Faculdade de Economia
Universidade
Nova
de Lisboa
Faculdade de
Economia
Semestre
dedePrimavera
2010/2011
Universidade
Nova
Lisboa
Faculdade
Economia
Universidade
Nova
de de
Lisboa
Semestre de
Inverno
2011/2012
Universidade
Nova
de Lisboa
Faculdade
Economia
Faculdade de Economia
Semestre
de Primavera
Universidade
Nova de2010/2011
Universidade
Nova deLisboa
Lisboa
Semestre de Inverno 2011/2012
Semestre de Primavera 2011/2012
Cálculo I
Cálculo I
Cálculo I
Caderno Cálculo
de exercícios
I Menos Um
CadernoCálculo
de exercícios
I Menos Um
Caderno de exercícios Menos Um
Caderno de exercícios Menos Um
Caderno de exercícios Menos Um
!
Pretende-se com este capítulo que os alunos refresquem o conhecimento,
a prática e
!
as armadilhas da matemática elementar desde a soma de fracções até à resolução de
sistemas
equações
inequações.
Pretende-se
comde
este
capítuloe que
os alunos refresquem o conhecimento, a prática e as armadilhas
Não
se
trata
de
uma
re-exposição
da matéria
da repetição
de demonstrações.
da matemática elementar desde a soma de fracções
até ànem
resolução
de sistemas
de equações e
Faremos
revisão prática
de técnicas
com ênfase
em conceitos. a prática e
Pretende-se
comsobretudo
os alunos
conhecimento,
inequações. Não
seeste
tratacapítulo
de uma que
re-exposição
darefresquem
matéria nemoda
repetição de demonstrações.
as
armadilhas da matemática elementar desde a soma de fracções até à resolução de
Faremos sobretudo revisão prática de técnicas com ênfase em conceitos.
sistemas
equações
inequações.
Pretende-se
comde
este
capítuloe que
os alunos refresquem o conhecimento, a prática e as armadilhas
Não
se
trata
de
uma
re-exposição
da matéria
da repetição
de demonstrações.
da matemática elementar desde a soma de fracções
até ànem
resolução
de sistemas
de equações e
Faremos sobretudo revisão prática de técnicas com ênfase em conceitos.
inequações. Não se trata de uma re-exposição da matéria nem da repetição de demonstrações.
Faremos sobretudo revisão prática de técnicas com ênfase em conceitos.
Maria
Helena Pinheiro
Almeida
José António
Claudia
Andrade
Ernesto Freitas
Guilherme
Pereira
Claudia Alves
Ernesto Freitas
Claudia
Alves
Maria Helena
Almeida
José António Pinheiro
Claudia
ErnestoAndrade
Freitas
Guilherme
Pereira
Claudia Alves
Ernesto Freitas
Claudia Alves
!
Capítulo MENOS UM
1 Potências ................................................................................................................................................3
1.1 Primeira definição.........................................................................................................................3
1.2 Primeiro alargamento...................................................................................................................5
1.3 Exercícios resolvidos.....................................................................................................................7
1.4 Fuja das armadilhas, cena 1.........................................................................................................9
1.5 Segundo alargamento .................................................................................................................10
2 Duas histórias para crianças com laranjas.......................................................................................12
2.1 História 1......................................................................................................................................12
2.2 História 2......................................................................................................................................13
2.3 Chuva de exercícios.....................................................................................................................14
3 Uma aplicação das potências .............................................................................................................19
4 Raízes ...................................................................................................................................................21
4.1 Generalidades..............................................................................................................................21
4.2 Não cair nas armadilhas principais das raízes .........................................................................21
4.3 Primeiras regras..........................................................................................................................22
4.4 Não caia na armadilha clássica das raízes ................................................................................23
4.5 As propriedades operatórias das raízes costumam ser enriquecidas com estas outras .......23
4.5.1 Raiz de raiz ...............................................................................................................................23
4.5.2 Transformação do índice da raiz e do expoente do radicando ............................................24
4.5.3 Viajando para dentro e para fora do radical ........................................................................24
4.5.4 Fuja das armadilhas, cena 2....................................................................................................24
4.6 Nova chuva de exercícios............................................................................................................25
5 O grande alargamento........................................................................................................................27
5.1 A definição de potência de expoente fraccionário....................................................................27
5.2 Fuja das armadilhas, cena 3.......................................................................................................28
5.3 Fuja desta armadilha que é mesmo má!!!.................................................................................29
5.4 Exercícios propostos ...................................................................................................................31
6 Os famosos casos notáveis, ou os notáveis casos famosos................................................................32
7 Expressões algébricas .........................................................................................................................34
8 Fuja das armadilhas, cena 4, especial ‘’sinal menos’’!....................................................................36
9 Fracções!..............................................................................................................................................37
9.1 Soma (ou diferença) de fracções ................................................................................................38
9.2 Produto de fracções.....................................................................................................................38
9.3 Divisão de fracções......................................................................................................................40
10 Equações ............................................................................................................................................43
10.1 Equações lineares, mesmo só para aquecer, os alunos não costumam ter dificuldades.....43
10.2 Equações com módulos, os mal amados..................................................................................43
10.3 Equações do 2º grau disfarçadas e outras travestidas...........................................................45
10.4 Equações do 2º grau à séria......................................................................................................46
10.5 Como inventar equações do 2º grau fáceis de resolver..........................................................47
10.6 Equações de graus superiores ainda resolúveis .....................................................................49
11 Sistemas de duas equações lineares; método de redução ..............................................................50
12 Inequações .........................................................................................................................................52
12.1 Inequações lineares e com módulos.........................................................................................52
12.2 Algumas inequações de grau superior ....................................................................................55
12.3 Algumas inequações de grau superior ....................................................................................57
12.4 Sistemas de inequações .............................................................................................................58
13 O desenvolvimento de
......................................................................................................60
Testes passados.......................................................................................................................................63
2
Capítulo MENOS UM
1 Potências
1.1 Primeira definição
Sendo
um número qualquer (incluindo zero, uma fracção, uma raiz,
uma expressão numérica...) e um número natural, define-se
Exemplos de escrita
•
•
•
•
•
•
Cuidado com as tentações: é isto e não
outra coisa, embora o resultado final seja tal que
•
.
(há outra forma de
resolver esta potência pelo binómio de Newton mas de momento não é isso
que nos interessa destacar)
•
3
Capítulo MENOS UM
Propriedades operatórias das potências
Com base nesta definição prova-se (verifica-se...) que a definição de potência goza
das propriedades operatórias seguintes:
•
•
, desde que....
•
•
•
Estas propriedades são simples consequências de regras da álgebra elementar e da
definição de potência. São para compreender e para decorar com o uso.
Decorar com o uso é muito diferente de decorar,
Provérbio Mongol
Exemplos
•
•
•
4
Capítulo MENOS UM
Atençãozinha!
Este último caso é fonte desnecessária de erros. A potência de uma potência é a base
da primeira potência elevada ao produto dos expoentes. Pode decorar com base legal
no provérbio Mongol mas o melhor é mesmo perceber que NÃO PODE ser algo
como
ou, quem sabe,
ou seja,
e
1.2 Primeiro alargamento
Sendo um número qualquer excepto zero (incluindo uma fracção, uma raiz, uma
expressão numérica...) define-se
Não se trata de uma birra, de uma invenção nem, como por vezes se diz, de uma
convenção. Trata-se de generalizar o conceito de potência para que o expoente possa
ser zero. Mas esta generalização é feita de tal modo que faz sentido e permite incluir
este valor (zero) nas regras das potências:
Faz sentido? Sim, faz:
Infelizmente esta generalização tem um ponto frágil: não se consegue arranjar
maneira de encaixar a expressão
neste passo em frente.
A expressão
não tem sentido neste âmbito.
5
Capítulo MENOS UM
Pode tentar o truque que mostrámos acima....É verdade que por exemplo
ao escrever
já abusámos da situação pois
. Mas
, expressão que não tem sentido....
Candidatura ao Prémio Nobel da Matemática
Apresente uma tese coerente para que à expressão
possa ser atribuído um valor
que a integre na grande família da álgebra elementar e, não só Prémio Nobel da
Matemática será criado, como lhe será atribuído.
Alfred Bernhard Nobel
(Estocolmo, Suécia, 21 de Outubro de 1833 - San Remo, Itália, 10 de Dezembro de 1896)
Se a tese for longa e estiver bem escrita talvez lhe seja atribuído também o Nobel da
Literatura.
Observação
Note no entanto que em matemática mais avançada surge a necessidade de definir
para manter a consistência de certas operações ou de certas notações. Mas
esta convenção não é justificável como o é a convenção segundo a qual
para a diferente de zero.
6
,
Capítulo MENOS UM
Tem mesmo o inconveniente de poder criar confusão com o símbolo de
indeterminação
.
No final do semestre compreenderá a seguinte observação, que é um dos
exemplos avançados que necessita daquela convenção:
‘’o desenvolvimento de
em série de Mc Laurin só permanece consistente para
x=0 quando escrito em somatório se se considerar que
’’.
Mas atenção, para nós
continua a ser uma expressão sem significado no
sentido que nenhuma convenção é vendável com matemática elementar.
Quer saber mais?
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation
Interessantíssimo artigo!!!
A matemática é uma caixinha de surpresas!!!
1.3 Exercícios resolvidos
1 Calcule o valor de
a)
b)
método com
(espera-se que o aluno NÃO USE este
...)
7
Capítulo MENOS UM
c)
d)
Não caia na tentação de dizer que é –1!!!
( espera-se que o aluno USE este método com expressões
como
e)
Não existe aqui na nossa aldeia, lembra-se? Por favor
escreva ao Senhor Alfred Nobel!
f)
g)
h)
2 Exprima as seguintes expressões de forma concisa como potências (nota:
forma concisa de
).
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
8
éa
Capítulo MENOS UM
1.4 Fuja das armadilhas, cena 1
1 Distinga bem
de
ou de
Não decore frases como ‘um quadrado é sempre positivo porque está ao quadrado’.
•
•
•
Primeiro, decorar só por decorar é mau (relembre provérbio Mongol!).
Segundo, está errado (zero ao quadrado é zero).
Terceiro, talvez o mais grave, pode induzir em erro ( pode pensar que
um quadrado e não é, é o simétrico de um quadrado).
é
Pontos nos i’s e tracinhos nos tê’s sobre uma tentação padrão
•
•
•
•
•
é o simétrico de um quadrado
pode-se escrever
mas não
nem
;
é um número negativo pois tem lá o sinal menos atrás de um número
positivo
.
Caso ainda não esteja confuso vai mais uma variação; veja se está de acordo
que
?
Está baralhado? Óptimo.
Quanto a
é simplesmente igual a
.
9
Capítulo MENOS UM
2 Não deixe que a caneta escorregue
•
é igual a
. Estamos a ficar sábios! Caso queira transformar algo
pode escrever
.
•
e não
•
mas não
•
Parece simples e infantil!! É simples e infantil....Mas vamo-nos cuidando....
1.5 Segundo alargamento
Sendo um número qualquer excepto zero ( incluindo uma fracção, uma raiz, uma
expressão numérica...) e sendo n um número natural define-se
Este segundo alargamento tem menos intuição que o primeiro mas resulta igualmente!
A ideia deve ter estado na necessidade de escrever
sem objecções sobre
e
.
Exemplos
Já sabemos sem problemas que
mas agora também podemos escrever
, o que bate certo com
10
!!!!
Capítulo MENOS UM
Com esta nova aquisição temos então que:
o
o
o
o
Mas já que chegámos a este liberalismo...
o
o
o
, ou ainda...
o
o
Não se ponha a decorar já!!!! Pegue na caneta...
Exemplo
o
11
Capítulo MENOS UM
Para concluir as revisões baseadas no uso das regras das potências vamos contar duas
histórias com laranjas para crianças.
As duas histórias destinam-se a que, de uma vez por todas, desistam de decorar quais
os valores das expressões problemáticas do tipo
e
. Pode parecer excessivo
estar-se a explicar isto num curso superior mas já vimos tanta forma original para
estes resultados, já ouvimos tanta justificação para erros graves (o meu professor de
matemática até confirmou com a professora de biologia!) que é melhor jogar pelo
seguro.
2 Duas histórias para crianças com laranjas
2.1 História 1
Eu tenho 10 laranjas e estou a ver 5 lindas criancinhas que vieram ter comigo para
distribuir irmamente os frutos entre elas.
10 laranjas a dividir por 5 crianças....isto exige esforço mas...
!!!
A divisão fez-se!!!! As crianças estão felizes e foram-se embora com 2 laranjas cada!
No dia seguinte as 5 lindas criancinhas vieram de novo ter comigo. Vieram mesmo.
Eu estava no meu posto. Só que não tinha laranjas....Mas como sou um intelectual vou
dizer que tinha zero laranjas. As crianças vieram, eu dividi as zero laranjas por 5
crianças, cada uma delas recebeu nada mas como também querem ser intelectuais, vão
dizer que receberam zero laranjas! As crianças estão infelizes, foram-se embora com
zero laranjas cada, mas a operação fez-se!! As duas partes desta primeira história são
iguais no que respeita a operações: a operação fez-se e o resultado é único e
compreensível.
Afinal
(com
) não é uma expressão problemática.
12
Capítulo MENOS UM
2.2 História 2
Eu tenho 10 (ou mesmo muitas mais...) laranjas e estou à espera que algumas lindas
criancinhas venham ter comigo para distribuir irmamente essas 10 laranjas (ou mesmo
muitas mais)...
Mas o tempo passa, o tempo passa...e as crianças não aparecem...
Não vêm.
Não há crianças para receber as laranjas.
Ou há zero crianças para receber as laranjas...
A operação não se faz, não há divisão, não há resultado....
igual a coisa alguma.
Se se lembrar destas duas histórias nunca mais se vai enganar.
13
não tem sentido....não é
Capítulo MENOS UM
2.3 Chuva de exercícios
1 Simplifique:
a)
Resposta
b)
Resposta
c)
Resposta
d)
Resposta
e)
Resposta
f)
Resposta
g)
Resposta
h)
Resposta
i)
Resposta
j)
Resposta
2 Calcule o valor de:
a)
Resposta
b)
Resposta
c)
Resposta
d)
Resposta
e)
Resposta
f)
Resposta
g)
Resposta
14
Capítulo MENOS UM
h)
Resposta
i)
Resposta
3 Escreva a expressão
:
a) Só com expoentes positivos
Resposta
b) Só com expoentes negativos
Resposta
c) Com um só expoente negativo
Resposta
, por exemplo....
d) Na forma de uma fracção com ’’1’’ no numerador
Resposta
4 Nas expressões seguintes, algumas não fazem sentido, outras fazem. Diga as
que não fazem e, das que fazem, calcule o seu valor.
a)
Resposta apressada
Resposta cautelosa 1
Resposta cautelosa 2
b)
Resposta cautelosa
Resposta apressada
c)
Resposta
15
Capítulo MENOS UM
d)
Resposta não faz sentido
e)
Resposta
f)
Resposta não faz sentido
g)
Resposta
h)
i)
Resposta 0
Resposta
j)
Resposta
k)
Resposta
l)
Resposta não faz sentido embora de repente pareça 1...
m)
Resposta não faz sentido
n)
Resposta não faz sentido
o)
Resposta não faz sentido
p)
Resposta 0
se nem
se
nem
forem zero
; de outro modo não faz sentido
5 Quais das seguintes igualdades estão correctas?
a)
b)
c)
d)
Falsa
Falsa
Correcta
Correcta
16
Capítulo MENOS UM
e)
f)
g)
h)
Falsa
Falsa
Verdadeira
Falsa
i)
Verdadeira mas não generalize, é um acaso!
6 Resolva as seguintes equações:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Resposta
Resposta
Resposta
Resposta
Resposta
Resposta
6 Sendo a e b números positivos e m e n números inteiros, diga quais das
seguintes igualdades são verdadeiras:
a)
Falso
b)
Verdadeiro se
c)
d)
e)
f)
Verdadeiro
Verdadeiro
Falso
Falso
g)
Falso
h)
Falso
i)
Falso
7 Complete ....
a)
Resposta
b)
Resposta
c)
Resposta
d)
Resposta
17
, o que é verdade por acaso!
Capítulo MENOS UM
e) Para qualquer n inteiro
... Resposta: é igual a +1
f)
Resposta
g)
Resposta
h)
Resposta
8 Simplifique ao máximo:
a)
Resposta
b)
Resposta
c)
Resposta
d)
Resposta
e)
f)
Resposta
Resposta
18
Capítulo MENOS UM
3 Uma aplicação das potências
a) Uma utilização sugestiva das potências em economia e em gestão é o cálculo de
juros compostos.
Se no dia 1 de Janeiro do ano zero colocar 1000 EUR a prazo com o juro fixo anual
de 3%...
...no dia 1 de Janeiro do ano 1 tenho 1000.[(1+0,03)]=1000.1,03=1030
EUR;
...no dia 1 de Janeiro do ano 2 tenho [1000.(1+0,03)]. (1+0,03)=1060,9
EUR;
ou
...no dia 1 de Janeiro do ano 3 tenho [1000.(1+0,03) .(1+0,03)] .(1+0,03) ou
...no dia 1 de Janeiro do ano n tenho
Já agora….no dia 1 de Janeiro do ano zero tenho
b) Suponha que deposita a quantia 800 EUR num banco que lhe dá um juro mensal
de 0,01 (1 por cento) ao mês. Ao fim de 1 ano terá
Se no segundo ano o juro subir para 1,1 por cento ao mês, terá no final do segundo
ano
c ) Raciocínio ao contrário: daqui a 8 anos quero ter 10.000 EUR num depósito a
prazo de juro anual 3%. Que quantia devo colocar a prazo hoje?
Será verdade? Pegue na calculadora e confirme que
.
Os economistas costumam dizer que 7894 é o valor actual (VA) ou descontado de
10.000 EUR a um prazo de 8 anos.
19
Capítulo MENOS UM
Exercícios propostos
1 Colocando hoje (suponha que é o dia 1 de Janeiro para facilitar) 1000 EUR a prazo
a uma taxa de 3,5% ao ano e sendo este juro acrescido em 0,25% ao ano, quanto terei
no final do décimo ano?
2 Daqui a 6 anos quero ter 10.000 EUR num depósito a prazo de juro anual 3% nos 3
primeiros anos e 3,6% nos três anos seguintes. Que quantia devo colocar a prazo
hoje?
20
Capítulo MENOS UM
4 Raízes
4.1 Generalidades
Define-se raiz quadrada de um
número não negativo,
x,
como sendo o número não negativo y
tal que
e escreve-se
porque
.
Leia bem de novo!!!
Exemplos
porque
porque
porque
Será que também ...(cuidado!)...se pode dizer...
porque
porque
porque
Estas igualdades, a serem verdade, talvez permitam escrever
....
Poderemos?
Não, não podemos escrever nada disto! Relembre a definição de raiz quadrada!
4.2 Não cair nas armadilhas principais das raízes
A maior atenção às seguintes asneiras típicas:
•
não se define, não existe, não é um número real; mas por convenção é
-5’’! Não é verdade!! Se se lembra, criaram-se os números imaginários ou
21
Capítulo MENOS UM
complexos para arranjar uma saída airosa e útil para o problema; por isso não
escreva que
é uma das raízes de
•
não se define porque não há raízes de números negativos! Não é
verdade! O que está escrito é
estar escrito
, que se pode abreviar como
Do mesmo modo se define
razão pela qual
que toma o valor
se
, tal como poderia
e que toma o valor
.
, sendo x um número real qualquer,
e também
. Mas cuidado não diga que
.
Lembra-se certamente que as raízes de índice ímpar não levantam problemas de
definição, ao contrário das raízes de índice par.
4.3 Primeiras regras
Para operar com raízes deduziram-se apenas duas regras.
Sendo n um número natural maior que 1
A estas regras vamos juntar outras mais à frente quando definirmos potências de
expoente fraccionário.
Mas fixemos desde já que só se definem produto e quociente de raízes quando
elas têm o mesmo índice.
Certamente que se lembra das grande vantagens do uso de raízes. Permitem, por
exemplo, livrarmo-nos de cálculos problemáticos porque apenas não os fazemos. Seja
o produto
. Nem
nem
são números simpáticos de calcular...Ambos
são irracionais e o mais a que podemos aspirar é a umas aproximações com imensas
casas decimais:
Multiplicar estes dois números!? Nem pensar.
22
Capítulo MENOS UM
No entanto
!
4.4 Não caia na armadilha clássica das raízes
•
não é igual a
•
está errado
Para o primeiro caso basta um contra exemplo para verificar que assim não é:
e
Provérbio Tibetano
Um exemplo nada prova, um contra exemplo tudo destrói.
Este provérbio Tibetano quer dizer o seguinte:
•
Não é porque
que eu posso dizer
que
; há que provar que isto se dá para todos os
números possíveis! Deverá tê-lo feito no Liceu
•
MAS basta que se verifique
não é igual a
para poder dizer que
4.5 As propriedades operatórias das raízes costumam ser enriquecidas com estas
outras
4.5.1 Raiz de raiz
Exemplo
; verifique que
23
Capítulo MENOS UM
4.5.2 Transformação do índice da raiz e do expoente do radicando
4.5.3 Viajando para dentro e para fora do radical
Exemplo
4.5.4 Fuja das armadilhas, cena 2
Todas as propriedades apresentadas são válidas quando as operações que as formam
façam sentido. Não é verdade, por exemplo, que
a e b. Acontece que
que
e
para todos os valores de
têm de fazer sentido. De outro modo: sendo verdade
, não é verdade que
porque a fracção à direita
não faz sentido ( no campo real, que é onde, de momento, temos os pés!).
24
Capítulo MENOS UM
4.6 Nova chuva de exercícios
1 Efectue, até onde puder encontrar uma forma mais simples, os cálculos seguintes
Resolvidos
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
Propostos
n)
Resposta
o)
Resposta
25
Capítulo MENOS UM
p)
Resposta
q)
Resposta
r)
Resposta
s)
Resposta
2 Resolva as equações especiais
a)
b)
Resposta
Resposta
c)
d)
Resposta
Resposta
e)
f)
g)
h)
Resposta
Resposta
Resposta
Resposta
i)
j)
Resposta
Resposta
Impossível
26
Capítulo MENOS UM
5 O grande alargamento
5.1 A definição de potência de expoente fraccionário
A completa flexibilidade nas operações com potências vem da definição ou
convenção
com p e q inteiros e desde que a expressão faça sentido....(que quer isto dizer?...).
A ideia deve ter surgido de observações como
Bom, a verdade é que resulta, as propriedades operatórias são mantidas e a nossa vida
fica facilitada.
Rodando e treinando,
•
•
•
•
•
•
•
Cuidado...
27
Capítulo MENOS UM
•
Mas....
•
não faz sentido....
Do mesmo modo,
•
mas
•
não faz sentido.
5.2 Fuja das armadilhas, cena 3
Estas são mesmo más....Distinga bem....
•
é uma potência de potência...
Mas...
•
não é uma potência de potência...
A maçada é que pode dar igual por mero acaso....
•
é uma potência de potência...
•
28
Capítulo MENOS UM
Mas relembre o famoso provérbio Tibetano!
Com base neste alargamento espera-se que saiba transformar para a frente e para trás
expressões como
•
•
•
Ginástica, pura ginástica!
5.3 Fuja desta armadilha que é mesmo má!!!
Caso nos apareça uma expressão como esta do Caso 1
podemos sentir algum desconforto ou mesmo calafrios se não reduzirmos a fracção
antes de continuar. Ora veja:
29
Capítulo MENOS UM
Situação ‘’Caso 1 socorro!!! 1’’
OPS!!!!
Situação ‘’ Caso 1 socorro!!! 2’’
Estará certo? Em que ficamos?
Situação Caso 1 estou salvo !!!
Reduzir já!
Será que escapámos de mais esta delicada situação? Que tal outro exemplo? Este é tão
simples que ninguém espera escorregar. É o Caso 2.
Situação ‘’Caso 2 socorro!!! 1’’
OPS!!!! Será verdade?....
30
Capítulo MENOS UM
Situação ‘’Caso 2 socorro!!! 2’’
A última expressão nem faz sentido. Mas há mais!!
Situação ‘’Caso 2 socorro!!! 3’’
Sim, socorro....Sinto-me inseguro!! Em que ficamos?
Situação Caso 2 estou salvo !!!
Sim, reduzir já a fracção é
a solução!!
Nunca fiar!!! Agora é que está certo!
Conclusão: tornar a fracção irredutível antes de partir à aventura!!!
5.4 Exercícios propostos
Transforme as expressões seguintes. O objectivo é praticar. O resultado indicado
pode não ser o único.
a)
Resposta:
31
Capítulo MENOS UM
b)
Resposta
c)
Resposta
d)
Resposta
6 Os famosos casos notáveis, ou os notáveis casos famosos
Estes três casos aparecem com frequência em todo o tipo de desenvolvimentos
matemáticos
Quadrado da soma
Quadrado da diferença
Diferença de quadrados
As expressões deduzem-se por simples desenvolvimentos algébricos. Faça.
Estas expressões vão-nos permitir alargar o leque de exemplos e exercícios.
6.1 Exercícios resolvidos
Desenvolva (ou contraia...) as seguintes expressões cheias de casos notáveis:
a)
b)
c)
Simplifique...
d)
e)
f)
32
Capítulo MENOS UM
Exercícios propostos (não se apresentam as soluções, são óbvias demais...)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
33
Capítulo MENOS UM
7 Expressões algébricas
Ginástica, mais ginástica. Supõe-se como adquirido que os alunos sabem bem as
regras operatórias com polinómios nomeadamente a propriedade distributiva.
1 Desenvolva e simplifique as expressões seguintes:
Exercícios resolvidos
a)
b)
c)
Exercícios propostos
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
2 Arranje-se para pôr em evidencia factores (ou factorizar) nas seguintes
expressões mesmo que numa primeira observação não lhe pareça necessário:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Resposta
Resposta
Resposta
Resposta
Resposta
Resposta
g)
Resposta
h)
Resposta
i)
Resposta
34
, s!
Capítulo MENOS UM
j)
Resposta
k)
Resposta
3 Factorizações que são só para grandes especialistas:
a)
Resposta
b)
Resposta
c)
Resposta
d)
Resposta
e)
Resposta
f)
Resposta
35
Capítulo MENOS UM
8 Fuja das armadilhas, cena 4, especial ‘’sinal menos’’!
Exercícios resolvidos; há sempre outras formas de se safar dos ‘menos’; não
queira livrar-se deles todos ao mesmo tempo; pequenos passos; quando possível
cancele dois a dois...veja as setas.
a)
b)
ou
c)
d)
e)
Exercícios propostos (não damos as respostas para não limitar as opções).
a)
b)
c)
d)
36
Capítulo MENOS UM
9 Fracções!
Temos muitas e boas razões para incluir algumas notas sobre este assunto.
O problema não é tanto que apareçam disparates como
ou complicações desnecessárias como
A nossa preocupação é mais virada para erros deste tipo
ETC!
Seja como for, para evitar vazios e angústias...
37
Capítulo MENOS UM
9.1 Soma (ou diferença) de fracções
Só se podem somar (ou subtrair) fracções com o mesmo denominador
9.2 Produto de fracções
A regra mais fácil da álgebra elementar! Só com esforço se cometem erros.
O produto de fracções é feito termo a termo.
Atenção ao último passo, veja bem como nos livrámos do menos...
É com base nesta operação que se podem fazer as famosas simplificações ou cortes!
Fixe: em fracções
• só pode cortar factores!!!
• não pode cortar parcelas
Mas isto é uma birra?
Claro que não!!
O corte de parcelas existe mas em adições....
38
Capítulo MENOS UM
Quanto às fracções esta meia dúzia de exemplos e contra exemplos vai ajudar:
1
2
Caso tenha a tentação de se livrar do –1 no penúltimo passo (lapso comum) e escrever
2*
ERRO!!
Tem duas maneiras de se auto verificar: pense como se factoriza neste outro caso
3
ou reconstrua a expressão de 2* a partir do penúltimo passo e veja que não dá o
mesmo valor:
2*
...ATENÇÃO
4
que não se pode simplificar mais!
5
que não se pode simplificar mais! Mas por vezes pode
ser conveniente complicar
5*
; mas isto não tem que ver com a designada lei do corte!
6
Por exemplo!
7
39
Capítulo MENOS UM
8 Atenção
NÃO PODE PROCEDER A SIMPLIFICAÇÕES COMO ESTAS
a)
b)
c)
d)
e)
f)
9.3 Divisão de fracções
Há uma regra que deve ter decorado pelo provérbio Mongol: os extremos a dividir
pelos meios! Por vezes também é referido o provérbio Nepalês Casca com casca,
miolo com miolo! Em Nepalês soa muito bem: shri pânch sarkâr mahârâjâdhirâja
sadâ rahos unati.
Exemplos
40
Capítulo MENOS UM
Caso apareçam expressões como....
ou
terá de identificar bem onde está a divisão principal; jogue pelo seguro, pequenos
passos...
Por vezes a simples colocação imprecisa do sinal “=” leva a erros desnecessários.
41
Capítulo MENOS UM
Exercícios resolvidos
1 Desembarace-se dos denominadores duplos e simplifique
Exercícios resolvidos
1
2
3
Exercícios propostos
1
2
3
4
42
Capítulo MENOS UM
10 Equações
Caso o aluno tenha adquirido uma boa prática nos tópicos anteriores, a resolução de
equações não deve apresentar dificuldades de maior.
Supõe-se que o aluno, de tanto as repetir, conhece as regras para resolução de
equações. Não vamos pois repeti-las, vamos praticá-las.
10.1 Equações lineares, mesmo só para aquecer, os alunos não costumam ter
dificuldades
a)
b)
c)
d)
10.2 Equações com módulos, os mal amados
Os alunos costumam detestar módulos axiomaticamente. E, no entanto, pode ser mais
fácil do que parece.
Pensem assim: se o módulo (valor absoluto) de uma quantidade é 3, então...
•
•
Ou a quantidade já é 3
Ou a quantidade é –3 ...e com o módulo fica 3!
Exemplo
•
Ou
já é 3 então
•
Ou
é –3 (e com o módulo fica 3) e então
De modo mais formal
ou
•
tem solução
43
Capítulo MENOS UM
•
tem solução
Experimente a ver se é verdade:
•
•
Este raciocínio resolve-lhe logo uma data de equações.
1 Resolva:
Exercícios resolvidos
a)
Ou
ou
Complete a resolução
b)
Ou
ou
Complete a resolução
c)
é impossível ...pense que é equivalente a
d)
é um tigre de papel
Exercícios propostos
e)
Dica: ou as quantidades são iguais ou são simétricas...
44
Capítulo MENOS UM
ou
...conclua
Também pode conjecturar que
mas não acrescenta nada
f)
Dica (
ou
) conclua
g)
Necessariamente ambas as parcelas tem de ser zero. Donde...
10.3 Equações do 2º grau disfarçadas e outras travestidas
1 Resolva:
Exercícios resolvidos
a)
b)
c)
d)
e)
Exercícios propostos
a)
b)
c)
Resposta
Não use a fórmula resolvente!
Resposta
Cuidado com esta!!! Resolva-a e veja que a pode levar à
45
Capítulo MENOS UM
forma
que parece do 2º grau à séria mas não é porque
simplificada fica
ou
que tem as soluções x=2 e x= –2. MAS x=2
não pode ser raiz desta equação...Porquê?....Assim sendo, a única raiz é x=–2.
d) Cuidados idênticos com esta
e) Não se canse muito com esta
Resposta: não tem soluções
f)
Resposta
g)
Resposta:
10.4 Equações do 2º grau à séria
Pretende-se com estas recorrer à mais famosa fórmula que aprendeu no liceu. A
equação
é resolúvel pela fórmula
Dito assim, feito assim, não tem graça mas é preciso saber! A solução pode ser real ou
complexa, de momento apenas as soluções reais nos interessam.
Exercícios resolvidos
a)
donde
b)
Cuidado!!
46
Capítulo MENOS UM
Exercícios propostos
a)
Não se canse...
b)
Não se canse...
c)
(lembra-se desta, chamada equação bi-quadrada?)
d) Equações como
•
•
também podem ser resolvidas por esta fórmula mas..
dá mais trabalho
não tem graça
No entanto não lhe fica mal experimentar. Resolva, pois, para rodar a fórmula
resolvente
d1)
d2)
d3)
pela fórmula
10.5 Como inventar equações do 2º grau fáceis de resolver
Se não sabe, fica a saber que se prova que se designar por S e por P respectivamente
a soma e o produto das duas raízes da equação
, esta se pode escrever
na forma
Será verdade? Vamos ver exemplos.
a) Quero uma equação com raízes –2 e –1; S = -3, P = 2; a equação será
Resolva e verifique.
b) Quero uma equação com raízes
ou
e –1; S =
, P =
; a equação será
Resolva e verifique.
Se não sabe fica também a saber que uma equação do 2º grau
raízes
e se pode sempre factorizar
47
com
Capítulo MENOS UM
c) Factorize a equação
As raízes vêm da resolução de
e são 3 e
; então a equação também
se pode escrever
Verifique.
Abuso de linguagem.
Ao falarmos de factorizar a equação estamos a incorrer num abuso de linguagem. O
que se factoriza é o trinómio
, que não precisa de ser igualado a zero
para ser decomposto em factores. Mas como a factorização põe logo em claro quais
são as raízes do trinómio, cometemos esse abuso por excesso de à vontade sem que
venha mal ao mundo.
Para compensar eis alguns exercícios propostos, correctamente formulados:
a) Decomponha os seguintes trinómios em factores do 1º grau
.
b) Determine dois números cuja soma seja 4 e cujo produto seja 3 sem recorrer a um
sistema de equações.
c) Será que a decomposição
também resulta para raízes complexas?
Tentemos...Escreva uma equação do 2º grau de coeficientes reais que admita a
solução
. Dica: se admite esta, admite também
....Será que a parte
imaginária desaparece ao fazermos a Soma e o Produto?...
d) Determine b de modo que a equação
tenha a solução
.
e) Construa a equação bi-quadrada que admita as raízes 2 e –3. Dica: equação bi
quadrada? Não se lembra?...
....Já terá resolvido uma no ponto 10.4.
48
Capítulo MENOS UM
10.6 Equações de graus superiores ainda resolúveis
Acima do segundo grau apenas casos particulares podem ser resolvidos. Casos
particulares quer dizer que em geral será a lei do anulamento do produto a
ajudar-nos ou que uma raiz salta a vista e ....
Exercício resolvido
a)
Factorizando em termos de menor grau
As soluções são
,
,
e
Exercícios propostos
b)
c)
d)
e)
(cuidado com a tentação de aplicar logo a fórmula resolvente!
Uma raiz salta a vista...)
f)
g)
h)
49
Capítulo MENOS UM
11 Sistemas de duas equações lineares; método de redução
A resolução de sistemas com muitas equações e com muitas incógnitas será objecto
de estudo aprofundado na disciplina de Álgebra Linear.
De momento pretendemos nesta revisão que os alunos adoptem o método de
redução ao resolverem sistemas de duas equações lineares em casos elementares.
É um método elegante, simples e muito menos vulnerável a erros do que o método de
substituição. Aliás, nunca ouvimos falar do método de substituição (Provérbio
Butanês!)
Exemplos
a) Neste primeiro exemplo começamos com o sistema já numa forma preparada,
simples, para ilustrar o método:
Porquê?
Note que aos termos em foi dado o coeficiente simétrico. Agora somamos
ordenadamente as equações e o x desaparece! Magia! Sobra
, donde
É proibido usar o método de substituição para determinar x!! Embora neste caso até
fosse simples pois
....
Porquê?
Agora somamos ordenadamente as equações e o y desaparece! Magia! Sobra
, donde
b) Caso o sistema não esteja arrumado na designada forma canónica apenas temos de
o organizar nessa forma. Isso é um exercício que nos faz bem.
50
Capítulo MENOS UM
Agora começa a ter graça.
...Sobra
ou
Sobra
Verifique se está certo por substituição na primeira equação.
c)
d) Este vai dar impossível....O que será isso? Leve-o à forma canónica e verá como é
fácil de entender
e) E este vai dar indeterminado....O que será isso? Leve-o à forma canónica e verá
como é fácil de entender
51
Capítulo MENOS UM
12 Inequações
12.1 Inequações lineares e com módulos
As inequações são muito parecidas com as equações. Mas levantam algumas
armadilhas específicas. A maior delas é que quando multiplicamos ambos os
membros da inequação por um número negativo, o sinal da inequação tem de
mudar.
Em casos simples esta é mesmo a única diferença.
Convém no entanto perceber bem porquê; pegue num lápis, desenho um eixo
ordenado, e ilustre:
Se
, então
,
, etc.
MAS
Se
, então
,
,
,
, etc.
Tendo atenção a este pequeno pormenor a resolução é como se fosse uma equação.
a)
b)
ATENÇÃO!! É AQUI!
c) Esta confortável situação desaparece rapidamente com uma desigualdade como esta
; temos vontade de nos desembaraçar de denominadores MAS erramos se
fizermos a seguinte passagem
Onde está o erro?
Está em que não sabemos o sinal de
sinal da desigualdade ou não.
e não sabemos se devemos inverter o
52
Capítulo MENOS UM
A forma correcta é fazer aparecer zero no lado direito (apenas porque é mais prático! )
da desigualdade e então jogar com os sinais dos intervenientes.
Vamos a isto:
Não fizemos nenhuma operação com implicações no sinal. E chegamos a um
ponto onde podemos avaliar o sinal da fracção pelo sinal do numerador e do
denominador.
Costuma-se analisar esta variação simultânea num quadro muito cómodo:
x
6
-x+6
2x-7
+
-
+
0
Sem
senti
do
+
+
+
0 + +
0 -
A solução da inequação dada é a seguinte
Note no entanto que, havendo outras formas de chegar a esta solução, a informação do
quadro resolve todas as inequações que envolvam a expressão
e não apenas a
desigualdade dada.
Por exemplo
tem solução
Com o mesmo tipo de raciocínio resolvem-se inequações onde figuram expressões
não lineares desde que as saibamos decompor em factores.
53
Capítulo MENOS UM
A habitual chuva com alguns exemplos resolvidos.
a)
Fuja das armadilhas!!! Este é um clássico para o seguinte famoso ERRO:
Está errado. Há várias maneiras de desconfiar...
i) Pense em
; menor que 1 MAS
não é menor que ZERO
ii) Para um número ao quadrado ser menor que 1, o número ele mesmo NÃO pode ser
muito grande.
iii) Graficamente desenhando a função
Mas o melhor é mesmo resolver bem....Comece por factorizar:
depois faça o quadro e verá que a solução é
Deve também fugir de resoluções destas
É a técnica do estudo dos sinais que deve usar quando aparecerem inequações onde só
figurem factores
b)
Faça o quadro...
c)
Faça o quadro...
d)
Faça o quadro...
e)
Faça o quadro...
f)
Se adormeceu é o momento de acordar!!
54
Capítulo MENOS UM
g) Identifique as proposições verdadeiras:
Falso
Verdadeiro
Depende de x
Verdadeiro
Falso
Verdadeiro
h) Diga quais das desigualdades seguintes são sempre verdadeiras
Verdadeiro
Falso; pense em
Falso; pense em
Verdadeira
Falsa
12.2 Algumas inequações de grau superior
Já foram apresentadas algumas. Podemos resolver inequações de qualquer grau
desde que possamos factorizar a expressão algébrica de tal modo que as raízes
dos factores ressaltem e desde que a inequação esteja na forma menor ou igual
ou maior ou igual que zero. Se assim não for a resolução é impossível por via
analítica e apenas em casos muito particulares é possível encontrar soluções.
Exercícios resolvidos
a)
Faça o quadro...depois de ter todas as raízes
b)
Faça o quadro...depois de ter todas as raízes
c)
55
Capítulo MENOS UM
Comece
por
factorizar
;
-100
X
então
+100
-
0
+
0
+
+
+
+
0
-
0
+
Ou seja,
d)
Dica:
,
. Então....
d)
Dica: as variações de sinal de
e de
já estão estudadas. Então só
precisa de fazer um grande quadro com 4 linhas... e mais uma linha... e mais outra
linha.
e)
. Primeiro passo
. Segundo passo....
56
Capítulo MENOS UM
12.3 Algumas inequações de grau superior
Inequações com módulos: um medo desnecessário
As duas situações de referência que o vão ajudar a evitar erros são estas
Se
e
terá de ser simultaneamente
.
Pense: se em modulo um número é menor que 3, esse número não pode ser muito
grande!!! Nem acima de 3 nem abaixo de –3. Neste caso é equivalente a
.
Assim se resolvem de forma correcta inequações como
(
) donde (
Seguindo a lógica apresentada com
) ou
.
também podia ter escrito
, que é uma inequação dupla
Se
terá de ser alternativamente
ou
Pense: se em módulo um número é maior que 3, esse número tem de ser muito
grande!!!
Para ser grande, ou já está acima de 3 ou está abaixo de –3 e o módulo trata do resto!
Assim se resolvem de forma correcta inequações como
(
) donde (
ou
57
)
Capítulo MENOS UM
12.4 Sistemas de inequações
A expressão sistema de inequações não pode ser entendida da mesma forma que
sistema de equações.
O sistema
tem uma só incógnita (ao contrário de um sistema de equações) e terá por solução (se
a tiver) um intervalo que é um conjunto de valores de x que verificam
simultaneamente as duas desigualdades.
Resolvendo
Um sistema pode não ter solução (ou ter como solução o conjunto vazio); exemplo:
Exercícios propostos
a)
ou
b)
58
Capítulo MENOS UM
c)
Impossível, nenhum valor de x satisfaz a primeira equação, logo nenhum a satisfaz
seja em que companhia for!!! Cuidado com esta situação. Veja o caso seguinte:
d)
Impossível, nenhum valor de x satisfaz a primeira equação, logo nenhum a satisfaz
seja em que companhia for!!! Óptimo, olhando para as duas últimas expressões estava
assustado.
d)
Dica: neste caso (note bem, neste caso!!!) pode desembaraçar-se da primeira com
elegância já que o denominador é sempre não negativo...
Vamos ajudar.
Como o denominador é sempre positivo, a resolução fica muito facilitada! Conclua!
e)
Umas dicas
porque
é de certeza positivo e
não há perigo de não invertermos o sinal. Quanto à segunda inequação..
59
Capítulo MENOS UM
Vá, agora é consigo!!!
13 O desenvolvimento de
Foi-lhe dito, e bem, que se quisesse obter o desenvolvimento de
deveria
recorrer a uma astúcia:
. Estando certo, não espera
certamente ter que a usar para calcular
.
O desenvolvimento de
é obtido da forma seguinte:
Esta fórmula tem uma alternativa que lhe é equivalente (de outro modo não era
alternativa...)
Eu prefiro a primeira e vamos tomá-la como referência.
Esta fórmula, chamada binómio de Newton, tem uma lógica tão airosa que só
por teimosia a irá decorar!
No Butão decorar esta fórmula é um castigo por fumar em público.
Deve sabe que
. Análise combinatória, lembra-se?
Deve também saber que
Quanto a
. Lembra-se?
deixo à sua criatividade....
A vida torna-se fácil! Verifique que
60
Capítulo MENOS UM
Agora ao contrário:
Simplifique os cálculos em
Exercícios resolvidos
Desenvolva os seguintes binómios
a)
b)
Oriente-se por
Simplifique por si!!!
c)
Oriente-se por
d) Calcule o valor de
SEM máquina de calcular
O objectivo é apenas fazer ginástica!! Não está proibido de usar a máquina para
verificar o resultado de
e) Calcule o valor de
com seis decimais e sem máquina de calcular.
61
Capítulo MENOS UM
O objectivo é apenas fazer ginástica!! Não está proibido de usar a máquina para
verificar o resultado de
f) Demonstre que o cardinal do conjunto das partes de um conjunto de n elementos é
.
Uma demonstração divertidíssima!!! Se não se lembra, de que se lembra?
g) Calcule o sexto termo do desenvolvimento de
Exercício típico em que é preciso lembrar que adoptámos a fórmula
para referência. O sexto termo será
...já está quase tudo feito...
h) Calcule o sétimo termo do desenvolvimento de
.
Exercício típico em que é preciso lembrar que adoptámos a fórmula
...já tínhamos dito, não já?
O sétimo termo será
...já está quase tudo feito...
62
Capítulo MENOS UM
Exemplos de testes passados
07 de Outubro de 2006
Duração: 90 minutos
1 (1 valor) Escreva as expressões seguintes sem denominadores nas formas mais
simplificadas que possa:
2 (1 valor) Efectue as seguintes operações e apresente o resultado sem raízes e na
forma de uma fracção (a forma final da resposta não é única):
3 (1.5 valores) Transforme as expressões seguintes mas apresente o resultado como
produto de dois novos binómios:
a)
b)
4 (2.5 valores) Resolva:
a)
b)
5 (1.5 valores) Resolva as seguintes inequações do 2º grau:
a)
b)
63
Capítulo MENOS UM
6 (1 valor) Simplifique a seguinte expressão mas no resultado final use, no máximo,
um sinal ‘menos’:
7 (2 valores) Sendo a e b números positivos, diga quais das expressões seguintes
estão correctas, justificando sucintamente:
8 (1.5 valores) Resolva as equações especiais:
a)
b)
9 (1 valor) Escreva como uma raiz única:
64
Capítulo MENOS UM
10 (2 valores) Diga quais das seguintes expressões fazem sentido e quais não fazem
mas explique porquê sucintamente:
a)
b)
c)
d)
11 (2 valores) Escreva o 3º termo de
um expoente negativo.
com um único x no qual colocará
12 (3 valores) Resolva os seguintes sistemas de inequações:
a)
b)
65
Capítulo MENOS UM
Exemplos de testes passados
06 de Outubro de 2007
Duração: 90 minutos
GRUPO I
Diga apenas se é verdadeiro ou falso indicando a sua resposta no quadro abaixo (cada
resposta certa vale 0,5 valores e cada resposta errada desconta 0,3 valores):
1.
é menor que
2.
-102 é igual a 100
3.
(3xy)3 é igual a 3x3y3 para x,y quaisquer
4.
5.
6.
não faz sentido
7.
8.
00 é igual a 1
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Questão
1
Valor
lógico
2
3
4
5
6
Verdadeiro
Falso
66
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Capítulo MENOS UM
Grupo II
Resolva e apresente sempre o conjunto-solução:
1 (1 valor)
2 (1 valor)
67
Capítulo MENOS UM
3 (1 valor)
4 (1 valor)
68
Capítulo MENOS UM
5 (1 valor)
6 (1 valor)
69
Capítulo MENOS UM
7 (1 valor)
70
Capítulo MENOS UM
Grupo III
Simplifique as seguintes expressões ao máximo.
1 (1,25 valores)
2 (1,25 valores)
71
Capítulo MENOS UM
Grupo IV
Escreva como uma potência de expoente fraccionário de x:
1 (1,5 valores)
2 (1,5 valores)
Copyright
72