301
APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES EM DIFERENÇAS NA SOLUÇÃO DE
ALGUNS PROBLEMAS EM CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS
Gustavo Batista de Oliveira1 (Uni-FACEF)
Antônio Carlos da Silva Filho2 (Uni-FACEF)
INTRODUÇÃO
A Renda Nacional, seguindo o modelo proposto por Samuelson3, em qualquer
período é composta por três componentes: (1) gastos dos consumidores (na compra
de bens de consumo), (2) investimentos privados (para compra de equipamentos e
máquinas para aumento de produção) e (3) gastos do governo.
Usamos os
seguintes símbolos para indicar estas quantidades:
Yt = Renda Nacional
Ct = Gastos dos consumidores
I t = Investimentos privados
Gt = Gastos do governo
O índice t representa o período no qual a variável é analisada.
Chegamos então à equação: Yt = Ct + I t + Gt
1
Aluno regularmente matriculado no 3º semestre do curso de Matemática do Uni-Facef.
Prof. Dr. do Departamento de Matemática do Uni-Facef.
3
P.A. Samuelson, “Interactions Between the Multiplier Analysis and the Principle of Acceleration”, Review of
Economic Statistics, 21 (1939), 75-78; reprinted in Readings in Business Cycle Theory, Blakiston Co.,
Philadélphia, 1944.
2
302
De acordo com Samuelson fizemos 3 suposições sobre as variáveis da
equação.
(i)
Os gastos dos consumidores, em qualquer período são proporcionais a
Renda Nacional do período anterior.
(ii)
Os investimentos privados em qualquer período são proporcionais ao
aumento do consumo no período anterior (chamado Princípio da
Aceleração)
(iii)
Os gastos do governo são os mesmos em todos os períodos.
Nosso problema foi analisar o comportamento da Renda Nacional quando
sujeita a estas condições. Primeiro transformamos as suposições em em
linguagem matemática e depois derivamos a equação original para eliminar
as variáveis exceto a da Renda Nacional, o que nos permitirá estudar a renda
nacional em função do tempo.
(i) Ct = αYt −1
(ii) I t = β (Ct − Ct −1 )
(iii) Gt = 1
Onde α , constante de proporcionalidade, é chamada de propensão marginal
de consumo. E β , também constante de proporcionalidade, é chamada de relação.
Substituindo as suposições na equação e após o devido tratamento algébrico
obtivemos a equação em diferença para a Renda Nacional:
Yt = α (1 + β )Yt −1 − αβYt −2 + 1
MÉTODOS
Uma equação em diferenças é dita linear se ela for da forma:
303
f 0 (k ) yk +n + f1 (k ) yk +n−1 + f 2 (k ) yk +n−2 + ... + f n−1 (k ) yk +1 + f n (k ) yk = g k
onde f 0 ... f n e g são funções de k definidas para k= 0, 1, 2, ...
Em geral, se a equação for de ordem
n
então f 0 é diferente de zero e
podemos dividi-la por f 0 e renomear os coeficientes para a forma: a1 = f1
a2 =
f2
f0
, ..., an =
fn
f0
e rk =
gk
f0
f0
,
o que nos leva a reescrever a equação com a
seguinte notação:
yk +n + a1 yk +n−1 + a2 yk +n−2 + ... + an−1 yk +1 + an yk = rk (equação geral)
Observamos então que nossa equação apresentada para o modelo de
Samuelson é um caso particular da equação de diferenças de ordem n .
Uma equação deste tipo é dita homogênea (ou reduzida) se rk = 0 .
Teorema 1:
Se y (1) e y ( 2) são duas soluções quaisquer para a equação em diferenças
linear homogênea, então C1 y (1) + C2 y ( 2) também é solução para as constantes
arbitrárias C1 e C 2 .
Teorema 2:
Se Y é solução da equação homogênea e y* é solução da equação geral,
então Y + y* também é solução da equação geral.
Para enunciar mais dois teoremas vamos estabelecer a equação em
diferenças de segunda ordem:
yk +2 + a1 yk +1 + a2 yk = rk
e sua respectiva homogênea:
yk +2 + a1 yk +1 + a2 yk = 0
304
Teorema 3:
Sejam y (1) e
y ( 2) duas soluções da equação yk +2 + a1 yk +1 + a2 yk = 0 e seja
Y = C1 y (1) + C2 y ( 2) onde C1 e C 2 são constantes arbitrárias.
Se
y0(1) y1( 2) − y0( 2) y1(1) ≠ 0
então
Y
é
a
solução
geral
da
equação
yk +2 + a1 yk +1 + a2 yk = 0 .
Teorema 4:
Se y* é uma solução particular de
yk +2 + a1 yk +1 + a2 yk = rk e
y (1) e
y ( 2)
formam um conjunto fundamental de soluções de yk +2 + a1 yk +1 + a2 yk = 0 , então a
solução geral de yk +2 + a1 yk +1 + a2 yk = rk é dada por y = C1 y (1) + C2 y ( 2) + y * onde C1 e
C 2 são constantes.
Encontraremos agora as soluções para a equação yk +2 + a1 yk +1 + a2 yk = rk e
usaremos a hipótese de que y k = m k onde m é uma constante apropriadamente
escolhida diferente de zero.
Substituindo a hipótese na equação e aplicando o devido tratamento
algébrico, obtivemos: m2 + a1m + a2 = 0
Esta equação do segundo grau é conhecida como equação auxiliar da
equação yk +2 + a1 yk +1 + a2 yk = 0 . Mostramos que se m é raíz da equação então
y k = m k é solução da equação yk +2 + a1 yk +1 + a2 yk = 0 .
Esta equação auxiliar tem duas raízes não nulas que chamamos de m1 e m 2
(as
raízes
nulas
foram
excluídas
porque
a2 ≠ 0
é
requerido
para
que
Para as raízes m1 e m 2 existem as correspondentes soluções y (1) e
y ( 2)
yk +2 + a1 yk +1 + a2 yk = 0 seja de segunda ordem).
dadas por:
305
yk(1) = m1k e yk( 2) = m2k
Para uma análise completa das possíveis soluções desta equação vamos
enunciar o seguinte teorema.
Teorema 5:
Se yk +2 + a1 yk +1 + a2 yk = 0 onde a1 e a 2 são constantes, a 2 ≠ 0 e m1 e m 2 são
duas raízes da equação auxiliar m2 + a1m + a2 = 0 então a solução geral da equação é
dada por:
Yk = C1m1k + C2 m2k se m1 e m 2 forem reais e diferentes;
Yk = (C1 + C2 k )m1k se m1 e m 2 forem iguais;
Yk = Ar k cos(kθ + B) se m1 e m 2 forem conjugados complexos com forma polar
r (cosθ ± isenθ ) .
Voltamos nossa atenção agora para métodos que nos permitiram encontrar
soluções para a equação y k + 2 + a1 y k +1 + a2 y k = rk . O mais usado é o chamado Método
dos Coeficientes Indeterminados.
Este método pode ser aplicado quando a função r é uma combinação linear
de somas ou produtos de funções do tipo: a k , sen(bk ) , cos(bk ) e k n , onde a e b são
constantes e n é inteiro não negativo.
A aplicação deste método é feita da seguinte maneira:
Se r é uma soma de diferentes funções, cada função deve ser tratada
separadamente. Se a solução y* inclui uma função que é solução da equação
homogênea, então y* deve primeiro ser multiplicado por k e a nova função usada.
Se esta função também contém um termo que satisfaz a equação reduzida,
então multiplica-se novamente por k.
A tabela seguinte resume mostra o tipo de hipótese a ser usada para cada
função correspondente r.
306
rk
y k*
ak
Aak
sen(bk) ou cos(bk)
A sen(bk) + B cos(bk)
kn
A0+A1k+A2k2+…+Ankn
knak
ak(A0+A1k+A2k2+…+Ankn)
ak sen(bk) ou ak cos(bk)
ak(A sen(bk) + B cos(bk))
Para analisarmos o comportamento limite das soluções enunciaremos o teorema a
seguir.
Teorema 5:
Seja ρ = max( m1 , m2 ) ,
onde m1 e m 2 são raízes da equação homogênea auxiliar de segunda ordem:
yk +2 + a1 yk +1 + a2 yk = 0
Então ρ < 1 é condição necessária e suficiente para a solução { y k } convergir
com limite zero para todos os valores iniciais y 0 e y1 .
Consideramos agora a equação y k + 2 + a1 y k +1 + a 2 y k = r (escrevemos apenas
o r no lugar de rk desde que assumimos o termo à direta da equação como
constante).
Se a equação possui uma função constante como solução, então o valor
desta função recebe o nome de valor estacionário de y ou valor de equilíbrio.
Teorema 6:
A condição necessária e suficiente para estabelecer o valor de equilíbrio de
y * é ρ < 1 , onde: ρ = max( m1 , m2 ) e m1 e m 2 são raízes da equação auxiliar
m2 + a1m + a2 = 0
307
Por causa deste teorema torna-se importante aprender quais restrições
devem ser aplicadas aos coeficientes a1 e a2 na equação auxiliar para que ρ seja
de fato menor do que 1. Da fórmula para extração de raízes de uma equação do
segundo grau temos:
− a1 ± a12 − 4a 2
2
As raízes m1 e m 2 são reais e diferentes, reais e iguais ou conjugados
complexos se a12 − 4a 2 for positivo, zero ou negativo respectivamente.
Analisamos os casos de raízes reais e raízes complexas para enunciar o
próximo teorema.
Raízes Reais: Desde que ρ < 1 , ambas as raízes estão entre -1 e 1.
Resolvendo as inequações: -2< − a1 ± a12 − 4a 2 <2, encontramos 1-a1+a2>0 e
1+a1+a2>0.
Raízes Complexas: Seja m1 = a + bi e m 2 = a − bi , o produto destas raízes é
a2+b2 que foi demonstrado ser r2. Após devida manipulação algébrica encontramos
1-a2>0.
Teorema 7:
As condições -a1+a2>0, 1+a1+a2>0 e 1-a2>0 são necessárias e suficientes
para ambas as raízes de m2 + a1m + a2 = 0 serem menores do que 1 em valor
absoluto.
308
RESULTADOS E ANÁLISE
Retornamos agora à equação do modelo de Samuelson, que repetimos a
seguir:
Yt + 2 − α (1 + β )Yt +1 − αβYt = 1
Lembrando que Yt indica a Renda Nacional em um período t e que α e β
são a margem de propensão ao consumo e a relação respectivamente. Assumimos
que α > 0 e β > 0 .
Se Y * é uma solução constante de Yt + 2 − α (1 + β )Yt +1 − αβYt = 1 ,
Y * − α (1 + β )Y * − αβY * = 1
Para a qual encontramos o valor de equilíbrio da Renda Nacional:
Y* =
1
α ≠1
1− α
As condições de estabilidade quando aplicadas à equação em diferença
tornam-se:
1 − α (1 + β ) + αβ > 0
1 + α (1 + β ) + αβ > 0
αβ < 1
A segunda delas é satisfeita automaticamente desde que α e β são ambos
positivos. A primeira e a terceira podem ser reescritas como:
α <1
e
αβ < 1
Estas duas condições são necessárias e suficientes para a renda Y * ser um
valor de equilíbrio estável: Ambas as margens de propensão de consumo e seu
produto com a relação devem ser menores do que 1. Se estes requerimentos forem
309
preenchidos, a seqüência de valores da renda vai convergir para Y * independente
das condições iniciais prescritas.
Esta convergência para Y * será oscilatória ir as raízes forem números
complexos. Para isto a12 − 4a 2 precisa ser negativo. No presente caso:
α 2 (1 + β ) 2 − 4αβ < 0 ou α <
4β
(1 + β ) 2
As raízes da equação auxiliar são complexas se α <
4β
for satisfeita e
(1 + β ) 2
real.
A solução para o valor de equilíbrio Y * para Renda Nacional pode ser
visualizada na figura (1) a seguir:
Valor de Equilíbrio da Renda Nacional
10
9
8
7
y*
6
5
4
3
2
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
alfa
Figura 1 – Valor de Equilíbrio da Renda Nacional
0.9
1
310
α e β nos permitem delimitar cinco
As condições sobre as constantes
regiões de comportamento dinâmico diferente, como pode ser visto na figura (2) a
seguir:
Gráfico de Alfa x Beta para o Modelo de Samuelson para a Renda Nacional
Linha vermelha: alfa1
Linha azul: alfa2
E
1.2
1
D
A
Alfa
0.8
B
C
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Beta
Figura 2 – Gráfico para o Modelo de Samuelson para a Renda Nacional
Região A: Se houver um nível constante dos gastos do governo, a Renda
Nacional vai aproximar-se assintóticamente do valor
1
vezes o nível constante
1−α
de gastos do governo.
Região B:
O aumento constante de gastos do governo resultará em
movimentos oscilatórios controlados da Renda Nacional, gradualmente se
aproximando da assíntota
1
vezes o nível constante de gastos do governo.
1−α
311
Região C: Um nível constante de gastos do governo resultará em oscilação
explosiva em torno da assíntota.
Região D: O nível constante de gastos do governo resultará no aumento da
Renda Nacional, eventualmente se aproximando da taxa de crescimento.
Região E: região fora do domínio de validade de α .
Um aspecto interessante é o que acontece quando pequenas variações nas
constantes α e β levam a mudanças na dinâmica do sistema. As flexas na figura
(3) a seguir indicam algumas destas possibilidades:
Gráfico de Alfa x Beta para o Modelo de Samuelson para a Renda Nacional
Linha vermelha: alfa1
Linha azul: alfa2
E
1.2
1
D
A
Alfa
0.8
B
C
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Beta
Figura 3 – Gráfico de Alfa x Beta para o Modelo de Samuelson para a Renda
Nacional
312
A fim de melhor visualizar possíveis mudanças na dinâmica, colocamos
algumas delas nas figuras (4)-(8) a seguir:
Evolução da Renda Nacional
Linha Azul: Região A
Linha Vermelha: Região B
5.5
5
Renda Nacional
4.5
4
3.5
3
2.5
2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
n
Figura 4 – Evolução da Renda Nacional
Evolução da Renda Nacional
Linha Azul: Região A
Linha Vermelha: Região B
7
6.5
6
Renda Nacional
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
0
5
10
15
20
25
30
35
n
Figura 5 – Evolução da Renda Nacional
40
313
EVolução da Renda Nacional
Linha Azul: Região B
Linha Vermelha: Região C
50
40
30
Renda Nacional
20
10
0
-10
-20
-30
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
n
Figura 6 – Evolução da Renda Nacional
Evolução da Renda Nacional
Linha Azul: Região C
Linha Vermelha: Região D
25
Renda Nacional
20
15
10
5
0
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
n
Figura 7 – Evolução da Renda Nacional
4.5
5
314
Evolução da Renda Nacional
Linha Azul: Região C
Linha Vermelha: Região D
4
14
x 10
12
Renda Nacional
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
n
Figura 8 – Evolução da Renda Nacional
CONCLUSÕES
O modelo de Samuelson foi proposto em 1939, mas oferece variações
dinâmicas as mais variadas para a Renda Nacional. Deduzimos, neste trabalho, as
condições sobre as constantes que levam a delimitar o seu domínio de validade e
quais as relações a que estas constantes têm que obedecer a fim de que haja um
valor limite estável para a Renda Nacional. Os gráficos colocados acima exibem bem
estas variações. Um fato interessante é a mudança que pode ocorrer na dinâmica da
315
Renda Nacional caso ocorram pequenas variações nas constantes, desde que
sejam da magnitude suficiente para deslocar o ponto de uma para outra das regiões
colocadas na figura (2).
REFERÊNCIAS
ELAYDI, Saber. An Introduction to Difference Equations. New York: Springer, 2005,
546 p.
GRAHAM, Ronald L.; KNUTH, Donald E.; PATASHNIK; Oren. Matemática Concreta.
2. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 1995, 475 p.
GOLDBERG, Samuel. Introduction to Difference Equations. New York: Dover
Publications, 1986, 260 p.
HANSELMAN, Duane; LITTLEFIELD, Bruce. Matlab 6 – Curso Completo. São Paulo:
Prentice Hall, 2003. 676 p.
KELLEY, Walter G.; PETERSON, Allan C. Difference Equations: An Introduction with
Applications. San Diego, CA: Academic Press, 2001, 403 p.
METZLER, L. A. “The Nature and Stability of Inventory Cycles”, Review of
Economics and Statistics, vol. 23, p. 113-129, 1941.
SAMUELSON, Paul A. Introdução à Análise Econômica, vol 1. Rio de Janeiro:
Livraria Agir Editora, 1961, 557 p.