A2-AA182
18/02/2009
ANATEL
Agência Nacional de
Telecomunicações
Técnico Administrativo
• Matemática
Brasília
2009
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Título da obra: Adendo – ANATEL – Técnico Administrativo – Matemática
Autor:
Júlio Lociks
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SUPERVISÃO DE PRODUÇÃO
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Publicação em 18/2/2009
(A2-AA182)
MATEMÁTICA
Júlio Lociks
PORCENTAGENS
RAZÃO CENTESIMAL
Chamamos de razão centesimal toda razão cujo conseqüente (denominador)
seja igual a 100.
Exemplos:
37 em cada 100 → 37/100
19 em cada 100 → 19/100
Diversas outras razões não centesimais podem ser facilmente reescritas na
forma centesimal.
Exemplos:
3 em cada 10 →
3/10 =
→
30/100
2 em cada 5 → 2/5 = 40/100 →
1 em cada 4 → 1/4 = 25/100 →
30 em cada
100
40 em cada
100
25 em cada
100
Outros nomes usados para uma razão centesimal são razão porcentual, índice
porcentual e percentil.
FORMA PORCENTUAL
Uma razão centesimal pode ser indicada na forma porcentual anotando-se o
antecedente (numerador) da razão centesimal seguido do símbolo % (lê-se ‘por
cento’).
Exemplos:
12
= 12% (doze por cento)
100
3
= 3% (três por cento)
100
PORCENTAGEM
Dados dois números quaisquer, A e B, dizemos que A é igual a p% de B quando
o valor A for igual a p/100 do valor B.
p
×B
100
Na expressão acima, o valor B é a referência do cálculo porcentual. Dizemos,
então, que A é uma porcentagem do número B.
A é p% de B ↔ A =
Todo problema de porcentagens depende, basicamente, de determinarmos um
dos valores dados na expressão acima, A, B ou p em função dos outros dois.
Observação:
Nas questões de concursos públicos, é comum encontrarmos:
- lucro, rendimento, desconto, abatimento, prejuízo etc. indicando uma
porcentagem em situações específicas;
- a expressão “principal” indicando o valor de referência que corresponde a
100%.
Exemplos:
1) Calcular 20% de 250.
Solução: o número procurado é igual a 20% de 250. Logo:
x é 20% de 250 ↔ x = 20 × 250
100
x=
20 × 250 5000
=
= 50
100
100
x = 50
Então, 20% de 250 dá 50.
2) 30 é igual a 20% de quanto?
Solução: da definição de porcentagem temos:
30 é 20% de x ↔ 30 =
20
×x
100
4
30x100 = 20×x
x=
100 × 30
= 150
20
Portanto, 30 é igual a 20% de 150.
3) 21 representa quanto por cento de 15?
Solução: da definição de porcentagem temos:
21 é x% de 15 ↔ 21 =
x
× 15
100
21 x 100 = 15 x
2100
= 140
15
Logo, 21 representa 140% de 15.
x=
FORMA UNITÁRIA
Além da forma porcentual, existe uma outra forma de expressarmos uma razão
porcentual, a qual chamamos de forma unitária.
A forma unitária da razão p/100 é o número decimal que obtemos dividindo
o valor p por 100.
Exemplos:
23%
=
23/100
=
0,23
6%
=
6/100
=
0,06
133%
=
133/100
=
1,33
0,5%
=
0,5/100
=
0,005
AUMENTOS E REDUÇÕES PORCENTUAIS
Quando queremos calcular um aumento ou uma redução de p% sobre determinado valor, normalmente somos levados a calcular o resultado em duas etapas:
1a Calculamos a porcentagem p% do valor dado;
5
2a Adicionamos ou subtraímos do valor original a porcentagem encontrada,
para obter, respectivamente, o valor aumentado ou reduzido em p% do valor dado,
conforme o caso desejado.
Usando a forma unitária, poderemos calcular aumentos e reduções percentuais
de modo mais rápido, usando um dos seguintes raciocínios:
Para calcular um aumento de p%:
Quando aumentamos em p% um valor V, ficamos com (100+p)% de V.
Então, basta multiplicar o valor V pela forma unitária de (100+p)% para
termos o resultado desejado.
Exemplos:
1) Aumentar o valor 230 em 30%
Solução: (100+30)% = 130% = 1,30
230 x 1,30 = 299
2) Aumentar o valor 400 em 3,4%
Solução: (100+3,4)% = 103,4% = 1,034
400 x 1,034 = 413,6
Para calcular uma redução de p%:
Quando reduzimos em p% um valor V, ficamos com (100 - p)% de V.
Então, basta multiplicar o valor V pela forma unitária de (100 - p)% para
termos o resultado desejado.
Exemplos:
1) Reduzir o valor 300 em 30%
Solução: (100 - 30)% = 70% = 0,70
300 x 0,70 = 210
2) Reduzir o valor 400 em 2,5%
Solução: (100 - 2,5)% = 97,5% = 0,975
400 x 0,975 = 390
6
AUMENTOS E REDUÇÕES PORCENTUAIS SUCESSIVOS
Aumentos sucessivos:
Para aumentarmos um valor V sucessivamente em p1 %, p2 %, ...., pn %, de tal
forma que cada um dos aumentos, a partir do segundo, incida sobre o resultado
do aumento anterior, basta multiplicar o valor V pelo produto das formas unitárias
de (100+p1 )% , (100+p2 )%, ..... , (100+pn )% .
Exemplos:
1) Aumentar o valor 2000 sucessivamente em 10% , 20% e 30%
Solução: 2000 x 1,10 x 1,20 x 1,30 = 3432
2) Se o valor 4000 sofrer três aumentos sucessivos de 5%, qual será o valor
resultante?
Solução: 4000 x 1,05 x 1,05 x 1,05 = 4630,5
Reduções sucessivas:
Para reduzirmos um valor V sucessivamente em p1 %, p2 %, ...., pn %, de tal
forma que cada uma das reduções, a partir da segunda, incida sobre o resultado
da anterior, basta multiplicar o valor V pelo produto das formas unitárias de (100
- p1 )% , (100 - p2 )% , ..... , (100 - pn )% .
Exemplos:
1) Reduzir o valor 5000 sucessivamente em 10% , 20% e 30%.
Solução: 2000 x 0,90 x 0,80 x 0,70 = 2520
2) Se o valor 4000 sofrer três reduções sucessivas de 5% , qual será o valor
resultante?
Solução: 4000 x 0,95 x 0,95 x 0,95 = 3429,5
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. A conta de um restaurante indicava uma despesa de R$ 26,00 e trazia a seguinte
observação: “Não incluímos os 10% de serviço”. Quanto representam, em
dinheiro, os 10% de serviço e quanto fica o total da despesa se nela incluirmos
a porcentagem referente ao serviço?
7
Solução:
Serviço = 10% de 26,00 = 2,60
Portanto, os 10% cobrados como serviço representam R$ 2,60.
Incluindo esta porcentagem na despesa original, teremos:
26,00 + 2,60 = 28,60
Assim, o total da despesa passa a ser de R$ 28,60.
2. Numa pequena agência bancária, 32% dos clientes são pessoas jurídicas e os
outros 2.040 são pessoas físicas. Quantos clientes, ao todo, tem esta agência?
Solução:
O total de clientes corresponde a 100%:
Pess. Jurídicas (32%) + Pess. Físicas (x%) = Total (100%)
32% + x% = 100%
x% = 100% - 32% = 68%
Então, os 2.040 clientes pessoas físicas correspondem a 68% do total de clientes.
Chamando o total de clientes de T, poderemos escrever:
68% de T = 2.040
68
× T = 2.040
100
T = 2.040 ×100 = 3.000
68
T = 3.000
Portanto, a agência tem 3.000 clientes.
3. O preço de um produto A é 30% maior que o de B e o preço deste é 20% menor
que o de C. Sabe-se que A, B e C custaram, juntos, R$ 28,40. Qual o preço de
cada um deles?
Solução:
Digamos que os preços de A, B e C são a, b e c, respectivamente:
8
a = (100%+30%) de b = 130% de b → a = 1,3 b
b = (100% - 20%) de c = 80% de c → b = 0,8 c
Comparando as duas igualdades acima, temos:
b = 0,8c e a = 1,3b, portanto a = 1,3 x 0,8c
a = 1,04c
O preço dos três, juntos, é R$ 28,40:
a + b + c = 28,40
1,04c + 0,8c + 1c = 28,40
2,84c = 28,40
c = 10,00 (valor de C)
b = 0,8c = 0,8 x 10 = 8,00 (valor de B)
a = 1,04c = 1,04 x 10 = 10,40 (valor de A)
Então, os preços são:
A custa R$ 10,40, B custa R$ 8,00 e C custa R$ 10,00.
4. Uma mercadoria foi vendida com um lucro de 20% sobre a venda. Qual o
preço de venda desta mercadoria se o seu preço de custo foi de R$ 160,00?
Solução:
A expressão “sobre a venda” significa que o valor de referência para o cálculo
porcentual do lucro, neste exercício, deverá ser o preço de venda (ao contrário
do que é comum!). Portanto, devemos fazer o preço de venda corresponder a
100%.
Observe, então, o esquema:
(Preço de
Custo)
x%
+ (Lucro)
=
+
=
20%
(Preço de
Venda)
100%
x % + 20% = 100%
logo: x% = 80%
Então, o preço de custo (R$ 160,00) corresponde a 80% do preço de venda (V):
80% de V = 160,00 (custo)
9
80
× V = 160
100
Resolvendo, nos dá:
V=
160 × 100
= 200
80
O preço de venda foi de R$ 200,00
5. Para atrair fregueses, um supermercado anuncia por R$ 10,00 um determinado
produto que lhe custou R$ 13,00. Determine a taxa porcentual de prejuízo sobre
o preço de venda.
Solução:
O valor de referência para o cálculo porcentual do prejuízo deverá ser o preço
de venda.
Observe o esquema:
(Preço de
Custo)
(100 + x)%
− (Prejuízo)
−
x%
=
(Preço de
Venda)
100%
=
O valor do prejuízo, em dinheiro, pode ser determinado pela diferença entre
os preços de custo e de venda:
13,00 - 10,00 = 3,00
Assim, podemos dizer que o prejuízo (R$ 3,00) é igual a x% do preço de venda
(R$ 10,00):
x% de 10 = 3
x
× 10 = 3
100
Resolvendo a expressão, encontramos:
x=
100 × 3
= 30
10
O porcentual de prejuízo sobre a venda é de 30%.
10
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Qual a porcentagem correspondente à fração 13/20?
2. A fração 1/3 corresponde a quantos por cento de 5/6?
3. Um terreno foi comprado por R$ 1.200,00 e vendido por R$ 6.000,00. De
quanto foi o porcentual do aumento?
4. Quanto é 30% de 20% de 40% de 6.250?
5. Comprei um objeto por R$ 80,00 e o vendi por R$ 100,00. Qual foi o percentual
do meu lucro sobre o preço de custo?
6. Comprei um objeto por R$ 80,00 e o vendi por R$ 100,00. Qual foi o percentual
do meu lucro sobre o preço de venda?
7. Um lucro de 25% sobre o preço de custo de uma mercadoria corresponde a
quanto por cento se for calculado sobre o preço de venda?
8. Um prejuízo de 50% sobre o preço de custo de uma mercadoria corresponde a
quantos por cento se for calculado sobre o preço de venda?
9. Se um produto que custa R$ 40,00 tiver seu preço reajustado sucessivamente
em 5% e em 10%, qual será seu preço final?
10. Se dermos dois descontos sucessivos, um de 5% e outro de 10%, a uma mercadoria que tem um preço inicial de R$ 40,00, qual será seu preço final?
11. Dois aumentos sucessivos, um de 15% e outro de 20%, equivalem a um único
aumento de quantos por cento?
12. Antônio ganha 30% a mais que Beatriz e Carlos, 20% a menos que Antônio.
Se a diferença entre os salários de Antônio e de Carlos é de R$ 130,00, qual é
o salário de Beatriz?
13. O salário mensal de um vendedor é constituído de uma parte fixa igual a R$
2.300,00 e mais uma comissão de 3% sobre o total das vendas que exceder a R$
10.000,00. Estima-se em 10% o percentual de descontos diversos que incidem
sobre o salário bruto. Em determinado mês, o vendedor recebeu, líquido, o valor
de R$ 4.500,00. Quanto ele vendeu neste mês?
14. Um comerciante comprou 350 litros de aguardente à razão de R$ 1,35 o litro.
Que quantidade de água ele deverá acrescer ao volume total de aguardente adquirida para vendê-la a R$ 1,75 e ainda ganhar 30% sobre o preço de compra?
11
15. Comprei numa promoção uma calça e uma camisa. Após o término da promoção, a calça ficou 20% mais cara e a camisa, 10% mais cara. Se comprasse
as mesmas duas peças pagando estes novos preços, eu gastaria 16% a mais.
Quanto me custou a mais a calça em relação à camisa?
TESTES
1. (Esaf) Um cliente obteve do comerciante desconto de 20% no preço de venda
anunciado para uma mercadoria. Sabendo-se que o preço de venda anunciado,
sem desconto, é superior em 20% ao do custo, pode-se afirmar que houve por
parte do comerciante:
a) lucro de 5%
d) prejuízo de 2%
b) prejuízo de 4%
e) lucro de 2%
c) lucro de 4%
2. (Esaf) Um terreno foi vendido por R$ 16.500,00, com um lucro de 10%; em
seguida, foi revendido por R$ 20.700,00. A variação total de preço das duas
transações representa sobre o custo inicial do terreno um percentual de
a) 38,00%
d) 51,80%
b) 40,00%
e) 25,45%
c) 28,00%
3. (Esaf) Maria vendeu um relógio por R$ 18.167,50 com um prejuízo de 15,5%
sobre o preço de compra. Para que tivesse um lucro de 25% sobre o custo, ela
deveria ter vendido por
a) 22.709,37
d) 21.497,64
b) 26.875,00
e) 26.785,00
c) 27.675,00
4. (Cespe) Um trabalhador gastava 30% do seu salário com aluguel. Após certo
período, seu aluguel havia aumentado 700%, enquanto seu salário, reajustado
em 500%. Então, a porcentagem do salário que ele passou a gastar com aluguel
foi:
a) 34%
b) 38% c) 40%
d) 42% e) 45%
5. (Cespe) Uma empresa admitiu um funcionário no mês de outubro deste ano, sabendo
que, já em janeiro de 1997, ele terá 25% de aumento de salário. A empresa deseja
que o salário desse funcionário, a partir de janeiro, seja de R$ 1.500,00. Assim, a
empresa admitiu-o com um salário de X reais. Então, X satisfaz à condição:
a) X < 1.100,00
b) 1.100,00 ≤ X < 1.170,00
c) 1.170,00 ≤ X < 1.190,00
d) 1.190,00 ≤ X < 1.220,00
e) X ≥ 1.220,00
12
6. (Cespe) Uma loja adota a seguinte política de venda: à vista com 10% de desconto sobre o preço de tabela, ou pagamento em 30 dias após a compra com
8% de acréscimo sobre o preço de tabela. O preço de uma mercadoria que à
vista é vendida por R$ 540,00, para pagamento em 30 dias, será de:
a) R$ 594,00
b) R$ 641,00
c) R$ 648,00
d) R$ 652,42
e) R$ 653,27
7. (Cespe) O prefeito de uma cidade dispensou 20% dos funcionários públicos
municipais e concedeu, aos que permaneceram, um reajuste salarial que elevou
a folha de pagamentos em 10%. Assim, o salário médio dos funcionários sofreu
uma variação de:
a) 10,0%
d) 37,5%
b) 30,0%
e) 40,5%
c) 35,5%
8. (Esaf) O salário mensal de um vendedor é constituído de uma parte fixa igual a
R$ 2.300,00 e mais uma comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a
R$ 10.000,00. Calcula-se em 10% o percentual de descontos diversos que incidem
sobre seu salário bruto. Em dois meses consecutivos, o vendedor recebeu, líquido,
respectivamente, R$ 4.500,00 e R$ 5.310,00. Com esses dados, pode-se afirmar
que suas vendas no segundo mês foram superiores às do primeiro mês em:
a) 18%
b) 20% c) 30%
d) 33% e) 41%
9. (Cespe) Um carro cujo custo é de R$ 7.000,00, desvaloriza-se 20% a cada ano.
Após dois anos, o proprietário decide trocá-lo por um carro novo, do mesmo
modelo. O preço desse carro novo é 30% maior em relação ao valor praticado
dois anos antes. Na troca do carro velho pelo carro novo, o proprietário deverá
desembolsar a quantia de:
a) R$ 4.200,00
d) R$ 4.820,00
b) R$ 4.620,00
e) R$ 4.900,00
c) R$ 4.700,00
10. (Cespe) As ações de uma certa empresa subiram 20% ao mês durante dois meses
consecutivos e baixaram 20% ao mês em cada um dos dois meses seguintes.
Com relação à variação sofrida por essas ações durante esses quatro meses, é
correto afirmar que:
a) o valor das ações permaneceu inalterado.
b) as ações desvalorizaram 7,84%.
c) as ações valorizaram 7,84%.
d) as ações desvalorizaram 8,48%.
e) as ações valorizaram 8,48%.
13
11. Um comerciante de veículos comercializa dois tipos de automóveis, um nacional
e outro importado. Observa-se que, anualmente, as vendas dos veículos nacionais diminuem em 20% e as dos importados aumenta 20%. Em 1994, 60% do
total das vendas dessa revendedora foram de carros nacionais e 40% de carros
importados. Em 1996, o percentual de automóveis importados comercializados
pela revendedora foi de:
a) 54%
b) 57,6%
c) 60%
d) 62,6%
e) 63,2%
12. (Cespe) Nas eleições do dia 3 de outubro, 25% dos eleitores de uma cidade
votaram, para prefeito, no candidato X, 30%, no candidato Y, e os 1.800 eleitores
restantes votaram em branco ou anularam seus votos. Não houve abstenções
e os votos nulos corresponderam a 25% dos votos em branco. Com base na
situação apresentada, assinale a opção incorreta.
a) O número total de eleitores da cidade é de 4.000.
b) 1.000 eleitores votaram no candidato X.
c) 450 eleitores anularam seus votos.
d) Houve menos votos brancos ou nulos do que votos válidos.
e) 1.200 eleitores votaram no candidato Y.
13. (Cespe) Em uma comunidade, somente 18% dos habitantes são a favor de certa
proposta. Se 30% dos homens são favoráveis à proposta e 10% das mulheres
também são favoráveis à mesma proposta, então a porcentagem de homens
nessa comunidade é de
a) 10%
b) 20%
c) 30%
d) 40%
e) 50%
14. (Cespe) O funcionário da biblioteca de uma escola comprou 10 exemplares
de um mesmo livro de Matemática. O vendedor concedeu-lhe um desconto de
10%, tendo ele pago R$ 585,00 pela compra. Se x é o preço original de cada
livro, em reais, então
a) x < 64,00
b) 64,00 ≤ x < 65,00
c) 65,00 ≤ x < 66,00
d) 66,00 ≤ x < 67,00
e) x ≥ 67,00
15. (Cespe) Em 1992, 10.000 estudantes de um certo estado foram reprovados durante
o 1º grau. A partir do ano seguinte, a Secretaria de Educação daquele estado iniciou
o projeto: “Repetência - vamos riscá-la de nossas escolas”, consistindo em um
14
esforço conjunto de pais e professores para a recuperação dos alunos durante todo
o ano letivo. Em decorrência dessa iniciativa, o número de estudantes reprovados
diminuiu, anualmente, em 9%. Nessas condições, o número de alunos de 1º grau
que foram reprovados em 1994 foi de
a) 8.151
b) 8.200
c) 8.281
d) 8.300
e) 8.400
16. (Cespe) Foi solicitado a um aluno que calculasse 5% de vinte e quatro milésimos. A calculadora evidenciou como resultado
a) 0,012
b) 0,0012
c) 0,00012
d) 0,000012
e) 0,0000012
GABARITO
PORCENTAGENS
1. 65%
2. 40%
3. 400%
4. 150
5. 25%
6. 20%
7. 20%
8. 100%
9. R$ 46,20
10. R$ 34,20
11. 38%
12. R$ 500,00
13. R$ 100.000,00
14. 1 litro
15. 50%t
TESTES
1. b
2. a
3. b
4. c
5. d
6. c
7. d
8. c
9. b
10. b
11. c
12. c
13. d
14. c
15. c
16. b
15
Formato
15x21cm
Mancha
11,5x17,5 cm
Papel
Offset
Gramatura
70 gr/m2
Número de páginas
16
SEPN 509 Ed. Contag 3º andar CEP 70750-502 Brasília/DF
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