Aerodinâmica
Balanço de Quantidade de Movimento
• Equações de Navier-Stokes
• Variação de quantidade de movimento,
- Derivada temporal,
r
∂v
ρ
∂t
Escoamento permanente (estacionário) se
- Termo convectivo,
r
r
r
 ∂v
∂v
∂v 
ρ  u + v + w 
∂y
∂z 
 ∂x
• Força de pressão
r
- Gradiente de pressão, ∇p
• Forças viscosas
r r
- Termo difusivo, µ∇ ⋅ ∇ui (u1 = u, u2 = v, u3 = w)
• Forças mássica,
r
ρg
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
r
∂v
=0
∂t
Aerodinâmica
Balanço de Quantidade de Movimento
• Condições de fronteira
1. Superfície Sólida
r
r
r
vs = vsn n + vst t → Velocidade da superfície
r
r
r
v = vn n + vt t → Velocidade do fluido
• vt=vst – Condição de não escorregamento
(no-slip condition)
• vn=vns – Condição de impermeabilidade
(impermeability condition)
r
Referencial solidário com a superfície ⇒ v = 0
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Aerodinâmica
Balanço de Quantidade de Movimento
• Condições de fronteira
2. Interface de dois fluidos não mísciveis
r
r
r
v1 = vn1n + vt1t → Velocidade do fluido 1
r
r
r
v2 = vn 2 n + vt 2t → Velocidade do fluido 2
r r
v
• 1 = v2
– Continuidade do vector velocidade
• τ1 = τ 2
– Igualdade da tensão de corte
• σ 1 − σ 2 = ∆pts – Discontinuidade da tensão normal
dada pela tensão superficial
1 1
∆pts = σ  − 
σ → Tensão superficial
 r1 r2 
r1 r2 → Raios principais de
curvatura da superfície
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Aerodinâmica
Balanço de Quantidade de Movimento
• Inclusão das forças mássicas no termo de pressão
r
r r
r
Dv
1 r
= − ∇p + ν ∇ ⋅ ∇u i + g
Dt
ρ
• Fluido em repouso
r
r 1 r
1 r
0 = − ∇p h + g ⇔ g = ∇p h
(
)
ρ
ρ
• ph ≡ Pressão hidrostática
r
r r
Dv
1 r
= − ∇ ( p − p h ) + ν ∇ ⋅ ∇u i
Dt
ρ
(
)
• p = ( p − ph ) pressão relativa à pressão hidrostática
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Aerodinâmica
Balanço de Energia
• Forma integral
v2
ξ = e = u + + gz
2


r r
∂
v2
v2
& + W&




(
)
u
+
+
gz
dV
+
h
+
+
gz
v
⋅
n
dS
=
Q
∫Vo ∂t  2  ∫So  2 
• Forma diferencial
r
r
r r r
De r r
ρ
+ v ⋅ ∇p = ∇ ⋅ (k∇T ) + ∇ ⋅ (v ⋅τ ij )
Dt
r r r
r r r
∇ ⋅ (v ⋅τ ij ) ≡ v ⋅ ∇ ⋅τ ij + Φ
(
Φ→
)
Dissipação viscosa
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Aerodinâmica
Escoamento Couette Laminar e Incompressível
y
Û
h
x
• Escoamento permamente,
∂
=0
∂t
∂
=0
• Escoamento independente da direcção z,
∂z
(bi-dimensional)
r
∂v
• Escoamento completamente desenvolvido,
=0
∂x
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Escoamento Couette Laminar e Incompressível
y
Û
h
x
• Condições de Fronteira
- Impermeabilidade das paredes:
y =0⇒v =0 y =h⇒v =0
- Não escorregamento:
y = 0 ⇒ u = 0 y = h ⇒ u = Uˆ
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• Equação da continuidade
∂v
= 0 ⇔ v = const.
∂y
• Condição de fronteira
v=0
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• Balanço de quantidade de movimento, x
1 ∂p
∂ 2u
0=−
+ν 2
ρ ∂x
∂y
• Balanço de quantidade de movimento, y
1 ∂p
0=−
ρ ∂y
• A pressão só pode variar com x
r
dp
 ∂v

tem de ser indepedente de x 
= 0
dx
 ∂x

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• Balanço de quantidade de movimento, x
∂ 2u 1 dp 1 ∂τ yx
ν 2=
=
∂y
ρ dx ρ ∂y
∂u
τ yx = µ
∂y
• Condições de fronteira
y =0⇒u =0
y = h ⇒ u = Uˆ
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• Solução
y ˆ 1 dp
u= U−
y (h − y )
h
2 µ dx
Uˆ dp 
h
τ yx = µ +  y − 
h dx 
2
• Comprimento e velocidade de referência
Lref = h
U ref = Uˆ
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Escoamento Couette Laminar e Incompressível
• Solução com variáveis adimensionais
u y
 y 
= 1 − Λ1 − 
ˆ
U h
 h 
2 
 1 y 
=
1 − 2Λ − 

2
ˆ
Re 
1 2 ρU
 2 h 
τ yx
• Números adimensionais
Uˆh
Re =
Número de Reynolds
ν
h 2 dp
Λ=
2 µU dx
Parâmetro do gradiente de pressão
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• Números adimensionais
ρUˆ 2
h
Número de Reynolds
Uˆ
µ 2
h
dp
Parâmetro do gradiente de pressão
Λ = dx
ˆ
U
µ 2
h
Re ∝
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Λ=-2
Λ=-1
Λ=0
Λ=1
Λ=2
1
0.9
0.8
1
0.9
0.8
0.7
0.7
y
h
0.6
y
h
0.5
0.4
0.6
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
-0.25
0
0.25
0.5
U Uˆ
0.75
1
1.25
Λ=-2
Λ=-1
Λ=0
Λ=1
Λ=2
0.5
0
-3
-2
-1
0
1
Re τ yx ρÛ 2
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