Geometria I
Aula 2.3
Curso
Licenciatura Plena em Matemática
Aula
2.1
Tempo
Estratégia
18:10 / 18:15
5’
Vh Abertura
18:15 / 18:50
35’
P1 –
Iêda
Turno
Noturno
Período
2.0
Disciplina
Geometria I
Data
27/11/2006 – 2ª. feira
Carga Horária
90h
Planejamento
Andréa, Heimar
Descrição (Arte)
Unidades de medida
Correspondência
GRAU
GRADOS
RADIANOS
Uma Volta
360º
400 gr
2 π rd
Meia volta
180
200 gr
π rd
Um quarto de
volta
90º
100 gr
πrd
2
Aplicação
Transforme 100 grados em graus.
Solução
Grado
Grau
400gr
360º
100gr
x
360
400
⇒ 400 x = 360 . 100 ⇒ 400 x = 36000
=
100
x
36000
⇒ x = 90º
x =
400
Portanto, 100grados correspondem a 90 graus.
Aplicação
Verifique que 90º =
π
radianos.
2
Solução
Gr
Rad
π
x
180
90
90 π
π
180
⇒ 180 . x = 90 π ⇒ x =
=
180
90
x
x=
π
9π
=
rad
18
2
Portanto, 90º =
π
radianos.
2
Geometria I
Aula 2.3
Aplicação
Determine as medidas x e y, na figura, justificando a propriedade usada.
Solução
x = 64º (o.p.v)
y + 64º = 180º
y = 180º - 64º
y = 116º
Aplicação
A partir da foto ou desenho traçar o seguindo a figura abaixo:
Qual o valor de x?
Solução
X+ 60º = 90º
X = 90º – 60º
X = 30º
Aplicação
A partir da foto do leque traçar o ângulo, tal qual a figura baixo:
Solução
X + 53º = 180º
X = 180º – 53º
X = 127º
Aplicação
Calcule o valor de x na figura.
Geometria I
Aula 2.3
Solução
10º + X+ 25º = 90º
X = 90º – 35º
X = 55º
Aplicação
Calcule o valor de x na figura.
Solução
60º + X+ 40º = 180º
X = 180º – 100º
X = 80º
Aplicação
Calcule o valor de x na figura.
Solução
70º + 90º +5X = 360º
5X =360º – 160º
5X =200º
X = 40º
Aplicação
Calcule o valor de x na figura.
Geometria I
Aula 2.3
Solução
3x
+ 59° + 4x - 15° = 90°
5
3x
+ 4x + 44° = 90°
5
3x
+ 4x = 90° - 44°
5
3x
+ 4x = 46°
5
3x + 20 x 230
=
5
5
3x + 20 =230º
23x = 230º
X=
230
23
X = 10º
Aplicação
Determine o valor de x que:
OP é bissetriz de AÔB
AOP = 3x - 5°
BOP = 2x + 10°
Solução
3x – 5o = 2x + 10o
3x- 2x = 10o + 5o
x = 15 o
18:50 / 19:15
25’
P1/DL
Iêda
Dinâmica Local
1.Determine as medidas x e y, na figura abaixo, justifique a
propriedade usada.
Geometria I
Aula 2.3
2. Somando-se a medida do complemento com a medida do
suplemento de um ângulo obtém-se 130°. Quanto
mede esse ângulo?
19:15 / 19:20
5’
Retorno DL
Solução 1
3x – 40o = x + 20 o (O.P.V)
3x –x = 20 o + 40 o
x = 60 o
y + x + 20 o = 180 o (Ãngulos suplementares)
y + 60 o + 20 o = 180
y = 180 o -80 o
y = 100 o
(24) Solução 2
Passo a passo
90 – x + 180 – x = 130
- 2x = 130 – 270
- 2x = -140 (-1)
2x = 140
x=
140
2
x = 70º
Resposta: O ângulo mede 70º
Licenciatura em Matemática
Geometria I
Aula 2.2
Tempo
19:20 / 19:55
35’
Estratégia
P2 –
Clício
Planejamento: Andréa, Aure
Descrição (Produção)
Unidade I: Noções e proposições primitivas
Tema 05: Paralelismo
Objetivo: Estudar os principais elementos sobre paralelismo, bem
como as suas principais propriedades e aplicações no cotidiano.
(2) Paralelismo
Definição
Coincidentes: r = s ⇒ r // s
Passo a passo
s
r
(3) Paralelismo
Passo a passo
Definição
Coplanares: r, s ⊂ α e r ∩ s = ∅
Geometria I
Aula 2.3
α
r
s
(4) Paralelismo
Nomenclatura
Passo a passo do gráfico, destacando os elementos
β
α
r
γ
θ
β’
α’
γ’
θ’
s
t
(5) Paralelismo
Passo a passo
Teorema fundamental
r e s coplanares cortadas por uma transversal t:
•
•
•
•
Ângulos correspondentes congruentes.
Ângulos alternos congruentes.
Ângulos colaterais suplementares.
r é paralela a s → r // s
(6) Paralelismo
Teorema fundamental
Passo a passo
β
γ
β’
γ’
α
r
θ
α’
θ’
t
(7) Aplicação
Sendo r // s, determine o valor de x.
s
Geometria I
Aula 2.3
t
120º
r
x
s
(8) Solução
Passo a passo
t
r
120º
x
s
x e 120º são colaterais internos
x e 120º são suplementares
x + 120º = 180º ⇒ x = 60º
(9) Aplicação
Animação de uma canoa em que esta se encontra em um lado do
rio, atravessa e para do outro lado e segue outro sentido. Inserir os
ângulos.
(10) Solução
Passo a passo
3x - 10º
y
2x
3x – 10º e 2x + 90º são colaterais internos
3x – 10º + 2x + 90º = 180º
5x = 100º
x = 20º
3x – 10º e y são alternos internos
3x – 10º = y
3.20º - 10º = y
y = 50º
(11) Paralelismo
Existência da paralela
α ≡ β ⇒ r // s
Passo a passo
Geometria I
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Hipótese: α ≡ β
Tese: r // s
r
β
α
s
t
(12) Paralelismo
Passo a passo
Existência da paralela
Suponha que r e s não sejam paralelas
t
r
B
β
α
P
s
A
α > β (Absurdo, já que por hipótese α ≡ β)
(13) Paralelismo
Construção da paralela
Passo a passo
t
r
B
P
s
M
A
(14) Aplicação
Na figura abaixo, sendo r // s, calcule x e y.
t
r
2x
3x – 20º
s
y + 10º
(15) Solução
Passo a passo
Geometria I
Aula 2.3
t
r
2x
3x – 20º
s
y + 10º
2x e 3x – 20º
2x = 3x – 20º
x = 20º
3x – 20º e y + 10º
3x – 20º = y + 10º
3.20º - 20º = y + 10º
40º = y + 10º
y = 30º
(16) Aplicação
Animação:
Começar a visualização desde o planeta ou mais próximo.
Aproximar até chegar na visualização adequada das ruas.
Traçar as retas e colocar os ângulos.
(17) Solução
14x -11º e 39º + 4x
14x -11º = 39º + 4x
10x = 50º
x = 5º
Passo a passo
(18) Paralelismo
Unicidade da paralela
r ≠ s e r // s ⇒ α ≡ β
Hipótese: r ≠ s e r // s
Tese: α ≡ β
Passo a passo
t
β
r
P
α
s
(19) Paralelismo
Unicidade da paralela
β’ ≡ α ⇒ u // s)
α≡β
Passo a passo
Geometria I
Aula 2.3
t
u
r
β
β’
P
α
s
(20) Paralelismo
Condição geral
α ≡ β ⇔ r // s
Passo a passo
t
r
β
α
s
(21) Aplicação
Determine o valor de â na figura abaixo, sendo r // s.
t
r
10º
â
s
(22) Solução
Passo a passo
t
10º
10º
80º
â
â e 80º
â + 80º = 180º
â = 180º - 80º
â = 100º
19:55 / 20:20
25’
P2 /DL
Clício
(23) Dinâmica Local
Livro-texto, exercício 3b, página 24.
Livro-texto, exercício 6, página 24.
r
s
Geometria I
20:20 / 20:25
5’
Aula 2.3
Retorno
DL
(24) Solução 1
7x
+ 70° = 3 x = 20°
4
7x
- 3x = -50o
4
− 5x
= −50°
4
Passo a passo
-5x = -2000
x = 40o
(25) Solução 1
Gráfico em anexo
x+ 30o = 180o
x= 1800 – 30o
x= 150o
20:25 / 20:45
20’
Intervalo
Licenciatura em Matemática
Mateus
Geometria I
Aula 2.3
Tempo
20:45 / 21:20
35’
Estratégia
P3 –
Vítor
Planejamento: Sara /
Descrição (Produção)
Unidade I: Noções e proposições primitivas
Tema 06: Perpendicularismo
Objetivo: Definir retas perpendiculares, verificar a existência e a
unicidade.
(1) Perpendicularismo
Retas perpendiculares
Definição
Duas retas são perpendiculares se, e somente se, são concorrentes
e formam ângulos adjacentes suplementares congruentes.
(2) Perpendicularismo
Retas perpendiculares
Conseqüência da definição
• Semi-retas perpendiculares.
(3) Perpendicularismo
Retas perpendiculares
Conseqüência da definição
• Segmentos de retas perpendiculares
(4) Perpendicularismo
Retas oblíquas
Definição
Se duas retas são concorrentes e não são perpendiculares, diz-se
que estas retas são oblíquas.
(5) Perpendicularismo
Ângulo reto
Geometria I
Aula 2.3
Existência do ângulo reto
•
Tome uma reta r, um ponto O ∈ r e a semi-reta Or1 ⊂ r.
(6) Perpendicularismo
Ângulo reto
Toma-se dois pontos P e Q em semiplanos opostos em relação a r,
de modo que OP ≡ OQ e r1ÔP ≡ r1ÔQ.
Há três possibilidades:
Passo a passo
1.ª
2.ª
3.ª
(7) Perpendicularismo
Ângulo reto
•
•
Considere X = PQ ∩ r
Do 1º caso, temos:
passo a passo
r1Oˆ P ≡ r1Oˆ Q ⁄ r ⊥ PQ ⁄ e r1 XˆP ≡ r1 XˆQ = 90 0 .
⁄
Geometria I
Aula 2.3
(8) Perpendicularismo
Ângulo reto
• Do 2º e 3 º caso, temos:
Passo a passo
ΔPOX ≡ ΔQOX , ⁄ pelo caso LAL, ⁄ então r ⊥ PQ ⁄ e
r XˆP ≡ r XˆQ = 90 0
1
1
⁄
(9) Perpendicularismo.
Reta perpendicular
Num plano, por um ponto P de uma reta r existe uma única reta s
perpendicular a r.
(10) Perpendicularismo
Reta perpendicular
Por um ponto P fora de uma reta r passa uma única reta s
perpendicular a r.
(11) Altura de um triângulo
Definição
É o segmento de reta perpendicular à reta suporte de um lado do
triângulo com extremidades nesta reta e no vértice oposto ao lado
considerado.
(12) Projeção ortogonal
Passo a passo em anexo
Ponto
Dada uma reta r e um ponto P fora dela, P `∈ r é projeção de P
sobre r se, e somente se, P`P ⊥ r .
Geometria I
Aula 2.3
(13) Projeção ortogonal
Segmento de reta
A projeção de um segmento de reta AB não perpendicular a uma
reta r sobre esta reta é o segmento de reta A`B` em que:
A` é a projeção de A sobre r e B` é a projeção de B sobre r.
Passo a passo em anexo
(14) Pontos da Mediatriz
Propriedade
Todo ponto da mediatriz de um segmento é eqüidistante das
extremidades do segmento.
Passo a passo em anexo
(15) Pontos da Mediatriz
Propriedade
Todo ponto da bissetriz de um ângulo é eqüidistante dos lados do
ângulo.
Passo a passo em anexo
21:20 / 21:45
P3 /DL
(16) Dinâmica Local
Geometria I
25’
Aula 2.3
Vítor
Todo ponto da bissetriz de um ângulo é eqüidistante dos lados do
ângulo.
1. Determine o valor de x na figura.
(17) Dinâmica Local
2. Calcule o valor de x.
21:45 / 21:50
5’
Retorno
DL
(18) Solução 1
Passo a passo
x = 40o
(19) Solução 2
Passo a passo
50o +
21:50 / 22:00
10’
Tira
Dúvidas
x
+ 90 o = 180 o ⇒ x = 80 o
2