INPE - INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS ESPACIAIS
DMC – Divisão De Mecânica Espacial E Controle
PIBIC/CNPq – Programa De Bolsas De Iniciação Científica
Exemplos de Bifurcações Elementares
Aluna:
Orientador:
Anna Oertel Spinelli
Mário César Ricci
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Teoria das Bifurcações
Estudo de possíveis alterações na
estrutura das órbitas de uma equação
diferencial de parâmetros variáveis
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•Equilíbrio hiperbólico:
Para qualquer valor do parâmetro c, Há
um ponto de equilíbrio hiperbólico o qual
é assintoticamente estável.
Considere a equação diferencial linear:
x& = − x + c ≡ F (c, x)
(onde c é um parâmetro real )
Fig. 15: Retrato de fase de x& = c − x para vários valores de c.
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•Bifurcação Sela-nó:
A origem é um ponto de equilíbrio nãohiperbólico para c=0
Considere a equação diferencial
quadrática:
Fig. 16: Retrato de fase de x& = c + x 2 para vários valores de c.
x& = c + x 2 ≡ F (c, x)
(onde c é um parâmetro real )
c > 0 → não há pontos de equilíbrio
c = 0→ há um ponto de equilíbrio instável (ponto de
bifurcação)
c <→
0 há dois pontos de equilíbrio: um estável,
x ,= − − c , e outro instável, x = − c.
Fig. 17: Diagrama de bifurcação do tipo sela-nó. Note que o
parâmetro é assinalado no eixo horizontal; o equilíbrio
estável é desenhado com linha sólida e o instável com
tracejada. Segue-se esta convenção nos diagramas4 de
bifurcação.
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•Bifurcação Transcrítica:
Esta perturbação não é uma translação
do campo vetorial não-perturbado
Considere a equação diferencial:
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x& = cx + x
(onde c é um parâmetro real )
c>0
→ a origem é assintoticamente estável e há
outro ponto de equilíbrio x =−c o qual é instável
c = 0 → ponto de equilíbrio instável não-hiperbólico
(valor de bifurcação)
c < 0 → a origem torna-se instável mas transfere sua Fig. 19: Diagrama de bifurcação do tipo transcrítica
estabilidade para outro ponto de equilíbrio, x = −c
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Fig. 18: Retrato de fase de x& = cx + x 2 para vários valores de c.
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•Histerese:
Suponha que a equação diferencial é um
modelo de algum sistema físico e o parâmetro
c é uma característica mutável do modelo.
Considere a equação diferencial cúbica:
x& = c + x − x 3
F ig . 2 0 : R e tra to d e fa se d e
x& = c + x − x 3 p a r a v á r i o s
v a lo re s d e c .
(onde c é um parâmetro real )
A importante observação com relação a este
experimento é que o sistema pratica um salto
para dois valores diferentes do parâmetro.
Este fenômeno se refere ao hysteresis e a
parte na próxima figura que nos lembra um
paralelogramo é chamado de hysteresis loop.
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Fig. 21: Diagrama de bifurcação
de x& = c + x − x 3 .
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A linha tracejada na figura (22) representa o
equilíbrio que o sistema seguirá quando c é
aumentado de um valor negativo. A linha
sólida na figura (22) indica o equilíbrio que o
sistema seguirá quando c é decrescido de um
valor muito grande positivo para um negativo.
Fig. 22: Hysteresis loop.
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•Bifurcação Pitchfork:
A introdução do parâmetro d altera a
inclinação da cúbica na origem enquanto
mantém o mesmo eixo x.
Considere a equação diferencial:
x& = dx − x 3
d<
(onde d é um parâmetro real )
0 → estrutura de órbita estável, com ponto de
equilíbrio assintoticamente estável
d = 0→ o equilíbrio coalesce na origem (ponto de
bifurcação)
d > 0 → estrutura orbital estável, há três pontos de
equilíbrioa
Fig. 24: Bifurcação pitchfork
supercrítica em x& = dx − x 3 .
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Fig. 23: Retrato de fase de x& = dx− x3 para vários valores de d.
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Pitchfork supercrítica:
Pitchfork subcrítica:
Os pontos de equilíbrio adicionais que
aparecem no valor de bifurcação, ocorrem para
valores de parâmetros nos quais os pontos de
equilíbrio são instáveis.
Os pontos de equilíbrio adicionais que
aparecem no valor de bifurcação, ocorrem para
valores de parâmetros nos quais os pontos de
equilíbrio são estáveis.
Fig. 24: Bifurcação pitchfork supercrítica
em x& = dx − x 3 .
Fig. 26: Bifurcação pitchfork subcrítica
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em x& = dx + x 3 .
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•Dobra ou cúspide :
Considere a equação diferencial cúbica:
x& = c + dx − x 3 ≡ F (c, d , x)
(onde os dois parâmetros c e d são reais)
Nos pontos de bifurcação uma equação
diferencial deve ter um ponto de equilíbrio
não-hiperbólico, ou seja,
∂
F (c, d , x ) = 0 e
∂x
F ( c, d , x ) = 0
Para este exemplo, as equações acima são
equivalentes a
c + dx − x 3 = 0 e d − 3 x 2 = 0
Determinar valores de c e d com x em comum
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d = 3x 2 e c = −2x
Eliminando x de ambas as equações, obtémse a seguinte equação para uma cúspide
4d 3 = 27c 2
Fig. 25: Figura da cúspide 4d3 =27c2 no
plano (c,d) e alguns retratos de fase
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representativos de x& = c + dx − x 3 .
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Fig. 28: O diagrama de
bifurcação da equação diferencial
cúbica x& = c + dx − x 3 no espaço
(c,d,x). A cúspide inferior determina
os pontos no plano (c,d) os quais
são projeção vertical da superfície
dobrada superior; para um ponto
dentro da cúspide a projeção "fura"
a superfície superior em três valores
diferentes, sendo que o interno
representa um ponto de equilíbrio
instável e os externos, pontos de
equilíbrio estáveis.
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Fig. 29: Pedaços do diagrama de
bifurcação de x& = c + dx − x 3 :
(a) histerese para d=1,
(b) pitchfork supercrítica para c=0
(c) sela-nó supercrítica para c=1.
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Como exemplo final vamos considerar a seguinte
equaçãoλ diferencial dependendo do parâmetro
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escalar : x& = λ + (mλ + 1) x − x
(onde m é uma constante fixa)
Portanto,
c=λ
e
d = mλ + 1
Para a qual a equação da cúspide fica
4(mλ + 1)3 = 27λ2
Geometricamente, esses valores representam a
intersecção da cúspide com a linha parametrizada
. λOs
d =m
+ 1 diagramas de bifurcação e as
estruturas orbitais são mostrados na figura ao
lado.
Os fluxos com a mesma qualidade estrutural não
estão “conectados”.
Fig. 30: Diagramas de bifurcação15de
x& = λ + (mλ + 1) x − x 3
para m>1, m=1, e m<1.