Matemática Financeira – ICMS-RJ/2008, com gabarito comentado – Prof. Wagner Carvalho
Olá, amigos concursandos de todo o Brasil!
Veremos, hoje, a prova do ICMS-RJ/2008, com o gabarito comentado.
1- O artigo 1º da Lei 11.948 de 28 de junho de 2007, que dispõe sobre o salário mínimo a partir
de 1º de abril de 2007, é transcrito a seguir:
“A partir de 1º de abril de 2007, após a aplicação do percentual correspondente à variação do
Índice Nacional de Preços ao Consumidor – INPC, referente ao período entre 1º de abril de 2006
e 31 de março de 2007, a título de reajuste, e de percentual a título de aumento real, sobre o
valor de R$ 350,00 (trezentos e cinqüenta reais) o salário mínimo será de R$ 380,00 (trezentos e
oitenta reais)”.
Considerando que o INPC acumulado no período foi de 3,4%, o percentual a título de aumento
real a que a lei se refere foi de:
a) 5,2%.
b) 4,8%.
c) 5,0%.
d) 5,8%.
e) 5,5%.
2- A fração de período pela convenção linear produz uma renda a e pela convenção exponencial
produz uma renda b. Pode-se afirmar que:
a) a = log n b
b) a < b
c) a = b
d) a = n b
e) a > b .
3- A taxa efetiva anual equivalente a i ao ano, capitalizados k vezes ao ano é:
i⎞
⎛
a) 1 − ⎜1 + ⎟
⎝ k⎠
k
i⎞
⎛
b) 1 − ⎜1 − ⎟
⎝ k⎠
k
1
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i⎞
⎛
c) ⎜1 − ⎟
⎝ k⎠
k +1
⎛
d) ⎜1 +
⎝
i⎞
⎟ −1
k⎠
k
⎛
e) ⎜1 +
⎝
i⎞
⎟
k⎠
−1
k +1
−1
4- Considerando uma taxa de juros de 0,5% ao mês, quanto, aproximadamente, uma família
deve investir mensalmente, durante 18 anos, para obter a partir daí uma renda mensal de R$
1.000,00, por um período de 5 anos? (Utilize, se necessário: 1,005 −60 = 0,74 ; 1,005 −216 = 0,34 e
1,005 216 = 2,94.)
a) R$ 260,00.
b) R$ 740,00.
c) R$ 218,00.
d) R$ 252,00.
e) R$ 134,00.
5- Analise as afirmativas a seguir, a respeito de sistemas de amortização de empréstimos:
I. No sistema francês, as prestações são constantes; os juros, decrescentes; e as
amortizações, crescentes.
II. No sistema de amortização constante (SAC), as amortizações são constantes; as
prestações, crescentes; e os juros, decrescentes.
III. No sistema americano de amortização, apenas os juros são pagos durante o
financiamento, e, ao final do prazo, a dívida é amortizada de uma só vez. Assinale:
a) se somente a afirmativa I estiver correta.
b) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas.
c) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.
d) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.
e) se todas as afirmativas estiverem corretas.
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6- Uma rede de lojas, que atua na venda de eletroeletrônicos, anuncia a venda de notebook da
seguinte forma:
•
R$ 1.125,00 à vista em boleto bancário; ou
•
3 prestações mensais iguais, sem juros, de R$ 450,00, vencendo a primeira prestação no
ato da compra.
Embora na propaganda seja utilizada a expressão “sem juros”, os clientes que escolhem a
segunda opção pagam juros ao mês de, aproximadamente: (Utilize, se necessário:
7 = 2,646 )
a) 13,5%.
b) 20,0%.
c) 21,5%.
d) 19,0%.
e) 9,5%.
7- Um banco desconta (desconto simples por fora), dois meses antes do vencimento,
promissórias com taxa de desconto de 5% ao mês e exige que 20% do valor de face da
promissória sejam aplicados em um CDB que rende 6% nesses dois meses. A taxa bimestral de
juros cobrada pelo banco é de, aproximadamente:
a) 9,2%.
b) 12,6%.
c) 11,1%.
d) 10,3%.
e) 18,4%.
8- Uma loja oferece a seus clientes duas alternativas de pagamento:
I. pagamento de uma só vez, um mês após a compra;
II. pagamento em três prestações mensais iguais, vencendo a primeira no ato da compra.
Pode-se concluir que, para um cliente dessa loja:
a) a opção I é sempre melhor.
b) a opção I é melhor quando a taxa de juros for superior a 2% ao mês.
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c) a opção II é melhor quando a taxa de juros for superior a 2% ao mês.
d) a opção II é sempre melhor.
e) as duas opções são equivalentes.
9- Uma dívida é composta de duas parcelas de R$ 2.000,00 cada, com vencimentos daqui a 1 e
4 meses. Desejando-se substituir essas parcelas por um pagamento único daqui a 3 meses, se a
taxa de juros é 2% ao mês, o valor desse pagamento único é: (Despreze os centavos na
resposta.)
a) R$ 2.122,00.
b) R$ 1.922,00.
c) R$ 4.041,00.
d) R$ 3.962,00.
e) R$ 4.880,00.
GABARITO COMENTADO:
1- Letra C
Solução: O enunciado forneceu o percentual de inflação, então calcularemos o fator de correção
da inflação:
Inflação = 3,4% → f INF = 1,034
Além disso, o enunciado fornece o salário mínimo inicial (C = 350) e o salário mínimo final (M =
380). Com esses valores calcularemos o aumento nominal do salário mínimo:
M =C× f ⇒ f =
M
380
⇒ fN =
⇒ f N = 1,0857
C
350
Em seguida, descontando a inflação, acharemos o fator do aumento real e, conseqüentemente, o
aumento real:
fR =
fN
1,0857
⇒ fR =
⇒ f R = 1,05 → Aumento real de 5% .
f INF
1,034
2- Letra E
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Solução: A convenção linear produz um montante, e conseqüentemente, um rendimento (uma
renda) maior que a convenção exponencial. Portanto a > b.
3- Letra D
Solução: A taxa i ao ano, capitalizados k vezes ao ano é uma taxa nominal. Portanto,
primeiramente, acharemos a taxa proporcional do menor período de capitalização:
iEF =
i
(taxa efetiva do menor período de capitalização)
k
Mas o problema pede a taxa efetiva anual, então:
iEF =
i
∴ I = ? % ao ano → n = k
k
k
k
⎡⎛
⎤
i⎞
i⎞
⎛
1 + I = (1 + i ) ⇒ 1 + I = ⎜1 + ⎟ ⇒ I = ⎢⎜1 + ⎟ − 1⎥ ao ano
⎝ k⎠
⎥⎦
⎣⎢⎝ k ⎠
n
4- Letra E
Solução: Fazendo a linha do tempo:
O montante dos 216 depósitos de R reais será igual ao atual das 60 retiradas de R$ 1.000,00.
Vamos relembrar as fórmulas do montante e do atual:
[(1 + i ) − 1]
Montante: M = R ×
[(1 + i ) − 1] = R × [1 − (1 + i ) ]
Atual: A = R ×
n
−n
n
i × (1 + i )
n
i
i
Agora, igualaremos os dois, utilizando a segunda fórmula do atual:
[(1 + i )
216
R×
i
] = 1.000 × [1 − (1 + i ) ]
−60
−1
i
Simplificando os dois denominadores e substituindo i por 0,5% (0,005) temos:
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[
]
[
R × (1,005) − 1 = 1.000 × 1 − (1,005)
R × [2,94 − 1] = 1.000 × [1 − 0,74]
216
R = 1.000 ×
−60
]
[026] ⇒ R = 260 ⇒ R = 134
1,94
1,94
5- Letra C
Solução:
I – Verdadeira;
II – Falsa, pois as prestações são decrescentes;
III – Verdadeira.
6- Letra C
Solução: Valor à vista → av = 1.125
Pagamento a prazo → 450 (entrada) + 2 prestações mensais de 450
valor financiado = av − entada = 1.125 − 450 = 675
Esse valor financiado será devolvido em duas prestações mensais, sendo a primeira após 1 (um)
mês. Fazendo a linha do tempo:
Escolhendo a data dois como data focal e fazendo a equivalência de capitais teremos:
450 + 450 × (1 + i ) = 675 × (1 + i )
1
2
Simplificando por 25, temos:
18 + 18 × (1 + i ) = 27 × (1 + i )
1
2
Simplificando por 9 e considerando X = (1 + i ) , temos:
2 + 2 X = 3X 2 ⇒ 3X 2 − 2 X − 2 = 0
Trata-se de uma equação do segundo grau. Calculando as raízes teremos:
6
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− (−2) ± (−2) 2 − 4 × (3) × (−2)
X =
2 × (3)
2 ± 4 + 24
2 ± 28
2±2 7
⇒X =
⇒X =
6
6
6
2 ± 2 × 2,646
2 ± 5,292
X =
⇒X =
6
6
X =
Como X não pode ser negativo, pois X = (1 + i ) , então:
X=
2 + 5,292
7,292
⇒X=
⇒ X = 1,2153 → i = 21,53% ao mês
6
6
7- Letra B
Solução: Para simplificar os cálculos, consideraremos N= 100 e calcularemos o valor do desconto
e o valor atual:
N = 100 ∴ t = 2 meses ∴ iD = 5% a m ∴ D = ?
P% = i × t ⇒ p % = 5% × 2 = 10%
D = p % × N ⇒ D = 10% × 100 ⇒ D = 10
A = N − desconto ⇒ A = 100 − 10 ⇒ A = 90
Mas deste valor atual o banco exige que 20% do valor de face (valor nominal), ou seja, R$ 20,00
fiquem aplicados em um CDB que rende 6% neste bimestre, ou seja, R$ 1,20 (6% de 20).
Resumindo, o detentor do título recebe no ato R$ 70,00 e mais a aplicação dos R$ 20,00, que
rendeu R$ 1,20.
Para calcularmos a taxa efetiva devemos “raciocinar sob a ótica do banco”, ou seja, o banco
empresta hoje R$ 70,00 (os R$ 20,00 ficaram no próprio banco) e receberá de volta R$ 80,00.
Porém ele paga R$ 1,20 pela aplicação dos R$ 20,00, então é como se ele recebesse de volta
R$ 80,00 menos R$ 1,20, ou seja, R$ 78,80.
C = 70,00 ∴ M = 78,80 ∴ t = 1 bimestre∴ iEF = ?
M = C × f EF ⇒ f EF =
M
78,8
⇒ f =
⇒ f = 1,1257 → 12,57% ao bimestre
C
70
8- Letra A
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Solução: Como artifício, consideraremos o valor do produto R$ 300,00. Fazendo a linha do
tempo:
Descontando os R$ 100,00 da data 1 dos R$ 300,00, temos nova linha do tempo:
Para saber qual o mais vantajoso devemos comparar os dois capitais. Escolheremos a data 2
(dois) como data focal e, como não sabemos quem é o maior, ou se eles são iguais, utilizaremos
um ponto de interrogação:
100 × (1 + i ) + 100 ? 200 × (1 + i )
2
1
Simplificando todos por 100 (cem), teremos:
(1 + i )2 + 1
? 2 × (1 + i )
1
Passando o (1 + i ) da direita para esquerda dividindo, teremos:
1
(1 + i )2 + 1
(1 + i )1
? 2
Portanto se
(1 + i )2 + 1
(1 + i )1
for maior que 2 (dois) o pagamento em três vezes é menos vantajoso pois
sai mais caro. Utilizaremos, inicialmente, a taxa de 10% ao mês:
(1,1)2 + 1 = 1,21 + 1 = 2,21 , que é maior que 2 (dois).
1,1
1,1
(1,1)1
Utilizaremos, para dirimir as dúvidas, a taxa de 1% ao mês:
8
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(1,01)2 + 1 = 1,0201 + 1 = 2,0201
1,01
1,01
(1,01)1
, que também é maior que 2 (dois).
Portanto a alternativa de pagamento em uma vez é mais vantajosa.
9- Letra C
Solução: Fazendo a linha do tempo:
Escolhendo a data 4 (quatro) como data focal e fazendo a equivalência de capitais:
2.000 + 2.000 × (1,02 ) = X × (1,02 )
2.000 + 2.000 × 1,0612 = 1,02 X
3
X =
4.122,40
⇒ X = 4.041
1,02
Grande abraço e até a próxima!
Wagner Carvalho.
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