CAPÍTULO III
TORÇÃO SIMPLES
I.INTRODUÇÂO
Uma peça estará sujeita ao esforço de torção simples quando a mesma
estiver submetida somente a um momento de torção. Observe-se que trata-se
de uma simplificação, pois no caso mais simples sempre teremos o peso
próprio da estrutura atuando.
Neste capítulo, estudaremos somente peças com seção transversal
circular ou tubular. Na prática, os elementos que transmitem torção, como, por
exemplo, eixos de motores, tubos de torção de equipamentos de potência, etc.,
são predominantemente de seção circular ou tubular
Dada uma peça submetida somente a um momento de torção e em
equilíbrio pode-se observar que os efeitos da torção são:
1- Produzir um deslocamento angular de uma seção transversal
em relação à outra;
2- Dar origem à tensões de cisalhamento nas seções
transversais da barra.
II. HIPÓTESES
a)As seções transversais permanecem planas e perpendiculares ao eixo após
à deformação. Este princípio é válido para peças que apresentam simetria
polar.
b)Se em uma face da peça existir uma tensão tangencial, então, na face
perpendicular à ela, também existirá uma tensão de mesmo módulo e sentido
oposto a primeira.
c)Validade da Lei de Hooke:
σ
= E (mod . de elasticidade longitudinal)
ε
τ
= G (mod .de elasticidade transversal)
γ
d)O eixo da peça permanece retilíneo durante a deformação.
III. TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Seja uma peça de seção transversal circular ou tubular, em equilíbrio,
submetida somente a um momento de torção e válidas as hipóteses
estabelecidas anteriormente, conforme figura:
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A geratriz O1A, passa, depois da deformação para O1B.
A distorção específica ( ) é:
=tag.
Como
é muito pequeno:
=
= AB / L = r / L
Para a distância genérica,
=
, a distorção específica pode ser escrita:
/L
Assim, observa-se que as distorções variam linearmente em função do raio,
admitindo a validade da Lei de Hooke, as tensões tangenciais também variam
linearmente com o raio, anulando-se no centro da seção transversal ( =0).
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A soma dos momentos internos que atuam na seção deve ser igual ao
momento Mt , assim:
r
r
0
0
Mt = τ .ρ. dS =
ρ.ρ.dS
Observe que a é a constante de proporcionalidade entre a tensão tangencial e
:
τ = a.ρ
Mas:
Jt =
r
0
ρ 2 .dS
Assim:
a=
τ=
Mt
Jt
Mt
.ρ
Jt
Para uma peça de seção circular teremos:
τ=
Mt
.r
Jt
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como r é uma distância genérica que varia 0 ≤ r ≤ R
valores limites para a tensão na seção circular:
τ =0
r = 0 (centro da circunferência)
τmáx =
r = R(contorno da seção
podemos calcular os
Mt
.R
Jt
Jt =
π
2
R4
Para seções tubulares teremos:
τmáx =
Jt =
π
(R
2
e
4
- Ri 4
Mt
. Re
Jt
)
O deslocamento angular ( ) , de um eixo circular, em função do momento de
torção pode ser obtido lembrando que:
γ =
r.θ
l
τ=
M t. .r
Jt
G=
τ M t r / Jt M t l
=
.
=
..
γ r.θ / l
Jt θ
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Donde:
θ=
M t. l
.
G Jt
EXERCÌCIOS:
1. Determinar o momento de torção em função da potência transmitida por um
eixo e de sua velocidade angular, suposta constante e igual a n revoluções por
minuto.
R:
N - potência do motor em CV
n - frequência do motor em r.p.m
A relação entre estas grandezas e o momento de torção transmitido é:
Mt = 716, 2
N
n
2.Calcular a máxima tensão tangencial em uma barra de seção circular com 20
cm de diâmetro, quando submetida a um par de torção de 40 kN.m. Determine
também o ângulo total de torção, sendo o comprimento da peça 3 m e o
módulo de elasticidade transversal do material igual a 8.104 MPa.
R: τmáx = 2,55 kN/cm2
H = 96 . 10-4 rad
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3.Qual a máxima potência que se pode desenvolver em um eixo de 8 cm de
diâmetro que gira à 400 rpm. O eixo é construido com material que apresenta
tensão de cisalhamento admissível de 15 kN/cm2 .
R: 842,2 CV
4.Um par de torção de 30 kN.m é aplicado em uma seção tubular de 20 cm de
diametro externo. Determine o maior diametro interno possível a fim de que a
tensão de cisalhamento não ultrapasse 6 kN/cm2 .
R: ≅ 18 cm
5.Deseja-se substituir um eixo de seção circular de raio 10 cm por outro de
seção coroa circular, do mesmo material, com Re = 2.Ri , capaz de suportar o
mesmo torsor, com a mesma segurança. Quais seriam as dimensões do eixo
oco? Qual a economia de material que se obtém ao realizar a substituição?
R: De = 20,4 cm
Di = 10,2 cm
economia ≅ 22%
6.A junta representada na figura é frequentemente usada para unir as
extremidades de dois eixos. As duas partes são solidárias por meio de 6 rebites
de diâmetro 3/4". Se o eixo transmite 65 CV com 250 rpm, qual a tensão de
cisalhamento nos rebites?
R: 2,14 kN/cm2
7.O eixo de seção variável, como se indica na figura, é de aço com módulo de
elasticidade transversal 0,84 . 104 kN/cm2 . Na extremidade inferior do eixo é
aplicado um torsor de 6 kN.m e na seção B um torsor de 9 kN.m, com os
sentidos indicados. Determine a tensão de cisalhamento máxima nos dois
trechos de seção constante e o deslocamento angular de B e C.
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R: τAB = 1,46 kN/cm2
τBC = 6,91 kN/cm2
HB = 0,0034 rad
HC = 0,0117 rad
4.
8. Considere dois eixos maciços ligados por duas engrenagens de 10" e 2", tal
como se indica. Os eixos são apoiados por mancais de forma que não sofrem
flexão. Determine o deslocamento angular de D em relação a A, produzido pelo
torsor de 30 Kgf.m aplicado em D. O eixo da esquerda é de aço (G = 0,84 . 104
kN/cm2) e o da direita de latão (G = 0,35 . 104 kN/cm2 ).
R : 0,1584 rad
9.O eixo da figura compõe-se de um trecho de latão e outro de alumínio, com
60 cm de comprimento cada. O diâmetro do eixo é constante de 6 cm; o limite
ao cisalhamento do latão é de 10 kN/cm2 e o do alumínio 15,5 kN/cm2.
Adotando um coeficiente de segurança 2 e limitando o ângulo de torção na
extremidade livre em 1º, qual o torsor máximo que se pode aplicar a este eixo.
Dados;
Glatão = 0,35 . 104 kN/cm2
G Alumínio = 0,28 . 104 kN/cm2
1º = 0,01745 rad
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R: 57,57 kN.cm
10.Considere um eixo formado por um núcleo cilíndrico de alumínio com 5 cm de
diametro envolto por uma coroa de aço com 6 cm de diâmetro externo. Sendo
rígida a ligação entre os dois metais e estando o eixo solicitado por um torsor de
15 tf.cm, pedem-se as tensões de cisalhamento máximas nos dois metais.
Dados:
GAl = 0,28 . 104 kN/cm2
Gaço = 0,84 . 104 kN/cm2
R: τmáx Al = 1,46 kN/cm2
τmáx aço = 5,21 kN/cm2
11. Um eixo maciço de aço com seção circular é envolvido por um tubo de cobre,
rigidamente ligado ao aço. O conjunto está solicitado a torção. Sabendo-se que
o cobre absorve 1,5 vezes o torsor do aço, pede-se determinar a relação entre
os diâmetros interno e externo do tubo de cobre. Dados:
Gaço = 0,84 . 104 kN/cm2
GCu = 0,42 . 104 kN/cm2
R: De =
2 . Di
12. .Admite-se no problema anterior que a barra de aço tem diâmetro de 6 cm e
que as tensões de cisalhamento admissíveis no cobre e no aço sejam
respectivamente 6 e 8 kN/cm2 . Qual o momento de torção máximo que se
pode aplicar ao eixo.
R: 8,48 kN.m
13. Um momento de torção de 3 kN.m é aplicado ao cilindro maciço de bronze
indicado. Determinar:
a. Máxima tensão de cisalhamento
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b. A tensão de cisalhamento no ponto B com 15 mm de raio.
c. A parcela do momento resistida pelo cilindro interior aos 15 mm de raio
R: a. 70,7 MPa
b. 35,4 MPa
c. 6,25 %
14. Os momentos de torção indicados atuam nas polias A B C e D. Sabendo-se
que os eixos são maciços determinar a tensão máxima de cisalhamento:
a. do eixo BC
b. do eixo CD
kN/cm2
R: a. 8,34
b. 8,15 kN/cm2
15. Dois eixos maciços são ligados por engrenagens como mostra a figura. Sabese que o material de cada eixo tem G = 0,8.104 kN/cm2 e tensão de
cisalhamento admissível de 55 MPa. Determine:
a. Maior torque To que se pode aplicar a extremidade A do eixo.
b. Ângulo de rotação da extremidade A correspondente a To..
c. Ângulo de rotação da extremidade B.
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R: a.
53,3 N.m
b.
10,86º
c.
8,26º
16. O sistema de engrenagens da figura utiliza eixos de aço com o mesmo
diâmetro para AB e CD. A tensão admisível ao cisalhamento do aço
especificado é de 60 MPa e o ângulo de torção do ponto D não deve exceder
1,5º. Considerando apenas tensões provenientes dos efeitos da torção,
determine o mínimo diâmetro que pode ser usado para os eixos
(G = 0,8.104 kN/cm2 ).
R: 62,3 mm
17. A barra circular maciça BC de aço é presa à haste rígida AB e engastada ao
suporte rígido C. Sabendo-se que G = 0,75.104 kN/cm2 , determinar o diâmetro
da barra de modo que para um P de 450 N a deflexão do ponto A não
ultrapasse 2 mm e que a máxima tensão de cisalhamento não exceda 100
MPa.
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R: 40,5 mm
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