Professores Cícero, Conrad, Ubiratan e Vera – Uniban 2011
CAPÍTULO II
Construção dos Números Reais
Parte I – Números Naturais
1) Prove por indução finita, para todo n
1.
a) 2 + 6 + 10 + ... + (4n – 2) = 2n2
i) Provar que é verdadeira para n = 1.
L.E. = 2
L.D. = 2 . 12 = 2
Portanto, é verdadeiro para n = 1.
ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução).
2 + 4 + 6 + ... + (4k – 2) = 2k2
(H.I.)
iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1.
2 + 4 + 6 + ... + (4k – 2) + [4(k + 1) – 2] = 2(k + 1)2
2 + 4 + 6 + ... + (4k – 2) + (4k + 2) = 2(k + 1)2
Pela hipótese de indução temos que 2 + 4 + 6 + ... + (4k – 2) = 2k2. Substituindo, temos:
2k2 + 4k + 2 = 2(k2 + 2k + 1) = 2(k + 1)2
que é igual ao L.D.
Portanto: 2 + 6 + 10 + ... + (4n – 2) = 2n2, ∀ n ≥ 1.
b) 4 + 10 + 16 + ... + (6n – 2) = n(3n + 1)
i) Provar que é verdadeira para n = 1.
L.E. = 4
L.D. = 1 . (3 + 1) = 4
Portanto, é verdadeiro para n = 1.
ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução).
4 + 10 + 16 + ... + (6k – 2) = k(3k + 1)
(H.I.)
iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1.
4 + 10 + 16 + ... + (6k – 2) + [6(k + 1) – 2] = (k + 1) [3(k + 1) + 1]
4 + 10 + 16 + ... + (6k – 2) + 6k + 4 = (k + 1) (3k + 4)
Pela hipótese de indução temos que 4 + 10 + 16 + ... + (6k – 2) = k(3k + 1). Substituindo, temos:
k(3k + 1) + 6k + 4 = 3k2 + k + 6k + 4
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= 3k2 + 7k + 4 = (k + 1) (3k + 4)
que é igual ao L.D.
Portanto: 4 + 10 + 16 + ... + (6n – 2) = n(3n + 1), ∀ n ≥ 1.
c) 2 + 4 + 6 + ... + (2n) = n(n + 1)
i) Provar que é verdadeira para n = 1.
L.E. = 2
L.D. = 1 . (1 + 1) = 2
Portanto, é verdadeiro para n = 1.
ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução).
2 + 4 + 6 + ... + (2k) = k(k + 1)
(H.I.)
iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1.
2 + 4 + 6 + ... + (2k) + 2(k + 1) = (k + 1) (k + 2)
Pela hipótese de indução temos que 2 + 4 + 6 + ... + (2k) = k(k + 1). Substituindo, temos:
k(k + 1) + 2(k + 1) = (k + 1) (k + 2)
que é igual ao L.D.
Portanto: 2 + 4 + 6 + ... + (2n) = n(n + 1), ∀ n ≥ 1.
d) 1 + 5 + 9 + ... + (4n – 3) = n(2n – 1)
i) Provar que é verdadeira para n = 1.
L.E. = 1
L.D. = 1 . (2 – 1) = 1
Portanto, é verdadeiro para n = 1.
ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução).
1 + 5 + 9 + ... + (4k – 3) = k(2k – 1)
(H.I.)
iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1.
1 + 5 + 9 + ... + (4k – 3) + [4(k + 1) – 3] = (k + 1) [2(k + 1) – 1]
1 + 5 + 9 + ... + (4k – 3) + (4k + 1) = (k + 1) (2k + 1)
Pela hipótese de indução temos que 1 + 5 + 9 + ... + (4k – 3) = k(2k – 1). Substituindo, temos:
k(2k – 1) + (4k + 1) = 2k2 – k + 4k + 1
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3
= 2k2 + 3k + 1 = (k + 1) (2k + 1)
que é igual ao L.D.
Portanto: 1 + 5 + 9 + ... + (4n – 3) = n(2n – 1), ∀ n ≥ 1.
e) 1 + 3 + 6 + ... +
n(n + 1)
n(n + 1)(n + 2)
=
2
6
i) Provar que é verdadeira para n = 1.
L.E. = 1
L.D. =
1 2 3 6
= =1
6
6
Portanto, é verdadeiro para n = 1.
ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução).
1 + 3 + 6 + ... +
k(k + 1)
k(k + 1)(k + 2)
=
(H.I.)
2
6
iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1.
1 + 3 + 6 + ... +
k(k + 1) (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2)(k + 3)
+
=
2
2
6
Pela hipótese de indução temos que 1 + 3 + 6 + ... +
temos:
k(k + 1)
k(k + 1)(k + 2)
=
. Substituindo,
2
6
k(k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2)
+
=
6
2
=
k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2)
(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=
=
6
6
que é igual ao L.D.
Portanto: 1 + 3 + 6 + ... +
n(n + 1)
n(n + 1)(n + 2)
=
, ∀ n ≥ 1.
2
6
f) 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2
i) Provar que é verdadeira para n = 1.
L.E. = 1
L.D. = 12 = 1
Portanto, é verdadeiro para n = 1.
ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução).
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1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k2
4
(H.I.)
iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1.
1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k + 1)2
1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1)2
Pela hipótese de indução temos que 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k2. Substituindo, temos:
k2 + 2k + 1 = (k + 1)2, que é igual ao L.D.
Portanto: 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2, ∀ n ≥ 1.
g) 2 + 4 + 6 + … + (2n) = n(n + 1)
É igual ao exercício 1c.
h) 1
2+2
3+3
4 + … + n(n + 1) =
n(n + 1)(n + 2)
3
i) Provar que é verdadeira para n = 1.
L.E. = 1 . 2 = 2
L.D. = 1 . 2 = 2
Portanto, é verdadeiro para n = 1.
ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução).
1
2+2
3+3
4 + … + k(k + 1) =
k(k + 1)(k + 2)
3
(H.I.)
iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1.
1
2+2
3+3
4 + … + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) =
Pela hipótese de indução temos que 1
2+2
3+3
(k + 1)(k + 2)(k + 3)
3
4 + … + k(k + 1) =
Substituindo, temos:
k(k + 1)(k + 2)
+ (k + 1)(k + 2)
3
=
k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2)
(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=
, que é igual ao L.D.
3
3
Portanto: 1
2+2
3+3
i) 22 + 42 + 62 + … + (2n)2 =
4 + … + n(n + 1) =
2n(n + 1)(2n + 1)
3
n(n + 1)(n + 2)
, ∀ n ≥ 1.
3
k(k + 1)(k + 2)
.
3
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5
i) Provar que é verdadeira para n = 1.
L.E. = 22 = 4
L.D. =
2.2.3
3
Portanto, é verdadeiro para n = 1.
ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução).
22 + 42 + 62 + … + (2k)2 =
2k(k + 1)(2k + 1)
3
(H.I.)
iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1.
2(k + 1)(k + 2)[2(k + 1) + 1]
3
2(k
+
1)(k
+
2)(2k
+ 3)
22 + 42 + 62 + … + (2k)2 + 4(k + 1)2 =
3
22 + 42 + 62 + … + (2k)2 + [2(k + 1)]2 =
Pela hipótese de indução temos que 22 + 42 + 62 + … + (2k)2 =
temos:
2k(k + 1)(2k + 1)
. Substituindo,
3
2k(k + 1)(2k + 1)
+ 4(k + 1)2
3
=
2k(k + 1)(2k + 1) + 12(k + 1) 2
2(k + 1) [k(2k + 1) + 6(k + 1)]
=
=
3
3
=
2(k + 1)(2k 2 + k + 6k + 6)
2(k + 1)(2k 2 + 7k + 6)
2(k + 1)(k + 2)(2k + 3)
=
=
3
3
3
que é igual ao L.D.
Portanto: 22 + 42 + 62 + … + (2n)2 =
j) 1
2+3
4+5
2n(n + 1)(2n + 1)
, ∀ n ≥ 1.
3
6 + … + (2n – 1) 2n =
n(n + 1)(4n − 1)
3
i) Provar que é verdadeira para n = 1.
L.E. = 1 . 2 = 2
L.D. =
1.2.3
=2
3
Portanto, é verdadeiro para n = 1.
ii) Supor que é verdadeiro para n = k. (Hipótese de Indução).
1
2+3
4+5
6 + … + (2k – 1) 2k =
k(k + 1)(4k − 1)
3
(H.I.)
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6
iii) Provar que é verdadeiro para n = k + 1.
1
2+3
4+5
6 + … + (2k – 1)
2k + [2(k + 1) – 1] . 2(k + 1) =
1
2+3
4+5
6 + … + (2k – 1)
2k + (2k + 1) . 2(k + 1) =
Pela hipótese de indução temos que 1
2+3
4+5
(k + 1)(k + 2)[4(k + 1) − 1]
3
(k + 1)(k + 2)(4k + 3)
3
6 + … + (2k – 1) 2k =
Substituindo, temos:
k(k + 1)(4k − 1)
+ 2(2k + 1)(k + 1)
3
=
k(k + 1)(4k − 1) + 6(2k + 1)(k + 1)
(k + 1)[k(4k − 1) + 6(2k + 1)]
=
3
3
=
(k + 1)(4k 2 − k + 12k + 6)
(k + 1)(4k 2 + 11k + 6)
(k + 1)(k + 2)(4k + 3)
=
=
3
3
3
que é igual ao L.D.
Portanto: 1
2+3
4+5
6 + … + (2n – 1) 2n =
n(n + 1)(4n − 1)
, ∀ n ≥ 1.
3
k(k + 1)(4k − 1)
.
3