Notas de Aula de Probabilidade A
VIII- PRINCIPAIS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE.
8.1. DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS:
8.1.1. UNIFORME DISCRETA
Uma v.a. tem distribuição uniforme discreta quando sua função de probabilidade for
dada por:
1

p(x ) =  N
0


x = 1,2,..., N  1
 = Ι {1,2,...,N} (x )
 N
c/c

PROPRIEDADES:
1+ N
2
N2 − 1
V(X) =
12
E(X) =
N
MX(t) =
∑e
jt
.
j=1
1
N
Ex1:
Seja ε lançar um dado, então:
X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
p(xi) = 1/6
E(X) = 3,5
V(X)= 2,92
P(X)
1/6
1
2
3
4
5
6
X
8.1.2. BERNOULLI:
Uma v.a. X tem distr. Bernoulli se sua f.p. for dada por:
p x (1 − p) 1− x
p( x ) = 
0
x = 0,1
x
1− x
 = p (1 − p) I{0,1} ( x)
c/c 
PROPRIEDADES:
E(X) = p
V(X) = p.q
MX(t) = pet + q
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PROCESSO DE BERNOULLI:
É o processo de amostragem no qual :
1. Em cada tentativa existem 2 resultados possíveis mutuamente exclusivos
(sucesso e fracasso).
2. As séries de tentativas são independentes.
3. A probabilidade de sucesso (p) permanece constante de tentativa para
tentativa ou
seja o processo é estacionário.
8.1.3. BINOMIAL:
Uma v.a. possui distribuição binomial se sua f.p. for dada por:
 n
  n
p(x) =   . p x . q n − x x = 0, 1, ..., n  =   . p x . q n − x I{0,1,...,n} ( x)
 x
  x
 n
n!
C =  x = x!( n − x)!
n
x
A distribuição binomial é utilizada para determinar a probabilidade de se
obter um dado número de sucessos em um processo de Bernoulli.
X = número de sucessos
n = número de tentativas
p = probabilidade de sucessos em cada tentativa.
PROPRIEDADES:
E(X) = np
V(X) = npq
MX(t) = (pet + q)n
EXEMPLO 1: Uma urna contém 6 bolas brancas e 4 pretas. Calcular a
probabilidade de ao retirar com reposição 3 bolas, 2 sejam brancas.
EXEMPLO 2: Entre 2.000 famílias com 4 crianças cada uma, quantas se
esperaria que tivessem:
a) Pelo menos 1 menino.
b) 2 meninos.
c) Nenhuma menina.
EXEMPLO 3: A probabilidade de que certos pais com olhos azuis escuros
tenham filhos com olhos da mesma cor é de 1/4. Se houver 6 filhos na família, qual a
probabilidade de que, pelo menos, metade das crianças tenham olhos azuis escuros?
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8.1.4. POISSON:
Uma v.a. X tem distr. Poisson se sua f.p. for dada por:
 λx .e − λ

p( x ) =  x!

0

x = 0, 1, 2, ...
x −λ
 λ .e
=
x!


c/c
I{
0 ,1 ,2 ,...}
(x)
A distr. de Poisson pode ser usada para determinar a probabilidade de um dado
número de sucessos quando os eventos ocorrem em um “continuum” de tempo ou
espaço.
É similar ao processo de Bernoulli, exceto que os eventos ocorrem em um
“continuum” ao invés de ocorrerem em tentativas fixadas, tal como o processo de
Bernoulli os eventos são independentes e o processo é estacionário.
λ = número médio de sucessos para uma específica dimensão de tempo e
espaço.
X = número de sucessos desejados.
PROPRIEDADE:
E(X) = λ
V(X) = λ
M X ( t ) = e λ ( e −1)
t
Obs: Quando o número de observações ou experimentos em um processo de Bernoulli
for muito grande a distr. de Poisson é apropriada como uma aprox. das distr. Binomiais
quando:
n ≥ 30
np < 5
λ = np
EXEMPLO 1:Um departamento de conserto de máquinas recebe um média de 5
chamadas por hora. Qual a probabilidade que, em uma hora selecionada aleatoriamente,
sejam recebidas exatamente 3 chamadas?
EXEMPLO 2: Em média, 12 pessoas por hora são atendidas em um laboratório
de análises clínicas. Qual a probabilidade que 3 ou mais pessoas sejam atendidas
durante um período de 10 minutos?
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8.1.5- HIPERGEOMÉTRICA:
Uma v.a. X tem distribuição hipergeométrica se sua f.p. for dada por:
  r   N − r


  
  r   N − r
 

  x  n − x 
p / x = 0, 1, ..., n   x  n − x 
p( x ) =   N 
=
I{0,1,..,n} ( x)
 N
  n 

 


 n
0

c/c
A distr. hipergeométrica é utilizada quando a amostragem é feita sem
reposição de cada item amostrado de uma população finita, pois neste caso não
se
pode aplicar o processo de Bernoulli, uma vez que existe uma mudança
sistemática na probabilidade de sucesso a medida que os ítens são retirados da
população
(eventos dependentes).
Assim:
X = número dado de sucessos
N = número total de itens da população
r = número total de sucessos na população
n = número de itens na amostra.
Obs: Quando a pop. for grande e a amostra relativamente pequena, o fato da
amostragem ser feita sem reposição tem pequena influência na prob. de
sucesso
de cada tentativa, então pode-se usar a distribuição binomial como uma
aproximação da hipergeométrica. A aproximação pela binomial é
considerado
boa se n < 0,1.
N
Propriedades:
 r 
E ( X ) = n.   = np
N
 r  N −
V ( X ) = n.   
 n N
r N − n


 N − 1
M X ( t ) não é utilizado
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8.1.6- GEOMÉTRICA:
Uma v.a tem distribuição geométrica se sua f.p. for dada por:
pq x − 1
p( x) = 
0

x = 1, 2, 3, ...
 = pq

c/c
x −1
I{
1, 2 , 3 ,...}
( x)
X = número de ensaios necessários para a primeira ocorrência do evento.
na
Obs: Na distr. binomial o número de repetições era pré-determinado, enquando
geométrica é a v.a.
Propriedades:
1
p
q
V (X ) = 2
p
E (X ) =
M X (t) =
p. e t
1 − qe t
8.1.7- PASCAL:
Um v.a. X tem distr. de Pascal se sua f.p. for dada por:
 x − 1 r x− r
p q

p(x) =  r − 1
0


x = r, r +1, r + 2, ...  x − 1 r x− r
 p q I{ r ,r +1,r +2,...} (x)
=
r
−
1



c/c

X = No. de repetições necessárias para que o evento A ocorra r vezes.
Obs: Uma generalização da distr. geométrica é a distr. de Pascal. Assim:
para r = 1 ⇒ X~Geométrica
Propriedades:
E(X) =
r
p
V(X) =
rq
p2
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M X (t) =
pe t
(1 − qe )
t
r
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8.1.8-BINOMIAL NEGATIVA:
Uma v.a. Y tem distribuição binomial negativa se sua f.p. for dada por:
 r + y − 1 r y
p q

p(Y) =  y 
0


y = 0, 1, 2, ...  r + y − 1 r y
 p q I{0,1,2,...} ( y)
=
y



c/c

Y = número de falhas antes do r-ésimo sucesso.
Propriedades:
rq
E (Y ) =
p
 p 
M Y (t) = 

 1 − tq 
rq
V (Y ) = 2
p
r
Obs: a passagem da Pascal para a Binomial Negativa:
 x − 1 r X − r
p(x) = 
p q
 r − 1
fazendo x = r + y ⇔ y = x - r
 r + y − 1 r r + y − r  r + y − 1 r y
p( y) = 
=
p q
p q
y


 r −1 
8.1.9- MULTINOMIAL:
Considere-se um experimento ε , seu espaço amostral Ω, e a partição de
Ω
em k eventos mutualmente exclusivos A1, A2, ..., Ak. Considerem-se n
repetições de ε . Então pi = P(Ai) e supondo que pi permaneça constante durante todas
k
as
repetições, temos que ∑ p i = 1 .
i=1
ε . (i = 1, 2, ...,
Xi = número de vezes que Ai ocorre nas n repetições de
k)
Os Xi são v.a. independentes por que
p(X1=n1, X2=n2, ... , Xk=nk)=
∑X =n
1
1
. Então:
n!
p 1n .. . p nk
n1 ! n 2 ! ... n k
1
k
Obs: A distr. multinomial é considerada como uma generalização da binomial.
Propriedades:
E(Xi) = npi
V(Xi) = n pi qi
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8.2 DISTIBUIÇÕES CONTINUAS DE PROBABILIDADE:
8.2.1. UNIFORME OU RETÂNGULAR:
Uma v.a. X é uniformemente distribuida am 1≤ x ≤ b se sua f.d.p. for:
 1

f ( x ) = b − a

 0

a ≤ x ≤ b
1

 =
b− a


c/c
0


 (x − a )
F( x ) = 
 (b − a )

 1
I[
a ,b ]
(x)



 (x − a )
a ≤ x ≤ b =
I [ a ,b ) ( x ) +
 (b − a )


x>b
x<a
I
[ b ,∞ )
(x)
PROPRIEDADES:
E( X ) =
a +b
2
V(X) =
(b - a )2
12
M
X
(t ) =
e bt − e at
(b − a )t
F(x)
f(x)
-
1/b-a
a
x
b
b
a
x
8.2.2. DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL:
Uma v.a. X tem distr. exponencial com parâmetro λ > 0, se sua f.d.p. for dada
por:
f ( x ) = λ e − λx
I
PROPRIEDADES:
1
E( X ) =
[ 0 ,∞ )
V(X) =
λ
,λ >0
(x)
1
λ
2
M X (t ) =
λ
λ −t
,t < λ
x
F ( x ) = P( X ≤ x ) = ∫ λe −λt dt = 1 − e −λx , x ≤ 0
0
-λx
Assim: P(X>x) = e
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Obs: Se os eventos, ou sucessos, ocorrem em um contexto de um processo de
Poisson, então o comprimento do tempo ou espaço entre 2 eventos sucessivos segue
uma distribuição de probabilidade exponencial. Uma vez que tempo ou espaço são um
“continuum”,a distr. será contínua.
PROPRIEDADE DE PERDA DE MEMÓRIA:
Seja X ~ Exponencial ( λ ), sejam s, t ≥ 0, então:
P( X > s+t / X > t ) = P (X > t) ∀ s, t ≥ 0
Demo:
P( X > s + t X > t ) =
=
P( X > s + t ∩ X > t )
P( X > t )
=
P( X > s + t )
P( X > t )
=
e − λ ( s+ t )
=
e − λt
e − λs e − λt
= e − λs = P( X > s)
e − λt
EXEMPLO 1: Em média, um navio atraca em certo porto a cada 2 dias. Qual a
prob. de que, a partir da partida de um navio, se passem 4 dias antes da chegada do
próximo navio?
R: média por 2 dias = 1
λ = média por dia = 1/2
P(X>4) = e-λx = e-4.1/2 = 13,53%
EXEMPLO 2: Um departamento de conserto de máquinas recebe, em média, 5
chamadas por hora. Iniciando em um ponto do tempo aleatoriamente escolhido, qual a
prob de que a primeira chamada chegue dentro de ½ hora ?
R: média por hora = 5
λ = média por hora = 5
P(X ≤ 1/2) = 1 - e-λx = 1 - e-5.1/2 = 1- 0.08208 = 91,792%
8.2.3. DISTRIBUIÇÃO GAMA:
Função Gama:
∞
Γ( p) = ∫ x p −1e − x dx
p>0
0
Se integrarmos por partes, fazendo :
e-x dx = dv
e
xp-1 = µ
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obteremos:
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Γ(p) = −e
−x
∞
.x p−1 0 −
|
∞
[
]
−x
p−2
∫ − e (p − 1)x dx =
0
∞
= 0 + (p − 1) ∫ e − x x p−2 dx =
0
= (p − 1)Γ(p − 1)
Se p for inteiro positivo p=n. Aplicando a relação acima repetidas vezes teremos:
Γ(n ) = (n − 1)Γ(n − 1) =
= (n − 1)(n − 2 )Γ(n − 2 ) =
= (n − 1)(n − 2 )...Γ(1)
∞
Porém, Γ (1) = ∫ e − x dx = 1 então:
0
Γ(n) = (n-1)!
p/ n inteiro positivo
e também verifica-se:
∞
Γ (1 / 2) = ∫ x −1/ 2 e − x dx = π
0
Distribuição Gama:
Seja X um v.a. contínua, que tome somente valores não negativos. Então,
X ~ GAMA(α,λ) se sua f.d.p., for dada por:
 λα r −1 − λx
x e

f ( x ) =  Γ(α )
0

,x > 0
Γ(α) = (α-1)!
c/c
p/ α ≥ 1
eλ=>0
onde: α = número de ocorrências no tempo.
X = o tamanho do tempo entre o tempo 0 e o instante quando a α-ésima
Gamma Distribution
1
Shape,Scale
1,1
density
0,8
0,6
0,4
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0,2
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0
0
1
2
3
x
4
5
6
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ocorrência acontece..
PROPRIEDADES:
1. Se α =1 então f(x) = λe-λx ⇒ distr. exponencial (caso particular da Gama)
A soma de v.a. exponenciais distribuidas identicamente independentes é uma distr.
Gama.
2.
α
E (X) =
λ
α
V(X) =  2 
λ 
 λ 
M X (t) = 

λ − t
α
, p/ t < λ
8.2.4. DISTRIBUIÇÃO NORMAL (GAUSS):
Uma v.a. X ~ N(µ , s ) se sua f.d.p. for dada por:
1  x−µ 

σ 
2
− 
1
f ( x) =
e 2
σ 2π
1
F( x) =
σ 2π
x
∫e
1  x−µ 
− 

2 σ 
- ∞ < x < ∞, - ∞ < µ < ∞ e σ > 0
2
dx = Φµ , σ 2 ( x)
−∞
PROPRIEDADES:
1. fX(x) > 0
, x∈ℜ
2. lim f X ( x ) = 0
x →±∞
3. fX(x) é contínua e diferenciavel.
4. fX(x) é crescente para x ∈ (-∞, µ) e decrescente para x ∈ (µ, ∞).
5. Ponto de máximo da função em x = µ. Então µ é também a moda da
distribuição.
f’(x) = f(x). (x-µ)/σ ⇒ f’(µ) = 0
f”(x) = f(x) [ (x-µ)2/σ2 - 1/σ2] ⇒ f”(µ) = -f(µ)/σ2 <0
6. Existem dois ou mais pontos de inflexão em x = µ+σ e x = µ-σ . ( a segunda
derivada se anula)
7. fX(x) é simétrica em relação a µ. (x-µ)2.
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8. Valor esperado : µ
9.Variância = σ2
10. MX(t) = etµ + 1/2.t2σ2
11. A área da curva correspondente entre:
(µ - σ) e (µ + σ) = 68,27%
(µ - 2σ) e (µ + 2σ) = 95,45%
(µ - 3σ) e (µ + 3σ) = 99,73%
IMPORTÂCIA:
1. Poder de modelamento. Medidas produzidas em diversos processos aleatórios
seguem a distr. normal.
2. Capacidade de aproximação de outras distr. como Binomial e Poisson.
3. As distr. de estatísticas da amostra freqüentemente seguem a distr. normal
independente da distr. da população.
EXEMPLO: Construa uma distribuição normal com µ = 20 e σ = 2 e determine
a de se encontrar valores entre:
a) 18 e 22
b) 20 e 24
c) 14 e 16
DISTRIBUIÇÃO NORMAL REDUZIDA:
Quando µ = 0
normalizada, padrão)
f ( z) =
1
2π
e
σ2 = 1 (caso particular) (chamada "standard",
e
1
− z2
2
p/ z =
z
xi − µ
σ
x2
−
1
F( z) = Φ( z) =
e 2 dz
∫
2 π −∞
P(a ≤ x ≤ b) = Φ(b) - Φ(a)
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⇒ valor tabelado
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EXEMPLO 1: Determine a área limitada pela curva normal em cada um dos
casos:
1. 0 ≤ Z ≤ 1,2
2. -0,68 ≤ Z ≤ 0
3. -0,46 ≤ Z ≤ 2,21
4. Z ≤ -0,6
5. Z ≥ 0,62
6. 0,18 ≤ Z ≤ 0,26
7. -0,95 ≤ Z ≤ -0,41
8. Z < -1,51 e Z > 1,51
9. Z > -0.5
R: 0,3849
0,2517
0,6637
0,2743
0,2676
0,0312
0,1698
0,1310
0,6915
EXEMPLO 2: Sendo os QI's Feminino e Masculino com média igual a 100 e
desvio padrão 5 e 10 respectivamente. Calcular as probabilidades de encontrarmos QI's
acima de 110 para ambos os sexos.
EXEMPLO 3: Com os dados do execício anterior calcular as probabilidades de
encontrarmos QI's abaixo de 85.
APROXIMAÇÕES PELA NORMAL:
1. BINOMIAL:
quando n ≥ 30
np ≥ 5
então: µ = np
σ2 = npq
2. POISSON:
quando λ ≥ 10
então: µ = λ
σ=λ
EXEMPLO 1: Uma moeda não viciada é lançada 500 vezes. Determinar a
probabilidade do número de caras não diferir de 250 em:
a) mais de 10
b) mais de 30
EXEMPLO 2: Um dado é lançado 120 vezes. Determinar a probabilidade de
aparecer a face 4:
a) 18 vezes ou mais
b) 14 vezes ou menos
EXEMPLO 3: Sabe-se que os pedidos de serviços chegam aleatoriamente e
como um processo estacionário numa média de 5 por hora. Qual a probabilidade de que
sejam recebidos mais de 50 pedidos em um período de 8 horas?
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8.2.5-OUTRAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS:
8.2.5.1. DISTRIBUIÇÃO BETA:
 1
x a −1 (1 − x) b −1
,0 < x < 1

f ( x) =  B(a, b )
0
c/c

1
onde : B(a, b) = ∫ x a −1 (1 − x) b −1
Função Beta
0
Obs:
1. A densidade beta é apropriada para modelar proporções, por causa do seu
domínio (o intervalo (0,1)) e também pela variedade de formas que ela pode
assumir.
2. Quando a=b=1 a Distribuição Beta se reduz a Distribuição Uniforme no
intervalo (0,1)
8.2.5.2. DISTRIBUIÇÃO CAUCHY:
1


f ( x) = πβ 1 + [( X − α ) / β ]2
0
c/c

{
}
,-∞ < x < +∞ e β > 0
Obs: A distribuição de Cauchy pode ser considerada uma distribuição patológica, pois
ela não apresenta média e variância. Entretanto a distribuição de Cauchy tem sua
importância em diversas áreas do conhecimento científico na fisica por exemplo essa
distribuição é solução de um equação diferencial que descreve um determinado tipo de
oscilador, em matemática é uma das soluções para a equação de laplace, entre diversas
outras finalidades. A distribuição de Cauchy, cujo o nome foi dado em homenagem ao
famoso matemático Augustin-louis Cauchy.
8.2.5.3. DISTRIBUIÇÃO WEIBULL:
abx b-1e -ax
f ( x) = 
0
b
,0 < x < +∞ , a > 0
e b>0
c/c
Obs:
1. Se b=1 a Distr. Weibull se reduz a Distr. Exponencial
2. A distribuição Weibull foi proposta originalmente por W. Weibull (1954) em estudos
relacionados ao tempo de falha devido a fadiga de metais. Ela é frequentemente usada
para descrever o tempo de vida de produtos industriais.
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8.2.5.4. DISTRIBUIÇÃO LOGNORMAL:

1
 1
2
exp - 2 (ln x − µ ) 

2
f ( x) =  x 2πσ
 2σ

0
c/c

,0 < x < +∞ − ∞ < µ < +∞ e σ > 0
Obs: Assim como a distribuição Weibull, a distribuição Log-Normal é muito usada para
caracterizar tempo de vida de produtos e materiais. Isto inclui fadiga de metal,
semicondutores, diodos e isolação elétrica.
8.2.5.5. DISTRIBUIÇÃO LOGÍSTICA:
1


F ( x) = 1 + e −( x −α ) / β
0
, − ∞ < α < +∞ e β > 0
c/c
Obs: A função logística descrevendo uma curva sigmoidal simétrica é uma função
probabilística amplamente utilizada, principalmente em estudos de crescimento
populacional.
8.3-EXERCÍCIOS:
8.3.1- Uma urna contém 16 bolas brancas e 14 pretas. Calcular a probabilidade de ao
serem retiradas 5 bolas, 3 serem brancas, quando a amostragem for feita:
a) com reposição
b) sem reposição
8.3.2- A probabilidade de que um presumível cliente aleatoriamente escolhido faça uma
compra é 20%. Se um vendedor visita seis presumíveis clientes, qual a probabilidade de
que ele faça no mínimo quatro vendas?
8.3.3- De 6 empregados, 3 estão na companhia há cinco anos ou mais. Se quatro
empregados são aleatoriamente escolhidos deste grupo de seis, qual a probabilidade de
que dois estejam na companhia há cinco ou mais anos?
8.3.4- Uma moeda é lançada sucessivamente, qual a probabilidade de que a face cara
apareça 2 vezes na 3ª jogada?
8.3.5- Se a probabilidade de um indivíduo acusar reação negativa a injeção de
determinado soro é 0,1%. Determine a probabilidade de que , em 1000 indivíduos,
exatamente 3 acusarem reação.
8.3.6-.Numa central telefônica, o número médio de chamadas é de 8 por minuto.
Determinar qual a probabilidade de que num minuto se tenha:
a)10 ou mais chamadas.
b)Menos de 9 chamadas.
c)Entre 7 (inclusive) e 9
(exclusive) chamadas
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Notas de Aula de Probabilidade A
8.3.7- Uma caixa contém 5 bolas vermelhas, 4 brancas e 3 azuis. Extrai-se uma bola ao
acaso, anota-se a cor, repondo-se em seguida a bola na caixa. Determine a probabilidade
de que, de 6 bolas assim escolhidas, 3 sejam vermelhas, 2 brancas e 1 azul.
8.3.8-.O número de vezes que um adulto respira, por minuto, depende da idade e varia
grandemente de pessoa para pessoa. Suponha que a distribuição dessa variável aleatória
seja normal, com média de 16 e desvio padrão igual a 4. Se uma pessoa é escolhida,
aleatoriamente, e o número de respirações por minuto, quando em repouso, for anotado,
qual é a probabilidade desse valor exceder 22?
8.3.9-.Suponha que o conteúdo de bactérias de um tipo particular, presentes em um
recipiente de água de 1 milímetro, tenha distribuição aproximadamente normal, com
média de 85 bactérias e desvio padrão de 9. Qual é a probabilidade de uma dada
amostra de 1ml conter mais de 100 bactérias?
8.3.10-. Suponha que o peso de uma população de suínos está normalmente distribuído
com µ = 230kg e σ = 20kg. Qual a probabilidade de ocorrência de suínos com pesos
entre 220 e 280kg?
8.3.11-Um novo modelo de rádio portátil foi desenvolvido com base no fato de que
50% de todos os consumidores são mulheres. Se uma amostra de 400 compradores for
selecionada aleatoriamente, qual é a probabilidade de o número de mulheres dessa
amostra ser maior que 175?
8.3.12-Sabe-se que 30% de todas as chamadas destinadas a uma mesa telefônica são
chamadas DDD. Se 1200 chamadas chegarem a essa mesa, qual é a probabilidade de
pelo menos 50 serem DDD?
8.3.13-Em média, um navio atraca em certo porto a cada dois dias. Qual a probabilidade
de que, a partir da partida de um navio, se passem 4 dias antes da chegada do próximo
navio?
Profa. Sonia Isoldi Marty Gama Müller
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