Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Setúbal Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores dos 1.º e 2.º Ciclos do Ensino Básico: 2010 – 2011 Sentidos da divisão e algoritmos da divisão de números
representados sob a forma de fracção
Nos primeiros anos de escolaridade, a divisão de números representados sob a forma de
fracção é, muito frequentemente, considerado um dos tópicos matemáticos menos
compreendido e mais mecanizado. Porquê multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor?
Como referem van de Walle e Lovin (2006), “trata-se de uma das mais misteriosas regras da
Matemática elementar” (p. 98). Um dos grandes desafios que, neste âmbito, se coloca é que
tarefas propor aos alunos que os ajudem, simultaneamente, a interpretar adequadamente
situações que envolvam a divisão de números representados sob a forma de fracção e a
encontrarem sentido nos procedimentos algorítmicos para dividir estes números.
Tipicamente, os problemas de divisão, quer se trate de números inteiros, ou não,
enquadram-se em duas categorias: as associadas a situações de medida e as relativas a
situações de partilha. Na sala de aula, é importante que os alunos resolvam tarefas
diversificadas de modo a serem confrontados com ambos os sentidos da divisão. No que diz
respeito à divisão de fracções, cada um destes sentidos relaciona-se com o que se irá
designar por “algoritmo do denominador comum” e “algoritmo inverter e multiplicar” (Gregg &
Gregg, 2007).
Divisão como medida
Exemplos:
1. Na turma da Maria há 28 alunos e a professora pretende fazer grupos de 4 alunos
cada. Quantos grupos pode fazer?
2.
A Ana está a preparar uma festa de aniversário e comprou 6 copos de gelado. Se
quiser servir a cada convidado
3
de copo de gelado, quantas pessoas pode servir?
4
No primeiro exemplo, sabemos a dimensão de cada grupo (4 alunos) e o que pretendemos
saber é quantos grupos podemos
fazer com 28 alunos, ou seja com a quantidade
€
representada pelo dividendo. No fundo, trata-se de perguntar “quantos 4 “cabem” em 28?” .
Estamos a “medir” 28 usando 4 como “unidade de medida”. O quociente (7) indica-nos o
número de subconjuntos formados.
Algoritmos da divisão de fracções (p. 1 de 7) Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Setúbal Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores dos 1.º e 2.º Ciclos do Ensino Básico: 2010 – 2011 No segundo exemplo, a situação é
análoga. Há 6 copos de gelado no
total e damos
3
de copo a cada
4
pessoa. A questão é quantas vezes
3
4
é que € cabe em 6.
Podemos usar um esquema em que a figura que representa cada copo (neste caso um
€ rectângulo) é dividida em quatro quartos. No total temos 24 quartos e como cada convidado
24 3
24
darão para 8 pessoas. Ou seja,
: = 8 o que é equivalente a
come 3 quartos, os
4 4
4
6:
3
= 8.
4
€
€
€
A situação complica-se um pouco quando o quociente não é um número inteiro.
€
Suponhamos a tarefa:
O João está a cimentar um pátio. Preparou o cimento e quando o foi transportar para o
pátio reparou que tinha 4 baldes e
1
de balde. Sabe que para cada secção do pátio
4
2
de um balde de cimento. Decidiu que usaria todo o cimento e que se não
3
€
conseguisse cimentar secções
inteiras, colocaria cimento só numa parte de secção.
precisa de
Quantas secções do pátio pode cimentar o João?
€
Temos que analisar quantos
2
1
(quantidade para cimentar uma secção) há em 4
(o
3
4
cimento existente). Podemos recorrer, por exemplo, a uma tabela.
Secções
€ do pátio cimentadas
1
2
3
6
€
€
Quantidade de cimento
2
de balde
3
4
de balde
3
6
(2 baldes)
3
12
(4 baldes)
3
€
€
€
Algoritmos da divisão de fracções (p. 2 de 7) Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Setúbal Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores dos 1.º e 2.º Ciclos do Ensino Básico: 2010 – 2011 Até aqui sabemos que com 4 baldes podem cimentar-se 6 secções. A questão agora é
saber que parte de secção ainda podemos cimentar com
1
de balde. Podemos prolongar a
4
tabela.
Secções do pátio cimentadas € Quantidade de cimento
2
1
de balde
2
3
€
6
:4
:4
€
6
4
6
8
6
3
(ou )
16
8
:2
:4
€
€
1
balde
2
1
de balde
4
:4
:4
:2
:4
€
€ com€4 baldes e
Portanto,
1
3
€
podemos cimentar
6 secções e
de uma secção.
4
8
1 2
3
:
=6 .
4 3
8
€
€ €
1 balde
€
€
4
3
4
de balde
3
6
(2 baldes)
3
12
(4 baldes)
3
€
Podemos,
em, alternativa, recorrer ao método de transformar as duas fracções noutras com
€
o mesmo denominador para facilitar a comparação.
4 baldes e
vezes
1
3
51 2
8
é igual a 4 baldes e
ou
;
de balde é igual a
de balde. Quantas
4
12
12 3
12
8
51
cabe em
?
12
12
€
€
€
€
€
Também aqui há vários processos. Um é recorrendo a subtracções sucessivas:
€ 51 8 €43
=
12 12 12
€
€
€
€
43 8
35
=
12 12 12
€
€
Algoritmos da divisão de fracções (p. 3 de 7) Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Setúbal Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores dos 1.º e 2.º Ciclos do Ensino Básico: 2010 – 2011 35 8
27
=
12 12 12
€
€
€
€
€
€
€
€
€
27 8
19
=
12 12 12
€
19
8
11
=
12 12
12
€
11 8
3
-
=
12 12 12
€ 51
8
3
Em
cabem 6 vezes
(cimentam-se 6 secções) e sobram
de um balde de cimento
12
12
12
€ não chega para cimentar totalmente uma secção do pátio pois, para isso, seriam
que
necessários
8
3
8
de um balde.
que parte é de
? São 3 partes em 8, ou seja, podem
€
12
12
12 €
cimentar-se mais
€
3
3
51 8
de uma secção. E, assim,
:
=6
8
8
12 12
€
€
Outra hipótese é pensar quantas vezes cabe 8 em 51, pois como o número de partes em
que a unidade
está dividida é igual (o
€ a resposta pode obter-se como se de
€
€ denominador),
€
números inteiros se tratasse: 51:8 = 6x8+3. Logo
3
51 8
:
=6 .
8
12 12
Através de tarefas do tipo do exemplo 1 e “cimentar um pátio”, pode inferir-se o algoritmo
“do denominador comum”: Para dividir €dois €números
€ representados por fracções, primeiro
transformamos as fracções noutras equivalentes com o mesmo denominador e, em seguida,
dividimos os numeradores.
Divisão como partilha
Exemplos:
1. Na turma da Maria há 28 alunos e a professora pretende organizá-los em 7 grupos.
Quantos elementos terá cada grupo?
2.
A Ana está a preparar uma festa de aniversário e comprou 6 copos de gelado. Os
convidados são 8 e a Ana quer repartir equitativamente o gelado por todos. Que
quantidade de quantidade de gelado deve dar a cada um?
No primeiro exemplo, sabemos quantos grupos existem e o que pretendemos saber é
quantas pessoas terá cada um. Podemos pensar, por exemplo, em distribuir o total de
alunos, um a um, pelos sete grupos até não sobrarem alunos. Na divisão como partilha, o
Algoritmos da divisão de fracções (p. 4 de 7) Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Setúbal Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores dos 1.º e 2.º Ciclos do Ensino Básico: 2010 – 2011 divisor (7, no 1º exemplo) indica o número de subconjuntos a formar (partição em sete). O
quociente (4) indica-nos o número de elementos que ficou em cada subconjunto.
No segundo caso, a situação é semelhante. A Ana pode começar por distribuir, por exemplo,
meio copo de gelado a cada pessoa e a seguir distribuir mais um quarto de copo (ver figura
em que cada algarismo colocado sobre os rectângulos representa cada um dos
convidados). Cada pessoa ficaria, assim, com
1 1
3
+ de copo ou seja
de copo de gelado.
2 4
4
€ €
€
Outras tarefas que têm subjacente o sentido da divisão como partilha são, por exemplo:
1. A Inês tem 5 metros e
1
de metro de fita para fazer três laços para prendas de
4
aniversário. Que quantidade de fita pode usar em cada laço se quiser usar a fita toda
e mesma quantidade de fita em cada laço?
€
2.
O Marco tem 1 hora e
1
para fazer os trabalhos de casa de quatro disciplinas. Se
4
repartir o tempo equitativamente, quanto tempo pode dedicar a cada disciplina?
3. A Catarina está
€ a forrar arcos com fitas para o sarau de ginástica. Às tantas reparou
que tinha 7 metros e meio de fita. Começou a fazer uns cálculos e disse para a
Fátima: só tenho fita para mais 2 arcos e
1
de arco. Que quantidade de fita usa a
4
Catarina em cada arco?
4.
3 jarras e
1
1
€
de limonada enchem
5 copos e
de copo. Quantos copos de
2
4
limonada leva cada jarra?
Todas as €
tarefas em que o sentido da divisão é a€
partilha colocam questões do tipo: Que
quantidade para cada um (laço, arco,...) ? Quanto para cada um (tempo) ? Quantos copos
Algoritmos da divisão de fracções (p. 5 de 7) Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Setúbal Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores dos 1.º e 2.º Ciclos do Ensino Básico: 2010 – 2011 tem cada jarra? Quantos Km por hora?... Há que pensar em: Quanto é o todo? Quanto para
cada “coisa”?
No 1º caso o todo é 5
todo.
1
metros e há que fazer 3 laços, logo cada laço levará um terço do
4
5
1
1 1
:3=5
x .
4
4 3
€
No 2º caso a situação é idêntica. O Marco terá de dedicar a cada disciplina
€
€ €
dedica ao conjunto das 4.
1
1
do tempo que
4
1
1 1
:4=1
x
4
4 4
€
1
15
metros de fita, ou seja,
de metros de fita. Esta fita
No terceiro exemplo o todo são 7
2
2
€
€ €
1
9
permite forrar 2 arcos e de arco, isto é
de arcos. Para determinar a quantidade de fita
4
4
€ podemos recorrer, por€exemplo, a uma tabela.
necessária para cada arco,
Fita (em
€ metros)
15
2
15
:9
2
15 1
x
2 9
15 1
( x )x4
2 9
15 1
x ( x4)
2
9
15 4
x
2 9
€
€
€ €
€ €
Arcos
€
€
€
€
€
9
4
9
:9
4
1
4
1
x4
4
4
4
1
€
€
€
1
1
15
9
7
metros: 2
arcos =
metros:
arcos
4
2
4
€ 2€
15 9 15 4
:
=
x
2 4
2
9
€
€
€
€
€
€
15x4
1
Cada€
arco leva
metros ou seja 3 metros e
de metro.
€
2x9
3
€
€
Algoritmos da divisão de fracções (p. 6 de 7) Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Setúbal Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores dos 1.º e 2.º Ciclos do Ensino Básico: 2010 – 2011 No quarto exemplo, sabemos que 3 jarras e
1
7
de limonada, ou seja 7 meias jarras ( ),
2
2
1
21
de copo, isto é 21 quartos de copos ( ). O que se pretende
4
4
€
€ encher 1
saber é que quantidade destes 21 quartos
de copos (o todo) é necessária para
permitem encher 5 copos e
jarra. Pode recorrer-se, de novo, a uma tabela.
Copos
€
€
€
€
€
Jarras
21
(21 quartos de copos)
4
21
x2
4
21
x2
4
21
1
(
x2) x
4
7
21
1
x (2 x )
4
7
21 2
€ x
4
7
€
€
21 7 21 2
:
=
x
4
7
€ 4 €2
€
€
€
7
(3 jarras e meia)
2
7
x2
2
7
€
7x
€
1
7
7
7
€
1
€
21x2
Cada€
jarra leva
copos. Simplificando esta fracção, conclui-se que cada jarra contém
€
4x7
3
1
de copos de limonada, isto é, 1
copos ou um copo e meio.
2
2
€
É a partir da resolução de tarefas que envolvam a partilha equitativa que poderá, mais
€
€
plausivelmente, ajudar-se os alunos a inferir, no caso da divisão de números representados
sob a forma de fracção, o algoritmo “inverte e multiplica”: para dividirmos dois números
representados sob a forma de fracção multiplica-se o dividendo pelo inverso do divisor.
Ana Maria Boavida
Fevereiro, 2011
Referências
Gregg, J. & Gregg, D. (2007). Measurement and fair-sharing models for dividing fractions.
Mathematics Teaching in the Middle School 12(9), 490-496.
Van de Walle, J. & Lovin, L. (2006). Teaching Student-centered Mathematics: Grades 5-8. Boston:
Pearson.
Algoritmos da divisão de fracções (p. 7 de 7)