Professor Alexmay Soares
Matemática e
Suas Tecnologias
MATEMÁTICA
CARTAS, AMIGOS SECRETOS E
PERMUTAÇÕES CAÓTICAS
Todo fim de ano nos deparamos com férias, presentes, Papai Noel
e amigo secreto. O texto a seguir visa explorar um pouco da matemática
que se esconde por trás desta brincadeira. Mais especificamente, vamos
calcular a surpreendente probabilidade de que a brincadeira do amigo
secreto funcione corretamente.
O amigo secreto
Se você ainda não participou de um amigo secreto, a brincadeira
funciona mais ou menos assim:
Digamos um grupo com n pessoas, cada uma dessas n pessoas
escreve seu nome em um pedaço de papel e o deposita em algum
recipiente. Após embaralhar todos estes pedacinhos de papel, cada
pessoa retira um desses papéis que contém o nome de alguma das n pessoas.
A pessoa que retirou o papel não pode contar o nome de quem tirou.
Sendo assim, combina-se um dia e, nesta data, cada pessoa tem que dar
um presente para a outra pessoa retirada no papel.
Mas nem tudo são flores, e se alguém tira o papel com seu próprio
nome? Neste caso, o ritual teria que ser feito novamente, até que
nenhuma pessoa tire seu próprio nome.
O nosso objetivo é mostrar como calcular a probabilidade de que
ninguém retire seu próprio nome nessa brincadeira.
A probabilidade de alguma determinada pessoa tirar o seu próprio
nome é fácil, é 1/n. Mas qual seria a probabilidade de pelo menos uma
pessoa tirar seu próprio nome? Ou ainda, qual seria a probabilidade de
ninguém tirar seu próprio nome? Esta probabilidade está longe de ser
algo trivial.
As cartas
A solução do problema acima está relacionada a outro problema,
mais antigo e mais famoso que entrou para história como:
“O problema das cartas mal endereçadas”. Esse problema foi
originalmente proposto por Nicolaus Bernoulli (1687-1759), sobrinho
dos eminentes matemáticos Jacob (1654-1705)
e Johann (1667-1748), da prestigiosa família
Bernoulli, que mais produziu matemáticos em toda
história. A contribuição de Nicolaus para o estudo e
desenvolvimento da matemática pode ser aferida na
numerosa correspondência (mais de 560 cartas!) que
trocou com vários colegas, dentre os quais Leonhard
Nicolaus Bernoulli
Euler (1707-1783).
Ao longo de sua prolífera vida, Euler foi um
grande “resolvedor” de problemas matemáticos. Alguns
desses problemas abriram novos campos de pesquisa
matemática, como o problema formulado no começo do
artigo.
Talvez Euler se interessou pelo problema das
cartas mal endereçadas por se tratar de uma questão
Leonhard Euler
curiosa e desafiadora da teoria das permutações,
atualmente conhecida como permutação caótica ou desarranjo.
nº
05
Permutações Caóticas
Uma permutação de elementos é dita caótica se, ao permutarmos
esses elementos, nenhum deles continuar em suas posições originais.
Por exemplo: no caso de duas cartas e dois envelopes, podemos
estabelecer que a “posição original” seria cada carta em seu envelope
correto. Assim, uma permutação caótica ocorreria quando nenhuma carta
estivesse no envelope correto. Acompanhe a ilustração a seguir no caso
de duas cartas.
C1
C2
E1
E2
Percebe-se facilmente que, no caso de dois elementos, há apenas
uma permutação caótica. E no caso de três cartas? Neste caso,
há 2 permutações caóticas.
De fato, sejam as cartas C1, C2 e C3 e os respectivos envelopes
E1, E2 e E3. Os únicos desarranjos possíveis são:
(C1, E2), (C2, E3), (C3, E1)
e
(C1, E3), (C2, E1), (C3, E2)
Com essa interpretação, o problema das cartas mal endereçadas
toma a seguinte formulação, mais moderna e mais geral:
“Qual o número de permutações caóticas de n elementos?”
A resposta a essa pergunta foi dada pelo próprio Euler que
resolveu esse problema usando ideias originais e simples, apenas
com algumas manipulações algébricas. O valor obtido por Euler para
quantidade de desarranjos de n elementos é:
 1 1 1 1 1
( −1)n 
D(n) = n!  1 − + − + − + ...+
 para n ≥ 1.
n! 
 1! 2! 3! 4! 5!
Assim, para finalizar, vamos dar a resposta do problema do início
deste artigo.
“Em uma brincadeira de ‘amigo oculto’, na qual n pessoas escrevem
seu nome em um pedaço de papel e o depositam em um recipiente, de
onde cada um retira aleatoriamente um dos pedaços de papel, qual a
probabilidade de ninguém pegar seu próprio nome?
Em outras palavras, o problema equivale a:
“Se um conjunto ordenado de n itens é permutado aleatoriamente,
qual a probabilidade que nenhum deles volte à sua posição original?”
Matemática e
Suas Tecnologias
Como o número total de maneiras dos n itens a serem permutados
sem que nenhum volte à sua posição de origem é Dn e o número total
de permutações dos n itens é n!, temos que a probabilidade de ninguém
retirar seu próprio nome é dada por:
Pn =
Dn 1 1 1 1
1
= − + − + ...+ ( −1)n .
n! 2! 3! 4! 5!
n!
Por exemplo, se a brincadeira for realizada com um grupo
de 5 amigos, então haverá 5! = 120 maneiras de as 5 pessoas
tirarem o nome do recipiente, destas 120 maneiras teremos
 1 1 1 1 1
D(5) = 5!  1 − + − + −  = 44 desarranjos, isto é, 44 formas
 1! 2! 3! 4! 5! 
de ninguém retirar seu próprio nome. Assim, a probabilidade de a
44
≈ 36,7% .
brincadeira funcionar será
120
A seguir teremos algumas questões em que se aplicam as
permutações caóticas.
Exercícios
1. (Enem) Em um concurso de televisão apresentam-se ao
participante 3 fichas voltadas para baixo, estando representada em
cada uma delas as letras T, V e E. As fichas encontram-se alinhadas
em uma ordem qualquer. O participante deve ordenar as fichas ao
seu gosto, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter
a sigla TVE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição
correta ganhará um prêmio de R$ 200,00.
A probabilidade de o participante não ganhar qualquer prêmio é igual a
A) 0
B) 1/3
C) 1/4
D) 1/2
E) 1/6
2. (Enem) Em um concurso realizado em uma lanchonete,
apresentavam-se ao consumidor quatro cartas voltadas para
baixo, em ordem aleatória, diferenciadas pelos algarismos 0, 1,
2 e 5. O consumidor selecionava uma nova ordem ainda com as
cartas voltadas para baixo. Ao desvirá-las, verificava-se quais
delas continham o algarismo na posição correta dos algarismos
do número 12,50 que era o valor, em reais, do trio-promoção.
Para cada algarismo na posição acertada, ganhava-se R$ 1,00
de desconto. Por exemplo, se a segunda carta da sequência
escolhida pelo consumidor fosse 2 e a terceira 5, ele ganharia
R$ 2,00 de desconto.
3. Quatro pessoas aguardam atendimento em uma clínica médica.
Todas deverão ser consultadas por dois médicos diferentes.
O atendimento de ambos os médicos está marcado para iniciar às
14:00 h e terminar às 15:00 h. Os médicos deverão gastar, em cada
atendimento, exatos 15 minutos. De quantas formas poderiam ser
organizadas os horários das duas consultas?
A) 576
B) 288
C) 216
D) 72
E) 24
4. Cinco carros entram em uma
rotatória ao mesmo tempo, vindos
de direções diferentes, conforme
mostrado na figura ao lado. Cada
carro dá menos de uma volta inteira
na rotatória; além disso, não há
dois carros que saem da rotatória
na mesma direção. De quantas
maneiras diferentes os cinco carros
podem sair da rotatória?
A) 24
B) 44
C) 60
D) 81
E) 120
5. Em uma gincana de escola apresentam-se a uma equipe 5 fichas
voltadas para baixo, estando representada em cada uma delas
as letras B, R, I, T e O. As fichas encontram-se alinhadas em
uma ordem qualquer. A equipe deve ordenar as fichas ao seu
gosto, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter
a palavra BRITO. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na
posição correta ganhará 40 pontos.
A probabilidade de a equipe ganhar exatamente 40 pontos é
A) 0
B) 26,3%
C) 36,7%
D) 37,5%
E) 43,8%
Qual é a probabilidade de um consumidor não ganhar qualquer desconto?
1
A)
24
B) 3
8
1
C)
3
1
D)
4
1
E)
2
2
FB NO ENEM
FB no Enem – Nº 4 – Professor: Alexandre Werneck
1
2
3
4
5
C
E
C
A
E
078576/14 – Duílio-07/02/14 – Rev.: RR