Análise Matemática I - Ano Lectivo 2006/2007
3.
Equações diferenciais de ordem superior a 1.
Eq. dif. de ordem sup. a 1
- Lineares Homogeneas de 2ª ordem com
coeficientes constantes
- do tipo y
(n ) =
f ( x)
- do tipo y
(n ) =
f ( x, y (n−1))
3.1 Lineares Homogéneas de 2ª ordem com coeficientes
constantes.
y ′′ + py ′ + qy = 0 (p e q são constantes reais)
Resolução:
1ºpasso determina-se a equação característica fazendo
( y ′′ = k 2 , y ′ = k , y = k 0 )
2º passo determina-se as raízes da equação característica
3º passo a solução é:
-para raízes reais diferentes, k1 e k 2 , a solução geral é :
y = c1e k 1x + c 2 e k 2 x
-para raízes reais iguais, k1 = k 2 , a solução geral é :
y = c1e k 1x + xc 2 e k 1x
-para raízes complexas conjugadas, α ± βi ,a solução geral é
y = eαx (c1 cos βx + c 2 senβx)
Note: se as raízes forem imaginárias puras ( α = 0 ) a solução geral
será: y = c1 cosβx + c 2 senβx
Exemplos:
a) y ′′ + y ′ − y = 0
b) y ′′ + 6y ′ + 9 y = 0
c) y ′′ − 4 y ′ + 13 = 0
9ª aula teórica
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Análise Matemática I - Ano Lectivo 2006/2007
3.2
1) y
Casos de equações diferenciais simples de resolver
( n) = f x
( )
Resolução:
n −1
y( ) = f ( x)dx + c1
y(
n − 2)
=
(
)
f ( x)dx dx + c1x + c 2
c1x n −1 c 2 x n − 2
y = (...( ( f ( x)dx)dx)...)dx +
+
+...+ c n
( n − 1)! ( n − 2)!
Exemplo: y ′′′ = x
(
n
n −1
2) y( ) = f x, y( )
)
Resolução:
a)
Substitui-se: y( n ) = P ′ e y( n−1) = P
b)
Resolve-se a equação diferencial que resulta da substituição
e integra-se a solução (n-1) vezes para obter y(x).
Exemplo: y ′′ − 4 y ′ + 13 = 0
4.
Trajectórias Ortogonais
Def. 4.1
Dada uma família de curvas ϕ( x, y, c) = 0 , chamam-se
trajectórias ortogonais a uma nova família de curvas ψ ( x, y, D) = 0
que intersectam ortogonalmente cada uma das curvas da família
dada.
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Exemplos:
a) As rectas y − x − c = 0 são trajectórias ortogonais às rectas
x+y−D=0
b)As rectas
y − cx = 0
são as trajectórias ortogonais às
circunferências x 2 + y 2 = D
Como determinar as trajectórias ortogonais?
Seja ϕ( x, y, c) = 0 uma família de curvas e y ′ = f ( x, y) a eq. dif.
−1
da família de curvas então:
= f ( x, y) é a eq. dif. das
y ′t
trajectórias ortogonais e ψ( x, y, D) = 0 é a solução geral da eq.
dif. (a família de curvas procurada).
Portanto o processo para determinar a família de curvas
ortogonais a uma dada família ϕ( x, y, c) = 0 , é o seguinte:
1º Determina-se a equação diferencial associada à família dada,
derivando ϕ( x, y, c) = 0 em ordem a x, (não esquecendo que y é
função de x) e eliminando o parâmetro da família (constante c).
1
, obtendoy′
se assim a equação diferencial da família ortogonal à família
dada.
2º Substitui-se o y ′ dessa equação diferencial por −
3º Resolve-se esta última equação diferencial.
Exemplos:
a) y=x+c
b) y=cx
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