ELECTROMAGNETISMO
EXAME – 1ª Chamada
18 de Junho de 2010
Responda a cinco das seis questões. As perguntas têm o mesmo peso. Justifique o seu raciocínio e as
fórmulas que utilizar. A duração do teste é de 180 minutos.
1. Um fio rectilíneo muito comprido, de raio 𝑅, tem uma densidade de carga volúmica 𝜌 que é
uniforme e positiva.
a. Qual é a direcção e qual é o sentido do campo eléctrico devido a esta distribuição de carga?
b. Deduza uma expressão para a densidade de carga linear 𝜆.
c. Recorrendo à lei de Gauss, deduza uma expressão para a intensidade do campo eléctrico a
d.
uma distância 𝑟 do eixo do fio, quando 𝑟 > 𝑅.
Deduza uma expressão para a intensidade do campo eléctrico a uma distância 𝑟 do eixo do
fio, quando 𝑟 < 𝑅.
2. Duas partículas carregadas, ambas com carga 𝑞0 = +3 𝜇𝐶, foram colocadas no eixo dos 𝑥𝑥, em
𝑥 = +1.00 𝑚 e 𝑥 = −1.00 𝑚 respectivamente.
a. Calcule o potencial eléctrico na origem. Que valor tomou para o potencial eléctrico de
referência?
b. Deduza uma expressão para o potencial eléctrico ao longo do eixo dos 𝑦𝑦.
c. Calcule o potencial eléctrico em 𝑦 = +0.500 𝑚 e em 𝑦 = −0.500 𝑚 no eixo dos 𝑦𝑦.
d. Calcule a variação da energia potencial eléctrica do sistema quando uma terceira partícula
com carga 𝑞1 = −3𝜇𝐶 trazida do infinito até ao ponto 𝑦 = +0.500 𝑚 no eixo dos 𝑦𝑦.
3. No circuito ilustrado na fig.1, o interruptor 𝑆 está aberto há muito tempo e o condensador já está
completamente carregado. O interruptor é depois fechado no momento 𝑡 = 0.
a. Calcule a constante de tempo 𝜏1 que esteve associada à carga do condensador quando o
interruptor estava aberto.
b. Determine a carga no condensador quando 𝑡 = 0.
c. Calcule a constante de tempo 𝜏2 associada ao processo de descarga do condensador.
d. Determine a intensidade da corrente total no interruptor quando 𝑡 = 1.00 𝑠.
1
Figura 1
4. O campo magnético num reactor de fusão nuclear tokamak é produzido por um enrolamento com
forma toroidal, conforme ilustrado na fig.2. O toróide tem um raio interno 𝑏 = 0.700 𝑚 e um
raio externo 𝑐 = 1.30 𝑚 e é composto por 900 espiras que são percorridas por uma corrente cuja
intensidade é de 14 kA.
a. O que diz a lei de Ampère?
b. Deduza uma expressão para a magnitude do campo magnético no interior do toróide.
c. Qual é a magnitude do campo magnético para 𝑟 = 0.700 𝑚? E para 𝑟 = 1.30 𝑚?
d. Qual é a direcção do campo magnético no exterior do toróide?
Figura 2
5. Uma espira quadrada plana, com 𝑎 = 0.200 𝑚 de lado, está ligada a um amperímetro, como está
ilustrado na fig. 3. A espira está mergulhada no campo magnético terrestre num local onde a sua
magnitude é de 30.0 𝜇𝑇 e cuja direcção faz um ângulo de 60° com o eixo da espira. As linhas de
campo magnético atravessam a espira vindas de trás do plano da figura. A resistência total do
circuito é igual a 0.500 Ω. A dada altura, as forças 𝐹 ilustradas na figura reduzem rapidamente a
área da espira a zero.
a. Calcule o fluxo magnético que atravessa a espira na sua configuração inicial.
b. Qual é o sentido da corrente induzida durante o colapso da espira e porquê?
c. Escreva uma expressão para a força electromotriz induzida na espira quando a sua área, 𝐴,
está a diminuir. Escreva uma expressão para a corrente induzida.
2
d.
Qual é a carga total que passa pelo amperímetro quando a espira passa da sua configuração
inicial para a sua configuração final?
Figura 3
6. Considere o circuito representado na fig. 4. A corrente é nula até ao instante 𝑡 = 0, a partir do
qual uma fonte de corrente faz circular uma corrente constante 𝐼 = 10.0 𝐴 no circuito.
a. Qual é a intensidade da corrente 𝐼𝐿 no indutor quando 𝑡 = 0?
b. Qual é a diferença de potencial aos terminais do indutor nesse mesmo instante?
c. Para que valor tende 𝐼𝐿 quando 𝑡 → ∞? Escreva uma expressão para a variação de 𝐼𝐿 em
função do tempo.
d. Qual é o valor de 𝐼𝐿 quando 𝑡 = 200 𝜇𝑠?
Figura 4
3
1. Campo eléctrico

1 q1 q 2 
F12 =
r12
4πε 0 r 2
2. Lei de Gauss


Fe = q E

q 
E = ke 2 r
r
3. Potencial eléctrico
B
B
 
 
∆U = −q 0 E ⋅ ds
∆V = − E ⋅ ds
∫
∫
A
q
r
V = ke
A
4. Condensadores
ε A
Q
C= 0
C=
d
∆V

E = ke
V = ke

1 Q2 1
1
U=
= Q∆V = C (∆V ) 2
τ =
p = 2aq
2 C
2
2
5. Corrente e resistência
I
dQ
∆V
J=
R=ρ
I=
R=
J =σ E
A
dt
I 
m

qE
ρ = 2e
I = nqv d A v d =
τ
me
nq τ
6. Circuitos de corrente contínua
I (t ) =
ε
t
−
RC
e
q(t ) =
R
7. Campos magnéticos

mv
 
qB
r=
ω=
FB = q v × B
m
qB
 
U = −µ ⋅ B
8. Fontes de campo magnético
 µ 0 I ds × rˆ
FB µ 0 I1 I 2
=
B=
2
4π

2πa
r
I (t ) = −
∫
9. A lei de Faraday
dΦ B
ε =−
ε = − Blv
dt
10. Indutância
L=−
εL

N ΦB
L=
I
dI dt

∫ E ⋅ ds = −
Q
RC
µ 0 = 4 π × 10 −7 N A −2
g = 9.807 m s −2
U = ke
q1 q 2
r12
Ex = −
dV
dx
C = κ C0
uE =
1
ε0E2
2
ρ = ρ 0 [1 + α (T − T0 )]
∑
Ik = 0
P = I ∆V = RI 2 =
∆Vk = 0
k
k
(∆V )2
R
t

−
RC

q (t ) = Q 1 − e






t
−
RC
e

 
FB = IL × B
B = µ0
ε 

 
dFB = I ds × B
N
I = µ0 n I

ΦB =
∫
 



µ = I A τ = µ×B
 
B ⋅ dA
S
∫

B ⋅ dA = 0
tR

ε −L
L
1

I=
1− e
I= e
τ=
U = LI2

R 
R
R
2

dI
dI
1
=M
ε1 = −M 2
ε 2 = −M 1 ω =
dt
dt
LC
N Φ
NΦ
1 B2
M 12 = 2 12 = M 21 = 1 21
I1
I2
2 µ0
11. Circuitos de corrente alternada
1
Z = R2 + (X L − X C )2
XL =ω L
XC =
ωC
Constantes
ε0
S
dΦ B
dt
N2
L = µ0
A

Pmed = I ef2 R
∫
 
U = −p⋅E
∑
 
B ⋅ ds = µ 0 I
uB =
Pmed = I ef ∆Vef cos φ

A


 
F = qE + qv × B
∫
∫
dq
r
 
p×E
1
1
1
1
=
+
+
+
Req R1 R2 R3
t
−
RC
Qe
i
  Q
Φ E = E ⋅ dA =
1
1
1
1
=
+
+
+ ...
C eq C1 C 2 C3
C eq = C1 + C 2 + C3 + ...
Req = R1 + R2 + R3 + 
∑
qi 
ri
ri 2
ω0 =
1
LC
−
tR
L
 XL − XC 

R


φ = tan −1 
∆v 2 =
4
∆Vmax
2
I ef =
I max
2
N2
∆v1
N1
ε 0 = 8.854 × 10 −12 F m −1
k e = 8.988 × 10 9 N m 2 C −2
∆Vef =
e = −1,602 × 10 −19 C
m p = 1,673 × 10 −27 kg