Hidrostática
Hidrostática
Introdução: conceito de fluido
Um fluido é uma substância que tem a capacidade de se deslocar
por algum duto (tubulação ou canal), assumindo a forma desse
duto em cada ponto do caminho.
Devido a essa capacidade, os fluidos oferecem pouca resistência
às mudanças na sua forma.
De acordo com esse conceito, podemos dizer que os líquidos e
os gases são fluidos.
Hidrostática
Modelos atômicos simples de gases e líquidos
Moléculas muito próximas
entre si, tornando os líquidos
Moléculas muito distantes entre
pouco compressíveis.
si.
Isso torna os gases muito
O líquido tem
compressíveis.
uma superfície
bem definida.
As moléculas colidem umas com
as outras e contra as paredes do
recipiente.
Moléculas que deslizam
umas entre as outras,
permitindo que o líquido
facilmente tome a forma do
recipiente.
Massa específica µ
Massa específica de uma substância pura e homogênea:
𝑚
𝜇=
𝑉
Densidade de um corpo d
Considere agora um corpo, homogêneo ou não, de massa m e
volume V. A densidade d do corpo é dada pela relação:
Se o corpo é maciço e homogêneo, a sua densidade (d) coincide
com a massa específica (µ) do material que o constitui.
dcorpo ≤ substância
A tabela fornece valores de massa específica para alguns
materiais:
Unidades de massa específica e densidade
No SI, a massa específica e a densidade são medidas em kg/m3.
Entretanto, as unidades g/cm3 e kg/L são muito usadas e práticas.
Relacionando essas unidades, temos:
g
kg
3
1,0
= 10
= 1,0 kg/L
cm3
m3
Exemplo 1
Um objeto de ouro maciço tem 500 g de massa e 25 cm³ de
volume. Determine a densidade do objeto e a massa específica do
ouro em g/cm³ e kg/m³.
Exemplo 2
Um cilindro tem 5cm² como área da base e 20 cm de altura,
sendo sua massa igual a 540 g. Esse cilindro tem a parte central
oca na forma de um paralelepípedo do volume de volume 64 cm³.
Determine:
a) A densidade do cilindro;
b) A massa específica da substância de que é feito.
Conceito de pressão
Por que, ao apertar um lápis como mostrado abaixo, o dedo em
contato com a extremidade apontada dói?
Pressão grande em A.
Dormentes diminui a pressão.
Cálculo da pressão p
A pressão p de uma força 𝐹 aplicada sobre uma superfície de área
A é dada pela razão:
𝐹𝑛
𝑝=
𝐴
Sendo 𝐹 𝑛 da componente de 𝐹 normal (perpendicular) à
superfície.
Unidades de pressão
Pressão é grandeza escalar. Não é vetor.
No SI, a pressão é medida em N/m2, unidade denominada
pascal (Pa).
Outras unidades de pressão muito utilizadas são: a atmosfera
(atm), o mmHg (milímetro de mercúrio, também denominado
Torr) e o psi (pound per square inch, que significa libra por
polegada quadrada).
Relacionando-as, temos:
1,0 atm = 1,0 · 105 Pa = 760 mmHg = 14,7 psi
Exemplo 3
Uma bailarina de massa 60 kg dança num palco plano e
horizontal. Na situação representada na figura 1, a área de
contato entre os seus pés e o solo vale 3,0 . 10² cm², enquanto
na situação 2 essa mesma área vale apenas 15 cm². Adotando g
= 10 m/s², calcule a pressão exercida pelo corpo da bailarina
sobre o solo:
a) na situação 1;
b) na situação 2.
Pressão em fluidos
Há duas contribuições para a pressão exercida pelos fluidos:
a térmica e a gravitacional.
A contribuição térmica é devida ao movimento de agitação
molecular causado pela temperatura. Essa parcela é muito mais
significativa nos gases.
Pressão em fluidos
Gás
A pressão exercida por um gás em um recipiente
deve-se às inúmeras colisões entre as moléculas
desse gás e as paredes do recipiente.
Pressão em fluidos
A contribuição gravitacional, associada às forças de coesão,
mantém as moléculas aglutinadas no fundo do recipiente.
Essa parcela é muito mais significativa nos líquidos.
Líquido
O líquido só exerce pressão nas superfícies
com as quais tem contato.
Pressão atmosférica
Devido à distribuição não uniforme do ar atmosférico, a pressão
atmosférica diminui à medida que nos afastamos da superfície da
Terra.
Outros planetas, por terem massa diferente da Terra, têm valores
diferentes de pressão atmosférica em suas superfícies.
Pressão atmosférica
Espaço
Coluna
imaginária
de ar
A pressão atmosférica
diminui com a altitude, por
influência da gravidade
500 km
Superfície terrestre
A pressão atmosférica ao nível do mar é igual a:
patm = 1,013 . 105 N/m² = 1,0 atm = 76 cmHg
A famosa experiência de Magdeburgo, na Alemanha. A primeira bomba de
vácuo foi construída por von Guericke (Séc. XVII).
Tomamos refrescos ou refrigerantes através de um canudinho graças à força
exercida pela pressão atmosférica. Quando você chupa na extremidade do
canudo, você não está, na realidade chupando o refresco, mas provocando
uma redução na pressão no interior do canudo. A pressão atmosférica,
atuando na superfície do líquido, faz comque ele suba no canudinho.
Pressão em líquidos – Teorema de Stevin
A diferença de pressão entre dois pontos de um líquido em
equilíbrio é igual ao produto da diferença de níveis entre esses
pontos (h) pela densidade do líquido (d) e pelo módulo da
aceleração da gravidade no local (g).
Considere um líquido de densidade d,
homogêneo
e
incompressível,
em
equilíbrio. Imagine uma porção desse
líquido com a forma de um cilindro reto
de altura h e cujas bases tenham área A,
estando a base superior exatamente na
superfície livre do líquido.
Na base superior atua a força 𝐹 𝐴 ,
exercida pelo ar existente sobre o
líquido, e, na base inferior, a força
hidrostática 𝐹 𝐵 . Seja 𝑃 o peso do cilindro
líquido. Como há equilíbrio, pela 1º Lei
de Newton, podemos escrever:
𝐹𝐵 = 𝐹𝐴 + 𝑃
Mas o peso do cilindro líquido vale: P = mg = dVg = dAhg.
Assim:𝐹𝐵 = 𝐹𝐴 + 𝑑𝐴ℎ𝑔.
Dividindo pela área A da base vem:
𝐹𝐵 𝐹𝐴 𝑑𝐴ℎ𝑔
=
+
𝐴
𝐴
𝐴
Como FA/A = pA é a pressão exercida pelo ar na base superior e
FB/A = pB é a pressão na base inferior do cilindro. Logo:
𝑝𝐵 = 𝑝𝐴 + 𝑑𝑔ℎ ∴ ∆𝑝 = 𝑑𝑔ℎ
Observações
1ª) Pela equação do Teorema de
Stevin, vemos que a pressão
aumenta linearmente com h.
Então, o gráfico p X h, para um
da do líquido, terá o aspecto
mostrado:
2ª) Como consequência imediata do teorema de Stevin,
concluímos que todos os pontos de uma mesma superfície
horizontal (situados a uma mesma profundidade h) e
pertencentes a um mesmo líquido em equilíbrio ficam sujeitos à
mesma pressão.
px = py
3ª) O teorema de Stevin permite concluir ainda que uma coluna
líquida exerce na sua base uma pressão, devida ao seu peso
(contribuição gravitacional), denominada pressão hidrostática
e expressa por:
𝑝𝐻 = 𝑑𝑔ℎ
A pressão total (pressão absoluta) na
base da coluna líquida corresponderá à
soma da pressão exercida pelo ar na
superfície
livre
superior
(pressão
atmosférica: patm) com a pressão
exercida pela coluna líquida (pressão
hidrostática:pH):
𝑝𝑎𝑏𝑠 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝑝𝐻 ∴ 𝑝𝑎𝑏𝑠 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝑑𝑔ℎ
Aplicações
Vasos comunicantes
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑚 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜: ℎ𝐴 = ℎ𝐵
Exemplo 4
Considere um tubo em forma de U, como o da figura seguir, com
os ramos abertos num mesmo ambiente, contendo dois líquidos
imiscíveis (que não se misturam), A (de densidade dA) e B
(densidade dB), em equilíbrio. Encontre uma relação entre as
densidades dos líquidos com as alturas das colunas líquidas hA e
hB.
Experiência de Torricelli
A figura mostra o arranjo experimental
necessário
para
a
realização
Vácuo
da
experiência de Torricelli.
Nesse
arranjo,
o
tubo
de
vidro
é
76 cm
totalmente preenchido com mercúrio (Hg)
e emborcado em um recipiente contendo
também mercúrio.
A pressão pA no ponto A é devido a
coluna de mercúrio e a pressão pB no
ponto B é devido a pressão atmosférica
patm.
𝑝𝐵 = 𝑝𝐴
𝑝𝑎𝑡𝑚 = 𝑑𝑔ℎ = 13,6 ∙ 10³ ∙ 9,8 ∙ 0,76
𝑝𝑎𝑡𝑚 ≅ 1,013 ∙ 105 𝑁/𝑚²
A
B
Hg
Experiência de Torricelli
Ao nível do mar, observa-se que a coluna de mercúrio dentro
do tubo eleva-se a aproximadamente 76 cm acima do nível de
mercúrio do recipiente.
Sendo patm o valor da pressão atmosférica ao nível do mar,
conhecido como atmosfera normal, temos:
patm = 1,013 ∙ 105 Pa = 1,0 ∙ 105 Pa = 760 mmHg
Exemplo 4
Refazendo a experiência de Torriceli, mas agora utilizando água
no lugar do mercúrio, encontre a coluna h de água que exerce a
mesma pressão que a atmosfera ao nível do mar.
Experiência de Torricelli
com água ao nível do mar.
𝑝𝑎𝑡𝑚 = 1𝑎𝑡𝑚 ≅ 1,0 ∙ 105𝑃𝑎 = 10,3 𝑚𝐻2𝑂
Exemplo 5
Qual a pressão total que um mergulhador sofre a uma
profundidade de 30 m? Considere a densidade da água igual 1,0
g/cm³. Dê a resposta em atm e em Pa.
Princípio de Pascal
Qualquer variação de pressão em um ponto de um fluido é
transmitida integralmente para todos os pontos da mesma
massa fluida.
O aumento de pressão na superfície do líquido é transmitido
para todos os seus pontos.

F
Êmbolo
A
Princípio de Pascal
Prensa hidráulica
(a)
(b)
F1
A
d
= 1= 2
F2 A2 d1
Exemplo 6
O elevador hidráulico de um posto de automóveis é acionado
mediante um cilindro de área 3 ∙ 10-5 m². O automóvel a ser
levantado tem massa 3 ∙ 10³ kg e está sobre o êmbolo de área 6 ∙
10-3 m². Sendo a aceleração da gravidade g = 10 m/s²,
determine:
a) A intensidade mínima da força que deve ser aplicada no
êmbolo menor para elevar o automóvel;
b) O deslocamento que teoricamente deve ter o êmbolo menor
para elevar de 10 cm o automóvel.
Princípio de Arquimedes - Empuxo
Um corpo, total ou parcialmente
mergulhado em um fluido em
equilíbrio,
recebe
força
direção
de
sentido
para
deste
vertical
cima,
intensidade
é
peso
fluido
do
uma
igual
e
cuja
à
do
deslocado
pela parte imersa do corpo. Essa
força é denominada empuxo 𝐸.

E
Por que aparece o empuxo?
Um líquido exerce pressão em todas as direções sobre um corpo
nele mergulhado.
Por que aparece o empuxo?
𝑬
Observação
O empuxo que atua em um corpo é tanto maior quanto maior for
a quantidade (volume) de líquido que ele desloca.
10 N
FDIN = 10 N
6N
FDIN = 6 N
E=4N
P = 10 N
4N
FDIN = 6 N
FDIN = P = 10 N
A intensidade do empuxo é igual ao peso do
líquido deslocado pelo corpo.
P = 10 N
FDIN + E = P
E=4N
Condições de flutuação de um corpo
(a)
(b)
Na situação da figura (a), o corpo afunda, pois P > E.
(c)
Condições de flutuação de um corpo
(a)
(b)
(c)
Na situação da figura (b), o corpo desloca-se para a superfície,
pois P < E.
Condições de flutuação de um corpo
(a)
(b)
(c)
Na situação da figura (c), o corpo fica em equilíbrio hidrostático,
em qualquer profundidade, pois P = E.
Cálculo da intensidade do empuxo
Matematicamente, escrevemos:
E = dfluido ∙ g ∙ Vsubmerso
Volume da
água em
equilíbrio
Volume
equivalente
do objeto
sólido
Exemplo 7
Um balão indeformável de massa 2,0 kg apresenta, num locoal
em que g = 10 m/s², densidade de 2,5 kg/m³. Supondo que o
balão esteja totalmente imerso na água (da = 1,0 g/cm³),
determine:
a) O volume de água deslocado;
b) O módulo do empuxo que o balão recebe da água.
Exemplo 8
Discutir a flutuabilidade de um corpo totalmente imerso em
mesmo fluido, comparando suas densidades.
Exemplo 9
Um bloco de madeira flutua inicialmente na água com metade do
seu volume imerso. Colocado a flutuar no óleo, o bloco apresenta
1/4 do seu volume emerso. Determine a relação entre as
densidades da água (da) e do óleo (do).
Exemplo 10
Recentemente, alguns cubanos tentaram entrar ilegalmente nos
Estados Unidos. Usaram um caminhão Chevrolet 1951
amarrando-o em vários tambores de óleo vazios, utilizados como
flutuadores. A guarda costeira americana interceptou o caminhão
próximo ao litoral da Flórida e todos os ocupantes foram
mandados de volta para Cuba.
Dados:
- massa do caminhão MC = 1.560 kg;
- massa total dos tambores mA= 120 kg;
- volume total dos tambores VA = 2400 litros;
- massa de cada um dos cubanos m = 70 kg;
- densidade da água d = 1,0 g/cm³ = 1,0 kg/litro.
Supondo que apenas os tambores são responsáveis pela
flutuação de todo o sistema, é correto afirmar que o número
máximo de passageiros que o "caminhão balsa" poderia
transportar é igual a:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12