IFSC / Cálculo I
Prof. Júlio César TOMIO
CONJUNTOS NUMÉRICOS FUNDAMENTAIS
O sistema numérico que utilizamos é do tipo decimal posicional e é conhecido como sistema indo-arábico. Os números
provenientes deste sistema foram organizados em conjuntos ditos “conjuntos numéricos fundamentais” para facilitar o
estudo dos mesmos. Entender toda a estrutura numérica e sua ordenação é o que se pretende neste momento.
Conjunto dos Números Naturais ( ℕ )
Observação:
Muitas literaturas Matemáticas [principalmente
relacionadas ao ensino médio] consideram o
número 0 [zero] como Natural. Na verdade, em
algumas áreas da Matemática, torna-se mais
“conveniente” considerar o zero como Natural,
pois isso simplifica algumas definições. Assim
poderemos, em certas situações, fazer uso dessa
prerrogativa e incluir o zero no conjunto ℕ.
ℕ = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , ...}
Note que todos os elementos do conjunto ℕ são números positivos.
Conjunto dos Números Inteiros ( ℤ )
ℤ = {..., –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ...}
ℤ = { 0 , 1 , 2 , 3 , ...}
ou
ℤ* = {..., –3, –2 , –1 , 1 , 2 , 3 , ...} = ℤ - { 0 }  Conjunto dos números Inteiros Não Nulos
ℤ+ = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ...}  Conjunto dos números Inteiros Não Negativos
*
ℤ  = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ...}  Conjunto dos números Inteiros Positivos
ℤ - = {..., –3 , –2 , –1 , 0 }  Conjunto dos números Inteiros Não Positivos
*
ℤ  = { –1 , –2 , –3 , ...}  Conjunto dos números Inteiros Negativos
*
Note que: ℤ  = ℕ e ℕ
ℤ
Conjunto dos Números Racionais ( ℚ )
Um número é dito racional quando é possível escrevê-lo na forma
ℚ={x | x=
a
, com
b
Exemplos:   8
Observe que:
Além da forma
a
, com a
b
 ℤ e b  ℤ*. Formalmente, temos:
a  ℤ e b  ℤ* }

5
4

5
4

5
4

1
0
3

1

2
12
3
7

 14% 
121
14
100

7
50
7ℚ
a
já mencionada, os números racionais também podem ser representados na forma decimal; isto acontece
b
quando dividimos
a (numerador) por b (denominador). Temos então:
 Decimais exatos [finitos]:

5
4
 1,25
 Decimais [dízimas] periódicos:  

6
7
1
3

3
8
 0,375
 0,333...  0,3
= 0,857142857142... 0, 857142

13
6

12
5
[período]
 2,4

75
20

15
4
 3,75
[fração geratriz] 
14
33

617
500
 1,234
 0,4242...  0, 42
= 2,1666...  2,16  [observar arredondamento da calculadora]
Observações:
# Entre dois números inteiros, nem sempre existe outro número inteiro.
# Entre dois números racionais, sempre existe outro número racional.
*
*
# Também podemos utilizar as notações: ℚ* , ℚ+ , ℚ  , ℚ– e ℚ 
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Encontrando a fração geratriz de números decimais [racionais]:
● Para decimais exatos [finitos]: escrevemos o número decimal em questão sem a vírgula e acrescentamos o denominador 1
(um) seguido de tantos zeros quanto forem as casas após a vírgula. Em seguida, simplifique a fração encontrada, se
possível. Veja os exemplos:
 1,4 
14
10

142

102
7
5231
 5,231 
5
275
 2,75 
1000
100

27525
11

10025
4
● Para decimais [dízimas] periódicos: “damos um nome” ao número decimal e através da multiplicação deste por 10 e/ou
suas potências [100, 1000, etc.], criamos dois números que possuam exatamente as mesmas casas decimais para
realizarmos a subtração dos mesmos. Veja os exemplos:
 0,333...

Denominamos
x  0,333...

2,1666...
Denominamos
x  2,1666...
 10x  3,333...

 x  0,333...
 100x  216,666...

 10x  21,666...
9x  3
90x  195
x
x
Denominamos
n  1,424242...
 100n  142,4242...

n  1,4242...

99n  141
15
3
1
 x
9
3
1,424242...
195
 x
9015
13
6
1413
n
993
 n
47
33
Observações:
# Existe outro método para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica. Pesquise e procure sabe mais!
# As calculadoras científicas mais modernas são capazes de encontrar a fração geratriz de um número decimal. Experimente!
Tipos de Fração:
● Fração Própria: é aquela em que o numerador é MENOR que o denominador. Isso significa que o seu valor é sempre
inferior a um inteiro. Podemos dizer que é a “fração verdadeira”, pois faz jus ao seu nome. Veja os exemplos:

4
5
 0,8

3
8
 0,375

7
 0,14
50

7
100
 0,07

10
21
 0, 476190

1
3
 0,333...
● Fração Imprópria: é aquela em que o numerador é MAIOR que o denominador. Isso significa que o seu valor é sempre
superior a um inteiro. Veja os exemplos:

5
4
 1,25

17
2
 8,5

75
20

15
4
 3,75

617
500
 1,234

33
14
 2,3571428

31
6
 5,1666...
● Fração Aparente: é um caso particular de fração imprópria quando o numerador é um MÚLTIPLO do denominador, ou
seja, a fração pode ser simplificada resultando em um número inteiro. Veja os exemplos:

14
2
7

52
13
4

42
3
 14

18
18
1

100
10
 10

0
12
 0 [caso especial]
● Fração Mista ou Número Misto: também é um caso particular de fração imprópria, porém ocorre quando é escrita em duas
partes: a parte inteira mais a parte fracionária, que neste caso sempre será uma fração própria. Veja os exemplos:

7
5
 1,4  1  0,4  1 
4
2
1
10
5

13
2
 6,5  6  0,5  6 
5
1
6
10
2
6
1
1 (2.6)  1 13
 6 

2
2
2
2
Notas:
# Algumas calculadoras científicas podem representar frações na forma mista. Verifique como a sua calculadora “trata” as frações.
# Duas ou mais frações são equivalentes quando possuem o mesmo valor [representam o mesmo número real].
# Uma fração é dita irredutível quando não pode mais ser simplificada. Neste caso dizemos que o numerador e o denominador são primos
entre si.
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Conjunto dos Números Irracionais ( Ir )
Um número é Irracional, quando NÃO é possível escrevê-lo na forma
a
, com a
b
 ℤ e b  ℤ*. Assim, podemos escrever:
Ir = { x | x é dízima não periódica }
Veja os exemplos:

2  1,4142135...

2,01001000100001...

3  1,7320508...

  3,14159265...
(Número “Pi”)

 3  1,7320508...

e  2,7182818...
(Número de Euler)

3
25  2,92401773...


9  Ir, pois sabemos que
Observe que
1 5
 1,618 ... (Número de Ouro)
2
9  3.
Outras Notações para o Conjunto dos Irracionais: (ℝ – ℚ) ou ℚ’
Conjunto dos Números Reais ( ℝ )
Unindo todos os conjuntos numéricos estudados até aqui, teremos o conjunto dos números reais. Ou seja:
ℝ={x | x
 ℚ ou x  Ir } = ℚ  Ir
Desta forma, todo número natural, inteiro, racional ou irracional também é um número REAL.
Podemos representar através de “diagramas” o conjunto dos números reais, conforme abaixo.
ℝ
ℕ
Um número REAL qualquer
é racional ou irracional.
ℤ
ℚ
ℕ
Observe que:

ℤ

ℚ

ℝ
e
ℚ

Ir
Ir = .
Uma representação geométrica (dos números reais) muito importante e útil é a “Reta Real”, também conhecida como reta
numérica real ou eixo real, ou ainda, eixo das abscissas. Veja:
Origem

–4



–3

–2

–1
17




0
1
 
1

2
2
2
5
 
3

4

5

6
8
  3,14159265

7

x
3
Em nosso estudo, quando falarmos de números e não forem feitas “restrições” sobre esses, adotaremos sempre como
padrão, os números reais.
Também temos os intervalos, que são subconjuntos do conjunto dos números reais:
 ℝ | x  0 }  Conjunto dos números Reais Não Nulos ou diferentes de zero
ℝ+ = { x  ℝ | x  0 }  Conjunto dos números Reais Não Negativos ou maiores ou igual a zero
*
ℝ  = { x  ℝ | x > 0 }  Conjunto dos números Reais Positivos ou maiores que zero.
ℝ* = { x
 ℝ | x  0 }  Conjunto dos números Reais Não Positivos ou menores ou igual a zero
= { x  ℝ | x < 0 }  Conjunto dos números Reais Negativos ou menores que zero
ℝ– = { x
*
ℝ
Observação: Temos que
3
 8  2 ℝ,
mas
2
 9   9  ℝ.
Não estão definidas para o conjunto dos números reais, raízes de números negativos com índice par.
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Conjunto dos Números Complexos ( ℂ )
Também conhecido como conjunto dos números “imaginários”, não fará parte de nosso estudo neste momento (embora
tenha grande aplicação na área eletroeletrônica, entre outras). Podemos dizer, de forma simples, que se trata de um
conjunto numérico que envolve, além dos números reais, números do tipo
 4 que não podem ser definidos em ℝ.
INTERVALOS
↳ são subconjuntos do conjunto ℝ. Podem ser representados através da notação de conjunto, de colchetes ou na reta Real.
Analise atentamente os exemplos a seguir e perceba a simbologia utilizada:
Intervalo Aberto
{x
 ℝ | 2 < x < 10 }
=
] 2 , 10 [
↳ Notação de Conjunto
2
=
↳ Notação de Colchetes
10
↳ Representação na Reta Real
Atenção: Observe que no intervalo aberto acima, foram representados todos os números reais ENTRE os números 2 e 10, e
consequentemente, os números 2 e 10 (que são os limitantes do intervalo) foram EXCLUÍDOS do conjunto representado.
Intervalo Fechado
{x
 ℝ | 2  x  10 }
10
2
=
[ 2 , 10 ]
=
Atenção: Observe que no intervalo fechado acima, foram representados todos os números reais DO número 2 ATÉ o 10, e
consequentemente, os números 2 e 10 (que são os limitantes do intervalo) foram INCLUÍDOS do conjunto representado.
Intervalo Semi-aberto ou Semi-fechado
{x
 ℝ | 2 < x  10 }
=
] 2 , 10 ]
=
{x
 ℝ | 2  x < 10 }
=
[ 2 , 10 [
=
↳
{ x | 2  x < 10 }
↳ [ 2 , 10 )
=
2
10
2
10
2
10
[
)
Intervalos Infinitos (incomensuráveis)
7
{x
ℝ|x>7}
=
]7,+[
=
{x
ℝ|x  7}
=
[7,+[
=
{x
ℝ|x<7}
=
]–,7[
=
{x
ℝ|x7}
=
]–,7]
=
↳{xℝ|–<
7
7
7
x  7 }  Não recomendável!
Observações e Similaridades:
ℝ* = { x
=
ℝ|x0}
=
↳{xℝ|x<0
{x
]–,+[
] –  , 0 [  ] 0 , + [
0
=
–1
=
0
6
15
ou 0  x < 6 ou 6 < x < 15 }
–5,1
 ℝ | –5,1 < x  3 ou x  4 e x  17 }
↳{xℝ|
=
ou x > 0 }
 ℝ | x < –1 ou 0  x < 15 e x  6 }
↳ { x  ℝ | x < –1
{x
0
ℝ}
ℝ={x | x
=
–5,1 < x  3 ou 4  x < 17 ou x > 17 }
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3
4
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Atenção!
 Note que os conjuntos A = { x
 ℕ | 2 < x  6 } e B = { x  ℝ | 2 < x  6 } são DIFERENTES.
Veja na reta real:
3
4
5
6
2
A
6
B
O conjunto A é finito, pois tem somente 4 elementos, ou seja, A = { 3 , 4 , 5 , 6 }. Em contrapartida, não podemos
determinar o número de elementos do conjunto B, pois este último possui infinitos elementos.
 Fique atento para as diferentes notações de conjunto: { 3 , 10 }  [ 3 , 10 ]
O conjunto { 3 , 10 } possui 2 elementos e o intervalo [ 3 , 10 ] possui infinitos elementos.
Algumas Definições Importantes!
 Oposto de um Número Real
Veja os exemplos:
7 oposto
  7

14 oposto 14

3
3
Particularidade:
0 oposto
 0
Assim: A SOMA de um número com o seu OPOSTO é ZERO!
Observação: Note que, considerando um estudo somente no ℕ, um número natural [não nulo] não tem oposto natural.
 Inverso de um Número Real
Veja os exemplos:
3 inverso

1
3
Particularidades:
4 inverso 3

3
4

1
inverso
  14
14
1 inverso
 1
 1 inverso
  1

7 inverso
8
 
8
7
Assim: O PRODUTO de um número com o seu INVERSO é UM!
Observação: O número ZERO não possui inverso!
 Módulo [ou Valor Absoluto] de um Número Real
Veja os exemplos:
14  14
7
 14  14
5

7
Particularidade:
5
0  0
Assim: O MÓDULO de um número real não nulo é sempre o seu valor POSITIVO (absoluto).
Simbolicamente, temos:
 x , se x  0
| x| 
 x , se x  0
Nota: Podemos considerar ainda que o módulo de um número real representa a distância desse número até a origem,
pois consideramos uma grandeza de distância sempre positiva (ou zero). Veja:
–12
0
| –12 |
12
| 12 |
Então: | 12 | = | –12 | = 12 u.c. (unidades de comprimento)
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Exemplo: Simplifique as expressões:
a)
14  3   5
x 18  x , sendo que x  18  0
b)
c)
x  18  x
11   5
11  5
x 18  x , sendo que x  18  0
 ( x  18)  x
 x  18  x
18
 2 x  18
6
Para refletir: Não aprenda a desejar aquilo que não merece. [retirado de um biscoito da sorte chinês]
EXERCÍCIOS – Conjuntos Numéricos Fundamentais e Intervalos
1) Relacione usando
c)
2
3
.............
5 ...........
d) 4 ...............
4
ℕ
e)
ℤ
f)
 9 .............
ℝ
j)
ℝ
g) –13 ...............
ℚ
l) 0 ..................
ℚ
h)
ℝ
m) 
a) –5 .............
b)
 ou  :
2) Os conjuntos A = { x
11
.............
ℝ-ℚ
0 ..............
i) –1 ................
108
9
4
2
.............
............
ℝ
n)
ℕ
o) (2,33... x 9) ..........
ℤ+
p)
ℚ*
q) 0,127 ..................
3
 ℕ | 2  x < 4 } e B = { x  ℝ | x2 – 5x + 6 = 0 } são iguais?
3) Represente em cada reta real os intervalos correspondentes:
a) ] –  , –1 ]
b) { x
ℝ|0  x 2}
 ℝ | –2 < x 
g)
2}
ℝ| x>–5}
 2
 5
,


e) [ –5 , 4 [
f) { x
0

c) ] 0 , 3 [
d) { x
361 ..................
1
2





h) { x
ℝ|1 x<2}

i) { x
 ℝ | x  1 ou x > 2 }

j) { x
 ℝ | –2 < x  3 e x  1}

k) { x
 ℝ | x  2 ou x = 4 }

l) { x
 ℝ | –3 < x < –1 ou 1 < x  2 } 
ATENÇÃO: Analise os intervalos [h] e [i] e note que eles são completamente diferentes.
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 64
2
...............
Ir
ℕ
ℤ
ℚ*
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4) Dados os intervalos abaixo, escreva-os em notação de conjunto:
–3
3
 { ........................................................................................... }
a)
1
 { ........................................................................................... }
b)
1/2
c)
–1
d)
e)
f)
g)
–3
0
–2
0
–2
0
–1
 { ........................................................................................... }
2
 { ........................................................................................... }
1
 { ........................................................................................... }
3
0
 { ........................................................................................... }
1
 { .......................................................................................... }
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1a) 
1b) 
1c) 
1d) 
1e) 
1f) 
1g) 
1h) 
1i) 
1j) 
1l) 
1m) 
1n)  1o) 
1p)  1q) 
2) Sim
–1
3a)
0
3
3c)
3e)
–2/5
4a) { x  ℝ | –3 < x < 3 }
Para descontrair...
2
4b) { x  ℝ | x < 1 }
4e) { x  ℝ | –2  x < 0 ou x  1 }
–5
2
3h)
2
3k)
2
1
1/2
1
3i)
3f)
2
–2
3d)
4
–5
3g)
0
3b)
4
3l)
4c) { x  ℝ | x  1/2 }
4f) { x  ℝ | –2 < x  3 e x  0 }
1
–2
3j)
–3
–1
1
3
2
4d) { x  ℝ | x  0 e x  –1 ou x > 2 }
4g) { x  ℝ | –3 < x  –1 ou 0  x < 1 }
Coleção: As Melhores Tiras – Cebolinha / Autor: Maurício de Souza / Editora: Globo
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O SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
O Sistema Cartesiano Ortogonal, também conhecido como Plano Cartesiano é um sistema bidimensional de coordenadas
[retangulares], formado por dois eixos reais, perpendiculares (ortogonais) entre si, gerando quatro regiões denominadas
quadrantes. O eixo “x” também é dito eixo das abscissas e o eixo “y” também é dito eixo das ordenadas. A intersecção
dos eixos coordenados determina um ponto único, denominado “origem do sistema”. Cada ponto nesse plano é determinado
por um par (ou dupla) ordenado(a) na forma (x , y), sendo que “x” e “y” formam as coordenadas de um ponto.
Localize no sistema ao lado, os pontos indicados a seguir:
y
2º Q.
A( 4 , 5 )
1º Q.
B(4 , 5)
C (6 ,  5)
D(6 ,  2)
E ( 8 , 0)

x
F (5 , 0)
G (0 , 8)

H (0 ,  7)
O(0 , 0)
 Origem do sistema
3º Q.
4º Q.
Observações:
 Todo ponto pertencente ao eixo das abscissas terá ordenada nula, ou seja, será da forma: (x , 0).
 Todo ponto pertencente ao eixo das ordenadas terá abscissa nula, ou seja, será da forma: (0 , y).
Nota: O Sistema Cartesiano Ortogonal também é conhecido como Plano ℝ2 , Espaço E2 , ou ainda, Espaço ℝ2.
Leia o texto abaixo e pense a respeito...
Conta-se que numa pequena cidade do interior em tempos passados, um grupo de pessoas se divertia com um “idiota” da região. Um pobre
coitado – pessoa simples – que vivia de pequenos biscates e ajuda dos vizinhos. Diariamente eles chamavam o rapaz ao bar onde se
reuniam e ofereciam a ele a escolha entre duas moedas: uma grande de 400 réis e outra menor, de dois mil réis. Ele sempre escolhia a
maior e menos valiosa, o que era motivo de risos para todos.
Certo dia, um dos membros do grupo chamou-o e lhe perguntou se ainda não havia percebido que a moeda maior valia menos.
"Eu sei" – respondeu o não tão tolo assim – "ela vale cinco vezes menos, mas no dia que eu escolher a outra, a brincadeira acaba e não vou
mais ganhar minha moeda".
É Possível tirar várias conclusões dessa pequena narrativa:
- Primeiro: quem parece idiota, nem sempre é.
- Segundo: (dito em forma de pergunta) quais eram os verdadeiros tolos da história?
- Terceiro: se você for ganancioso, poderá acabar estragando sua fonte de renda.
Mas a conclusão mais interessante, a meu ver, é a percepção de que podemos estar bem, mesmo quando os outros não têm uma boa
opinião a nosso respeito. Portanto, o que importa não é o que pensam de nós, mas o que realmente somos...
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EXERCÍCIOS – Sistema Cartesiano Ortogonal
1) Observando a peça plana abaixo [suporte de arco de serra], determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, ..., L e M,
considerando:
a) a origem do sistema cartesiano no ponto A;
b) a origem do sistema cartesiano no centro da peça. Veja a marcação: [
20
20
].
40
F
25
20
E
G
H
40
15
D
20
C
I
B
Esp. 3

A
M
25
20
10
20
L
J
K
35
40
120
Nota: medidas em mm.
2) Considere as duas propriedades do sistema cartesiano ortogonal, apresentadas a seguir, e determine o que se pede:
 Todo ponto
( x , y ) do eixo das abscissas tem
ordenada nula [ y  0] . A recíproca é verdadeira.
Simbolicamente:
Exemplo:
( x , y )  Ox  y  0
P(3 , 0)  Ox
a) Determine o valor de “ m ” sabendo que o ponto
b) Determine os valores de “ k ” para que o ponto
 Qualquer ponto
( x , y ) do 4º quadrante tem
abscissa positiva [ x  0] e ordenada negativa
[ y  0] . A recíproca é verdadeira.
Em símbolos:
Exemplo:
( x , y )  4º Q.  x  0 e y  0
P(4 ,  2)  4º Q.
A(2m  6 , 5 ) está no eixo das ordenadas.
B(3k  6 , k  5 ) esteja no 2º quadrante.
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RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
Exercício (1):
a
b
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
(0,0)
(-60,-40)
(0,20)
(-60,-20)
(20,40)
(-40,0)
(20,55)
(-40,15)
(40,80)
(-20,40)
(80,80)
(20,40)
(80,60)
(20,20)
(120,60)
(60,20)
(120,20)
(60,-20)
(100,0)
(40,-40)
(60,0)
(0,-40)
(60,10)
(0,-30)
(25,0)
(-35,-40)
Exercício (2b): { k  ℝ | –5 < k < 2 }
Exercício (2a): m = –3
Tópico Especial: Sistemas de Coordenadas Não-Retangulares
2
Na Geometria Analítica nós aprendemos a associar um ponto P do plano R a um par de coordenadas (a, b)
projetando P sobre um par de eixos coordenados perpendiculares, conforme detalhe [a] da figura a seguir. Nesse processo,
é associado um único conjunto de coordenadas a cada ponto do plano e, reciprocamente, a cada par de coordenadas está
associado um único ponto no plano. Descrevemos isto dizendo que o sistema de coordenadas estabelece uma
correspondência biunívoca entre os pontos do plano e os pares ordenados de números reais.
Embora os eixos coordenados perpendiculares sejam os mais comuns, podemos usar quaisquer duas retas não-paralelas
para definir um sistema de coordenadas no plano. Por exemplo, no detalhe [b] da figura abaixo, associa-se um par de
coordenadas (a, b) ao ponto P projetando-o paralelamente aos eixos coordenados não-perpendiculares. Analogamente,
no espaço tridimensional, podemos definir um sistema de coordenadas utilizando quaisquer três retas não-coplanares, como
no detalhe [c] da figura abaixo.
Muitas situações podem ser simplificadas quando se escolhe um sistema de coordenadas com uma BASE adequada. Por
exemplo, considere a estrutura molecular do zinco, apresentada na figura abaixo [detalhe (a)] e também a necessidade de
se estudar o comprimento das ligações dos átomos, os ângulos entre as ligações, entre outros fatores envolvendo o zinco.
Essa análise será muito facilitada com o uso de coordenadas e de ferramentas da Álgebra Linear e Geometria Analítica.
A escolha do sistema de eixos coordenados “canônicos” para esse estudo não é a melhor opção. Como é possível verificar na
figura abaixo [detalhe (b)], a escolha da base
  
{ u , v , w } é provavelmente a mais adequada para o R 3 arbitrário em
questão, pois esses vetores se alinham perfeitamente com as ligações entre os átomos de zinco.
Interessou? Pesquise e procure saber mais!
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FUNÇÕES – INTRODUÇÃO
ANÁLISE GRÁFICA INTUITIVA
Abaixo está representada graficamente uma função. Analise a situação-problema e responda as perguntas.
Espaço de frenagem (m)
[Exemplo] Ao acionar o freio de um automóvel, a distância para que ele pare é denominada “espaço de frenagem”. Este
depende de vários fatores, entre eles, a velocidade em que o carro se encontra quando o freio é acionado.
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0


0
10
20
30
40
50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
Velocidade (km/h)
Através da análise do gráfico acima, determine:
a) Quais as variáveis envolvidas?
b) Qual a variável independente?
c) Qual a variável dependente?
d) Qual o intervalo de variação da “velocidade” no experimento em questão [Domínio da Função]?
e) Qual o intervalo de variação do “espaço de frenagem” no experimento em questão [Conjunto Imagem]?
f) Quantos metros o automóvel ainda deverá percorrer quando freado a uma velocidade de 60 km/h?
E a 80 km/h? E a 120 km/h?
g) A que velocidade deve estar o veículo para que o espaço de frenagem seja de 40 m?
h) Quando aumentamos a velocidade de 80 para 120 km/h, em quantos metros aumentará o espaço de frenagem?
i) O “espaço de frenagem” aumenta ou diminui quando aumentamos gradativamente a velocidade?
j) É possível, através do gráfico acima, relacionar os valores de velocidade e frenagem com precisão decimal?
O que [ou como] seria necessário para se conseguir tal precisão nas informações?
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NOÇÃO DE FUNÇÃO
O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática e ocupa lugar de destaque em vários eixos temáticos dela,
bem como de outras áreas do conhecimento.
Relação entre grandezas variáveis:
A função é um modo especial de relacionar grandezas físicas (variáveis). A função pode aparecer em forma de tabela ou
gráfico, através de diagramas e também como equação matemática (fórmula ou lei de associação).
Analisemos a situação abaixo:
Um indivíduo pretende abastecer o seu carro com gasolina. O tanque de combustível do seu veículo possui capacidade
máxima de (aproximadamente) 50 litros. Considerando que o litro de gasolina custa R$ 2,30 em um determinado posto,
pode-se montar a seguinte tabela (veja ao lado):
Gasolina
Preço a pagar
(litros)
(R$)
Observando a tabela ao lado, pode-se responder:
1
2,30
2
4,60
a) Quais as variáveis envolvidas no problema?
3
6,90
R.: “Quantidade de Gasolina” e “Preço a pagar”
4
9,20
:
:
b) O que varia em função do quê?
50
115,00
R.: O “Preço a pagar” varia em função (de acordo com) da “Quantidade de Gasolina”.
c) Qual é a variável independente?
R.: “Quantidade de Gasolina” (dada em litros). Representaremos esta grandeza por “x”.
d) Qual é a variável dependente?
R.: “Preço a pagar” (dado em reais). Representaremos esta grandeza por “y”.
e) Neste caso, qual é a lei de associação?
R.: A lei de associação ou fórmula matemática é: y = 2,30x ou ainda: f(x) = 2,30x
f) Quanto pagará para abastecer 35 litros de gasolina?
g) Quantos litros abastecerá, pagando R$ 59,80?
Dado: x = 35
Dado: y = 59,80
Pergunta-se: y = ?
Substituindo os valores na fórmula, temos:
Pergunta-se: x = ?
Substituindo os valores na fórmula, temos:
y = 2,30x
y = 2,30(35)
y = 80,50
y = 2,30x
59,80 = 2,30x
X = 59,80 / 2,30
R.: Pagará R$ 80,50 para abastecer 35 litros de gasolina.
R.: Poderá abastecer 26 litros pagando R$ 59,80.
Fazendo uma representação gráfica da situação (no plano cartesiano), temos:
y (R$)
115
0
50
x (litros)
Observação:
Podemos destacar que a função em questão é uma função polinomial do 1º grau, que estudaremos mais detalhadamente a
seguir. Observa-se ainda que a função em questão pode ser qualificada como uma função crescente, pois, a medida que
se aumenta a quantidade de litros “x”, também aumenta o preço a pagar “y”.
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Agora, considerando que:
 O Domínio (D) de uma função é o conjunto de todos os valores que podem ser assumidos pela variável independente (x),
e que;
 Imagem (Im) é o conjunto de todos os valores correspondentes da variável dependente (y), responda:
 ℝ | 0  x  50 }
h) Qual o Domínio da função em questão?
Resposta: D = { x
i) Qual a Imagem da função em questão?
Resposta: Im = { y
 ℝ | 0  y  115 }
Comentário: pode-se observar mais claramente o domínio e o conjunto imagem de uma função em sua representação
gráfica (veja gráfico apresentado anteriormente).
Então, em uma função:
 Todos os possíveis valores de “x” (variável independente) estão associados, através da lei de associação, a valores de “y”
(variável dependente).
 Para um dado valor de “x” (variável independente), está associado um único valor de “y” (variável dependente).
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
A velocidade também é outra grandeza variável, já que o automóvel
pode andar em diversas velocidades. Portanto, o espaço de frenagem e a
velocidade são variáveis, mas seus valores não são independentes entre
si. O espaço de frenagem depende da velocidade do veículo ou, em outras
palavras, para cada velocidade há um único espaço de frenagem.
Assim, pode-se considerar as duas variáveis em questão, uma assumindo
valores num conjunto A (Domínio) e a outra num conjunto B
(Contradomínio), de modo que o gráfico retrate uma situação tal que cada
elemento do conjunto A corresponda a um único elemento do conjunto B.
Matematicamente, a função pode ser definida como um tipo especial de
relação entre grandezas:
80
Espaço de frenagem (m)
No gráfico ao lado, pode-se observar que o espaço de frenagem
representa uma grandeza variável: ele pode ser de 10 metros ou de 30
metros (citando apenas dois exemplos).
●
70
60
50
40
30
20
10
0
●
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 110 120 130
Velocidade (km/h)
Sejam A e B dois conjuntos não vazios e “ f ” uma relação de A em B. Essa relação “ f ” é uma função de A em B
quando a cada elemento “x” do conjunto A está associado um, e apenas um, elemento “y” do conjunto B.
 O conjunto A de valores que podem ser atribuídos a “x” é chamado domínio da função e indica-se por D ou Df (sendo
que a variável “x” é chamada variável independente).
 O valor de “y”, correspondente a determinado valor atribuído a “x”, é chamado imagem de x pela função e é representado
por f(x). A variável “y” é chamada variável dependente.
 O conjunto Im, formado pelos valores que “y” assume em correspondência aos valores de “x”, é chamado conjunto
imagem da função. Obs.: podemos representar y = f(x).
Notação:
Para indicar que uma função “ f ” tem domínio em A e contradomínio em B, usa-se: f : A  B. (lê-se: f de A em B).
Observações:
 O “Domínio” também é conhecido como “Campo de Definição” ou ainda como “Campo de Existência”.
 No exemplo apresentado acima, temos que:
- Variáveis envolvidas:
independente (x)  velocidade (km/h)
dependente (y)  espaço de frenagem (m)
- Domínio da função: D = [ 0 , 120 ] ou D = { x ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 120 }
- Imagem da função: Im = [ 0 , 70 ] ou Im = { y ∈ ℝ | 0 ≤ y ≤ 70 }
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Representação de uma função por diagramas:
B
f(x)
A
y1
x1
Conjunto Imagem (Im)
y2
X2
y3
X3
y4
y5
Domínio (D)
Contradomínio (CD)
Lei da Função (fórmula matemática):
As leis que descrevem os fenômenos, relacionando matematicamente as variáveis envolvidas, são de fundamental
importância. É o estudo de funções em que o valor de “y” pode ser calculado a partir de um determinado valor de “x”,
através de uma fórmula matemática (ou regra, ou lei de associação).
Analisemos alguns casos:
Caso 1: A lei de correspondência que associa cada número real “x” ao número real “y”, sendo “y” o dobro de “x”, é uma
função definida pela fórmula y = 2x, ou f(x) = 2x.
Assim:
 Para x = 4, temos que y = 2 . 4 = 8. Dizemos então que: f(4) = 8
 A imagem de x = –2 é: f(–2) = 2.(–2) = – 4. Logo: f(–2) = – 4
 x = 12 corresponde a y = 2.12 = 24
 y = 6 é a imagem de x = 3
 O domínio e o conjunto imagem desta função são todos os números reais, ou seja, D = ℝ e Im = ℝ
Caso 2: A lei y 
x 1
x 2
associa a cada “x” real e diferente de 2 a um “y” real.
Assim:
 Para x = 3 vem y = 2
 A imagem de x = – 4 é y =
 y = 6 é a imagem de x =
5
6
. Podemos escrever f(x) =
5
6
, ou ainda, f(– 4) =
5
6
11
5
 Trata-se de uma função cujo domínio é: ℝ – { 2 }, e o conjunto imagem é: ℝ – { 1 }, isto por que jamais
poderíamos ter
x 1
x 2
 1 , pois sempre x  1  x  2
Caso 3: Uma panela com água à temperatura de 15oC é levada ao fogo e observa-se que, a cada 1 minuto, a temperatura
sobe 2oC. De acordo com os dados, forneça a lei (fórmula) que representa o aumento de temperatura em função do
tempo.
Assim:
Tempo inicial (to): 0 min
Temperatura inicial (To): 15o C
Tempo (min)
0
1
2
3
Temperatura (oC)
15 [15 = 15 + 2.0]
17 [17 = 15 + 2.1]
19 [19 = 15 + 2.2]
21 [21 = 15 + 2.3]
Cada temperatura é a temperatura inicial mais um acréscimo de 2oC por minuto.
Logo, a lei que relaciona o aumento de temperatura em função do tempo é:
T(t) = 15 + 2t , sendo esta, a solução do problema em questão.
Finalizando e Relembrando...
 Utilizando uma linguagem um pouco diferenciada, temos que uma função é uma regra que associa uma única saída a cada
entrada. Se a entrada for “x” então a saída será denotada por f(x) ou y.
 Assim, o Domínio é o conjunto de todas as entradas possíveis e Imagem é o conjunto das saídas (valores de “y”) que
resultam quando se variam os valores deste Domínio. O Contradomínio é o conjunto onde se encontram todos os valores do
conjunto Imagem.
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Exemplos:
1) Dada a função f : ℝ  ℝ definida por f(x) = 2x – 7, calcule:
a) o valor de “y” de modo que x = 3, ou seja, calcular o valor de f(3).
b) o valor de “x” de modo que y = 10.
Resolução (a):
f(x) = 2x – 7
f(3) = 2(3) – 7
f(3) = 6 – 7
f(3) = –1
Resolução (b):
ou
y = 2x – 7
y3 = 2(3) – 7
y3 = 6 – 7
y3 = –1
A função f(x) = 2x – 7 também poder ser escrita na forma:
y = 2x – 7. Então:
10 = 2x – 7
10 + 7 = 2x
Escrevemos f(3) = – 1, para dizer que
quando x = 3, teremos pela função f(x),
y = –1.
17 = 2x
 x = 17/2
Resposta (b): Quando y = 10, teremos x = 17/2.
Resposta (a): f(3) = –1.
2) Dados os conjuntos A = {–3, –1, 0, 2} e B = {–1, 0, 1, 2, 3, 4}, determine o conjunto Imagem da função f : A  B
definida por f(x) = x + 2.
Resolução:
Substituindo os valores de “x” do Domínio A na função f(x),
teremos:
f(x) = x + 2
f(–3) = –3 + 2
f(–3) = –1
f(x) = x + 2
f(0) = 0 + 2
f(0) = 2
f(x) = x + 2
f(–1) = –1 + 2
f(–1) = 1
f(x) = x + 2
f(2) = 2 + 2
f(2) = 4
Apenas para ilustração, temos os diagramas:
f(x)
–3
–1
–1
1
0
2
2
4
Im
0
3
Logo, o conjunto Imagem da função é Im = {–1, 1, 2, 4}.
A
B
3) Seja a função f : ℝ  ℝ definida por f(x) = x2 – 10x + 8. Determine:
a) f(1);
b) os valores reais de “x” para que se tenha f(x) = –1;
c) o domínio da função dada.
Resolução (a):
Resolução (b):
Substituindo x = 1, teremos:
Substituindo f(x) = –1 na função f(x) = x2 – 10x + 8, teremos:
f(x) = x2 – 10x + 8
f(1) = (1)2 – 10(1) + 8
f(1) = 1 – 10 + 8
f(1) = – 1
–1 = x2 – 10x + 8. Então: x2 – 10x + 9 = 0
Resposta (a): f(1) = –1
Resposta (b): Os valores de “x” para que se tenha y = –1 são x = 9 ou x = 1.
Resolvendo a equação do 2º grau acima, teremos:
 = 64 e conseqüentemente: x’ = 9 e x” = 1
Resolução (c):
O Domínio da função f(x) em questão pode ser observado na notação f : ℝ  ℝ, sendo o primeiro conjunto apresentado
(antes da flecha) o Domínio e o segundo conjunto apresentado (após a flecha) o Contradomínio.
Resposta (c): Logo, o Domínio da função dada é D = ℝ.
Para refletir...
A vida é um eco. Se você não está gostando do que está recebendo, observe o que está emitindo. [Lair Ribeiro]
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4) Dada a função g : D  ℝ definida por g(x) = x2 , determine o seu Domínio e o seu conjunto Imagem:
Resolução:
 Neste caso, para determinarmos o Domínio, precisamos identificar todos os possíveis valores de “x” que, quando inseridos
na função em questão, seguramente apontarão para um valor único de “y”.
Sabendo disso, podemos dizer que “x” poderá assumir qualquer valor REAL, pois qualquer número real quando elevado ao
quadrado, define um único número real. Logo: D = ℝ.
 Agora vamos avaliar os possíveis valores que “y” poderá assumir. Sabemos que todo número real [x] elevado ao quadrado
resulta em um número não negativo. Logo: Im = { y ∈ ℝ | y  0 }.
Resumidamente, temos:
D=ℝ
e
Im = ℝ+
Construção de Gráficos de Funções através da Lei de Associação
Alguns Exemplos com Funções Elementares [de 1º e de 2º grau]
O gráfico, ou a representação gráfica de uma função, é uma maneira de apresentarmos o comportamento de um fenômeno
numa forma visual (geométrica), o que em muitos casos, facilita a compreensão do fenômeno, possibilitando perceber o seu
comportamento de uma forma mais ampla. Para tanto, utilizaremos o sistema cartesiano ortogonal, indicando os valores de
“x” e “y” nos seus eixos correspondentes.
Veja a seguir, as etapas para a construção de um gráfico de uma função “elementar” conhecendo o respectivo domínio:
1) Montar uma tabela, atribuindo valores para “x” [conforme o domínio da função dada] e calcular os correspondentes
valores de “f(x)”;
2) Marcar no plano cartesiano os pontos gerados pelos pares ordenados (x , y) encontrados na tabela;
3) Ligar (ou não) os pontos marcados no plano cartesiano por meio de uma “curva” [de acordo com o tipo de função e
seu respectivo domínio].
Observação:
Com o objetivo de otimizar o processo de ensino-aprendizagem, iremos desenvolver um estudo de construção de gráficos
utilizando apenas dois tipos de funções [neste momento]. São elas:
 Função do 1º grau [ f(x) = ax + b ]
Para domínio REAL, o gráfico é uma reta oblíqua aos eixos coordenados.
y
y
●
●
●
0
x
●
0
x
 Função do 2º grau [ f(x) = ax2 + bx + c ]
Para domínio REAL, o gráfico é uma parábola com concavidade na direção vertical [para cima ou para baixo].
y
y
●V
●
0
V
●
x
●
0
●
x
●
Teremos a oportunidade de estudar essas e outros tipos de funções [e suas representações gráficas] mais adiante.
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Vejamos alguns exemplos:
1) Construa o gráfico da função f : D  ℝ definida por f(x) = 2x + 1, considerando que D = { x ∈ ℝ | 2 < x ≤ 3 }.
Resolução:
y
tabela
x
f(x)
2
5


3
7
B
7
f(x) = 2x + 1
→ f(2) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5
5
→ f(3) = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7
A
Observe que: Im = { y ∈ ℝ | 5 < y ≤ 7 }
0
2
3
x
Algumas Considerações:
Para a construção do gráfico do exemplo dado, foram utilizados apenas dois pontos [A e B], pois f(x) = 2x + 1 é uma
função polinomial do 1º grau e por isso tem sua representação gráfica como sendo uma linha reta (neste caso, um
segmento de reta AB). Note ainda que os valores atribuídos para “x” são os “limitantes” do domínio (2 e 3) que são apenas
valores de referência do domínio D = { x ∈ ℝ | 2 < x ≤ 3 } que possui infinitos valores a partir de 2 até 3, que neste caso,
estão sendo representados pelos infinitos pontos que compõem a linha contínua AB.
NOTA: Quanto à representação gráfica de uma “linha reta”, formalmente, temos:
y
A
B
 Segmento de reta AB. Notação: A B
A
 Semi-reta (partindo de A ou chegando em A)
 Reta “r” (elemento infinito)
r
M
N
 Reta que passa por M e N. Notação: M N
x
Para descontrair!
Créditos: Mauricio de Sousa Produções Ltda.
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2) Construa o gráfico da função f : ℝ  ℝ definida por f(x) = 2x + 1.
Resolução:
y
tabela
x
f(x)


–2
–3


2
5


3
7


f(x) = 2x + 1
7
→ f(–2) = 2(–2) + 1 = – 4 + 1 = –3
5
→ f(2) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5
→ f(3) = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7
–2
0
Observe atentamente que: Im = ℝ
2
3
x
–3
Nota: Como D = ℝ , podemos “escolher” qualquer valor real
para “x” para construir o gráfico. Neste exemplo, escolhemos
três valores de referência: –2, 2 e 3; entretanto, apenas dois
valores para “x” seriam suficientes para a construção da reta.
3) Construa o gráfico da função h : D  ℝ definida por h(x) = – x2 + 5, sendo que D = { –2, –1, 0, 1, 2 }.
Resolução:
y
tabela
h(x) = – x2 + 5
x
h(x)
–2
1
→ h(–2) = – (–2)2 + 5 = – (4) + 5 = 1
–1
4
→ h(–1) = – (–1)2 + 5 = – (1) + 5 = 4
0
5
→ h(0) = – (0)2 + 5 = – (0) + 5 = 5
1
4
→ h(1) = – (1)2 + 5 = – (1) + 5 = 4
2
1
→ h(2) = – (2)2 + 5 = – (4) + 5 = 1
5
4
1
Observe que: Im = { 1 , 4 , 5 }
–2
–1
0
1
2
x
4) Construa o gráfico da função h : D  ℝ definida por h(x) = – x2 + 5, sendo que D = { x ∈ ℝ | –2 < x < 2 }.
Resolução:
y
tabela
x
h(x)
–2
1


2
1
5
h(x) = – x2 + 5
→ h(–2) = – (–2)2 + 5 = – (4) + 5 = 1
4
→ h(2) = – (2)2 + 5 = – (4) + 5 = 1
Observe que: Im = { y ∈ ℝ | 1 < y  5 }
1
Para concluir: Você deve ter percebido que a representação gráfica
de uma função depende essencialmente de dois fatores: o tipo da função
em questão e o seu respectivo domínio.
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–2
–1
0
1
2
x
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Reconhecendo Gráficos de Funções
Os gráficos de funções têm características especiais. Quando temos gráficos que não possuem estas características, dizemos
que esses foram gerados apenas por relações matemáticas, e não por funções. Observe os exemplos:
y
y
2
y
2
x + y – 2x – 8 = 0
0
0
x
●
x
0
y=–x–1
x
3
y = 0,05x
É função
Não é função
É função
y
y
y
x+3=0
0
0
x
●
0
x
x
2
2
y – x – 2y – 3 = 0
y = x – 2x – 3
É função
Não é função
y
Não é função
y
y
f(–2) = 2
2
2
0
x
–2
0
x
x
y = (1,5)
–5
É função
Não é função
–2
0
x
–5
É função
Lembre-se que em uma função, cada valor de “x” do domínio possui um, e somente um valor correspondente “y”. Isto
pode ser muito bem observado mesmo quando se tem apenas a representação gráfica da função.
Uma dica para ajudar a verificar se um gráfico é de uma função ou não: trace linhas verticais pelo gráfico. Se existir pelo
menos uma possibilidade desta linha vertical “cortar” o gráfico em mais de um ponto dele, então o referido gráfico não é de
uma função, pois isto indicará que um valor do domínio tem mais de uma imagem.
Reflita: Aprender sem pensar é tempo perdido. [Confúcio]
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Analisando Graficamente o Domínio e Imagem de Funções
Graficamente, consideramos:
Domínio → projeção ortogonal do gráfico sobre o eixo das abscissas [x].
Imagem → projeção ortogonal do gráfico sobre o eixo das ordenadas [y].
Vejamos alguns exemplos:
f(– 4) = 6
y
Assíntota
vertical
(eixo “y”)
y
f(–1) = 0
y
6
2
–4
5
0
–4
●
–1
x
0
2
x
7
x
–3
–3
–2
Assíntota
horizontal
D={x∈ℝ|–4≤x<5}
D={x∈ℝ|x<0}
D={x∈ℝ|x<7}
Im = { y ∈ ℝ | –3 ≤ y < 2 }
Im = { y ∈ ℝ | y > –2 }
Im = { y ∈ ℝ | y = –3 ou 2 < y ≤ 6 }
y
Assíntota
horizontal
(eixo “x”)
3
y
y
3
f(0) = 2
f(1) = 1
2
1
2
0
–1
x
–3
–1
1
3
x
1
●
● –1
D=ℝ
D = { –3, –1, 1, 3 }
D=ℝ
Im = { y ∈ ℝ | y < –1 ou 0 < y < 3 }
Im = { 0, 1, 2, 3 }
Im = ℝ
x
Um Breve Estudo sobre o Domínio de Funções
Existirão muitas situações em nosso estudo que precisaremos conhecer o domínio de uma função. Veja algumas delas:
[1] O Domínio pode aparecer indicado explicitamente no problema [veja os exemplos 2 e 3 da página 15 e da página 18].
[2] O Domínio pode ser determinado através do gráfico da função, caso você o tenha [como nos exemplos acima].
[3]O Domínio pode estar associado a um problema técnico/científico [Domínio Aplicado], como já vimos em alguns
exemplos anteriores [página 12 e 13]. Veja o exemplo a seguir:
Exemplo: Uma empresa que fabrica aparelhos de som tem um custo fixo de R$ 6.600,00 por semana e um custo por
aparelho de R$ 70,00. Essa empresa tem capacidade máxima de produção semanal de 400 aparelhos. Assim, o custo
semanal para produzir “x” unidades é dado por: C(x) = 6600 + 70x.
O domínio da função C(x) neste caso [aplicado] é: D = { x
 ℤ | 0  x  400 }
[4]O Domínio pode ser determinado também através da própria lei de associação da função [fórmula matemática]. De certa
forma podemos dizer que nesta situação o domínio é estritamente matemático e está implícito na função.
Veja os exemplos a seguir:
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Exemplo 1: O Domínio da função
y  6600 70x é D = ℝ
Exemplo 2: O Domínio da função
y
1
é D = ℝ*
x
Exemplo 3: O Domínio da função
f ( x )  4 x é D = ℝ+
Exemplo 4: O Domínio da função
g ( x)  5 x  5 é D = { x  ℝ | x  1 }
Pois devemos ter:
5x  5  0
5x  5
x
Exemplo 5: O Domínio da função
Exemplo 6: O Domínio da função
Pois devemos ter:
5
5
x 1

h( x ) 
T ( x) 
x 8
3
é D=ℝ
12
x3
é D={x
4x  6
 ℝ | x  –3/2 }
4x  6  0
4 x  6
x
Exemplo 7: O Domínio da função
Pois devemos ter:
6
4
7x
F ( x) 
2  9x
3
2
é D={x
 ℝ | x < 2/9 }
2  9x  0
 9 x  2
.(1)
9x  2
Exemplo 8: O Domínio da função
Pois devemos ter:
x

y

14
5
x
2
9
é D={x
ℝ| x0}
6x
6x  0
x
0
6
Exemplo 9: O Domínio da função

x0
y  x 2  16 é D = { x  ℝ | x  – 4 ou x  4 }
[Faça uma análise!]
Para refletir: É uma pena que mesmo a mentira tendo perna curta, a verdade muitas vezes só consiga rastejar. [Mr. Pi]
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Crescimento e Decrescimento de uma Função
Podemos classificar uma função, ou um intervalo de uma função, em: crescente, decrescente ou constante. Tal classificação
consiste em analisar a variação dos valores de “y” [ou f(x)] quando aumentamos os valores de “x”.
Assim:
Uma função, ou um intervalo de uma função é:
 CRESCENTE, quando os valores de “y” aumentam [crescem] no momento em que aumentamos os valores de x.
 DECRESCENTE, quando os valores de “y” diminuem [decrescem] no momento em que aumentamos os valores de x.
 CONSTANTE, quando os valores de “y” não variam [são constantes] no momento em que aumentamos os valores de x.
[Exemplo] Vamos considerar que uma Litorina [Automotriz] fará uma
pequena viagem partindo de uma estação A até uma estação B. Veja
abaixo, a representação gráfica da velocidade pelo tempo de viagem.
v (km/h)
55
A
B
10
0
50
t (min)
65
Velocidade Constante

Velocidade Crescente
No esquema ao lado, podemos trocar a palavra
velocidade por função, e assim identificamos as
três partes da função que compõem o gráfico:
Para:
0  t  10  a função é crescente
Para: 10  t  50  a função é constante
Para: 50  t  65  a função é decrescente

Velocidade Decrescente
Apenas para complementar, no caso acima temos: D = { t
 ℝ | 0  t  65 } e Im = { v  ℝ | 0  v  55 }.
Observe:
Na Figura [A] podemos comparar o crescimento/decrescimento de uma função com o movimento de um carrinho em uma
“montanha russa”. Quando o carrinho sobe, a função é crescente e quando ele desce, a função é decrescente. Lembrese que, para isso, você analisará o deslocamento do carrinho [sempre] da esquerda para a direita [].
Crescente
Decrescente
y
y
f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2)
0
Figura [A]
x1
x2
x
0
x1
x2
x
Figura [B]
Na Figura [B] apresentam-se duas funções: uma crescente e outra decrescente, cada qual, para todo o seu respectivo
domínio real.
Note que na função CRESCENTE, aumentando os valores no eixo “x”, de x1 para x2 , temos o crescimento (aumento) dos
valores correspondentes no eixo “y” , de f(x1) para f(x2).
E na função DECRESCENTE, aumentando os valores no eixo “x”, de x1 para x2 , temos o decrescimento (diminuição) dos
valores correspondentes no eixo “y” , de f(x1) para f(x2).
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EXERCÍCIOS – Funções
1) Uma barraca de praia, em Fortaleza, vende copos de sucos ao preço de R$ 0,80 cada. Para não ter que fazer contas a
toda hora, o proprietário da barraca montou a seguinte tabela:
Número de copos
Preço (R$)
1
0,80
2
1,60
3
2,40
4
3,20
5
4,00
6
4,80
7
5,60
8
6,40
9
7,20
10
8,00
Nesse exemplo estão sendo medidas duas grandezas: o número de copos de suco e o respectivo preço. A cada quantidade
de copos corresponde um único preço. Dizemos, por isso, que o preço é função do número de copos de suco. Qual é a
fórmula que estabelece a relação entre o preço (y) e o número de copos de suco (x)?
2) A tabela a seguir indica o deslocamento de um móvel num dado intervalo de tempo.
Intervalo de tempo (s)
Deslocamento (cm)
0
0
1
3
2
6
3
9
4
12
5
15
6
18
7
21
8
24
9
27
10
30
Observando a tabela dada, responda:
a)
b)
c)
d)
Qual é o deslocamento do móvel num intervalo de 4 segundos?
Qual é o intervalo de tempo correspondente a um deslocamento de 21 cm?
O deslocamento é uma função do intervalo de tempo?
Qual é o deslocamento “d” num intervalo de tempo “t”?
3) Um professor propõe a sua turma de quarenta alunos um exercício como desafio, comprometendo-se a dividir um prêmio
de R$ 120,00 entre os acertadores. Seja “x” o número de acertadores [x = 1, 2,..., 40] e “y” a quantia recebida por
acertador (em reais). Assim, responda:
a)
b)
c)
d)
e)
y é função de x? Por quê?
Quais os valores de y para x = 2, x = 8, x = 20 e x = 25?
Qual é o valor máximo que y assume?
Qual é a lei de correspondência entre x e y?
Qual seria o menor número de acertadores para que a premiação individual não fosse exata?
4) Suponha que o custo total [em reais] para se fabricar “ q ” unidades de um certo produto seja determinado pela função:
3
2
C (q)  q  30q  400q  500 . Sendo assim, calcule o custo de fabricação de 20 unidades.
5) Supondo que, às “t” horas de um determinado dia, a temperatura (em graus Celsius) num certo lugarejo fosse dada pela
lei: C (t )  
1 2
t  4t  10 . Pergunta-se:
6
a) Qual era a temperatura às 14 horas?
b) De quanto a temperatura aumentou ou diminuiu, entre 18 e 21 horas?
6) Estima-se que o número necessário de homens-hora, f (x ) , para distribuir catálogos de telefone entre “ x ” por cento de
moradores numa certa comunidade seja dado pela função: f ( x ) 
600 x
. Pergunta-se:
300  x
a) Qual é o domínio (estritamente matemático) da função f ?
b) Para que valores de x , no contexto do problema, f (x ) tem significado real ou prático? [chamamos de Domínio Aplicado]
c) Quantos homens-hora são necessários para distribuir catálogos entre os primeiros 50% dos moradores?
d) Quantos homens-hora são necessários para distribuir catálogos na comunidade inteira?
e) Qual a porcentagem de moradores da comunidade que recebeu catálogos, quando o número necessário de homens-hora
foi de 150?
7) Seja f a função de ℤ em ℤ definida por f ( x)  2 x  3 . Calcule:
a) f (0)
c) f (2)
b) “ y ” quando x  1
d) Explique por que não é correto calcular f (1 / 2) nesta questão.
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8) Seja f : ℝ  ℝ definida por f(x) = x2 – 5x + 4. Calcule:
a) f(1)
b) f(2)
c) f(–3)
d) “x”, de modo que f(x) = 4
e) o valor do domínio que tem y = –2
2
9) Seja f : ℝ  ℝ definida por f ( x)  x  3x  4 . Calcule:
a) f (1 / 2)
b) f ( 3 )
c) f ( 1 
2)
d) f ( 2 p )
x
10) Considerando f : ℝ  ℝ definida por f ( x)  2.3 , calcule:
a) f(0)
b) f(2)
c) f(–2)
d) o valor de ”x” que tem imagem igual a dois.
11) Seja “ f ” a função de ℝ – { 1 } em ℝ definida por f ( x ) 
2
. Calcule:
x 1
a) f (3)  f (5)
b) o valor de “ x ”, tal que f ( x)  3 .
12) Seja f a função de ℝ → ℝ definida por f ( x ) 
3x  4
2
. Qual é o elemento do domínio que tem
como imagem?
3
7
2
13) Quais são os valores do domínio da função real definida por f ( x)  x  5 x  9 que produzem imagem igual a 3?
14) Em uma experiência realizada com camundongos, foi observado que o tempo requerido
para um camundongo percorrer um labirinto, na n-ésima tentativa, era dado pela função que
está escrita no quadro ao lado:
a)
b)
c)
d)


f ( n)   3 
12 
 min .
n
Qual é o tempo necessário para o camundongo percorrer o labirinto na terceira tentativa?
E na quinta tentativa?
Em qual tentativa o camundongo leva 3 minutos e 30 segundos para percorrer o labirinto?
Qual o domínio do problema em questão?
15) O proprietário de uma escola de natação acredita que, em “t” anos, o número de alunos seja dado por n(t) = 5t + 40.
a) Qual é o número atual de alunos?
b) Qual será o número de alunos daqui a 3 anos?
c) Um funcionário estimou que o número de alunos dobrará em relação ao número atual somente em uma década. De
acordo com a lei, esse palpite é correto?
16) Seja f : ℝ  ℝ definida por f(x) = x2 – 5x + 6. Calcule, se possível, os valores reais de “x” para que tenha f(x) = – 6.
17) Determine o conjunto imagem da função f : { 2 , 0 ,
2 }  ℝ definida por f ( x)  x 2  3 .
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18) Seja a função f : D  ℝ definida por f ( x ) 
2
. Sabendo que D = { 2 , 3 , 5 }, escreva o Conjunto Imagem.
x3
19) Seja a função f : D  ℝ definida por f ( x ) 
2
 3 7 9 
. Sabendo que Im = 
,
,
 , determine o seu Domínio.
x3
 2 2 2
20) Considere a função f ( x )  
1
com domínio D = { –1 , 0 , 2 }. Assim, determine o Conjunto Imagem de f (x ) .
x3
21) Considere a função g ( x )  
1
com domínio D = [ –1 , 2 ]. Assim, determine o Conjunto Imagem de g (x ) .
x3
22) Determine o Conjunto Imagem da função h( x ) 
23) São dadas as funções f ( x)  3x  1 e g ( x ) 
14
x 2
2
sabendo que D = ℝ+ é o seu domínio.
4
2
x  a . Sabendo que f (1)  g (1)  , calcule o valor de “ a ”.
5
3
24) Dada a função f : ℝ  ℝ definida por f(x) = x2 – x – 12, determine “a” para que se tenha f(a+1) = 0.
25) Dadas as funções f ( x )  3 x 
1
2x
1
 1 , determine o valor de: f    g ( 2) .
e g ( x) 
2
5
3
26) Considerando as funções f(x) = 3x + 2m e h(x) = –2x + 1, determine o valor de “m” sabendo que: f(0) – h(1) = 3.
27) Determine o Domínio [D] e o Conjunto Imagem [Im] das funções representadas pelos gráficos abaixo:
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g)
h)
i)
j)
k)
l)
28) Determine o Domínio [D] das funções dadas a seguir:
a) f ( x)  14 x  3
i)
h( x ) 
b) g ( x ) 
1
2x
j)
c) h( x ) 
6
x2
k)
F ( x) 
l)
y
d) T ( x) 
e) y 
f)
3x  12
7x
2x  5
y  14  70x
2 x  10
5
T ( x) 
14
7x  1
6 x  20
1 x
 18  6 x

3
9x
5x  5 
m) w( x ) 
n) T ( x ) 
g)
f ( x)  8 5 x
o) f ( x) 
h)
g ( x)  25x  5
p) F ( x ) 
7x
8  2x
4x  8
5
2x  6
3x 2  10
3
x 1
9  x2


Para refletir: Exige muito de ti e espera pouco dos outros. Assim, evitarás muitos aborrecimentos. [Confúcio]
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29) Para cada caso, indique o(s) intervalo(s) para o(s) qual(is), as funções abaixo são: crescente, decrescente ou constante.
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS
1) y = 0,80x
2a) 12 cm
2b) 7 s
2c) Sim
2d) d = 3t ou d(t) = 3t
3a) Sim; pois para cada quant. de acertadores x, temos um único valor de y (quantia a receber)
3c) R$ 120,00
6a) D = { x
7a) f(0) = 3
3d) y = 120/x
 ℝ | x  300 }
3e) 7
7b) y = 5
8a) f(1) = 0
6b) D = { x
8c) f(–3) = 28
8d) {0 , 5}
9d) 4p2 – 6p + 4
9b) 7 – 3 3
11a) 3/2
11b) 1/3
12) 26/9
15a) 40
15b) 55
15c) Não, pois o número atual de alunos dobrará em 8 anos.


13) {2 , 3}

18) Im = 
17) Im = { 3 , 5 , 7 }

1
2
 y
1
5


2
5
,
2
6
,
6c) 120
6d) 300
6e) 60%
8e) {2 , 3}
9a) 11/4
21) Im =  y  R | 
9c) 4 + 2
 ℝ | 0 ≤ x ≤ 100 }
5b) Diminuiu 7,5 ºC
7d) Não, pois a função é definida de ℤ em ℤ, e o valor x = ½  ℤ
7c) f(–2) = –1
8b) f(2) = –2
5a)  33,3ºC
4) C(20) = 4500 reais
ou D = ℝ – { 300 }
3b) 60, 15, 6 e 4,80 reais
10a) f(0) = 2
14a) 7 min
2
8


10b) f(2) = 18
14b) 5,4 min


19) D = 
22) Im = { y  R | 0  y  7 }
Página 27 de 29
7
3
,
14c) 24ª tent.
19
7
10c) f(–2) = 2/9
14d) D = { n
16) Como  = – 23; ∄ x
,
23) 38/15
25 
9




20) Im = 
24) { 3 , – 4 }
10d) 0
ℤ|n>0}
 ℝ | f(x) = – 6.
1
2
,
25) 3/10
1
3
,
1
5


26) m = 1
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 ℝ | –2  x < 3 }
Im = { y  ℝ | –2  y < 2 }
27b) D = { x
 ℝ | –2 < x < 4 }
Im = { y  ℝ | –2 < y < 3 }
ℝ| 0x5}
Im = { y  ℝ | 0  y  2 }
27d) D = { x
 ℝ | –3  x  4 e x  1 }
Im = { y  ℝ | –2 < y  3 }
27f) D = { x
27a) D = { x
 ℝ | –3 < x < 3 }
Im = { y  ℝ | –1  y  3 }
27c) D = { x
 ℝ | –3 < x < 3 e x  1 }
Im = { y  ℝ | –1 < y < 3 }
27e) D = { x
27g) D = ℝ e Im = { y
ℝ|y
27h) D = ℝ e Im = { y
 –2 }
27i) D = Im = ℝ
27k) D = { x
ℝ|
x  – 4 } e Im = { y
28a) D = ℝ
28d) D = { x
28b) D = ℝ* = { x
ℝ|
x  –4}
28g) D = ℝ+
28j) D = { x
 ℝ | x  10/3 }
28m) D = { x  ℝ | 1  x < 4 }
28p) D = { x
ℝ | – 2 < y  5 }
 ℝ | y =  10 }
27j) D = { x
ℝ|
27l) D = { x
ℝ|x>–4}
x  –1 } e Im = ℝ*
ℝ|x0}
e Im = { y
28c) D = { x
 ℝ | x > 5/2 }
28f) D = ℝ
28h) D = { x
ℝ|x
28i) D = ℝ
28k) D = { x
 ℝ | x < –3 }
28l) D = ℝ* = { x
28n) D = { x
ℝ|x
28o) D = ℝ
 –2 e x  3 }
 –2 }
ℝ|x2}
28e) D = { x
 1/5 }
ℝ|y
ℝ|x0}
 ℝ | –3 < x < 3 }
29a) Crescente para { x
ℝ|
–2  x < 3 }
29b) Crescente para { x
Constante para { x
 ℝ | 0  x  2 ou 4  x  5 }
{ x ℝ | 2 < x < 4 }
29c) Crescente para { x
Decrescente para
29e) Crescente para { x
ℝ|
–2 < x < –1 ou 2 < x < 4 }
–1  x  2 }
 ℝ | –2  x  1 }
{ x  ℝ | –3 < x < –2
29d) Crescente para { x
Decrescente para
–3  x  –1 ou 1 < x  4 }
Decrescente para { x  ℝ | –1 < x < 1 }
ℝ|
ℝ |
29f) Crescente para { x
ℝ|
ou 1 < x < 3 }
1<x<3}
Decrescente para { x  ℝ | –3 < x < 1 }
Para refletir: A receita para a ignorância perpétua é permanecer satisfeito com suas opiniões e contente com seus conhecimentos.
[Elbert Hubbard]
Espaço para Anotações:
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IFSC / Cálculo I
Prof. Júlio César TOMIO
SIMBOLOGIA MATEMÁTICA

pertence

implica / então

não pertence

equivalente / se e somente se

está contido
=
igual

não está contido

diferente

contém

e
⊅
não contem

ou
/
tal que

infinito

conjunto vazio  { }

portanto

qualquer que seja / para todo

somatório

existe

perpendicular
∄
não existe
//
paralelo
I
existe um único

união



intersecção

igual ou aproximadamente
>
maior

semelhante

maior ou igual
ℕ
conjunto dos números naturais
≫
muito maior
ℤ
conjunto dos números inteiros
<
menor
ℚ
conjunto dos números racionais

menor ou igual
ℝ-ℚ conjunto dos números irracionais
≪
muito menor
ℝ
conjunto dos números reais
#
cardinalidade
ℂ
conjunto dos números complexos
!
fatorial
C BA
complementar de A em relação a B
idêntico
semelhante / congruente
Relembrando...
PRODUTOS NOTÁVEIS:
EQUAÇÃO DO 2º GRAU (QUADRÁTICA):
(a  b)2  (a  b)2  a2  2ab  b2
ax2  bx  c  0
(a  b)2  (a  b)2  a2  2ab  b2
Resolução:
(a  b).(a  b)  (a  b).(a  b)  a2  b2
Soma e produto das raízes:
x
com
a  ℝ*
b 
e
sendo que:
2a
x  x  
b
a
b, c  ℝ
  b 2  4ac
x . x 
e
POTENCIAÇÃO E SUAS PROPRIEDADES:
a0  1
a .a a
m
n
a 1 
1n  1
m n
am
a
n
a
mn
1
a
n
1
1
a n     n
a
a
a
m
n
 n am
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n
a
a
   n
b
b
n
a 
m n
a . bn  a n . b n
 a m.n
c
a