líquido ou gás)
de um sólido. Pressão em sólidos e líquidos
Em um fluido as forças entre as moléculas (ou um
conjunto delas) são muito menores que nos sólidos.
Um fluido não pode suportar forças de
cisalhamento, sem que isto leve a um movimento de
suas partes.
Um fluido pode escoar, ao contrário de um objeto sólido.
Pressão em sólidos
Se uma força for aplicada a
um ponto de um objeto rígido, o
objeto como um todo sofrerá a ação
dessa força.
Isto
ocorre
porque
as
moléculas (ou um conjunto delas) do
corpo rígido estão ligadas por forças
que mantêm o corpo inalterado em
sua forma.
Logo, a força aplicada em um
ponto de um corpo rígido acaba
sendo distribuída a todas as partes
do corpo.
Pressão Hidrostática
(pressão exercida por um líquido)
Um elemento sólido, colocado
no interior de um fluido em
equilíbrio, experimenta, da
parte desse fluido, forças
perpendiculares às suas
superfícies.
Princípio de Pascal
FLUIDOS
Classificação
Fluidos compressíveis
Fluidos incompressíveis
Fluidos gasosos
Líquidos não viscosos
(ar, etc)
(água, álcool,etc.)
Com variação
apreciável de volume
Líquidos viscosos
(azeite denso,
glicerina,etc.)
Sem variação
apreciável de volume
Como estudar os fluidos?
- Desconhecemos como são as forças microscópicas entre
as moléculas, mesmo que, nos interesse o movimento de
cada molécula;
- mas o do conjunto, isto é, as magnitudes macroscópicas
(densidade, velocidade do fluido, temperatura, pressão,
....).
Obs: Decompomos o fluido em elementos de volume
(partículas fluidas), tais que:
1- sejam suficientemente pequenos para poder utilizar as
leis de Newton; e 2- sejam suficientemente grandes para
poder definir grandezas macroscópicas.
Assim, trataremos os fluidos como contínuo (conjunto de
partículas), sem nos importarmos com a sua estrutura
interna (de cada partícula).
Hidrostática
Massa específica () e/ou densidade (d)
ms

Vs
m
V
mc
d
Vc
Onde:
ms : Massa da substância (líquidos)
Vs: Volume da substância (líquidos)
mc : Massa do corpo (sólido oco ou
maciço)
Vc: Volume do corpo (sólido oco ou
maciço)
Observação: Quando o objeto for maciço e homogêneo,
a densidade coincide com a massa específica.
Se o material é homogêneo, sua distribuição de massa é
uniforme, isto é, a sua densidade será a mesma em todas
as partes.
Hidrostática
Massa específica () ou densidade absoluta
Para um elemento de volume dV e massa dm.
dm
m
V
dV
Observação: distribuição de massa dm e de volume dV.
μ=
Logo,
dm = μ dV
Δm = dm
ΔV→0 ΔV
dV
lim
m = ∫μ dV
m = μ ∫dV
m=μV
UNIDADES DE DENSIDADE
Sistema Internacional (SI)
A densidade é medida em:
U[d] = kg/m3
Sistema CGS
A unidade será:
U[d] = g/cm3
Também costuma-se
densidade.
usar
o
kg/L,
como
A relação entre essas grandezas é:
1 g/cm3 = 1.000 kg/m3 = 1 kg/L
Obs: 1 litro = 103cm3 = 10-3m3
unidade
de
d p
T
Obs: densidade depende da T e da p.
Logo, T = 0oC e p = 1atm.
(condições normais)
Obs: Da dilatação de sólidos e
líquidos, sabemos que:
ΔV = Vo 3 ΔT)
V = Vo (1+3 ΔT)
Logo,
d= m
V
d=
onde,
do
(1+3 ΔT)
γ = 3
PROPRIEDADE
Quando vários líquidos, imiscíveis, são colocados em um
mesmo recipiente eles se superpõem em ordem decrescente de
densidades.
d1
d2
d1 < d2 < d3
d3
Densidade Relativa (d )
r
densidade da H2O
densidade do ar
dr 
dr
d fluido
d H 2O
=
Dfluido
Dágua
Obs: 1 litro = 103cm3 = 10-3m3
Densidade Ponderal (D) ou Peso Específico ()
mg
D
 dg
V
P
D
V
 = g.
Logo,
dm =  dV
g
Δm = g. dm = g.μ
ΔV→0 ΔV
dV
lim
m = ∫μ dV
m = μ ∫dV
m=μV
Obs: dágua varia com a T e em T = 4ºC a H2O possui densidade
máxima (dilatação anômala da H2O).
d H2O (máx)  103 kg / m3
T 4 C
o
DH2O  d H2O g  9,8.10 N / m
3
3
1.
a)
b)
c)
d)
e)
Exercícios
Um cubo oco de alumínio apresenta 100 g de massa e volume de 50 cm3.
O volume da parte vazia é 10 cm3. A densidade do cubo e a massa
específica do alumínio são, respectivamente:
0,5 g/cm3 e 0,4 g/cm3
2,5 g/cm3 e 2,0 g/cm3
0,4 g/cm3 e 0,5 g/cm3
2,0 g/cm3 e 2,5 g/cm3
2,0 g/cm3 e 10,0 g/cm3
2. Têm-se duas soluções de um mesmo sal. A massa específica da primeira
é de 1,7 g/cm3. Devemos tomar de cada uma das soluções originais:
a) 0,50I e 0,50I
b) 0,52I da primeira e 0,48I da segunda.
c) 0,48I da primeira e 0,52I da segunda.
d) 0,40I da primeira e 0,60I da segunda.
e) 0,60I da primeira e 0,40I da segunda.
3. Um tijolo de chumbo tem 5 por 10 por 20 cm. Qual o seu peso? Dado:
dchumbo = 11,3.103kg/m3.
4. Um anel, que parece ser de ouro maciço, tem massa de 28,5 g. O anel
desloca 3 cm3 de água quando submerso. Considere as seguintes afirmações.
Dado: massa específica do ouro = 19,0 g/cm3.
I. O anel é de ouro maciço.
II. O anel é oco e o volume da cavidade é 1,5 cm3.
III. O anel é oco e o volume da cavidade é 3,0 cm3.
IV. O anel é feito de material cuja massa específica é a metade da
do ouro.
Das afirmativas mencionadas:
a) Apenas I é falsa. b) Apenas III é falsa.
c) I e III são falsas.
d) II e IV são falsas. e)Qualquer uma pode ser correta.
5. Um automóvel percorre 10 km consumindo 1 litro de álcool quando se
movimenta a 72 km/h. se a densidade do álcool é de 0,8 g/cm3, a massa em
gramas, consumida pelo veículo, por segundo, é igual a:
a) 0,8
b) 1,6
c) 3,6
d) 4,8
e) 7,2
6. Uma jóia de prata pura, homogênea e maciça tem massa 200 g e ocupa um
volume de 20 cm3. Determine a densidade da jóia e a massa específica da
prata.
7. A densidade do mercúrio é de 13,6 g/cm3 e a da água é de 1 g/cm3. Quais
das afirmações abaixo estão corretas?
I. A densidade do mercúrio é equivalente a 13.600 kg/m3.
II. Para massas iguais, o volume ocupado pelo mercúrio é maior do que o
ocupado pela água.
III. A densidade do mercúrio é equivalente a 13,6 kg/l
IV. A massa correspondente a 1.000 l de água é 1.000 kg.
a) I e IV
b) II e III
c) II e IV
d) I e II
e) I e III
8. Um bloco de madeira, cujo volume é de 500 cm3, tem massa igual a 0,3
kg. A densidade dessa madeira em g/cm3 é de:
a) 6,6
b) 1,6
c) 0,6
d) 6
e)16
9. Misturam-se massa iguais de dois líquidos de massas específicas 0,4
g/cm3 e 1,0 g/cm3. Determine a massa específica da mistura.
10. Um recipiente contém um líquido A de densidade 0,6 g/cm3 e volume V.
Outro recipiente contém um líquido B de densidade 0,70 g/cm3 e volume
4 V. Os dois líquidos são miscíveis. Qual a densidade da mistura?
11. Um cubo de aresta 8 cm é homogêneo, exceto na sua parte central, onde
existe uma região oca, na forma de um cilindro de altura 4 cm e área da
base 5 cm3. Sendo 1.280 g a massa do cubo, determine:
a) a densidade do cubo;
b) a massa específica da substância que o constitui.
12. Determine a densidade de uma mistura homogênea em volumes iguais de
dois líquidos de densidades 0,8 g/cm3 e 1 g/cm3.
13. Determine a densidade de uma mistura homogênea em massas iguais de
dois líquidos de densidades 0,3 g/cm3 e 0,7 g/cm3.
14. Dois líquidos miscíveis têm, respectivamente densidades D = 3 g/cm3 e
d = 2 g/cm3. Qual é a densidade de uma mistura homogênea dos dois
líquidos composta, e volume, de 40%¨do primeiro e 60% do segundo?
15. Dois tubos iguais contêm: um, azeite de oliva; o outro, água. Os líquidos
tem o mesmo peso, mas alcança as alturas de 50 cm e 46 cm,
respectivamente. Determinar a densidade do azeite de oliva. (Dado:
densidade da água = 1 g/cm3).
Conceito de Pressão
Grandeza escalar, que expressa a relação entre a força
aplicada em uma certa área.
F
p
A
p = ΔF
ΔA
p = lim
ΔA→0
ΔF
ΔA
p = dF
dA
dF = p.dA
Área grande
pressão pequena
Área pequena
pressão grande
Origem microscópica de Pressão
Sólidos
suas moléculas estão ligadas por
forças que mantêm sua forma
inalterada.
Líquidos
Forças repulsivas entre
as
moléculas
que
constitui o líquido.
Gases
Choque das moléculas
que constitui o gás.
Fluidos
Conceito de Pressão
Considere um bloco de peso 300 N apoiado sobre uma superfície plana de
2m2 de área. A força de 300 N comprime a superfície e está
uniformemente distribuída na área de apoio do bloco.
F  0
A
F=P
(repouso)



Qual a força que atua?
Peso na vertical
Onde:
F F: Força aplicada
p
A A: Área de aplicação da força
Forças na horizontal se anulam
Se desejarmos saber qual a força exercida pelo corpo em cada m2, basta
fazer a divisão:
300N
2m2
 150N/m2
Conceito de Pressão
Este resultado indica que cada m2 da superfície está sendo comprimido
por uma força de 150 N. O conceito de pressão se refere a este resultado:
150 N/m2 que é o valor da pressão que o peso do bloco exerce sobre a
superfície em que se apóia.
Matematicamente, temos:
UNIDADE DE PRESSÃO
Área - A
SISTEMA INTERNACIONAL
SI
A pressão é medida em:
F (força)
A
F
P
A
U[p] = N/m2 ou pascal – Pa
Blaise Pascal (1623-1662)
SISTEMA CGS
A pressão é medida em:
U[p] = dyn/cm2 ou bária – ba
Onde P é a pressão exercida pela F sobre a
Obs:
área A.
1 bar = 105 Pa
Pressão
1º caso:
Pressão é o quociente da intensidade
da força exercida uniforme e
perpendicularmente
sobre
uma
superfície, pela área dessa mesma
superfície.
F
A
Pressão = Força /Área
F
p
A
F
p
A
Onde:
F: Força aplicada (uniforme e perpendicular)
A: Área de aplicação da força
2º caso:
F

A
F . cos 
p
A
PRESSÃO ATMOSFÉRICA
A Terra é envolvida por uma camada gasosa denominada de atmosfera
que é constituída de uma mistura gasosa dos quais podemos destacar:
Oxigênio com 23%, o Nitrogênio com 75,5%, o Anidrido Carbônico, o
Argônio e o vapor d’água (1,5%), aproximadamente. Este ar, como todo
objeto próximo da Terra, é atraído por ela, isto significa que o ar tem
peso em conseqüência, esta camada, que se eleva em dezenas de
quilômetros, exerce uma pressão sobre a superfície da Terra. Esta
pressão é denominada de pressão atmosférica (patm)
EXPERIÊNCIA DE EVANGELISTA TORRICELLI
A existência da pressão atmosférica era colocada em dúvida até a
época de Galileu (século XVIII), por muitos físicos da época. A
comprovação da existência desta pressão foi feita pelo italiano
Torricelli, que além de provar a existência da pressão atmosférica
permitiu a determinação de valor.
EXPERIÊNCIA DE EVANGELISTA TORRICELLI
Inicialmente Torricelli (1608-1647) tomou um tudo de vidro de 1m
de comprimento, fechado em uma de suas extremidades, e
colocou mercúrio (Hg) até encher completamente (fig. a). Em
seguida Torricelli fechou a extremidade aberta com o dedo,
inverteu o tudo e mergulhou esta outra extremidade em um
recipiente contendo também mercúrio (fig. b) ao destampar o
tubo, dentro do recipiente, verificou que a coluna de líquido
descia, até estabilizar a uma altura de cerca de 76 cm acima do
nível de referência de mercúrio no recipiente a 0oC. Na parte
superior do tubo formou-se um vácuo.
Fig. b
Fig. a
O espaço vazio sobre o mercúrio,
no tubo, constitui a chamada
câmara barométrica, onde a
pressão é praticamente nula
(vácuo).
pA pB
pA = pB
Obs1:
A experiência de Evangelista Torricelli foi realizada ao nível do mar, portanto, a
pressão de 76 cmHg é a pressão atmosférica ao nível do mar.
Obs2:
Blaise Pascal realizou esta mesma experiência no alto de uma montanha e verificou
que a pressão atmosférica era menor que 76 cmHg. A partir daí concluí-se que a
pressão atmosférica de um lugar depende da altitude sendo que a medida que a
altitude aumenta a pressão atmosférica diminui.
Obs3:
A pressão atmosférica diminui com a altitude, em aproximadamente 10
mmHg para 100 m de altitude, aproximadamente.
Como a altura da coluna de mercúrio no tubo era de 76 cm,
Torricelli chegou a conclusão que a pressão atmosférica era que
equilibrava a altura da coluna de mercúrio e, portanto teria um
valor equivalente, sendo:
patm = dHggh
patm = 13,6.103.9,8.76.10-2
patm = 1,013.105N/m2
patm = 1,013.105N/m2 = 76 cmHg = 760 mmHg = 1 atmosfera (atm) = 1,013bar
Na Indústria (atm e kg/cm2)
.
VARIAÇÃO DA PRESSÃO ATMOSFÉRICA COM A ALTITUDE
A diminuição da pressão com a altitude é decorrente do fato de que
à medida que a altitude aumenta, o ar fica mais rarefeito e menor é
a espessura da camada da atmosfera que esta acima daquele local.
Qualquer aparelho destinado a medir a pressão atmosférica é
denominado de Barômetro.
VARIAÇÃO DA PRESSÃO ATMOSFÉRICA COM A ALTITUDE
ALTITUDE (m) PRESSÃO ATMOSFÉRICA
(cm Hg)
0
76 (10,33 mH2O)
500
72
1.000
67
2.000
60
3.000
53 (7,21 mH2O)
APLICAÇÕES DA PRESSÃO ATMOSFÉRICA
1- usando canudinho para se tomar um refresco: Quando
você suga a extremidade do canudinho, você está retirando
o ar do interior do canudinho, diminuindo a pressão do ar
no seu interior e a pressão atmosférica atuando sobre o
líquido, empurra o líquido fazendo com que ele suba no
interior do canudinho.
2- A nossa respiração: quando ampliamos o volume da
nossa caixa toráxica, abaixando o diafragma. Assim, a
pressão nos pulmões se torna menor e, de maneira
semelhante ao que ocorre no canudinho, a pressão
atmosférica empurra o ar para dentro deles.
3- Bomba de vácuo: No século XVII, foi realizada na
cidade de Magdeburgo, na Alemanha, uma experiência
para demonstrar a força da pressão atmosférica. O prefeito
da cidade, Otto Von Guericke, inventou um tipo de bomba
capaz de retirar a grande quantidade de ar de um
recipiente, esta bomba recebeu o Nome de bomba de vácuo.
Pressão Hidrostática
(pressão exercida por um líquido)
Um elemento sólido, colocado no
interior de um fluido em equilíbrio,
experimenta, da parte desse
fluido, forças perpendiculares às
suas superfícies.
Um líquido exerce pressão em todas as
direções sobre um corpo imerso em seu
interior.
Princípio de Pascal
PRESSÃO EXERCIDA POR UM LÍQUIDO EM REPOUSO – PRESSÃO
HIDROSTÁTICA
Seja um liquido ideal e em equilíbrio dentro de um recipiente. A pressão
atmosférica (Po) exerce uma pressão constante sobre toda a superfície livre do
líquido. Dentro do líquido a pressão aumenta de acordo com a profundidade. O
aumento de pressão dentro do líquido depende da natureza do líquido
caracterizado por sua densidade, d, da aceleração da gravidade, g, e da altura da
coluna de líquido (profundidade, h).
A pressão exercida, exclusivamente, pela coluna de líquido no ponto A (pressão
efetiva), indicado na figura, é dada pela expressão:
pef  d .g.h
PRESSÃO EXERCIDA POR UM LÍQUIDO EM REPOUSO – PRESSÃO
HIDROSTÁTICA
Seja uma coluna de um determinado fluido (líquido) de densidade l e altura h´.
Qual será a altura de uma coluna de água que produz a mesma pressão?
pliq  pH2O
Paradoxo Hidrostático
A pressão hidrostática independe da forma do recipiente.
Sendo líquidos iguais em alturas iguais, as pressões nos pontos A, B e C, são
iguais ou seja:
pA = p B = pC
Princípio de Pascal
Pressão Efetiva

É a pressão exercida por uma coluna de
fluido em um ponto O a uma profundidade h
da superfície do mesmo.
PL mL g
pef 

A
A
h
O
P
d LVg d L Ahg
pef 

A
A
pef  d L .g.h
Onde:
dL: Densidade do fluido
h: Profundidade
Pressão x profundidade em um fluido estático
Num fluido qualquer, a pressão não é a
mesma em todos os pontos.
Porém, se um fluido homogêneo estiver
em repouso, então todos os pontos numa
superfície plana horizontal estarão à mesma
pressão.
“A pressão a uma mesma profundidade de um
fluido deve ser constante ao longo do plano
paralelo à superfície”
A pressão em qualquer ponto de um
fluido estático depende apenas da
pressão atmosférica no topo do fluido e
da profundidade do ponto no fluido.
Patm
h1
h2
Teorema de Stevin
“A pressão absoluta num ponto de um líquido homogêneo, incompressível, de
densidade d e numa profundidade h é igual à pressão atmosférica (exercida
sobre a superfície deste líquido) mais a pressão efetiva”.
pabs  patm  pef
h
A
B
hA
hB
p  pabs  patm  dg h
h  hB  hA
Onde:
p: Diferença de pressão entre os pontos A e B.
 h: desnível entre os pontos A e B.
LEI DE STEVIN – PRESSÃO DEVIDA A UMA
COLUNA LÍQUIDA
Na figura ao lado, estão representados
os pontos 1 e 2, no interior de um fluido de
densidade d.
A diferença de nível entre esses
pontos é h.
Considere uma porção do líquido,
representada na figura por cor diferente. Esta
porção está em equilíbrio sob a ação de seu
próprio peso e das forças que o restante do
líquido exerce sobre ela. Estas forças estão
indicadas na figura.
Como o líquido está em equilíbrio, a
força resultante que atua no sistema tem que ser
nula.
1
F1 = p1.A
P = D.h.A
2
h
F2 = p2.A
W = (d.g).h.A = D.h.A
LEI DE STEVIN – PRESSÃO DEVIDA A UMA
COLUNA LÍQUIDA
Se o líquido está em repouso, tem-se que:
 FY = 0 e portanto:
p1.A + D.h.A - p2.A = 0

p2 – p1 = D.h
“A DIFERENÇA DE PRESSÃO
ENTRE DOIS PONTOS DA MASSA
DE UM LÍQUIDO EM EQUILÍBRIO É
IGUAL
À
DIFERENÇA
DE
PROFUNDIDADE MULTIPLICADA
PELO
PESO
ESPECÍFICO
DO
LÍQUIDO”
RESUMO: PRESSÃO DEVIDA A UMA COLUNA
LÍQUIDA
Supondo que há um ponto 1 na
superfície do líquido e um ponto
2 em uma profundidade h, a
pressão no primeiro ponto será a
pressão atmosférica local e a
pressão p2 no segundo ponto,
poderá ser obtida pela relação:
p 2  patm  D.h
patm
1
h
2
PRESSÃO EXERCIDA POR UM LÍQUIDO EM REPOUSO – PRESSÃO
HIDROSTÁTICA
Perfurando um recipiente fechado a diferentes alturas
Pode-se demonstrar, de uma forma muito simples, a variação de pressão
com a altura (profundidade).
Basta, para isso, fazermos perfurações num recipiente cheio de líquido
em posições diferentes.
O jorro sairá cada vez mais forte à medida que aumentarmos a altura da
coluna de líquido (isto é, nos pontos mais baixos). Isto é, a saída da água é
mais fraca nos buracos localizados mais acima, indicando, assim que
a pressão varia, aumentando com a profundidade.
PRESSÃO EXERCIDA POR UM LÍQUIDO EM REPOUSO – PRESSÃO
HIDROSTÁTICA
Observe, na animação a seguir, que a saída da água é mais fraca nos buracos
localizados mais acima, indicando, assim que a pressão varia, aumentando com a
profundidade.
Aplicações do teorema de Stevin
 Caixa d’água
 pressão no tubarão
patm
h
O
p Abs  patm  pef
p
Abs
pAbs  patm  d .g.h
é a pressão total que age no tubarão (ponto O)
Gráfico profundidade
da Pressão em função da
Pressão
> restart;
> with(plots):
> d[agua]:=0.01;
pabs
d
> g:=10;
> p[atm]:=1;
> p[t]:=p[atm]+d[agua]*g*h;
> plot([p[t]],h=0..50);
patm
profundidade
PRESSÕES ABSOLUTAS
Falando em pressões absolutas:
•A pressão existente sobre o nível da água em um reservatório tem valor 1
atm ou 10,33 mH2O;
•A pressão na tubulação de sucção de uma bomba ou de um aspirador de
pó tem valor positivo e menor que uma atmosfera;
•O vácuo absoluto recebe valor zero.
p 2  patm  d .g.h
p2
d.g.h
Pressão Atmosférica
1 atm = 10,33
mH2O
(Vácuo absoluto)0
PRESSÕES RELATITAS
Falando em pressões relativas:
•A pressão existente sobre o nível da água em um reservatório tem valor
zero;
•A pressão na tubulação de sucção de uma bomba ou de um aspirador de
pó tem valor negativo;
•O vácuo absoluto recebe valor menos 1 atm ou – 10.33 mH2O.
p 2  d .g.h
p2
d.g.h
P. Atmosférica
PRESSÕES
POSITIVAS
0
PRESSÕES
NEGATIVAS
(Vácuo absoluto) -10,33 mH2O
Conseqüências do Teorema de Stevin
1- Cálculo da pressão atmosférica (experiência de Torricelli);
2- Linha Isobárica;
3- Princípio de Pascal;
Linha isobárica
É uma linha imaginária que passa por todos os pontos,
de um líquido em equilíbrio, que têm a mesma pressão.
LINHAS ISÓBARAS
Todos os pontos, no interior de um mesmo líquido em equilíbrio, situados em uma
mesma horizontal (mesma altura) possuem a mesma pressão.
pA  pB  pabs  patm  dgh
patm
h
A
B
hA = hB
h = hA - hB = 0
Onde:
h = 0 desnível entre os pontos A e B.
Na figura acima, as pressões nos pontos A e B são iguais, pois pertencem à
mesma linha isóbara (estão à mesma profundidade).
VASOS COMUNICANTES
São conjuntos formados por dois ou mais recipientes, que não precisam ter as
mesmas formas, que se interligam por meio de um tubo.
Nos vasos comunicantes, a superfície se mantém na mesma horizontal,
independentemente da forma do recipiente.
Princípio de Pascal
Sendo líquidos iguais em alturas
iguais, as pressões nos pontos A,
B, C, D e E, são iguais ou seja:
pA = pB = pC = pD =
pE
Aplicação de Vasos Comunicantes em forma de U, contendo dois
LÍQUIDOS NÃO MISCÍVEIS EM EQUILÍBRIO, as alturas dos líquidos
são medidas em relação a um mesmo nível (linha de nível ou isóbara).
patm
patm
p1  p2
patm  d A .g.hA  patm  d B .g.hB
d A .hA  d B .hB
Exemplo 2:
Líquido
dB = ?
água
p1  p2
patm  d A .g.2l  patm  d B .g.  d  2l 
dB
2l

d água d  2l
VARIAÇÃO DA PRESSÃO COM A PROFUNDIDADE X EFEITOS
FISIOLÓGICOS.
O organismo humano é uma composição de estruturas sólidas e líquidas,
que são praticamente incompressíveis, em conseqüência, variações de
pressão externa provocam alterações sobre estas estruturas. A presença
de gases no organismo provoca, ainda, uma aceleração nessas mudanças.
O ouvido médio é uma cavidade de ar através do tímpano, dentro da
cabeça. Se a pressão nessa cavidade não for igual à pressão no lado externo
do tímpano, a pessoa pode sentir-se com mal-estar. Ela pode evitar isto
equalizando as pressões através do bocejo, da mastigação ou da
deglutinação.
Quando uma pessoa mergulha na água, a equalização das
pressões nos dois lados do tímpano, pode não ocorrer, e uma
diferença de 120 torr pode ocasionar a sua ruptura. Uma
maneira de equalizar essas pressões é aumentar a pressão da
boca, mantendo a boca e o nariz fechados e forçando um pouco o
ar dos pulmões para as trompas de Eustáquio.
A pressão dos pulmões, a qualquer profundidade atingida num
mergulho, é maior que a pressão parcial do oxigênio faz com que
um maior número de moléculas desse gás seja transferido para o
sangue.
Dependendo
desse
acréscimo,
pode
ocorrer
envenenamento por oxigênio que é a oxidação de enzimas dos
pulmões, que pode provocar convulsões.
EQUAÇÃO DA HIDROSTÁTICA
Pequeno elemento do fluido (coluna de ar) com a forma do recipiente,
de densidade (d) e espessura dy.
Massa de ar contida em dy: Ad  dy
Peso de ar contido em dy: dgA  dy
A
-Adp
p+dp
Forças de pressão:
Ascendente:
dy
y
Forças na horizontal se anulam, pois a = 0.
dgAdy
p
Referencial ( y = 0)
Descendente:
Força de pressão
resultante:
Ap
A  ( p  dp)
A  p  A  ( p  dp)   A  dp
A força de presssão resultante está dirigida
para cima, já que dp é uma quantidade
negativa.
EQUAÇÃO DA HIDROSTÁTICA (continuação)
Consideremos que cada partícula de ar está em
equilibrio
A
-Adp
O peso equilibra as forças de pressão D
p+dp
 A  dp  dgA  dy
dy
y
dgAdy
p
Referencial ( y = 0)
dp
  gd
dy
Esta expressão nos mostra que a pressão em um
fluido em equilíbrio varia com a altura, em
relação a um certo referencial. A pressão diminui
(-dp) enquanto a elevação aumenta (+dy). A causa
da variação de pressão (dp) é o peso por unidade
de área, em uma seção de camada fluida
compreenedida entre os pontos entre os quais a
diferença de pressão está sendo medida.
EQUAÇÃO DA HIDROSTÁTICA => Teorema de Stevin
Se p1 é a pressão na altura y1 e p2 a pressão na altura y2, acima do
nível de referência, temos:
p2
p2 = po
y2
 dp    dg.dy
h = y2 – y1
p1
y1
y2
p2  p1    dg.dy
y1
Considerando d e g constantes, temos:
y2
p1 = p
y1
Referencial ( y = 0)
p2  p1  dg.  y2  y1 
Tomando y1 como arbitrário e p1 = p. E p2 = po na
superfície livre do fluido em uma altura y2. Logo,
temos:
h = y2 – y1 (profundidade)
po  p  dgh
p  po  dgh
Isso mostra que a
pressão é a mesma
em todos os pontos de
mesma profundidade
EQUAÇÃO DA HIDROSTÁTICA => Teorema de Stevin
EQUAÇÃO DA HIDROSTÁTICA => Teorema de Stevin
Exemplo 1: Podemos obter uma idéia razoável da variação da pressão
com a altitude na atmosfera terrestre supondo que a massa específica
(d) seja proporcional à pressão. Isto está muito próximo da verdade se
a temperatura do ar permanecer a mesma em qualquer altitude e supondo
que a variação de g com a altitude seja desprezível, vamos determinar a
pressão p a uma altura y, acima do nível do mar.
Como d é proporcional a p, temos:
Logo, temos: dp
dy
Portanto,
  gd
dp
p
  gdo
dy
po
p
d
p

 d  do
po
do po
do
dp
 g
dy são conhecidos ao
p
po
nível do mar.
Integrando essa expressão, desde po em y = 0 (nível do mar) até p no
ponto y (acima do nível do mar), obtemos:
p
do
dp
p p   g po
o
y2  y

y1  0
dy
do
p
ln
 g
y
po
po
p  po e
g
do
y
po
Exemplo 1 (continuação):
g  9,8m / s , do  1, 2kg / m  a 20 C  , po  1,01.10 Pa  1atm
2
3
o
5
do
ag
 1,16.104 m1  0,116km1
po
g
do
y
po
p  po e ay
p  e0,116 y
p  po e
dp
 dg  apo e ay  0,116.e0,116 y
dy
profundidade
altitude
MANOMETRIA
Manometria é o estudo dos
manômetros.
Manômetros são dispositivos
utilizados na medição de
pressão efetiva em função
das alturas das colunas
líquidas.
CLASSIFICAÇÃO DOS MANÔMETROS
Manômetro de coluna líquida:
• Piezômetro simples ou manômetro aberto;
• Tubo em U;
• Manômetro diferencial;
• Manômetro de tubo inclinado.
Manômetro metálico ou Bourdon.
MANÔMETRO ABERTO OU PIEZÔMETRO
Consiste de um tubo
transparente ligado ao interior
do recipiente que contém o
líquido. A altura do líquido
acima do ponto dá diretamente
a pressão nesse ponto.
Esse tipo de manômetro
é usado para medir pequenas
pressões.
h
p = D.h
EQUIPAMENTOS PARA MEDIDA DAS
PRESSÕES
MANÔMETRO TIPO BOURDON
EM BANHO DE GLICERINA
EQUIPAMENTOS PARA MEDIDA DAS
PRESSÕES
MANÔMETRO DIGITAL
EQUIPAMENTOS PARA MEDIDA DAS
PRESSÕES
MANÔMETROS TIPO TUBO EM U FEITOS
COM MANGUEIRA PLÁSTICA TRANSPARENTE
EQUIPAMENTOS PARA MEDIDA DAS
PRESSÕES
MANÔMETROS TIPO TUBO EM U FEITOS COM
TUBOS DE VIDRO
Exercício
1. Você está em pé sobre o chão de uma sala. Seja p a pressão média sobre
a pressão média sobre o chão debaixo das solas dos seus sapatos. Se você
suspende um pé, equilibrando-se numa perna só, essa pressão média passa a
ser:
a) P
b) p/2
c) 2p
d) p2
e) 4p
2.Um prego é colocado entre dois dedos que produzem a mesma força, de
modo que a ponta do prego é pressionada por um dedo e a cabeça do prego
pelo outro. O dedo que pressiona o lado da ponta sente dor em função:
a) da pressão ser inversamente proporcional à área para uma mesma
força.
b) da força ser diretamente proporcional à aceleração e inversamente
proporcional à pressão.
c) da pressão ser diretamente proporcional à força para uma mesma
área.
d) da sua área de contato ser menor e, em conseqüência, a pressão
também.
e) do prego sofrer uma pressão igual em ambos os lados, mas em sentidos
opostos.
3. Uma faca está cega. Quando afiamos, ela passa de:
a) área de contato
b)esforço
c) força d)pressão
e)sensibilidade
4. Um recipiente, de paredes rígidas e forma cúbica, contém gás à
pressão de 150 N/m2. Sabendo-se que cada aresta do recipiente é igual a
10 cm, a força resultante sobre cada uma das faces do recipiente, em
newtons, tem intensidade:
a) 1,5 . 10-1 b) 1,5 . 102
c) 1,5
d) 1,5 . 103
e)1,5 . 10
5. Quatro cubos metálicos homogêneos e iguais, de aresta 10-1 m, achamse dispostos sobre um plano. Sabe-se que a pressão aplicada pelo conjunto
sobre o plano é 10 N/m2. Adotando g = 10/s2, podemos afirmar que a
densidade dos cubos será aproximadamente de:
a) 4.103 Kg/m3
b) 2,5 . 103 Kg/m3 c) 103 Kg/m3 d) 0,4 . 103 Kg/m3
e) 0,25 . 103 Kg/m3
6. Submerso em um lago, um mergulhador constata que a pressão
absoluta no medidor que se encontra no seu pulso corresponde a 1,6 . 105
N/m2. Considere a massa específica da água sendo 103 Kg/m3 e a aceleração
da gravidade. 10 m/s2. Em relação à superfície, o mergulhador encontra-se
a uma profundidade de:
a) 1,6 m
b) 5,0 m
c) 6,0 m
d) 10 m
e) 16 m
7. As paredes externas de um submarino podem suportar uma diferença
de pressão máxima de 10 atm. Considerando que um atm equivale a 105
N/m2, que a densidade da água do mar é 103 Kg/m3 e que o interior do
submarino se mantém à pressão de um atm, a profundidade máxima que
pode ser alcançada por esse submarino é, em metros:
a) 10
b) 400
c) 50
d) 1.000
e) 100
8. A figura mostra um frasco contendo ar conectado a um manômetro de
mercúrio e tubo U. O desnível indicado vale 8cm. A pressão atmosférica é
69 cmHg. A pressão do ar dentro do frasco, em cmHg, é:
a) 8
b) 77 c) 69 d) 76
9. Para medir a pressão P exercida por um gás contido num recipiente,
utilizou-se um manômetro de mercúrio, obtendo-se os valores indicados na
figura. A pressão atmosférica local, medida por um barômetro, indicava 750
mmHg. O valor de P em mmHg, é:
a) )150
b) 900
c) 170
d) 940
e) 750
10. A transfusão de sangue é feita ligando-se à veia do paciente um tubo
que está conectado a um bolsa de plasma. A bolsa situa-se sobre uma altura
aproximadamente de 1,0 m acima do braço do paciente. A pressão venosa é
4 mmHg. Despreze a pressão do ar no interior da bolsa do plasma. Qual a
pressão do plasma ao entrar na veia em mmHg?
a) 73,5
b) 83,5
c) 100
d) 63,5
e) 45,8
11. Analisando a questão anterior o que aconteceria se o tubo fosse
ligado numa artéria, cuja pressão média é 100 mmHg? (Dados: densidade
do plasma = 1 g/cm3. Considere Patm= 750 mmHg e g = 9,8m/s2).
a) o sangue fluiria para dentro da bolsa. b) não haveria fluxo sangüíneo.
c) o plasma fluiria para dentro da artéria. d) a velocidade do plasma
aumentaria.
e) nada disso pode ocorrer.
12 Suponha que o sangue tenha a mesma densidade que a água e que o
coração seja uma bomba capaz de bombeá-lo a uma pressão de 150 mmHg
acima da pressão atmosférica. Considere que uma pessoa, cujo cérebro está
50 cm acima do coração e adote, para simplificar, 1 atm = 750 mmHg. Até
que a altura o coração consegue bombear o sangue?
a) 10,4 m b) 15,6 m c) 12,24 m d) 21,2 m e) 14,24 m
13. Suponha que essa pessoa esteja em um outro planeta. A que
aceleração gravitacional máxima (em m/s2) ela pode estar sujeita, para que
ainda receba sangue do cérebro? (Dados: densidade do mercúrio = 13,6
g/cm3; densidade da água = 1 g/cm3; g = 10 m/s2).
a) 244,8 b) 98,6 c) 200,6
d) 144,8
e) 30,8
14. Ao nível do mar, um barômetro de mercúrio indica 76 cm,
equivalente a pressão de 1,0 x 105 N/m2. A medida que subimos a partir
do nível do mar para o alto da serra, ocorre uma queda gradual de 1
cmHg da pressão atmosférica para cada 100 metros de subida,
aproximadamente. Pode-se concluir que a pressão atmosférica numa
cidade a 900 m de altitude em relação ao nível do mar vale em Pa.
a) 88.000
b) 6.700 c) 82.000
d) 670
e) 67.000
15. Num vaso cilíndrico, de raio 5 cm, é colocado mercúrio até à altura de
50 cm. Sendo 13,6 g/cm3 a densidade do mercúrio, 1.000 cm/s2 a
aceleração da gravidade e 106 bárias a pressão atmosférica, determine:
a) a pressão total no fundo do vaso;
b) a pressão total no fundo do vaso;
c) a intensidade da força atuante no fundo do vaso.
16. Ao projetar o sistema de fornecimento de água de uma cidade, um
técnico tem que dimensionar as caixas-d’águas de cada bairro, levando em
conta as leis da física. Acerca da maneira mais adequada de desenvolver tal
projeto, analise as seguintes proposições:
I. o técnico deve projetar caixas d’águas tanto mais largas quanto mais
longe, em média, estiverem as residências.
II. caixas d’águas de diferentes formatos apresentam diferentes
eficiências quanto ao fornecimento de água.
III.. Num sistema de abastecimento de água onde nenhuma bomba está
presente, o agente físico responsável pela pressão da água nos canos à
força gravitacional.
IV. a pressão da água no interior da tubulação de uma residência independe
do diâmetro dos canos.
São corretas:
a) II e III b) III e IV
c) II e IV
d) Todas
e) I e IV
17. A figura mostra como três líquidos imiscíveis de
densidades diferentes se dispõe num tubo em U,
sendo dadas as densidades do líquido 1
(d1 = 0,4 g/cm3) e do líquido 3 (d3 = 2,5 g/cm3),
determine a densidade d2 do líquido 2.
18. Um garoto toma refrigerante utilizando um canudinho. Podemos
afirmar corretamente que, ao puxar o ar pela boca, o menino:
a) reduz a pressão dentro do canudinho.
b) aumenta a pressão dentro do
canudinho. c) aumenta pressão fora do canudinho. d) reduz a pressão
fora do canudinho.
e) reduz a aceleração da gravidade dentro do
canudinho.
19. Um técnico em saúde sabe que para o soro penetrar na veia do
paciente. O nível superior do soro deve ficar acima do nível da veia,
conforme a figura abaixo. Considere a aceleração da gravidade g = 10 m/s2
e a densidade do soro de 1,0 g/cm3. A pressão exercida, exclusivamente,
pela coluna de soro na veia do paciente, em pascal, é de:
a) 8
b) 8.000
c) 80
d) 80.000
e) 800
20. Uma mangueira transparente, com as extremidades abertas e
parcialmente cheia de água, é usada por um pedreiro para determinar se os
dois pontos estão no mesmo nível (h). A figura abaixo ilustra esse
procedimento. Como uma pessoa que conhece os princípios da física
justificaria a afirmação do pedreiro que os pontos A e B estão no mesmo
nível
a) devido à viscosidade da água, as colunas nos dois lados da mangueira
atingem o mesmo nível.
b) O empuxo é o responsável por nivelar as colunas da água nos dois lados.
c) Os pontos A e B estão submetidos à mesma pressão e portanto estão no
mesmo nível.
d) Devido ao princípio de Pascal, uma variação de pressão num ponto do
líquido não é transmitido de maneira uniforme aos outros pontos, a não ser
que estes pontos estejam no mesmo nível.
e) Não depende da altitude.
Princípio de Pascal
“ Qualquer acréscimo de pressão exercido num ponto de um fluido
em equilíbrio se transmite integralmente a todos os pontos desse
fluido e às paredes do recipiente que o contém”.
Esquema das forças que atuam em um elemento de uma massa
líquida em equilíbrio.
Fy1
Fx1
Fx2
Se o elemento está em equilíbrio,
 Fx = 0 e  Fy = 0, portanto:
px = py
Fy2
Obs: O Princípio Pascoal é uma conseqüência da Lei de Stevin.
Vejamos, a seguir, algumas aplicações do Princípio Pascal:
A importância desta lei está na comunicabilidade das pressões entre
pontos de uma massa fluida. Os elevadores, prensas e freios
hidráulicos são fundamentados nessa lei.
Prensa Hidraúlica
A prensa hidráulica funciona baseada no princípio de Pascal. O
dispositivo é constituído de dois recipientes de diâmetros diferentes
ligados por um duto, em sua parte inferior. Dentro dele coloca-se um
fluido e nas extremidades são colocados êmbolos ou pistões.
p1  p2
 = F.x
 1=  2
F1 F2

A1 A2
Trabalho de uma força
F 1 x 1= F 2x 2
Volume de líquido deslocado
V 1= V 2
A 1 x 1= A 2x 2
aplicações do princípio
Prensa Hidráulica e Freio Hidráulico (a finalidade desses
dispositivos é multiplicar a força)
conservação do trabalho numa prensa hidráulica
F 1 x 1= F 2x 2
Volume de líquido deslocado
V 1= V 2
A 1 x 1= A 2x 2
ELEVADORES HIDRÁULICOS
São equipamentos utilizados em postos de combustíveis. Os
automóveis são erguidos por uma prensa hidráulica, para que possam
ser vistoriados pela parte de baixo. Aplica-se uma pequena força no
êmbolo de menor área, consegue-se no êmbolo maior uma força
centenas de vezes maior, suficiente para elevar um automóvel.
Portanto a prensa hidráulica é um multiplicador de forças.
Multiplicador de Forças
FREIOS HIDRÁULICOS
Os freios hidráulicos dos automóveis também funcionam baseados no
princípio de Pascal. Aplica-se uma força no pedal do freio o que provoca
uma variação de pressão que se transmite integralmente, por meio do
fluido, o fluido comprime as lonas contra o tambor, preso a roda, com
uma força bem maior que aquela aplicada no pedal, atuando para impedir
a rotação da roda.
Freio hidráulico do automóvel
Num freio hidráulico de
um automóvel, o pistão
em contato com o pedal
tem área de 1 cm2.
Cada um dos pistões que
acionam as lonas do
freio tem área de 10
cm2. Se o motorista
pisa no freio com uma
força de 20 N, que
força cada lona exerce
na roda do automóvel?
PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES – UMA FORÇA CHAMADA EMPUXO.
Quando você mergulha nas águas do mar ou de uma piscina, deve observar que se
sente mais leve, como se a água estivesse empurrando seu corpo para cima,
diminuindo seu peso. Isto ocorre porque a água exerce uma força sobre o seu corpo
dirigida verticalmente para cima, denominada empuxo. Quem observou esse
fenômeno pela primeira vez foi o sábio grego Arquimedes (287-212a.C), também
durante um banho.
PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES
“Todo corpo total ou parcialmente imerso em um fluido sofre a ação de uma força –
denominada empuxo – dirigida verticalmente para cima, cujo módulo é igual ao
módulo do peso do volume do fluido deslocado”.
Observe que o aumento no nível do volume do líquido é exatamente igual ao
volume do corpo nele imerso V. O empuxo sobre o corpo corresponde,
exatamente, ao peso deste volume deslocado, assim temos:
Pliq  mliq .g  dliq .Vliq .g  E
E  dliq .g.Vliq
Onde dliq é a densidade do líquido e Vliq é o volume de líquido deslocado e E
é o empuxo.
PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES – UMA FORÇA CHAMADA EMPUXO.
O empuxo aparece porque as forças de pressão sobre o corpo são maiores em
pontos de maior profundidade como as forças que atuam não têm módulos
iguais, a resultante delas não será nula.
Agora vejamos, posteriormente, alguns casos:
1. Quando o peso do corpo é maior que o empuxo (P > E), a resultante
das forças está dirigida para baixo e o corpo afunda no líquido, nessas
condições a densidade do corpo é maior que a densidade do líquido.
2. Quando o peso do corpo é igual ao empuxo (P = E), a resultante das
forças é nula e o corpo, totalmente mergulhado, permanece em repouso na
posição em que foi abandonado. Nessas condições a densidade do corpo é
igual a densidade do líquido.
Quando um submarino está em repouso dentro da água o peso é igual ao
empuxo e a densidade média do submarino é igual a densidade da água.Um
navio flutuando, em equilíbrio, parcialmente mergulhado na água.
3. Quando o peso do corpo é menor que o empuxo (P < E), a resultante
das forças está dirigida para cima e o corpo abandonado sobe para a
superfície do líquido. Nessas condições a densidade do corpo é menor que
a densidade do líquido. Nesta situação o corpo, ao atingir a superfície ao
emergir passa a deslocar menor volume de líquido e o empuxo sobre ele
torna-se menor. O corpo, então, fica em equilíbrio, parcialmente
mergulhado, em posição em que o empuxo se iguala ao peso (E = P).
Um navio flutuando, em equilíbrio, parcialmente mergulhado na água.
EP
E P
E P
Maior densidade da água,
maior empuxo!
O empuxo só depende da densidade e do volume de
líquido que foi deslocado.
Exercícios
1. Os princípios estudados em hidrostática são fundamentais para a
compreensão de fenômenos como a determinação das pressões
sangüínea e intra-ocular, o comportamento dos animais subaquáticos e
até mesmo o funcionamento de um submarino. Com base nesses
princípios analise as afirmações abaixo.
I. Se um líquido, contido em um recipiente, tem sua superfície inclinada
conforme mostra a figura 1, pode-se assegurar que o recipiente está em
movimento retilíneo uniforme.
II. A figura 2 mostra uma peça metálica suspensa por um fio e imersa na
água. Ao se dissolver açúcar no meio líquido, a tensão do fio diminuirá.
III. Na figura 3, é mostrado num recipiente, em queda vertical, contendo
um determinado líquido. Nessa circunstância, a pressão no ponto A é
igual à pressão do ponto B.
IV. Para que um peixe se mantenha imóvel, quando imerso na água, sua
densidade média deve ser igual à densidade do meio em que está
imerso.
Estão corretas:
a) I e II.
b) II, III e IV.
c) I, III e IV.
d) Somente I e IV.
e) Somente II e IV.
2. Feita de um material cuja densidade é de 0,7 g/cm3, uma esfera maciça é
totalmente mergulhada no interior de um tanque cheio de água e
abandonada a seguir. Desprezando as forças de atrito, analise as
seguintes proposições:
I. O empuxo que atua na esfera é maior que o seu peso.
II. A esfera permanece em equilíbrio na posição em que foi abandonada.
III. A esfera sobe no interior do líquido com movimento uniforme
acelerado.
IV. A esfera sobe com velocidade constante.
a) I e II são corretas.
b) Somente III está correta.
c) Somente IV está correta.
d) II e III estão corretas.
e) Todas estão erradas, pois a esfera desce com movimento uniforme
variado.
3. No teste anterior, após ser abandonada, a esfera adquire uma aceleração
cujo o módulo é: (g = 10 m/s2).
a) Zero
b) 8 m/s2
c) 0,8 m/s2
d) 10 m/s2
e) 2,5 m/s2
4. A tubulação da figura contém líquido incompressível que está retido pelo
êmbolo 1 (de área igual a 10,0 cm2) e pelo êmbolo 2 (de área igual a 40,0
cm2). Se a força F1 tem módulo igual a 2,00N, a força F2, que mantém o
sistema em equilíbrio, tem módulo igual a:
a) 0,5 N
b) 8,0 N
c) 800,0 N
d) 2,0 N
e) 500,0 N
5. No macaco hidráulico representado na figura, sabe-se que as áreas das
seções transversais dos vasos verticais são A1 = 20 cm2, A2 = 0,04 m2.
Qual é o peso máximo que o macaco pode levantar quando fazemos uma
força de 50 N em A1?
a) 100 N
b) 1.000 kgf c) 1.000 N d) 10.000 kgf
e) 200 kgf
6. Um bloco de madeira, quando posto a flutuar livremente na água, cuja
massa específica é 1,00 g/cm3, fica com 44% do seu volume fora da
água. A massa específica média dessa madeira, em g/cm3, é:
a) 0,44
b) 1,44 c) 0,56
d) 1,56 e) 1,00
7. Uma esfera de massa 180g é colocada num recipiente contendo um liquido
de densidade 1,2 g/cm3. O volume da esfera é de 200 cm3. A densidade
da esfera, em g/cm3, e o volume de líquido deslocado pela esfera, em
cm3, valem, respectivamente:
a) 0,90 e 150
b) 0,90 e 180
c) 0,90 e 200 d) 0,32 e 180 e) 0,32 e
200
8. Uma lata com tampa apresenta volume de 20 dm3 e massa de 6,0 kg.
Adote g = 10 m/s2 e a densidade da água d = 1,0 g/cm3. A força mínima
que se deve exercer para que a lata permaneça afundada e água é de:
a) 14 N
b) 260 N
c) 140 N
d) 60 N
e) 200 N
9. Um sólido flutua em água com 1/8 de seu volume imerso. O mesmo corpo
flutua em óleo com 1/6 de seu volume imerso. Determine a relação
entre densidade do óleo d0 e a densidade da água da.
10. Um cilindro de chumbo de raio 2 cm e altura 10
cm, encontra-se totalmente imerso em óleo de
massa específica 0,8 g/cm3 e preso a uma mola
de constante elástica k = 1,5 N/cm. É sustentado
por um fio ideal, que passa por uma polia, sem
atrito, como mostra a figura a seguir. Determine
a intensidade da carga Q para que a deformação
sofrida pela mola seja 4,0 cm. Dados: g = 9,8
m/s2; massa específica do chumbo = 11,4 g/cm3.
Analise os casos:
a) A mola está comprimida.
b) A mola está
distendida.
11. Um paralelepípedo de altura 1,2 m e área da base igual a 1 m2 flutua em
água com 0,4 m imerso. Determine a densidade do paralelepípedo em
relação à água.
12. Um navio de 100 toneladas, após receber uma certa quantidade de
sacas de café, de 60 kg cada, passou a ter um volume submerso V = 160
m3. Quantas sacas de café entraram no navio se a densidade da água é
1,0 g/cm3?
13. Uma esfera maciça e homogênea, de 24 cm3 de volume, está com,
exatamente metade de seu volume submerso, em equilíbrio, dentro
de um líquido de 2 g/cm3 de densidade, contido num recipiente
cilíndrico de 16 cm2 de base.
a) Qual a densidade do material da esfera?
b) Retirando a esfera, qual a variação do nível ao longo da altura do
cilindro?
14. Uma jangada de madeira é constituída de toras, cujo volume é de
aproximadamente 100 litros cada. A densidade de madeira é 0,8 kg/l.
Três pessoas de 70 kg cada fazem com que a jangada fique com 10% de
seu volume emerso em água de densidade 1 kg/l. Determine quantas
toras compõem a jangada.
15. Um iceberg flutua no mar. A densidade da água no mar é 1,025 g/cm3 e
a densidade do gelo de que é formado o iceberg é 0,918 g/cm3.
Determine a fração V, do volume do iceberg que permanece imerso em
relação ao volume total.
16. A massa de um objeto feita de liga ouro-prata, é 354g. Quando imerso
na água, cuja massa específica é 1,00 g/cm3 e a da prata é 10,0 g/cm3.
Determine as massas de ouro e de prata contidas no objeto.
PROFESSOR: Jordan Del Nero
[email protected]
Hidrodinâmica
Trata do estudo do escoamento de fluidos
(líquidos e gases) através de tubos.
Um fluido é toda substância que pode escoar
facilmente e quando submetido a pequenas forças
muda de forma.
Características dos fluidos:
Mobilidade molecular
Ausência de forma própria
Empuxo
Mecânica de fluido
contínuo
Classificação
viscoso
não viscoso
(v = 0)
laminar
compressível
turbulento
incompressível
compressível
incompressível
Hidrodinâmica (Escoamento de Fluidos)
Fluidos ideais em movimento
O movimento de fluidos (escoamento) reais é complexo e ainda não é
inteiramente compreendido. Por exemplo, não existe uma compreensão
clara sobre o fenômeno das turbulências.
Iremos restringir a nossa análise aos fluidos ideais.
Fluidos ideais: são aqueles que apresentam um comportamento bem mais
simples, e principalmente, sabemos analisar os seus movimentos.
Características dos fluido ideais:
- escoamento estacionário;
- escoamento incompressível;
- escoamento não viscoso;
- escoamento irrotacional.
Hidrodinâmica (Escoamento de Fluidos)
Uma das maneiras de descrever o movimento dos fluidos (escoamento)
consiste em imaginá-los divididos em elementos infinitesimais de volume,
que podemos chamar de partículas do fluido, e acompanhar o movimento
de cada uma delas.
Tarefa difícil, pois teríamos as coordenadas (x,y,z) da partícula em
função do tempo (t). Logo,
Em to, teríamos (xo;yo;zo) e em t teríamos x(xo;yo;zo;t), y(xo;yo;zo;t)
e z(xo;yo;zo;t), assim descreveríamos o movimento do fluido. Este
tratamento, que é uma generalização direta dos conceitos da mecânica
das partículas, foi desenvolvido inicialmente por Joseph Louis Lagrange
(1736-1813).
Outro tratamento, devido a Leonhard Euler (1707-1783), que é mais
conveniente na maioria dos casos e o que adotaremos. Especificamos a
densidade e a velocidade do fluido em cada ponto do espaço, a cada
instante. Descrevemos o movimento do fluido, especificando a densidade
(x,y,z,t) e a velocidade v(x,y,z,t), no ponto (x,y,z), no instante t.
Características do escoamento dos fluidos
1- o escoamento de um fluido pode ser estacionário (v = cte e pequenas =>
córrego que escoa mansamente) ou não-estacionário ( v = f(t) =>
escoamento turbulentos como nas cachoeiras e queda d´água, a v =
variável => v = f(x,t)).
dv / dt  0
(estacionária)
2- o escoamento de um fluido pode ser rotacional ou irrotacional ( w = 0
=> roda de pás imersa em um fluido móvel. A roda se move sem girar. Caso
contrário, é rotacional). O escoamento rotacional abrange movimentos
turbulentos (redemoinhos).
   0
(irrotacinal)
3- o escoamento de um fluido pode ser compressível ou incompressível
((x,y,z,t) = cte => líquidos, gás incompressível (v < vsom)). 
t
0
4- o escoamento de um fluido pode ser viscoso (forças de atrito,
dissipação de energia) ou não-viscoso .
Obs: Limitaremos nosso estudo da dinâmica de fluidos ao escoamento
estacionário, irrotacional , incompressível e não viscoso.
Hidrodinâmica (Escoamento de Fluidos)
Concluindo: Euler foi o primeiro a reconhecer que as leis dinâmicas para os
fluidos só podem ser expressas de forma relativamente simples se supormos que
o fluido é incompressível e ideal, isto é dizer, que podemos desprezar os efeitos
de rolamento e a viscosidade. Como isto nunca é assim no caso dos fluidos reais
em movimento, os resultados dessa análise só pode servir como estimação para
fluxos em que os efeitos da viscosidade são pequenos.
Fluxos incompressíveis e sem rolamento
• Estes fluxos cumprem o chamado teorema de Bernoulli, que afirma que a
energía mecânica total de um fluxo incompressível e não viscoso (sem
rolamento) é constante ao longo de uma linha de corrente. As linhas de
corrente são linhas de fluxo imaginário que sempre são paralelas a direcão do
fluxo em cada ponto, e no caso do fluxo uniforme coincide com a trajetória
das partículas individuais do fluido.
Hidrodinâmica (Escoamento de Fluidos)
ESCOAMENTO ESTACIONÁRIO
Um escoamento é dito estacionário quando a sua velocidade, em qualquer
ponto, for constante, ou seja, não depende do tempo. Isto significa que
cada partícula, ao passar por um ponto qualquer, P, por exemplo, segue a
mesma trajetória das partículas que passaram anteriormente por este
ponto P. Estas trajetórias são chamadas linhas de corrente ou linhas de
fluxo.
dv
0
dt
Qualquer partícula que passe pelos pontos P ou Q, descreve a mesma linha
de corrente, se o escoamento for estacionário, e com a mesma
velocidade.
Hidrodinâmica (ESCOAMENTO DOS
FLUIDOS)
ESCOAMENTO ESTACIONÁRIO
dv
0
dt
Exemplo: campo de velocidades ao redor de uma asa.
Hidrodinâmica (ESCOAMENTO DOS
FLUIDOS)
ESCOAMENTO ESTACIONÁRIO
Resumindo:
a) Se uma das partícula do líquido passar por um ponto A e
descreve uma trajetória (linha de corrente), todas as outras
que passarem também pelo ponto A descreverão a mesma
linha de corrente.
b) Se uma das partículas de uma linha de corrente passar
pelo ponto A com velocidade v
todas as outras
partículas que passarem pelo mesmo ponto A, terão a
mesma velocidade v.
c) Duas linhas de corrente nunca se cruzam.
Hidrodinâmica (ESCOAMENTO DOS
FLUIDOS)
ESCOAMENTO TURBULENTO
Quando não obedece nenhuma das propriedades
citadas anteriormente
FLUIDO IDEAL
incompressível, com densidade constante e sem viscosidade
Viscosidade é a medida do efeito de fricção dentro do fluido.
Aplicando o princípio de conservação da quantidade de movimento a
um elemento de volume do fluido podemos encontrar as equações de
movimento para v. Estas equações são conhecidas como equações de
Euler.
dm  .dV
m    .dV
dm  .dx.dA
dm   v.dt.dA
m  dt   v.dA

   .dV    v.dA
t
  
   t .dV      v  .dV
(equação da continuidade
da hidrodinâmica).
0

  v  
0
t
Fluido incompressível  = cte.
.v  0  v  0
FLUIDO IDEAL
A equação de movimento de Euler para um fluido é:

  v  
0
t
dv
1
 f  p
dt

ou
v
1 p
  v.  v  f 
t
 t
Leonhard Euler (1707-1783)
Onde: f é a força externa por unidade de massa que atua no fluido e p é a pressão.
Obs: Esses resultados só servem como estimação para fluidos em que os
efeitos de viscosidade são pequenos, isto é, não servem para fluidos reais
em movimento. Para o fluido perfeito ou ideal tem viscosidade nula (f = 0).
Equação da Continuidade – VAZÃO VOLUMÉTRICA
( )
Considere um tubo de seção reta A, por onde esteja fluindo um líquido com
velocidade v. Define-se vazão volumétrica a expressão.
v
V

t
V  A.s

s

v

t

A unidade de vazão é o litro/s; cm3/s; m3/s
  A.v
Equação da Continuidade
Um fluido incompressível que circula por um tubo de seção variável.
Igualamos as massas de fluido (conservação da massa) que atravessam
ambas as superfícies:
m   .V
V  A.s
m  . A.v.t
s  v.t
m1  m2
. A1.v1.t  . A2 .v2 .t
A1.v1  A2 .v2
A.v  cte
Obs: as massas só são iguais se não houver fonte nem sumidouro no tubo
e se o intervalo de tempo é pequeno.
Daniel Bernoulli
• Cientísta suíço nascido na Holanda que descobriu os
princípios básicos do comportamento dos fluidos.
Título de médico em 1721, foi professor de
matemática na Academia Russa de San Petersburgo
em 1725. Posteriormente, deu aula de filosofía
experimental, anatomía e botânica nas universidades
de Groningen e Basilea, na Suíça.
Estudou o escoamento dos fluidos e formulou o
teorema segundo o qual a pressão exercida por um
fluido é inversamente proporcional a sua velocidade
de escoamento.
Explicação da sua Lei
• Este teorema explica,
por
um
lado
a
sustentação que atua
sobre a asa de um
avião em vôo; por
outro lado explica a
resistência ao avanço
que experimenta os
objetos sólidos que se
movem através do ar.
Exemplos
• A sustentação de um avião no ar, é devido a forma da
asa deste, está diseñada para que o ar flua mais
rapidamente sobre a superfície superior que sobre a
inferior, o que provoca como consequência uma
diminuição da pressão na superfície de cima com
respeito a debaixo.
• A
resistência
ao
avance
pode
reduzir-se
significativamente empregando formas aerodinâmicas.
Quando o objeto não é totalmente aerodinâmico, a
resistência aumenta de forma aproximadamente
proporcional ao quadrado de sua velocidade com
respeito ao ar.
EQUAÇÃO DE BERNOUILLI
A equação de Bernouilli é uma equação fundamental para a mecânica dos fluidos.
É uma derivação das leis da mecânica clássica, esta equação é deduzir a partir do
princípio da conservação da energia que é aplicada para líquidos em escoamento
estacionário de um líquido não-viscoso e incompressível. Considere, então, a
figura abaixo, que mostra um líquido fluindo através de um tubo, de seções
diferentes.
Et  E p  Ec  Wt
(1)
E p  E p 2  E p1  mg  h2  h1   .V .g  h2  h1 
m 2
.V 2 2
2
Ec  Ec 2  Ec1   v2  v1  
v2  v1 

2
2
(2)
(3)
EQUAÇÃO DE BERNOUILLI
W1  F1s1  p1. A1.s1
W2  F2 s2  p2 . A2 .s2
F2
s2
F1
(4)
Wt  W1  W  p1. A1.s1  p2 . A2 .s2
Wt   p1  p2  .V
s1
(6)
Substituindo as equações (1) e (2) em (3) e igualando a equação (3) com a (6),
temos:
.V .g  h2  h1  
p1   .g.h1 
.V
2
 v12
2
2
2
v

v
 2 1    p1  p2  .V
 p2  .g.h2 
 v22
2
(Equação de Bernoulli para um fluido ideal, obra Hydrodynamica 1738 )
EQUAÇÃO DE BERNOUILLI
Obs: Para fluidos reais, isto é, com viscosidade temos um
termo de perda para o fluido ir de 1 até 2. Logo,
p1
2
1
2
2
v
p2
v
 g.h1 

 g.h2   H o

2

2
(Equação de Bernoulli para um fluido real com viscosidade)
H0 = perda de energía por rolamento desde 1 até 2.
p/ = energia de pressão por unidade de massa.
g.h = energia potencial por unidade de massa.
v2/2 = energia cinética por unidade de massa.
Equação de Bernoulli para fluxo em repouso:
v1 = v 2 = 0
p 1 +  . g . h 1 = p 2  . g . h 2
EQUAÇÃO DE BERNOUILLI
F2
s2
F1
s1
p   .g.h 
v
2
2
 cte
(Equação de Bernoulli para um fluido ideal, obra Hydrodynamica 1738 )
Na equação acima a parcela p + gh, corresponde à pressão estática, que existe
mesmo quando não há escoamento (v = 0); a parcela v2/2 chama-se pressão
dinâmica.
EQUAÇÃO DE BERNOUILLI
p   .g.h 
v2
2
 cte
Essa equação implica numa relação entre os efeitos de
pressão, da velocidade e da gravidade, e indica que a
velocidade aumenta quando a pressão diminui. Este
princípio é importante para predizer a força de
sustentação de um asa em vôo.
APLICAÇÕES
1. MEDIDOR DE VENTURI
O tubo de Venturi é um dispositivo utilizado para medir a velocidade
de escoamento de um fluido. O medidor é colocado em uma
canalização, cuja seção reta tem área A, por onde flui um líquido.
É feito um estreitamento de área A, onde é colocado um
manômetro.
Aplicando a equação de Bernouilli podemos calcular a velocidade de
escoamento do líquido através do tubo, tanto no ponto 1 como no
ponto 2.
d
v
p   .g.h 
H
d´
v
2
2
 cte
APLICAÇÕES
1. MEDIDOR DEVENTURI
v2
 v22
Pelo teorema de Bernoulli
2
2
p1 
Por outro lado
 p2 
A1
v2  v1
A2
v1 A1  v2 A2
Pela eq. da continuidade
Portanto
1
p1  p2 
 v12  A12  A22 
.
2 
2
2
A


p1  .g.H  p2   .g.  H  h   ´.g.h 
p1  p2  g.h  ´  
Igualando as duas equações, temos:
v  v1  A2
2  ´   g.h
 .  A12  A22 
APLICAÇÕES
2. TUBO DE PITOT
É um dispositivo utilizado para medir a velocidade de escoamento de
um gás. Considerando, por exemplo, o ar, este medidor pode ser
calibrado de modo a fornecer diretamente a elocidade, tornando-se,
nesse caso, um velocímetro. (por exemplo, nos aviões).
APLICAÇÕES
3. EQUAÇÃO DE TORRICELLI
É uma equação derivada da aplicação da equação de Bernouilli. Esta equação
mede a velocidade de escoamento de um líquido através de um orifício feito
em um recipiente.
p = patm
p   .g.h 
v2
2
p   .g.h  p 
v  2 gh
 cte
 v2
2
APLICAÇÕES
3. EQUAÇÃO DE TORRICELLI
p =Xp=
atm?
H
H-h
x
gt 2
y  H h 
2
t
2.  H  h 
g
x
v
t
2.  H  h 
x  2.g.h .
g
x  2. h.  H  h 
APLICAÇÕES
4. EMPUXO DINÂMICO
É uma força exercida sobre um corpo, tal como a asa de um avião,
paletas de uma lancha ou, ainda, sobre um aerofólio de um carro de
fórmula I, devido ao movimento desses corpos em um fluido.
Quando se exerce um empuxo dinâmico sobre um objeto, ele está
sempre associado à existência de linhas de corrente bem próximas
a um lado e relativamente afastadas do outro lado.
5. ASPIRADORES
Na figura abaixo representa o principio de funcionamento dos
aspiradores; ao soprar na extremidade de um tubo, aumenta a
velocidade do ar e diminui, conseqüentemente a pressão, com isto o
líquido sobe pelo tubo.
4.1 APLICAÇÕES DO TEOREMA DE
BERNOULLI
•
•
Aspiradores de perfume
Injetores de bombas hidráulicas
•
•
•
Trompas d’água
Deslocamento de telhas durante uma
tempestade
Sustentação dos aviões durante um vôo
•
Instrumento de medida de velocidade
de fluidos
GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
Jordan Del Nero
[email protected]
UFPA/ICEN/FF
Campus Universitário do Guamá
66.075-110 - Belém - Pará - Brasil
Sumário
1- Objetivo
2- Breve Introdução sobre fatos históricos e os antecessores de Newton
3- Lei da Gravitação Universal
4- Determinação experimental e teórica de G por Cavendish
5-Determinação de g
6- Variação de g com a altitude e latitude
7- Algumas medidas dos planetas do sistema solar
8- Efeito do movimento de rotação da Terra sobre g
9-Considerações de Energia no movimento de corpos próximos a corpos
maciços
10- Algumas aplicações e exemplos.
Principal Objetivo da Gravitação (Aula): Explicar 2 problemas que eram
motivos de especulações na época:
1- Queda dos corpos contra à Terra (Mecânica Terrestre);
2- Movimento dos planetas, incluindo o Sol e a Lua (Mecânica Celeste).
A priori, pensava-se que estes 2 problemas fossem distintos e que as leis
que as regiam também fossem diferentes.
Há séculos, o homem faz observações à respeito do movimento de corpos
no céu.
Antes de Cristo,
Chineses: observavam os eclipses e os cometas;
Navegantes: orientavam-se no mar através do movimento da Lua e das
Estrelas;
Gregos: procuravam explicar o fenômeno observado como sendo
manifestações divinas (causadas por deuses). Essa foi a 1a explicação
dada, os gregos recorriam aos mitos e a religião (Grécia Antiga).
1a. Tentativa para explicar cientificamente
o movimento dos “planetas” - Cinemática
dos Corpos Celestes.
Em sua principal obra Almagesto, Ptolomeu
descreve a posição do sistema solar, mas com
a terra ao centro e imóvel (sistema
planetário).
CLAUDIO
PTOLOMEU
Modelo Geocêntrico: Geo = Terra e cêntrico
= no centro.
Séc.II d.C (100-150)
Alexandria na
Grécia
Obs: defensores do modelo geocêntrico ->
Aristóteles, Platão e Hiparco (IV a.C)
Sistema geocêntrico formulado por Ptolomeu
Sistema Complexo – usa noções de geometria.
Movimento resultante dos 4 planetas, incluindo Lua e Sol
Epiciclo + deferente = epiciclóide.
Trajetória = circular
deferente
epiciclo
Em navegação astronômica, usa-se um referencial geocêntrico(expressão
como, “nascer do Sol”).
Sistema geocêntrico formulado por Ptolomeu
Sistema geocêntrico formulado por Ptolomeu
Epiciclo + deferente = epiciclóide.
Trajetória = circular
Duração do modelo Geocêntrico
Sua teoria ficou sustentada por mais de 14 séculos. Isso porque, os
religiosos acreditavam que o homem era o único ser vivo no
Universo em que o Criador colocou no lugar privilegiado. Entretanto,
idéias e modelos contrárias era considerado herege. A ciência era
considerada mera comprovação das crenças religiosa.
Séc. XVI: Em sua principal obra Comentarios, Nicolau Copérnico
(1473-1543), através de suas observações, formulou o modelo
heliocêntrico com o sol no centro do sistema solar.
- o sol no centro do sistema solar = explicação
mais simples para o movimento dos planetas.
- Movimento e trajetória é circular.
- Defensores: Aristarco e Nicolau de Cusa .
- Esse Modelo abriu caminho para o aparecimento
da Mecânica.
Sistema heliocêntrico proposto por
Copérnico
Foi possível explicar: o movimento aparente diário e anual das estrelas, o
achatamento da Terra nos pólos, o comportamento dos ventos, das marés
e as fases da Lua.
Sistema heliocêntrico proposto por Copérnico
Sistema heliocêntrico proposto por
Copérnico
Entretanto, havia controvérsias no Modelo de Copérnico:
O dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601): Fez observações precisas
do movimento dos planetas sem auxílio de telescópios.
O alemão Johhanes Kepler (1571-1630): As observações de Brahe
foram analisadas e interpretadas por Kepler, depois de 20 anos, através
das suas 3 leis empíricas para o movimento dos planetas.
O italiano Galileu Galilei (1564-1642): Criou a luneta (1o telescópio
científico - 1609) e com ela descobriu os satélites de júpiter (que não
orbitam em torno da Terra), as montanhas da lua, as manchas solares, as
fases de Vênus e os planetas ainda não conhecidos.
Experiência atribuída à Galileu
Foi o primeiro a contestar as idéias de Aristóteles.
Descobriu que a massa não influi na velocidade do corpo.
As leis empíricas de Kepler
Introdução
Kepler (1571-1630)
As leis empíricas de Kepler
1º Lei ou lei das órbitas: Os planetas
descrevem órbitas elípticas em torno do sol,
que ocupa um dos focos da elipse.
Kepler
(1571-1630)
LEI DAS ÓRBITAS
Um planeta movimenta-se ao redor do sol em
trajetória elíptica, onde o sol encontra-se em um dos
focos dessa elipse.
Periélio
Afélio
Vperiélio > Vafélio
2º Lei ou lei das áreas: A linha imaginária que une o
centro do sol ao centro de um planeta varre áreas iguais em
tempos iguais.
afélio
periélio
Vperiélio > Vafélio
 A1  A2
A1
A2

 cte 
t1 t2
t1  t2
LEI DAS ÁREAS (1º Caso)
A linha imaginária (vetor posição) que une o
planeta ao sol varre (percorre) áreas iguais em
intervalos de tempo iguais.
t2
A2
Se t1 = t2
A1
Então A1 = A2
t1
LEI DAS ÁREAS (2º Caso)
t2
A2
A1
t1
Se t2 = 2t1
Então A2 = 2A1
LEI DAS ÁREAS
3º Lei ou lei de revolução: O quadrado do período de
revolução de um planeta em torno do Sol é proporcional ao
cubo do raio médio do Sol ao planeta (semi-eixo maior).
2
T
 cte
3
R
cte  k
2
T
k
3
R
k ?
LEI DOS PERÍODOS
Para qualquer planeta do sistema solar, o
quadrado de seu período é proporcional ao cubo do
raio médio de sua órbita.
a p
Rmédio 
p
a
2
T
k
3
R
2
ASSIM:
2
1
3
1
2
2
3
2
T
T

R
R
Simulação das Leis de Kepler
periélio
afélio
Vperiélio > Vafélio
Essas 3 leis empíricas forneceram forte apoio ao Modelo de Copérnico,
evidenciando a geral simplicidade com a qual poderiam ser descritos os
movimentos dos planetas, tornando-se como referencial o Sol.
Obs: Na época de Kepler, não se tinha formulado com clareza o
conceito de força. Kepler não concebia a força como causas dessas
regularidades (dessas trajetórias).
Em 1665, o inglês Isaac Newton: formulou as leis do movimento dos
planetas e dos corpos próximos à Terra.
Fusão: Mec. Terrestre + Mec. Celeste = Mecânica Newtoniana
Assim, ele comprova as predições de Kepler e as observações de Brahe.
E vai mais além. Newton baseado em seus antecessores (Copérnico,
Brahe, Kepler e Galileu) mostrou que esses problemas (queda dos
corpos e movimento de planetas) eram aspectos diferentes de um mesmo
problema, sujeito às mesmas leis.
Em 1678, em sua principal obra “O Principia”, Newton foi além dos
problemas maçã-Terra e Lua-Terra e estendeu sua lei da gravitação para
todos os corpos.
Domínios da Gravitação: 1- para corpos de massas pequenas (bola,..) a
força gravitacional é muito pequena. 2- a força gravitacional é um fator
controlador e central de nossas vidas. 3- Na escala cósmica, a força
gravitacional é a força dominante.
Triunfo para as idéias de Newton
Newton depois de ter estabelecido as Leis da
Dinâmica, explicou o movimento dos corpos e
postulou a hipótese de que as forças que mantém
os planetas nas suas órbitas tem natureza idêntica
à existente entre os corpos terrestre, assim, devese aplicar as mesmas leis.
Utilizando as Leis de Kepler e considerando a
órbita dos planetas como circular – suposição
aceita, pois as órbitas dos planetas possui pequena
excentricidade ~ 0 – em torno do Sol, deduziu a
expressão para a força de interação entre 2 corpos
quaisquer (o Sol e qualquer planeta, o planeta e
outro planeta ou a Lua e a Terra).
da
F = G. m1.m2 Comprovação
expressão balança de
2
d
Cavendish
Newton e a maçã
A Lei universal da gravitação de Newton

GMm 
F  2 r
r
Esta lei estabelece duas relações importantes:
- Quanto maior a distância entre dois corpos, menor a força de atração,
e vice-versa.
- Quanto maior as massas dos corpos, maior a força de atração, e viceversa.
A força de atração F1 é maior do que a
força F2.
(Lei da Gravitação Universal - Newton).
Gráfico da Força de interação entre 2 corpo massivos
Lei da Gravitação de Newton
Programa Maple
F = G. m1.m2
d2
> restart;with(plots):
> F:=1/r^2;
F := 1/r
> plot([F],r=0..0.5,y=0..100);
Obs: Faremos G, m1 e m2 todos
iguais a 1.
Obs: G = 6,67.10-11m3/kg.s2.
A Lei de Newton e a constante
universal da gravitação (G)

GMm 
F  2 r
r
G  6,67  10
11
3
1 2
m kg s
The torsion balance experiment of Henry Cavendish who in 1797 was the first to
experimentally measure the gravitational constant G. (Courtesy of the Journal of
Measurement and Technology.)
Mais de 100 anos depois
Limites da lei universal da
Gravitação de Newton
• Previsões de teorias de supercordas
afirmavam que em distancias pequenas , da
ordem de mícron correções na lei da
gravitação indicariam a existência de
dimensões adicionais previstas pela teoria.
• O experimento em distâncias pequenas foi
feito....
Os limites da Lei de Newton
• Cantilever, tungstenio, amplitude
da ponta, 19 m resonante massa
do detetor.
• Fonte - 35mm x 7mm x 0.305
mm,
• Detetor - 11mm x 5mm x
0.195mm
• Tungsten detector, double
torsional oscillator
• Distancia fonte–detetor 108 m
Upper limits to submillimiter-range
forces from extra space-time
dimensions.
Long et al., Nature 421, 922, 2003
Esquema do experimento
Mais detalhes
Se a Lei de Newton não fosse válida isto
seria uma prova que supercordas é uma
teoria correta!
Distancia fonte–detetor 108 m
O resultado mostra que a Lei da
Gravitação Universal de Newton
continua válida até em distâncias de
~100 m.
Balança de Torção de Cavendish (1798)
Determinação de G?
L

FG é muito pequeno e k (cte de torção)
também.
Aparecimento do torque () e do ângulo
( = 3,96.10-3rad).
Comprimento da haste (L = 0,5m), as massas m = 10g e M = 10kg (são 2 de cada).
O período de torção é T = 769s e a distância entre o centro das 2 esferas
é d = 0,1m. O período de oscilação de um pêndulo de torção é:
2
2
2
L
2
 
3
2
L
I

2
m

2*0,
01*
0,
25

1,
25.10
kg
.
m


I  m 
 
2
2
1
2
L
4

I

8
2
2
k  FG
I
k


8,34.10
kg
.
m
/
s
Torque:
2
T  2
2
T
k
k d 2
GMm L
G
 6, 63.1011 N .m2 / kg 2
k  2 2
MmL
d 2
Balança de Torção de Cavendish (1798)
Determinação de G?
Note que este resultado é cerca de 1% inferior ao valor aceito. Isto é,
G  6,67.1011 N .m2 / kg 2
Cavendish, foi a 1a pessoa a “pesar” a Terra.
gT RT2
GM T m
MT 
 mgT
FG  P
2
G
RT
gT  9,8m / s 2 , RT  6,37.106 m, G  6,67.1011 N.m2 / kg 2
M T  5,97.1024 kg
MT
T 
 5,5 g / cm3
4
 RT3
3
- A densidade média da Terra é 5,5 vezes maior que a da água.
- As rochas na superfície possui densidade média menor que 5,5g/cm3.
- A experiência nos dar informações sobre a natureza do interior da Terra.
M
T  T
VT
Comprovação e demonstração das Leis empíricas de Kepler pela
Mecânica Newtoniana:
1a. Lei ou lei das órbitas: A Mecânica Newtoniana deduziu
uma conclusão mais geral. Quando um corpo está sob a ação
de uma força que varia com o 1/R2 , ela descreve uma órbita
que é uma cônica (elipse, parábola ou hipérbole). A órbita
descrita pelo corpo depende da sua Energia Mecânica.
Planetas: órbita fechada => elipse  circular.
Cometas: órbita aberta => hipérbole.
Comprovação e demonstração das Leis empíricas de Kepler pela
Mecânica Newtoniana:
1a. Lei ou lei das órbitas:
Planetas: órbita fechada => elipse  circular.
Obs: A lei das Órbitas é um caso geral.
Obs: Baixa excentricidade.
Conclusão:
* 2ª Lei de Kepler
Lei das Áreas
Δt2
A2
A1
An
 k  cte
t n
Δt1
velocidade areolar
Comprovação e demonstração das Leis empíricas de Kepler pela
Mecânica Newtoniana:
2a. Lei ou lei das áreas:
Sol
Para t muito pequeno
planeta
l
r
 é muito pequeno
rl
A 
2

A r 2

lim
 lim
t 0 t
2 t 0 t
Como, L  rp
L  mrv
L  mrwr
l  r 
r 2 
A 
2
dA r 2 w

dt
2
L
 wr 2
m
Logo,
dA L

 cte
dt 2m
Para Kepler, isso significa que a 2a. Lei é equivalente a Lei da
Conservação do Momento Angular.
Comprovação e demonstração das Leis empíricas de Kepler pela
Mecânica Newtoniana:
2a. Lei ou lei das áreas:
Sol
r
Em coordenada polar (Exercício 27)
dA  dx.dy
planeta
l
dA  rdr.d
(coord. Cartesiana)
(coord. Polar)

dA
d
 rdr
dt
dt
Como, L  rp
L  mrv
dA
 w rdr
dt
L  mrwr
dA r 2 w

dt
2
L
 wr 2
m
Logo,
dA L

 cte
dt 2m
Para Kepler, isso significa que a 2a. Lei é equivalente a Lei da
Conservação do Momento Angular.
* 3ª Lei de Kepler
 Lei dos Períodos
p
a
2
T
 cte
3
R
a p
R
2
Lei da Gravitação universal
M
m
F
-F
d
G.M .m
F
d2
Onde: G = 6,67. 10-11 N.m2/kg2.
 Representação gráfica da força gravitacional e
à distancia entre os corpos
10
Força gravitacional
Força gravitacional
8
6
F
4
G.M .m
d2
2
0
0
1
2
Distância
3
4
Comprovação e demonstração das Leis empíricas de Kepler pela
Mecânica Newtoniana:
3a. Lei ou lei dos Períodos:
v
Fcp
Sol
RSp
planeta
mp
GM S m p

2
RSp
MS
Como,
v
as 2 equações, temos:
2 RSp
T
2
Sp
2
mpv2
GM S
v 
RSp
2
RSp
Elevando ao quadrado e igualando
T
4 R
2
Para uma órbita circular
FG  Fcp

GM S
RSp
Logo,
T2
4 2

 cte
3
RSp GM S
A 3a. Lei, depende apenas das propriedades do Sol (no caso, a massa).
Por causa da velocidade tangencial, o Sol não se choca com o planeta.
Finalizando,
T  2
3
RSp
GM S
Considerações sobre o Sistema Solar
Planeta
RPS (km)
TT
Mercúrio
5,8.107
88 dias
Vênus
1,08.108
Terra
TR
RP (km)
MT
59 dias
2400
0,05
224,7 dias
249 dias
6100
0,81
1,5.108
365,3 dias
23,9 horas
6350
1
Marte
2,3.108
687 dias
24,6 horas
3350
0,11
Júpiter
7,8.108
11,9 anos
19,8 horas
71500
317,8
Saturno
1,44.109
29,5 anos
10,2 horas
60000
95,2
Netuno
2,9.109
84 anos
10,8 horas
24000
14,5
Urano
4,5.109
164,8 anos
15 horas
22500
17,2
Plutão
6.109
248,4 anos
6,4 dias
1750
0,08
CORPOS EM ÓRBITA (SATÉLITES)
 
F  Fcp
r
 M m mv
G 2 
v

r
r
2
F
v
M
G
r
v é a velocidade orbital
Assim:
2r
2r
v 
T 
T
v
T 
2r
 T  2
M
G
r
3
r
GM
Forças e movimentos circulares



v2 
Fc  mac & ac   r
r
Algumas órbitas de planetas e satélites
são elipses com excentricidades
pequenas, podendo ser aproximadas a
órbitas circulares.
Vamos considerar a força de atração
gravitacional como força centrípeta!

GMm 
F  2 r
r
G  6,67  10
11
3
1 2
m kg s
Quanto dura o ano terrestre?
Mm
v
 2r  1
G 2  m  m
 
r
r
 t  r
2
2
M sol  1,989  10 kg
30
3
2r 2
t
GM
rSolTerra  1,496  10 m
11
(raio médio da órbita da Terra)
t  3.16  10 s  365,3
7
dias!
3a lei de Kepler:
Resultado anterior para o ano terrestre:
3
2r 2
t
GM
t
4

 cte !
3
r
GM
2
Reescrevendo…
2
Qual é a massa da Terra?
O raio da Terra é conhecido desde as medidas de Erastótenes
(276 aC- 197 aC)
rTerra  6,374  10 m
6
Outro resultado de medida…g
M Terra m
G 2
 mg
rTerra
 9,8ms
2
MTerra  5,97  10 kg
24
Experimento de Cavendish,
Pesando a Terra.
Velocidade de uma órbita perto da superfície da Terra
G
MT m
rT2
2
v
m
rT
v  7904m / s
Esse valor é muito maior do
que a velocidade linear de
um objeto qualquer na superfície
da Terra:
2rT 2 6.374  106
1

 463.5ms
4
t
8.64  10
Órbita geoestacionária
2
MT
 2r  1
v
   G 2
 
r
r
 t  r
2
O escritor Arthur C. Clarke foi o primeiro a
propor a órbita geoestacionária
Volta completa em um dia
r  42,2  10 m
6
Equivalente à 22.300 + 4.000 milhas
Arthur C. Clarke (1939- ..)
2001 Uma Odisséia no Espaço.
Filme de 1968 que levou 4 anos para ser
escrito. Direção de Stanley Kubrick.
O computador HAL 9000 ( sátira ao IBM)...
Marco do cinema de ficção científica!!!
Fenômeno da Gravitação: 2 ou mais corpos exercem forças um sobre
o outro.
Pensar no fenômeno, como:
- Uma interação direta entre os 2 corpos, mesmo que eles não estejam
em contato (ação a distância);
-Um conceito de campo, que considera um corpo como capaz de
modificar de algum modo o espaço em torno dele, criando nele um
campo gravitacional.
Assim,
1- Devemos determinar o campo criado por determinada distribuição
de partículas materiais;
2- Devemos calcular a força que este campo exerce sobre outro corpo
colocada nele.
CAMPO GRAVITACIONAL
GM T

F

m
 G
2
R

T
 P  mg

T
Direção de FG: é radial.
Sentido de FG: é do corpo para o centro da Terra.
Módulo de FG: é mg.
g: é a intensidade do campo gravitacional na superfície
aa Terra. É um campo estacionário, pois não depende do
tempo. É definido, como:
FG
g
m
Campo Gravitacional
B
A
d
G.M
g 2
d
Obs: O campo gravitacional (g) independe da
massa do objeto (foguete).
Experimento de Galileu
Satélites Geo-estacionários
T
Campo Gravitacional Variando de ponto a ponto.
g1 ≠ g2 ≠ g3
P1
P2
P3
CAMPO GRAVITACIONAL TERRESTRE

F
m

g
h
M
g G
( R  h) 2
R
CAMPO GRAVITACIONAL
Localização
Distância do centro da Terra
(m)
Valor de g
(m/s2)
Superfície da Terra (R)
h = 1000 km
6.38 x 106 m
7.38 x 106 m
9.8
7.33
h = 2000 km
h = 3000 km
h = 4000 km
h = 5000 km
h = 6000 km
h = 7000 km
h = 8000 km
h = 9000 km
h = 10000 km
h = 50000 km
8.38 x 106 m
9.38 x 106 m
1.04 x 107 m
1.14 x 107 m
1.24 x 107 m
1.34 x 107 m
1.44 x 107 m
1.54 x 107 m
1.64 x 107 m
5.64 x 107 m
5.68
4.53
3.70
3.08
2.60
2.23
1.93
1.69
1.49
0.13
CAMPO GRAVITACIONAL
Como varia g com h:
CAMPO GRAVITACIONAL
Planeta
Mercury
Raio (m)
2.43 x 106
Massa (kg)
3.2 x 1023
Venus 6.073 x 106 4.88 x1024
Marte
3.38 x 106 6.42 x 1023
Jupiter 6.98 x 107 1.901 x 1027
Saturno 5.82 x 107 5.68 x 1026
Urano 2.35 x 107 8.68 x 1025
Netuno 2.27 x 107 1.03 x 1026
Plutão 1.15 x 106
1.2 x 1022
g
(m/s2)
3.61
8.83
3.75
26.0
11.2
10.5
13.3
0.61
Quanto tempo um ser humano
sobreviveria no espaço sideral sem
nenhuma proteção?
Você perderia a consciência porque não
há nenhum oxigênio. Isso poderia acontecer
dentro de mais ou menos 15 segundos.
Como não há nenhuma pressão do ar para manter seu sangue e
fluidos do corpo em um estado líquido, os fluidos ferveriam . O
processo de fervura causaria perda da energia calorífica rapidamente;
os fluidos gelariam antes que fossem totalmente evaporados. Este
processo poderia levar de 30 segundos a 1 minuto.
Seus tecidos (pele, coração, outros órgãos internos) se expandiriam
por causa dos fluidos ferventes. Porém, eles não explodiriam, como
descreve alguns filmes de ficção científica.
Você enfrentaria mudanças extremas na temperatura
•luz solar - 120 graus Centígrado
•sombra - menos 100 graus Centígrado
Você ficaria exposto a vários tipos de radiação (raios cósmicos) ou
partículas carregadas emitidas pelo sol (vento solar).
Você morreria rapidamente por causa dos três primeiros problemas
listados, provavelmente em menos de um minuto. Por isso é que para
proteger os astronautas, as agências espaciais desenvolveram roupas
próprias.
Variações da aceleração da gravidade g com a altitude r à latitude de 45o
GMm
FG  2
r
dF
d 2
 GMm  r 
dr
dr
dF
 2GMmr 3
dr
dF
dr
 2
F
r
2 GMm
dF  
dr
2
r r
F
Ou seja, a variação relativa de F é o dobro da variação relativa de r. O sinal negativo
indica que F decresce com o aumento de r. Como,
F  mg
dF
m
dg
Logo,
dF dg
dr

 2
F
g
r
Variações da aceleração da gravidade g com a altitude r à latitude de 45o
Altitude (m)
g (m/s2)
0
9.806
1.000
4.000
8.000
16.000
32.000
100.000
500.000
1.000.000
380.000.000
9.803
9.794
9.782
9.757
9.71
9.60
8.53
7.41
0.00271
Variações da aceleração da gravidade g com a latitude, ao nível do mar
Latitude (graus)
g (m/s2)
0
9.78039
10
20
30
40
50
60
70
80
90
9.78195
9.78641
9.79329
9.80171
9.81071
9.81918
9.82608
9.83059
9.83217
Medidas de g constituem fonte essencial de informação sobre a forma
da Terra.
Efeito da Rotação da Terra sobre g:
Enquanto a Terra gira, todos nós estamos sujeitos a uma aceleração
centrípeta que só é perceptível no equador. Se um corpo estiver preso a
um dinamômetro, temos que a força resultante é dada pela diferença entre
o peso verdadeiro (FG) e o peso aparente (força exercida pela mola):
FR  m.acp
FG  Pap  m.acp
GM T m
 m.g  m.acp
2
RT
GM T
ge  2  acp
RT
GM T
gp  2
RT
Obs: Nos pólos, a acp = 0.
(equador)
(pólos)
Medida em qualquer local da Terra, ignorando o seu efeito de rotação.
Efeito da Rotação da Terra sobre g:
Cálculo de acp?
4 RT
 2 
2
acp  w RT  
 RT 
T2
 T 
2
2
RT  6,37.106 m
T  8, 64.104 s
Logo,
acp  0,0336m / s 2 (equador)
Esse valor é suficiente para mostrar os efeitos e as diferenças de g, em
pequenas e grades latitudes.
Exercícios
Ex1: Suponha que possa ser cavado um túnel através da Terra, ao longo de
um diâmetro, de uma superfície a outra, como mostra a figura abaixo.
a) Mostrar que o movimento da partícula que cai no túnel é MHS. Desprezar as forças de atrito e supor que a densidade da Terra seja uniforme.
r
b) Que tempo a partícula levaria para ir de um extremo a outro da Terra?
c) Qual é a velocidade do corpo no centro do túnel e quando d = r/2?
Solução
a)
r
4 r
M  V  
3
4 m
FG  G 
r  kr
3
3
GMm
FG   2
r
4  r 3m
FG  G
3r 2
Condição para que o movimento seja, MHS.
b)
m
3m
T  2
 2
k
4 Gm
Portanto,
3
3



5,51.10
kg
/
m
3 

T
11
2
2
G

6,
67.10
N
.
m
/
kg
G 

T  5050s  84, 2min
vno centro = ?
r
vd =r/2 = ?
c)
kr
EM 
2
Ec max  EM
EM
Ec 
4
Exercício 21 Halliday
2
Ecmax
mvct2

2
mvct2 4 G  mr 2

2
6
mv 2 4 G  mr 2

2
24
k
4 G  m
3
4 G  r 2
vct 
3
vd r / 2 
 G r 2
3
Ex2: Um planeta orbita em torno do Sol numa órbita elíptica de excentricidade e (distância CF do centro da elipse ao foco F, isto é, ea). Determinar a razão entre o tempo gasto pelo planeta entre os extremos do eixo
menor (BD), quando mais próximo ao Sol, e o período de revolução.
D
b
a
ea
C
F
B
Eixo maior (comprimento 2a).
Eixo menor (comprimento 2b).
Interceptam
no centro (C)
Obs: Para uma órbita circular, e = 0.
Chamando: A = área da elipse, A´= área hachurada,
T = período e t´ = tempo de BD.
Solução
D
Eixo maior (comprimento 2a).
b
a
Eixo menor (comprimento 2b).
ea
C
B
F
Interceptam
no centro (C)
Obs: Para uma órbita circular, e = 0.
Chamando: A = área da elipse, A´= área hachurada,
T = período e t´ = tempo de BD.
Pela 2. Lei de Kepler (conservação de L).
A A´

T t´
A
Porém, A´  A´´
2
A´´= área do triângulo BDF.
A
1

A
´´
2b ea
Logo, t´ A´ 2
1 A´´ 1 2   
 
 
 
T A
A
2 A 2
 ab
t´ 1 e
 
T 2 
Portanto,
Ex3: O campo gravitacional da Terra não é uniforme a grandes
distâncias, como é admitido para pequenas distâncias, qual o
período máximo que poderia ter um pêndulo simples na vizinhança
da superfície da Terra?
Para o infinito
x
m
m
x=0

g
g
RT
g
m
Eixo x
Solução
A força que atua em m é:
Para o infinito
GM T m
FG 
 mg
2
RT
x
m
m
x=0
m
Eixo x

g
- m se movimenta na direção do eixo x. Logo,
g
RT
Portanto,
Fx   FG .cos 
g
- o sinal negativo indica que é uma força restauradora.
GM T m x
Fx  
.
2
RT
RT
x
cos  
RT
Logo,
GM T m
Fx  
x  kx
3
RT
A prova que Fx é restauradora é que ela é proporcional a x.
O período de um OHS é dado por:
Para o infinito
x
m
m
x=0
m
Eixo x

g
g
g
Portanto,
RT
onde,
Logo,
m
T  2
k
GM T m
onde, k 
RT3
RT
RT
T  2
 2
2
GM T m / RT
g
RT  6,37.106 m, g  9,8m / s 2
Tmax  84,3min
Período máximo que um pêndulo simples pode ter na vizinhança da superfície da Terra.
Energia Potencial Gravitacional
Wab  U
U  U a  Ub  Wab
Logo,
Ub  Wab  U a
a: configuração de referência
Por convenção, atribuímos Ua = 0 (repouso na superfície da Terra). Quando a
partícula se encontrar à altura h acima da superfície da terra, a energia potencial
U = Ub, e é dada por:
y
U  Wab  0
-mg
h
U   P. y
U    mg  .h
U  mgh
A energia potencial no ponto r (U(r)) quando se realiza um trabalho para levar
uma partícula do infinito até esse ponto r (Wr).
r
U  r     FG  r  dr

U r   
GMm r
/
r
U r   
GMm
r
Obs: o sinal indica que U é negativa a qualquer distância finita e que decresce
quando r diminui. O agente externo (F) é o causador da mudança de configuração.
Energia Potencial Gravitacional
A força gravitacional pode ser deduzida da expressão da energia
potencial, por:
d  GMm / r 
dU  r 
FG  r   
FG  r   
dr
dr
FG  r 
  GMm  


GMm
FG  r    2
r
O sinal indica que
A força é atrativa.
r2
Podemos associar um campo escalar à gravitação. Primeiro defini-se
o potencial escalar como a energia potencial por unidade de massa do
corpo colocado no campo gravitacional. Portanto,
U r 
GM
V

m
r
dV
GMm
FG  r   m
 2
dr
r
Energia Potencial Gravitacional
vo = ?
Ex: Velocidade de escape
WST   U
WST  
R =
RST
WST    U   U ST 
WST 

GM T m 
 0 

R
ST


WST 
mvo2

2
GM T m
RST
WST   Ec
WST   Ec  EcST
WST   EM  Ec  U  cte
GM T m mvo2

0
RST
2
Ec  U   EcST  U ST
GM T
vo  2
 11, 2km / s  40300km / h
RST
Energia Potencial Gravitacional
Ex: Velocidade de escape
vo = ?
RST
planeta
Velocidade de escape (em km/s)
Mercúrio
4,17
Vênus
10,36
Terra
11,18
Lua
2,37
Marte
5,03
Júpiter
60,24
Saturno
36,06
Urano
22,54
Netuno
24,54
Plutão
1,0
R =
Energia Potencial para Sistemas de Muitas Partículas
A energia potencial de um sistema de partículas é igual ao trabalho que deve ser
realizado por um agente externo para formar o sistema, a partir da configuração
de referência.
Consideremos 3 corpos de massas m1, m2 e m3; suponhamos que inicialmente as
distâncias entre eles sejam infinitas. O problema é determinar o trabalho realizado
por um agente externo para reuni-los nas posições indicadas na figura abaixo:
Wt  W12  W13  W23
m1
r13
m2
Wt  F12 .r12  F13 .r13  F23.r23
r12
r23
m3
GMm
FG   2
r
 Gm1m2 Gm1m3 Gm2 m3 
Wt   



r
r
r
13
23
 12

U  r   Wb  U 
 Gm1m2 Gm1m3 Gm2 m3 
U r   



r13
r23 
 r12
Considerações de Energia no Movimento de Planetas
FG  r   GMmr
2
U  r    FG  r  dr
U  r   GMmr
1
Logo,
dU  r 
FG  r   
dr
r 21
U  r   GMm
2  1
U  r   GMm r dr
2
Isto é,
U r   
GMm
r
GM S
2
Encontramos da 3a. Lei de Kepler que, v 
RSp
Logo, Ec 
Portanto,
1 GMm
2 r
Portanto,
e
mv 2
Ec 
2
A Energia Mecânica é: EM  Ec  U  r 
GMm GMm
EM 

2r
r
GMm
EM  
2r
Considerações de Energia no Movimento de Planetas
(Gráficos)
Programa Maple
restart;
with(plots):
> E[c]:=1/2/r;
E[c] := 1/2 1/r
> E[p]:=-1/r;
E[p] := - 1/r
> E[m]:=-1/2/r;
E[m] := - 1/2 1/r
>
plot([E[c],E[p],E[m]],r=0..0.5,y=20..20,color=[blue,red,black]);
onde: G, M e m todos iguais a 1.
Obs: A EM é negativa e cte, porque o sistema é fechado (órbita).
Considerações de Energia no Movimento de Planetas
(Exercício 53)
Uma partícula se move sob a ação de uma força de atração da forma:
F = - k/r2. Suponha que a trajetória seja uma circunferência de raio r.
Determine: a) a energia total; b) a velocidade da partícula.
Sabendo que para uma força proporcional a 1/r2, a energia total é dada por:
F  r   kr 2
U  r    F  r  dr
Logo,
U  r   kr
1
k
Isto é, U  r   
r
Encontramos da 3a. Lei de Kepler que,
Logo, Ec 
U  r   k  r 2 dr
v2 
k
mr
e
mv 2
Ec 
2
A Energia Mecânica é: EM  Ec  U  r 
k
k k
EM  
Portanto, EM  
2r
2r r
1k
2r
O enigma da matéria escura
Matéria que compõe 90% da massa das galáxias é desconhecida
e de difícil detecção.
O fenômeno das marés
Formação das Marés
M.m
FG 2
d
As fases da lua
Estações do Ano
movimento dos satélites
Utilidades dos satélites
Monitoramento de áreas ambientais
Utilidade nas telecomunicações
Permite a identificação e análise de objetos tais
como imóveis, automóveis e aeronaves individualmente,
e permitirá a elaboração de mapas de alta precisão e
simulações tridimensionais da superfície da terra, tanto
em ambiente rural como urbano.
Apresentamos a seguir uma viagem ao nosso sistema solar.
Nele encontramos os seguintes planetas: Mercúrio,Vênus,
Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Netuno e Plutão.
A animação abaixo mostra uma sonda deslocando no
sistema solar. Observe a trajetória elíptica dos planetas que
movimentam-se ao redor do sol.
A teoria da relatividade geral
Einstein descreve a gravidade como a ação das
massas nas propriedades do espaço e do tempo,
que afetam o movimento dos corpos e outras
propriedades físicas.
Imagens do observatório em Sobral no Ceará
Galáxia de Andrômeda situada a
2 milhões de anos luz da nossa
galáxia
FIM
ASSUNTO: Termodinâmica
por
Jordan Del Nero
[email protected]
UFPA/CCEN/DF
Campus Universitário do Guamá
66.075-110 - Belém - Pará - Brasil
A Termodinâmica é o estudo das transferências de energia que envolvem a
temperatura e que ocorrem entre corpos macroscópicos.
Objetivos:
1- definir os conceitos de temperatura, de calor, de energia interna.
2- discutir as vantagens dos termômetros a gás sobre outros termômetros.
3- definir os conceitos de equilíbrio térmico e parede: diatérmica e adiabática.
4- enunciar a antiprimeira lei ou lei zero da termodinâmica.
5- definir uma escala de temperatura de gás ideal e as escalas Celsius, Fahrenheit
ou Kelvin.
6- definir as conversões de temperatura de uma escala na outra.
7- enunciar a equação de estado de um gás ideal e de determinar o valor de R.
8- determinar o valor kT para a energia média de uma molécula de gás na
temperatura T.
9- saber que T é uma medida da energia cinética de um gás.
ORIGEM E EVOLUÇÃO DA TERMODINÂMICA
No século XVII, as pesquisas sobre pressão dos gases e expansão térmica, foram
iniciadas e sua aplicação para máquinas foi feita no século XIX, devido à Revolução
Industrial, gerando um ramo da Física denominado Termodinâmica.
A Termodinâmica se desenvolveu a partir da física térmica, nos séculos XVIII e
XIX, precisamente a partir da necessidade de aperfeiçoar a máquina a vapor,
inventada, em 1698, pelo engenheiro Thomas Savery (1650-1715) e aperfeiçoada,
em 1765, pelo engenheiro escocês James Watt (1736-1819) com a invenção do
condensador.
Após a construção da primeira máquina a vapor (inventada para bombear água para
esvaziar as minas), as idéias fundamentais do estudo do calor se tornaram mais
precisas. Inicialmente não se distinguia claramente temperatura e quantidade de
calor. Depois se percebeu que estas duas grandezas eram necessárias para descrever
perfeitamente os fenômenos observados.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA TERMODINÂMICA
A palavra Termodinâmica vem do grego therme (= calor) e dynamics (= trabalho).
Inicialmente, esta ciência foi considerada como o estudo dos sistemas de produção
de trabalho, chamados máquinas de calor, estudadas por volta do século XVIII e por
todo o século XIX.
A estrutura da Termodinâmica inclui conceitos e leis (ou axiomas) e tem como base
a observação do mundo físico e as medidas experimentais obtidas através dessa
observação. Seu estudo se desenvolve em torno de uma porção de matéria separada
(mentalmente) do meio externo, denominada sistema, e aquilo que não pertence ao
sistema e que exerce influência direta em seu comportamento, denomina-se
vizinhança (ou ambiente exterior). Quando há mudanças nas condições externas de
um sistema termodinâmico, devido à interação do sistema com o universo, diz-se
que o mesmo sofreu uma transformação.
É importante definir: sistema simples e sistema composto. Os sistemas simples são
macroscopicamente homogêneos, isotrópicos, descarregados, quimicamente inertes
e suficientemente grandes. Um sistema composto é constituído por um conjunto de
sistemas simples separados por paredes ou vínculos. As paredes são divisórias ideais
que podem ser restritas a certas variáveis: paredes adiabáticas são restritas à troca de
calor de energia na forma de calor (caso contrário são diatérmicas), paredes fixas
são restritas às alterações de volume, paredes impermeáveis impedem a passagem de
partículas de um ou de mais componentes do fluido.
Descrição macroscópico e microscópica
porção de matéria
tudo que não pertence
Situação física
(é o que vai ser estudado)
ao sistema
(ou meio externo)
Determinação do comportamento do sistema:
De que maneira ele interage com a vizinhança?
Para isso, devemos fazer a escolha adequada das grandezas observáveis (são
propriedades do sistema como um todo, medidas em laboratório) que descrevem o
comportamento do sistema.
Estão
relacionadas

grandezas
macroscópicas
(estão
associadas as percepções sensoriais)
grandezas microscópicas (descrevem os
átomos e as moléculas do sistema)
Obs: são maneiras diferentes de descrever a mesma situação.
Termodinâmica
Mecânica Estatística
As grandezas macroscópicas (Termodinâmica) podem ser expressas quantitativamente
pelas grandezas microscópicas (Mecânica Estatística).
LEIS DA TERMODINÂMICA
A estrutura completa da Termodinâmica compreende os seus conceitos básicos bem
como as suas leis. As Leis da Termodinâmica, descobertas no século XIX através de
cuidadosas experiências, governam a natureza de todos os processos
termodinâmicos e limitam os mesmos.
Existem duas leis fundamentais da Termodinâmica envolvendo energia. A Primeira
Lei envolve só o aspecto quantitativo de energia e é uma declaração do princípio de
conservação de energia, enquanto a Segunda Lei envolve a qualidade de energia.
Outras duas leis também evoluíram: uma envolve conceitos que precede a Primeira
e a Segunda Lei, chamada Lei Zero, e a última segue o desenvolvimento da
Segunda, que é chamada de Terceira Lei.
Lei Zero da Termodinâmica
Enunciada em 1909 pelo matemático alemão Constantin Carathéodory (1873-1950)
através de um conceito matemático e experimental para a temperatura. O raciocínio
é o seguinte: “Quando dois corpos estão em equilíbrio térmico com um terceiro
corpo (o “termômetro”), então os dois estão em equilíbrio térmico entre si, e diz-se
que todos os três corpos estão com a mesma temperatura”.
Se qualquer sistema é colocado em contato com um meio infinito que apresenta uma
certa temperatura, o sistema eventualmente entrará em equilíbrio, isto é, atinge a
mesma temperatura. (O infinito é uma abstração matemática, chamada: reservatório
térmico; na verdade o ambiente precisa apenas conter o sistema estudado).
Uma maneira mais formal, mas talvez fundamental, de expressar a lei zero é a
seguinte: “Existe uma grandeza escalar, denominada temperatura, que é uma
propriedade de todos os sistemas termodinâmicos (em estado de equilíbrio), tal que
a igualdade da temperatura é uma condição necessária e suficiente para o equilíbrio
térmico”. Esta afirmação justifica o uso da temperatura como variável
termodinâmica.
A Lei Zero evidencia a relação do parâmetro termodinâmico (temperatura).
TEMPERATURA
Conceito macroscópico de temperatura
Quando tocamos um corpo qualquer, podemos dizer se ele está "frio", "quente" ou
"morno". O tato nos permite ter essa percepção. Nos referimos a isto como sendo o
nosso sentido de temperatura.
Tq > Tm > Tf
Este é um procedimento bastante subjetivo para determinar a temperatura de um
corpo e, certamente, não é muito útil para fins científicos.
Uma experiência simples, sugerida em 1690 por John Locke, demonstra a
irrealidade deste método.
1a situação
frio
quente
2a situação
- Nossa avaliação de temperatura pode
ser bastante enganosa. Além disso, o
intervalo de nosso sentido de T é
limitado. O que necessitamos é uma
medida objetiva e numérica de T.
Equilíbrio Térmico – A Lei Zero da termodinâmica
O que acontece se colocarmos em contato um corpo quente e outro frio?
frio
quente
Depois de algum tempo, atingem uma temperatura comum, intermediária entre suas
temperaturas iniciais. Isto é, terão a mesma sensação de temperatura. Dizemos
então, que estes corpos estão em equilíbrio térmico um com o outro.
TA  TB
TA = TB = T
TA > TB
TA > T > TB
A comprovação lógica e operacional do equilíbrio térmico consiste em usar um 3o
corpo , ou corpo de prova, tal como um termômetro. Isto é resumido em um
postulado, freqüentemente denominado Lei Zero da Termodinâmica: Se A e B estão
em equilíbrio térmico com um 3o corpo C (o “termômetro”), então A e B estão em
equilíbrio térmico entre si. Isto é, uma relação transitiva.
Equilíbrio Térmico – A Lei Zero da termodinâmica
Tem que haver o contato para que os corpos de sistemas diferentes possam ter a
mesma temperatura. Isto concorda com nossa idéia diária de T como sendo uma
medida do estado de aquecimento ou de frieza de um sistema, no qual quando em
contato o estado final do sistema é o mesmo após um certo tempo.
Obs: A idéia contida na Lei Zero da Termodinâmica, ainda que simples, não é óbvia.
Por exemplo, João e José conhecem Mário, mas eles poderão ou não conhecer um
ao outro. Dois pedaços de ferro atraem um ímã, mas poderão ou não atrair-se
mutuamente.
Uma maneira mais formal, mas talvez fundamental, de expressar a Lei Zero da
Termodinâmica é: Existe uma grandeza escalar, denominada temperatura, que é
uma propriedade de todos os sistemas termodinâmicos (em estado de equilíbrio),
tal que a igualdade de temperatura é uma condição necessária e suficiente para o
equilíbrio térmico. Esta afirmação justifica o uso da temperatura como variável
termodinâmica.
A essência da Lei Zero da Termodinâmica é: existe uma grandeza muito útil
denominada ‘temperatura”.
TEMPERATURA
Conceito microscópico de temperatura
Mas em que um corpo "frio" difere de um corpo "quente" ou "morno"?
As moléculas dos corpos estão em constante movimento, em constante vibração. A
energia de movimento que elas possuem é chamada energia térmica.
Se pudéssemos enxergar as moléculas de um corpo, iríamos verificar que naquele
que está "frio" elas vibram menos do que naquele que está "quente".
Podemos afirmar que: Temperatura é a grandeza física que mede o estado de
agitação térmica dos corpos.
Medida da temperatura
Construção de termômetros e escalas termométricas
2 pontos fixos
gelo em fusão
Existem diversas grandezas físicas mensuráveis que variam
quando varia a nossa percepção fisiológica de temperatura.
Entre estas estão o volume de um líquido, o comprimento de
uma barra, a resistência elétrica de um fio, a pressão de um gás
mantido a volume constante, o volume de um gás mantido a
pressão constante e a cor do filamento de uma lâmpada.
Qualquer destas grandezas pode ser usada para construir um
termômetro – isto é, para estabelecer uma determinada escala
termométrica (escolha da substância e da propriedade
termométrica, quando se modifica a temperatura).
Os termômetros de mercúrio, muito comuns em laboratórios,
clínicas médicas e mesmo em casa, funcionam baseados na
dilatação do mercúrio. Isto é, a substância é o mercúrio e a
propriedade é o volume ou a altura da coluna de mercúrio.
água em ebulição
Exemplo de construção de uma escala termométrica
1o caso: b = 0
Escolhemos uma substância e uma propriedade termométrica X, arbitrariamente,
que respeite a seguinte função linear de T(X):
T(X) = aX
onde a é uma constante que deve ser calculada. Ao escolher esta função,
estabelecemos que iguais variações de T correspondem a variações iguais em X.
Concluímos que 2 temperaturas medidas estão entre si na mesma razão que os X´s
correspondentes, isto é,
T  X1  X1

T  X2  X2
Para determinar a e, portanto, calibrar o termômetro,
especificamos um ponto fixo padrão (ponto triplo da
água => ponto fixo de gelo, líquido e vapor de água
que coexistem em equilíbrio e é indicado pelo índice
tr). Nesse ponto, todos os termômetros devem
fornecer o mesmo valor da T a uma pressão única e
bem definida (pvapor = 4,58 mmHg a Ttr = 273,16K).
T X 
X1

T  X tr  X tr
X
T  X   273,16
X tr
T = f (propriedade)
X
T  X   273,16 lim
X tr 0 X
tr
Exemplo de construção de uma escala termométrica
Logo,
a p cte
L
T  L   273,16
Ltr
V
T V   273,16
Vtr
R
T  R   273,16
Rtr
a V cte
p
T  p   273,16
ptr
R = resistência elétrica
Ex1: A resistência R de certo termômetro de platina vale 90,35, quando o seu
bulbo é colocado em uma célula de ponto triplo. Qual será o valor de T, se o bulbo
estiver em um ambiente tal que sua resistência seja 96,28?
R
T  R   273,16
Rtr
96, 28
T  R   273,16
 291,1K
90,35
Obs: A escolha de um termômetro padrão sugere um termômetro de diferentes gases a
volume constante, útil na formulação das leis físicas e não em evidências experimentais.
Pois, temos as menores T e
tem
utilidade
universal.
Determina os pontos fixos
p
T  p   273,16
ptr
menor T = 1K
a V cte termômetro de gás
Demonstração:
Utilizamos
2o caso: b  0
Escala de temperatura baseada em 2 pontos fixos:
Tv  a. X v  b

Tg  a. X g  b
100  a. X v  b

0  a. X g  b
100  a.  X v  X g 
100
b  a. X g  
.X g
Encontrando b, temos:
 Xv  X g 
-
100
a
 Xv  X g 
Logo,
X[v]
Obs: Isso
vale para
L, p, V e
R.
Pontos Fixos da escala termométrica prática Internacional
ETPI – Escala Termométrica Prática Internacional, adotada em 1927, revista em
1948 e, novamente em 1960 => estabelece uma escala de fácil uso para
finalidades práticas (calibração de aparelhagem industrial ou científica). Ela
consiste num conjunto de fórmulas que fornecem, na prática, as melhores
aproximações possíveis da escala Kelvin.
ETPI-68 – não concorda com a escala Kelvin em temperaturas situadas entre os
pontos fixos, mas as diferenças em geral são desprezíveis. Ela se transformou no
padrão legal em praticamente todos os países.
ESCALA CELCIUS, FAHRENHEIT E KELVIN
Andrews Celsius (1701 - 1744)
Escala Celsius
Como se mede a temperatura?
Com água, congela-se a 0oC e ferve-se a 100oC.
Água fervendo
Gelo fundindo-se
ESCALA CELCIUS, FAHRENHEIT E KELVIN
Escala celsius
No século XVII, o físico e astrônomo sueco Andrews Celsius (17011744) sugeriu que a temperatura de fusão do gelo, ao nível do mar,
recebesse o valor arbitrário de 0 grau (hoje 0oC), e que a temperatura
de ebulição da água, também ao nível do mar, fosse fixada em 100
graus (100o C, valor igualmente arbitrário). Escolhidos os pontos de
fusão e ebulição da água, pode-se agora construir um termômetro
calibrado na escala Celsius. Para isso é necessário um tubo fino (tubo
capilar) de vidro, com um reservatório para o mercúrio. Coloca-se o
conjunto num recipiente com gelo em fusão (que, portanto, está à
temperatura de 0oC), e, após alguns minutos, quando o mercúrio parar
de descer, por entrar em equilíbrio térmico com a mistura água-gelo,
faz-se uma marca para 0oC. Em seguida, coloca-se o tubo em água
fervente (que na escala Celsius está a 100 graus) e faz-se uma marca
para 100oC. A seguir divide-se o espaço entre as duas marcas em 100
partes e fecha-se o tubo. O termômetro está pronto para ser usado.
ESCALA CELCIUS, FAHRENHEIT E KELVIN
Escala Fahrenheit
Fahrenheit (1686-1736), Alemão
Como se mede a temperatura?
Com uma mistura da água com amoníaco, se congela aos 32oF e ferve a
212oF.
Na escala Fahrenheit, ainda em uso nos países de língua inglesa, ao 0 e
ao 100 da escala Celsius correspondem respectivamente os números 32
e 212. Assim, entre a temperatura de fusão do gelo e da ebulição da
água, estão compreendidos 180º F.
ESCALA CELCIUS, FAHRENHEIT E KELVIN
Escala Kelvin
São idênticas a
escala de gás ideal
no T bem definido.
(escala termométrica termodinâmica absoluta)
Lord Kelvin (1842-1907), Inglês
Como se mede a temperatura?
Pois, ela independe
das propriedades da
substância.
Com a matéria, 0oK é a temperatura mais baixa que pode atingir a matéria, a
energia molecular é mínima e tende para um valor finito (energia do ponto zero),
mas a E  0.
Sabe-se que não há, teoricamente, um limite superior para a temperatura que um
corpo pode alcançar. Observa-se, entretanto, que existe um limite inferior. Os
cientistas verificaram que é impossível reduzir a temperatura de qualquer
substância a um valor inferior a -273,15ºC (o zero absoluto).
O físico inglês lorde Kelvin propôs uma escala termométrica, que leva o seu nome.
Tal escala tem origem no zero absoluto, usando como unidade de variação o grau
Celsius. Na escala Kelvin, a temperatura de fusão do gelo corresponde a 273,15 K e
a de ebulição da água, a 373,15 K.
O Kelvin, unidade de temperatura termodinâmica, é a fração 1/273,16 da
temperatura termodinâmica do ponto triplo da água
ESCALA CELCIUS, FAHRENHEIT E KELVIN
ESCALA CELCIUS, FAHRENHEIT E KELVIN
Escalas Termométricas
Para a graduação das escalas forma escolhidos, para
pontos fixos, dois fenômenos que se reproduzem
sempre nas mesmas condições: a fusão do gelo e a
ebulição da água, ambas sobre pressão normal.
Relação entre as escalas Celsius e Fahrenheit
Dado um valor de temperatura em uma escala,
podemos obter seu valor correspondente em outra
escala. Para obtermos a relação entre as leituras nas
duas escalas devemos estabelecer a proporção entre
os segmentos determinados na haste de cada
termômetro.
TC TF  32

5
9
9TC
TF  32 
5
o
TC = temperatura Celsius
TF = temperatura Fahrenheit
5
1F C
9
o
Relação entre as escalas Celsius e Kelvin
TC  TK  273,15
TC = temperatura Celcius
TK = temperatura Kelvin
Relação entre as escalas Celsius, Fahrenheight e Kelvin
TC  0
TK  273,15
TF  32


100  0 373,15  273,15 212  32
TF
TC
TK
Ponto Triplo da água
Zero Absoluto
TC TK  273,15 TF  32


100
100
180
TC TK  273,15 TF  32


5
5
9
ponto de energia molecular mínima (E  0)
DILATAÇÃO TÉRMICA
Você já observou os trilhos de uma estrada de ferro? Entre dois pedaços
consecutivos de trilho, há um espaço.
As pontes de concreto, quando muito extensas, não são construídas em um único
bloco. São formadas por vários blocos de concreto, construídos um ao lado do outro.
E, entre dois blocos vizinhos, também há um espaço. Esses espaços são calculados
pelos construtores de linhas férreas ou de pontes porque, sob a variação de
temperatura (a ação do calor), o aço e o concreto aumentam de tamanho.
A maioria dos materiais dilata-se quando aquecida e contrai-se, quando resfriada. Por
estarem relacionados com o aumento ou a diminuição da temperatura dos corpos,
esses fatos são conhecidos, como dilatação e contração térmica.
Se uma linha férrea fosse construída com os trilhos se tocando, a dilatação que
ocorreria quando os trilhos se aquecessem provocaria o entortamento da linha. Com
as pontes aconteceria coisa semelhante. Se uma ponte de concreto fosse construída em
um único bloco, a dilatação do concreto, quando a temperatura aumentasse, causaria
rachaduras na ponte.
Por que os materiais se dilatam ou se contraem, termicamente?
Já vimos que, quando um corpo absorve calor, a agitação térmica de suas moléculas
torna-se mais intensa, provocando, um aumento na temperatura desse corpo. Com o
aumento da agitação térmica, aumenta a amplitude da vibração de cada átomo. Assim,
o volume necessário para acomodar os átomos ou moléculas de um sólido em alta
temperatura é maior do que o volume ocupado pelas mesmas partículas quando o
material está em temperaturas mais baixas.
Dilatação Térmica
Introdução
Elevando-se a temperatura de um corpo, geralmente suas dimensões aumentam
devido ao aumento na distância média das partículas que o constituem, a este
fenômeno dá-se o nome de dilatação térmica.
T>To
To= temperatura inicial
T= temperatura final
Dilatação linear
Na experiência acima notamos o que acontece com barras de ferro de
comprimentos iniciais diferentes, ao aumentarmos de 10˚C suas
temperaturas.
Essa experiência indica que a variação de comprimento ΔL de uma barra ao
ser aquecida é diretamente proporcional ao seu comprimento Lo.
Dilatação Térmica
Dilatação linear
Nesta nova experiência notamos o que acontece a uma barra de ferro de
Lo =100cm, quando submetida a diferentes variações de temperatura.
Portanto, a variação de comprimento ΔL de uma barra ao ser aquecida é
diretamente proporcional à variação de temperatura ΔT.
Dilatação Térmica
Dilatação linear
Tendo em vista que a dilatação ΔL de uma barra é diretamente proporcional
ao comprimento inicial Lo e à variação de temperatura ΔT, temos:
ΔL ~ Lo ΔT
Portanto, a variação de comprimento ΔL de uma barra ao ser aquecida
depende do material que a constitui. Então, temos:
ΔL = α Lo ΔT
1 L

Lo T
(interpretado como sendo a variação % do L, por grau de T)
Alguns coeficientes de dilatação linear: ºC-1
-6
Maior
Chumbo:27.10
dilatação Zinco:26.10-6
Alumínio:22.10-6
Prata:19.10-6
-6
Ouro:15.10
Menor
Concreto: 12.10-6
dilatação
Vidro : 9.10 -6
-6
Granito: 8.10
-6
Vidro pirex: 3,2.10
Porcelana:3.10-6
Dilatação Térmica
Outra fórmula para a dilatação linear é obtida substituindo ΔL por (L-Lo):
ΔL= α Lo ΔT
L-Lo = α Lo ΔT
L= Lo + α Lo ΔT
L= Lo(1+α ΔT)
Gráfico da dilatação linear:
L= Lo(1+ α ΔT)
ΔT = (T-To)
L = Lo[ 1+ α (T- To)]
To = 0ºC
L = Lo + Lo α T
y = ax + b
y = L ; a = Lo α ; x = T ; b = Lo
Lo = 100 cm; α =27.10-6 ºC-1
T(ºC) = 0 a 100
Gráfico da dilatação linear:
Gráfico com o Programa Maple
chumbo
zinco
alumínio
prata
ouro
concreto
vidro
granito
pirex
porcelana
Dilatação Térmica
A experiência mostra que os sólidos, ao sofrerem um aquecimento, se dilatam e, ao
serem resfriados, se contraem. A dilatação ou a contração ocorre em três dimensões:
comprimento, largura e espessura.
Dilatação linear
É aquela em que predomina a variação no comprimento.
L = L - Lo
L = .Lo.T
L = Lo (1+ .T)
L = variação no comprimento
 = coeficiente de dilatação linear (ºC-1 )
T = variação da temperatura (ºC)
Dilatação Térmica
Dilatação Superficial
É aquela em que predomina a dilatação em duas dimensões.
Quando se aquece uma chapa com um orifício, ela se dilata como se fosse inteiriça,
ou seja, o orifício se dilata como se fosse constituído do mesmo material.
A = A - Ao
A = .Ao.T
A = Ao (1+ .T)
A = variação na superfície
 = coeficiente de dilatação superficial (ºC-1 )
T = variação da temperatura (ºC)
Dilatação superficial
(T)
(To)
Xo
X
Yo
Y
X = Xo(1 +α ΔT )
Y = Yo (1 + α ΔT )
XY= XoYo (1 +α ΔT)²
A = Ao (1 +2 α ΔT + α² ΔT²)
Desprezando o termo α² ΔT² por ser muito
pequeno, e fazendo 2α = β, vem:
A = Ao(1+ βΔT)
β = 2α constitui o coeficiente de dilatação
superficial do material de que é feita a
placa.
A partir da fórmula anterior:
A = Ao(1 + β ΔT)
A = Ao + β AoΔT
A – Ao = β Ao ΔT
Mas A – Ao = ΔA. Assim,
ΔA = β Ao ΔT
Portanto, a dilatação
superficial ΔA é diretamente
proporcional à área inicial Ao
e à variação de temperatura
ΔT.
Dilatação Térmica
Dilatação Volumétrica
É aquela em que ocorre variação da largura, comprimento e espessura.
V = V - Vo
V = .Vo.T
V = Vo (1+ .T)
V = variação no volume
 = coeficiente de dilatação volumétrica (ºC-1 )
T = variação da temperatura (ºC)
Dilatação volumétrica
(T)
(To)
X
Xo
Z
Zo
Yo
Y
X= Xo (1 + α ΔT )
Y = Yo (1 + α ΔT )
Z = Zo (1 + α ΔT )
XYZ = XoYoZo (1 + αΔT)³
V = Vo(1 + 3αΔT + 3α²ΔT² + α³ΔT ³)
Os termos que apresentam α² e α³ são muito
pequenos e podem ser desprezados. Assim ,
fazendo 3α = γ, vem :
V = Vo(1+ γΔT)
γ = 3α constitui o coeficiente de dilatação
volumétrica do material de que é feito o
sólido.
A partir da fórmula anterior:
ΔV = Vo(1+ γΔT)
V = Vo + γVoΔT
V –Vo = γVoΔT
V –Vo = ΔV, temos:
ΔV = γVoΔT
Portanto a dilatação volumétrica
ΔV é diretamente proporcional ao
volume inicial Vo e a variação de
temperatura ΔT.
Dilatação Térmica
Para líquidos e gases: Fala-se apenas em dilatação volumétrica.
m

V
T
Da Dilatação Volumétrica , temos:
μ =
m
=> μ =
μo
Vo(1+ 3  ΔT)
(1+ 3  ΔT)
Entretanto, o líquido mais comum, a água, não se comporta como os demais.
Acima de 4oC, a água se dilata com a T > 0 (0oC => 4oC), ainda que não o faça
linearmente. Quando T < 0 (4oC => 0oC), a água se dilata em vez de contrair-se.
Esta dilatação com a diminuição da temperatura não é observada em nenhum outro
líquido comum; ela ocorre em substâncias como à borracha e em certos sólidos
cristalinos em determinadas T. A massa específica da água é máxima em 4oC,
quando o seu valor é de 103kg/m3 = 1g/cm3. Em qualquer outra temperatura sua
massa específica é menor. É em virtude desse comportamento da água que os lagos
congelam-se primeiro em suas superfícies.
Dilatação Térmica
Resumo:
Obs: T é pequeno.
Dilatação térmica dos sólidos
Linear: ΔL = αLoΔT => L = Lo(1 + αΔt)
Superficial: ΔA = βAoΔT => A = Ao(1+ βΔT) => A = Ao(1+ 2ΔT)
Volumétrica: ΔV = γVoΔT => V = Vo(1+ γΔT) => V = Vo(1+ 3  ΔT)
Relação entre os coeficientes:
α = β = γ
1
2
3
Modelo de um sólido cristalino: os átomos são mantidos juntos, em uma disposição
regular, por forças elétricas. As forças entre os átomos são semelhantes às
exercidas por um conjunto de molas que ligassem os átomos (colchão de molas
duras microscópico => 1022molas/cm3 , A = 10-9cm e f  1013Hz.
Gráfico U(r):
F(r) = - dU(r)
dr
Dilatação Térmica
Obs:
Em 1818, o químico Pierre Louis Dulong (1785-1838) e o físico Alexis Thérèse
Petit (1791-1820), ambos franceses, confirmaram em uma publicação a previsão
teórica do modelo do calórico, isto é, a de que a dilatação de um corpo não é uma
função uniforme da temperatura.
Primeira Lei da Termodinâmica
Esta lei foi enunciada pela primeira vez, de forma explícita e geral, em 1850, pelo
alemão Rudolf Clausius. Bem antes, entretanto, já eram admitidas suas formas
particulares, como o Princípio da Conservação da Energia Mecânica, a Lei de Joule
(calor dissipado num resistor elétrico), a Lei de Hess (variação ou mudança da
energia numa reação química), o Teorema de Bernoulli, etc. Esta lei é decorrente da
generalização dessas leis e princípios, as quais podem ser consideradas como casos
particulares.
A idéia básica da primeira lei é que todas as formas de energia podem se
transformar em outras e se conservar. Tal idéia foi admitida por H. V. Helmholtz
(1821-1894) a partir do século XVIII, com a impossibilidade da construção de
máquinas que pudessem trabalhar sem consumir energia (motor continuum).
Entretanto, somente em 1850, ela foi definitivamente aceita (juntamente com a
Segunda Lei da Termodinâmica) graças ao trabalho de Clausius.
A aplicabilidade e validade da Primeira Lei da Termodinâmica ocorre quando o
sistema se encontra bem definido em termos de suas paredes, de seu estado, do
conjunto de variáveis que caracterizam o estado, e de suas transformações.
Primeira Lei da Termodinâmica
A Primeira Lei da Termodinâmica evidencia o princípio de conservação de energia
de um sistema termodinâmico e reconhece o calor como uma forma de energia.
Existe uma forma de energia conhecida como energia interna (U), que é uma
propriedade intrínseca de um sistema, relacionado funcionalmente com as
coordenadas mensuráveis, quantidade de calor (Q) e trabalho (W), que caracterizam
o sistema. A variação de U é dada por dU = Q - W, onde Q representa a troca de
calor e W é trabalho realizado sobre (ou pelo) sistema. A troca de calor (Q) e o
trabalho (W) não são representados por diferenciais (d) por não serem variáveis de
estado, uma vez que dependem do tipo de transformação que realiza o sistema em
estudo.
Em decorrência de não existir qualquer definição para energia interna (U), mas
apenas o cálculo de U associado a Q e W; e do trabalho termodinâmico (W) ser
expresso em termos das propriedades termodinâmicas do sistema (P-V-T), “O
conteúdo de calor de um sistema termodinâmico pode ser mudado”. Este é o
enunciado da Primeira Lei da Termodinâmica:
Um estado termodinâmico será totalmente descrito por (2m+2) variáveis (Xk, Yk, T,
U). Assim, a Primeira Lei é expressa por uma distribuição definida pela equação:
dU-Y1dX1+...+YmdXm-=0
onde: Ym são as funções definidas no espaço dos estados de equilíbrio do sistema
termodinâmico;  é a quantidade de calor elementar do sistema.
CALOR E 1a LEI DA TERMODINÂMICA
O que acontece se colocarmos em contato um corpo quente e outro frio?
frio
quente
Depois de algum tempo, atingem uma temperatura comum, intermediária entre suas
temperaturas iniciais. Isto é, terão a mesma sensação de temperatura. Dizemos
então, que estes corpos estão em equilíbrio térmico um com o outro.
TA  TB
TA = TB = T
TA > TB
TA > T > TB
Quando 2 corpos são postos em contato, nesse processo, ocorre a passagem de
“algo” de um corpo quente para o corpo frio. Este “algo”, em 1777, o químico
francês Antoine Lavoisier (1743-1794) atribuiu o nome de calórico (substância
material imponderável e indestrutível). Essa teoria foi capaz de descrever alguns
processos (como a condução do calor), mas não sobreviveu aos fatos experimentais.
CALOR E 1a LEI DA TERMODINÂMICA
No entanto, ainda descrevemos muitas das variações comuns de temperatura
como a transferência de “algo” de um corpo mais quente para o mais frio, e a este
“algo” damos o nome de calor.
Uma definição útil, mas não-operacional é a seguinte: calor é o que é transferido
entre um sistema e sua vizinhança, como conseqüência apenas da diferença de
temperatura.
Finalmente, ficou estabelecido que, de um modo geral, o calor é uma forma de
energia ao invés de uma substância.
Em 1798, Benjamin Thompson (1753-1814), o Conde Rumford, comunicou à
Royal Society of London o trabalho intitulado “ Uma investigação concernente à
Fonte de Calor que é produzido por Fricção”, no qual relatou experiências que
demonstraram ser o calor uma forma de energia. A primeira evidência
experimental, sobre o aspecto mecânico do calor foi observada durante a
fabricação de canhões de bronze, quando blocos do metal se tornavam
incandescentes à medida que a broca os perfurava, sendo que o bronze esquentava
mesmo que a broca estivesse cega.
CALOR E 1a LEI DA TERMODINÂMICA
Em 1799, o químico inglês Sir Humphry Davy (1778-1829) registrou o resultado
de suas experiências sobre a produção de calor por atrito, nas quais friccionou
pedaços de substâncias que se fundem a baixas temperaturas (gelo, cera, sebo,
resina, etc.). Em vista disso, concluiu que o calor não é matéria, mas um
movimento peculiar de partículas dos corpos.
Nesta experiência, Rumford pôs em dúvida a ponderabilidade do calórico, ao
observar que os corpos não aumentavam de peso quando se tornavam mais quentes
e nem o gelo quando derretia. Logo, se o calórico existisse, não deveria ter peso.
Seria mais um fluido imponderável incorporado aos já existentes: flogístico, fluido
elétrico, fóton newtoniano e outros. Sabe-se hoje, que qualquer forma de energia
possui uma massa ponderável que é obtida pela equação de Einstein.
Entretanto, os trabalhos de Davy, Joule e outros mostraram que só tinha sentido
falar em calor enquanto houvesse processo de transferência de energia, fazendo
desaparecer definitivamente a concepção do calórico (isto é, de que o calor seja
algo contido nos corpos). O mesmo ocorria com trabalho (transferência de energia)
desde que não houvesse variação de temperatura.
Obs: Pesquisar mais sobre a teoria do calórico: TCC – Uma visão contemporânea
da termoquímica através de formas diferenciais.
Já vimos que a temperatura é uma medida da vibração das moléculas. Quando os
dois corpos são postos em contato, dá-se o encontro, na superfície que os separa,
das moléculas velozes do corpo quente com as moléculas lentas do corpo frio.
Em decorrência dos choques, as moléculas rápidas perdem velocidade e as lentas
ficam mais velozes. Com o passar do tempo, esse processo se estende também para
o interior de ambos os corpos, até que os dois diferentes tipos de molécula fiquem,
em média, com a mesma energia cinética. No final do processo, as moléculas do
corpo frio apresentam mais energia cinética do que tinham de início; com as
moléculas do corpo quente, ocorre o contrário. No conjunto, há uma passagem de
energia do corpo quente para o corpo frio.
Para Newton (1704): “o calor consiste num minúsculo movimento de vibração das
partículas dos corpos” que foi endossado por F. Bacon e R. Hooke. O calor é,
portanto, uma transferência de energia entre dois corpos que inicialmente apresentam
temperaturas diferentes.
Estudo do Calor
Quantidade de Calor (Q)
A quantidade de calor recebida ou cedida por um corpo, ao sofrer variação de
temperatura sem que haja mudança de fase, é denominada calor sensível.
Q = m.c.T
Q = quantidade de calor (cal)
m = massa (g)
c = calor específico (cal/g. ºC)
T = variação da temperatura (º C)
T = T - To
Unidades: 1kcal = 103cal =1Btu (unidade térmica britânica)
Capacidade Térmica (C)
Para uma dada massa, a quantidade de calor necessária para produzir um
acréscimo de temperatura depende da substância. Chama-se capacidade térmica,
C, de um corpo o quociente entre a a quantidade de calor Q fornecida ao corpo e o
correspondente acréscimo de temperatura, T.
Q
C
T
dQ
C
dT
Obs: A palavra “capacidade” não deve ser interpretada como “a quantidade de
calor que um corpo pode reter”, mas “o calor fornecido a um corpo para elevar de
uma unidade sua temperatura.
Calor Específico (c)
A capacidade térmica, C, por unidade de massa de um corpo, chama-se calor
específico, c, depende da natureza da substância da qual ele é feito e é definido
como:
C
c
m
1 dQ
c
m dT
Obs: Nem C de um corpo nem c de um material são constantes. Eles dependem de
T (ou dT).
O calor que deve ser transferido a um corpo de massa m, cujo material tem calor
específico c, para elevar sua temperatura desde Ti até Tf é, supondo que
T << Tf - Ti,
Tf
Q   mcT
Ti
No limite quando T  0, temos:
Tf
Q  m  cdT
c  f (T )
Ti
Obs: Para pequenos intervalos de temperatura, c é considerado constante.
Obs: A expressão anterior de c não o defini completamente. Pois devemos
especificar suas condições, tais como cp (a pressão constante), cV (a volume
constante), etc.
Tabela: Mostra cp para alguns sólidos (T ambiente e p =1atm).
1a coluna
2a coluna
3a coluna
5a coluna
6a coluna
- A 2a coluna mostra como cp dos sólidos varia grandemente de uma substância
para outra. Se compararmos amostras de substâncias que contêm o mesmo número
de moléculas em vez de amostras de mesma massa. Isto é, cal/goC em vez de
cal/moloC, temos a capacidade térmica molar (ou calor específico molar).
1 mol = 6,02252.1023 moléculas = n (no de Avogrado)
Obs: Em 1819, Dulong-Petit mostraram que a capacidade térmica molar de todas as
substâncias, com algumas exceções era  6cal/moloC. 5a e 6a coluna = (2a e 3a).(4a).
TRANSMISSÃO DE CALOR
Condução
Experimente pegar uma vareta metálica de uns 30 cm e aquecer uma de suas
extremidades na chama de uma vela.
Após algum tempo, a extremidade que você segura também estará quente. Isso
acontece porque o calor se propaga através da vareta e atinge sua mão. Esse
processo de propagação do calor através das moléculas do meio é chamado de
condução.
Os materiais em geral apresentam diferentes condutibilidades, ou seja, alguns
conduzem mais calor que outros. Os metais costumam ser bons condutores de
calor, enquanto o isopor, a lã de vidro, a borracha, o amianto e a madeira são maus
condutores; podemos até dizer que são isolantes térmicos (não conduzem calor).
As paredes das geladeiras são forradas com lã de vidro para evitar que entre calor
dentro delas. As paredes dos fornos também são forradas com lã de vidro, só que
para evitar que o calor saia.
Os agasalhos que usamos no inverno também são feitos de isolantes térmicos, como
a lã. Assim, o calor produzido pelo nosso corpo não escapa para a atmosfera, e nos
sentimos aquecidos. No deserto, ao contrário do que se imagina, devem ser usadas
grossas roupas de lã. Isso impede que o forte calor fique em contato com a pele.
A
P = fluxo de calor
isolante
gradiente de temperatura
ou
Em laboratório,
dQ
dT
P
 kA
dt
dx
Q
T
P
 kA
t
x
TQ > TF
-T = ( TQ – TF)
x
L
mcT
T
T decresce linearmente ao
 kA
longo da barra
t
L
mc L
k
(condutividade térmica)
t A
L k t

 cte
A mc
mx cx tcm
k x  kcm
mcm ccm t x
Obs: o fenômeno de condução de calor ilustra nitidamente que os conceitos de calor e
temperatura são diferentes. Ex: Barras diferentes podem conduzir Q diferentes para a
mesma T.
Condutividade térmica (k), kcal/s.moC (gases 0oC , metais à temperatura ambiente:
Ex: Consideremos uma lâmina formada por 2 substâncias, de espessuras L1 e L2 e
condutividade térmica k1 e k2. Se as temperaturas são T1 e T2, determine a taxa com
que o calor é transmitido através da lâmina composta, em regime estacionário.
P1  P2  P
A T2  T1 
P
L1 L2

k1 k2
A Tx  T1 
A T2  Tx 
k1
 k2
L1
L2
Para N camadas adjacentes:
Para 2 camadas adjacentes
P
A T2  T1 
N
L / k 
i 1
i
i
Convecção
A convecção térmica é a propagação que ocorre nos fluidos (líquidos, gases e
vapores) em virtude de uma diferença de densidades entre partes do sistema.
Podemos observar o fenômeno da convecção no funcionamento de uma geladeira.
Existe um motivo para que o congelador esteja sempre na parte superior da
geladeira. O congelador esfria o ar, que se torna mais denso e tende a descer.
Enquanto desce, ele retira calor dos alimentos que encontra. Nesse tempo, o ar
quente das partes inferiores da geladeira tende a subir. Em contato com o congelador,
ele esfria e o processo continua.
Podemos então dizer que a convecção é o processo de transmissão de calor através
do deslocamento de massas de fluidos (líquidos ou gases). Nos radiadores de
automóveis também temos um exemplo de convecção. A água quente do motor, por
ser menos densa, tende a subir para o radiador, onde esfriará. Voltando ao motor, já
mais fria, ela resfriará o motor, se aquecerá e o processo terá seguimento.
Irradiação
O calor do Sol percorre milhões de quilômetros até chegar à Terra.
Essa propagação não se dá por condução nem por convecção. Nesse trajeto, o calor
se propaga no vazio por irradiação, isto é, através de ondas.
Podemos perceber a irradiação em outras situações. Você sente o calor que vem de
um forno aceso, mesmo não encostando nele.
A rigor, todos os objetos irradiam calor o tempo todo. Seu corpo mesmo está
irradiando neste exato momento. Quando a temperatura de um corpo é constante, é
porque existe um equilíbrio entre o calor recebido e o calor irradiado ou cedido por
condução ou convecção. A estufa de plantas é um interessante exemplo de irradiação
de calor. O vidro permite que o calor do Sol entre e atinja as plantas. Esse calor é
absorvido pelas plantas e pelos demais objetos da estufa e irradiado em forma de
outras ondas, que não conseguem atravessar o vidro. O calor permanece então
dentro da estufa, favorecendo o crescimento das plantas.
EQUIVALENTE MECÂNICO DO CALOR
Obs:
unidade de trabalho: J
e
unidade de calor: cal.
Calor e trabalho foram entendidos como conceitos distintos até Rumford, em 1798,
sugerir que calor tinha uma conotação mecânica, propondo assim uma conexão
entre eles através do princípio de conservação de energia (séc.XIX). Este princípio
estabelece calor e trabalho são formas de energia e que deve haver uma relação
definida , chamada equivalente mecânico do calor, entre elas.
Em 1850, Joule foi quem primeiro determinou experimentalmente quantos joule de
trabalho são equivalentes a 1 cal. de calor. Mede W, observa-se T e calcula-se Q.
1kcal = 103cal = 4,186J
Isto é, 4,186J de trabalho mecânico, quando inteiramente convertidos em energia
calorífica, geração 1kcal (T = 15,5 – 14,5 = 1oC de 1kg de água).
Joule fez ainda outras experiências. Suas conclusões são boas:
- Precisão nos resultados finais que diferem de 1% dos valores atuais;
- Sua influência perante os cientistas da correção do conceito de que calor, como
trabalho, é uma forma de energia.
fronteira do sistema
W
Q
vizinhança
vizinhança
vizinhança
F
dx
F
dx
Vi
Vf
T = cte
pV = cte
MUDANÇAS DE ESTADO
Uma substância pode passar de uma fase para outra através do recebimento ou
fornecimento de calor. Essas mudanças de fase são chamadas de: fusão,
solidificação, vaporização, liquefação ou sublimação.
Qualquer substância pode ser sólida, líquida ou gasosa, conforme a temperatura e a
pressão em que se encontre.
MUDANÇAS DE ESTADO
Por exemplo, a água se apresenta tanto no estado sólido, quanto no estado líquido
ou no gasoso. Sob pressão normal, se formos aumentando a temperatura do gelo,
ele passará a 0oC, ao estado líquido e depois, a 100oC, ao estado gasoso.
Quase todos os corpos, com o aumento de temperatura, se comportam como a
água, ou seja, passam do estado sólido ao, líquido e então ao gasoso.
Toda mudança de estado é acompanhada de absorção ou de liberação o de energia.
Na fusão de um sólido e na evaporação de um líquido há recebimento de energia
do exterior. Na condensação de um gás e na solidificação de um líquido há envio
de energia ao exterior.
Vamos pôr alguns pedaços de substância sólida (por exemplo, de estanho) num
recipiente e deixá-lo sobre o fogo. Num termômetro colocado dentro do recipiente,
poderemos observar como muda a temperatura do estanho. Inicialmente, ela
aumenta, até que, ao chegar a 232oC, o estanho começa a fundir.
Durante todo o tempo em que dura o processo de fusão, a temperatura não aumenta,
mas se mantém constante a 232oC. Quando todo o estanho estiver liquefeito, a
temperatura voltará a subir.
A passagem do estado sólido ao estado líquido ocorre a uma temperatura bem
determinada (no caso do estanho, 232oC), denominada temperatura de fusão.
Calor latente
Ao receber calor, um bloco de gelo a 0o C derrete, transformando-se em água no
estado líquido. Por mais que o gelo receba calor, enquanto está ocorrendo a
mudança de estado, sua temperatura permanece constante e, nesse caso, o calor
recebido pelo gelo recebe o nome de calor latente.
Podemos dizer que calor latente é aquele que provoca mudança de estado de uma
substância sem alterar sua temperatura.
As experimentações feitas por físicos em laboratórios mostram que a quantidade de
calor requerida numa mudança de estado depende da substância (água, ferro,
chumbo etc.) e de sua massa. No caso do gelo, são necessárias 80 calorias para que
1 grama passe para o estado líquido.
QL
Calor latente
Quando uma substância está mudando de estado, ela absorve ou perde calor sem
que sua temperatura varie. A quantidade de calor absorvida ou perdida é chamada
calor latente.
Q = m.L
Q = quantidade de calor (cal)
m = massa (g)
L = calor latente da substância (cal/g)
Trocas de Calor
Quando dois ou mais corpos trocam calor entre si, até estabelecer-se o equilíbrio
térmico, é nula a soma das quantidades de calor trocadas por eles.
Q A + QB = 0
QRECEBIDO > 0
QCEDIDO < 0
Os recipientes utilizados para estudar a troca de calor entre dois ou mais corpos
são chamados calorímetros.
Teoria Cinética dos Gases I
Teoria Cinética dos Gases I
n
n
n
Teoria Cinética dos Gases I
n
n
n
R = 8,317J/mol.K e N = 6,023.1023 moléculas/mol
Teoria Cinética dos Gases I
n
n
n
n
Teoria Cinética dos Gases I
Teoria Cinética dos Gases I
Teoria Cinética dos Gases I
n
n
n
n
Teoria Cinética dos Gases I
pV = nRT
pm = RT

Tabela: para gases a 0oC.
V = m/
p = RT
 m
e
n=1
vRMS 
3p

densidade
do gás
Teoria Cinética dos Gases I
vRMS 
3p
p

mv
pV  RMS
3
2
 vRMS 2
pV 
3
2
VvRMS 2
3
mvRMS 2
pV 
3
2  nMvRMS 2 
pV  
 =
3
2

nMvRMS
3
1
3
K  MvRMS 2  RT
2
2
pV 
pV  nRT
Interpretação cinética de T
K  f T 
K 
1
3
MvRMS 2  RT
2
2
Teoria Cinética dos Gases I
Como é visto na tabela:
K 
1
3
3
MvRMS 2  RT  kT tem aproximadamente
2
2
2
o mesmo valor todos os gases a uma mesma temperatura (no caso, 0oC). Logo,
2 m1vRMS12
2 m2vRMS 2 2
T

3k
2
3k
2
vRMS12 vRMS1
m1


vRMS 2 2 vRMS 2
m2
Concluímos que a uma mesma temperatura T a razão das velocidades quadráticas
médias das moléculas de 2 gases diferentes é igual à raiz quadrada do inverso da
razão de suas massas.
Aplicação no estudo da difusão (derramamento de um fluido, espalhamento,
propagação, disseminação) de 2 gases diferentes através das paredes porosas de
um recipiente colocado no vácuo. Isto é, quem tem menor massa tem maior
velocidade.
Forças Intermoleculares
São de natureza eletromagnéticas, tem curto alcance e podem ser de atração e
repulsão.
Todas as moléculas contêm cargas elétricas em movimento. Elas são neutras, não
significando ausência de interação entre as moléculas. Quando elas se aproximam,
suas cargas são perturbadas mutuamente.
Calor Específico de um gás ideal
Imaginemos que as moléculas de um gás ideal sejam esferas elásticas duras,
equivale a dizer que Fintermol. = 0 exceto durante colisões entre elas. Logo,
K = Eint
Portanto,
U = 0
1
3
3
2
K  MvRMS  RT  kT
2
2
2
Calor específico (ou calor de massa)
(gás de N moléculas)
3
3
Eint  NkT  nRT
2
2
Capacidade térmica molar (calor específico
molar, C)
Importante no estudo dos gases: Capacidade térmica a volume constante (Cv) e a
pressão constante (Cp)
Calor Específico de um gás ideal
a  b = transf. isobárica
a  c = transf. isocórica
b  c = transf. isotérmica
T = cte
p = cte
Q = Eint + W
0
W = p.V = 0
Eint = Q = nCvT
Aplicando a 1a Lei da Termodinâmica, temos:
Na transf. de a  c
Q = nCvT e
Na transf. de a  b
Q = nCpT e
Igualando as 2 equações, temos:
nCvT = nCpT - nR .T
W = p.V
nCvT = nCpT - p .V
Eint = nCpT - p .V
Como,
Cp - Cv = R = 8,31J/mol.K = 1,99cal/mol.K
pV = nRT
Cp > Cv
Calor Específico de um gás ideal
Na equação anterior podemos determinar primeiro um depois o outro, isto é, Cv e
depois Cp e vice-versa. Logo, vamos determinar Cv por:
Combinando:
3

Eint  nRT
2


Eint  nCv T
Eint
1 Eint 1
Cv 
 lim
n T
n T 0 T
1 d 3nRT / 2
Cv 
n
dT
Cv 
1 dEint
Cv 
n dT
13
Cv 
nR
n2
3
R
2
Obs: Cv  3cal/mol.K (bom para gases monoatômicos e está em desacordo com os
gases diatômicos e poliatômicos). Isso sugere que Eint = 3nRT/2 não é geral.
Logo, o modelo deve ser alterado.
Exemplo 5: Halliday Cap.23
Mostre que, para um gás ideal submetido a uma transformação adiabática pV = cte,
onde  = Cp/Cv.
Q = Eint + W
Aplicando a 1a Lei da Termodinâmica, temos:
Q = 0
Numa transformação adiabática:
Substituindo, temos:
0 = nCvT + p. V
Para um gás ideal, temos:
pV  V p  nRT
e
W = p .V (gás ideal) Eint = f(T)
T  
pV
nCv
pV  nRT (De modo que, p, V e T sofrem variações
T 
pV  V p
nR
pequenas).
Igualando as 2 equações de T e sabendo que Cp - Cv = R, temos:
pV  V p
pV

nR
nCv
pV  V p
pV

nCv
n  C p  Cv 
npVCv  nV pCv  npVC p  npVCv
Exemplo 5: Halliday Cap.23
pVC p  V pCv  0
Dividindo tudo por p.V.Cv e lembrando que, por definição  = Cp/Cv., temos:
p
V

0
p
V
No limite esta reduz-se a:
dp
dV
 p   V  0
dp
dV

0
p
V
ln p   .ln V  0
ln p  ln V   0
  quantidade de gás
pV   e0  1
pV   cte
ln  pV    0
Exemplo 5: Halliday Cap.23
Exemplo 6: Halliday Cap.23
As compressões e rarefações em uma onda sonora de autofreqüência são
praticamente adiabática. Mostre que neste caso a velocidade do som em um gás
ideal é dada por:
v
Solução:
pV  cte
v
B

p

e
d  pV 
 cte
dV
 p 
B  V 

 V 
Bisotérmica
dp
p V
0
dV
 dp 
 V 

dV


 dp 
p  V 
 Bisotérmica

 dV isotérmica
Na onda sonora, as transformações são adiabáticas.
 dp 
p  V 
 Badiabática

 dV adiabática
pV   cte
 dp 
p V  1  V  
0

 dV adiab.
Para a transformação adiabática:
d  pV  
dV
 cte
Badiabática   p
v
p

Equipartição de energia
1857 – Clausius, sugere a 1a modificação do modelo cinético de um gás que
pudesse explicar o calor específico dos gases.
Lembrete: No modelo cinético, as moléculas se comportavam como esferas
duras e elásticas e sua energia era puramente translacional (determinava a
temperatura do gás). O calor específico era satisfatório para moléculas
monoatômicas.
Obs: Considerando a molécula com uma estrutura interna, e não como rígida, a
molécula pode absorver energia na forma vibracional, translacional e
rotacional. Nas colisões, os modos vibracional e rotacional poderiam ser
excitados e contribuiria para a energia interna do gás. Logo, a proposta do novo
modelo é modificar a formulação da energia translacional para a energia
interna.
Eint  Etransl .  Erot  Evibraç  Eelást  ...
massa reduzida
1
1
1
1
Eint  mv 2  Iw2  v 2  kx 2  ...
2
2
2
2
Equipartição de energia
Mecânica Estatística => n é muito grande.
Mecânica Newtoniana => é válida.
E = <E> = f(T).
Em outras palavras, a E depende de T e se distribui igualmente para cada modo
que independe da energia absorvida (modo chamado de grau de liberdade).
Teorema da Equipartição da Energia => J. C. Maxwell
Da equação:
3
Eint  RT
2
=
Etransl
1 ___2 1 ___2 1 ___2
 m vx  m v y m v z
2
2
2
O Teorema da Equipartição da Energia exige que cada parcela contribua com a
mesma fração para a energia total por mol, ou seja RT/2 por grau de liberdade.
As moléculas dos gases monoatômicos são dotados apenas de movimento de
translação (não possuem estrutura interna na teoria cinética), e portanto
Eint =3nRT/. Decorre de Cv = 3R/2  3 cal/mol.K. Então, de Cp = 5R/2. Logo,
Cp
5
2 5

 R.
  1, 67
Cv 2 3R 3
Equipartição de energia
Suporemos que as moléculas de um gás diatômico constituem pequenos
“halteres” (2 esferas ligadas por 1 barra). Essa molécula pode girar em torno de
qualquer de seus eixos ortogonais. Logo, Iwy2/2 e Iwz2/2. Pelo princípio de
equipartição, temos:
1

1
 5
Eint  3n  RT   2n  RT   nRT
2

2
 2
ou seja,
Cv 
1 dEint 1 d  5
 5

nRT

 R
n dT
n dT  2
 2
7
C p  Cv  R  R
2
Cp 7
2 7

 R.
  1,33
Cv 2 5R 5
Observamos na tabela alguns resultados para algumas moléculas. Entretanto, os
resultados evidenciam que nesse modelo não está ainda suficientemente próximo
da realidade.
Equipartição de energia
Não consideramos ainda as contribuições para a energia total devidas as
vibrações dos átomos das moléculas diatômicas e poliatômicas. Modificando
nosso modelo de “halteres” (2 esferas ligadas por 1 barra) para 1 modelo de 2
átomos ligados por mola (modelo empírico que mudaria de um gás para outro).
Esse novo modelo melhora bem os resultados, em alguns casos. Porque descreve
razoavelmente bem o comportamento molecular dos gases.
Esclarecimento:
Teoria Cinética dos Gases II
Entre colisões sucessivas, o movimento de uma molécula de um gás é retilíneo e
uniforme. A distância média que uma molécula percorre entre 2 colisões
sucessivas é chamada livre percurso médio (ou livre caminho médio, <L>).
Se as moléculas fossem pontos, elas não colidiriam e o livre percurso médio
seria então infinito, mas elas não são pontos. Se elas completassem todo o
espaço, Etransl = 0 e <L> = 0. Desse modo, vemos que <L> se relaciona com o
tamanho das moléculas e com o número por unidade de volume.
Teoria Cinética dos Gases II
No de colisões no tempo t.
1a aproximação: 1 molécula que
se choca com alvos estacionários.
Teoria Cinética dos Gases II
Na realidade, a molécula choca-se com alvos que se encontram em movimento.
A freqüência das colisões neste caso é aumentada, resultando em uma redução
do <L>, como é mostrado abaixo:
velocidade molecular média em
1
relação ao recipiente
L 
2
2 nd
Nesse caso, os 2 v são diferentes na equação:
determina a taxa
de colisões
L 
n d 2 vrelativo t
velocidade relativa média em relação as outras moléculas
Distribuição real de velocidade das moléculas conduz a
Isto é,
v t
vrelativo  2 v
vrelativo  v
Obs: A alturas muito grande, <L> perde o sentido, pois as trajetórias são
balísticas e podem escapar da atmosfera.
<L> = 2.10-5cm (p = 760mmHg, moléculas de ar na atmosfera, ao nível do mar)
<L> = 2mm (p = 10-3mmHg a uma altitude de 100km)
<L> = 15cm (p = 10-6mmHg a uma altitude de 300km)
Teoria Cinética dos Gases II
Teoria Cinética dos Gases II
Teoria Cinética dos Gases II
Teoria Cinética dos Gases II
Teoria Cinética dos Gases II
Distribuição de Maxwell
A lei da distribuição de velocidade de Maxwell foi deduzida em 1859. Em 1920,
foi feita a 1a tentativa de verificação por Stern. Em 1955, Miller e Kusch fizeram
uma verificação experimental de alta precisão daquela lei para moléculas de um
gás.
F  v  v e
3
  mv
2
/ 2 kT

Em 1964, Rainwater e Havens fizeram uma verificação experimental de alta
precisão da lei de distribuição de Maxwell para moléculas de um gás de nêutrons,
mostrando boa concordância.
Teoria Cinética dos Gases II
Movimento Browniano
Nos primórdios da teoria cinética: Dátomo  10-7 a 10-8cm deveria ter, pois ainda
não tinha sido observado.
W. Ostwald opositor da teoria atômica e molecular.
L. Boltzman (1879), salientou a indispensabilidade da teoria atômica nas ciências
naturais.
1a evidência experimental direta da existência dos átomos resultou dos estudos
quantitativos sobre o movimento browniano, que convenceram os opositores da
validade da teoria cinética e da teoria atômica da matéria. Posteriormente,
determinação das constantes atômicas fundamentais.
Distribuição
inicial
é
uniforme, depois fica ao acaso.
- Proporciona uma importante
verificação experimental das
hipóteses da teoria cinética.
Teoria Cinética dos Gases II
Movimento Browniano
É assim chamado por causa do botânico inglês R. Brown; este descobriu, em 1827,
que os grãos de pólen suspensos em água movimentam-se continuamente de modo
caótico (aleatório), quando observados ao microscópio.
Explicação quantitativa só em 1905 por A. Einstein: Teoria do movimento
browniano => objetivo principal era encontrar fatos que garantissem a existência de
átomos de tamanho definido. Ele percebeu que, de acordo com a teoria atômica,
partículas microscópicas em suspensão (em fluidos) deveriam ser dotadas de
movimento observável (tem movimento térmico, Ec = 3nkT/2, de acordo com o
princípio de equipartição), sem saber que as observações relativas ao movimento
browniano (resulta do impacto das moléculas do fluido com as partículas suspensas,
que adquirem a mesma Ec das moléculas) já eram conhecidas.
- Pode-se determinar o número
de Avogrado
N = 6,02.1023 átomos/mol
- Em
1908,
J.
Perrin
determinou o valor
N = 6.1023 partículas/mol
Teoria Cinética dos Gases II
Lei de Boyle
Equação de Estado de Van der Waals
Equação de Estado
Relação fundamental de um gás ideal na escala macroscópica:
pV =nRT
Os gases reais obedecem a essa relação fundamental apenas em baixas
densidades. Esses gases nos dão informações a respeito da natureza das forças
intermoleculares e da estrutura das moléculas.
A Teoria Cinética proporciona uma descrição microscópica do comportamento de
um gás ideal. natureza das forças intermoleculares e da estrutura das moléculas.
J.D. van der Waals (1837-1923) deduziu uma equação de estado modificada,
pv  RT , onde: v  V / n
(gás ideal)

p  v  b   RT , onde: b é uma correção do volume (covolume).
determinados experimentalmente
a
 p  2   v  b   RT , onde: a é uma correção na pressão
v 

(gás real) 
(interação das partículas) .
pressão interna
Equação de van der Walls
(equação empírica)
Teoria Cinética dos Gases II
Tese de Doutorado
Equação de Estado de Van der Waals
a

 p  2   v  b   RT
v 

 pv
2

RTc  2 a
ab
3
2
2
3
v  b 
v

v


v

3
v
v

3
v
v

v

c
c
c
p
p
p
c 
c
c

3
 a   v  b   v 2 RT

RTc 
a
2
b


3
v


3
v


c
c
p
p
c
c 

pv 3  pv 2b  av  ab  RTv 2  0
pv 3   pb  RT  v 2  av  ab  0

RT  2 a
ab
v  b 
v

v

0

p 
p
p

3
No ponto crítico, (T = Tcrit, p = pcrit)
 v  vc   0
3
v3  3vc v 2  3vc 2v  vc 3  0
Esse polinômio tem 3 raízes.

a
b  vc 3
pc
a
 3vc 2
pc

RTc 
b 
  3vc
pc 

3vc 2b  vc3
pcrit 

a
b  vc 3
pc
vcrit  3b
a
27b 2

RTc 
b


  9b
pc 

Tcrit
8a

27bR
Tc 
8b
pc
R
Teoria Cinética dos Gases II
Equação de Estado de Van der Waals
p
RT
a
 2
v  b v
d  RT
a
RT
2a
RT
 dp 
 
 2 

 3   2 T  Tcrit 
 
2
v
4b
 dv T ,v vcrit dv   v  b  v T ,v v
v

b


crit
d  RT
a
RT
2a
 dp 
 2   
 3 0
   
2
 dv T dv   v  b  v 
v  b v
 d2 p 
d 
RT
2a 
2 RT
6a





0


 2
2
3
3
4
v   v  b  v
 dv T dv   v  b 
Segunda Lei da Termodinâmica
A Segunda Lei da Termodinâmica surgiu a partir do estudo das máquinas a vapor ou
térmica. Em 1824, Carnot descreveu as primeiras observações experimentais sobre
os processos termodinâmicos irreversíveis através da máquina a vapor ideal. Porém,
para que não houvesse perda e o rendimento fosse integral, uma fonte deveria estar
com temperatura nula.
Em 1850, após estudar um outro processo irreversível, Clausius afirmou que: “É
impossível construir um dispositivo cíclico e não produzir outro efeito senão a
transferência de calor de um corpo de baixa temperatura para outro de alta
temperatura".
Com o desenvolvimento da Termodinâmica os enunciados de Kelvin e Clausius são
equivalentes e expressos pelo Teorema de Carnot:
a) Nenhuma máquina térmica que opere entre uma dada fonte quente e uma fonte
fria pode ter rendimento superior ao de uma máquina de Carnot.
b) Todas as máquinas de Carnot que operem entre duas fontes (quente e fria) terão o
mesmo rendimento.
Em 1851, William Thomson (Lord Kelvin) fez a seguinte afirmação:
“É impossível construir uma máquina, operando em ciclos, cujo único efeito seja
retirar calor de uma fonte e convertê-lo integralmente em trabalho”.
Segunda Lei da Termodinâmica
Em 1854, Clausius conceitua o que é chamado de valor de equivalência de uma
transformação térmica, que representa a medida da relação entre a quantidade de
calor (Q) e a temperatura (T) na qual ocorre a transformação. Esse conceito
distingue um processo irreversível de um reversível. Clausius adotou para a
transformação de calor de um corpo quente para um frio, um valor de equivalência
positivo, definido por:
“A soma algébrica de todas as transformações ocorrendo em um processo cíclico
somente pode ser positiva”.
Em 1865, Clausius propôs o termo entropia (do grego, transformação) em
substituição ao termo valor de equivalência. Ele considerou qualquer ciclo
constituído por uma sucessão de ciclos infinitesimais de Carnot, chegando ao
Teorema de Clausius escrito na forma:
Q1 Q2
Q

 ...  
  dS  0
T1
T2
T
Esta equação estabelece que a soma dos números algébricos é nula para um ciclo de
Carnot [9]. Isso consiste em afirmar que qualquer ciclo reversível é equivalente
a um conjunto de ciclos de Carnot.
Segunda Lei da Termodinâmica
Quando a integral de uma grandeza ao longo de qualquer caminho fechado é nula,
esta grandeza denomina-se variável de estado ou de configuração, isto é, tem um
valor característico apenas do estado do sistema, e independente de como esse
estado foi atingido. O sinal de menor (<) está relacionado com as transformações
irreversíveis e o de igualdade (=) com as transformações reversíveis. Qualquer
transformação, no sistema, leva ao aumento de entropia e é decorrente da remoção
de alguma restrição. Logo, Clausius definiu como sendo a relação entre a troca de
calor (Q) e a temperatura absoluta (T) em uma transformação isotérmica.
Carathéodory identificou (T) como sendo uma variável intensiva que é sempre
positiva e (S) uma variável extensiva a menos de uma constante. Na formulação
de Carathéodory-Born a Segunda Lei da Termodinâmica tem o seguinte
enunciado:
“Na vizinhança de qualquer estado de equilíbrio de um sistema existem estados de
equilíbrio próximos que não podem ser ligados por curvas adiabáticas
reversíveis nulas da 1-forma , calor elementar”.
  TdS
Terceira Lei da Termodinâmica
Se um sistema passa por uma transformação isotérmica reversível sem transmissão
de calor, a temperatura em que esta transformação ocorre é o zero absoluto. Logo,
no zero absoluto, coincidem os processos adiabático e isotérmico.
O rendimento de uma máquina de Carnot é dado por:
 1
T2
T1
que é o rendimento possível de qualquer máquina que opere entre as temperaturas T1
e T2. Para obter o rendimento de 100%, T2 deve ser nula. Apenas quando o
reservatório a baixa temperatura estiver no zero absoluto, haverá conversão
integral do calor absorvido do reservatório a alta temperatura em trabalho.
Os processos de esfriamento levarão a formulação da Terceira Lei da
Termodinâmica: “É impossível, por qualquer procedimento, não importa quão
idealizado, reduzir qualquer sistema a temperatura do zero absoluto mediante
um número finito de operações”. Na prática, é impossível obter um reservatório
à temperatura do zero absoluto e, consequentemente, uma máquina com
rendimento 100%.
Terceira Lei da Termodinâmica
Em 1905, o físico e químico alemão, Hermann Nerst (1864-1941), demonstrou o
famoso Teorema de Calor de Nerst:
“A variação de energia total de um gás tende à zero a medida que a temperatura
também tende a zero”.
A demonstração deste teorema levou, em 1910, o físico e químico alemão, Walther
Hermann Nerst (1864-1941), juntamente com o físico alemão Max Karl Ernst
Ludwing Planck (1858-1947), a enunciarem a Terceira Lei da Termodinâmica,
também conhecida por Teorema de Nerst - Planck:
“A entropia de uma substância pura se aproxima do zero quando a sua temperatura
se aproxima da temperatura do zero absoluto (0º K)”. Essa lei é uma conseqüência
da Segunda Lei e ocorre em processos de equilíbrio, ou seja,
dS 
Q
T