Eletrônica Digital
1 - Sistemas de numeração
Lidamos constantemente com quantidades.
Quantidades são medidas monitoradas,
gravadas, manipuladas aritmeticamente e
observadas.
Quando lidamos com quantidades, é de suma
importância saber representar seus valores
de maneira eficiente e precisa.
Existem duas formas básicas de
representação de valores numéricos das
quantidades: a analógica e a digital.
Analogicamente, uma quantidade é
representada por outra que é proporcional à
primeira.
Exemplos: No velocímetro de um automóvel,
a deflexão do ponteiro é
proporcional à velocidade do
veículo. A posição angular do
ponteiro representa o valor da
velocidade do veículo, e qualquer
variação é imediatamente
refletida por uma nova posição
do ponteiro.
No termômetro, a altura da faixa
de mercúrio é proporcional à
temperatura do ambiente.
Quando ocorrem mudanças na
temperatura, a altura da coluna
de mercúrio também muda
proporcionalmente.
No microfone, a tensão de saída
é proporcional à amplitude das
ondas sonoras que o atingem. As
variações da tensão de saída
seguem as mesmas variações do
som na entrada.
Os exemplos acima mostram quantidades
analógicas e têm uma característica comum
importante: Eles variam continuamente
dentro de uma faixa de valores.
A velocidade do automóvel pode
assumir qualquer valor entre 0 e
100 Km por hora (p. ex.).
O termômetro pode assumir
qualquer valor entre 0oC e 50 oC
(p. ex.).
CBSF X – MMII – r II - MMIII
Notas de aula
No microfone, sua saída pode
assumir qualquer valor dentro de
uma faixa de 0 à 10mV.
Na representação digital, as quantidades são
representadas por símbolos chamados de
dígito, e não por valores proporcionais.
Como por exemplo, tomamos um relógio
digital que apresenta horas, minutos e às
vezes, segundos nas forma de dígitos
decimais.
Como
sabemos,
o
tempo
varia
continuamente, mas o relógio não mostra a
variação de forma contínua e sim em saltos
de um em um segundo ou de um em um
minuto. Em outras palavras, a representação
digital do tempo varia em passos discretos.
A principal diferença entre a quantidade
analógica e uma digital é que a analógica
varia continuamente e a digital varia
discretamente (passo a passo).
Existem várias formas de representar
quantidades. O sistema decimal que
conhecemos utiliza dez algarismos
(que
são os algarismos de 0 a 9) para representar
qualquer quantidade.
O número 100 (cem) é descrito da seguinte
forma:
centenas dezenas
1
0
unidade
0
Ou seja: 1 centena, 0 dezenas e 0 unidade.
Pode-se perceber que a quantidade que cada
algarismo representa depende da posição
que ele ocupa em relação ao conjunto de
algarismos. É por este motivo que os
sistemas numéricos são posicionais.
A base do sistema numérico descreve a
quantidade de algarismo que compõe o
sistema. A base do sistema numérico
decimal é 10 (base 10).
Sendo então um sistema posicional de base
10, podemos reescrever o número 100 da
seguinte forma:
centenas dezenas
100
0
102
101
1
0
1x102
0 x 101
unidade
0
100
0
0 x 100
Outros sistemas importantes são o binário e
o hexadecimal.
1
Eletrônica Digital
O sistema binário é constituído por dois
algarismos, 0 e 1. Portanto a base do
sistema binário é 2. Como o sistema é
constituído apenas pelos algarismos 0 e 1,
como diferenciar o número decimal 100 do
número binário 100.
Isto é feito subscrevendo o número da base
à direita do número, ou seja.
100 em decimal deve ser escrito 10010.
100 em binário deve ser escrito 1002.
O sistema hexadecimal é constituído por
16
algarismos
(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F).
O uso das letras de A até F é justificado pelo
fato de que em um sistema de numeração
posicional, cada algarismo deve ocupar
apenas uma única casa. Cada uma das letras
equivale a uma quantidade decimal A = 1010,
B = 1110, C = 1210, D = 1310, E = 1410 e F =
1510, A base do sistema hexadecimal é 16
e para ter certeza que um número está
escrito
em
hexadecimal,
deve
ser
acrescentado a direita do número, o
algarismo 16 subescrito.
100 em hexadecimal deve ser escrito 10016.
Sabemos como utilizar o sistema decimal,
pois o utilizamos diariamente, más qual a
utilidade dos outros dois sistemas?
O sistema binário será utilizado sempre
quando
quisermos
representar
uma
quantidade decimal em uma que os circuitos
eletrônicos
possam
entender.
Um
velocímetro
digital,
deve
mostrar
a
velocidade instantânea em um conjunto de
displays. Para isso, um sistema deve
transformar a rotação da roda em uma
grandeza elétrica (tensão por exemplo)
sendo esta aplicada a um circuito chamado
conversor
analógico-digital
(AD)
que
transformará o valor de tensão em um
número binário. Este número binário será
então aplicado a entrada do circuito que
controla o conjunto de displays, mostrando o
número correspondente.
Geralmente, os sistemas eletrônicos utilizam
os
números
binários
para
transferir
informações de um lado para outro.
Já
um
número
hexadecimal
é
preferencialmente utilizado em ambientes de
programação,
pois
são
capazes
de
representar grandes quantidades decimais
com poucos algarismos.
Por exemplo:
CBSF X – MMII – r II - MMIII
Notas de aula
O número 102410 = 100000000002 ou 40016.
2 – Conversão entre os sistemas de
numeração.
Como estamos bem acostumados com o
sistema
decimal,
e
pouco
ou
nada
conhecemos dos outros sistemas, é comum
convertermos números entre os sistemas
para termos noção das quantidades ou
certeza de algum resultado.
Para converter um número decimal em outro
de qualquer base, basta dividi-lo diversas
vezes pela base do número em que
queremos convertê-lo. Este processo chamase divisões sucessivas.
Exemplo:
10010 , x2 :
100
0
2
50
0
2
25
1
2
12
0
2
6
0
2
3
1
2
1
O resultado é obtido juntando-se todos os
algarismos 0 ou 1 sempre a partir do último
quociente até o primeiro resto, ou seja da
direita para a esquerda. Portanto:
10010 = 11001002
Para converter o número 10010 em seu
equivalente hexadecimal, deve ser feito o
mesmo processo acima descrito, só que
dividindo o número 100 do exemplo por 16.
10010 , x16:
100
4
16
6
O resultado é obtido juntando-se todos os
algarismos menores do que 15, sempre a
partir do último quociente até o primeiro
resto, ou seja da direita para a esquerda.
Portanto:
10010 = 6416
Já para convertermos um número de base
qualquer em outro decimal (base 10),
devemos utilizar a base do sistema elevado a
posição que o algarismo ocupa (potência da
posição).
2
Eletrônica Digital
Notas de aula
Exemplo: 10001012 , x10
6
2
5
4
2
3
2
2
1
0
2
2
2
2
64 32 16
8
4
2
1
1
0
0
0
1
0
1
64
0
0
0
4
0
1
Base 2 elevada a
posição
Resultado da
potenciação
Número binário
que se quer
converter
Resultado da
multiplicação das
duas linhas acima
Agora basta somar os resultados de cada
coluna, assim.
Exemplo: 1A316 , x2
1
A
3
0001 1010 0011
Desprezando os “zeros à esquerda” , o
resultado é:
1101000112
Exemplo: 10001012 , x16
100
4
64 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 6910
Exemplo: 1A3
162 161
256 16
1
A
160
1
3
256 160
3
16
, x10
Base 16 elevada a posição
Devemos lembrar que A16 é equivalente a
quantidade 1010.
Agora, basta somar os resultados de cada
coluna.
256 + 160 + 3 = 41910
Também é possível converter números
binários em hexadecimais ou hexadecimais
em binário. Para isso, basta lembrar que
qualquer algarismo hexadecimal, pode ser
escrito com quatro algarismos binários.
Podemos ver isto na tabela abaixo.
Algarismo Binário
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
O equivalente binário é:
Resultado da potenciação
Número hexadecimal que se quer
converter
Resultado da multiplicação das
duas linhas acima
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
CBSF X – MMII – r II - MMIII
Algarismo Hexadecimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0101
5
4516
Exercícios:
a) Quais são os sistemas numéricos que
conhece?
b) Por que os sistemas numéricos são
posicionais?
c) O conjunto de algarismos 111 pode ser
escrito tanto em decimal como binário ou em
hexadecimal. Como podemos diferenciar este
conjunto de algarismos em cada sistema sem
confundi-lo.
d) Onde o sistema binário tem melhor
aplicação?
e) Onde o sistema hexadecimal tem melhor
aplicação?
f) Converta:
1 – 200210 , x2
2 – 111101102 , x10
3 – F216 , x2
4 – 72710 , x16
5 – 1000100010112 , x16
6 – 12316 , x10
3
Eletrônica Digital
Notas de aula
3 – Terminologias
Função E (AND).
No sistema numérico binário, o termo dígito
binário é a abreviação para bit (binary
digit).
No número binário abaixo, o bit mais à
esquerda, é denominado de bit mais
significativo. Normalmente representamos
este bit através da sigla MSB (Most
Significant Bit). Já o bit mais à direita, é
denominado de bit menos significativo e
normalmente é representado pela sigla LSB
(Last Significant Bit).
a) tabela verdade, b) símbolo lógico c)
expressão lógica.
Função OU (OR)
MSB 1
0
12 LSB
Um conjunto de oito bits é denominado de
Byte.
Normalmente denominamos de palavra
(Word) a um conjunto de bits. No entanto,
não existe padronização do tamanho de bits
que compõem uma Word, podendo ser
formada de 8, 16, 32, 64 bits, etc.
4 – Funções Lógicas
Existem seis funções lógicas básicas que são
E (AND) , OU (OR) , INVERSORA (NOT) , NE
(NAND), NOU (NOR) , OU EXCLUSIVO (XOR)
além da NOU EXCLUSIVO (XNOR) que tem
aplicações restritas e não será abordada
neste estudo. Com estas funções é possível
realizar operações lógicas, tanto em circuitos
eletrônicos como em aplicativos e programas
(a calculadora do Windows tem a função And
e a Xor; o Excel utiliza as funções And, Not e
Or em tratamentos lógicos).
Em eletrônica digital, as funções lógicas são
as interfaces entre a concepção teórica de
uma situação e a sua transformação física,
ou seja: Uma certa situação pode ser
descrita
teoricamente
ou
literalmente
utilizando funções lógicas e implementada
fisicamente através de Circuitos integrados
(CIs).
Cada função lógica é representada por um
símbolo, uma tabela (chamada de tabela da
verdade) e um símbolo. Então vejamos:
CBSF X – MMII – r II - MMIII
a) tabela verdade, b) símbolo lógico c)
expressão lógica.
Função Inversora (NOT)
a) tabela verdade, b) símbolo lógico c)
expressão lógica.
Função NE (NAND)
a) tabela verdade, b) símbolo lógico c)
expressão lógica
4
Eletrônica Digital
Notas de aula
Já a(s) variável (is) de saída, também
assume
apenas
estados
0
ou
1,
determinados em função da combinação das
entradas.
Função NOU (NOR)
a) tabela verdade, b) símbolo lógico c)
expressão lógica
Vejamos um exemplo:
Uma tabela verdade com duas variáveis de
entrada, chamadas aleatoriamente de A e B
(podem ser chamadas de qualquer nome ou
referência) e uma de saída, chamada
aleatoriamente de S deve ter 4 linhas de
combinação, pois:
Nº de linhas = 2 nº de variáveis de entrada
Função OU EXCLUSIVO (XOR)
Variáveis de
entrada
A
a) tabela verdade, b) símbolo lógico c)
expressão lógica
5 – Circuitos Lógicos
Circuitos lógicos são
funções lógicas que
determinada solução.
agrupamentos de
juntas, executam
Todo circuito lógico é composto por uma
expressão
lógica,
o
esquema
lógico
(agrupamento de portas lógicas, CIs) e a sua
tabela verdade. Vejamos cada uma destas
partes.
5.a – Tabela Verdade
A tabela verdade é composta basicamente
por variáveis de entrada (geralmente mais
do que duas) que controlam ou determinarão
uma ou mais variáveis de saída ,que são
controladas e deve representar todas as
combinações possíveis entre as variáveis de
entrada.
Cada variável de entrada pode assumir
apenas dois estados (chamados de estados
lógicos) 1 ou 0. A combinação dos estados
das variáveis de entrada normalmente é fixa
e baseia-se na escrita em binário da
seqüência numérica crescente equivalente
aos números decimais.
CBSF X – MMII – r II - MMIII
B
Variável
de saída
S
Como já descrito acima, a combinação
destas variáveis de entrada deve obedecer à
seqüência binária, ou seja:
Variáveis de entrada
A
B
0
0
1
1
0
1
0
1
Variável
de saída
S
O estado da saída S para cada uma das
linhas da tabela depende de como se espera
que o circuito funcione. Apenas como
exemplo, vamos assumir os seguintes
estados na saída.
A
B
S
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
Exercícios:
a) Quantas
verdade com
b) Quantas
verdade com
linhas deve
3 variáveis de
linhas deve
8 variáveis de
ter uma tabela
entrada?
ter uma tabela
entrada?
5
Eletrônica Digital
Notas de aula
c) Elabore uma tabela verdade com 3
variáveis de entrada e uma saída. Preencha
a seqüência de combinações dos estados das
3 entradas.
d) Elabore uma tabela verdade com 5
variáveis de entrada e uma de saída.
Preencha a seqüência de combinações dos
estados das 5 entradas.
5.b – Expressão Lógica.
Qual a expressão lógica da tabela anterior?
Como obtê-la? A forma de obter a expressão
lógica de qualquer tabela será sempre a
mesma, variando-se apenas o nome das
variáveis, o tamanho e o número de
expressões e a lógica empregada.
De uma tabela verdade é possível obter duas
expressões. A mais comum, chamada soma
de produtos, é obtida a partir dos estados
da(s) saída(s) igual(ais) a 1. A outra
maneira, quando a saída é igual a zero é
chamada de produto das somas.
Vamos abordar apenas a tipo soma de
produtos.
A expressão obtida de uma tabela verdade
irá mostrar como o circuito lógico será
montado. Obtida a partir de estados de saída
igual a 1, o circuito será composto apenas
por portas lógicas E, OU e INVERSORA.
Para cada linha com saída igual a 1, deve ser
escrita uma expressão, utilizando a função
lógica E como ligação entre todas as
variáveis de entrada, sendo que cada
variável será ou não “barrada” (invertida) em
função do valor 1 ou 0 correspondente em
cada linha.
Tomando como exemplo a tabela verdade
anterior, temos:
A
B
S
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
A . B
A . B
A . B
1
2
3
4
Em 1, as variáveis A e B forma barradas pois
o estado desta linha para cada uma é 0 e
como sabemos, a função E para ter saída
igual a 1, suas entradas devem ser iguais a
1. 0 barrado é igual a 1.
Em 2, não existe nenhuma expressão para a
linha, pois a saída é igual a 0.
Em 3, a variável B está barrada pois na
tabela, na coluna da variável B para esta
linha, está atribuído estado 0. Como A é
CBSF X – MMII – r II - MMIII
igual a 1, B deve ser também 1 para que a
saída seja 1.
Em 4, tanto a variável A como a variável B,
não estão barradas, pois na tabela, tanto na
coluna de A como na coluna da variável B, o
valor atribuído é 1.
A expressão da saída S, será obtida quando
juntarmos as expressões das linhas 1, 3 e 4
através de funções OU (de acordo com a
tabela, a saída é igual a 1 na linha 1 OU na
linha 3 OU na linha 4), como mostrado
abaixo,
S
= A .
B + A . B + A . B
Como na matemática, a função E (às vezes
chamada de multiplicação) tem prioridade
sobre a função OU (às vezes chamada de
soma).
Exercícios:
a) Obtenha a expressão lógica das tabelas
abaixo:
a1
a2
A
B
S
C
D
S
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
E
F
G
S
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
a3
b)
Desenhe
a
tabela
verdade
corresponde às expressões abaixo.
b1 =
que
X . Y + X . Y
b2 = H . I . J + H . I . J + H . I . J
6
Eletrônica Digital
Notas de aula
5.c – Circuito Lógico
Embora em muitos casos, este não seja o
momento ideal para isso, pois é preferível
aplicar
as
técnicas
de
redução
de
expressões, pode-se a partir da expressão
obtida da tabela, desenhar o circuito lógico
equivalente à expressão.
Basta interligar as portas ao barramento
como indicado na expressão lógica.
A
B
Os símbolos das funções E, OU e INVERSORA
mostrada na página 3, serão utilizados na
construção do esquema.
Inicialmente, devemos desenhar linhas
verticais em número igual ao das variáveis
de entrada.
S
Tomando como exemplo, a tabela verdade
mostrada na página 5, têm duas variáveis de
entrada A e B.
A
B
O circuito está pronto. Más e as outras
funções? Elas somente serão utilizadas após
o processo de simplificação.
Observando a expressão obtida da mesma
tabela
(página 5), pode ser notada a
necessidade de inversão tanto da variável A
como da variável B. Isto pode ser resolvido
criando-se mais duas linhas verticais e
paralelas as já traçadas com uma porta
inversora em cada uma, como mostra a
figura a seguir.
A
Exercícios:
Desenhe os circuitos das expressões obtidas
das tabelas verdade a1,a2,a3,b1 e b2.
B
A próxima etapa é obter o número de portas
lógicas e que serão utilizadas, no exemplo,
serão utilizadas três portas lógicas E e duas
OU.
CBSF X – MMII – r II - MMIII
7
Eletrônica Digital
Notas de aula
6 – Simplificação de expressões lógicas
A expressão lógica obtida de uma tabela
verdade, (que pode ser chamada de
expressão booleana) pode ser utilizada
imediatamente na elaboração do esquema do
circuito lógico e/ou na construção do circuito
utilizando os circuitos integrados (CI´s). Más
estas expressões normalmente são grandes,
o que demandam muitos componentes para
a montagem além da complexidade que pode
ser muito grande.
Existem então formas de simplificar ou
reduzir a expressão original. Entre elas, a
Álgebra Booleana e os Mapas de Karnaugh
são as mais utilizadas.
Uma expressão simplificada, deve ser igual a
expressão original, não no tamanho,
complexidade do circuito ou quantidade de
portas, más sim na saída da tabela verdade.
Os estados da(s) saída(s) de uma tabela
verdade devem ser iguais tanto na expressão
original, como na simplificada.
6.a – Álgebra de Boole
A álgebra de Boole ou Booleana, é composta
por uma série de regras (teoremas)
originárias em estudos de matemática.
Abaixo estão os teoremas de uma variável.
1)
2)
x•0=0
x•1=x
3)
x•x=x
4)
5)
6)
7)
8)
x • x’ = 0
x+0=x
x+1=1
x+x=x
x + x’ = 1
Como podemos notar, os teoremas de 1 a 4,
são baseados na função lógica E (AND) e os
de 5 até 8, na função lógica OU (OR).
O quadro abaixo mostra os teoremas com
mais de uma variável. Os teoremas de 9 a 13
são de fácil compreensão, pois são
semelhantes à álgebra que normalmente
utilizamos. Já os teoremas 14 e 15 não
possuem
equivalentes
na
álgebra
convencional.
CBSF X – MMII – r II - MMIII
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
x+y=y+x
x•y=y•x
x + (y + z) = (x + y) + z = x + y + z
x (yz) = (xy) z = xyz
x (y + z) = xy + xz
(w + x) (y + z) = wy + xy + wz + xz
x + xy = x
x + xy = x + y
x + xy = x + y
Vamos testar a funcionalidade do teorema 9.
Para isso, montaremos a tabela verdade para
as variáveis x e y
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
A seguir, criamos mais duas colunas uma
para a variável x e outra para a variável y,
unidas pela função OU (primeira parte da
expressão 9).
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
x
+
y
Estas colunas serão preenchidas com o valor
correspondente das variáveis x e y para cada
uma das linhas da tabela. Para a variável x,
a tabela ficará assim:
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
x
0
0
1
1
+ y
Para a variable y, a tabela ficará assim:
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
x
0
0
1
1
+
y
0
1
0
1
8
Eletrônica Digital
Notas de aula
Agora, basta executar a função OU para as
variáveis x e y, anotando o resultado na
coluna final, que denominaremos de S1.
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
x
0
0
1
1
+
y
0
1
0
1
S1
0
1
1
1
Fazendo o mesmo para a outra parte da
expressão,
chegaremos
no
segundo
resultado que denominaremos de S2
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
y
0
1
0
1
+
x
0
0
1
1
S2
0
1
1
1
Observando os resultados obtidos em S1 e
S2, notamos que os dois são iguais, portanto
as expressões são iguais.
Aplicando no que está entre parênteses o
teorema [8], o resultado será igual a 1.
Então a expressão ficará da seguinte forma:
S =A • 1
Aplicando o teorema 2, o resultado final da
simplificação será:
S =A
Podemos provar a exatidão da simplificação,
observando a tabela verdade que originou a
simplificação. Note que sempre que a
variável A é 1, a saída S também é igual a 1,
independentemente do valor da variável B.
Exercícios:
a) Simplifique as expressões abaixo:
1) Y = A B’ D + A B’ D’
Este procedimento poderá ser adotado para
qualquer expressão com a finalidade de
comprovar
se
a
expressão
final
já
simplificada é igual à expressão original.
Exercícios:
2)
Z = ( A + B ) ( A + B )
3)
X = A C D + A B C D
a) Comprove os teoremas 10 até 17,
testando os estados das variáveis utilizadas.
6.b – Simplificando expressões lógicas
Vejamos a tabela verdade abaixo:
A
B
S
0
0
0
A expressão da saída será:
0
1
1
1
0
1
0
1
1
S = A • B + A • B
Para
simplificar,
devemos
inicialmente
colocar em evidência a variável mais comum
(no exemplo será a variável A ) e colocar
entre parênteses todas as outras variáveis
que são comuns à variável A . Note que foi
aplicado o teorema 13.
S =A • ( B + B )
CBSF X – MMII – r II - MMIII
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Eletrônica Digital
Notas de aula
6.c – Teoremas de DE Morgan
Os dois últimos teoremas são também
considerados os mais importantes e por isso
recebem o nome de que os desenvolveu. São
chamados de Teoremas de DeMorgan, que
foi um matemático. Os dois teoremas são:
18)
( x + y ) = x • y
19)
( x • y ) = x + y
Os dois teoremas acima são muito úteis pois
quando o produto ou uma soma aparecem
barrados.
Vamos simplificar a expressão abaixo.
S
= ( A + C ) • ( B + D )
Usando o teorema 19 temos:
S
= ( A + C ) + ( B + D )
Aplicando o teorema 18 nos dois lados da
expressão, temos:
S
= ( A • C ) + ( B • D )
Considerando que uma variável quando é
duplamente barrada, podemos retirar as
duas barras, resultando apenas na pr´pria
variável, temos:
S
= ( A • C ) + ( B • D )
CBSF X – MMII – r II - MMIII
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