ALGUMAS ACTIVIDADES DE INVESTIGAÇÃO CIENTÍFICA REALIZADAS
PELOS ESTUDANTES
Trinh Dang Khoi ( ISCED/Luanda )
Ta thi Oanh ( Faculdade de Ciências )
Este trabalho baseia-se fundamentalmente na busca de respostas das seguintes perguntas:




O estudo e o ensino nas instituições do ensino superior devem estar associados com
a investigação científica?
Porque se acha ser importante a investigação científica nas instituições do ensino
superior?
Os estudantes podem durante a frequência do ensino superior realizar algumas
investigações matemáticas?
Como começar uma investigação matemática?

O estudo e o ensino baseados na investigação científica ajudam a entender profundamente
os conhecimentos e a elevar a qualidade de aprendizagem, provocam a curiosidade e a
paixão de estudo nos alunos.
O estudo e ensino associados à investigação científica não só elevam a competência
independente e a iniciativa de trabalho individual, mas também desenvolvem a inteligência,
abrindo caminho para o desenvolvimento do pensamento e do raciocínio matemático.
A história da matemática evidencia que vários matemáticos criaram teorias famosas durante
a frequência do ensino universitário.
Pretendemos neste trabalho mostrar aos estudantes que de um problema matemático
simples (ao nível universitário), podemos criar novos e interessantes resultados. Além
disso, pretendemos também indicar algumas actividades iniciais de investigação
matemática, tais como:
 Enunciar um resultado de outras maneiras, criar novos resultados matemáticos a
partir de um resultado já conhecido.
 Criar exercícios novos, a partir de um resultado conhecido.
 Utilizar os métodos de generalização, particularização e o método análogo para
criar novos resultados.
Comecemos pelo seguinte problema simples:
«Demonstrar que 3 divide um dos três números: m, m+2, m+4, para todo número inteiro m
Demonstração: m  Z , tem-se:
1
m  3q
m  3q  1
m  3q  2
qZ
qZ
qZ
ou
ou
Se m  3q , q  Z então 3  m
(2)
Se m=3q+1, q  Z então m+2=(3q+1)+2=3(q+1)  3 (m+2)
(3)
Se m=3q+2, q  Z então m+4=(3q+2)+4=3(q+2)  3  (m+4)
(4)
De (2), (3), e (4) concluímos que: 3 divide um dos três números m, m+2,m+4,
m  Z
(5)
Observação: Analisando a solução acima tem-se: m  Z ,
m  3q
m  3q  1
m  3q  2
qZ
qZ
qZ
ou
ou
Se m  3q , q  Z então 3m
(6)
Se m=3q+1, q  Z então k1  Z , m  3k1  2  (3q  1)  3k1  2  3(q  k1  1)
(7)
 3 (m+3k 1 +2)
se m=3q+2, q  Z então k2  Z , m  3k2  4  (3q  2)  3k2  4  3(q  k2  2)
(8)
 3  (m+3k 2 +2)
De (6), (7), e (8) concluímos que: 3 divide um dos três números inteiros m, m+3k1+2,
m+3k2+4, m  Z
(9)
Particularizando o resultado (9) obtemos uma série de novos resultados:
Resultado (5) é caso particular de (9) com k1=k2=0
Se k1=1 e k2=2 , tem-se:
3 divide um dos três números inteiros m, m+5, m+10, m  Z
Se k1=-2 e k2=0 , tem-se:
3 divide um dos três números inteiros m, m-4, m+4, m  Z
(10)
(11)
Se k1=-1 e k2=-1 tem-se:
3 divide um dos três números inteiros sucessivos m-1, m, m+1,
(12)
m  Z
De (12) surge a seguinte hipótese:
“n divide um dos n números inteiros sucessivos”?
(13)
2
De (1) utilizando a particularização, obtém-se:
“3 divide um dos 3 números inteiros pares sucessivos”
“3 divide um dos 3 números inteiros impares sucessivos”
Donde, pela generalização, surgem as seguintes hipóteses:
“n divide um dos n números inteiros pares sucessivos”?
“n divide um dos n números inteiros impares sucessivos”?
(14)
(15)
Interesse-nos agora demonstrar que as hipóteses (13) e (14) são verdadeiras.
Com efeito, sejam m, m+1,..., m+(n-1) n números inteiros sucessivos, tem-se:
m  nq
m  nq  1
m  nq  2
...............................
m  nq  (n  1),
qZ
qZ
qZ
ou
ou
ou
qZ ,
Se m  nq , q  Z então n m
(16)
Se m=nq+1, q  Z então m  (n  1)  (nq  1)  (n  1)  n(q  1)
Isto é n (m+(n-1)
(17)
Se m  nq  2 , q  Z então m  (n  2)  (nq  2)  (n  2)  n(q  1)
Isto é n /( m  (n  2))
(18)
..................................................................................................................................
Se m=nq+(n-1), q  Z então m+1=[nq+(n-1)]+1=n(q+1) isto é n (m+1)
Combinando (16), (17), (18), (19) concluímos que:
“n divide um dos n números inteiros sucessivos”
(19)
(20)
De modo análogo verifica-se como sendo verdadeira a hipótese (14). Quer dizer:
“n divide um dos n números inteiros pares sucessivos”
(21)
Mas, a hipótese (15) é falsa. Para verificar a sua falsidade vamos mostrar o seguinte contra
exemplo: Tomemos por exemplo os números 5, 7, 9 e 11. São quatro números ímpares
sucessivos mas 4 não divide nenhum deles. Quer dizer que nenhum destes quatro números
é divisível por 4.
Em consequência de (20) e (21) obtemos os seguintes corolários:
“n divide o produto de n números inteiros sucessivos”
(22)
“n divide o produto de n números inteiros pares sucessivos”? (23)
Considerando (22), nos casos particulares obtemos:
2  (n-1)n
n  Z
(24)
3
3  (n-1)n(n-1)
n  Z
(25)
O enunciado 24 pode ser traduzido de seguintes formas:
2  (n-1)n , n  Z  2  (n 2 -n) , n  Z
(26)
(Proposição verdadeira)
2
2 n(n+1) , n  Z  2  (n +n ), n  Z
(27)
(Proposição verdadeira)
2
2 (m+1)(n+2) , n  Z  2  (n +3n + 2 ) , n  Z
(28)
(Proposição verdadeira)
O enunciado 25 pode ser traduzido de seguintes formas:
3  (n-1)n(n+1) , n  Z  2  (n 3 -n) , n  Z
(29)
(Proposição verdadeira)
2
3
3 n(n+1)(n+2), n  Z  3  (n (n +3n +2n) , n  Z (30)
(Proposição
verdadeira)
3  (n+1)(n+2)(n+3) , n  Z  3  (n 3 +6n 2 +11n+6) , n  Z
(31)
(Proposição verdadeira)
Designemos por P(2), a proposição 2  (n 2 -n) , n  Z
Designemos por P(3), a proposição:3 (n 3 -n) , n  Z
Por P(m) a proposição m  (n m -n) , n  Z , m  Z
(Proposição verdadeira)
(Proposição verdadeira)
(?)
As proposições P(2), P(3) , P(m) são análogas no sentido de que 2, 3,..., m são números
inteiros positivos.
Das proposições (26) e (29) se confirma que P(2) e P(3) são proposições verdadeiras. Surge
então uma indagação referente a P(m):
“Será, P(m) verdadeira para todo m = 1, 2, 3,...?”
Podemos através de um contra exemplo, mostrar a falsidade de P(m). Desta forma,
tomando por exemplo m=4, n=2, obtemos 4 não divide 24-2.
Analisemos, agora a relação análoga seguinte:
As proposições P(2), P(3),...,P(p) são análogas no sentido de que 2, 3,...,p são números
primos.
Sabendo que P(2), P(3) são proposições verdadeiras, surge naturalmente, a pergunta: P(p) é
verdadeira, para todo número arbitrário primo?
Esta hipótese é verdadeira, e conhecida por “Pequeno problema de Fermat”.
A CRIAÇÃO começa do mesmo problema nas aulas.
Nesta parte apresenta-se a aplicação de derivada para criar novos exercícios e novos
resultados, por exemplo: seja a função y = x + cos x, contínua e derivável, x  R obtémse y  1 - sen x .
4
Com y  0 , x 

+ 2  ,   0,1,2,3... , por isso y é constante crescente, x  R
2
temos:
a) y (0) < Y(x) ,
x  0
Desta relação, criando uma desigualdade obtém-se:
1<x + cos x, x  0
b) y(0) > y(x), x  0
Desta relação, criando uma desigualdade obtém-se:
1> x + cos x , x  0
Exemplo 2: considerando a função y   x  5  x , continua e derivável x   , obtém-se:
y   x  1 .
Como:
a) y > 0,
x  0  a função y   x  5  x é crescente, x  0  y0  yx , x  0
 1  5   x  5  x, x  0 . Então, permite criar a desigualdade:
1   x  x, x  0
b) y  0, x  0  a função y   x  5  x é decrescente, x  0
 y0  yx  , x  0  1  5   x , x  0 , o que permite criar outra desigualdade:
1   x  x, x  0
De (1) e (2), é criada a desigualdade 1   x  x, x  0
Exemplo 3: Consideramos a função y  ln 1  x   x, x  1 continua e derivável para
todos x  1 . Desta função resulta:
1
x
y 
1  
1 x
1 x
x
-x
1 x
y
y
-1
0
||
+
+
+
0
0

+
-
0
Então,
1. y  0 x  0
2. y  0 x  (1,0)
Como y  0 x  0 é uma função decrescente x  0, quer dizer, y0  yx ,
x  0
5
então, criando uma desigualdade:
x  ln 1  x , x  0 (1)
Como y  0 , x   1,0 , então a função é crescente, x  (1,0]
 y0  yx ,
x   1,0  0  ln 1  x   x, x   1,0
Assim, criando outra desigualdade obtém-se:
x  ln 1  x, x  (1,0)
De (1) e (2) se obtém a desigualdade:
x  ln x  1,
(2)
x  1 e x  0

Conclusão
O presente trabalho tem por objectivo apresentar os métodos de raciocínio matemático: o
método de analogia, a generalização e particularização no estudo, no ensino, e na
investigação matemática e algumas actividades de investigação científica realizada pelos
estudantes matemáticos.
O estudo, e o ensino no espírito de investigação científica são interessantes e contribuem
para o desenvolvimento do pensamento matemático.
O presente trabalho servirá de apoio aos estudantes e aos professores no seu estudo e no seu
trabalho.
Neste trabalho a partir de um exemplo simples indicamos algumas actividades de
investigação matemática.
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Bibliografia:
1. A - A Stolia: Método para ensinar matemática, 1994.
2. G. Polya: Como estabelecer e resolver os problemas.
3. V. M Bradix: Os erros sobre exercícios matemáticos (Tradução em Língua
Vietnamita Hanoi, 1972).
4. Trinh Dang Khoi, Ta Thi Oanh, Maria da Conceição Domingos, Kulonga, revista
das ciências da educação e estudos multidisciplinares Nº 1 Setembro 2002, o estudo
da proposição análogo.
5. Trinh Dang Khoi, Ta Thi Oanh, Kulonga, revista das ciências da educação e estudos
multidisciplinares (será publicada na nº 3) Generalização, particularização e o
método análogo no estudo, no ensino e na investigação matemática.
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