Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
Sucessões, Séries e Equações Diferenciais
EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES
Equações de 2ª Ordem:
Uma equação linear homogénea de coeficientes constantes de 2ª ordem é da forma
y′′ + py′ + qy = 0 , com p e q números reais. Para resolver a equação escreve-se a equação
2
característica, s + ps + q = 0 , que resulta de procurar soluções da forma y = e sx , s ∈
. A
natureza das raízes da equação característica determina as duas soluções linearmente
independentes da equação diferencial.
− p ± p 2 − 4q − p ± Δ
s + ps + q = 0 ⇔ s =
=
; Δ = p 2 − 4q
2
2
2
Temos 3 casos a considerar:
(1) Δ > 0 . A equação característica tem duas raízes reais distintas, s = s1 e s = s2 .
sx
s x
As soluções linearmente independentes da equação diferencial são: y1 = e 1 e y2 = e 2 .
sx
s x
A solução geral da equação diferencial é: y = c1e 1 + c2 e 2 .
(2) Δ = 0 . A equação característica tem uma raiz real dupla, s = s1 .
sx
sx
As soluções linearmente independentes da equação diferencial são: y1 = e 1 e y2 = xe 1 .
sx
sx
A solução geral da equação diferencial é: y = c1e 1 + c2 xe 1 .
(3) Δ < 0 . A equação característica tem duas raízes complexas conjugadas: s1 = α + iβ e
s2 = α − iβ .
αx
As soluções linearmente independentes da equação diferencial são: y1 = e cos ( β x ) e
y2 = eα x sen ( β x ) .
αx
αx
A solução geral da equação diferencial é: y = c1e cos ( β x ) + c2 e sen ( β x ) .
Equações Lineares Homogéneas de Coeficientes Constantes
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Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
Sucessões, Séries e Equações Diferenciais
Equações de Ordem n:
A determinação da solução geral duma equação diferencial linear homogénea de
( )
(
coeficientes constantes de ordem n , y + a1 y
n
n −1)
+ a2 y(
n − 2)
+ … + an−1 y′ + an y = 0 , faz-se da
mesma forma que o exposto para a 2ª ordem:
(1) Determinam-se as raízes da equação característica:
s n + a1s n −1 + a2 s n − 2 + … + an −1s + an = 0 .
(2) A natureza das raízes da equação característica determina as soluções linearmente
independentes da equação diferencial que lhe correspondem. Temos 4 casos a considerar:
(2.1) Raiz real simples: s = s1 ;
Solução:
y1 = e s1 x .
(2.2) Raiz real múltipla de grau k : s = s1 ;
Temos k soluções:
y1 = e s1 x , y2 = xe s1 x , y3 = x 2 e s1 x , … , yk = x k −1e s1 x .
(2.3) Raízes complexas conjugadas simples: s = α ± iβ ;
Temos duas soluções:
y1 = eα x cos ( β x ) e y2 = eα x sen ( β x ) .
(2.4) Raízes complexas conjugadas múltiplas de grau k : s = α ± iβ ;
Temos 2k soluções:
y1 = eα x cos ( β x ) , y2 = xeα x cos ( β x ) , … , yk = x k −1eα x cos ( β x )
yk +1 = eα x sen ( β x ) , yk + 2 = xeα x sen ( β x ) , … , y2 k = x k −1eα x sen ( β x ) .
Equações Lineares Homogéneas de Coeficientes Constantes
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