PROAC / COSEAC - Gabarito
Prova de Conhecimentos Específicos
1a Questão: (1,5 pontos)
Dada a função f definida por f(x) =
l n(9 – x2 ) determine:
a) seu domínio;
b) os intervalos em que f é crescente e em que f é decrescente.
Cálculos e respostas:
f(x) =
9 – x2
ln (9 – x 2 )
> 0 => (3 – x) (3 + x ) > 0 => a) Df = (– 3, 3) ( sinal contrário ao de a
entre as raízes)
b) f’(x) =
− 2x
9 − x2
-3
Sinal de f’:
-2x
+
3-x
+
-
f’
3
0
+
0
+
+
+
0 +
-
f é crescente no int. (-3, 0 ) ∪ (3, + ∞)
f é decrescente no int. (- ∞, -3) ∪ (0,3)
0
-
-
-
0
+
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2a Questão: (1,5 pontos)
Calcule
x = y2 – 1
∫S xy
e
d A , sendo S a região do plano limitada pelas curvas de equações
x – y = 1.
Cálculos e respostas:
y
 x − y = 1

 x = y2 − 1
x-y=1
1 + y = y2 – 1
1
y2 – y – 2 = 0
2
X
-1
-1
2
x=y - 1
∫ ∫
xydA =
S
−1
-1
(0, -1) e (3, 2)
são os pontos onde a parábola
reta se cruzam.
xydxdy =
y 2 −1
1+ y
2
∫
1± 1+8
1±3
=
=
2
2
1+ y
2
∫
y =
x 2y
2
1
dy =
2
−1
∫
2
y [(1 + y)2 − (y 2 − 1)2 ] dy =
−1
y2 - 1
2
1
=
2
∫
2
1  y 6 3y 4 2y 3 
27
y (− y + 3y + 2 y ) dy = −
+
+
 = 8
2 6
4
3  −1
−1
4
2
e a
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3a Questão: (1,0 ponto)
Determine os autovalores da matriz:
5 −2 6
0
3 −8
A= 
0
5
0
0
0
0
−1 
0

4
1 
Cálculos e respostas:
Os autovalores da matriz A são dados pela sol. da equação det (A - λI) = 0, sendo I
a matriz Identidade.
5 − λ

0
det = 
 0

 0
−2
3− λ
6
−8
0
5−λ
0
0
−1 

0 
=0
4 

1 − λ
ou seja: (5 - λ)2 (3 - λ) ( 1 - λ) = 0
λ1 = λ2 =5,
λ3 = 3,
λ4 =1 são os autovalores de A.
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4a Questão: (1,0 ponto)
Calcule
∫
 1 2
 t −  dt .
 t
Cálculos e respostas:
∫
 1 2
 t −  dt =
 t
∫
=
t3
1
− 2t − + C
3
t
 2

 t − 2 + 1  dt =

2
t 

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5a Questão: (1,5 pontos)
O corpo A, na figura abaixo, pesa 45 N. O coeficiente de atrito est ático entre o
corpo e a superfície sobre a qual ele se apoia é 0,30. O peso w é 9 N e o sistema está
em equilíbrio.
a) Determine a força de atrito sobre o corpo A.
b) Determine o peso máximo w para o qual o sistema se mantém em equilíbrio.
B
A
45o
w
Cálculos e respostas:
a)
Isolando o nó B.
T3
T1
45o
T2
ΣF y = 0
ΣF x = 0
A soma das forças em y (ΣF y ) nos dá T3y – T2y = 0.
Mas, T3y = T3 sen 45o e T 2y = w = 9N.
Logo, T3 =
T2 y
sen 45
o
9
=
2 /2
.
A soma das forças em x (ΣF x ) nos dá – T1 + T3x = 0, ou seja,
T1 = T3x = T3 cos 45o = T3
2
2
.
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Cálculos e respostas:
Assim,
T1 =
9
2 2
.
2
2
= 9N .
Isolando o corpo A, temos F at – T1 = 0 e, finalmente, Fat = 9N.
b)
O corpo A já se encontra na iminência do movimento. Neste caso,
F at = µN e a resultante das forças é zero.
Isolando A, temos F at – T1 = 0, ou seja, F at = T1 = 13,5N.
No nó, temos T 1 = T3 cos 45o e T 2 = T3 sen 45o , então
T3 =
2
2
Assim, T2 = w =
T1
2
2
T2 =
e
T
3
∴
Ou seja,
w = T1 = 13,5 N
2
2
T3 .
T =P=
2
2
2
.
2
2
T
1
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6a Questão: (1,5 pontos)
Um cilindro contém ar na pressão de 2 atm. O volume é de 3 L e a temperatura
é de 300 K. O ar sofre, sucessivamente, as seguintes transformações:
(1) aquecimento a pressão constante até 500 K;
(2) resfriamento a volume constante até 250 K;
(3) resfriamento a pressão constante até 150 K;
(4) aquecimento a volume constante até 300 K.
a)
Represente cada processo num diagrama pressão-volume, especificando os valores numéricos de p e V no fim de cada processo.
b)
Calcule o trabalho líquido realizado pelo gás.
Cálculos e respostas:
a) Em A: p1 = 2 atm, T 1 = 300 K e V1 = 3 L
A
V1
T1
B: aquecimento isobárico
=
V2
T2
3L
V2
=
300 K
500 K
⇒
⇒
V2 = 5 L
Em B: p2 = 2 atm, T2 = 500K, V2 = 5 L
B
C: resfriamento isométrico
p
p2
= 3
T2
T3
⇒
p3
2 atm
=
500 K
250 K
⇒
Em C: p3 = 1 atm, T3 = 250 K, V3 = 5L
C
D: resfriamento isobárico
p 3 = 1 atm
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V3
T3
=
V4
T4
⇒
5L
V4
=
250 K 150 K
⇒
V4 = 3 L
Em D: p4 = 1atm, T4 = 150 K, V4 = 3 L
P(atm)
300 K
A
2
(1)
B
(4)
(3)
250 K
D
(2) ... transformação isométrica
(2)
Cálculos e respostas:
150 K
1
(1) ... transformação isobárica
500 K
... transformação isobárica
C
(3)
(4) ... transformação isométrica
O processo pode ser representado então, no diagrama pressão x volume a seguir:
3
5
V(L)
c) O trabalho líquido é numericamente igual à área do diagrama p – V do ciclo acima,
isto é:
Wliq. = (2 – 1 ) atm . (5 – 3 ) litros
⇒ Wliq. = 2 atm . litros
⇒
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7a Questão: (1,0 ponto)
A mola de uma espingarda possui uma constante de 50 kgf/m. É comprimida de
5 cm e uma bola, pesando 1g, é colocada no depósito, em frente à mola comprimida.
Qual a velocidade máxima com que a bola sai da espingarda? (Despreze o
efeito do atrito e considere g = 10 m/s2 )
Cálculos e respostas:
posição de
equilíbrio da mola
1
2
1) EC = 0
EPE =
1
1
kgf
kx 2 =
. 50
. (5 x 10 − 2 )2 m2
2
2
m
EPE = 62,5 x 10-3 kgfm = 62,5 x 10-2 Nm
2) EC =
mv 2
(máxima)
2
EPE = 0
Pelo princípio de conservação de energia
mv 2
= 62 ,5 x 10 −2
2
⇒
1 x 10 − 3 . v2 = 125 x 10 − 2
⇒
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⇒
v2 = 1250
⇒
v = 35,35 m/s
8a Questão: (1,0 ponto)
Uma esfera oca de raio interno 9 cm e raio externo
semi-submersa, em um líquido de densidade 0,8.
Calcule a massa específica do material de que a esfera é feita.
Cálculos e respostas:
Esfera oca semi-submersa
Líquido
d = 0,8
E
+
rext = 10 cm
rint = 9 cm
P
Na situação de equilíbrio acima, P = E, onde:
E ... empuxo (“peso do líquido deslocado”) =
P ... peso da esfera oca =
ρliq. . Vdesloc. . g
ρesf. . Vesf. . g
Então:
ρliq. . Vdesloc . . g = ρesf. . Vesf. . g ⇒ 0,8.1 g/cm3 . 1 ( 4 π . 10 3) =
2 3
=
ρesf. 4 π ( 10 3 − 9 3) ⇒
3
10
cm
flutua,
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⇒ 0,4 . 103 =
ρesf. (1000 – 729) ⇒ ρesf. =
400
⇒
271
ρe s f
.
= 1,48g/cm3