Matemática e
suas Tecnologias
4
Na figura anterior, que representa o projeto de uma escada
com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do
corrimão é igual a
INTRODUÇÃO
Olá, amigos!
Já estamos no nosso 4º fascículo de “Matemática e suas
Tecnologias”. Até aqui, você já deve ter percebido como é possível
simplificarmos a maneira de resolução das questões dessa área
de conhecimento. O grande segredo para o bom desempenho já
está desvendado: leitura minuciosa e interpretação adequada
dos enunciados, gráficos, tabelas e figuras.
Isso não quer dizer que o conhecimento sobre regras,
fórmulas, teoremas deixe de ser fundamental; pelo contrário!
A questão é: de que adianta aprender tudo isso e não saber
quando e como aplicar? Estamos nos empenhando em não
só resolver questões, mas em responder esta pergunta de
maneira clara e objetiva.
Gostaríamos de ressaltar que a cada vez que vocês
receberem estes fascículos, é interessante que antes de
ler os comentários, dicas e resolução de cada questão,
vocês tentem resolvê-los e posteriormente confiram os
procedimentos e resultados.
No fascículo de hoje, resolveremos os dois desafios
do fascículo anterior, trabalharemos questões associadas a
conhecimentos numéricos, geométricos e de estatística, e
como sempre, lançaremos mais dois desafios para vocês,
cujas respostas estarão no nosso próximo fascículo.
Aproveitem bem!
A) 1,8 m.
B) 1,9 m.
C) 2,0 m.
D) 2,1 m.
E) 2,2 m.
Comentário: Sempre lembramos vocês de analisar a questão
como um todo. Neste caso, é importante que vocês percebam,
dentre outras coisas, a figura geométrica que foi formada e
que os dados da mesma foram dados em “cm”, enquanto
nas respostas as opções estão em “m”. Além disso, é muito
importante que vocês façam uma leitura bem detalhada da
ilustração e descubram, por exemplo, que o corrimão não é
formado apenas pela parte inclinada, mas também por duas
partes horizontais de 30 cm cada.
Dica: Para resolver essa questão, vocês precisarão utilizar
conhecimentos geométricos sobre as relações métricas de
um triângulo retângulo e sobre transformação de unidades
de medidas.
Percebam que na ilustração, a figura formada foi a de
um triângulo retângulo. Os elementos de um triângulo
retângulo são a “hipotenusa” (lado oposto ao ângulo reto)
e os “catetos” (lados que formam o ângulo reto) e se
relacionam de tal maneira que fizeram surgir o Teorema
de Pitágoras:
(hip)2 = (cat)2 + (cat)2
RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES-DESAFIO
DO FASCÍCULO ANTERIOR
01) (ENEM 2006 – QUESTÃO 62)
hipotenusa
cateto
O autor.
ângulo reto
30 cm
90 cm
cateto
corrimão
30 cm
24 cm
No tocante às unidades de medidas, é sempre bom lembrar
que 100 cm correspondem a 1 m.
24 cm
90 cm
24 cm
24 cm
24 cm
2
Resolução: Analisando a figura, verificamos um triângulo
retângulo cuja medida de parte do corrimão, corresponde a
uma hipotenusa e que os cinco degraus juntos formam um
dos catetos. Dessa forma, a figura ficaria assim:
4
Matemática
suas Tecnologias
Matemática
e suas e
Tecnologias
x
90 cm
90 cm
30 cm
30 cm
90 cm
120 cm
24 cm
O cateto de 120 cm ficaria com essa medida por ser
equivalente aos 5 degraus vezes os 24 cm de cada um.
Aplicando o Teorema de Pitágoras, teríamos:
x2 = (90)2 + (120)2
x2 = 8100 + 14444
x2 = 22500
x=
x = 150
Para sabermos a medida total do corrimão, devemos somar
o valor de x que foi encontrado com as outras duas partes de
30 cm.
90 cm
x = 150 cm
30 cm
24 cm
24 cm
90 cm
24 cm
A) 740
B) 1100
C) 1310
D) 1620
E) 1750
Comentário: Vocês já devem ter percebido, mas é sempre
bom reforçar, que as questões do ENEM apresentam na
maioria das suas questões problemas reais e atualizados.
Por isso, sempre que vocês ouvirem ou lerem dados como
estes daqui para frente, é importante que simulem cálculos,
que na sua maioria envolvem porcentagem.
Dica: Nesta questão, deveremos avaliar a razoabilidade de
um resultado numérico na construção de argumentos sobre
afirmações quantitativas.
30 cm
24 cm
02) (ENEM 2003 – QUESTÃO 15)
O tabagismo (vício do fumo) é responsável por uma
grande quantidade de doenças e mortes prematuras na
atualidade. O Instituto Nacional do Câncer divulgou que
90% dos casos diagnosticados de câncer de pulmão e 80%
dos casos diagnosticados de enfisema pulmonar estão
associados ao consumo de tabaco. Paralelamente, foram
mostrados os resultados de uma pesquisa realizada em
um grupo de 2000 pessoas com doenças de pulmão, das
quais 1500 são casos diagnosticados de câncer, e 500 são
casos diagnosticados de enfisema.
Com base nessas informações, pode-se estimar que o
número de fumantes desse grupo de 2000 pessoas é,
aproximadamente:
24 cm
Para isso, vocês precisarão apenas separar os dados
correspondentes a cada doença e realizar cálculos de
porcentagem.
Nunca é demais lembrar esse tipo de cálculo = x% de Y =
Resolução: Inicialmente, separamos
correspondem a cada doença.
30 + 150 + 30 = 210 cm
Como a resposta deve ser em metros, devemos dividir esse
valor por 100, já que 100 cm= 1 m
os
dados
que
i) Câncer de pulmão:
Porcentagem de casos associados ao tabagismo segundo o
Instituto Nacional do Câncer: 90%
Número de casos diagnosticados na pesquisa paralela: 1500
Cruzando os dados da pesquisa:
90% de 1500 =
Portanto, o item correto é o item “D”.
Ou seja, dos 1500 casos de câncer de pulmão, 1350 estariam
associados ao tabagismo.
3
ii) Enfisema pulmonar
Porcentagem de casos associados ao tabagismo segundo o
Instituto Nacional do Câncer: 80%
Número de casos diagnosticados na pesquisa paralela: 500
Cruzando os dados da pesquisa:
80% de 500 =
Ou seja, dos 500 casos de enfisema pulmonar, 400 estariam
associados ao tabagismo.
Logo, o número de fumantes desse grupo de 2000 pessoas é
1350 + 400 = 1750
Portanto, o item correto é o item “E”.
QUESTÕES
Texto para as questões 01 e 02
A população mundial está ficando mais velha, os índices de
natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou.
No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por
pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas
(ONU) a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou
mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita
representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950
havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países
desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total
nos países desenvolvidos.
01) (ENEM 2009 – QUESTÃO 138)
Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em que
x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano
2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em
milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar
essa população com 60 anos ou mais de idade nos países
em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo,
considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60
anos ou mais estará, em 2030, entre
A) 490 e 510 milhões.
B) 550 e 620 milhões.
C) 780 e 800 milhões.
D) 810 e 860 milhões.
E) 870 e 910 milhões.
Comentário: A questão é muito simples. Foi dada uma
fórmula (y = 363e0,03x), onde a partir dela é possível estimar
uma população. Sabendo-se o valor de “x” podemos substituílo na fórmula e descobrir o resultado da questão.
Dica: Deveremos utilizar conhecimentos numéricos e
algébricos, relacionados a propriedades das potências
e valor numérico para resolvermos essa situaçãoproblema.
É importante que você recorde a seguinte propriedade das
potências: (Ax)y = Ax.y
Além disso, é importante que você utilize a dedução para
determinar o valor de x. Se no ano 2000, o x=0 e em 2001, x =
1, teremos que em 2010, por exemplo, x = 10. Logo em 2030,
que a questão pede, x = 30.
Resolução: Sabendo que x = 30 e e0,3 = 1,35, devemos
substituir esses valores na fórmula.
y = 363e0,03x
Podemos afirmar que e0,03x = (e0,03)x. Desse modo,
reorganizaríamos a fórmula da seguinte maneira:
y = 363 . (e0,03)x
y = 363 . (e0,03)30
y = 363. e0,9
y = 363 . (e0,3)3
y = 363 . (1,35)3
y = 363 . 2,460375
y = 893,116125
y 893
Disponível em: www.economist.com.
Acesso em: 9 jul. 2009 (adaptado).
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Portanto, o item correto é o “E”.
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suas Tecnologias
Matemática
e suas e
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02) (ENEM 2009 – QUESTÃO 139)
Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente,
uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, na população
dos países desenvolvidos, será um número mais próximo
de
A)
B)
C)
D)
E)
Comentário: Essa é a típica questão que na própria leitura do
texto ou do gráfico, encontramos a resposta. Relendo o texto
e o gráfico, devemos atentar para o exemplo que foi dado e
para os dados do gráfico.
Dica: Para responder essa questão, precisaremos utilizar
informações expressas no gráfico.
Atente para o fato de que a linha não pontilhada corresponde
aos países desenvolvidos e as linhas pontilhadas, aos países
em desenvolvimento.
Resolução: Analisemos o gráfico, focando a linha não
pontilhada e o fato de que os números que estão à direita da
tabela correspondem ao percentual.
Observe que o ponto está entre 30 e 35. Como a questão
trata de aproximação, podemos dizer que ficaria em torno de
.
32%. Como as opções estão em forma de fração, 32% =
Se simplificarmos essa fração por 4 teremos:
Portanto, o item correto é o “C”.
03) (ENEM 2009 – QUESTÃO 179)
A cisterna é um recipiente utilizado para armazenar água
da chuva. Os principais critérios a serem observados
para captação e armazenagem de água da chuva são: a
demanda diária de água na propriedade; o índice médio de
precipitação (chuva), por região, em cada período do ano; o
tempo necessário para armazenagem; e a área de telhado
necessária ou disponível para captação. Para fazer o cálculo
do volume de uma cisterna, deve-se acrescentar um adicional
relativo ao coeficiente de evaporação. Na dificuldade em se
estabelecer um coeficiente confiável, a Empresa Brasileira
de Pesquisa Agropecuária (EMBRAPA) sugere que sejam
adicionados 10% ao volume calculado de água.
Desse modo, o volume, em m3, de uma cisterna é calculado
por Vc = Vd × Ndia, em que Vd = volume de demanda da água
diária (m³), Ndia = número de dias de armazenagem, e este
resultado deve ser acrescido de 10%.
Para melhorar a qualidade da água, recomenda-se que a
captação seja feita somente nos telhados das edificações.
Considerando que a precipitação de chuva de 1 mm sobre
uma área de 1 m2 produz 1 litro de água, pode-se calcular
a área de um telhado a fim de atender a necessidade de
armazenagem da seguinte maneira: área do telhado (em
m2) = volume da cisterna (em litros)/precipitação.
Disponível em: www.cnpsa.embrapa.br.
Acesso em: 8 jun. 2009 (adaptado).
Para atender a uma demanda diária de 2.000 litros de água,
com período de armazenagem de 15 dias e precipitação
média de 110 mm, o telhado, retangular, deverá ter as
dimensões mínimas de
A) 6 metros por 5 metros, pois assim teria uma área de
30 m2.
B) 15 metros por 20 metros, pois assim teria uma área de
300 m2.
C) 50 metros por 60 metros, pois assim teria uma área de
3.000 m2.
D) 91 metros por 30 metros, pois assim teria uma área de
2.730 m2.
E) 110 metros por 30 metros, pois assim teria uma área de
3.300 m2.
Comentário: Este tipo de questão, por ter um enunciado
longo, parece ter uma resolução bastante complexa.
Porém, como dizemos insistentemente, na própria questão
podemos encontrar a resposta e/ou o caminho para melhor
resolvê-la.
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Dica: Para resolver essa questão, devemos utilizar nosso
conhecimento geométrico voltado para área e volume de
figuras e conhecimentos numéricos associados a cálculos
de porcentagem e operações com números naturais.
Esmiuçando as diversas informações do enunciado, devemos
considerar:
i) Vc = Vd × Ndia
Onde:
Vd = volume de demanda da água diária (m³)
Ndia = número de dias de armazenagem
ii) Ao volume da cisterna devemos acrescentar 10% do valor
encontrado.
iii) Área do telhado (em m2) = volume da cisterna (em litros)/
precipitação
É válido ainda lembrar que 1m3 = 1000 litros
Resolução: A questão quer saber as dimensões mínimas do
telhado retangular, ou seja, quer saber a área do telhado.
De acordo com os tópicos acima, para sabermos dessa área
precisamos saber “Vc” e a precipitação.
Devemos organizar os dados da questão e substituí-los nas
fórmulas que foram informadas:
Vc = ?
Vd = 2000 litros = 2m3
Nd = 15 dias
At = ?
Precipitação = 110 mm
i) Vc = Vd × Ndia
Vc = 2 x 15 = 30 m³
04) (ENEM 2009 – QUESTÃO 175)
O Indicador do CadÚnico (ICadÚnico), que compõe o cálculo
do Índice de Gestão Descentralizada do Programa Bolsa
Família (IGD), é obtido por meio da média aritmética entre
a taxa de cobertura qualificada de cadastros (TC) e a taxa de
atualização de cadastros (TA), em que,
,
,
NV é o número de cadastros domiciliares válidos no perfil
do CadÚnico, NF é o número de famílias estimadas como
público-alvo do CadÚnico e NA é o número de cadastros
domiciliares atualizados no perfil do CadÚnico.
Portaria n° 148 de 27 de abril de 2006 (adaptado).
Suponha que o IcadÚnico de um município específico
é 0,6. Porém, dobrando NF o IcadÚnico cairá para 0,5.
Se NA + NV = 3.600, então NF é igual a
A) 10.000.
B) 7.500.
C) 5.000.
D) 4.500.
E) 3.000.
Comentário: Esta questão requer o máximo de concentração,
já que nela será necessária, por diversas vezes, a substituição
de valores em fórmulas e o domínio de operações com
números racionais (frações).
Dica: Nesta questão, utilizaremos conhecimento numérico
associado a sistema de equações, além do que já foi citado
acima, para resolvermos a situação-problema.
Se o ICad é a média aritmética entre TC e TA, que por sua vez,
são respectivamente
, teremos:
Icad =
ii) Acrescentando 10%, passaria para 33 m³, já que 10% de
30 é 3.
iii)
Vc = 33 m³, que corresponde 33 000 litros
Portanto, o item correto é o “B”.
6
Resolução: Com base na fórmula acima, teríamos que:
i) Num primeiro momento, a questão diz que o IcadÚnico de
um município específico é 0,6. Logo,
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Matemática
suas Tecnologias
Matemática
e suas e
Tecnologias
ii) Dobrando NF o IcadÚnico cairá para 0,5. Assim,
Então,
= 0,8 ou NA = 0,8 NV ou ainda NV =
Sendo NV = 0,4 NF
= 0,4 NF
Desta forma, percebam que podemos formar um sistema de
equações da seguinte forma:
NA = 0,32 NF
Se considerarmos que o enunciado diz ainda que NA + NV = 3.600,
e conhecemos os valores de NA e NV, fazemos a seguinte
substituição:
0,32 NF + 0,4 NF = 3600
0,72 NF = 3600
Resolvendo este sistema pelo método da adição, de modo a
multiplicar a segunda equação por (-1), o novo sistema ficaria
da seguinte forma:
NF = 3600
0,72
NF = 5000
Portanto, o item correto é o “C”.
05) (ENEM 2009 – QUESTÃO 151)
Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para
organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas
iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as
despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas
haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que
a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55
pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua
parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria
contribuir com mais R$ 7,00.
De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota
calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?
A) R$ 14,00.
B) R$ 17,00.
C) R$ 22,00.
D) R$ 32,00.
E) R$ 57,00.
NV = 0,4 NF ou
e
Se
Assim,
= 1,2 - 0,4 = 0,8
, então 0,4 +
= 1,2.
Comentário: A maior dificuldade dessa questão é
interpretá-la e representá-la matematicamente. Feito isso,
o desenvolvimento e cálculo a serem feitos são bastante
simples.
Dica: Utilizem raciocínio lógico e conhecimento numérico
para resolver essa situação-problema.
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Vejam bem: existem duas situações.
Na primeira, eram apenas 50 pessoas que pagariam uma
taxa “x” para cobrir o custo total da festa.
Matematicamente seria assim: 50 . x = CT
Porém, num segundo momento o número de pessoas passou
para 55, logo para se chegar a esse valor a equação passa a
ser: 55 . x = CT
Ocorre ainda que quando eram apenas 50 pessoas faltavam
R$ 510,00 do custo total e do valor final que os participantes
vão pagar, estes 50 primeiros pagariam R$ 7,00 a menos.
Desta forma a equação da primeira situação deverá ser
refeita ficando assim: 50 . (x – 7) = CT - 510
Resolução: Com base nas deduções acima, temos:
50 . (x – 7) = CT – 510 e 55 . x = CT.
Se na primeira equação isolarmos “CT”, poderemos
estabelecer uma igualdade com a segunda:
50 . (x - 7) = CT – 510
CT = 50. (x – 7) + 510
50. (x – 7) + 510 = 55 . x
50x -350 + 510 = 55 x
50x + 160 = 55x
5x = 160
x=
= 32
A) inferior a 0,18.
B) superior a 0,18 e inferior a 0,50.
C) superior a 0,50 e inferior a 1,50.
D) superior a 1,50 e inferior a 2,80.
E) superior a 2,80.
Comentário: O termo “média” poderia induzir vocês a
calcularem a média de cada coluna e, em seguida, formar a
razão entre os valores encontrados. No caso dessa questão,
o raciocínio é o mesmo, porém devemos fazer cálculos com
valores que ainda iremos encontrar: as variações.
Dica: Para resolvermos essa questão, usaremos os dados
expressos na tabela, o conhecimento numérico e estatístico
voltado para cálculo de variação e de média.
Como a questão pede a taxa média de variação entre a
emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção (em
toneladas), deveremos primeiro achar a variação média
da segunda coluna. Na primeira coluna, isso não é preciso
porque a variação é constante. Percebam que varia sempre
em 0,1, ou seja, na tabela, nesta primeira coluna, de uma
linha para outra aumenta sempre 0,1.
Para achar a tal taxa média, formamos uma razão seguindo a
ordem que vem na pergunta da questão, ou seja:
Portanto, o item correto é o “D”.
06) (ENEM 2009 – QUESTÃO 148)
A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido de
carbono de uma fábrica, em função do número de toneladas
produzidas.
8
Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação
entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a
produção (em toneladas) é
Produção
(em toneladas)
Emissão de dióxido de carbono
(em partes por milhão - ppm)
1,1
2,14
1,2
2,30
1,3
2,46
1,4
2,64
1,5
2,83
1,6
3,03
1,7
3,25
1,8
3,48
1,9
3,73
2,0
4,00
taxa média de variação da emissão de carbono
taxa média da produção
Resolução: Precisamos calcular a média da variação dos
valores de uma linha para outra da segunda coluna.
taxa média de variação da emissão de carbono (ppm)
taxa média da produção (t)
Portanto, o item correto é o “D”.
=
4
Matemática
suas Tecnologias
Matemática
e suas e
Tecnologias
07) (ENEM 2009 – QUESTÃO 161)
Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista
em um desafio de conhecimentos. Cada equipe escolheria
10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação
da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos
alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao
final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos,
seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos
da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última colocação,
não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova.
As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram
10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0.
Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido,
essa equipe
A) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0.
B) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10.
C) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8.
D) permaneceria na terceira posição, independentemente
da nota obtida pelo aluno.
E) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação
se o aluno obtivesse nota 9.
Comentário: Para descobrir o item correto dessa questão,
deveremos analisar um a um. Se vocês têm domínio sobre o
assunto da questão, sabem que o valor informado em cada
item influencia muito na resposta correspondente. Ou seja, a
questão apesar de simples, requer muita atenção.
Dica: Para resolvermos essa questão precisaremos analisar
a razoabilidade de um resultado numérico, a partir de nosso
conhecimento sobre mediana.
Já foi dito em um fascículo anterior, mas convém lembrar,
que se ordenarmos de forma crescente os elementos de uma
amostra, a mediana será o elemento que dividirá esse “rol” da
seguinte maneira: metade dos elementos será menor que ele
e a outra metade será maior que ele. Deste modo, deduz-se
que a determinação da mediana se torna muito simples, porém
para um número ímpar de elementos. Para um número par, a
mediana é determinada pela média dos elementos centrais. A
mediana é determinada pela média dos elementos centrais.
Exemplos:
A série de valores 3, 7, 8, 12, 17 tem como mediana o 8.
A série de valores 4, 5, 6, 8, 11, 15 tem como mediana
.
Resolução: Inicialmente devemos conhecer a mediana real
(pontuação da equipe) da Gama.
As notas foram: 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0
Devemos organizar estes dados em ordem crescente: 0 ; 6 ;
6,5 ; 6,5 ; 7 ; 7 ; 8 ; 8 ; 10 ; 10
Para calcular a mediana tiramos a média aritmética dos
elementos centrais, no caso 7 e 7.
Logo a pontuação obtida pela equipe Gama foi 7,0.
Vamos agora analisar cada um dos itens:
A) Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido,
essa equipe teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse
nota 0. A resposta é NÃO, pois como já vimos na introdução
dessa resolução, a mediana obtida foi 7,0.
B) Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido,
essa equipe seria a vencedora se ele obtivesse nota 10.
Substituindo o “0” pelo “10” a ordem das notas agora seria:
6 ; 6,5 ; 6,5 ; 7 ; 7 ; 8 ; 8 ; 10 ; 10; 10
Como os elementos centrais são 7 e 8, a mediana seria 7,5 e
essa pontuação não supera o 7,8 da primeira colocada. Logo,
essa afirmação é falsa.
C) Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido,
essa equipe seria a segunda colocada se ele obtivesse nota
8. Substituindo o “0” pelo “8” a ordem das notas agora seria:
6 ; 6,5 ; 6,5 ; 7 ; 7 ; 8 ; 8 ; 8 ; 10 ; 10
Como os elementos centrais são 7 e 8, a mediana seria 7,5 e
essa pontuação não supera o 7,6 da segunda colocada. Logo,
essa afirmação é falsa.
D) Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse
comparecido, essa equipe permaneceria na terceira posição,
independentemente da nota obtida pelo aluno. A maior nota
que o aluno poderia tirar seria 10. Essa nota, como vimos no
item B, gera uma mediana igual a 7,5. Essa pontuação não
faz com que a equipe supere a pontuação nem da primeira
nem da segunda, permaneceria na terceira colocação. Logo,
essa afirmação é verdadeira.
E) Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido,
essa equipe empataria com a equipe Ômega na primeira
colocação se o aluno obtivesse nota 9. Substituindo o “0” pelo
“9” a ordem das notas agora seria: 6 ; 6,5 ; 6,5 ; 7 ; 7 ; 8 ; 8 ;
9 ; 10 ; 10
Como os elementos centrais são 7 e 8, a mediana seria 7,5 e
essa pontuação não supera o 7,8 da primeira colocada. Logo,
essa afirmação é falsa.
Portanto, o item correto é o “D”.
9
08) (ENEM 2009 – QUESTÃO 156)
Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas
Físicas (CPF) é composto por um número de 9 algarismos
e outro número de 2 algarismos, na forma d1d2, em que os
dígitos d1 e d2 são denominados dígitos verificadores. Os
dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda,
da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são
multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2
(o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim
sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da
divisão da soma dos resultados das multiplicações por
11, e se esse resto r for 0 ou 1, d1 é zero, caso contrário
d1 = (11 – r). O dígito d2 é calculado pela mesma regra, na
qual os números a serem multiplicados pela sequência
dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo
d1 o último algarismo, isto é, d2 é zero se o resto s da
divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1,
caso contrário, d2 = (11 – s).
Resolução: Deveremos descobrir separadamente d1 e d2,
seguindo as instruções acima e considerando que os nove
primeiros algarismos do CPF de João são 123.456.789.
Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive
o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na delegacia, não
conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores,
recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos
eram 123.456.789. Neste caso, os dígitos verificadores d1 e
d2 esquecidos são, respectivamente,
ii) Calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das
multiplicações por 11
A) 0 e 9
B) 1 e 4
C) 1 e 7
D) 9 e 1
E) 0 e 1
Comentário: O mais difícil desta questão é fazer sua leitura.
De cara, ela parece difícil e complicada. Como nosso
objetivo é descomplicar, sugerimos que anote no rascunho
cada informação que ela for passando. Destrinche seu
enunciado.
Dica: A questão informa passo a passo o que vocês devem
fazer para descobrir d1 e d2. Perceba:
i) Os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência
10, 9, 8, 7 ...(o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim
sucessivamente) no caso de d1. E no caso de d2, os números
a serem multiplicados pela sequência dada são contados a
partir do segundo algarismo, sendo d1 o último algarismo.
ii) Calcula-se o resto da divisão da soma dos resultados
das multiplicações por 11. Reorganizando: somamos a
multiplicação; o resultado, dividimos por 11 e analisamos o
valor do resto para ser o usado no passo seguinte.
iii) Se esse resto for 0 ou 1, tanto d1 como d2 são iguais a zero,
caso contrário d = (11 – r).
10
Cálculo do d1
i) os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência
10, 9, 8, 7 ...(o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim
sucessivamente)
1 x 10 = 10
2 x 9 = 18
3 x 8 = 24
4 x 7 = 28
5 x 6 = 30
6 x 5 = 30
7 x 4 = 28
8 x 3 = 24
9 x 2 = 18
(10+18+24+28+30+30+28+24+18) : 11 = 210 : 11 =
iii) Se esse resto r for 0 ou 1, d1 é zero, caso contrário
d1 = (11 – r)
Como o resto foi r = 1, d1 = 0
Cálculo do d2
i) Os números a serem multiplicados pela sequência dada
são contados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o
último algarismo
2 x 10 = 20
3 x 9 = 27
4 x 8 = 32
5 x 7 =35
6 x 6 = 36
7 x 5 = 35
8 x 4 = 32
9 x 3 = 27
0x2=0
ii) Calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das
multiplicações por 11
4
Matemática
suas Tecnologias
Matemática
e suas e
Tecnologias
(20+36+32+35+36+35+32+27+0) : 11 = 244 : 11 =
iii) d2 é zero se o resto s da divisão for 0 ou 1, caso contrário,
d2 = (11 – s)
Como o resto s da divisão foi “2”, então d2 = 11 -2 = 9
Logo d1 = 0 e d2 = 9
Portanto, o item correto é o “A”.
QUESTÕES-DESAFIO
02) (ENEM 2008 - QUESTÃO 54)
Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) — objeto que
pode ser dividido em partes que possuem semelhança com
o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX,
estuda as propriedades e o comportamento dos fractais —
objetos geométricos formados por repetições de padrões
similares.
O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da
geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes
passos:
1. Comece com um triângulo equilátero (figura 1);
2. Construa um triângulo em que cada lado tenha a metade
do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três
cópias;
3. Posicione essas cópias de maneira que cada triângulo
tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um
dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2;
4. Repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia
dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).
Estas são questões para você tentar resolver. As questões
serão respondidas e comentadas nos próximos fascículos.
01) (ENEM 2004 – QUESTÃO 08)
VENDEDORES JOVENS
Fábrica de LONAS - Vendas no Atacado
10 Vagas para estudantes, 18 a 20 anos, sem experiência
Salário: R$300,00 fixo + comissão de R$0,50 por m2 vendido.
Contato: 0xx97-43421167 ou [email protected]
Na seleção para as vagas deste anúncio, feita por telefone
ou correio eletrônico, propunha-se aos candidatos uma
questão a ser resolvida na hora. Deveriam calcular seu
salário no primeiro mês, se vendessem 500 m de tecido
com largura de 1,40 m, e no segundo mês, se vendessem o
dobro. Foram bem sucedidos os jovens que responderam,
respectivamente,
(A) R$ 300,00 e R$ 500,00.
(B) R$ 550,00 e R$ 850,00.
(C) R$ 650,00 e R$ 1000,00.
(D) R$ 650,00 e R$ 1300,00.
(E) R$ 950,00 e R$ 1900,00.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da
seqüência apresentada acima é
A)
D)
B)
E)
C)
PROJETO DESAFIO ENEM 2010 I Jornal Diário do Nordeste I COORDENAÇÃO PEDAGÓGICA: Prof.Francisco Sidney Nogueira
Brito e Prof. Jackson José Nogueira de Brito I PROFESSORES AUTORES: Gustavo Maximino Lima, Luiza Alice Lopes Menezes,
Ítalo Felipe Gomes e Patrícia Moreira Sampaio I EDITORA VERDES MARES LTDA (Praça da Imprensa s/n - Fortaleza/CE - CEP:
60.135-690) I Diretoria Comercial: Antônio Vidal I Gerência Comercial: Alana Aguiar I Planejamento de Vendas: Camila Coutinho.
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