Estabilidade
Transitória
Revisão em janeiro 2003.
1 Introdução
A geração de energia elétrica dos sistemas de potência é constituída de máquinas
síncronas. que operam com uma determinada freqüência. O sistema brasileiro opera na
freqüência de 60 Hertz.
A freqüência do sistema depende do equilíbrio entre as potências da geração, carga e
perdas no sistema. Quando a potência da geração é menor que a solicitada, a freqüência
do sistema tende a diminuir ou se a potência da geração é maior que a solicitada a
freqüência do sistema tende a aumentar. A freqüência dos sistemas elétricos é
controlada através da geração pois a carga pode aumentar ou diminuir aleatoriamente.
Tendo em vista que é impossível controlar a freqüência exatamente em 60 Hertz, na
prática se estabelece uma faixa de tolerância da ordem de 0,1%. O controle do sistema
atua na geração impedindo que a freqüência exceda a faixa de tolerância. Entretanto
podem ocorrer distúrbios no sistema que causam variações na freqüência.
Distúrbios nos sistemas elétricos podem provocam variações na freqüência que podem
causar interrupções de fornecimento. A maioria das cargas podem operar em amplas
faixas de freqüências o que não ocorre com geradores sincronizados.
A estabilidade de sistemas elétricos normalmente é classificada em dois tipos:
estabilidade com pequenas e grandes variações de freqüência. O estudo de estabilidade
com pequenas variações de freqüência é também denominado de estabilidade dinâmica
enquanto que os estudo de estabilidade com grandes variações de freqüência é
denominado de estabilidade transitória. O tratamento matemático para os dois tipos de
estabilidade é bastante distinto.
O fenômeno mais comum que provoca grandes variações de freqüência é o curto
circuito. O aumento ou a redução brusca de grandes blocos de carga podem também
provocar grandes variações na freqüência do sistema. A solução matemática para a
estabilidade transitória é conseguida através de solução numérica de equações
diferenciais. A solução analítica pode ser conseguida para um número restrito de
geradores, assim a solução analítica somente é aplicada em alguns casos específicos.
1
Os problemas de estabilidade com pequenas perturbações ocorrem em sistemas com
extensas linhas de transmissão ou sistemas extremamente carregados. Sistemas que
operam próximos dos limites de capacidade podem apresentar problemas de
estabilidade com pequenas perturbações. A solução matemática pode ser alcançada
através de linearizações, facilitando desta forma as soluções analíticas. Um exemplo de
estabilidade com pequenas perturbações é o caso do estudo do limite de transporte de
potência em função do defasamento angular.
2 - Limites de capacidade de transporte
As linhas de transmissão de corrente alternada tem um limite definido de capacidade de
transporte em função do defasamento angular. A determinação deste limite pode ser
conseguido mesmo com representações bastante simplificadas.
Um sistema tão simples quanto o de duas barras pode mostrar claramente o fenômeno
do limite de capacidade de transporte de sistemas de corrente alternada. Um sistema de
duas barras com um gerador e um motor síncrono é suficiente para demonstrar o
problema. A figura 2.2 mostra um sistema com duas barras e o correspondente diagrama
de impedâncias.
~
~
G
M
Z
~
~
Figura 2.1
Na figura 2.1 assume-se que tanto o gerador quanto o motor tem potência reativa para
manterem constantes as tensões em seus terminais. De acordo com a figura 2.1 o fluxo
de potência do gerador para o motor pode ser dado por:
s gm =
v g i *gm
= vg
(v g − v m ) *
z *gm
=
vg
2
− v g v *m
z *gm
Desprezando a parte resistiva da impedância obtém-se:
2
s gm =
vg
2
− v g × vm ((cos(θ g − θ m ) + j sen(θ g − θ m ))
= Pgm + jQgm
− jX
O fluxo de potência ativa pode então ser dado por:
Pgm =
V g V m sen(θ gm )
X
A figura 2.2 mostra a representação gráfica da equação acima, onde Pmax = V g Vm / X .
O gráfico mostra que existe um limite para o transporte de potência e o limite ocorre
quando o defasamento angular atinge 90°.
Figura 2.2
A figura 2.3 mostra o diagrama fasorial do sistema. Através do diagrama fasorial e do
diagrama de transferência de potência pode-se analisar a estabilidade do sistema.
3
Figura 2.3
O diagrama fasorial mostra que a tensão do motor está atrasada com relação a tensão do
gerador. Suponha que num dado momento a carga do motor sofre um pequeno
acréscimo, fazendo com que o motor gere um pouco mais lento o que ocasiona um
aumento no defasamento angular.
A figura 2.4 mostra que, coma perturbação, o defasamento que era θ 0 passa para θ 1 . O
acréscimo do defasamento provoca um acréscimo na transferência de potência o que
tende a equilibrar a perturbação. Portanto o sistema é estável.
Figura 2.4
A figura 2.5 mostra que com a mesma perturbação o sistema não é estável.
Figura 2.5
Conclui-se assim que os sistemas são estáveis quando operam com defasamentos
menores que 90° e instáveis quando operam com defasamentos superiores a 90°,
conforme mostra a figura 2.6.
4
Figura 2.6
Exemplo 2.1 - Uma carga é suprida através de uma linha de transmissão de 1000 km,
com reatância de 0,5 ohms/km. O sistema supridor opera na tensão de 138kV e tem
reatância desprezível. Supondo que a carga se comporte como u motor síncrono
operando com tensão de 138kV, determine a máxima potência que pode ser transmitida.
Solução - Adotando uma base de 100 MVA para a potência e 138kV para a tensão a
reatância conectando o gerador e o motor é:
X gm =
0,5 × 1000
138 2 / 100
= 2,625
A máxima potência que pode ser transferida é então:
Pmax = 1 / 2,625 = 0,381
Sabendo que a potência de base do sistema é de 100 MVA então a máxima potência que
pode ser transferida é de 38,1 MW.
3 - Freqüência de sistemas isolados
Os sistemas de pequeno porte podem ser analisados através de equações simples de
movimento rotacional. No caso de movimento linear, a equação que relaciona força e
aceleração é:
F= M× a
e no caso de movimento rotacional a equação equivalente é:
T= I×α
A equação acima multiplicada pela velocidade angular ω resulta em:
ω × T = P= ω × I× α
5
Sabendo que a aceleração é equivalente a derivada da velocidade angular, então:
P= ωI
dω
dt
A equação que relaciona a freqüência e a velocidade angular é:
ω = 2π f
Em estudos de estabilidade normalmente se utiliza a constante H ao invés do momento
de inércia I. A constante H é definida como a razão entre a energia cinética em
MegaJoule pela potência nominal da máquina em MVA, assim:
H=
E Iω s 2 / 2
=
S
S
onde S é a potência nominal da máquina em MVA e ω s a correspondente freqüência
nominal. A constante H de geradores é um valor aproximadamente entre 2 e 5
MJ/MVA. Os geradores acionados por turbinas hidráulicas tem valores de H menores
que os geradores acionados por turbinas a vapor.
Exemplo 3.1 - Um gerador de 5 MVA, de 60 Hz e com constante de inércia H igual a 3
MJ/MVA, supre uma carga de 3 MW. Num dado momento a carga aumenta para 4
MW. Calcule a freqüência após 1 segundo.
Figura 3.1.1
Solução (A)- (método numérico) - A relação entre a constante H e a energia cinética é:
S × H = I × ω s2 / 2
Adotando como base de potência 5 MVA, então o momento de inércia também na base
de 5 MVA é dado por:
I=
2S × H
ω
2
s
=
2 × 1× 3
ω
2
s
= 4,222 × 10− 5
6
A perturbação no sistema é o aumento da carga. Supondo que a potência que aciona o
gerador permanece constante durante a perturbação, o aumento da carga provoca uma
desaceleração do sistema. A potência desacelerante em pu do sistema é:
∆ P = (4 − 3) / 5 = 0,2
Sabendo que:
∆P= ωI
dω
= 0,2
dt
e conhecendo a constante de inércia então:
dω
− 0,2 − 4737
=
=
dt
ωI
ω
Em termos incrementais, a equação acima é dada por:
∆ω
− 4737
=
∆t
ω
Adotando um intervalo de tempo ∆ t = 0,2 segundos e conhecendo a velocidade angular
inicial de 60 Hz, então:
ω 1 = ω 0 + ∆ ω = ω 0 − (4737 / ω )∆ t
onde ω 0 = 2π × 60 = 377 . A tabela abaixo mostra os passos da solução numérica.
tempo (segundos)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Iterações
∆ω (rad/s)
0,0
-2,513
-2,530
-2,537
-2,565
-2,582
ω (rad/s)
377
374,487
371,957
369,410
366,845
364,263
Assim , para t = 1 segundo ω = 364,3 rad/s ou f = 364,3 /( 2π ) = 57,97 Hz
Solução (B) -(método analítico) - A solução analítica pode ser obtida através
simplificações. Como a variação da freqüência é relativamente pequena, supõe-se que a
desaceleração é constante, assim:
α =
− 4737
≈ − 4π
ω
Através das equações de movimento angular sabe-se que:
7
ω =ω0+α t
Portanto tem-se que:
ω = 377 − 4π × t = 364,4
O que eqüivale em termos de freqüência a 58,00 Hz.
4 - Estabilidade transitória
A estabilidade transitória envolvendo reduzido número de máquinas pode ter soluções
analíticas.
Entretanto o problema generalizado somente pode ser analisado através de métodos
numéricos.
O fenômeno da estabilidade transitória pode ser entendido através da análise de um
sistema com apenas duas barras, onde uma delas é uma barra infinita. Uma barra
infinita tem tensão, freqüência e defasamento angular constantes para qualquer
perturbação que ocorra no sistema. A outra barra pode conter um gerador ou um motor,
com tensão fixa, mas com defasamento angular dependente das condições do sistema.
Portanto o ângulo de defasamento do gerador ou motor pode oscilar com relação a barra
infinita.
Figura 4.1
A figura 4.1 mostra o diagrama de impedâncias de um motor síncrono e um sistema
representado por uma barra infinita. A equação de transferência de potência elétrica do
sistema para o motor, no caso em que os módulos das tensões de ambas barras são
unitários e desprezando a parte resistiva da impedância, pode ser dada por:
Psm =
sen(θ sm )
X sm
O motor elétrico aciona uma carga mecânica cuja potência é Pm e a freqüência
permanece constante enquanto houver equilíbrio entre a potência mecânica e a potência
8
elétrica. No caso de presença de distúrbios o motor acelera ou desacelera provocando
mudanças na freqüência consequentemente alterando também o defasamento θ entre o
sistema e o motor. Dependendo do distúrbio, das condições iniciais do sistema e dos
parâmetros do sistema, a freqüência pode-se estabilizar ou não.
Após um distúrbio, se a freqüência reduz ou aumenta sem condições de permanecer
constante, o sistema entra em instabilidade. Por outro lado se a freqüência oscila, o
sistema pode ser estável. Ao invés de se referir a freqüência o problema da estabilidade
pode ser analisado através do comportamento do defasamento angular.
Vs
Vm
Figura 4.2
A figura 4.2 mostra o diagrama fasorial das tensões do sistema e do motor. A tensão Vm
do motor está atrasada com relação a tensão Vs do sistema. O sentido do giro dos fasores
é anti-horário e a freqüência é de 60 Hz. Como Vs é a tensão da barra infinita ele gira
com freqüência constante. Quando ocorre perturbações Vm gira com velocidades
diferentes de 60 Hz alterando então o deslocamento angular θsm entre os dois fasores.
Denominando como β o ângulo em um instante qualquer e ωs a velocidade síncrona do
sistema que é constante, então:
β = θ + ω st
A velocidade angular da máquina pode ser determinada como:
ω =
d (θ + ω s t ) dθ
dβ
=
=
+ωs
dt
dt
dt
A partir da equação acima a aceleração da máquina pode ser determinada em função do
deslocamento fasorial θ, assim:
α =
d 2β
dt 2
=
d 2θ
dt 2
Levando em conta distúrbios de potência ∆P no sistema, a equação de oscilação é:
ωI
d 2θ
dt 2
= ∆P
9
Na equação acima, se ∆P for positivo a aceleração é positiva e a tendência da máquina é
aumentar de velocidade com relação a barra infinita, ou se for negativo a aceleração é
negativa e a tendência da máquina é reduzir a velocidade com relação a barra infinita. O
valor de ∆P que determina se a máquina permanece em repouso ou se altera sua
velocidade com relação a barra infinita é:
∆ P = Pmecanica − Peletrica ou ∆ P = Peletrica − Pmecanica
O deslocamento angular entre a barra infinita e a máquina, como por exemplo θsm, pode
ser representado como simplesmente θm ao se considerar a barra infinita como 0,0°.
Exemplo 4.1 - Um motor ligado a uma barra infinita consome 60 MW e num
determinado momento sua carga se reduz para 50 MW. Verificar a estabilidade do
sistema.
Figura 4.1.1
Solução - Adotando uma potência de base de 100 MVA, a equação de transferência de
potência elétrica da barra infinita para o motor é:
Pelet =
sen(θ s − θ m )
= 0,6
0,3
Adotando a barra infinita como referência com ângulo de 0,0°, nas condições iniciais o
defasamento angular do motor é:
0 − θ m = arcsen(0,6 × 0,3) = 10,37 °
Portanto antes da perturbação o defasamento angular do motor é de -10,37°. Nas
condições iniciais o motor absorve uma potência elétrica de 60 MW e sua carga
mecânica é de 50 MW. Isto quer dizer que o motor se acelera após o distúrbio
consequentemente reduzindo o defasamento angular. Considerando o defasamento
angular inicial do motor como -10,37°, portanto o valor de ∆P na equação de oscilação
é positivo e igual a:
∆ P = Pelet − Pmec =
sen(0 − θ m )
− 0,5
0,3
10
Muito tempo após o distúrbio, a potência elétrica provavelmente entra em equilíbrio
com a potência mecânica, assim o defasamento angular do motor é:
0 − θ m = arcsen(0,5 × 0,3) = 8,63°
A figura 4.1.2 mostra o gráfico do comportamento do motor.
Motor
Acelera
P
0,6
Motor fica Oscilando
0,5
8,63°
θ
10,37°
Motor
Desacelera
Figura 4.1.2
No gráfico os ângulos estão com valores positivos para se evitar que se desenhe o
gráfico de forma invertida. O motor se encontra em uma região estável, com isso ele
tenderá a se recompor.
A transição do angulo de -10,37° para -8,63° pode ser determinada através da solução
numérica da equação de oscilação.
A constante de inércia do motor pode ser obtida através de:
S × H = Iω s2 / 2
Assim:
ω s I = 2 × S × H / ω s = 2 × 1 × 3 / 377 = 0,015915
Portanto a equação de oscilação do motor é:
ω I
d 2θ
d 2θ
d 2θ
sen( − θ )
≈ ω sI
= 0,015915
=
− 0,5
0,3
dt 2
dt 2
dt 2
A equação de oscilação, que é de segunda ordem, pode ser decomposta em duas
equações de primeira ordem:
11
dθ
dW
=W e
= 209,4 × sen(− θ ) − 31,4
dt
dt
O sistema de equações acima pode ser resolvido através de equações incrementais,
onde:
∆ W = ( 209,4 × sen( − θ ) − 31,4) × ∆ t
onde Wn + 1 = Wn + ∆ W , sabendo que W0 = 0,0 . A velocidade W é a velocidade relativa
a velocidade da barra infinita ω s .
Da mesma forma:
∆θ = W × ∆t
onde θ n+ 1 = θ n + ∆ θ , sabendo que θ 0 = − 10,37 ° .
Adotando ∆ t = 0,05 segundos, então ∆ W = (209,4 × sen(10,37 ° ) − 31,4) × 0,05 = 0,3146
, assim W1 = 0,0 + 0,3146 = 0,3146 .
Com relação ao ângulo do motor ∆ θ = W × ∆ t = 0,3146 × 0,05 = 0,01573 rd = 0,90 ° ,
assim θ 1 = θ 0 + ∆ θ = − 10,37 ° + 0,90 = 9,47 ° .
A tabela abaixo e a figura 4.1.3 mostram a solução da equação de oscilação.
Tempo (seg)
0,000
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
∆W ( rad / s)
0,000
0,314
0,152
-0,0885
-0,284
-0,333
W ( rad /s )
0,000
0,314
0,466
0,378
0,094
-0,239
∆θ ( graus )
0,000
0,9
1,33
1,08
0,269
-0,685
θ ( graus )
-10,370
-9,47
-8,14
-7,06
-6,79
-7,48
segundos
0
-6
-7
-8
-9
-10
-11
0.1
0.2
0.3
angulo
12
Figura 4.1.3
A tabela mostra que o ângulo do motor oscila desde -10,37° até -6,79°. Se houvesse
amortecimento na equação de oscilação, o ângulo do motor tenderia para o valor de
-8,63°, que é o ponto de equilíbrio após a perturbação. Conclui-se assim que o sistema é
estável.
No tempo de 0,10 segundos a freqüência do motor atinge o seu máximo valor e pode ser
encontrada como f = (377 + 0,466) /(2π ) = 60,08 Hz. O resultado mostra que o ângulo
varia muito mas a freqüência varia pouco.
Exemplo 4.2 - O gerador fornece à barra infinita 10 MW. Num dado momento ocorre
um curto-circuito trifásico no ponto P. O curto circuito é eliminado em 10 ciclos,
verifique a estabilidade do sistema.
Figura 4.2 1
Solução - O problema pode ser dividido em três estados, antes, durante e depois da
perturbação. A figura 4.2.2 mostra o diagrama de impedâncias do estado antes da
perturbação, adotando uma potência de base de 100 MVA e uma tensão de base de 6,9
kV no gerador.
Figura 4.2.2
O ângulo de defasamento do gerador antes da perturbação pode encontrado sabendo que
0,1 = sen(θ ) / 4,257 , assim:
θ = arcsen(4,257 × 0,1) = 25,2 °
13
A figura 4.2.3 mostra o diagrama de impedâncias do estado durante a perturbação em
outras palavras durante o curto circuito trifásico.
Figura 4.2.3
Sabendo que a impedância equivalente:
z ab = ( z a z b + z a z c + z b z c ) / z c
e fazendo z a = j 2,533 , z b = j1,724 e z c = 0,0 , então z ab = j∞ .
Portanto durante a perturbação o gerador transfere 0,0 MW de potência para a barra
infinita entretanto a potência que aciona o gerador permanece constante, o que provoca
uma aceleração no gerador. Assim a equação de oscilação durante a perturbação de 10
ciclos é:
ωI
d 2θ
dt 2
= ∆ P = 0,1 − 0,0
A figura 4.2 4 mostra o diagrama de impedâncias do sistema após a perturbação, cuja
impedância de transferência é idêntica a impedância de transferência antes da
perturbação.
Figura 4.2.4
Sabendo que existe uma transferência de potência do gerador para a barra infinita, então
a equação de oscilação após a perturbação é:
ωI
d 2θ
dt
2
= 0,1 −
sen(θ )
4,257
Sabendo que S × H = ω s2 I / 2 , então o valor de ω I do gerador é:
ω I ≈ ω s I = 2 × 0,15 × 3 / 377 = 0,002387
14
A figura 4.2.5 mostra o diagrama fasorial das tensões.
Figura 4.2.5
Decompondo as equações de oscilação e adotando a formulação incremental, então:
depois da perturbação
antes da perturbação
Adotando o tempo incremental equivalente a 1 ciclo ou 1/60 segundos, a tabela abaixo
mostra a solução numérica da equação de oscilação durante a perturbação.
Tempo(ciclos) ∆W (rad /s)
0
0
2
1,396
4
1,396
6
1,396
8
1,396
10
1,396
W (rad /s)
0
1,396
2,792
4,188
5,584
6,980
∆θ (graus)
0
2,666
5,332
7,998
10,660
13,330
θ (graus)
25,20
27,87
33,20
41,20
51,86
65,19
A equação de oscilação durante a perturbação mostra que a aceleração do gerador é
constante, assim o defasamento angular θ pode ser encontrado através das fórmulas de
movimento, ao invés da solução numérica das equações diferenciais. Sabendo que:
θ =θ0+
α × t2
2
Como θ 0 = 25,2 ° , α = 41,89 e t = 10 / 60 segundos, então:
41,89 × (10 / 60) 2 180 °
θ = 25,2 +
×
= 58,54 °
2
π
°
O valor de 58,54° é mais preciso do que o valor de 65,19° encontrado pela solução
numérica. Adotando-se um valor para o incremento de tempo menor que 1 ciclo, a
precisão da solução numérica seria melhor.
15
A tabela abaixo mostra a solução numérica da equação de oscilação após a perturbação
Neste caso a aceleração não é constante, portanto as fórmulas de equações de
movimento não podem ser aplicadas.
Tempo(ciclos)
2
4
6
8
10
∆W (rad /s)
-1,401
-1,670
-1,795
-1,840
-1,845
W (rad /s)
5,581
3,911
2,116
0,276
-1,569
∆θ (graus)
10,66
7,469
4,041
0,5271
-2,997
θ (graus)
69,2
76,67
80,72
81,25
78,25
O processo foi interrompido no momento em que o ângulo de defasamento cessou de
aumentar. Isto significa que o ângulo vai oscilar e assim o sistema é estável.
100
80
60
40
20
0
0
10
20
30
ciclos
Exemplo 4.3 - (Stevenson 15.8 ) - Um gerador está fornecendo a potência nominal de
1,0 pu a uma barra infinita através de um circuito inteiramente reativo, quando ocorre
uma falta que reduz a máxima potência de saída a 0,4 pu. Antes da ocorrência da falta, a
potência máxima que pode ser transmitida é 2,0 pu e, após o seu isolamento, 1,5 pu. Se
o isolamento ocorrer em 4,5 ciclos, esquematize acurva de oscilação desde t = 0 até t =
0,8 segundos, para intervalos de 0,05s. Considere H = 7 MJ/MVA. Adotar uma
freqüência de 60 Hz.
16
Solução - A equação de transferência de potência de potência é P = Pmax × sen(θ ) .
Antes da perturbação Pmax = 2,0 e P = 1,0 , assim o valor do ângulo inicial de
defasamento é θ 0 = arcsen(1,0 / 2,0) = 30,0° .
O valor de ω s I da equação de oscilação é dado por:
ω s I = 2 × S × H / ω s = 2 × 1,0 × 7 / 377 = 0,03714
Assim a equação de oscilação do sistema, em qualquer instante, é dada por:
0,03714
d 2θ
dt 2
= 1 − Pmax × sen(θ )
O problema estabelece um tempo incremental de 0,05 segundos, o que eqüivale a 3,0
ciclos. Para compatibilizar a duração da falta de 4,5 ciclos, pode-se adotar um tempo
incremental de 1,5 ciclos, o que eqüivale a 0,025 segundos, durante a ocorrência da
falta.
Em termos de solução numérica, em qualquer instante, ∆ θ = W × ∆ t . Por outro lado, o
valor de ∆ W depende das situações ocorridas, tal como mostrado abaixo.
a) Durante a perturbação de 4,5 ciclos:
d 2θ
equação de oscilação 0,03714
= 1 − 0,4 × sen(θ )
dt 2
∆t = 0,025 segundos
incremento de freqüência ∆ W = (26,93 − 10,77 × sen(θ ))∆ t
b) Após a perturbação até 0,8 segundos:
d 2θ
equação de oscilação 0,03714
= 1 − 1,5 × sen(θ )
dt 2
∆t = 0,050 segundos
incremento de freqüência ∆ W = (26,93 − 40,39 × sen(θ ))∆ t
O resultado das iterações está mostrado na tabela abaixo.
Tempo
0
0,025
0,050
∆W (rad /s)
0
0,539
0,535
W (rad /s)
0
0,539
1,074
∆θ (graus)
0
0,772
1,539
θ (graus
30,000
30,772
32,311
17
0,075
0,125
0,175
0,225
0,275
0,325
0,375
0,425
0,475
0,525
0,575
0,625
0,675
0,725
0,775
0,825
0,529
0,200
0,055
-0,084
-0,205
-0,301
-0,372
-0,418
-0,441
-0,442
-0,423
-0,381
-0,315
-0,223
-0,106
0,606
1,603
1,803
1,858
1,774
1,569
1,268
0,896
0,478
0,037
-0,405
-0,828
-1,209
-1,524
-1,747
-1,853
-1,247
2,297
5,164
5,322
5,083
4,496
3,632
2,567
1,370
0,107
-1,161
-2,372
-3,464
-4,365
-5,004
-5,308
-3,572
34,608
39,772
45,094
50,177
54,673
58,305
60,872
62,242
62,349
61,187
58,815
55,351
50,986
45,982
40,673
37,100
O gráfico mostra a trajetória do ângulo de defasamento do gerador em função do tempo.
70.0
60.0
50.0
angulo
40.0
30.0
20.0
10.0
0.0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tempo
A freqüência do gerador no tempo 0,225 segundos é dada por:
f = (377,0 + 1,774) /(2π ) = 60,28 Hz
5 - Solução analítica da equação de oscilação
A equação de oscilação tem solução analítica quando o número de máquinas é pequeno.
A solução clássica do problema é o caso de um sistema que pode ser equivalentado a
uma máquina síncrona que oscila com relação a barra infinita, conforme mostra a figura
5.1
18
Figura 5.1
A equação de oscilação do sistema mostrado na figura 5.1 pode ser representada como:
ωI
d 2θ
dt 2
= ∆P
Multiplicando a equação acima por dθ / dt obtém-se:
ωI
dθ dθ
dθ
×
= ∆ P×
dt dt
dt
A mesma equação pode ser equivalente a:
1 d  dθ 
2 dt  dt 
2
= ∆ P×
dθ
dt
Portanto:
 dθ 
 dt 
2
=
∫ 2 × ∆ P × dθ
A máquina do sistema na figura 5.1 é estável se após as perturbações ocorridas
dθ / dt = 0 , assim:
θ2
∫ ∆ P × dθ
= 0
θ1
Na equação acima ∆ P representa o equilíbrio entre as potências elétrica e mecânica da
máquina, portanto:
θ2
∫ ( Pmecanica − Peletrica ) × dθ
= 0
θ1
A representação dos estados durante e após o distúrbio, pode ser feita ao se didir a
equação de estabilidade em duas ou mais partes. A figura 5.2 mostra o gráfico da
potência em função do deslocamento angular.
19
Figura 5.2
Supondo um ângulo inicial θ 0 , θ n como o término do estado durante o distúrbio
(início do estado após o distúrbio) e θ max como término do estado após o distúrbio,
então a equação de estabilidade poder ser dada como:
θn
∫ ( Pmecanica − Peletrica ) × dθ
+
θ0
θ max
∫ ( Pmecanica − Peletrica ) × dθ
= 0
θn
ou ainda:
θ0
∫ ( Pmecanica − Peletrica ) × dθ
θn
=
θ max
∫ ( Peletrica − Pmecanica ) × dθ
θn
A equação de estabilidade envolve duas variáveis, θ e P, então a integral pode ser
interpretada como uma área com dimensões θ e P. Assim uma outra forma de apresentar
o problema de estabilidade é A1 = A2 . Por este motivo, o método em questão é também
denominado de critério das áreas iguais.
Muitas vezes o valor de θ max não é conhecido, neste caso se existir uma área A2 que
seja igual A1 , então a máquina é estável.
Exemplo 5.1 - O gerador fornece à barra infinita 10 MW. Num dado momento ocorre
um curto-circuito trifásico no ponto P. O curto circuito é eliminado quando o ângulo de
defasamento do gerador atinge 58,54o , verifique a estabilidade do sistema. A potência
de base é de 100 MVA e a tensão de base 6,9kV no gerador.
Figura 4.2 1
20
Solução - O problema pode ser dividido em 3 partes, antes, durante e após o distúrbio.
Antes do distúrbio. Antes do distúrbio o gerador fornece 10MW a barra infinita:
P0 = 10 MW = 0,1 pu
Portanto o ângulo de deslocamento inicial é:
θ 0 = arcsen(4,258 × 0,1) = 25,2°
Durante o distúrbio. Durante o distúrbio a potência mecânica que aciona o gerador
permanece como 0,1 pu e devido ao curto circuito trifásico no ponto mostrado a
potência elétrica transmitida é Pelet = 0.0 . A figura 5.1.1 mostra o gráfico da área A1 .
Figura 5.1.1
Após o distúrbio. Após o distúrbio a potência mecânica que aciona o gerador permanece
ainda como igual a 0,1 pu, entretanto a potência elétrica transmitida é:
Pelet =
sen(θ )
4,258
Figura 5.1.2
A figura 5.1.2 mostra o gráfico do estado após o distúrbio. O eixo da potência mecânica
cruza com a curva da potência elétrica no ângulo 180°-25,19°. Se dentro da área
21
marcada A2 existir uma área igual a A1 , então o gerador é estável. Portanto se A2 ≥ A1 ,
então o gerador é estável.
Desta forma o problema da estabilidade pode ser resumido em:
θn
∫ (0,1 − 0,0)dθ
θ max
∫
≤
θ0
(
θn
sen(θ )
− 0,1)dθ
4,258
onde θ 0 = 25,2° , θ n = 58,75° e θ max = 180° − 25,19° . Resolvendo a equação verificase que:
A1 = 0,1 × (58,75° − 25,2° ) × π / 180,0 = 0,0582
A2 =
− cos(154,81° ) + cos(58,75° )
− 0,1(154,81° − 58,75° ) × π / 180 = 0,1671
4,258
Portanto como A2 ≥ A1 , então o gerador permanece estável.
Exemplo 5.2 - Com os dados do exemplo 5.1, determine qual a maior duração da falta
para que o sistema continue estável.
Solução – O máximo tempo de duração da falta pode ser determinado aumentando a
área A1 através do crescimento de θ n . A área A1 tem início em 25,2° e fim em θ n e a
área A2 tem início em θ n e fim em 154,81°.
O crescimento de θ n implica na redução da área A2 . Portanto existe um θ n ,
denominado neste caso de ângulo critico θ c tal que A2 = A1 . Assim o problema se
resume em:
θc
∫
154,81
0,1 × dθ =
25,2
∫
θc
(
sen(θ )
− 0,1)dθ
4,258
Resolvendo a equação acima obtém-se:
0,1(θ c − 25,2° )π / 180 = − (cos(154,81° ) − cos(θ c )) / 4,258 − 0,1(154,81° − θ c )π / 180
Portanto cos(θ c ) = 0,05831 , de onde obtém-se que θ c = 86,7° . Conhecendo o ângulo
crítico, o tempo em segundos pode ser determinado através de fórmulas de movimento
rotacional.
A equação de oscilação durante a falta é:
22
d 2θ
dt
2
=
0,1
= α
ωI
onde α é a aceleração do gerador. Sabendo que S × H = Iω 2 / 2 , então α = 41,9 . A
equação de movimento rotacional envolvendo ângulos e tempo é:
θ = θ0+
1 2
αt
2
Sabendo que θ = 86,7° , θ 0 = 25.2° e α = 41,9 , então t = 0,226 segundos ou 13,6 ciclos.
Exemplo 5.3 - Um motor está conectado a uma barra infinita consumindo 60 MW. Os
valores nominais do motor são 100MVA, 13,8kV, H = 3,0 e reatância subtransitória de
30,0%. Num dado momento sua carga aumenta para 70 MW. Verifique a estabilidade
utilizando o critério das área iguais. Adotar uma potência de base de 100 MVA e 13,8
kV na barra do motor.
Solução - O ângulo de defasamento do motor antes da perturbação é:
θ 0 = arcsen(0,6 × 0,3) = 10,4°
O ângulo de defasamento do motor, correspondente a uma carga mecânica de 70 MW,
é:
θ 1 = arcsen(0,7 × 0,3) = 12,1°
A figura 5.3.2 mostra o equacionamento do problema em termos gráficos. Na figura
Pmec = 0,7 e Pelet = sen(θ ) / 0,3
Pelet
Pmec
10,4°
12,1°
180°-12,1°
Figura 5.3.2
23
A área A1 na figura 5.3.2 corresponde a área compreendida entre os ângulos de 10,4° e
12.1°. O valor da área A1 é:
12,1
A1 =
∫ ( Pmec − Pelet )dθ =
10,4
12,1
∫
(0,7 −
10,4
sen(θ )
)dθ = 0,00148
0,3
A área A2 na figura 5.3.2 corresponde a área compreendida entre os ângulos de 12,1° e
167,9°, correspondendo a um valor de:
167,9
A2 =
∫ ( Pelet − Pmect )dθ
12,1
167,9
=
∫
12,1
(
sen(θ )
− 0,7)dθ = 4,616
0,3
Portanto como A2 > A1 , então o sistema é estável.
Exemplo 5.4 - O motor está recebendo 25% da máxima potência que ele pode receber e
supre uma carga com o mesmo valor. Se a carga for dobrada , calcule o valor máximo
de θ, durante a oscilação do motor em torno de sua nova posição de equilíbrio.
Solução - Denominando de Pmax como a máxima potência de transmissão, então antes
do distúrbio a potência da carga é 0,25Pmax. A carga é dobrada, portanto o novo valor da
carga é de 0,5Pmax enquanto que a capacidade de transmissão de potência elétrica ainda
permanece como Pmax. A figura 5.4.1 mostra a representação gráfica do problema. θ m
P
Pmax × senθ
θn
0,5Pmax
θ0
θ
θm
Figura 5.4.1
Sabendo que a máxima potência de transferência é Pmax, então:
Pmax = sen(90° ) / X
24
Portanto a reatância equivalente do sistema pode ser representada como X = 1 / Pmax .
Antes do distúrbio a potência transferida é equivalente a 0,25Pmax, assim o ângulo de
defasamento inicial do motor pode ser encontrado através de:
0,25 Pmax =
sen(θ 0 )
X
Portanto θ 0 = arcsen(0,25) = 14,48° , e o ângulo θ n = arcsen(0,5) = 30° . Desta forma a
área A1 correspondente a figura 5.4.1 é:
30
A1 =
∫ ( Pmec − Pelet )dθ =
14,48
30
∫ (0,5 − sen(θ )) × Pmax × dθ
=
14,48
O máximo ângulo de oscilação do motor, denominado de θm, pode ser encontrado ao se
definir A2 = A1 , onde A2 é dada por:
A2 =
θ
∫
( Pelet − Pmec )dθ =
30
θ
∫ (sen(θ ) − 0,5) × Pmax × dθ
=
30
Fazendo A2 = A1 , obtém-se:
cos(θ m ) + 0,008727 × θ m − 1,0946 = 0
O valor de θm pode ser encontrado através de processos iterativos resolvendo a equação
θ m = arccos(1,0946 − 0,008727 × θ m ) . Assim o valor de θm corresponde a 46,4°.
Exemplo 5.5 - Um gerador de 60Hz está fornecendo, através de uma linha de
transmissão, ligada a uma barra infinita , 50% de sua Potência. Ocorre uma falta que
aumenta a reatância entre o Gerador e a barra 400% do valor original. Quando a falta é
isolada , a máxima potência que pode ser fornecida é 75 % do valor máximo original.
Para a situação descrita calcule o ângulo de isolamento crítico.
25
Fazendo A1 = A2
Pmáx ∫
θc
30°
( 0,5 −
0,5(θ c − 30° )
0,2 sen θ )dθ = Pmáx ∫
138, 2°
θc
( 0,75 sen θ
− 0,5)dθ
π
π
+ 0,2( cosθ c − cos 30° ) = − 0,75( cos138,2° − cosθ c ) − 0,5(138,5 − θ c )
180
180
ϑ c = ...
26
Exemplo 5.6 - Um motor síncrono de 5,0 MVA, na tensão de 4,16kV, é suprido por um
sistema de grande porte conforme mostra a figura. O motor síncrono aciona uma carga
mecânica de 1,0MW. Num dado momento a carga mec6anica aumenta para 4,0MW.
Verifique a estabilidade.
4,16kV
5MVA
H=3,0
80km
X=0,5Ω/km
~
sistema
4,16kV/69kV
5MVA
X = 8,0%
Resolução: a figura abaixo mostra o diagrama de impedâncias do sistema, na base de
100MVA e 4,16kV no motor.
j5,0
j1,6
j0,84
G
M
A equação da potência elétrica entre o gerador e o motor é dada por:
Pel = senθ / 7,44
Sabendo que a potência mecânica inicial é de 1,0 MW, então o ângulo inicial do motor
é:
θ 0 = arcsen(0,01 × 7,44) = 4,27°
A perturbação do sistema eqüivale ao aumento da potência mecânica para 4,0 MW. A
interseção da curva de potência elétrica com a nova potência mecânica resulta em um
ângulo de:
θ p = arcsen(0,04 × 7,44) = 17,31°
A nova potência mecânica tem duas interseções com a curva da potência elétrica,
resultando nos ângulos de 17,31° e 180-17,31=162,69°. Portanto a área perturbadora é
dada por:
27
A1 =
17,31°
∫ 4,27
°
17,31°
(0,04 − senθ / 7,44)dθ = 0,04θ + cos θ / 7,44 4,27 ° = 0,00339
Por outro lado a área restauradora, a área que contribui para a estabilidade, pode ser
dada como:
A2 =
162,69 °
162,69 °
∫17,31
( senθ / 7,44 − 0,04)dθ = − cos θ / 7,44 − 0,04θ 17,31° = 0,1551
°
Verificando que A1 〈A2 , portanto o sistema é estável.
Exemplo 5.7 - Determine o máximo ângulo de oscilação do exemplo anterior.
Resolução: através das áreas é possível determinar o máximo ângulo de oscilação. O
máximo ângulo de oscilação pode ser obtido através da igualdade de áreas.
17,31°
∫ 4,27
°
(0,04 − senθ / 7,44)dθ =
θ
∫17,31 (senθ
M
°
/ 7,44 − 0,04)dθ
Resolvendo a equação acima obtém-se:
0,04(17,31° − 4,27° )π / 180 + (cos(17,31° − cos(4,27° )) / 7,44 =
(− cos(θ M ) + cos(17,31° )) / 7,44 − (θ M − 17,31° )π / 180
Simplificando a equação acima obtém-se:
cos(θ M ) = 1,022 − 0,005194θ M
que pode ser resolvida por processos iterativos. O valor do ângulo máximo resultante é
de 29,95°.
EXERCÍCIOS
Exercício 1 - Verificar a estabilidade do sistema. A duração da falta trifásica, no ponto
mostrado na figura é de 10 ciclos. Antes da ocorrência da falta o gerador fornece uma
potência ativa de 0,6 pu ao sistema de grande porte.
j0,28
H=3,0
j0,16
j0,24
j0,16
j0,16
~
j0,16
j0,24
falta
trifásica
j0,16
sistema
28
Exercício 2 - Verificar a estabilidade do sistema, sabendo que a falta trifásica foi
eliminada em t = 10 ciclos e que a potência fornecida ao sistema antes da ocorrência da
falta é 80 MW. A constante H do gerador é igual a 3,0. Adotar Uma potência de base de
100 MVA e uma tensão de base de 13,8 kV no gerador.
13,8kV
100MVA
H=3,0
~
100km
X=0,5Ω/km
13,8kV/230kV
100MVA
X = 7,0%
sistema
falta
trifásica
Exercício 3 - Determine a maior duração da falta que permite que o sistema do
exercício 2 continue estável.
Exercício 4 - Um gerador de 60Hz está fornecendo, através de uma linha de
transmissão, ligada a uma barra infinita, 50% da máxima potência que pode ser
transmitida. Ocorre uma falta que aumenta a reatância entre o gerador e a barra 400%
do valor original. Quando a falta é isolada , a máxima potência que pode ser fornecida é
75 % do valor máximo original. Para a situação descrita calcule o ângulo de isolamento
crítico. Supondo que a potência nominal do gerador seja igual a 0,5 Pmáx e que H= 4,0,
determine o tempo correspondente ao ângulo crítico.
Exercício 5 - Determinar o valor da corrente (módulo e ângulo) do gerador, no
exercício anterior, nas situações em que θ = 30° e θ =150°. Considere Pmáx=1,0pu e
V1=V2= 1,0pu.
Exercício 6 - Um gerador fornece 1,0pu a um sistema de grande porte. Em regime
normal, a máxima potência que pode ser transferida ao sistema de grande porte é de
2,00 pu. Durante o curto circuito trifásico Pmax = 0,20 pu e após a falta Pmax = 1,50 pu.
Determine θ de 0 até 0,8 seg supondo que a falta seja isolada após 4,5 ciclos. A
constante H do gerador é de 7,0.
29
Exercício 7 - (Prova ASP de 10dez98) - O gerador, conforme mostrado na figura,
fornece uma potência ativa igual a P a um sistema de grande porte, no momento em que
ocorre uma falta trifásica. A falta é eliminada quando o ângulo de defasamento atinge
40°. Supondo que o máximo ângulo de oscilação atinja 50°, determine o valor de P que
o gerador supria antes da ocorrência da falta.
13,8kV
50MVA
H=3,0
~
100km
X=0,5Ω/km
13,8kV/230kV
50MVA
X = 10,0%
sistema
falta
trifásica
Exercício 8 - (Prova ASP de 27mar99) - Determine o tempo máximo de abertura dos
disjuntores A e B para que o sistema permaneça estável no evento de um curto circuito
trifásico na barra 2. Antes do curto circuito o gerador fornece 40 MW ao sistema de
grande porte. As linhas de transmissão tem uma reatância indutiva de 0,5 ohms/km.
138kV
X'd=30%
100MVA
H=2,5
1
G
2
SG
100 km
A
50 km
70 km
B
3
Exercício 9 - (Prova ASP 11dez99) - O gerador fornece 100 MVA ao sistema de grande
porte. Num dado momento ocorre uma falta trifásica no ponto A. A falta é eliminada
com a desconexão de uma das linhas. Supondo que o ângulo de oscilação do gerador
esteja limitado a um máximo de 60°, determine o máximo tempo de duração da falta. As
duas linhas são idênticas e cada uma tem um comprimento de 200 km e X = 0,5 Ω/km.
13,8kV
200MVA
=30%
H=3,0
13,8kV/230kV
200 MVA
X = 10%
~
SG
A
30
Exercício 10 (Prova ASP 19fev00) - Um gerador está conectado a um sistema de grande
porte através de um sistema de transmissão. O sistema de grande porte opera com uma
tensão de 138 kV e a potência recebida é de (40+j5)MVA. Num dado momento ocorre
uma falta trifásica no ponto P e o disjuntor D abre 10 ciclos após. Considerando o
efeito resistivo da linha, verifique a estabilidade do sistema. Sabe-se que a tensão do
sistema e o módulo da tensão atrás da reatância do gerador permanecem constantes
durante o tempo em que a estabilidade é determinada. E, ainda que, considerando o
efeito resistivo, o fluxo simplificado não pode ser aplicado pois tensão atrás da
reatância do gerador pode ser diferente de 1,0.
13,8kV/138kV
25MVA
X = 10%
Sistema de
grande porte
13,8 kV
~
50 MVA
100 km
R = 0,15 Ω/km
D
XL =0,50 Ω/km
P
Exercício 11 (Prova ASP 25jan2003) - O gerador, do sistema da figura, fornece 700
kW ao sistema de grande porte. Determine qual a potência do transformador 34,5kV/
0,38kV para que mesmo durante a ocorrência de um curto circuito trifásico, de longa
duração, no ponto P o sistema ainda permanece estável.
0,38kV/34,5kV
1,0MVA
X = 5%
0,38kV
1,0MVA
H=3,0
100 km
X = 0,5Ω/km
~
P
sistema
de grande
porte
34,5kV/0,38kV
??kVA
X = 7%
Exercício 12 (Prova ASP 25jan2003) - O gerador, conforme mostrado na figura,
fornece 40MW ao sistema de grande porte, no momento em que ocorre uma falta
trifásica. A falta é eliminada após 10 ciclos. Determine qual a máxima distância da
linha de transmissão, considerando que o sistema permaneça estável.
13,8kV
50MVA
H=3,0
~
?? km
X=0,5Ω/km
13,8kV/230kV
50MVA
X = 10,0%
sistema
falta
trifásica
31
Exercício 13 (Prova ASP 14mar2003) - O sistema interligado brasileiro tem uma
demanda de pico da ordem de 50GW e opera na freqüência de 60 Hz. Esta demanda é
suprida quase que totalmente por geradores acionados por turbinas hidráulicas. Sabe-se
que geradores acionados por turbinas hidráulica tem inércia rotacional relativamente
baixa, correspondendo a um valor médio de H em torno de 2,5. Portanto qualquer
desequilíbrio entre geração e carga, ou qualquer distúrbio no sistema, afeta
perigosamente a estabilidade mecânica do sistema. Por outro lado o acréscimo, ou
redução, de potência geradora é uma operação muito lenta em sistemas essencialmente
hidráulicos, fato que piora ainda mais a estabilidade do sistema. Suponha que num
determinado momento a carga excede a geração por 500 MW, nestas condições,
determine a freqüência do sistema após decorridos 10,0 segundos. Para resolver o
problema considere primeiro que a carga não contribui, ou contribui muito pouco, para
a energia cinética do sistema interligado. Numa segunda hipótese, considere que a carga
contribui com 30% para energia cinética do sistema.
fim
32