Arquivo cedido por Alex Pereira Bezerra
Lista de Discussão OBM
Cálculo de períodos de funções trigonométricas
1. Cálculo do período de funções da forma
y
m n. f (ax b)
Sejam m,n,a e b constantes reais,com a.n
teorema:
0 .Nessas condições,enunciamos o seguinte
Se uma função f, definida por y
por g ( x)
f (x) ,é periódica, de período p, então a função definida
p
m n. f (ax b) é periódica e seu período é P
a
Por exemplo , f ( x)
definida por g ( x)
cos x é uma função periódica, de período p
5 3 cos 2 x
2 ; então ,a função
p 2
é periódica e seu período é P
.
4
a
2
Deve-se notar ,com muita atenção, que dos coeficientes m = 5 , n = 3, a = 2 e b=
4
,o
único a influir no período é a = 2,isto é,o coeficiente de x.
Demonstração do Teorema
Devemos provar que existe um real T, tal que g ( x)
m nf (ax b) m nf [a( x T ) b] .Assim:
g ( x T ) ,isto é
Se y f (x) tem período p,temos que f ( x) f ( x p ) f ( x 2 p) f ( x 3 p )
é,para k Z , f ( x) f ( x kp) .Fazendo agora a substituição de x por ax + b
(a 0),obtemos: m nf (ax b) m n. f (ax b kp) que podemos escrever
kp
m n. f (ax b) m n. f (ax b a. ) ou ainda
a
kp
m n. f (ax b) m n. f [a( x
) b]
a
kp
Considerando
T temos m n. f (ax b) m n. f [a( x T ) b]
a
g ( x)
g(x T )
,isto
kp
para o qual g(x) = g( x + T),a função g é periódica.
a
Como, por definição,período é o menor T positivo,obtemos,fazendo k =1 , o período de g:
Logo,como existe o real T
P
p
a
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Exemplos
1)Calcule o período da função f ( x)
Solução:
p 2
P
1
a
3
sen
x
.
3
3.tg
2x
3
6
2)Calcule o período de função f ( x)
4
Solução:
Como a função tgx tem período p =
,então: P
3)Calcule o período da função f ( x)
4 3 sec(
2
3
3
2
x)
solução:
2
P
2
4)Calcule o período da função f ( x)
sen 2 x .
Solução:
Devemos ,inicialmente, escrever a função na forma y
lembrar a fórmula de arco dobro
cos(2 x) 1 2 sen 2 x donde tiramos sen 2 x
f ( x)
1
2
1
cos(2 x) .Donde temos P
2
m n. f (ax b) .Para isso,vamos
1 2 cos(2 x)
isto é,que
2
2
2
Cálculo do período de somas e produtos de duas funções periódicas
Sejam f e g duas funções periódicas, definidas por y f (x) e y g (x) ,cujos períodos
são,respectivamente, p1 e p2, com p1 p2.Enunciamos,então,o seguinte teorema:
Se
por
p1
p2
m
,onde m e n são inteiros positivos e primos entre si,então as funções definidas
n
f g e
f .g são periódicas e seu período é P np1 mp 2
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Demonstração: Devemos provar que existe um real T, tal que ( x)
(x T ) e
( x)
( x T ) isto é, f ( x) g ( x) f ( x T ) g ( x T ) e f ( x).g ( x) f ( x T ).g ( x T )
Assim:
Se f e g têm períodos p1 e p2,respectivamente,podemos escrever que f ( x) f ( x knp1 ) 1
e g ( x) g ( x kmp 2 ) 2 onde para k Z tem-se também (kn) Z e (km) Z .Efetuando as
operações (1) + (2) e (1).(2),vem (3) : f ( x) g ( x) f ( x knp1 ) g ( x kmp 2 ) e
p
m
(4): f ( x).g ( x) f ( x knp1 ).g ( x kmp 2 ) .Como 1
,então np1 mp 2 .Fazendo
p2 n
knp1 kmp 2 T ,as igualdades (3) e (4) são escritas f ( x) g ( x) f ( x T ) g ( x T ) e
( x)
f ( x).g ( x)
(x T )
f ( x T ).g ( x T ) logo,como existe o real T = knp1=kmp2 para o qual
( x)
(x T )
( x)
( x T ) e ( x)
( x T ) ,as funções e são periódicas.Como,por
definição,período é o menor T é positivo,fazendo k =1,obtemos o período de e
:
P = np1 = mp2
Exemplos
1)Calcule o período da função
( x)
tg (3x) cos(4 x)
Solução: tg(3x) tem período p1= /3 e p2 = 2 /4= /2 .Estabelecemos,agora a razão entre p1
p
2
e p2,encontrando 1
.Temos ,então ,que P = 3p1=2p 2 ;logo, P= .
p2 3
2)Calcule o período da função
solução: f ( x)
p2
p1
p2
sec
x
temos p1
2
( x)
sec
2
1/ 2
x
. sen(3x)
2
4
e g(x)=sen(3x) temos
2
.Estabelecemos,agora,a razão entre p 1 e p 2 ,encontrando
3
6
P 1. p1 6 p 2 ;logo P = 4
1
3)Calcule o período da função
( x)
sec x sen x
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solução:
1
( x)
p2
2
( x)
1
cos x
sen x
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1 sen x. cos x
.Lembrando que 2senx.cosx=sen(2x),temos
cos x
1
sen(2 x)
1
2
.Agora, f(x) = 1
sen(2 x) e g(x) = cosx,onde p1
cos x
2
p
1
e 1
.Portanto,P = 2p 1 =1.p 2 =2
p2 2
Exercícios
1)Calcule o período das funções:
cos(3 x)
cot g (8 x)
b)f(x)= tg 2 x
c)f(x)=sen(4x)
d)f(x) = 5 + 4sen(nx) ,n 0
x
e)f(x) = sen( ) cos sec(3x)
3
5x
f)f(x)= tg (2 x) sec
3
2x
g) f ( x) cos(4 x).tg
3
3x
sen
8
h) f ( x)
4x
cos
5
a)f(x) =
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2
2
e