E.B 2,3 São João de Deus Montemor-o-Novo
Problema da Quinzena nº11
Ano lectivo 2010/2011
8.ºano
Nome: _____________________________________ Número: ______ Turma: _______
O José, o António, a Vanda e o Paulo foram passar uns tempos a uma ilha e logo descobriram um simpático
restaurante.
O José resolveu ir lá jantar de 2 em 2 dias, o António de 3 em 3, a Vanda de 4
em 4 e o Paulo de 5 em 5.
Ora acontece que só por duas vezes os quatro jantaram todos naquele
restaurante: na primeira e na última noite.
Quantas vezes houve apenas um deles a ir lá jantar?
Mostra como obtiveste a resposta.
RREESSOOLLUUÇÇÃÃOO
E.B 2,3 São João de Deus Montemor-o-Novo
Problema da Quinzena nº11
Ano lectivo 2010/2011
8.ºano
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Comece-se por numerar as noites que os quatro passaram na ilha. Por uma questão de simplificação,
considere-se a noite de chegada como sendo a noite 0. Assim, o José jantará lá nas noites a que
correspondem múltiplos de 2, o António nos múltiplos de 3, a Vanda nos de 4 e o Paulo nos de 5.
A próxima noite em que os quatro se voltarão a encontrar todos ao jantar será o menor múltiplo comum de
2, de 3, de 4 e de 5. Esse número é 60.
Assim, fica-se já a saber que eles estiveram 61 noites na ilha.
Repare-se que sempre que a Vanda vai ao restaurante, também lá está o José (porque os múltiplos de 4
também são múltiplos de 2). Então, as noites com um só comensal nunca poderá ser com a Vanda.
Eliminam-se assim os múltiplos de 4.
As noites em que só esteve um deles no restaurante correspondem aos números até 60 que são “múltiplos de
2 sem ser de 3 ou de 5”, ou “de 3 mas não de 2 ou de 5”, ou ainda “de 5 mas não de 2 ou 3”.
Temos então os seguintes números:
2, 3, 5, 9, 14, 21, 22, 25, 26, 27, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57 e 58.
Houve portanto 20 noites em que só um deles jantou no restaurante.