PESQUISA DE PRÉ-REQUISITOS PARA O TRABALHO COM
EQUAÇÕES NO ENSINO FUNDAMENTAL
Helen Fabia Ferreira da Cunha1- PUCPR
José Luis Tavares2- PUCPR
Eduardo Quadros da Silva3- PUCPR
Grupo de Trabalho - Didática: Teorias, Metodologias e Práticas
Agência Financiadora: não contou com financiamento
Resumo
Este trabalho parte de experiências no colégio Estadual Luiza Ross em turmas de 6º a 9º anos
no trabalho dos bolsistas de iniciação à docência com estudantes que apresentaram
dificuldades em Matemática. Os referidos bolsistas passaram a utilizar escalas para mapear
pré-requisitos dos conteúdos onde havia dificuldade para detectar possíveis temas que
poderiam estar causando a dificuldade na aprendizagem. As escala consistem em diagramas
onde os estudantes puderam fazer o diagnóstico semanal por meio de avaliações periódicas e
fazer o registro da evolução do estudante. À medida que o estudante avançava nos prérequisitos, registros eram feitos e também foi possível observar que ficou mais fácil trabalhar
o conteúdo onde o mesmo tinha dificuldade. Cada pré-requisito foi mapeado com um
diagrama de três cores o vermelho para indicar situação insuficiente, o laranja para indicar
que algum progresso havia ocorrido e o azul para indicar que o pré-requisito já estava quase
que totalmente resolvido e que não ocorreriam problemas quando ele estivesse presente nos
problemas do conteúdo atual. A rotina de trabalhar os pré-requisitos juntamente com os
conteúdos em dificuldade permitiu dar mais segurança aos estudantes e também fazer com
que conseguissem entender o porquê de algumas relações estarem acontecendo nos conteúdos
. Tanto para os bolsistas de iniciação à docência como para os estudantes do ensino
fundamental foi uma experiência interessante que resultou em ganho de experiência no
sentido de resolver problemas de Matemática. Alguns até começaram a perceber a dinâmica
dentro da Matemática onde os conteúdos são trabalhos na dependência do domínio de outros
anteriormente vistos.
Palavras-chave: Dificuldades de Aprendizagem. Escalas de Pré-requisitos. Ensino de
Matemática.
1 Estudante de Licenciatura em Matemática, PIBID-PUCPR, [email protected].
2 Estudante de Licentiatura em Matemática, PIBID-PUCPR, [email protected].
3Doutor em Engenharia Florestal(UFPR)Mestre em Educação(PUCPR), Professor Titular da Pontifícia
Universidade Católica do Paraná (PUCPR).E-mail: [email protected].
ISSN 2176-1396
20328
Introdução
Os estudantes que participam do programa de bolsas de iniciação à docência do
Subprojeto Matemática da PUCPR têm uma série de indicadores previstos no projeto para
serem cumpridos. Entre estes indicadores está o auxílio ao exercício da docência e também o
trabalho com dificuldades de aprendizagem. Nos dois últimos semestres os estudantes têm se
dedicado, além das outras atividades propostas pelo projeto, ao trabalho de apoio a estudantes
com dificuldade. Inicialmente os estudante foram fazendo tentativas de sanar as dúvidas
trazidas pelos alunos. Entretanto, com o tempo, percebeu-se que as dificuldades não estavam
apenas no conteúdo que estava sendo visto no momento. Os problemas vinham de outros
anos. Dúvidas que causavam total desmotivação para tentar aprender por conta do não
entendimento do que estava sendo proposto. Surgiu então a ideia de escolher alguns temas
para fazer um trabalho diferenciado onde seria feita uma pesquisa do histórico de matemática
de estudantes para verificar que tipo de pré-requisitos estavam ocasionando mais entraves na
aprendizagem dos conteúdos atuais.
No caso da Matemática, mais propriamente de equações do primeiro grau,
inicialmente verificou-se que os estudantes não conseguiam avançar mesmo com repetições
de listas que eram trabalhadas em classe junto com o grande grupo. A partir desse fato surgiu
a ideia de trabalhar com escalas de pré-requisitos uma vez que os mesmo eram os principais
causadores do problema. Assim o presente relato traz uma descrição do que foi realizado com
alguns exemplos e também propõe uma discussão sobre a possibilidade de aplicar o método
em outras realidades. As atividades começaram com um estudo de resolução de problemas já
realizado por teóricos da Matemática e também do diagnóstico da realidade. Depois são
apresentados alguns exemplos da aplicação das “Escalas de Pré-Requisitos” e posteriormente
são apresentados os resultados e materiais que serviram de base para a elaboração do texto.
As dificuldades de aprendizagem em matemática
A preocupação com a solução de problemas tem sido uma constante em diferentes
níveis e modalidades de ensino. Uma estratégia histórica, do matemático George Pólya, e que
possivelmente pode ser aplicada em áreas relacionadas, são as etapas pensar, planejar,
resolver e revisar, estabelecidas na metade do século passado (PÓLYA,2006). É importante
destacar na obra de Pólya a preocupação com a interpretação do enunciado e do que está
sendo solicitado no problema. O autor também ressalta a importância de se estabelecer um
20329
plano e verificar se o resultado encontrado tem significado. A citada metodologia tem sido
utilizada por diversos autores de livros didáticos para proporcionar ao estudante não apenas
encontrar a solução do problema como verificar se a mesma tem sentido e fazer com que uma
situação matemática seja uma degrau que possa auxiliar o estudante a superar outros
obstáculos. Parece que uma atividade que faz falta em nossas classes de matemática é a que se
refere a última etapa proposta por Pólya. Será que se chegou ao resultado? O resultado faz
sentido ? Perguntas que muitas vezes se tornam incômodas nas classes mas que poderiam
amenizar muitos problemas.
Outro aspecto importante que é trabalhado na matemática é o desenvolvimento do
cálculo mental, do raciocínio lógico. Muitos estudantes já trazem maiores ou menores
dificuldades em lidar com o tema mas é importante o professor mensurar se não existem
grandes absurdos que impossibilitam o trabalho com os temas de matemática.
Muitas vezes em grandes classes e , considerando a diversidade dos históricos dos
estudantes que frequentam uma classe, fica difícil para o professor prestar um atendimento
que possa identificar situações onde houve rupturas, obstáculos que o estudante não
conseguiu transpor e que se tornam um entrave no entendimento de diversos conteúdos. Para
se perceber essas situações é necessário fazer diversas avaliações para ver quantos estudantes
estão aptos a entender o que está sendo explicado.
Diagnóstico da realidade.
Antes de fazer a proposta com as escalas de pré-requisitos os estudantes fizeram
diagnósticos da realidade presente para verificar em que situação os estudantes se
encontravam. O trabalho começou com os atendimentos individuais onde eram aplicadas
diversas avaliações desde o sistema de numeração decimal até as operações fundamentais
com o números naturais até se chegar mais próximo do conteúdo trabalhado. As avaliações
foram constantes e tudo foi mapeado a fim de estabelecer um plano onde os bolsistas
pudessem verificar exatamente em que situação cada estudante se encontrava e quais
mecanismos poderiam funcionar ou não. Nessa relação entre professor e estudantes entendese que a avaliação tem por objetivo proporcionar-lhes subsídios para as decisões a serem
tomadas a respeito do processo educativo que envolve professor e aluno no acesso ao
conhecimento (PARANÁ,2008, p.31).
A partir das constantes avaliações foram propostas para cada estudantes escalas de
controle de pré-requisitos, cada escala tinha três cores: o vermelho indicava que o conteúdo
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estava em um estágio insatisfatório e que deveria ser totalmente trabalhado. Já em outro
estágio, onde o aluno tinha um certo domínio mas alguma dificuldade em lembrar a essência
do tema foi foi utilizada a cor laranja para indicar que havia um domínio do conteúdo mas
que ainda era necessário recordar alguns aspectos para não ter problemas. Em um último
estágio foi utilizada a cor azul para indicar que o pré-requisito tinha sido trabalhado e que não
seria um entrave para desenvolver o conteúdo em questão.
Aplicação da Proposta
Os temas escolhidos foram dentro da Álgebra que tinha como pré-requisito aritmética.
No caso, escolheu-se o conteúdo que estava sendo trabalhado que era equações e a partir dele
foram mapeados todos os pré-requisitos para se aprender equações. A partir das dificuldades
dos estudantes foram feitas as seguintes escalas de pré-requisitos com as letras associadas às
cores V ,vermelho (situação insuficiente) L ,laranja (situação suficiente mas que deve ser
retomada) e A significa azul(situação propícia para aprendizagem de temas novos). Com essas
cores foi possível trabalhar com os estudantes no sentido de deixar grande parte dos
conteúdos na cor azul a fim de poder trabalhar com o conteúdo de álgebra no caso equações
que estava sendo proposto.
A tabela a seguir mostra bem o que foi o início do trabalho com um estudante que
trouxe dificuldades em resolver equações do primeiro grau com parênteses frações e em dar
sentido àqueles resultados.
Em um primeiro momento foram feitos testes de aritmética para verificar se o
estudante dominava a tabuada e as operações com números naturais e suas inversas (Tabela
1).
Tabela 1 – Atividade 1
Tabuada
V
Números Naturais
L
Adição
L
Subtração
L
Multiplicação
V
Divisão
V
Fonte: Dados organizados pelos bolsistas.
Com os dados apresentados já foi possível perceber que ficaria difícil trabalhar as
equações. Partiu-se então para o teste de conjuntos numéricos a fim de que fosse possível
situar o resultado das equações (Tabela 2).
20331
Tabela 2 – Atividade 2
Números Naturais
A
Números Inteiros
V
Números Racionais
V
Números Irracionais
V
Números Reais
V
Fonte: Dados organizados pelos bolsistas.
Depois o estudante foi submetido aos testes de operações inversas e com valores
desconhecidos e um trabalho com raciocínio lógico. Nesta etapa foram utilizadas atividades
do livro de (SUMMA,2012) que tem uma proposta para um desenvolvimento das habilidades
e diagnóstico do pensar logicamente (Tabela 3).
Tabela 3 – Atividade 3
Operações Inversas
V
Raciocínio Lógico
V
Cálculo de Valores Desconhecidos
V
Fonte: Dados organizados pelos bolsistas.
Depois de verificar a situação dos pré-requisitos foi aplicado um teste para verificar os
conhecidos de álgebra elementar e princípios aditivo e multiplicativo das equações. O
objetivo com esse teste era verificar em quanto os pré-requisitos estavam bloqueando a
aprendizagem de conteúdos novos (Tabela 4).
Tabela 4 – Atividade 4
Princípio Multiplicativo
V
Princípio Aditivo
V
Álgebra Elementar
V
Fonte: Dados organizados pelos bolsistas.
O primeiro tema a ser trabalhado com vários tipos de estímulos foi a tabuada. Também
foi necessário verificar a noção de número as operações inversas e outras questões
envolvendo aritmética. Desssa maneira, após os trabalhos realizados, os resultados que tinham
sido obtidos na Atividade 1 foram os seguintes (Tabela 5).
20332
Tabela 5 – Atividade 1 - Recuperação
Tabuada
L
Números Naturais
L
Adição
L
Subtração
L
Multiplicação
L
Divisão
L
-Fonte: Dados organizados pelos bolsistas.
É possível observar que ainda não é uma situação ideal mas já é um sinal de que algo
está sendo transformado a partir das atividades propostas. O fato do estudante dominar a
tabuada e os conceitos de adição e subtração já representam um grande avanço quando se quer
trabalhar equações (Tabela 6).
Tabela 6 – Atividade 2 - Recuperação
Números Naturais
A
Números Inteiros
L
Números Racionais
L
Números Irracionais
V
Números Reais
V
Fonte: Dados organizados pelos bolsistas.
O fato do aluno dominar um pouco da tabuada e das operações de adição e subtração
parece ter contribuído para o entendimento de números inteiros e racionais, além dos naturais.
Mais ainda não foi o suficiente para abstrair e pensar em números irracionais e reais.
A próxima atividade proposta foi no sentido de verificar a capacidade de raciocínio lógico
para entendimento de operações inversas e cálculo de valores desconhecidos (Tabela 3).
Tabela 6 – Atividade 3 - Recuperação
Operações Inversas
L
Raciocínio Lógico
A
Cálculo de Valores Desconhecidos
A
Fonte: Dados organizados pelos bolsistas.
Os resultados obtidos após trabalhos com esses temas foram surpreendentes. As
dificuldades com operações ainda apareceram mas o raciocínio lógico se mostrou ser algo
independente de conteúdos já vistos e formalizados. Assim como o cálculo mental de valores
desconhecidos também pareceu ser algo que vem das experiências vivenciadas no cotidiano.
Também não dependia de conteúdos sistematizados em sala no caderno ou livros (Tabela 7).
20333
Tabela 7 – Atividade 4 - Recuperação
Princípio Multiplicativo
V
Princípio Aditivo
V
Álgebra Elementar
V
Fonte: Dados organizados pelos bolsistas.
O objetivo da atividade quatro já era relacionar o que estava sendo trabalhado em sala
no 8º ano do estudante, já em caráter de retomada e o que ele estava conseguindo assimilar do
que era transmitido pelo professor. Também o objetivo era verificar até que ponto os prérequisitos interferem nos conteúdos que são trabalhados seja na forma de aplicação ou na
parte conceitual.
Atividade Diagnóstico Final
Após serem trabalhados muitas atividades em forma de jogos, desafios, materiais
manipuláveis e diversos estímulos durante cerca de três semanas foram apresentadas ao
estudante atividades semelhantes às do início a fim de observar que tipo de progresso tinha
acontecido uma vez que em observações rápidas isso esse fato era notório.
O presente quadro apresenta a situação do estudante após várias intervenções (Tabela
8).
Tabela 8 – Atividade Diagnóstico Final
Tabuada
Operações com Números Naturais
Operações com Números Inteiros e Racionais
L
Operações Inversas
Expressões com Parênteses e Denominadores
L
Cálculo de Valores Desconhecidos pelos
Princípios Aditivo e Multiplicativo
Fonte: Dados organizados pelos bolsistas.
A
A
A
A
No quadro final é possível perceber que o grande número de atividades de cálculo
mental contribuiu para o entendimento da tabuada e das operações com números naturais. A
questão dos sinais e das frações ainda não está totalmente dominada. Aparece também uma
dificuldade em trabalhar com expressões e propriedades das operações bem como
denominadores. Já o cálculo de valores desconhecidos que depende do raciocínio lógico.
20334
Análise de Resultados
A proposta foi aplicada com vários alunos da mesma série e casos semelhantes foram
aplicados com estudantes de outros anos do ensino fundamental. Os resultados encontrados
foram bastante heterogêneos uma vez que dependem da disposição do estudante, familiares e
outros fatores sociais. Mas o que se pode observar em todos os resultados é a importância do
diagnóstico. Em todos os casos que o professor foi informado que seus alunos tinham
dificuldade em determinado tema o docente fez pequenas retomadas na tentativa de obter
mais sucesso em sua ação.
Considerações Finais
Diante do que foi exposto foi possível verificar algumas características em nosso
estudante e que foram objeto de estudo para outros estudantes inclusive de outros níveis.
O diagnóstico inicial é muito importante para verificar o que está causando o
desconforto, a situação de insegurança ou de falta de domínio da situação. Certamente o
estudante sabia que deveria dominar a tabuada mas não tinha pensado em como ela seria
importante para o aprendizado de equações.
Parece que alguns temas da matemática são mais naturais para serem desenvolvidos
como, por exemplo o raciocínio lógico. Já algumas formalizações encontram resistência. A
questão das expressões que depois passa para as equações é uma prova de que algumas
formalizações da matemática talvez pudessem ser feitas quando o aluno tivesse mais
maturidade.
Outro aspecto importante que vale ressaltar é que a temática das equações acabou
envolvendo os conteúdos básicos. Os conteúdos posteriores podem ter contribuído para a
retomada dos pré-requisitos.
A impressão que se tem é que o estudante desenvolveu raciocínios e processos
decisórios próprios como por exemplo tirar mais proveito dos tempos em que está ouvindo as
explicações do professor.
O trabalho foi realizado com outros estudantes da mesma sala e os resultados foram
parecidos.
Seria importante que cada professor tivesse um mapa de quais conteúdos os estudantes
devem saber para que pudesse ter mais sucesso em seu trabalho e mais possibilidades de
amenizar os problemas causados pela falta de pré-requisitos.
20335
Apesar da proposta ter grande probabilidade de apresentar resultados diferentes
quando aplicada a um grupo maior de estudantes, destaca-se o valor do diagnóstico e das
possibilidades de amenizar os efeitos que uma total falta de pré-requisitos pode ocasionar.
REFERÊNCIAS
PARANÁ. SEED-PR, Diretrizes curriculares da educação básica –Matemática, Curitiba,
Imprensa do Paraná, 2008.
PÓLYA, George. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático.
Rio de Janeiro: Interciência, 2006.
SUMMA, Guilherme. Jogos de matemática e de raciocínio lógico, Rio de Janeiro, Vozes,
2012.