RPM 29 - Uma interpretação geométrica do mdc
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Zelci Clasen de Oliveira
Ribeirão Preto, SP
Um dia desses, uma colega trouxe-me uma questão que havia visto num concurso. Era
mais ou menos assim:
Um terreno retangular de 221 m por 117m será cercado. Em toda a volta desse cercado, serão
plantadas árvores igualmente espaçadas. Qual o maior espaço possível?
Respondi logo: — Ora, é um problema de MDC (subentendendo que uma árvore deve ser
plantada em cada canto do terreno e o espaço entre as árvores deve ter um número inteiro
de metros).
Calculei logo o valor pelo método das divisões sucessivas e obtive o resultado:
1
1
8
221
117
104
13
104
13
0
13 m.
A colega disse então que havia proposto o mesmo problema ao pai de um amigo, e que
ele havia chegado mentalmente à resposta sem que soubesse explicar como. Na tentativa
de adivinhar seu raciocínio, desenhei um retângulo e coloquei suas medidas: 221 e
117.
— Quem sabe ele não pensou: 117 não divide 221. Fazendo a diferença 221 menos 117,
encontramos 104. Porém, 104 não divide 117. Fazendo então a diferença 117 menos 104,
encontramos 13, que divide 104 e é a resposta do problema.
A figura que fiz enquanto falava, mostrava o retângulo original dividido em quadrados:
um de lado 117, outro de lado 104 e mais oito quadradinhos de lado 13. Ela ficou assim:
Percebi imediatamente que ali estava o princípio das divisões sucessivas, visto através de
uma imagem geométrica. Procurei então enunciar o "método" de encontrar o MDC de
dois números que a figura me sugeria e, depois de algumas tentativas, o enunciado que
mais me agradou foi o seguinte:
Dados dois números naturais a e b, construímos um retângulo com essas
dimensões. Cobrindo esse retângulo com os maiores quadrados possíveis, o lado
do menor quadrado será o MDC entre a e b.
Para que todos entendam bem esse
enunciado, vou dar mais um exemplo.
Observe, na figura ao lado, o retângulo de
dimensões 55 e 15. Vamos cobrir esse
retângulo com os maiores quadrados
possíveis. São três quadrados de lado 15,
um quadrado de lado 10 e dois quadrados
de lado 5. Isso quer dizer que o MDC
entre 5 e 15 é 5.
file://D:\29\5.htm
10/11/2009
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Simples, não? Foi gratificante encontrar uma forma de ilustrar um procedimento
aritmético usando áreas, mostrando mais uma vez
a importância do relacionamento de assuntos diversos da Matemática elementar.
Dias depois do que acabo de relatar, lendo a História da Matemática, de Carl Boyer,
encontro, na página 84, uma referência ao livro dos Elementos de Euclides, que contém,
essencialmente, o "método" que imaginei. Diz o seguinte:
Dados dois números diferentes, subtrai-se o menor a do maior b repetidamente
até que se obtenha um resto r1 menor do que o menor número; então subtrai-se
repetidamente esse resto r1 de a até resultar um resto r2 menor do que r1 então
subtrai-seUma
repetidamente
r2 de r1Geométrica
e assim por diante,
finalmente, o processo leva
Interpretação
do mdc
(2)
a um resto rn que mede rn-1 portanto todos os restos precedentes, bem como a
e b; esse número rn será o máximo divisor comum de a e b.
Apesar do "achado", considero ainda importante a maneira de abordar a questão através
da visualização geométrica, proporcionando a professores e alunos uma interessante
alternativa de tratar o assunto.
NOTAS da RPM
(1) Em Matemática, como não é possível conhecer tudo o que já foi publicado ao longo
da História, estamos freqüentemente redescobrindo coisas, ou seja. tendo idéias que
outros, no passado, já tiveram. Isso não importa. As boas idéias devem ser
divulgadas, mesmo que não sejam completamenle originais
(2) No final da referência ao texto de Euclides que consta do livro de Boyer,onde se lê
"... um resto rn que mede rn-1. . . ", o leitor deve entender ". . . um resto rn que
divide rn-1. . .".
(3) O Caderno da RPM, vol.5, n.° 1, de 1994. contém um resumo dos assuntos tratados
nos Elementos de Euclides, obra máxima da Matemática da Antiguidade, fonte de
conhecimento ao longo de séculos e alicerce de todo o desenvolvimento posterior.
Zelci Clasen de Oliveira, é bacharel em Estatística pela Universidade Federal de São Carlos e
licenciado em Ciências pela Instituição Moura Lacerda de Ribeirão Preto. Leciona Matemática para
alunos do 2.° grau no Colégio Oswaldo Cruz de Ribeirão Preto e Franca, SP.
file://D:\29\5.htm
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