IBMEC - Lógica Aplicada
Professor Marco Vaz
É uma expressão que possui
significado e que pode ser atribuído
valor lógico (Verdadeiro ou Falso).
Exemplo:
[email protected]
a) Carlos é Administrador de Empresas
b) 2+3 = 5
c) Carlos
d) Administrador de Empresas
Professor Sérgio Rodrigues
[email protected]
2
Princí
Princípio da nãonão-contradiç
contradição:
ão uma proposição
não pode ser verdadeira ou falsa ao mesmo
tempo.
Princí
Princípio do terceiro excluí
excluído:
do uma proposição
deve obrigatoriamente ser verdadeira ou falsa,
mas não ter uma terceira possibilidade.
É a maneira de expressar uma
proposição lógica.
Exemplo:
Carlos é Administrador de Empresas.
=
Não é verdade que Carlos não é
Administrador de Empresas.
4
IBMEC - Lógica Aplicada
Linguagem natural
◦ São utilizados para conectar as proposições
formando sentenças compostas.
◦ Carlos é Administrador de Empresas
Conectivos Lógicos
◦ ∧ (Conjunç
(Conjunção)
Simbólica
◦ V (Disjunç
(Disjunção)
◦ ⊕ (Disjunç
(Disjunção Exclusiva)
◦ (Proposiç
(Proposição Condicional)
◦ ↔ (Proposiç
(Proposição Bicondicional)
Bicondicional)
◦ p, q, r, s, P, Q, R, S, ...
◦ Exemplo: p = Carlos é Administrador de
Empresas
5
Conectivos Lógicos
◦ Devido a riqueza da língua portuguesa, palavras com
significados ligeiramente diferentes são representadas
pelo mesmo conectivo lógico.
Conectivos Ló
Lógicos
Expressão
lógica
e; també
também; alé
além disso
Conjunç
Conjunção
A∧B
ou
Disjunç
Disjunção
AVB
Condicional
A B
Expressão em Português
Se A então B; A implica B; A logo B;
A somente se B; B segue A;
condiç
A é condi
ção suficiente para B;
condiç
necessá
B é condi
ção necess
ária para A.
A se, e somente se, B
A é condiç
condição necessá
necessária e suficiente para B
Não A; É falso que A...; Não é verdade que A....
Bicondicional
Negaç
Negação
A↔B
~A
Diagrama ou Gráfico
◦ A = Administrador de Empresas
◦ p = Carlos é Administrador de Empresas
◦ ~p = Carlos não é Administrador de Empresas
A
p
~p
V
F
F
V
Quando p é Verdade, ~p é Falso
Quando p é Falso, ~p é Verdade
8
IBMEC - Lógica Aplicada
Proposições compostas
◦ p = Carlos é Administrador de Empresas
◦ p ∧ q = Carlos é Administrador de Empresas e
Carlos é carioca
◦ q = Carlos é carioca
A
Conjunção ( e =∧
∧)
B
p
q
A = Administradores de Empresas
B = Cariocas
9
Conjunção ( e =∧
∧)
A = Administradores de Empresas
B = Cariocas
10
◦ p ∧ q = Carlos é Administrador de Empresas e
Carlos é carioca
Conjunção ( e =∧
∧)
◦ p ∧ q = Carlos é Administrador de Empresas e
Carlos é carioca
Carlos é Administrador de
Empresas e Carlos é carioca.
Região
p
q
Região
p
q
1
V
V
1
V
V
2
V
F
2
V
F
3
F
V
3
F
V
4
F
F
4
F
F
A = Administradores de Empresas
B = Cariocas
11
A = Administradores de Empresas
B = Cariocas
12
IBMEC - Lógica Aplicada
Conjunção ( e =∧
∧)
◦ p ∧ q = Carlos é Administrador de Empresas e
Carlos é carioca
◦ p ∧ q = Carlos é Administrador de Empresas e
Carlos é carioca
Carlos é Administrador de
Empresas e Carlos não
não é carioca.
Carlos não
não é Administrador de
Empresas e Carlos é carioca.
Região
p
q
Região
p
q
1
V
V
1
V
V
2
V
F
2
V
F
3
F
V
3
F
V
4
F
F
4
F
F
A = Administradores de Empresas
B = Cariocas
13
Conjunção ( e =∧
∧)
Conjunção ( e =∧
∧)
A = Administradores de Empresas
B = Cariocas
14
Quando p ∧ q é Verdadeiro?
◦ p ∧ q = Carlos é Administrador de Empresas e
Carlos é carioca
Carlos não
não é Administrador de
Empresas e Carlos não
não é carioca.
Tabela Verdade
Região
p
q
Região
p
q
p∧q
1
V
V
1
V
V
V
2
V
F
2
V
F
F
3
F
V
3
F
V
F
4
F
F
4
F
F
F
A = Administradores de Empresas
B = Cariocas
15
A = Administradores de Empresas
B = Cariocas
16
IBMEC - Lógica Aplicada
Disjunção inclusiva ( ou =v )
Quando p v q é Verdadeiro?
◦ A = Administradores de Empresas
◦ B = Cariocas
A
B
p
q
A = Administradores de Empresas
B = Cariocas
18
17
Quando p v q é Verdadeiro?
Uma empresa multinacional anunciou a seguinte
seleção para estágio:
◦ Procura-se estudante de administração ou economia, com
CR acima de 8, cursando o 5º ou 6º período.
Tabela Verdade
Região
p
q
pvq
1
V
V
V
2
V
F
V
3
F
V
V
4
F
F
F
Sabendo que...
◦
◦
◦
◦
◦
Felipe não está cursando o 5º período
Não é verdade que Felipe estuda economia
Não é verdade que Felipe tem CR abaixo de 8
Felipe estuda administração
Não é verdade que Felipe não está cursando o 6º período
Felipe pode ser contratado?
A = Administradores de Empresas
B = Cariocas
19
20
IBMEC - Lógica Aplicada
(p v q)
1.
2.
Procura-se estudante de administração ou economia, com
CR acima de 8, cursando o 5º ou 6º período.
3.
4.
5.
(s v t)
r
p = Felipe estuda Administração
q = Felipe estuda Economia
r = Felipe tem CR acima de 8
s = Felipe está no 5º período
t = Felipe está no 6º período
Para Felipe ser contratado, a expressão lógica
(p v q) ∧ r ∧ (s v t) deve ser Verdadeira !
Felipe não está cursando o 5º período
Não é verdade que Felipe estuda economia
Não é verdade que Felipe tem CR abaixo de 8
Felipe estuda administração
Não é verdade que Felipe não está cursando o 6º
período
p = Felipe estuda Administração
q = Felipe estuda Economia
r = Felipe tem CR acima de 8
s = Felipe está no 5º período
t = Felipe está no 6º período
4:
2:
3:
1:
5:
V
F
V
F
V
(p v q) ∧ r ∧ (s v t)
(V v F) ∧ V ∧ (F v V)
V∧V∧V
V
Para Felipe ser contratado, a expressão lógica
(p v q) ∧ r ∧ (s v t) deve ser Verdadeira !
21
Analisando logicamente, o que
foi que a Diana disse?
a.Vai beber e vai dormir
b.Não vai beber ou não vai dormir
c.Vai beber e não vai dormir
d.Não vai beber e vai dormir
e.Vai beber ou vai dormir
22
Analisando logicamente, o que
foi que a Diana disse?
a.Vai beber e vai dormir
b.Não vai beber ou não vai dormir
c.Vai beber e não vai dormir
d.Não vai beber e vai dormir
e.Vai beber ou vai dormir
Joe, a Beth me disse que não vai
beber e não vai dormir.
23
Cara, a Diana me disse
exatamente o contrário!
Joe, a Beth me disse que não vai
beber e não vai dormir.
24
IBMEC - Lógica Aplicada
Analisando logicamente, o que
foi que a Diana disse?
p = Vai beber
q = Vai dormir
a.Vai beber e vai dormir
b.Não vai beber ou não vai dormir
c.Vai beber e não vai dormir
d.Não vai beber e vai dormir
e.Vai beber ou vai dormir
~p ∧ ~q
x
Beth disse que não vai beber e que não
vai dormir
Sejam p e q duas proposições. A negação de
p ∧ q equivale a:
a.
b.
c.
d.
O contrário de Não vai beber e não vai
dormir é ~(~p ∧ ~q); leia-se:
Não é verdade que ela não vai beber ou
não é verdade que ela não vai dormir
~
~
~
p
p ∨ ~q
p ∧ ~q
p∨q
∧ ~q
Não é verdade que ela não vai beber = Ela vai beber
Não é verdade que ela não vai dormir = Ela vai dormir
Portanto, o que Diana disse foi:
dormir””
“Vou beber ou vou dormir
25
Sejam p e q duas proposições. A negação de
p ∧ q equivale a:
26
A negação da proposição: “Pedro fala inglês e
francês” é:
Tabela Verdade
xa.
~
b. ~
c. ~
d. p
p ∨ ~q
p ∧ ~q
p∨q
∧ ~q
p
q
p∧q
~ p ∨ ~q
V
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
a.
b.
c.
d.
e.
Pedro
Pedro
Pedro
Pedro
Pedro
fala inglês ou fala francês
não fala inglês e fala francês
não fala inglês ou francês
não fala inglês e não fala francês
não fala inglês ou não fala francês
Exatamente opostos
27
28
IBMEC - Lógica Aplicada
A negação da proposição: “Pedro fala inglês e
francês” é:
Assumindo:
p = Pedro fala inglês
q = Pedro fala francês
A negação da proposição: “Pedro fala inglês e
francês” é:
a.
b.
c.
d.
e.
Precisamos encontrar a negação de p ∧ q, ou seja, ~(p ∧ q)
Como sabemos que ~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q, logo, a negação lógica da
frase acima é exatamente:
x
Pedro
Pedro
Pedro
Pedro
Pedro
fala inglês ou fala francês
não fala inglês e fala francês
não fala inglês ou francês
não fala inglês e não fala francês
não fala inglês ou não fala francês
“Pedro não fala inglês ou não fala francês”, que
corresponde a letra e
29
Disjunção exclusiva ( ou p ou q = p ⊕ q )
30
Disjunção exclusiva ( ou p ou q = p ⊕ q )
◦ p = Carlos é rubro-negro
◦ p = Carlos é rubro-negro
◦ q = Carlos é tricolor
◦ q = Carlos é tricolor
◦ p ⊕ q = ou Carlos é rubro-negro ou Carlos é tricolor
◦ p ⊕ q = ou Carlos é rubro-negro ou Carlos é tricolor
A
B
p
q
p
31
q
32
IBMEC - Lógica Aplicada
Quando p ⊕ q é Verdadeiro?
Quando p ⊕ q é Verdadeiro?
Carlos é rubro-negro
Carlos é tricolor
Tabela Verdade
Tabela Verdade
Região
p
q
p⊕q
Região
p
q
1
V
V
F
1
V
V
p⊕q
F
2
V
F
V
2
V
F
V
3
F
V
V
3
F
V
V
4
F
F
F
4
F
F
F
33
Quando p ⊕ q é Verdadeiro?
34
Carlos é rubro-negro
Carlos não
não é tricolor
Quando p ⊕ q é Verdadeiro?
Carlos não
não é rubro-negro
Carlos é tricolor
Tabela Verdade
Tabela Verdade
Região
p
q
p⊕q
Região
p
q
1
V
V
F
1
V
V
F
2
V
F
V
2
V
F
V
3
F
V
V
3
F
V
V
4
F
F
F
4
F
F
F
35
p⊕q
36
IBMEC - Lógica Aplicada
Qual é o tipo de
disjunção neste caso?
a) Inclusiva
b) Exclusiva
c) Alternativa
Quando p ⊕ q é Verdadeiro?
Carlos não
não é rubro-negro
Carlos não
não é tricolor
Tabela Verdade
Região
p
q
p⊕q
1
V
V
F
2
V
F
V
3
F
V
V
4
F
F
F
Monte a tabela
verdade, indicando
corretamente as
proposições.
37
Maria é aposentada pelo INSS e está completando 70 anos na próxima semana. Há
2 anos, após a morte do Sr. Aroldo, seu esposo, Maria resolveu morar com seu
filho Joaquim. Com saudades da área rural e com as frequentes preocupações que
seu filho solteiro causava, Maria voltou no último mês para sua fazenda, onde sua
filha Marta, ainda mora com seu irmão por parte pai. Carla, filha mais nova da
Maria é advogada e, ao ler o Diário Oficial, percebeu uma nota que talvez pudesse
beneficiar sua mãe. A nota do Diário Oficial dizia:
Qual é o tipo de
disjunção neste caso?
a) Inclusiva
b) Exclusiva
X
c) Alternativa
“Terão direito ao novo benefício do governo aqueles que:
i) são moradores da área rural e maiores de 65 anos;
ii) ou são cadastrados no Bolsa-Família ou são aposentados;
iii) possuem mais de 3 filhos ou não são viúvos.”
p = foto sai no anúncio
q = não tem anúncio
p
q
p⊕q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
38
Maria estava feliz por reunir a família e disse que estava muito cansada para ir até
a cidade preencher a papelada para solicitação do benefício. Camila, sua nora, se
prontificou a ajudá-la, mas disse não acreditar que Maria teria direito a tal
benefício, já que ela não é cadastrada no Bolsa-Família.
O pedido da Maria chegou a superintendência e você,
você como auditor da
Presidência observou que este pedido havia sido corretamente:
a) Aceito
b) Negado
39
40
IBMEC - Lógica Aplicada
Maria é aposentada pelo INSS e está completando 70 anos na próxima semana. Há
2 anos, após a morte do Sr. Aroldo, seu esposo, Maria resolveu morar com seu
filho Joaquim. Com saudades da área rural e com as frequentes preocupações que
seu filho solteiro causava, Maria voltou no último mês para sua fazenda, onde sua
filha Marta, ainda mora com seu irmão por parte pai. Carla, filha mais nova da
Maria é advogada e, ao ler o Diário Oficial, percebeu uma nota que talvez pudesse
beneficiar sua mãe. A nota do Diário Oficial dizia:
Maria é aposentada pelo INSS e está completando 70 anos na próxima semana. Há
2 anos, após a morte do Sr. Aroldo, seu esposo, Maria resolveu morar com seu
filho Joaquim. Com saudades da área rural e com as frequentes preocupações que
seu filho solteiro causava, Maria voltou no último mês para sua fazenda, onde sua
filha Marta, ainda mora com seu irmão por parte pai. Carla, filha mais nova da
Maria é advogada e, ao ler o Diário Oficial, percebeu uma nota que talvez pudesse
beneficiar sua mãe. A nota do Diário Oficial dizia:
“Terão direito ao novo benefício do governo aqueles que:
“Terão direito ao novo benefício do governo aqueles que:
i) são moradores da área rural e maiores de 65 anos;
ii) ou são cadastrados no Bolsa-Família ou são aposentados;
iii) possuem mais de 3 filhos ou não são viúvos.”
i) são moradores da área rural e maiores de 65 anos;
ii) ou são cadastrados no Bolsa-Família ou são aposentados;
iii) possuem mais de 3 filhos ou não são viúvos.”
Maria estava feliz por reunir a família e disse que estava muito cansada para ir até
a cidade preencher a papelada para solicitação do benefício. Camila, sua nora, se
prontificou a ajudá-la, mas disse não acreditar que Maria teria direito a tal
benefício, já que ela não é cadastrada no Bolsa-Família.
O pedido da Maria chegou a superintendência e você,
você como auditor da
Presidência observou que este pedido havia sido corretamente:
a) Aceito
b) Negado
Maria estava feliz por reunir a família e disse que estava muito cansada para ir até
a cidade preencher a papelada para solicitação do benefício. Camila, sua nora, se
prontificou a ajudá-la, mas disse não acreditar que Maria teria direito a tal
benefício, já que ela não é cadastrada no Bolsa-Família.
O pedido da Maria chegou a superintendência e você,
você como auditor da
Presidência observou que este pedido havia sido corretamente:
a) Aceito
b) Negado
41
42
Maria é aposentada pelo INSS e está completando 70 anos na próxima semana. Há
2 anos, após a morte do Sr. Aroldo, seu esposo, Maria resolveu morar com seu
filho Joaquim. Com saudades da área rural e com as frequentes preocupações que
seu filho solteiro causava, Maria voltou no último mês para sua fazenda, onde sua
filha Marta, ainda mora com seu irmão por parte pai. Carla, filha mais nova da
Maria é advogada e, ao ler o Diário Oficial, percebeu uma nota que talvez pudesse
beneficiar sua mãe. A nota do Diário Oficial dizia:
Maria é aposentada pelo INSS e está completando 70 anos na próxima semana. Há
2 anos, após a morte do Sr. Aroldo, seu esposo, Maria resolveu morar com seu
filho Joaquim. Com saudades da área rural e com as frequentes preocupações que
seu filho solteiro causava, Maria voltou no último mês para sua fazenda, onde sua
filha Marta, ainda mora com seu irmão por parte pai. Carla, filha mais nova da
Maria é advogada e, ao ler o Diário Oficial, percebeu uma nota que talvez pudesse
beneficiar sua mãe. A nota do Diário Oficial dizia:
“Terão direito ao novo benefício do governo aqueles que:
“Terão direito ao novo benefício do governo aqueles que:
i) são moradores da área rural e maiores de 65 anos;
ii) ou são cadastrados no Bolsa-Família ou são aposentados;
iii) possuem mais de 3 filhos ou não são viúvos.”
i) são moradores da área rural e maiores de 65 anos;
ii) ou são cadastrados no Bolsa-Família ou são aposentados;
iii) possuem mais de 3 filhos ou não são viúvos.”
Maria estava feliz por reunir a família e disse que estava muito cansada para ir até
a cidade preencher a papelada para solicitação do benefício. Camila, sua nora, se
prontificou a ajudá-la, mas disse não acreditar que Maria teria direito a tal
benefício, já que ela não é cadastrada no Bolsa-Família.
O pedido da Maria chegou a superintendência e você,
você como auditor da
Presidência observou que este pedido havia sido corretamente:
a) Aceito
b) Negado
Maria estava feliz por reunir a família e disse que estava muito cansada para ir até
a cidade preencher a papelada para solicitação do benefício. Camila, sua nora, se
prontificou a ajudá-la, mas disse não acreditar que Maria teria direito a tal
benefício, já que ela não é cadastrada no Bolsa-Família.
O pedido da Maria chegou a superintendência e você,
você como auditor da
Presidência observou que este pedido havia sido corretamente:
a) Aceito
b) Negado
43
44
IBMEC - Lógica Aplicada
“Não quero nada!” Logo, quero alguma coisa.
Ele deverá ser preso ou não? Justifique.
“Não fiz nada!” Logo, fiz alguma coisa.
“Eu não vi nenhuma pessoa passando por aqui!”
Logo, vi alguém passando.
“Não cometi nenhuma infração!” Logo, cometi
alguma infração.
LembreLembre-se: ~(~p) = p
45
Imagine a situação...
E agora amiga, o que
você vai fazer?
46
Proposição Condicional ( Se p, então q = p q )
◦ p = Ele contou tudo
Se ele me contar tudo, eu o
perdôo.
◦ q = Ela perdoou ele
◦ p q = Se ele contar tudo, ela o perdoará.
47
A proposição condicional deve ser considerada com
bastante cuidado, porque uma implica em outra, ou
seja, p implica em q.
Importante:
Importante Observe que não há informação de que a
negação de p implica na negação de q.
48
IBMEC - Lógica Aplicada
Ele contou tudo e ela o perdoou, exatamente
como ela tinha prometido.
É falso porque ela garantiu que, se ele
contasse tudo, ela o perdoaria.
Tabela Verdade
Tabela Verdade
p
q
pq
p
q
pq
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
F
F
V
p = Ele contou tudo
q = Ela perdoou ele
p q = Se ele contar tudo, ela o perdoará.
p = Ele contou tudo
q = Ela perdoou ele
p q = Se ele contar tudo, ela o perdoará.
49
Mesmo que ele não tenha contado tudo, ela
tem a opção de perdoá-lo, uma vez que a
condição inicial não estabelece imediata
consequência para o fato de ele omitir algo.
50
Ele não contou tudo e ela usou do direito de
não perdoá-lo. A atitude dela neste
contexto também está correta.
Tabela Verdade
Tabela Verdade
p
q
pq
p
q
pq
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
F
F
V
p = Ele contou tudo
q = Ela perdoou ele
p q = Se ele contar tudo, ela o perdoará.
51
p = Ele contou tudo
q = Ela perdoou ele
p q = Se ele contar tudo, ela o perdoará.
52
IBMEC - Lógica Aplicada
“Se uma mulher está grávida, então a substância gonadotrofina está
presente em sua urina.”
O seguinte enunciado é Verdadeiro:
“Se uma mulher está grávida, então a substância gonadotrofina
está presente em sua urina.”
p = Mulher está grávida
q = Substância gonadotrofina está presente em sua urina
p → q é Verdadeiro
Duas amigas, Fátima e Mariana, fizeram exame e constatou-se
que a substância está presente na urina de Fátima e não está
presente na urina de Mariana. Utilizando a proposição
anunciada, os resultados dos exames e o raciocínio lógico
dedutivo:
a.
b.
c.
d.
e.
Sabendo que p → q = ~q → ~p, logo,
“Se a substância gonadotrofina não está presente na urina, então a
mulher não está grávida.”
garantem que Fátima está grávida e não se pode garantir que Mariana
esteja grávida;
garantem que Mariana não está grávida e não se pode garantir que Fátima
esteja grávida;
garantem que Mariana está grávida e que Fátima também está grávida;
garantem que Fátima não está grávida e não se pode garantir que Mariana
esteja grávida;
Garantem que Mariana não está grávida e que Fátima está grávida.
Após o exame: Fátima tem a substância, logo, nada se pode afirmar.
Mariana não tem a substância, logo, não está grávida.
53
54
Outra Solução:
O seguinte enunciado é Verdadeiro:
Quadro Resumo: “Se premissa A, então premissa B”:
“Se uma mulher está grávida, então a substância gonadotrofina
está presente em sua urina.”
Premissa A --------- Premissa B
(V)
(V)
Premissa A --------- Premissa B
(F)
(V) ou (F)
Premissa A
Premissa B
(F)
(F)
Premissa A
Premissa B
(V) ou (F)
(V)
Duas amigas, Fátima e Mariana, fizeram exame e constatou-se
que a substância está presente na urina de Fátima e não está
presente na urina de Mariana. Utilizando a proposição
anunciada, os resultados dos exames e o raciocínio lógico
dedutivo:
a.
xb.
c.
d.
e.
garantem que Fátima está grávida e não se pode garantir que Mariana
esteja grávida;
garantem que Mariana não está grávida e não se pode garantir que Fátima
esteja grávida;
garantem que Mariana está grávida e que Fátima também está grávida;
garantem que Fátima não está grávida e não se pode garantir que Mariana
esteja grávida;
Garantem que Mariana não está grávida e que Fátima está grávida.
55
56
IBMEC - Lógica Aplicada
Outra Solução:
Se uma mulher está grávida, então a substância gonadotrofina está presente em sua urina
Fátima: A substância gonadotrofina está presente na urina (V)
Mariana: A substância gonadotrofina Não está presente na urina (F)
Fátima
Premissa A
(V) ou (F)
Premissa B
(V)
Mariana
Premissa A
(F)
Premissa B
(F)
Se André é culpado, então Bruno é inocente.
Se André é inocente, então Bruno é culpado.
Se André é culpado, então Leo é inocente. Se
André é inocente, então Leo é culpado. Se
Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo,
André, Bruno e Leo são, respectivamente:
a.
b.
c.
d.
e.
Culpado, culpado, culpado
Inocente, culpado, culpado
Inocente, culpado, inocente
Inocente, inocente, culpado
Culpado, culpado, inocente
57
Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é
inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, então
Leo é inocente. Se André é inocente, então Leo é culpado. Se
Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e
Leo são, respectivamente:
a = André é inocente
b = Bruno é inocente
l = Léo é inocente
~a → b é Verdadeiro
a → ~b é Verdadeiro
~a → l é Verdadeiro
a → ~l é Verdadeiro
b → ~l é Verdadeiro
58
Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é
inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, então
Leo é inocente. Se André é inocente, então Leo é culpado. Se
Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e
Leo são, respectivamente:
a
~a = André é culpado
~b = Bruno é culpado
~l = Léo é culpado
b
l
~a
~b
~l
~a→
~a→b
a→~b
~a→
~a→l
a→~l
b→~l
Como se comporta a Tabela Verdade neste caso ?
Quando todas estas proposições forem Verdadeiro,
encontraremos a resposta para o problema!
59
60
IBMEC - Lógica Aplicada
Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é
inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, então
Leo é inocente. Se André é inocente, então Leo é culpado. Se
Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e
Leo são, respectivamente:
~a
~b
~l
~a→
~a→b
a→~b
~a→
~a→l
a→~l
b→~l
Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é
inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, então
Leo é inocente. Se André é inocente, então Leo é culpado. Se
Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e
Leo são, respectivamente:
a
b
l
a
b
l
~a
~b
~l
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
V
V
V
~a→
~a→b
a→~b
~a→
~a→l
a→~l
b→~l
61
Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é
inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, então
Leo é inocente. Se André é inocente, então Leo é culpado. Se
Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e
Leo são, respectivamente:
62
Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é
inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, então
Leo é inocente. Se André é inocente, então Leo é culpado. Se
Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e
Leo são, respectivamente:
a
b
l
~a
~b
~l
~a→
~a→b
a→~b
~a→
~a→l
a→~l
b→~l
a
b
b
~a→~l
l~a ~a b ~b ~a→
~a→
~a→b
a→~b
~a→
~a→l
a→~l
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
V
V
VF
F
V
F
VF
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
V
V
FF
F
V
F
VV
V
F
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
F
VF
F
F
V
VF
V
V
V
F
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
FF
F
F
V
VV
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
VV
V
V
F
VF
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
F
V
FV
V
V
F
VV
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
VV
V
F
V
F F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
F
V
V
F
F
FV
V
F
V
FV
V
V
F
V
V
63
b→~l
64
IBMEC - Lógica Aplicada
Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é
inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, então
Leo é inocente. Se André é inocente, então Leo é culpado. Se
Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e
Leo são, respectivamente:
Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é
inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, então
Leo é inocente. Se André é inocente, então Leo é culpado. Se
Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e
Leo são, respectivamente:
a
b
l
~a
~b
a
~b
~l
~a→
a→
→~b
b
~a
a→~b
~a→
~a→l
a→~l
b→~l
a
b
l
~a
~b
a~a→
→~b
→l
~a
~a→
~a→l
a→~l
V
V
V
F
VF
F
VF
F
V
F
F
V
V
V
F
F
~l ~a ~a→
~a→bl
F
F
V V
FV
V
F
b→~l
F
V
V
F
F
VF
F
V
VF
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V F
FV
V
V
V
V
F
V
F
VV
V
F
VV
V
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V V
VV
V
F
V
V
F
F
F
VV
V
VV
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V F
VV
V
V
V
F
V
V
V
FF
F
VV
V
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
V V
VV
V
V
F
F
V
F
V
FF
F
V
VV
V
F
V
V
F
V
F
V
F
V
V
V F
VF
F
V
V
F
F
V
V
FV
V
F
FV
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F V
VV
V
V
V
F
F
F
V
FV
V
VV
V
F
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V F
VF
F
V
V
65
Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é
inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, então
Leo é inocente. Se André é inocente, então Leo é culpado. Se
Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e
Leo são, respectivamente:
66
Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é
inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, então
Leo é inocente. Se André é inocente, então Leo é culpado. Se
Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e
Leo são, respectivamente:
a
b
l
~a
~b
~l
~a→
~a→b
~a→
a→→
~ll
~a
a→~l
b→~l
a
b
l
~a
~b
~l
~a→
~a→b
~ll
~a→
→
~a
b
→~l
~l
a→
V
V
V
F
F
F
V
V
F F
V
F
F
F
V
V
V
F
F
F
V
F
V
VF
F
F
V
V
F
F
F
V
V
V
FV
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
VV
V
V
V
F
V
F
V
F
V
V
VF
V
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
VF
V
F
V
V
F
F
F
V
V
V
V
VV
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
F
VV
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
VF
V
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
V
V
VF
V
F
F
F
V
F
V
F
V
V
F
VV
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
FV
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
VF
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
F
VF
V
V
F
F
F
V
V
V
V
F
VV
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
F
FV
V
V
a a→~b
~l
67
a→~b b
b→~l
68
IBMEC - Lógica Aplicada
Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é
inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, então
Leo é inocente. Se André é inocente, então Leo é culpado. Se
Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e
Leo são, respectivamente:
Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é
inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, então
Leo é inocente. Se André é inocente, então Leo é culpado. Se
Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e
Leo são, respectivamente:
a
b
l
~a
~b
~l
~a→
~a→b
a→~b
~a→
~a→l
a→~l
b→~l
a
b
l
~a
~b
~l
~a→
~a→b
a→~b
~a→
~a→l
a→~l
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
b→~l
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
F
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
F
V
V
69
Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é
inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, então
Leo é inocente. Se André é inocente, então Leo é culpado. Se
Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e
Leo são, respectivamente:
a = André é inocente Verdadeiro
b = Bruno é inocente Falso
Falso
l = Léo é inocente
~a → b é Verdadeiro
a → ~b é Verdadeiro
~a → l é Verdadeiro
a → ~l é Verdadeiro
b → ~l é Verdadeiro
70
~a = André é culpado Falso
~b = Bruno é culpado Verdadeiro
~l = Léo é culpado
Verdadeiro
Se André é culpado, então Bruno é inocente.
Se André é inocente, então Bruno é culpado.
Se André é culpado, então Leo é inocente. Se
André é inocente, então Leo é culpado. Se
Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo,
André, Bruno e Leo são, respectivamente:
a. Culpado, culpado, culpado
Inocente, culpado, culpado
c. Inocente, culpado, inocente
d. Inocente, inocente, culpado
e. Culpado, culpado, inocente
Como se comporta a Tabela Verdade neste caso ?
xb.
Como visto, para que estas proposições sejam
Verdadeiras, a deve ser Verdadeiro, b deve ser Falso e l
deve ser Falso.
Portanto: André é inocente
Bruno é culpado
Léo é culpado
71
72
IBMEC - Lógica Aplicada
Exercício 9
Exercício 9 (Solução)
Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram
ao casamento. Se Carla não foi ao casamento,
Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o
navio afundou. Ora, o navio não afundou.
Logo:
a.
b.
c.
d.
e.
Nesse tipo de exercício, utilizar a tabelaverdade não seria uma boa escolha devido ao
número de combinações.
Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento.
(F)
Vera não viajou e Carla não foi ao casamento.
Camile e Carla não foram ao casamento.
Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou.
Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou.
Vera e Vanderléia não viajaram.
(F)
Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou.
(F)
(F)
Se Vanderléia viajou, o navio afundou.
(F)
(F)
Ora, o navio não afundou.
(V)
73
Exercício 9 (Solução)
Exercício 9
Conclusões do raciocínio foram as seguintes:
Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram
ao casamento. Se Carla não foi ao casamento,
Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o
navio afundou. Ora, o navio não afundou.
Logo:
O navio não afundou. (premissa incondicional,
“verdade” do enunciado);
Vanderléia não viajou. (conclusão da terceira
proposição);
Carla foi ao casamento. (conclusão da segunda
proposição);
Vera não viajou. (conclusão da primeira
proposição).
a.
b.
c.
d.
e.
x
Vera não viajou e Carla não foi ao casamento.
Camile e Carla não foram ao casamento.
Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou.
Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou.
Vera e Vanderléia não viajaram.
76
IBMEC - Lógica Aplicada
Exercício 10
Exercício 10 (Solução)
Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é
filha de Alice. Ou Ana é filha de Alice, ou Ênia é
filha de Elisa. Se Paula não é filha de Paulete,
então Flávia é filha de Fernanda. Ora, nem Ênia
é filha de Elisa nem Inês é filha de Isa.
a.
b.
c.
d.
e.
Quadro Resumo: “premissa A ou premissa B”:
Premissa A --------- Premissa B
(V)
(V) ou (F)
Premissa A --------- Premissa B
(F)
(V)
Premissa A
Premissa B
(V)
(F)
Paula é filha de Paulete e Flávia é filha de Fernanda.
Paula é filha de Paulete e Ana é filha de Alice.
Paula não é filha de Paulete e Ana é filha de Alice.
Ênia é filha de Elisa ou Flávia é filha de Fernanda.
Se Ana é filha de Alice, Flávia é filha de Fernanda.
Premissa A
(V) ou (F)
Premissa B
(V)
78
Exercício 10 (Solução)
Exercício 10 (Solução)
Quadro Resumo: “Ou premissa A, ou premissa B”:
Premissa A --------- Premissa B
(V)
(F)
Premissa A --------- Premissa B
(F)
(V)
Premissa A
Premissa B
(V)
(F)
Premissa A
(F)
Solução:
Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é filha de Alice.
(F)
(F)
Ou Ana é filha de Alice, ou Ênia é filha de Elisa.
(V)
(F)
Se Paula não é filha de Paulete,
então Flávia é filha de Fernanda.
(F)
Premissa B
(V)
(F)
Ora, nem Ênia é filha de Elisa nem Inês é filha de Isa.
(V)
79
IBMEC - Lógica Aplicada
Exercício 10 (Solução)
Exercício 10
Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é
filha de Alice. Ou Ana é filha de Alice, ou Ênia é
filha de Elisa. Se Paula não é filha de Paulete,
então Flávia é filha de Fernanda. Ora, nem Ênia
é filha de Elisa nem Inês é filha de Isa.
Algumas conclusões:
Ênia não é filha de Elisa; Inês não é filha de Isa.
(premissas incondicionais);
Ana é filha de Alice. (conclusão da segunda
proposição);
Flávia não é filha de Fernanda. (conclusão da
primeira proposição);
Paula é filha de Paulete (conclusão da terceira
proposição).
a. Paula é filha de Paulete e Flávia é filha de Fernanda.
é filha de Paulete e Ana é filha de Alice.
xb.c. Paula
Paula não é filha de Paulete e Ana é filha de Alice.
d. Ênia é filha de Elisa ou Flávia é filha de Fernanda.
e. Se Ana é filha de Alice, Flávia é filha de Fernanda.
Proposição Bicondicional
◦ p se e somente se q = p ↔ q
◦ p = Ele ganhará a mesada
◦ q = Ele passará em lógica aplicada
◦ p ↔ q = Ele ganhará a mesada se, e somente se, ele passar em
lógica aplicada.
83
O valor lógico da proposição bicondicional só será
verdadeiro no caso em que ambas as proposições
apresentarem valores lógicos iguais, ou seja, as
duas verdadeiras ou as duas falsas.
84
IBMEC - Lógica Aplicada
◦
◦
◦
◦
◦
Tabela Verdade
p
q
p↔q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
A sentença p → q também pode ser lida como:
p
q
p
p
p
é condição suficiente para q.
é condição necessária para p.
implica q.
acarreta q.
somente se q.
A sentença p ↔ q também pode ser lida como:
◦ p é condição necessária e suficiente para q.
p = Ele ganhará a mesada
q = Ele passará em lógica aplicada
p ↔ q = Ele ganhará a mesada se, e somente
se, ele passar em lógica aplicada.
85
Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para
Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar
Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é
condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar
Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio,
a.
86
Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para
Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar
Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é
condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar
Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio,
j = João estar feliz
m = Maria sorrir
João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo.
b. João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.
m→j
Se Maria sorri, então João está feliz
c. João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.
d. João não está feliz, e Maria não sorri, e Daniela não abraça Paulo.
e.
João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.
87
88
IBMEC - Lógica Aplicada
Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para
Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar
Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é
condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar
Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio,
m→j
Se Maria sorri, então João está feliz
j = João estar feliz
m = Maria sorrir
j = João estar feliz
d = Daniela abraçar Paulo
Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para
Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar
Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é
condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar
Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio,
j = João estar feliz
m = Maria sorrir
j→d
Se João está feliz, então Daniela abraça Paulo
m→j
Se Maria sorri, então João está feliz
j = João estar feliz
d = Daniela abraçar Paulo
j→d
Se João está feliz, então Daniela abraça Paulo
d = Daniela abraçar Paulo
s = Sandra abraçar Sérgio
d↔s
Daniela abraça Paulo se, e somente se,
Sandra abraça Sérgio
89
Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para
Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar
Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é
condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar
Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio,
m → j é Verdadeiro
Se Maria sorri, então João está feliz
j = João estar feliz
m = Maria sorrir
j = João estar feliz
d = Daniela abraçar Paulo
j → d é Verdadeiro
Se João está feliz, então Daniela abraça Paulo
d = Daniela abraçar Paulo
s = Sandra abraçar Sérgio
d ↔ s é Verdadeiro
Daniela abraça Paulo se, e somente se,
Sandra abraça Sérgio
~s = Sandra não abraça Sérgio
~s é Verdadeiro, logo, s é Falso
91
90
Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para
Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar
Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é
condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar
Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio,
m → j é Verdadeiro
j → d é Verdadeiro
d ↔ s é Verdadeiro
s é Falso
Sendo s Falso, qual será o
valor de d para que d ↔ s seja
Verdadeiro ?
d
s
d↔s
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Concluímos que:
m é ???
j é ???
d é Falso
s é Falso
92
IBMEC - Lógica Aplicada
Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para
Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar
Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é
condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar
Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio,
m → j é Verdadeiro
j → d é Verdadeiro
d ↔ s é Verdadeiro
s é Falso
m → j é Verdadeiro
j → d é Verdadeiro
d ↔ s é Verdadeiro
s é Falso
Sendo d Falso, qual será o
valor de jj para que jj →
→d
d seja
Verdadeiro ?
j
j→d
d
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para
Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar
Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é
condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar
Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio,
Sendo j Falso, qual será o valor
de m para que m → j seja
Verdadeiro ?
Concluímos que:
m é ???
j é Falso
d é Falso
s é Falso
m
j
m→j
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Concluímos que:
m é Falso
j é Falso
d é Falso
s é Falso
93
Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para
Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar
Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é
condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar
Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio,
a.
94
p
~p
p
q
p∧q
p∨q
p↔ q
p→ q
V
F
V
V
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo.
b. João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.
c. João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.
d. João não está feliz, e Maria não sorri, e Daniela não abraça Paulo.
x
e.
Ordem de Precedência
João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.
Maior
Concluímos que :
m é Falso
j é Falso
d é Falso
s é Falso
Maria não sorri
João não está feliz
Daniela não abraça Paulo
Sandra não abraça Sérgio
95
~
∧
∨
→
↔
Menor
96
IBMEC - Lógica Aplicada
Sendo p a proposição Paulo é Administrador,
Administrador q a
proposição Paulo é Carioca e r a proposição
Paulo é Flamenguista,
Flamenguista traduza para a linguagem
corrente as seguintes proposições:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Sendo p a proposição Paulo é Administrador,
Administrador q a
proposição Paulo é Carioca e r a proposição
Paulo é Flamenguista,
Flamenguista traduza para a linguagem
corrente as seguintes proposições:
~p
p∨q
q ∧ ~r
q⊕r
~p ∧ ~q ∧ ~r
q→r
r↔q
a)
b)
c)
d)
e)
~p
p∨q
q ∧ ~r
q⊕r
~p ∧ ~q ∧ ~r
f)
g)
q→r
r↔q
Paulo não é Administrador
Paulo é Administrador ou Carioca
Paulo é Carioca e não é Flamenguista
Ou Paulo é Carioca ou Paulo é Flamenguista
Paulo não é Administrador e não é Carioca e
não é Flamenguista.
Se Paulo é Carioca, então ele é Flamenguista
Paulo é Flamenguista se, e somente se ele é
Carioca.
97
a. ~ (p ^ q) = ~p v ~q
Mostre, a partir da tabela verdade, que:
a.
b.
c.
d.
e.
98
~ (p ^ q) = ~p v ~q
~ (p v q) = ~p ^ ~q
p → q = ~p v q
~(p → q) = p ^ ~q
p ↔ q = (p → q) ^ (q → p)
99
p
q
p∧q
~(p∧
~(p∧q)
~p
~q
~p ∨ ~q
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
100
IBMEC - Lógica Aplicada
c. p → q = ~p v q
b. ~ (p v q) = ~p ^ ~q
p
q
p∨q
~(p∨
~(p∨q)
~p
~q
~p ∧ ~q
p
q
p→ q
~p
q
~p ∨ q
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
101
d. ~(p → q) = p ^ ~q
102
e. p ↔ q = (p → q) ^ (q → p)
p
q
p→ q
~(p → q)
p
~q
p ∧ ~q
p
q
p↔q
p→q
q→p
(p → q) ∧ (q → p)
V
V
V
F
V
F
F
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F
V
V
V
V
103
104
IBMEC - Lógica Aplicada
A negação da afirmação condicional “se Ana
viajar, Paulo vai viajar” é:
a.
b.
c.
d.
e.
Ana não está viajando e Paulo vai viajar.
Se Ana não viajar, Paulo vai viajar.
Ana está viajando e Paulo não vai viajar.
Ana não está viajando e Paulo não vai viajar.
Se Ana estiver viajando, Paulo não vai viajar.
A negação da afirmação condicional “se Ana
viajar, Paulo vai viajar” é:
a.
b.
c.
d.
e.
x
Ana não está viajando e Paulo vai viajar.
Se Ana não viajar, Paulo vai viajar.
Ana está viajando e Paulo não vai viajar.
Ana não está viajando e Paulo não vai viajar.
Se Ana estiver viajando, Paulo não vai viajar.
Veja que estamos diante de um caso de sentença do tipo p→q e, como vimos
anteriormente, sua negação é feita com proposições do tipo p ^ ~q, que neste caso
vai gerar uma sentença do tipo Ana viaja e Paulo não viaja, ou ainda, modificando os
tempos verbais Ana está viajando e Paulo não vai viajar, que corresponde a opção C.
105
Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo,
106
Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo,
xa.Se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu.
a.Se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu.
b.Rodrigo é culpado.
c.Se Rodrigo não mentiu, então ele não é culpado.
d.Rodrigo mentiu.
e.Se Rodrigo é culpado, então ele mentiu.
b.Rodrigo é culpado.
c.Se Rodrigo não mentiu, então ele não é culpado.
d.Rodrigo mentiu.
e.Se Rodrigo é culpado, então ele mentiu.
p = Rodrigo mentiu
q = Rodrigo é culpado
Sabendo que p → q equivale a ~p v q,
Logo, ~q → ~p = ~(~q) v ~p = q v ~p = ~p v q
107
108
IBMEC - Lógica Aplicada
Uma tautologia é toda proposição composta
cujo valor lógico é sempre verdade (V).
As tautologias são também denominadas
proposições tautológicas ou proposições
logicamente verdadeiras.
Exemplo 1:
◦ A fórmula ¬(P ∧ ¬P) é uma tautologia. (Princ
Princí
Princípio da
não contradiç
contradição)
ão
P
V
F
É imediato que as fórmulas P → P e P ↔ P são
tautológicas.
¬P
F
V
(P ∧ ¬P)
F
F
¬(P ∧ ¬P)
V
V
Portanto, dizer que uma proposição não pode
ser simultaneamente verdadeira e falsa é
sempre verdadeiro.
109
Exemplo 2:
¬P
F
V
Exemplo 3:
◦ A fórmula P ∧ Q → (P ↔ Q) é uma tautologia.
◦ A fórmula P ∨ ¬P é uma tautologia. (Princ
Princí
Princípio do
terceiro excluí
excluído)
do
P
V
F
110
P
V
V
F
F
P ∨ ¬P
V
V
Portanto, dizer que uma proposição ou é
verdadeira ou é falsa é sempre verdadeiro.
111
Q
V
F
V
F
P∧Q
V
F
F
F
(P ↔ Q)
V
F
F
V
P ∧ Q → (P ↔ Q)
V
V
V
V
112
IBMEC - Lógica Aplicada
Tautologias - Propriedades
Exemplo 4:
◦ A fórmula P ∧ R → ¬Q ∨ R é uma tautologia.
P
Q
R
¬Q
P∧R
¬Q ∨ R
P ∧ R → ¬Q ∨ R
V
V
V
F
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
F
F
V
V
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
Baseado na Álgebra de Boole, são
apresentadas a seguir algumas
propriedades da Lógica Proposicional,
sendo que cada uma das proposições
exibidas são tautologias.
113
Tautologias - Propriedades
Tautologias - Propriedades
Associativa
(A ∧ B) ∧ C ↔ A ∧ (B ∧ C)
(A ∨ B) ∨ C ↔ A ∨ (B ∨ C)
Distributiva
Comutativa
114
A∧B↔B∧A
A∨B↔B∨A
Leis de De Morgan
115
A ∨ (B ∧ C) ↔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
A ∧ (B ∨ C) ↔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
¬(A ∧ B) ↔ ¬A ∨ ¬B
¬(A ∨ B) ↔ ¬A ∧ ¬B
116
IBMEC - Lógica Aplicada
Tautologias - Propriedades
Leis de Absorção
Uma contradição é toda proposição
composta cujo valor lógico é sempre falso
(F), quaisquer que sejam os valores lógicos
de seus símbolos constituintes.
Como uma tautologia é sempre verdadeira
(V), a negação de uma tautologia é sempre
falsa (F), ou seja, uma contradição, e viceversa.
A ∧ (A ∨ B) ↔ A
A ∨ (A ∧ B) ↔ A
Idempotente
Contradição
A∧A↔A e A∨A↔A
Lei da Dupla Negação
¬¬A ↔ A
117
Exercício 16
Contradição
Exemplo:
Determine quais das seguintes proposições são
tautologias, contradições ou nenhuma delas (isto
é, contingentes).
A fórmula (P ∧ ¬P) é uma contradição.
P
V
F
¬P
F
V
118
(P ∧ ¬P)
F
F
Portanto, dizer que uma proposição pode ser
simultaneamente verdadeira e falsa é sempre
falso.
119
a) A → (B → A)
b) (A → B) → A
c) ¬((A ∧ A) → ((B ∨ A) → ((A ∨ B) → B)))
d) ¬(A ∧ B) ↔ ¬A ∨ ¬B
120
IBMEC - Lógica Aplicada
Exercício 17
Qual(is) das seguintes fórmulas é logicamente
equivalente à fórmula (A→B)?
a) B ∨ ¬A
b) B ∨ (C ∨ ¬A)
c) B → A
121