ESTATÍSTICA I - 2º Ano/Gestão 2º semestre, PADEF.
2ª Parte – Prática – 1h15m
04. 07. 03
Cotação da 1º Parte: 10 Valores. Durante o decorrer da prova não serão prestados quaisquer esclarecimentos. Justifique
todos os preocedimentos. BOA SORTE!
1. Um saco tem 6 bolas, 4 das quais são brancas.
a) Se se extrair duas bolas, sem reposição, qual a probabilidade de pelo menos uma delas ser
branca?
b) Lança-se um dado perfeito: se sair um número impar extrai-se uma bola do saco; se sair um
número par extraem-se duas bolas, sem reposição. Qual a probabilidade de todas as bolas
extraídas serem brancas?
2. Ao centro de atendimento de clientes de uma grande empresa, que presta serviços através do seu site
da Internet, chegam em média 10 reclamações, por hora, sobre a qualidade do serviço. Admite-se de
acordo com um processo de Poisson (homogéneo).
a) Verifique que a proporção de horas em que chegam 9 ou 10 reclamações é a mesma. Justifique o
resultado.
b) Qual a probabilidade de não chegar qualquer reclamação num período de 15 minutos?
c) Qual a probabilidade de em 8 horas de expediente o número de reclamações exceder 95?
3. Seja (X,Y) uma variável aleatória bidimensional com a seguinte função probabilidade:
Y\X
0
1
0
0.1
0.1
1
0.1
0.3
2
0.2
0.2
a) Através do coeficiente de correlação analise a relação entre elas.
b) Calcule Var(X+Y).
4. Em duas populações independentes, sabe-se que a proporção de indivíduos com acesso à Internet é
idêntica (θ=0.6).
Se se observar uma amostra de dimensão 48, de cada uma das populações, qual a probabilidade da
diferença entre as proporções amostrais ser superior a 20%?
Cotação:
1.a)
10
b)
15
2.a)
10
b)
10
c)
15
3.a)
15
b)
10
4.
15
ISEG
ESTATÍSTICA I - 2º Ano/Gestão 2º semestre, PADEF
1ª Parte - Teórica – 45m
Versão A
04. 07. 03
Cotação da 2º Parte: 10 Valores. . As respostas são efectuadas no espaço a seguir disponível. Durante o decorrer da prova não
serão prestados quaisquer esclarecimentos. BOA SORTE!
Nome:__________________________________________________________________________Turma:_________
1. Considere uma colecção de dados e respectiva distribuição de frequências. Indique as respostas
verdadeiras (V) ou falsas (F), assinalando com X na quadrícula respectiva:
V
F
Numa distribuição de frequências simétrica a média é igual à mediana e ao 2º quartil.
Se os dados forem discretos então a representação gráfica da distribuição de frequências
pode ser representada por um histograma.
A representação dos dados pelo diagrama de caixa de bigodes evidencia algumas
características da distribuição tais como: média, moda(s), variância, frequências relativas.
Se os dados forem discretos então o cálculo exacto da média pode ser feito pela distribuição
frequências.
[Atenção: Cada resposta certa vale 2,5 cada resposta errada vale –2,5. A classificação desta questão variará entre
um mínimo de zero e um máximo de 10]
A, B ⊂ Ω . Com base nos axiomas da teoria matemática da probabilidade
prove que P ( B − A) = P( B ) − P( A ∩ B ) .
[Cotação: 10]
2. Sejam os acontecimentos
3. Considere uma experiência aleatória e o acontecimento
probabilidade explique como calcula P ( A) .
A ⊂ Ω . Recorrendo ao conceito clássico de
[Cotação: 10]
4. Considere as variáveis aleatórias X e Y cujas funções de probabilidade são, respectivamente, as
seguintes:
y
x
-1
0
1
1
2
3
f ( x) 0.45 0.1 0.45
g ( y ) 0.45 0.1 0.45
[Cotação: 10]
a) Sem fazer qualquer cálculo justifique que E ( X ) = 2 e E (Y ) = 0 .
b) Sem fazer qualquer cálculo, explique, fundamentado cuidadosamente, por que é que
V ( X ) = V (Y ) apesar de terem médias diferentes. [Responda nas linhas seguintes]
[Cotação: 10]
a)
b)
5. Considere uma v.a. X com função geradora de momentos M X ( s ) = θ (θ − s )
E( X ) e V ( X ) .
−1
para s < θ . Calcule
[Cotação: 15]
vsff →
6. Seja X ~ N (0;1) . Explique porque é que P (− a < X < a ) = 2Φ ( a ) − 1 .
[Cotação: 10]
7. Sejam as variáveis aleatórias X e Y com distribuição conjunta F ( x, y ) . Indique as respostas verdadeiras
(V) ou falsas (F), assinalando com X na quadrícula respectiva:
V
F
Se conhecer as distribuições marginais nunca pode obter a distribuição conjunta.
X e Y são independentes, X ~ N (0;1) e Y ~ χ 2 (n) . Então
nX 2
~ F (1; n) .
Y
X e Y são variáveis aletórias discretas, então F ( x, y ) pode ser distribuição contínua.
F ( x, y ) é Normal bidimensional com ρ = 0 . Então X e Y são independentes.
[Atenção: Cada resposta certa vale 3,75 cada resposta errada vale –3,75. A classificação desta questão variará
entre um mínimo de zero e um máximo de 15]
8. Seja a amostra casual ( X 1 , K , X n ) da população X ~ B (1,θ ) . Mostre que a distribuição da amostra
é
n
∑ xi
f ( x1 , x2 ,..., xn ) = θ i =1 (1 − θ )
n
n −∑ xi
i =1
.
[Cotação: 10]