Funções de Distribuição (Discreta)
- Uniforme Discreta
- Bernoulli
- Binomial
- Geométrica
- Binomial Negativa (Pascal)
- Hipergeométrica
- Poisson
Distribuição Uniforme Discreta
Considere uma v.a. X cujos valores vão de 1 a N, equiprováveis, ou seja, todos os
valores têm igual probabilidade de ocorrência.
Exemplo: Lança-se um dado e define-se uma v.a. X como o valor obtido neste dado.
N
X: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E ( X )   xP( X  x )
x 1
P(X = 1) = 1/6
P(X = 2) = 1/6
P(X = 3) = 1/6
P(X = 4) = 1/6
P(X = 5) = 1/6
P(X = 6) = 1/6
1
N
6
f(x) = ?
E( X )  ?
Var ( X )  ?
1
E( X ) 
N
N
x

1
N
N ( N  1)

1 N ( N  1) 2
E( X ) 
N
2
E( X ) 
x 1
N 1
2
Distribuição Uniforme Discreta
Considere uma v.a. X cujos valores vão de 1 a N, equiprováveis, ou seja, todos os
valores têm igual probabilidade de ocorrência.
Exemplo: Lança-se um dado e define-se uma v.a. X como o valor obtido neste dado.
X: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Var( X )  E( X 2 )  [ E( X )]2
P(X = 1) = 1/6
P(X = 2) = 1/6
P(X = 3) = 1/6
P(X = 4) = 1/6
P(X = 5) = 1/6
P(X = 6) = 1/6
E ( X )   x 2 P( X  x )
f(x) =
1
N
E( X ) 
N 1
2
N
2
x 1
1
E( X ) 
N
2
N
x
2

1
N
N ( N  1)(2 N  1)
6
1 N ( N  1)(2 N  1)
E( X 2 ) 
N
6
E( X 2 ) 
x 1

( N  1)(2 N  1)
6
Distribuição Uniforme Discreta
Considere uma v.a. X cujos valores vão de 1 a N, equiprováveis, ou seja, todos os
valores têm igual probabilidade de ocorrência.
Exemplo: Lança-se um dado e define-se uma v.a. X como o valor obtido neste dado.
X: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
P(X = 1) = 1/6
P(X = 2) = 1/6
P(X = 3) = 1/6
P(X = 4) = 1/6
P(X = 5) = 1/6
P(X = 6) = 1/6
f(x) =
1
N
E( X ) 
N 1
2
Var( X )  E( X 2 )  [ E( X )]2
( N  1)(2 N  1) ( N  1) 2
Var ( X ) 

6
4
 (2 N  1) ( N  1) 
Var ( X )  ( N  1) 

6
4 

 4 N  2  3N  3 
Var ( X )  ( N  1) 

12

( N  1)
Var ( X )  ( N  1)
12
N 2 1
Var ( X ) 
12
Distribuição Uniforme Discreta
Considere uma v.a. X cujos valores vão de 1 a N, equiprováveis, ou seja, todos os
valores têm igual probabilidade de ocorrência.
Exemplo: Lança-se um dado e define-se uma v.a. X como o valor obtido neste dado.
f ( x) 
E( X ) 
1 1

N 6
X: {1, 2, ..., N}
N 1 6 1

 3,5
2
2
N 2  1 36  1

 2,92
Var ( X ) 
12
12
Distribuição Bernoulli
Considere o experimento: retira-se uma bola da urna. Define-se uma
v.a. X cujos valores são 1 se a bola escolhida for vermelha (sucesso) e
0 caso contrário (fracasso).
X: {0, 1}
P(X = 0) = 2/7 = q (probabilidade de fracasso, q = 1 - p)
P(X = 1) = 5/7 = p (probabilidade de sucesso)
x
1 x
5x 1 x 2
f(x) = ?p q  
7 7
E( X )  ?
Var ( X )  ?
Distribuição Bernoulli
Considere o experimento: retira-se uma bola da urna. Define-se uma
v.a. X cujos valores são 1 se a bola escolhida for vermelha (sucesso) e
0 caso contrário (fracasso).
1
X: {0, 1}
P(X = 0) = 2/7
P(X = 1) = 5/7
x 1 x
f(x) = p q
E ( X )   xP( X  x )
x 0
E ( X )  0q  1 p
E( X )  p
Distribuição Bernoulli
Considere o experimento: retira-se uma bola da urna. Define-se uma
v.a. X cujos valores são 1 se a bola escolhida for vermelha (sucesso) e
0 caso contrário (fracasso).
X: {0, 1}
Var( X )  E( X 2 )  [ E( X )]2
1
P(X = 0) = 2/7
P(X = 1) = 5/7
x 1 x
f(x) = p q
E( X )  p
E ( X )   x 2 P( X  x )
2
x 0
E( X 2 )  02 q  12 p
E( X 2 )  p
Distribuição Bernoulli
Considere o experimento: retira-se uma bola da urna. Define-se uma
v.a. X cujos valores são 1 se a bola escolhida for vermelha (sucesso) e
0 caso contrário (fracasso).
X: {0, 1}
P(X = 0) = 2/7
P(X = 1) = 5/7
Var( X )  E( X 2 )  [ E( X )]2
Var( X )  p  p2
Var( X )  p(1  p)
x 1 x
f(x) = p q
E( X )  p
Var( X )  pq
Distribuição Bernoulli
Considere o experimento: retira-se uma bola da urna. Define-se uma
v.a. X cujos valores são 1 se a bola escolhida for vermelha (sucesso) e
0 caso contrário (fracasso).
x
1 x
 5 2
f ( x)  p x q1 x     
7 7
E( X )  p 
5
 0,714
7
Var( X )  pq 
5 2 10

 0, 204
7 7 49
X: {0, 1}
Distribuição Binomial
Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (com reposição).
Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de
bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas.
X: {0, 1, 2, 3}
O experimento envolve 3 eventos independentes.
Para cada evento:
P(vermelha) = 5/7 = p (probabilidade de sucesso)
P(azul) = 2/7
= q (probabilidade de fracasso, q = 1 - p)
Distribuição Binomial
Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (com reposição).
Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de bolas
vermelhas dentre as 3 escolhidas.
X: {0, 1, 2, 3}
p = 5/7
n = 3 (número de bolas retiradas da urna)
q = 2/7
2 2 2  2 3
8
   
P( X  0) 
7 7 7  7  343
5 5 5  5 3 125

P( X  3) 

7 7 7  7  343
qqq
ppp
2
3! 5 2 2
5 2
60
 3  
P( X  1) 

 
1!2! 7 7 7
 7  7  343
pqq
2
3! 5 5 2
5
2
150
 3     
P( X  2) 
2!1! 7 7 7
 7   7  343
ppq
n!
p x qn  x
f (x) = ?
x !( n  x )!
n
f ( x )    p x qn  x
 x
Distribuição Binomial
Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (com reposição).
Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de
bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas.
X: {0, 1, 2, 3}
n
f ( x )    p x qn  x
 x
A v.a. Binomial pode ser entendida como uma
somatória de n v.a. Bernoulli, já que, para cada evento
(tirar uma bola) há uma probabilidade p de sucesso
(tirar bola vermelha) e q de fracasso (tirar bola azul).
n
X  Yi onde cada Yi tem distribuição Bernoulli (0 ou 1)
i 1
E( X )  ?
Var ( X )  ?
n
 n  n
E ( X )  E  Yi    E (Yi )   p  np
i 1
 i 1  i 1
n
 n  n
Var( X )  Var  Yi   Var (Yi )   pq  npq
i 1
 i 1  i 1
Distribuição Binomial
Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (com reposição).
Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de
bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas.
p = 5/7
q = 2/7
n=3
x
3 x
 n  x n x  3   5   2 
f ( x)    p q       
 x
 x 7   7 
5 15
 2,143
E ( X )  np  3 
7 7
Var( X )  npq  3
5 2 30

 0,612
7 7 49
X: {0, 1, ..., n}
Distribuição Geométrica
Considere o experimento: retiram-se bolas da urna (com reposição),
até que se consiga uma bola vermelha. Define-se uma v.a. X cujos
valores representam o número total de bolas azuis (fracassos)
retiradas da urna até obter uma bola vermelha (sucesso).
X: {0, 1, 2, ..., }
O experimento envolve de 1 a infinitos eventos independentes.
Para cada evento:
P(vermelha) = 5/7 = p (probabilidade de sucesso)
P(azul) = 2/7
= q (probabilidade de fracasso, q = 1 - p)
Distribuição Geométrica
Considere o experimento: retiram-se bolas da urna (com reposição),
até que se consiga uma bola vermelha. Define-se uma v.a. X cujos
valores representam o número total de bolas azuis (fracassos)
retiradas da urna até obter uma bola vermelha (sucesso).
X: {0, 1, 2, ..., }
p = 5/7
q = 2/7
3
P( X  0) 
2 2 2 5  2  5
40
    
P( X  3) 
 0,017
7 7 7 7  7   7  2401
5
 0, 714
7
qqqp
p
P( X  1) 
2 5 10
 0, 204

7 7 49
qp
2
2 2 5  2   5  20

P( X  2) 

 0,058
7 7 7  7   7  343
qqp
f (x) = ?pq x
Distribuição Geométrica
Considere o experimento: retiram-se bolas da urna (com reposição),
até que se consiga uma bola vermelha. Define-se uma v.a. X cujos
valores representam o número total de bolas azuis (fracassos)
retiradas da urna até obter uma bola vermelha (sucesso).
X: {0, 1, 2, ..., }

E ( X )   xP( X  x )
x 0

f ( x)  pq x
E ( X )   xpq x
x 0

E ( X )  pq xq x 1
x 1

E( X )  ?
Var ( X )  ?
d  q 
dq  1  q   1
2
p
1
E ( X )  pq 2
p
E ( X )  pq
dq x
E ( X )  pq
x 1 dq
dq x

dq
d  x
q
E ( X )  pq  q

dq x 1
1 q
E( X ) 
q
p
Distribuição Geométrica
Considere o experimento: retiram-se bolas da urna (com reposição),
até que se consiga uma bola vermelha. Define-se uma v.a. X cujos
valores representam o número total de bolas azuis (fracassos)
retiradas da urna até obter uma bola vermelha (sucesso).
X: {0, 1, 2, ..., }
Var( X )  E( X 2 )  [ E( X )]2

E ( X )   x 2 P( X  x )
2
f ( x)  pq x
x 0

E ( X 2 )   x 2 pq x
x 0
q2  q
E( X ) 
p2
2
E( X ) 
q
p
Distribuição Geométrica
Considere o experimento: retiram-se bolas da urna (com reposição),
até que se consiga uma bola vermelha. Define-se uma v.a. X cujos
valores representam o número total de bolas azuis (fracassos)
retiradas da urna até obter uma bola vermelha (sucesso).
X: {0, 1, 2, ..., }
f ( x)  pq x
Var( X )  E( X 2 )  [ E( X )]2
q2  q q2
Var( X ) 
 2
p2
p
Var ( X ) 
E( X ) 
q
p
q
p2
Distribuição Geométrica
Considere o experimento: retiram-se bolas da urna (com reposição),
até que se consiga uma bola vermelha. Define-se uma v.a. X cujos
valores representam o número total de bolas azuis (fracassos)
retiradas da urna até obter uma bola vermelha (sucesso).
p = 5/7
q = 2/7
5 2
f ( x)  pq   
77
x
E( X ) 
x
X: {0, 1, 2, ..., }
q 27 2

  0, 4
p 75 5
Var ( X ) 
2 49 14
q


 0,56
p 2 7 25 25
Distribuição Binomial Negativa
Considere o experimento: retiram-se bolas da urna (com reposição),
até que se consiga 3 bolas vermelhas. Define-se uma v.a. X cujos
valores representam o número total de bolas azuis (fracassos)
retiradas da urna até obter as 3 bolas vermelhas (sucessos).
X: {0, 1, 2, ..., }
O experimento envolve de 3 a infinitos eventos independentes.
Para cada evento:
P(vermelha) = 5/7 = p (probabilidade de sucesso)
P(azul) = 2/7
= q (probabilidade de fracasso, q = 1 - p)
Distribuição Binomial Negativa
Considere o experimento: retiram-se bolas da urna (com reposição),
até que se consiga 3 bolas vermelhas. Define-se uma v.a. X cujos
valores representam o número total de bolas azuis (fracassos)
retiradas da urna até obter as 3 bolas vermelhas (sucessos).
X: {0, 1, 2, ..., }
p = 5/7
q = 2/7
r=3
 x  r  1 r x
f (x) = ?
p q
x


3
5 5 5 5
P( X  0) 

 0,364
7 7 7  7 
ppp
3
3! 2 5 5 5
2 5
 3    0,312
P( X  1) 
1!2! 7 7 7 7
77
qppp
2
3
4! 2 2 5 5 5
2
5
 6      0,178
P( X  2) 
2!2! 7 7 7 7 7
7 7
qqppp
Distribuição Binomial Negativa
Considere o experimento: retiram-se bolas da urna (com reposição),
até que se consiga 3 bolas vermelhas. Define-se uma v.a. X cujos
valores representam o número total de bolas azuis (fracassos)
retiradas da urna até obter as 3 bolas vermelhas (sucessos).
X: {0, 1, 2, ..., }
A v.a. Binomial Negativa pode ser entendida como uma
somatória de r v.a. Geométrica.
r
 x  r  1 r x
f ( x)  
pq

x 

E( X )  ?
Var ( X )  ?
X  Yi onde cada Yi tem distribuição Geométrica
i 1
Y1 = 2 Y2 = 4 Y3 = 3
Por exemplo: q q p q q q q p q q q p  X = 9
r
q rq
 r  r
E ( X )  E  Yi    E (Yi )   
p
i 1 p
 i 1  i 1
r
q
 r  r
rq
Var( X )  Var  Yi   Var (Yi )   2  2
p
i 1 p
 i 1  i 1
Distribuição Binomial Negativa
Considere o experimento: retiram-se bolas da urna (com reposição),
até que se consiga 3 bolas vermelhas. Define-se uma v.a. X cujos
valores representam o número total de bolas azuis (fracassos)
retiradas da urna até obter as 3 bolas vermelhas (sucessos).
p = 5/7
q = 2/7
r=3
 x  r  1 r x  x  2   5  3  2  x
f ( x)  
p q 
   
x


 x  7   7 
E( X ) 
rq
27 6
3
  1, 2
p
75 5
Var ( X ) 
2 49 42
rq

3

 1,68
7 25 25
p2
X: {0, 1, 2, ..., }
Distribuição Hipergeométrica
Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (sem
reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores representam o
número total de bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas.
número de
número
bolas retiradas
total
número
de bolas
da
de urna
bolas
na urna
vermelhas na urna
X: {1, 2, 3}
P( X  0) 
n=3
M=7
210
0
765
aaa
2 1
3! 5 2 1

3
P( X  1) 
42 7
1!2! 7 6 5
vaa
P( X  2) 
8 4
3! 5 4 2

3
42 7
2!1! 7 6 5
vva
K=5
P( X  3) 
5 4 3 12 2


7 6 5 42 7
vvv
K!
( M  K )!
n!
( K  x)! [( M  K )  (n  x)]!
f (x) = ?
M!
x !(n  x)!
( M  n)!
 K  M  K 
 x  n  x 

f ( x)    
M 
n
 
Distribuição Hipergeométrica
Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (sem
reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores representam o
número total de bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas.
E( X )  n
X: {1, 2, 3}
K
M
Var ( X )  n
 K  M  K 
 x  n  x 

f ( x)    
M 
n
 
E( X )  ?
Var ( X )  ?
K M K M n
M M M 1
OBS: se M for muito grande:
K
 p (probabilidade de sucesso)
M
M K
 q (probabilidade de fracasso)
M
M n
 1  E ( X )  np Var( X )  npq
M 1
Hipergeométrica  Binomial
Distribuição Hipergeométrica
Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (sem
reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores representam o
número total de bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas.
M=7
K=5
n=3
 K  M  K 
 x  n  x 

f ( x)    
M 
n
 
E( X )  n
 5 2 
 x3 x
 

7
 3
 
X: :{max(0,
{?, ..., ?}n  M  K ),..., min(n, K )}
X
K
5
 3  2,143
M
7
Var ( X )  n
K M K M n
5 2 4 120
3

 0, 408
M M M 1
7 7 6 294
Distribuição de Poisson
Suponha que uma central telefônica recebeu 270 chamadas num período de 3
horas, ou seja, 1,5 chamadas por minuto. Deseja-se calcular a probabilidade de
que nos próximos 3 minutos sejam recebidas 0, 1, 2, etc chamadas.
Considere que a qualquer instante, uma chamada é tão provável de ocorrer
como em qualquer outro instante e assim, a probabilidade permanece
constante.
Pode-se considerar cada intervalo como
uma Bernoulli, sendo sucesso receber
0
1
2
3 min
uma chamada e fracasso não receber
nenhuma chamada.
Sendo assim, quanto vale p = P(sucesso)?
E ( X )  4, 5
(X é o número de chamadas recebidas em 3 minutos)
como n = 9, então
np = 4,5
portanto p = 0,5
9
9
x
9 x
9
f ( x )     0,5  0,5     0,5
 x
 x
Problema: não considera a possibilidade
de 2 ou mais chamadas dentro do
mesmo intervalo!
Distribuição de Poisson
Suponha que uma central telefônica recebeu 270 chamadas num período de 3
horas, ou seja, 1,5 chamadas por minuto. Deseja-se calcular a probabilidade de
que nos próximos 3 minutos sejam recebidas 0, 1, 2, etc chamadas.
Considere que a qualquer instante, uma chamada é tão provável de ocorrer
como em qualquer outro instante e assim, a probabilidade permanece
constante.
0
1
2
3 min
E ( X )  4,5
como n = 18, então
p = 0,25
18 
x
18 x
f ( x )     0,25  0,75
x
Problema: não considera a possibilidade
de 2 ou mais chamadas dentro do
mesmo intervalo!
Distribuição de Poisson
Suponha que uma central telefônica recebeu 270 chamadas num período de 3
horas, ou seja, 1,5 chamadas por minuto. Deseja-se calcular a probabilidade de
que nos próximos 3 minutos sejam recebidas 0, 1, 2, etc chamadas.
Considere que a qualquer instante, uma chamada é tão provável de ocorrer
como em qualquer outro instante e assim, a probabilidade permanece
constante.
0
1
2
3 min
n intervalos
Se n  , então p  0 e f(x) tende para:
E ( X )  4,5    np
então
e   x
f ( x) 
x!

p
n
n  
f ( x)     
 x n 
x
 
1  
n

(distribuição de Poisson)
n x
E ( x)  
Var( x)  
Distribuição de Poisson
Suponha que uma central telefônica recebeu 270 chamadas num período de 3
horas, ou seja, 1,5 chamadas por minuto. Deseja-se calcular a probabilidade de
que nos próximos 3 minutos sejam recebidas 0, 1, 2, etc chamadas.
Considere que a qualquer instante, uma chamada é tão provável de ocorrer
como em qualquer outro instante e assim, a probabilidade permanece
constante.
0,25
Binomial
n = 10, p = 0,45
Binomial
Binomial
20, pp==0,225
nn == 160,
0,028
0,2
0,15
0,1
0,05
Poisson
0
0
5
10
15
20
Dica para identificação: eventos em que somente é possível contar os sucessos mas não os fracassos
Resumo Distribuições Discretas
n=1
r=1