Matemática
Prof. Pacher
Data de impressão: 01/07/2008
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MATERIAL DIDÁTICO EXCLUSIVO PARA ALUNOS DO CURSO APROVAÇÃ
Carreira Policial
Prof. Pacher
Matemática
SISTEMA LEGAL MEDIDAS E EQUIVALÊNCIAS
UNIDADES DE TEMPO
1 1ano
=
12 meses
2
1 mês
= 30dias *
3
1 dia
=
24 horas
4
1 hora
=
60 min
5
1 min
=
6 * 1 ano comercial tem 360 dias, e mês com 30 dias
7 1 ano civil tem 365 dias, e mês com o número de dias do calendário
8 1 ano civil bissexto tem 366 dias, e mês com os números de dias do calendário
km
10
10
60 s
ORIENTAÇÃO PARA CONVERSÃO DE MEDIDAS DE COMPRIMENTO
hm
dam
m
dm
cm
mm
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
2
km
100
100
3
km
1000
1000
kl
10
10
ORIENTAÇÃO PARA CONVERSÃO DE MEDIDAS DE ÁREA
2
2
2
2
2
hm
dam
m
dm
cm
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
mm
100
100
ORIENTAÇÃO PARA CONVERSÃO DE MEDIDAS DE VOLUME
3
3
3
3
3
hm
dam
m
dm
cm
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
1000
mm
1000
1000
ORIENTAÇÃO PARA CONVERSÃO DE MEDIDAS DE CAPACIDADE
hl
dal
l
dl
cl
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
ml
10
10
2
3
EQUIVALENCIA ENTRE: VOLUME E CAPACIDADE
3
3
1 dm
1 litro
1 000 cm
kg
10
10
1
2
3
4
Atualizada 26/06/2008
ORIENTAÇÃO PARA CONVERSÃO DE MEDIDAS DE MASSA
hg
dag
g
dg
cg
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
mg
10
10
MEDIDAS DE ÂNGULOS
Símbolos
Graus º
Minutos
Segundos
Um giro completo na circunferência tem 360º e um ângulo reto 90º
1º
=
60
1
=
60
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Resolução:
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Seu José produziu 10 litros de licor de cupuaçu e
vai encher 12 garrafas de 750 ml para vende na feira.
Não havendo desperdício, quantos litros de licor
sobrarão depois que ele encher todas as garrafas?
I) Tempo de cada remédio
Resolução:
II) Cálculo do mmc ( 90, 150)
I) Os dados 10 litros e 750 ml não são compatíveis pela
unidade de capacidade, deveremos converte ambos na
mesma unidade. Usei o procedimento, converter 750 ml
para litros, veja na escala:
90
45
15
5
1
kl
10
hl
10
10
10
dal
10
10
l
10
10
0
0,
dl
cl
10
10
10
10
7
5
7
5
ml
10
10
0,
0
Resultando 0,750 litros ou 0,75 litros.
II) Encher 12 garrafas com 0,750 litros,
litros
12x0,750 = 9
III) Sobrou para engarrafar
Sobra= 10
1h 30 min = 90 min
2h 30 min = 150 min
Remédio 1
Remédio 2
-
150
75
25
25
5
1
2
3
3
5
5
2
mmc (90, 150) = 2x3 x5
450 min = 7h 30 min
=
II) Determinação do horário noturno.
Começou tomando os
dois remédios às
7h 30 min
+
mmc
Próximo horário que
tomará
os
dois
+
remédios juntos
mmc
Próximo horário que
tomará
os
dois =
remédios juntos
9 = 1 litro
2
Da
manhã
7h 30 min
15h 00 min
Da
tarde
7h 30 min
22h 30 min
Da
noite
2
02. Um terreno de 1 km será dividido em 5 lotes,
2
todos com a mesma área. A área de cada lote, em m ,
será de:
Resposta: letra D
TESTES
Resolução:
2
2
I) Convertendo 1 km em m , veja na escala:
km
2
100
100
1,
1
hm
100
2
dam
100
2
m
100
dm
100
100
00
00
100
00
00
100
00
00,
100
Resultando 1000 000 m
2
2
2
2
cm
mm
100 100
100
100
2
II) Dividir a metragem quadrada em 5 partes iguais
Resposta:
Área 1 lote =
1 000 000
5
= 200 000 m2
03. Um médico receitou a João dois medicamentos. O
primeiro deve ser tomado a cada uma hora e trinta
minutos e o segundo a cada duas horas e trinta
minutos. Sabendo que João começou o tratamento
às 7h30min da manhã, tomando os dois
medicamentos ao mesmo tempo, a que horas da
noite ele tomará os dois medicamentos juntos
novamente?
a) às 2
b)às 21h30min.
c) às 22h.
d) às 22h30min
e) às 23h
2
Atualizada 26/06/2008
01. (UNB-CESPE) Se um dia corresponde a 24 horas,
então 9/12 do dia correspondem a:
a) 8h
b) 9h
c) 12h
d) 18h
e) 20h
02. (FCC) Uma pessoa saiu de casa para o trabalho
decorridos 5/18 de um dia e retornou à sua casa
decorridos 13/16 do mesmo dia. Permaneceu fora de
casa durante um período de
a) 14 horas e 10 min
b) 13 horas e 50 min
c) 13 horas e 30 min
d) 13 horas e 10 min
e) 12 horas e 50 min
03. (FCC) Certo dia, Jairo comentou com seu colega
Luiz: "Hoje eu trabalhei o equivalente a 4/9 do dia,
enquanto você trabalhou apenas o equivalente a
7/20 do dia."
Com base nessa informação, quanto tempo Jairo
trabalhou a mais que Luiz?
a) 1 h e 50 min
b) 2 h e 16 min
c) 2 h e 48 min
d) 3 h e 14 min
e) 3 h e 36 min
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04. (FCC) Uma transfusão de sangue é programada
para que o paciente receba 25 gotas de sangue por
minuto. Se a transfusão se estendeu por 2 horas e 12
minutos, e cada gota injeta 0,1ml de sangue, quantos
ml de sangue o paciente recebeu?
a) 330
b) 530
c) 880
d) 1900
e) 3300
05. Um período de tempo de 500 horas corresponde
exatamente a:
a) 20 dias
b) 20,8 dias
c) 20 dias e 20 horas
d) 20 dias e 22 horas
e) 19 dias e 21 horas
2
06. (CESGRANRIO) Um terreno de 1 km será dividido
em 5 lotes, todos com a mesma área. A área de cada
2
lote, em m , será de:
a) 1 000
b) 2 000
c) 20 000
d) 100 000
e) 200 000
07. (C.NAVAL) Uma fábrica de fósforos usa as
seguintes definições:
Caixa: conjunto de 45 palitos de fósforos.
Maço: conjunto de 10 caixas.
Pacote: conjunto de 12 maços.
Dividindo-se 13 pacotes, 5 maços, 8 caixas, 22 palitos
de fósforos, por 8, obtém-se um número p de
pacotes, m de maços, c de caixas e f de palitos de
fósforos, tais que p + m + c + f é igual a:
a) 25
b) 26
c) 27
d) 28
e) 29
08. (FCC) Num tanque temos 2.000 l de água e 400 l
de óleo. Cada litro de água pesa 1 kg, enquanto um
litro de óleo pesa 0,8 kg. Assim, o peso total dos
2.400 l do tanque, em toneladas, é igual a:
a) 0,0232
b) 0,232
c) 2,32
d) 23,2
e) 232
09. (NC.UFPR) Calcule a massa total de 30.000 folhas
de papel em formato 20 cm por 20 cm, sabendo que a
2
especificação de gramatura desse papel é 75 g/m .
a) 120 kg
b) 90 kg
c) 60 kg
d) 12 kg
e) 9 kg
Atualizada 26/06/2008
Matemática
10. (FCC) Às 13h 45min iniciei um trabalho. Às 16h
45min já tinha executado 3/4 desse trabalho.
Prosseguindo nesse ritmo, terminarei meu trabalho
às:
a) 17h
b) 17h 15min
c) 17h 30min
d) 17h 45min
e) 18h
11. (FCC) O tampo de uma mesa tem a forma de um
quadrado, cujo lado mede 120 cm. Se ele deve ser
revestido por um material que custa R$ 18,50 o
metro quadrado, a quantia mínima a ser
desembolsada para se executar esse serviço é:
a) R$ 26,64
b) R$ 25,86
c) R$ 24,48
d) R$ 22,20
e) R$ 20,16
12. A aluna Viviane da Escola Parque quando está
de férias, costuma bronzear-se uma hora doze
minutos e vinte e cinco segundos, diariamente.
Quantos segundos, ela ficará exposta aos raios
solares, durante três dias?
a) 12.105
b) 13.135
c) 12.035
d) 13.035
e) 12.125
13. A escola Estrela Azul , cumprindo uma das
determinações do Ministério da Educação, ministra
800 horas/aulas para a 4a. Série do ensino
Fundamental. Sabendo-se que o número máximo de
faltas permitidas a um aluno é de 25% desse total,
pergunta-se: quantas faltas ainda, no máximo,
poderia ter o aluno que já tinha faltado 145
horas/aulas?
a) 200
b) 125
c) 55
d) 65
e) 75
14. A equipe ALFA de alunos do Colégio Signos,
recebeu a tarefa de calcular a área do campo de
futebol do colégio. Sabe-se que o comprimento é
triplo de sua largura, e que para cercar este campo
de formato retangular com 3 voltas de arame, foram
gastos 720m de arame. Daí, concluímos que o
campo tem uma área de :
2
a) 2.100 m
2
b) 2.500 m
2
c) 2.400 m
2
d) 2.700 m
2
e) 2.800 m
15. A jovem aluna Aline sempre gostou de resolver
problemas envolvendo sistema métrico decimal.
Aline sabe que o perímetro de um determinado
triângulo é 0,187m e dois de seus lados tem 0,51dm
e 92mm, logo o terceiro mede, em centímetros:
a) 3,4
b) 4,4
c) 3,6
d) 4,3
e) 5,4
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16. (UNB-CESPE) Na
gastou 5h55min para
rever a ordem dos
correção das figuras.
de:
a) 12h35min
b) 12h30min
c) 12h25min08s
d) 12h15min
e) 12h25min
revisão de um livro, o autor
rever o texto, 2h05min para
exercícios e 4h25min para
O tempo gasto na revisão foi
17. (NC.UFPR) Uma dona de casa, procurando fazer
uso racional dos equipamentos domésticos e do
consumo de água, observou que a freqüência ótima
para a utilização da máquina de lavar roupa é uma
vez em dias alternados. Sabe-se que o consumo de
água dessa máquina é de 150,9 litros em cada vez
que é usada. Se essa freqüência de uso da máquina
for cumprida rigorosamente, o volume de água gasto
pela máquina no mês de abril será de:
a) 22635 litros
3
b) 2,2635 m
3
c) 2414,4 dm
d) 2112,6 litros
e) 24144 litros
18. Uma sala tem 80dm de comprimento; 0,7dam de
largura e 0,05 hm de altura. Os móveis ocupam um
vinte avos do volume da sala e cada pessoa deve
3
dispor de 7m de ar para sua respiração. A
quantidade de pessoas que, nessas condições,
podem permanecer na sala é:
a) 35
b) 36
c) 37
d) 38
e) 30
19. (C.M.) O quintal de Fernanda tem a forma de um
retângulo, com os lados medindo 2,1 dam e 3,02 dam.
Fernanda construiu no quintal uma piscina que
também tem forma de um retângulo, com seus lados
medindo 10m e 4,5 m. Então ela resolveu plantar
grama em volta da piscina, em toda área restante do
quintal. Se cada metro quadrado de grama custa R$
0,60, Fernanda gastará para adquirir a grama
necessária, a quantia de:
20. (UFRJ-NCE) Numa partida de futebol foram
marcados dois gols no primeiro tempo: o primeiro,
aos 18 min 25 s e, o segundo, aos 23 min e 12 s. O
tempo decorrido entre os dois gols foi de:
a) 4 min 47 s
b) 4 min 48 s
c) 4 min 57 s
d) 5 min 47 s
e) 5 min 48 s
21. Quantos copos com capacidade de ¼ de litro
podem ser enchidos com o conteúdo de uma jarra de
2 ½ litros ?
a) 10
b) 90
c) 8
d) 7
4
Atualizada 26/06/2008
Matemática
22. Vovô consultou o relógio, pensou um pouco e
disse : Já se passaram 3/8 deste dia 25 de junho. A
que horas do dia isso aconteceu?
a) 8h
b) 9h
c) 11h
d) 15h
e) 24h
23. Um intervalo de tempo de 0,7h corresponde a :
a) 7 minutos
b) 42minutos
c) 70 minutos
d) 1 hora e 10 min
e) 60 minutos
24. Um aquário tem a forma de um bloco retangular,
com arestas de 60 cm, 40 cm e 30 cm. Quantos litros
de água cabem no aquário cheio?
a) 720
b) 640
c) 130
d) 72
e) 13
25. (OBM) Uma fazenda retangular que possui 10 km
de largura por 20 km de comprimento foi
desapropriada para reforma agrária. Se a fazenda
deve ser dividida para 200 famílias de modo que
todas as famílias recebam a mesma área, então cada
família deve receber:
2
a) 1 000 000 m
2
b) 100 000 m
2
c) 5 000 m
2
d) 1 000 m
2
e) 10 000 m
26. (OBM) Hoje é sábado. Que dia da semana será
daqui a 99 dias?
a) segunda-feira
b) sábado
c) domingo
d) sexta-feira
e) quinta feira
27. (OBM) Numa certa cidade, o metrô tem todas
suas 12 estações em linha reta. A distância entre
duas estações vizinhas é sempre a mesma. Sabe-se
que a distância entre a terceira e a sexta estações é
igual a 3 300 metros. Qual é o comprimento dessa
linha?
a) 8,4 km
b) 12,1 km
c) 9,9 km
d) 13,2 km
e) 9,075 km
28. Efetuar a seguinte operação:
7 a 5 m 3 d
4 a 9 m 8 d, considerando: a=ano,
m=mês e d=dia.
Obs.: Use mês comercial, mês com 30 dias.
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29. Um relógio adiantou 2
1
2
minutos no primeiro dia;
1
1
minutos no segundo dia e 2
minutos no
3
6
terceiro dia. Determine quanto adiantou no total, nos
três dias.
2
27
28
29
30
31
32
Matemática
B
2a7m25d
7
A
A
A
MÚLTIPLO DE UM NÚMERO
30. (CESGRANRIO) Seu José produziu 10 litros de
licor de cupuaçu e vai encher 12 garrafas de 750 ml
para vende na feira. Não havendo desperdício,
quantos litros de licor sobrarão depois que ele
encher todas as garrafas?
a) 1,00
b) 1,25
c) 1,50
d) 1,75
e) 2,00
O conjunto dos números múltiplos de n é o conjunto
formado por todos os números obtidos multiplicando-se
n pelos números naturais.
P.ex.:
Múltiplos de 6: {0, 6, 12, 18, 24, 30,...}
Múltiplos de 4: {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...}
Múltiplos comuns de 4 e 6: {0, 12, 24,...}
Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor
deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4
e 6.
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)
31. Uma tartaruga percorreu, num dia, 6,05 hm. No dia
seguinte, percorreu mais 0,72 km e, no terceiro dia,
mais 12.500 cm. Podemos dizer que essa tartaruga
percorreu nos três dias uma distância de:
a) 1.450m
b) 12.506,77m
c) 14.500m
d) 12.506m
e) n.d.a.
É o menor número divisível por todos os números
envolvidos
Para obter o MMC de 20, 15 e 25, divide-se
simultaneamente os números envolvidos por fatores
primos e, o MMC será o produto desses primos usados
na fatoração comum.
20 10 551-
32. (UNB-CESPE) Quantos alfinetes de 8 cm de
comprimento podem ser feitos com um fio de arame
de 25 hm de comprimento?
a) 31 250
b) 3 125
c) 312 500
d) 312,5
DE
Atualizada 26/06/2008
25
25
25
25
5
1
2
2
3
5
5
MMC(20,15,25)=300, observe
que
o
produto
dos
divisores: 2.2.3.5.5=300
GABARITO
SISTEMA
MEDIDAS
01
D
02
E
03
B
04
A
05
C
06
E
07
A
08
C
09
B
10
D
11
A
12
D
13
C
14
D
15
B
16
E
17
B
18
D
19
353,52
20
A
21
A
22
B
23
B
24
D
25
A
26
C
15 15 15 51-
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)
É o maior número que divide ambos os números
envolvidos.
Para obter o MDC de 84 e 90, fatora-se separadamente
os números envolvidos e, o MDC será obtido pelo
produto dos divisores comuns observados nas
fatorações.
84
42
21
7
1
2
2
3
7
90
45
15
5
1
2
3
3
5
MDC (84, 90)=2.3=6, observe que
2 e 3 são divisores comuns em
ambas às fatorações.
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TESTES
01. (FCC) Três funcionários fazem plantões nas
seções em que trabalham: um a cada 10 dias, outro a
cada 15 dias, e o terceiro a cada 20 dias, inclusive
aos sábados, domingos e feriados. Se no dia 18/05/02
os três estiveram de plantão, a próxima data em que
houve coincidência no dia de seus plantões foi
a) 18/11/02
b) 17/09/02
c) 18/08/02
d) 17/07/02
e) 18/06/02
02. (FCC) Todos os funcionários de um Tribunal
devem assistir a uma palestra sobre "Qualidade de
vida no trabalho", que será apresentada várias vezes,
cada vez para um grupo distinto. Um técnico foi
incumbido de formar os grupos, obedecendo aos
seguintes critérios:
todos os grupos devem ter igual número de
funcionários;
em cada grupo, as pessoas devem ser do mesmo sexo;
o total de grupos deve ser o menor possível.
Se o total de funcionários é composto de 225 homens
e 125 mulheres, o número de palestras que deve ser
programado é
a) 10
b) 12
c) 14
d) 18
e) 25
03. (FCC) Uma Repartição Pública recebeu 143
microcomputadores e 104 impressoras para distribuir
a algumas de suas seções. Esses aparelhos serão
divididos em lotes, todos com igual quantidade de
aparelhos. Se cada lote deve ter um único tipo de
aparelho, o menor número de lotes formados deverá
ser
a) 8
b) 11
c) 19
d) 20
e) 21
04. Dispomos de três pedaços de arame, com
comprimentos 10,5m, 98m e 7m. Deseja-se cortar
esses arames em pedaços de mesmo comprimento,
de tal forma que os pedaços tenham o máximo
comprimento possível. Determine quantos pedaços
podemos obter e a medida em metros de cada
pedaço
a) 33 pedaços com 3 m cada
b) 33 pedaços com 4,5m cada
c) 30 pedaços com 3,5m cada
d) 30 pedaços com 3,m cada
e) 33 pedaços com 3,5m cada.
05. (FCC) Dois vigilantes de um prédio público fazem
ronda, um em cada bloco, respectivamente em 10 e
12 minutos. Se ambos iniciaram a ronda às 19 horas,
darão inicio à nova ronda, simultaneamente, às
a) 19h30
b) 20h
c) 20h30
d) 21h
e) 21h30
6
Atualizada 26/06/2008
Matemática
06. (FCC) Um médico receitou dois remédios a um
paciente: um para ser tomado a cada 12 horas e
outro a cada 15 horas.
Se às 14 horas do dia 10/10/2000 o paciente tomou
ambos os remédios, ele voltou a tomá-los juntos
novamente às
a) 17 horas do dia 11/10/2000.
b) 14 horas do dia 12/10/2000.
c) 18 horas do dia 12/10/2000.
d) 2 horas do dia 13/10/2000.
e) 6 horas do dia 13/10/2000.
07. (OCM) Quatro cometas passam pela terra de
tempos em tempos. O primeiro passa de 2 em 2
anos. O segundo de 7 em 7 anos. O terceiro de 11
em 11 anos e o quarto de 13 em 13 anos. Se os
quatro passaram juntos na terra no ano 2000, em
que ano eles novamente passarão juntos na terra,
pela primeira vez?
08. (FUVEST) Duas rodas gigantes começam a girar
num mesmo instante, com uma pessoa na posição
mais baixa de cada uma. A primeira dá uma volta em
30 segundos, e a segunda dá uma volta em 35
segundos. As duas pessoas estarão, ambas,
novamente na posição mais baixa após:
a) 1 min 10 s
b) 3 min
c) 3 min 30 s
d) 4 min
e) 4 min 20 s
09. Saem do porto de Santos, navios Argentinos de
6 em 6 dias, os do Uruguai de 4 em 4 dias. Se num
dia saírem dois navios desses países que tempo
demorará para saírem juntos outra vez?
a) 10 dias
b) 11 dias
c) 12 dias
d) 13 dias
e) 14 dias
10. No ponto de ônibus passa um ônibus para Caixa
Prego de 15 em 15 minutos e um ônibus para Tão
Longe de 25 em 25 minutos. Se os dois passaram
juntos às 8h 30 min, a que horas vão passar juntos
de novo ?
a) 8h 55min
b) 9h 15min
c) 9h 30min
d) 9h 45min
11. (FCC) No almoxarifado de certa empresa havia
dois tipos de canetas esferográficas: 224 com tinta
azul e 160 com tinta vermelha. Um funcionário foi
incumbido de empacotar todas essas canetas de
modo que cada pacote contenha apenas canetas
com tinta de uma mesma cor. Se todos os pacotes
devem conter igual número de canetas, a menor
quantidade de pacotes que ele poderá obter é
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16
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12. (FCC) Uma enfermeira recebeu um lote de
medicamentos com 132 comprimidos de analgésico e
156 comprimidos de antibiótico. Deverá distribuí-los
em recipientes iguais, contendo, cada um, a maior
quantidade possível de um único tipo de
medicamento.
Considerando
que
todos
os
recipientes deverão receber a mesma quantidade de
medicamento, o número de recipientes necessários
para essa distribuição é
a) 24
b) 16
c) 12
d) 8
e) 4
13. Três locomotivas apitam em intervalos de 45, 50 e
60 minutos respectivamente. Se coincidir das três
apitarem juntas numa vez, quantas horas levara para
apitarem juntas novamente?
a) 15 horas
b) 16 horas
c) 17 horas
d) 18 horas
e) 19 horas
14. Três funcionários de um escritório cumprem,
sistematicamente, horas-extras de trabalho. inclusive
aos sábados e domingos: um deles a cada 15 dias,
outro a cada 18 dias e o terceiro a cada 20 dias. Se,
hoje, os três cumprirem horas-extras, a próxima vez
em que eles irão cumprí-las num mesmo dia será
daqui a:
a) um mês
b) um bimestre
c) um trimestre
d) um semestre
e) um ano
15. Três despertadores são graduados da seguinte
maneira: o primeiro para despertar de 3 em 3 horas; o
segundo de duas em duas horas e o terceiro de 5 em
5 horas. Depois da primeira vez que tocaram juntos,
este fato voltará a ocorrer novamente após:
a) 40 horas
b) 30 horas
c) 25 horas
d) 20 horas
e) 15 horas
16. Dois ciclistas saem juntos no mesmo instante e
sentido, do ponto de partida em uma pista circular. O
primeiro dá uma volta em 132 segundos e o outro em
120 segundos. Em quantos minutos voltarão a se
encontrar novamente?
a) 20
b) 22
c) 24
d) 120
e) 132
Atualizada 26/06/2008
Matemática
17. (ACAFE-SC) Num painel de propaganda, três
luminosos se acendem em intervalos regulares: o
primeiro a cada 12 segundos, o segundo a cada 18
segundos e o terceiro a cada 30 segundos. Se, em
um dado instante, os três se acenderem ao mesmo
tempo, os luminosos voltarão a se acender,
simultaneamente, depois de:
a) 2 minutos e 30 segundos
b) 1 minuto e 30 segundos
c) 3 minutos
d) 36 segundos
e) 2 minutos
18. (CESPE) Um médico receitou ao paciente três
medicamentos distintos para serem tomados, cada
um, em intervalos de 12h00min, 1h30mim e 2h. Se à
meia-noite ele tomou os três medicamentos, então
ele voltará, novamente, a tomá-los ao mesmo tempo
às:
a) 10h20min
b) 12h00min
c) 13h20min
d) 13h50min
e) 14h30min
19. (UFPR) O setor de recursos humanos de uma
empresa está organizando um curso de capacitação
dos funcionários. O curso constará de 3 fases e,
devido à disponibilidade de salas e equipamentos,
na primeira fase os participantes serão distribuídos
em grupos de 4 pessoas, na segunda fase em
grupos de 8 e na terceira fase em grupos de 6. Para
que nenhum grupo fique incompleto em qualquer
das fases, o número mínimo de participantes do
curso é:
a) 64.
b) 48.
c) 40.
d) 32.
e) 24.
20. Três peças de tecido que medem 24 metros, 30
metros e 48 metros, devem ser cortadas em pedaços
todos de mesmo comprimento e do maior tamanho
possível, sem que haja sobra de tecido em qualquer
uma das peças. Nestas condições, os pedaços
iguais medem:
a) 2m
b) 6m
c) 3 m
d) 6m
e) 10m
21. Três torneiras estão com vazamento. Da primeira
cai uma gota de 4 em 4 minutos; da segunda
torneira cai uma gota de 6 em 6 minutos e da
terceira torneira cai uma gota de 10 em 10 minutos.
Exatamente às 2 horas cai uma gota de cada
torneira. A próxima vez que pingarão juntas
novamente será às:
a) 3 horas
b) 4 horas
c) 2 horas e 30 minutos
d) 3 horas e 30 minutos
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22. (FCC) A tabela abaixo apresenta as dimensões do
papel enrolado em duas bobinas B1 e B2.
Comprimento largura
Espessura
em m
em m
em mm
B1 23,10
0,18
1,5
B2 18
0,18
1,5
Todo o papel das bobinas será cortado de modo que,
tanto o corte feito em B1 como em B2, resulte em
folhas retangulares, todas com a mesma largura do
papel. Nessas condições, o menor número de folhas
que se poderá obter é
a) 135
b))137
c) 140
d) 142
e) 149
23. (UFRJ-NCE) Maria e Ana se encontram de três em
três dias, Maria e Joana se encontram de cinco em
cinco dias e Maria e Carla se encontram de dez em
dez dias. Hoje as quatro amigas se encontraram. A
próxima vez que todas irão se encontrar novamente
será daqui a:
a) 15 dias
b) 18 dias
c) 28 dias
d) 30 dias
e) 50 dias
24. (UFRJ-NCE) x, y e z são números tais que
10
5
4
x 2 x 3 x 11 x 13
y
5
3
4
Matemática
NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS
RAZÃO.
Existem várias maneiras de comparar duas grandezas,
por exemplo, quando se escreve a>b ou a<b ou ainda
a=b, estamos a comparar as grandezas a e b. Mas essa
comparação, muitas vezes, pouco nos diz. Daí a utilizarse, no dia a dia, a razão entre duas grandezas, isto é o
quociente entre essas grandezas.
a
b
é mesmo que
a :b
APLICAÇÕES
Entre as aplicações práticas de razões especiais, as
mais comuns, são:
Velocidade média
A velocidade média em geral é uma grandeza obtida
pela razão entre uma distância percorrida e um tempo
gasto neste percurso.
distância
Velocidade média =
3
22
2
z 2 x 3 x 11 x 13
O máximo divisor comum entre x, y e z é igual a:
a) 146;
b) 280;
c) 1.542;
d) 2.808;
e) 3.764.
a/b
Exemplo:
A razão entre 6 e 3 é expressa por 6:3 ou 6/3 . Se eu
pretendo comparar a e b determino a razão a : b ou
a/b, agora se eu disser que a razão entre elas é 2,
estou a afirmar que a é duas vezes maior que b.
5
2 x 3 x 7 x 13 x 19
é mesmo que
percorrida
tempo gasto
no percurso
Exemplo:
01. Suponhamos que um carro percorreu 120 km em 2
horas. A velocidade média do carro nesse percurso, á
calculada a partir da razão:
GABARITO
mmc e mdc
01
D
02
C
03
C
04
E
05
B
06
D
07
4002
08
C
09
C
10
D
11
C
12
A
13
A
14
D
15
B
16
B
17
C
18
B
19
E
20
D
21
A
22
B
23
D
24
D
8
Atualizada 26/06/2008
V. média =
120 km
2 horas
O que significa que, por 1 hora o carro percorreu 60 km.
Escala
Escala é a comparação da razão entre o comprimento
considerado no desenho e o comprimento real
correspondente, ambos na mesma unidade de medida.
Escala =
comprimento do desenho
comprimento real
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Em um desenho, um comprimento de 8m está
representado por 16 cm. Qual a escala usada para
fazer esse desenho?
8 m=800 cm.
Escala =
16 cm
800 cm
Isto significa que, 1 medida no desenho é igual 50
dessas medidas no real.
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Densidade Demográfica
O cálculo da densidade demográfica também chamada
de população relativa de uma região, é considerada uma
aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa a
razão entre o número de habitantes e a área em uma
região.
número de
Densidade demográfica =
habitantes
área total do
território
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Um município paranaense ocupa a área de 100
2
000 km . De acordo com o censo realizado, tem
população aproximada de 50 000 habitantes. A
densidade demográfica desse município é obtida
assim:
100 000 hab
2
50 000 km
Densidade
demográfica =
Isto significa que para cada quilômetro quadrado, esse
município tem 2 habitantes.
TESTES
01. Dois segmentos tem 4 cm e 20m de comprimento,
respectivamente. Determine a razão entre o
comprimento do primeiro e o comprimento do
segundo.
02. A escala da planta de um terreno na qual o
comprimento de 100m foi representado por um
segmento de 5cm é:
03. Num concurso havia 90 candidatos. Tendo sido
aprovados 30, a razão entre o número de reprovados
e o número de aprovados é:
04. (CESGRANRIO) A razão entre o número de
homens e de mulheres, funcionários da firma W, é
3/5. Sendo N o número total de funcionários (número
de homens mais número de mulheres), um possível
valor para N é:
a) 46
b) 49
c) 50
d) 54
e) 56
05. (VUNESP) Em um mapa geográfico, uma distância
real entre dois pontos igual a 10km é representada
por 0,5cm. A escala deste mapa é:
6
a) 1:2.10
5
b) 1:2.10
4
c) 1:2.10
4
d) 1:10
3
e) 1:10
Atualizada 26/06/2008
Matemática
06. A distância entre dois pontos é de 34m. Num
desenho, essa distância está expressa por 68cm. A
escala usada para fazer esse desenho foi de:
07. Em um desenho, um comprimento de 8m está
representado por 16 cm. Qual a escala usada para
fazer esse desenho?
08. Sabendo que 1 cm no desenho corresponde a
2,5m no real, qual foi a escala usada para fazer esse
desenho?
09. Numa carta geográfica, 1 cm representa 10 km
no real. Qual foi a escala usada nessa carta
geográfica?
10. Um ônibus parte de uma cidade A às 13h15min.
Após percorrer 302 Km, chega numa cidade B às
17h15min. A velocidade média do ônibus, nesse
percurso, foi de:
11. (CESGRANRIO) Em uma empresa, a razão do
número de empregados homens para o de mulheres
é 3/7. Portanto, a porcentagem de homens
empregados nessa empresa é:
a) 30%
b) 43%
c) 50%
d) 70%
e) 75%
12. (FCC) Para o transporte de valores de certa
empresa são usados dois veículos, A e B. Se a
capacidade de A é de 2,4 toneladas e a de B é de 32
000 quilogramas, então a razão entre as
capacidades de A e B, nessa ordem,
equivale a
a) 0,0075 %
b) 0,65 %
c) 0,75 %
d) 6,5 %
e)) 7,5 %
GABARITO
RAZÃO
01
1/500
02
1/2000
03
2
04
E
05
A
06
1/50
07
1/50
08
1/250
09
1/1000000
10
75,5
11
A
12
E
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GRANDEZAS INVERSAMENTES PROPORCIONAIS
(a, b, c) é inversamente proporcional a (m, n, p) se, e
somente se:
PROPORÇÕES
PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES
Sejam a, b, c, e d números reais não nulos.
I)
a
b
Matemática
a
=
1
m
=
c
d
II)
a
b
=
c
d
III)
a
b
=
c
d
implica
a+c
b+d
IV)
a
b
=
c
d
implica
a
2
b
implica
axd
=
bxc
a+b
b
=
c+d
d
implica
=
a
b
=
b
=
1
n
c
1
p
=
k
ou
2
2
=
c
2 =
d
mxa
c
d
axc
bxd
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
(a, b, c) é diretamente proporcional a (m, n, p) se, e
somente se:
a
m
=
b
n
=
c
p
=
k
a+b+c
m+n+p
=
Altura (m)
3
6
9
Observamos que quando duplica o intervalo de tempo, a
altura do elevador também duplica e quando o intervalo
de tempo é triplicado, a altura do elevador também é
triplicada.
Observações: Usando razões, podemos descrever essa
situação de outro modo.
02. Quando o intervalo de tempo passa de 15 seg para
30 seg, dizemos que o tempo varia na razão 15/30,
enquanto que a altura do elevador varia de 3 m para 6 m,
ou seja, a altura varia na razão 3/6. Observamos que
estas duas razões são iguais:
15
3
1
=
=
30
6
2
03. Quando o intervalo de tempo varia de 15 seg para 45
seg, a altura varia de 3 m para 9 m. Nesse caso, o tempo
varia na razão 15/45 e a altura na razão 3/9. Então,
notamos que essas razões são iguais:
15
3
1
=
=
45
9
3
Concluímos que a razão entre o valor numérico do tempo
que o elevador eleva-se e o valor numérico da altura
atingida é sempre igual, assim dizemos então que a
altura do é diretamente proporcional ao tempo.
10
Atualizada 26/06/2008
=
pxc
=
k
Construiremos uma tabela desta situação:
Velocidade km/h
180
90
60
01. Um elevador em movimento constante, eleva-se
em 15 segundos 3 metros.
Tempo
(seg)
15
30
45
nxb
Exemplo:
1. Um automóvel se desloca de uma cidade até uma
outra localizada a 180 Km da primeira. Se o percurso
é realizado em:
1 hora, o carro mantém velocidade média de 180
Km/h;
2 horas, o carro mantém velocidade média de 90
Km/h;
3 horas, o carro mantém velocidade média de 60
Km/h.
Sendo que Km/h=quilômetro por hora.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Construímos uma tabela para mostrar a evolução da
ocorrência:
=
Tempo h
1
2
3
De acordo com a tabela, o automóvel faz o percurso em
1 hora com velocidade média de 180 Km/h. Quando
diminui a velocidade à metade, ou seja 90 Km/h, o
tempo gasto para realizar o mesmo percurso dobra e
quando diminui a velocidade para a terça parte, 60 Km/h
o tempo gasto para realizar o mesmo percurso triplica.
Concluímos que para percorrer uma mesma distância
fixa, as grandezas velocidade e tempo gasto, são
inversamente proporcionais.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01.A divisão do número de vereadores de
determinada cidade é proporcional ao número de
votos que cada partido recebe. Na última eleição
nesta cidade, concorreram apenas 3 partidos, A, B e
C, que receberam a seguinte votação: A teve 10 000,
b teve 20 000 e C teve 40 000. Se o número de
vereadores dessa cidade é 21. quantos deles são do
partido B?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
Resolução
I)
x = número de candidatos do partido A, que é
proporcional ao nº de votos obtidos.
y = número de candidatos do partido B, que é
proporcional ao nº de votos obtidos.
z = número de candidatos do partido C, que é
proporcional ao nº de votos obtidos.
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II) Formadas as proporções, obtemos relações entre x, y
e z, que indicam o número de votos de cada partido.
x 10000 1
=
=
y 20000 2
x 1
=
y 2
y=2x
x 10 000 1
=
=
z 40 000 4
x 1
=
z 4
z =4x 2ª equação
y 20 000 2 1
=
= =
z 40 000 4 2
y 1
=
z 2
1ª equação
z =2y 3ª equação
III) Adicionando o número de candidatos, obtemos a
formação que segue:
X + y + z = 21...................trocando:
y por 2x
e
trocando z por 4x
Obtemos a nova formação em
x, siga:
X + 2x + 4x = 21.................7x = 21.........
x=3
Para x = 3........subst. na 1ª eq. y = 2x.......y = 2(3) = 6......
y=6
Para x = 3.........subst. na 2ª eq. z = 4x.........z = 4(3) =
12........ z = 12
O número de candidatos do partido B, indicados pela
letra y, é: y = 6
Resposta, alternativa A
02. Três amigos fizeram um bolão para jogar na
Megasena,
no
qual
cada
um
investiu,
respectivamente, R$ 25,00, R$ 35,00 e R$ 40,00. Na
conferência do resultado eles descobriram que
acertaram 5 números em um dos cartões, o que lhes
deu direito a um prêmio de R$ 3.600,00. Supondo que
o prêmio deva ser dividido em partes diretamente
proporcionais ao valor investido por cada um nas
apostas, cada sócio receberá, respectivamente:
RESOLUÇÃO
I) Considere:
x
o valor que o amigo 1 deve receber
y
o valor que o amigo 2 deve receber
z
o valor que o amigo 3 deve receber
Matemática
TESTES
01. Determine o valor do número racional y para que
os números racionais 4; 2y; 2,6 e 0,52 formem,
nessa ordem, uma proporção.
02. Os números 6, 16, x e 40 formam, nessa ordem,
uma proporção. Nessas condições, determine o
número x.
03. Quando se usa uma escala de 1:400, uma
distância de 2,5 cm no desenho corresponde a
quantos metros no real?
04. (FCC) Um técnico bancário foi incumbido de
digitar as 48 páginas de um texto. Na tabela abaixo,
têm-se os tempos que ele leva, em média, para
digitar tais páginas.
NÚMERODE
PÁGINAS
1
2
3
4
TEMPO
(MINUTOS)
12
24
36
48
Nessas condições, mantida a regularidade mostrada
na tabela, após 9 horas de digitação desse texto, o
esperado é que:
a) Ainda devam ser digitadas 3 páginas.
b) Todas as páginas tenham sido digitadas.
c) Ainda devam ser digitadas 9 páginas.
d) Ainda devam ser digitadas 8 páginas.
e) Ainda devam ser digitadas 5 páginas.
05. (FCC) Um funcionário demora 6 horas para fazer
um certo serviço, enquanto outro leva 8 horas para
fazê-lo. Que fração desse serviço os dois fariam
juntos em 3 horas?
a) 1/14
b) 1/7
c) 2/3
d) 3/4
e) 7/8
x + y + z = 3600
II) x = y = z = k = x + y + z
25
35
40
3600
=
=36
25 + 35 + 40 100
Igualando, obtemos o valor para cada amigo:
parte do amigo 1
x
= 36
x = R$ 900,00
25
x
= 36
35
x
= 36
40
x = R$ 1 260,00
parte do amigo 2
x = R$ 1 440,00
parte do amigo 3
06. (FCC) Um determinado serviço é realizado por
uma única máquina em 12 horas de funcionamento
ininterrupto e, em 15 horas, por uma outra máquina,
nas
mesmas
condições.
Se
funcionarem
simultaneamente, em quanto tempo realizarão esse
mesmo serviço?
a) 3 horas.
b) 9 horas.
c) 25 horas.
d) 4 horas e 50 minutos.
e) 6 horas e 40 minutos.
Resposta: letra C
Atualizada 26/06/2008
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07. Uma mistura está formada por 4 partes de álcool e
3 partes de água. Quantos litros de álcool há em 140
litros dessa mistura?
08. (FCC) Uma torneira A enche sozinha um tanque
em 10h, uma torneira B, enche o mesmo tanque
sozinha em 15h. Em quanta horas as duas torneiras
juntas encherão o tanque?
09. Se uma torneira enche um tanque em 60 minutos
e uma outra torneira enche o mesmo tanque em 30
minutos, em quanto tempo as duas torneiras juntas,
enchem o tanque?
10. (FCC) Uma torneira gasta sozinha 20 min para
encher um tanque. Outra torneira sozinha gasta 5min
para encher o mesmo tanque. Em quanto tempo, as
duas torneiras juntas enchem esse tanque?
11. (FCC) O faxineiro A limpa certo salão em 4 horas.
O faxineiro B faz o mesmo serviço em 3 horas. Se A e
B
trabalharem
juntos,
em
quanto
tempo,
aproximadamente, espera-se que o serviço seja
feito?
a) 2 horas e 7 minutos.
b) 2 horas e 5 minutos.
c) 1 hora e 57 minutos.
d) 1 hora e 43 minutos.
e) 1 hora e 36 minutos.
12. (ESAF) Um segmento de reta ligando dois pontos
em um mapa mede 6,5 cm. Considerando que o mapa
foi construído numa escala de 1: 25 000, qual a
distância horizontal em linha reta entre os dois
pontos?
a) 162,5 m
b) 15 hm
c) 1,5 km
d) 1,6 km
e) 1 625 m
13.
(CESPE)
12
Atualizada 26/06/2008
Matemática
O mapa do estado do Pará ilustrado acima está
desenhado na escala 1:17.000.000, ou seja, uma
distância de 1 cm no mapa corresponde à distância
real, em linha reta, de 17 milhões de centímetros. Ao
medir, com a régua, a distância no mapa entre
Jacareacanga e Belém, um estudante encontrou 6,7
cm. Com base apenas nessas informações, é correto
o estudante concluir que a distância real, em linha
reta, entre essas duas cidades é
a) inferior a 1.000 km.
b) superior a 1.000 km e inferior a 1.080 km.
c) superior a 1.080 km e inferior a 1.150 km.
d) superior a 1.150 km.
GABARITO
PROPORÇÃO
01
0,4
02
15
03
10
04
A
05
E
06
E
07
80
08
6
09
20
10
4
11
D
12
E
13
C
DIVISÃO PROPORCIONAL
TESTES
01. O custo da construção de uma ponte foi
estimado em R$ 450 000,00 e será dividido entre
duas cidades A e B, de forma diretamente
proporcional à população de cada uma. Quanto
caberá a cada cidade, se A tem população de 3
milhões de habitantes e B, 12 milhões de
habitantes?
02. Reparta 45 fichas em partes inversamente
proporcionais a 3, 6 e 8.
03. (PUC-PR) Uma construtora edificou 6 residências
2
com as seguintes áreas construídas, em m : 110,
112, 120, 116, 120 e 102 e destinou uma área comum
2
para lazer de 51 m , que deve ser dividida em partes
proporcionais à área de cada residência. Assim, a
2
2
área corresponde à residência de 110 m é, em m ,
igual a:
a) 9,00
b) 8,70
c) 8,40
d) 8,25
e) 7,65
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04. Certa fortuna deve ser repartida entre três
herdeiros em partes diretamente proporcionais aos
graus de parentesco que são o 2º, o 5º e o 6º. Quanto
receberá cada um? O primeiro recebeu R$ 120 000 a
menos que o segundo.
05. Dividir 3 560 em três partes tais que sejam a um
tempo, diretamente proporcionais a 3, 5 e 8, e
inversamente a 4, 6 e 9. Quanto cabe a cada?
06. Dividir R$ 39 500,00 em três partes que a um
tempo sejam diretamente proporcionais a 3, 5 e 6, e
inversamente proporcionais a 2, 4 e 5.
07. Três negociantes formaram uma sociedade, em
que o primeiro entrou com R$ 30 000, o segundo com
R$ 20 000 e o terceiro com R$ 50 000. O primeiro
permaneceu 12 meses, segundo 9 meses e terceiro 4
meses.
Determine o lucro de cada um, sabendo-se que o
lucro total foi de R$ 37 000
08. Um prêmio de 4 600 reais foi repartido entre três
funcionários de uma firma em partes inversamente
proporcionais aos seus salários. O funcionário A
recebe 5 salários mínimos, o funcionário B recebe 8
salários mínimos e o funcionário C recebe 4 salários
mínimos. Qual a parte do prêmio que coube a cada
um?
09. As massas de cobre e zinco que se fundem para
formar o latão são diretamente proporcionais aos
números 7 e 3. Quantos quilogramas de cobre e zinco
são necessários para obter 80 kg de latão?
10. (FCC) Certo mês, os números de horas extras
cumpridas pelos funcionários A, B e C foram
inversamente proporcionais aos seus respectivos
tempos de serviço na empresa. Se A trabalha há 8
meses, B há 2 anos, C há 3 anos e, juntos, os três
cumpriram um total de 56 horas extras, então o
número de horas extras cumpridas por B foi
a) 8
b) 12
c) 18
d) 24
e) 36
Atualizada 26/06/2008
Matemática
11. (FCC)
Dois técnicos em eletricidade, Artur e
Boni, trabalham em uma mesma empresa: Boni há 6
anos e Artur há mais tempo que Boni. Ambos foram
incumbidos de instalar 16 aparelhos de áudio em
alguns setores da empresa e dividiram a tarefa entre
si, na razão inversa de seus respectivos tempos de
serviço na mesma. Se Artur instalou 4 aparelhos, há
quantos anos ele trabalha na empresa?
a) 8
b) 10
c) 12
d) 16
e) 18
12. (FAAP) Dividir 64 em partes inversamente
proporcionais aos números 5/4 e 3 /4.
13. (MACK-SP) Dividindo-se 660 em partes
proporcionais aos números 1/2 , 1/3 e 1/6, obtêm-se,
respectivamente:
a) 330, 220 e 110
b) 120, 180 e 360
c) 360, 180 e 120
d) 110, 220 e 330
e) 200, 300 e 160
14. (UDF) Um estado brasileiro tem a população de
10 milhões de habitantes e uma média de 40
2
habitantes por km . Qual é a sua superfície?
2
a) 100.000 km
2
b) 250.000 km
2
c) 500.000 km
2
d) 1.000.000 km
2
e) 900.000 km
15. (U.MOGI-SP) Numa sociedade, houve um lucro
de R$ 800,00. Os capitais dos sócios A e B são
respectivamente R$ 1.500,00 e R$ 900,00. Os sócios
A e B receberão em reais lucros, respectivamente,
de:
16.
(NC.UFPR) Um bônus de R$ 228,00 será
repartido entre três funcionários, Maria, José e
Pedro, em partes diretamente proporcionais a 4, 6 e
9, respectivamente. A parte que cabe a José é de:
a) R$ 72,00.
b) R$ 60,00.
c) R$ 54,00.
d) R$ 48,00.
e) R$ 36,00.
17. (FCC) Os salários de dois funcionários A e B,
nessa ordem, estão entre si assim como 3 está para
4. Se o triplo do salário de A somado com o dobro
do salário de B é igual a R$ 6 800,00, qual é a
diferença positiva entre os salários dos dois?
a) R$ 200,00
b) R$ 250,00
c) R$ 300,00
d) R$ 350,00
e) R$ 400,00
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18. (NC.UFPR) Uma verba de R$ 2.700,00 foi repartida
entre os departamentos A e B para despesas com
material de consumo. Após o departamento A ter
gastado 1/4 do que recebeu, o seu saldo ficou igual
ao saldo que o departamento B tinha após gastar 2/5
do que recebeu. Então, a razão do valor que coube ao
departamento A para o valor que coube ao
departamento B é:
a) 2/3
b) 3/4
c) 3/5
d) 4/5
e) 5/7
19. (NC.UFPR) Um chefe de seção dispõe de R$
372,00 para serem distribuídos como prêmio a 3
funcionários, A, B e C. Os valores que eles receberão
são inversamente proporcionais aos números de
faltas desses funcionários durante o último semestre,
que foram, respectivamente, 2, 3 e 5. Considere as
seguintes afirmativas a respeito das quantias que
eles receberão.
I. Dentre os três, o funcionário C receberá a menor
quantia.
II. O funcionário B receberá R$ 120,00.
III. O funcionário C receberá a metade do que receberá o
funcionário A.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
d) Nenhuma das afirmativas é verdadeira.
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
20. (UFRJ-NCE) Um prêmio foi distribuído entre Ana,
Bernardo e Cláudio, em partes diretamente
proporcionais aos seus tempos de serviço.
Esses tempos são, respectivamente, 3, 4 e 9 anos. Se
Cláudio recebeu R$ 720,00 de prêmio, o valor total do
prêmio foi de:
a) R$ 1.280,00
b) R$ 1.440,00
c) R$ 2.560,00
d) R$ 4.000,00
e) R$ 4.500,00
Três amigos decidiram constituir uma empresa, em
sociedade, para a prestação de serviços técnicos nas
áreas de contabilidade, informática e telefonia. O
contador contribuiu com R$ 2.000,00, o técnico em
informática, com R$ 3.000,00 e o técnico em telefonia,
com R$ 4.000,00. Ao final de um ano de serviços, a
empresa obteve um lucro de R$ 5.400,00 para ser
dividido em partes proporcionais aos valores
empenhados por cada sócio.
Com base nessas informações, julgue os itens
seguintes.
21. O técnico em telefonia deve receber mais de 40% do
lucro.
22. O técnico em informática deve receber uma quantia
inferior a R$ 1.840,00.
14
Atualizada 26/06/2008
Matemática
23. (UNB-CESPE) Marcos e Pedro receberam no
início de abril mesadas de valores iguais. No final do
mês, Marcos havia gastado 4/5 de sua mesada e
Pedro, 5/6 da sua. Sabendo que Marcos ficou com
R$ 10,00 a mais que Pedro, o valor da mesada
recebida por cada um deles é
a) inferior a R$ 240,00.
b) superior a R$ 240,00 e inferior a R$ 280,00.
c) superior a R$ 280,00 e inferior a R$ 320,00.
d) superior a R$ 320,00 e inferior a R$ 360,00.
e) superior a R$ 360,00.
GABARITO
DIVISÃO
PROPORCIONAL
01
90 000
360 000
02
24, 12 e 9
03
D
04
80 000
200 000
240 000
05
1 080
1 200
1 280
06
15 000
12 500
12 000
07
18 000
9 000
10 000
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
1 600
1 000
2 000
24 e 56
B
E
40 e 24
A
B
500 e 300
A
E
D
A
A
Correta
Correta
23
C (300)
REGRA DE TRÊS
REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA
Uma regra de três simples direta é uma forma de
relacionar grandezas diretamente proporcionais.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Com 10Kg de trigo podemos fabricar 7Kg de farinha.
Quantos quilogramas de trigo são necessários para
fabricar 28Kg de farinha?
Grandeza diretamente proporcional
10
7
x= 40 kg
x
28
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REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA
Uma regra de três simples inversa é uma forma de
relacionar grandezas inversamente proporcionais para
obter uma proporção.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto
tempo levarão 6 pedreiros para fazer o mesmo muro?
Grandeza inversamente proporcional
6 72
x= 96 kg
8
x
Matemática
09.Com 10Kg de trigo podemos fabricar 7Kg de
farinha. Quantos quilogramas de trigo são
necessários para fabricar 28Kg de farinha?
10. Ao cavar um buraco para uma piscina que tem 25
m de comprimento, 10 m de largura e 3 m de
3
profundidade, foi necessário remover 1200 m de
terra. Que volume de terra do mesmo tipo deve ser
removido quando se quiser cavar piscina de 12 m de
comprimento, 6 m de largura e 2,5 m de
profundidade?
TESTES
01. Em um banco, constatou-se que uma caixa leva,
em média, 5 min para atender 3 clientes. Qual é o
tempo que esse caixa vai levar para atender 36
clientes, se mantiver essa média?
11. Um corredor gastou 2 minutos para dar uma
volta num circuito à velocidade média de 210Km/h.
Quanto tempo o corredor gastaria para percorrer o
circuito à velocidade média de 140Km/h?
02. Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se
150 km por dia. Supondo que fossem percorridos 200
Km por dia, quantos dias seriam empregados para
fazer a mesma viagem?
12. (NC.UFPR) Se um veículo espacial, em
velocidade constante, percorre uma distância em 1 h
25 min 28 s, então, à mesma velocidade, o tempo
que gastará para percorrer 1/4 dessa distância será
de:
a) 20 min 20 s
b) 21 min 20 s
c) 21 min 21 s
d) 21 min 22 s
e) 22 min 05 s
03. A combustão de 30g de carbono fornece 110g de
gás carbônico. Quantos gramas de gás carbônico
são obtidos com a combustão de 48g de carbono?
04. Com a velocidade média de 75Km/h, um ônibus
faz um percurso em 40 min. Devido a um pequeno
congestionamento, esse ônibus faz o percurso de
volta em 1h. Qual a velocidade média desse ônibus
no percurso de volta?
05. Em uma avaliação de 0 a 6, Cristina obteve nota
4,8. Se o valor dessa avaliação fosse de 0 a 10, qual
seria a nota de Cristina?
06. Se meu carro pode percorrer um distância de
350Km com 25 litros de gasolina, quantos
quilômetros pode percorrer com 1litros de gasolina?
07. Um trem percorre à velocidade de 60 km/h, vai da
cidade de Curitiba até Paranaguá, em 90 minutos. Se
a velocidade for de 120 km/h, qual será o tempo
gasto?
08. Sabemos que a carga máxima de um elevador é
de 7 adultos com 80Kg cada um. Quantas crianças,
de 35kg cada uma, atingiram a carga máxima desse
elevador?
Atualizada 26/06/2008
13. (NC.UFPR) Uma empresa transportadora tem 180
encomendas para serem entregues em vários
endereços da cidade. Observou-se que foram
entregues 30 delas em 2 horas e 15 minutos. Se for
mantida essa média de tempo gasto, para entregar
todas
as
encomendas
serão
necessárias
exatamente:
a) 15 horas e 15 minutos.
b) 14 horas e 30 minutos.
c) 14 horas.
d) 13 horas e 30 minutos.
e) 13 horas e 15 minutos.
14. (NC.UFPR) Sabendo que são necessários 162
2
cm de papelão para fazer uma caixa, qual é a
quantidade de papelão necessária para fazer 100
caixas iguais a essa?
2
a) 1.620 cm
2
b) 1.620 dm
2
c) 16,2 m
2
d) 16,2 dm
2
e) 11,62 m
15. (NC.UFPR) Um trajeto pode ser feito de
automóvel, em uma hora e quarenta e cinco
minutos, à velocidade média de 80 quilômetros por
hora. Em quanto tempo se faz o mesmo trajeto à
velocidade média de 70 quilômetros por hora?
a) 1 h 55 min
b) 2 h
c) 2 h 10 min
d) 2 h 15 min
e) 2 h 20 min
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16. (NC.UFPR) Se em cada porção de 55 g de creme
alimentício 60,5 mg são de cálcio, então o cálcio
contido em 30 g desse creme é de:
a) 29 mg
b) 30 mg
c) 31 mg
d) 32 mg
e) 33 mg
17. (NC.UFPR) Se um projétil espacial, a uma
velocidade constante, gasta 1h 50min 20s para
percorrer uma certa distância, então um outro
projétil, com velocidade constante igual a quatro
vezes a velocidade do primeiro, percorrerá a mesma
distância em:
a) 24min 20s.
b) 25min 25s.
c) 26min 30s.
d) 27min 35s.
e) 28min 40s.
18. (NC.UFPR) Se 58,5 g de um produto químico
custam R$ 76,05, então 4,5 g do mesmo produto
custam:
a) R$ 5,65.
b) R$ 5,70.
c) R$ 5,75.
d) R$ 5,80.
e) R$ 5,85.
19. (NC.UFPR) Uma máquina gasta 2 h 25 min 36 s
para construir uma peça, e uma segunda máquina
constrói peça idêntica em 1/3 desse tempo. Sendo
assim, o tempo gasto pela segunda máquina é de:
a) 45 min 14 s
b) 46 min 20 s
c) 47 min 26 s
d) 48 min 32 s
e) 49 min 38 s
20. Sabendo que 104 alunos de uma escola
correspondem a 20% do total, Quantos alunos tem a
escola ?
a) 580
b) 620
c) 520
d) 550
21. Para se transportar cimento para a construção de
3
um edifício, foram necessários 15 caminhões de 2m
3
cada um. Quantos caminhões de 3m seriam
necessários para fazer o mesmo serviço?
Matemática
24. ¾ de um bolo de chocolate custam $ 45,00.
Quanto pagarei na compra de 2/5 deste mesmo
bolo?
25. Com $ 48,00 comprei 300 metros de determinado
tecido. Quantos metros do mesmo tecido, posso
comprar com $ 36,00?
26. 30 metros de um trabalho são feitos por ¾ de
uma turma de trabalhadores. 50 metros, do mesmo
trabalho, por quanto da turma será feito.
27. Um automóvel, com velocidade de 90 km/h, vai
da cidade X à cidade Z em 50 minutos. Qual a
distância entre as duas cidades?
28. Ao participar de um treino em um kartódromo, o
piloto, imprimindo velocidade média de 80 km/h,
completa a volta na pista em 40 s. Se a sua
velocidade fosse de 100 km/h, qual o tempo que ele
teria no percurso?
29. Um relógio atrasa 27 s em 72 h. Quantos
segundos atrasará em 8 dias?
2
30. Para revestir um pátio de 600 m usaram-se 9 600
lajotas. Quantas dessas lajotas serão necessárias
2
para revestir outro pátio de 540 m ?
31. Uma árvore de 4,2 m de altura projeta uma
sombra de 3,6 m. No mesmo instante, outra árvore,
ao lado dessa, projeta uma sombra de 2,8 m. Qual a
altura da segunda árvore?
32. Um terreno retangular tem 12 m de comprimento
e 15 m de largura. Se diminuirmos 2 m no
comprimento do terreno, quantos metros devemos
aumentar na largura para que a área permaneça a
mesma?
22. Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga.
Quantos litros de leite serão necessários para se
obterem 9 quilos de manteiga?
23. 15 metros de um determinado tecido custam $
45,00. Qual o preço de 6 metros deste mesmo tecido?
16
Atualizada 26/06/2008
33. A água mineral, sem gás, apresenta na sua
composição química 2,4 mg de sulfato de cálcio por
1 litro. Que quantidade de sulfato de cálcio (em mg)
estará ingerindo uma pessoa ao beber um copo de
300 ml dessa água?
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34. Com o auxílio de uma corda que julgava ter 2 m
de comprimento, medi o comprimento de um fio
elétrico e encontrei 80 metros. Descobri, mais tarde
que a corda media, na realidade 1,05 m. Qual é o
verdadeiro comprimento do fio?
35. A velocidade de um veículo é de 30 m/s. Qual será
a sua velocidade em quilômetros por hora?
36. (UMC) Um carro consumiu 50 litros de álcool para
percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes,
esse mesmo carro, para percorrer 840 km,
consumirá:
a) 70 litros
b) 68 litros
c) 75 litros
d) 80 litros
e) 85 litros
37. Se 2 kg de bacalhau custam R$25,00, qual será o
preço de 1,4kg de bacalhau?
a) R$ 12,50
b) R$ 13,00
c) R$ 17,50
d) R$ 19,00
38. Com 3kg de farinha, são feitos 140 biscoitos, com
5 kg de farinha, aproximadamente, quantos biscoitos
podem ser feitos?
a) 180
b) 190
c) 210
d) 233
39. Se 250 g de azeitonas custam R$ 4,60, qual será o
preço de 3/4 de quilo de azeitonas?
a) R$ 9,20
b) R$ 10,60
c) R$ 12,80
d) R$ 13,80
e) R$ 14,60
40. (FCC) Uma pessoa x pode realizar uma certa
tarefa em 12 horas. Outra pessoa, y, é 50% mais
eficiente que x. Nessas condições, o número de
horas necessárias para que y realize essa tarefa é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
41. Um automóvel com a velocidade de 90 km/h, vai
da cidade de Tatu até a cidade de Capivara em 50
minutos. Qual a distância entre as duas cidades?
Matemática
GABARITO
REGRA DE TRÊS
SIMPLES
01
1 h = 60 min
02
9
03
176
04
50
05
8
06
14
07
45
08
16
09
40
10
288
11
3
12
D
13
D
14
E
15
B
16
E
17
D
18
E
19
D
20
C
21
10
22
42
23
18
24
24
25
225
26
1,25
27
75
28
32
29
72
30
8640
31
3,27
32
3
33
0,72
34
42
35
108
36
A
37
C
38
D
39
D
40
E
41
75
42
6
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Regra de três composta é um processo de
relacionamento
de
grandezas
diretamente
proporcionais, inversamente proporcionais ou uma
mistura dessas situações.
O método funcional para resolver um problema dessa
ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que
a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira
situação enquanto que a segunda linha indica os valores
conhecidos da segunda situação.
42. 2/3 + 0,6 de determinada fruta custam $ 7,60. Qual
o preço da fruta inteira?
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EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Para produzir 600 pães foram gastos 33 kg de
farinha de trigo e 1,28 kg de gordura e foram
necessários 2 padeiros, que trabalharam 4 horas por
dia, durante 7 dias. Quantos dias serão necessários
para produzir 960 pães, utilizando-se 60 kg de farinha
e 0,66 kg de gordura, com 3 padeiros trabalhando 7
horas por dia?
a) 4 dias
b)2,5 dias
c) 6 dias
d) 7 dias
Matemática
02. Para reduzir a termo pedidos orais, um
funcionário que digita, em média, 60 caracteres por
minuto atende 5 pessoas em 90 minutos. Após um
período de reciclagem, o mesmo funcionário passa a
atender 6 pessoas em 80 minutos. Sendo assim, o
número de caracteres por minuto que agora ele
digita é igual a:
RESOLUÇÃO
Fazendo a montagem da tabela conforme naturezas e
grandezas, obtemos a regra de três composta:
Resolução:
N°
caracteres
60
x
Este teste está resolvido pelo dispositivo das setas
DISPOSITIVO DAS SETAS
Dispondo os dados em coluna, respeitando a mesma
natureza e na mesma unidade de grandeza, obtemos a
seguinte formação:
Tempo (min)
N° pessoas
90
80
5
6
II) Discussão verificar se as grandezas
diretamente e/ou inversamente proporcionais.
Horas
Padeiros
Gordura
Farinha
Pães
Dias
1) Mantendo o tempo fixo.
N° pessoas
N° caracteres
5
60
+
6
x
são
+
É uma grandeza diretamente proporcional.
7
x
600
960
33
60
1,28
0,66
2
3
4
7
C4
C5
C6
Farinha
Gordura
Padeiros
Horas
Dias
Pães
Resolução por setas
C1
C2
C3
2) Mantendo o número de pessoas fixo.
Tempo (min)
N° caracteres
+
90
60
80
x
+
É uma grandeza inversamente proporcional.
Formamos a equação.
60
x
5 80
6 90
x
81
TESTES
7
x
600
960
33
60
1,28
0,66
2
3
4
7
As setas no quadro acima, mostram que as colunas C5 e
C6, são inversamente proporcionais à coluna C1,
enquanto as demais são diretamente proporcionais a C1.
Os dados na coluna C4, podem ser representados,
suprimindo-se a vírgula (mesmo número de algarismos
após a vírgula).
A equação será formada, invertendo-se os dados das
colunas, C5 e C6, para que as setas fiquem apontadas
para baixa, como as demais setas.
7
x
=
600
960
33
60
128
66
3
2
7
4
Processadas as simplificações no segundo membro,
obtemos a nova equação:
7
x
7
4
logo x=4
01. Numa fábrica de calçados trabalham 16
operários, que produzem, em 8 horas diárias de
serviço, 240 pares de calçados por dia. Quantos
operários são necessários para produzir 600 pares
de calçados por dia, se a jornada de trabalho diária
for de 10 horas?
02. (UFMG) Durante 60 dias, 10 máquinas,
funcionando um certo número de horas por dia,
produzem 90 000 peças. Qual é o número de dias
que 12 dessas máquinas, funcionando o mesmo
número de horas por dia, levarão para produzir 135
000 peças?
03. Meia dúzia de datilógrafas, preparam 720 páginas
em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafas, com a
mesma capacidade das primeiras, prepararão 800
páginas?
E finalmente o valor de x, x =4.
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04. Em uma granja, 32 galinhas produzem em média
100 dúzias em 10 dias. Quantas dúzias de ovos serão
produzidas por 8 galinhas em 16 dias?
05. (USP-SP) Uma família composta de 6 pessoas
consome em 2 dias 3Kg de pão. Quantos quilos serão
necessários para alimentar-las durante 5 dias,
estando ausentes 2 pessoas?
06. Dez máquinas fabricam 400m de tecidos em 16
dias. Em quantos dias 12 máquinas que têm o mesmo
rendimento que as primeiras fazem 300m desse
mesmo tecido?
07. Na merenda escolar, 40 crianças consumiram 156
litros de leite em 15 dias. Quantos litros de leite
deverão ser consumidos por 45 crianças em 20 dias?
Matemática
13. (ESAF) Cinco trabalhadores de produtividade
padrão e trabalhando individualmente beneficiam ao
todo 40 kg de castanha por dia de trabalho de 8
horas. Considerando que existe uma encomenda de
1,5 toneladas de castanha para ser entregue em 15
dias úteis, quantos trabalhadores de produtividade
padrão devem ser utilizados para se atingir a meta
pretendida, trabalhando dez horas por dia?
a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
e) 25
14. Com uma chapa metálica retangular de 1,5 m de
comprimento por 2 m de largura, fazem-se 2 000
arruelas. Quantas dessas arruelas podem-se fazer
com uma chapa retangular de 2,5 m de comprimento
por 3 m largura ?
15. Uma placa de chumbo de 8 cm de comprimento e
6 cm de largura pesa 36 unidades de massa. Quanto
pesará outra placa do mesmo material e da mesma
espessura, quadrada, com 10 cm de lado?
08. Em 3 horas, 3 torneiras despejam 2700 litros de
água. Quantos litros despejam 5 dessas torneiras em
5 horas?
09. Um supermercado dispõe de 20 atendentes que
trabalham 8 horas por dia e custam R$ 3.600,00 por
mês. Se o supermercado passar a ter 30 atendentes
trabalhando 5 horas por dia, eles custarão, por mês,
a) R$ 3.375,00.
b) R$ 3.400,00.
c) R$ 3.425,00.
d) R$ 3.450,00.
e) R$ 3.475,00.
10. (PUCCMP-SP) Operando 12 horas por dia, 20
máquinas produzem 6000 peças em 6 dias. Com 4
horas a menos de trabalho diário, 15 daquelas
máquinas produzirão 4000 peças em:
11. Se 25 operários trabalhando 10 horas por dia
assentaram 255 postes de luz em 17 dias, quantos
operários, com a mesma habilidade dos primeiros,
serão precisos para assentar 420 postes em 25 dias
de 7 horas de trabalho?
a) 38
b) 40
c) 42
d) 44
e) 35
12. (UF-MG) Durante 60 dias, 10 máquinas,
funcionando um certo número de horas por dia,
produzem 90 000 peças. Qual é o número de dias que
12 dessas máquinas, funcionando o mesmo número
de horas por dia, levarão para produzir 135 000
peças?
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16. Um batalhão de 1600 soldados tem víveres para
dez dias à razão de três refeições diárias para cada
homem. No entanto, juntaram-se a esse batalhão
mais 400 soldados. Quantos dias durarão os víveres,
se foi decidido agora que cada soldado fará duas
refeições por dia?
17.
(FCC)
Uma
impressora
trabalhando
continuamente emite todos os boletos de
pagamento de uma empresa em 3 horas.
Havendo um aumento de 50% no total de boletos a
serem emitidos, três impressoras, iguais à primeira,
trabalhando juntas poderão realizar o trabalho em 1
hora e:
a) 30 minutos
b) 35 minutos
c) 40 minutos
d) 45 minutos
e) 50 minutos
18. (FCC) Uma indústria tem 34 máquinas. Sabe-se
que 18 dessas máquinas têm, todas, a mesma
eficiência e executam certo serviço em 10 horas de
funcionamento contínuo. Se as máquinas restantes
têm 50% a mais de eficiência que as primeiras,
funcionando ininterruptamente, executariam o
mesmo serviço em:
a) 8 horas e 40 minutos
b) 8 horas e 20 minutos
c) 7 horas e 45 minutos
d) 7 horas e 30 minutos
e) 7 horas e 15 minutos
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19. (FCC) Em 3 dias, 72.000 bombons são embalados,
usando-se 2 máquinas embaladoras funcionando 8
horas por dia. Se a fábrica usar 3 máquinas iguais
às primeiras, funcionando 6 horas por dia, em
quantos dias serão embalados 108 000 bombons?
a) 3
b) 3,5
c) 4
d) 4,5
e) 5
20. (FCC) Uma máquina copiadora produz 1.500
cópias iguais em 30 minutos de funcionamento. Em
quantos minutos de funcionamento outra máquina,
com rendimento correspondente a 80% do da
primeira, produziria 1 200 dessas cópias?
a) 30
b) 35
c) 40
d) 42
e) 45
21. Em 30 dias, uma frota de 10 táxis consome em
média 100 000 litros de combustível. Em quantos dias
uma frota de 36 táxis consumirá em média 240 000
litros desse mesmo combustível?
22. Um folheto enviado pela SABESP (Saneamento
Básico do Estado de São Paulo) informa que uma
torneira, pingando 20 gotas por minuto, ocasiona um
desperdício de 100 litros de água, em 30 dias. Na
casa de Fernanda Lima, uma torneira esteve
pingando 30 gotas por minuto durante 5 dias. Calcule
quantos litros de água foram desperdiçados nesse
período.
23. (NC.UFPR) Se 5 máquinas funcionando 16 horas
por dia levam 3 dias para produzir 360 peças, então 4
máquinas iguais às primeiras devem funcionar
quantas horas por dia para produzir 432 peças em 4
dias?
a) 18
b) 19
c) 20
d) 21
e) 22
24. (NC.UFPR) Se 8 máquinas iguais, cada uma
trabalhando 15 horas por dia, produzem certo
número de peças em determinado número de dias de
funcionamento, então apenas 6 dessas máquinas,
para produzirem o mesmo número de peças no
mesmo número de dias de funcionamento, deverão
trabalhar cada uma delas:
a) 18 horas por dia
b) 19 horas por dia
c) 20 horas por dia
d) 21 horas por dia
e) 22 horas por dia
20
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Matemática
25. (NC.UFPR) Uma fábrica de brindes leva 10 dias
para produzir 1.560 unidades, quando tem 8
funcionários trabalhando. Se forem contratados
mais 4 funcionários, que trabalhem no mesmo ritmo
dos outros funcionários, quantos dias serão
necessários para produzir 2.340 unidades?
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
e) 13
26. (NC.UFPR) Se 5 máquinas funcionando 21 horas
por dia produzem 720 peças em 6 dias, então o
número de peças que 4 máquinas iguais às
primeiras produzirão em 7 dias trabalhando 20 horas
por dia é igual a
a) 600
b) 640
c) 680
d) 720
e) 760
27. (FCC)
Uma impressora tem capacidade para
imprimir 14 páginas por minuto em preto e 10
páginas por minuto em cores. Quanto tempo outra
impressora levaria para imprimir um texto com 210
páginas em preto e 26 em cores, se sua capacidade
de operação é igual a 80% da capacidade da
primeira?
a) 16 minutos e 45 segundos.
b) 20 minutos.
c) 21 minutos e 25 segundos.
d) 22 minutos.
e) 24 minutos e 30 segundos.
28. (FCC) Um veículo percorre os 5/8 de uma estrada
em 4 horas, à velocidade média de 75 km/h. Para
percorrer o restante dessa estrada em 1 hora e 30
minutos, sua velocidade média deverá ser
a) 90 km/h
b) 100 km/h
c) 115 km/h
d) 120 km/h
e) 125 km/h
29. (UFRJ-NCE) Doze costureiras, trabalhando 8
horas por dia, em 18 dias tecem 480 mantas. O
número de costureiras necessário para que sejam
tecidas 600 mantas, trabalhando 6 horas por dia em
12 dias, mantendo o mesmo ritmo de trabalho que
as anteriores, é:
a) 28;
b) 29;
c) 30;
d) 31;
e) 32.
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GABARITO
REGRA DE TRÊS
COMPOSTA
01 32
02 75
03 15
04 40
05 5
06 10
07 234
08 7500
09 A
10 8
11 B
12 75
13 B
14 5000
15 75
16 12
17 A
18 D
19 C
20 A
21 20
22 25
23 A
24 C
25 B
26 B
27 D
28 D
29 C
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Um aparelho de som pode ser comprado em 4
prestações de R$ 150,00 ou à vista com 10% de
desconto. Quanto será pago, em reais, se a compra
for deita à vista?
Resolução:
I) O custo final do aparelho em 4 prestações iguais a
R$ 150,00, totaliza R$ 600,00.
Custo final = 4x150 = 600,00
II) Para pagamento a vista, terá 10% de desconto.
Custo à vista = 600 -10%x600 = 600
60 = R$ 540,00
0,10x600= 600
Resposta: R$ 540,00
02. Do total de funcionários da empresa Fios S/A,
20% são da área de informática e outros 14%
ocupam os 21 cargos de chefia. Quantos
funcionários dessa empresa NÃO trabalham na área
de informática?
a) 30
b) 99
c) 110
d) 120
e) 150
Resolução:
I) Pela regra de três diretamente proporcional,
envolvendo 14% que tem correspondência com 21
cargos, poderemos obter o total de funcionários da
empresa.
PORCENTAGEM
Nº de
funcionários
Porcentagem
%
21
14
x
100
CÁLCULO DE PORCENTAGEM
Praticamente todos os dias, observamos nos meios de
comunicação, expressões matemáticas relacionadas com
porcentagem. O termo por cento quer dizer por cem
(dividido por cem). Toda razão da forma p/q na qual o
denominador q=100, é chamada taxa de porcentagem ou
simplesmente porcentagem ou ainda percentagem.
Em geral, para indicar um índice de a por cento,
escrevemos a % e para calcular a % de um número b,
realizamos o produto:
a % de b é o mesmo que: a%.b
a%.b
Matemática
é o mesmo que :
a b
100
II) O total de funcionários que trabalham na área de
informática, é de 20%, restando para outras funções na
empresa, 80%.
Não informática = 80% de 150 = 80%.150 =
80
.150
100
=
120
120 não trabalham na área de informática.
Resposta, alternativa D
DECRESCIMO PERCENTUAL
02. Um aparelho de TV é vendido por R$ 1.000,00 em
dois pagamentos iguais, sem acréscimo, sendo o 1º
como entrada e o 2º um mês após a compra. Se o
pagamento for feito à vista, há um desconto de 4%
sobre o preço de R$ 1.000,00. A taxa mensal de juros
simples do financiamento é aproximadamente igual
a:
Decrescer a% de b, em b.
Resolução
ACRESCIMO PERCENTUAL
Acrescentar a% de b, em b.
b + a%.b
b - a%.b
Atualizada 26/06/2008
I) Preço de venda: R$ 1.000,00
II) Preço da TV para pagamento à vista com desconto
de 4%:
(100% 4%) R$ 1.000,00 = R$ 960,00
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III) No pagamento em duas parcelas, o cliente:
paga R$ 500,00 no ato;
fica devendo R$ 960,00 R$ 500,00 = R$ 460,00;
paga R$ 500,00 no mês seguinte e portanto paga R$
40,00 de juros.
4) A taxa de juros mensal cobrada sobre o que ficou
devendo é
40, 00
2
460, 00
23
0, 0869
8, 7%
Ou por uma regra de três simples.
$ 40,00
$ 460,00
.x%
100%
Reposta: letra A
TESTES
01. O salário de uma pessoa era de $ 1 400,00 até ela
ser promovida e receber aumento de 20%. Qual o
novo salário?
02. (FUVEST) Barnabé tinha um salário de x reais em
janeiro. Recebeu aumento de 80% em maio e 80% em
novembro. Seu salário atual é:
a) 5,56x
b) 1,6x
c) x+160
d) 2,6x
e) 3,24x
03. (UFMG) Se um acertador da loteria esportiva ficou
apenas com 5% do prêmio total, podemos afirmar
que o número de acertadores foi de:
a) 20
b) 50
c) menor que 20
d) entre 30 e 40
04. (USP) O senhor Pitágoras contrata um advogado;
esse consegue receber 90% do valor da questão
avaliada em R$ 30 000,00 e cobra, a título de
honorários, 15% da quantia recebida. Qual a
importância que resta para o senhor Pitágoras?
a) R$ 4 000,00
b) R$ 27 000,00
c) 25 800,00
d) R$ 4 050,00
e) 22 950,00
Uma pesquisa feita sobre o salário mensal de 20
pessoas que trabalham numa empresa trouxe como
resultado o seguinte quadro:
Salário mensal
Até 2 salários mínimos
Número de
pessoas
6
Mais de 2 e até 5 salários mínimos
7
Mais de 5 e até 10 salários mínimos
4
Mais de 20 salários mínimos
3
05. Com base nos dados acima, qual a porcentagem
de pessoas que ganham até 2 salários mínimos?
22
Atualizada 26/06/2008
Matemática
06. (PUCCAMP) O chefe de um setor recebe a
incumbência de distribuir um prêmio de R$
12.000,00 entre três funcionários, de acordo com a
eficiência de cada um. Se um deles receber 20%
desse valor e o segundo receber 55%, quanto
receberá, em reais, o terceiro?
a) 5 000
b) 3 000
c) 2 400
d) 1 600
e) 800
07. (UMC-SP) Em um determinado mês, o
rendimento de uma poupança foi de 4% do capital
investido. Se uma pessoa aplicar 5 000 reais, ao
completar o mês terá um capital em R$ no total de:
a) 5 020
b) 5 120
c) 5 200
d) 5 400
e) 7 000
08. (ESAL-MG) Após conseguir um desconto de 15%
no preço de uma mercadoria, foram pagos R$ 1
700,00 por essa mercadoria. O preço, sem desconto,
seria em R$ de:
a) 1850,00
b) 1950,00
c) 2200,00
d) 1900,00
e) 2000,00
09. Uma mercadoria foi vendida a uma pessoa com o
lucro de 20%; esta vendeu-a com o lucro de 10%, e
por fim, esta terceira vendeu-a com lucro de 5%.
Qual a taxa única, que representa o valor final da
mercadoria, após o último aumento.
10. Durante sua viagem ao país das Maravilhas a
altura de Alice sofreu quatro mudanças sucessivas
da seguinte forma: primeiro ela tomou um gole de
um líquido que estava numa garrafa em cujo rótulo
se lia: "beba-me e fique 25% mais alta". A seguir,
comeu um pedaço de uma torta onde estava escrito:
"prove-me e fique 10% mais baixa"; logo após
tomou um gole do líquido de outra garrafa cujo
rótulo estampava a mensagem: "beba-me e fique
10% mais alta". Finalmente, comeu um pedaço de
outra torta na qual estava escrito:"prove-me e fique
20% mais baixa". Após a viagem de Alice, podemos
afirmar que ela:
a) ficou 1% mais baixa
b) ficou 1% mais alta
c) ficou 5% mais baixa
d) ficou 5% mais alta
e) ficou 10% mais alta
11. Ao comprar uma mercadoria, pagando a vista,
obtive um desconto de 15% sobre o preço marcado
na etiqueta. Se paguei R$ 357,00 pela mercadoria,
qual era o preço original?
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12. Uma cidade de 120 000 habitantes apresentou, em
1995, uma mortalidade de 3% e uma natalidade de
3,4%. De quanto aumentou a população dessa cidade
no ano de 1995?
13. (FCC) Em uma pesquisa com jovens de dezesseis
anos de idade, apurou-se o seguinte: 165 rapazes e
104 moças votavam; 345 rapazes e 206 moças não
votavam. Nesse grupo, a porcentagem de jovens que
votam é, aproximadamente, de:
a) 16 % b) 33 % c) 37 % d) 67 % e) 68 %
14. (FCC) A tabela indica o número de crianças
nascidas vivas em um município brasileiro.
Crianças
nascidas
Ano
vivas
2000
130
2001
125
2002
130
2003
143
Se toda criança deve tomar uma determinada vacina
ao completar 2 anos de vida, em relação ao total
mínimo de vacinas que o posto de saúde reservou
para 2003, haverá em 2004:
a) diminuição de2%.
b) diminuição de 3%.
c) crescimento de1%.
d) crescimento de3%.
e) crescimento de4%.
15. (MACK-SP) Um concurso, desenvolvido em três
etapas sucessivas e eliminatórias, eliminou 30% dos
;: candidatos iniciais na 1ª etapa, 20% dos
remanescentes na 2ª etapa e 25% dos que ainda
permanecem na 3ª etapa. Assim, cumpridas as 3
etapas, a porcentagem de k que permaneceu é:
a) 25%
b) 35%
c) 38%
d) 40%
e) 42%
16. (FCC) O preço de um objeto foi aumentado em
20% de seu valor. Como as vendas diminuíram, o
novo preço foi reduzido em 10% de seu valor. Em
relação ao preço inicial, o preço final apresenta
a) um aumento de 10%.
b) um aumento de 8%.
c) um aumento de 2%.
d) uma diminuição de 2%.
e) uma diminuição de 10%.
17. (FCC) Atualmente, o aluguel da casa onde Carlos
mora é $ 320,00. Se, no próximo mês, esse aluguel
sofrer um aumento de 8% do seu valor, o novo
aluguel será:
a) $ 328,00
b) $ 337,00
c) $ 345,60
d) $ 345,60
e) $ 354,90
Atualizada 26/06/2008
Matemática
18. (FUVEST) Atualmente, 50% das gaivotas de certa
região são brancas e 50% são cinzentas. Se a
população da espécie branca aumentar 40% ao ano
e a da espécie cinzenta aumentar 80% ao ano, qual
será aproximadamente, a porcentagem de gaivotas
brancas daqui a dois anos?
a) 50%
b) 38%
c) 26%
d) 14%
e) 40%
19. Na lanchonete, um sanduíche que custava
R$2,80 teve seu preço aumentado em 25%. Esse
sanduíche passou a custar :
a) R$ 3,50
b) R$ 3,05
c) R$ 2,95
d) R$ 0,70
20. Sabendo que 104 alunos de uma escola
correspondem a 20% do total, Quantos alunos tem a
escola ?
a) 580
b) 620
c) 550
d) 520
21. (ESAF) Transformando a fração 2/5 em taxa
percentual, teremos:
a) 37,5%
b) 40%
c) 32,5%
d) 1,25%
e) 35,7%
22. 121 é quanto por cento de 550?
a) 19%
b) 20%
c) 21%
d) 22%
23. Numa eleição com 2 candidatos, votaram 3850
eleitores. O candidato A obteve 1032 votos e B
obteve 2048 votos. Qual foi a porcentagem de votos
nulos ou em branco?
a) 35%
b) 30%
c) 25%
d) 20%
24. (CESPE) Na saída de um cinema, 25 pessoas
foram pesquisadas para dar a sua opinião sobre o
filme. Verificou-se que 32% dessas pessoas não
gostaram do filme. Quantas pessoas pesquisadas
não gostaram do filme?
a) 12
b) 10
c) 8
d) 6
25. (CESPE) uma prova de matemática tem 50
questões. Um aluno acertou 30 dessas questões.
Qual foi a sua taxa de erro?
a) 40%
b) 30%
c) 60%
d) 50%
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26. (FCC) Em uma liquidação, certo artigo está sendo
vendido com desconto de 20% sobre o preço T de
tabela. Se o pagamento for efetuado em dinheiro, o
preço com desconto sofre um desconto de 15%.
Nesse último caso, o preço final será igual a
a) 0,68 T
b) 0,72 T
c) 1,35 T
d) 1,68 T
e) 1,72 T
27. (FCC) Um comerciante compra um artigo
80,00 e pretende vendê-lo de forma a
exatamente 30% sobre o valor pago, mesmo
um desconto de 20% ao cliente. Esse artigo
ser anunciado por
a) R$ 110,00
b) R$ 125,00
c) R$ 130,00
d) R$ 146,00
e) R$ 150,00
por R$
lucrar
se der
deverá
28. (OPM) A superfície da Terra tem uma área total de
aproximadamente 510 milhões de quilômetros
quadrados. O gráfico de setores abaixo mostra, em
porcentagem, a área ocupada pelos continentes e
oceanos.
12 3
4
5
11
6
7
8
10
9
Oceania ( 1,8%)
2
Europa ( 1,9%)
3
Antártida ( 2,5%)
4
África ( 5,9%)
5
América ( 7,5%)
6
Ásia ( 8,6%)
7
Oceano Glacial Ártico ( 2,3%)
8
Oceano Glacial Antártico (2,9%)
9
Oceano Índico ( 14,7%)
10
Oceano Atlântico ( 17,6%)
11
Oceano Pacífico ( 34,3%)
Qual é a área do Oceano Atlântico em milhões de
quilômetros quadrados?
24
Atualizada 26/06/2008
29. (OBM) Os resultados de uma pesquisa das cores
de cabelo de 1200 pessoas são mostrados no
gráfico abaixo.
castanho 30%
preto 24%
ruivo 16%
loiro
Quantas dessas pessoas possuem o cabelo loiro?
a) 60
b) 320
c) 360
d) 400
e) 840
30.(UFRJ-NCE) Ana vendeu uma bolsa por R$ 54,00,
obtendo um lucro de 20% sobre o preço de custo. O
lucro de Ana, em reais, foi de:
a) R$ 64,80;
b) R$ 43,20;
c) R$ 13,50;
d) R$ 10,80;
e) R$ 9,00.
31. (UFRJ-NCE) O preço de um produto sofreu um
acréscimo de 15% e, tempos depois, um novo
acréscimo, sobre o novo preço, de 40%. Em relação
ao preço inicial, o produto sofreu um aumento total
de:
a) 42%;
b) 45%;
c) 55%;
d) 61%;
e) 66%.
32. (UF-MG) Um fabricante de papel higiênico
reduziu o comprimento dos rolos de 40 m para 30 m.
No entanto, o preço dos rolos de papel higiênico,
para o consumidor, manteve-se constante. Nesse
caso, é correto afirmar que, para o consumidor, o
preço do metro de papel higiênico teve um aumento:
a) inferior a 25%.
b) superior ou igual a 30%.
c) igual a 25%.
d) superior a 25% e inferior a 30%.
LEGENDA
1
Matemática
33. (FAAP-SP) Uma certa quantidade de cereal, que
custara R$ 12,00 por saca, foi vendida,
sucessivamente, por quatro negociantes, os quais
obtiveram lucro de 20%, 12%, 15% e 10%,
respectivamente. Qual foi o último preço de venda
(aproximadamente) por saca?
a) R$ 22,50
b) R$ 14,40
c) R$ 16,12
d) R$ 18,54
e) R$ 20,40
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GABARITO
Matemática
EXERCÍCIO RESOLVIDO
PORCENTAGEM
01 1680
02 E
03 A
04 E
05 30%
06 B
07 C
08 E
09 38,6%
10 A
11 420
12 480
13 B
14 E
15 E
16 B
17 C
18 B
19 A
20 D
21 B
22 D
23 D
24 C
25 A
26 A
27 C
28 89,76
29 C
30 E
31 D
32 B
33 E
01. Um prêmio em dinheiro foi dividido entre 3
pessoas: a primeira recebeu 1/4 do valor do prêmio,
a segunda recebeu 1/3 e a terceira ganhou R$ 1
000,00. Então, o valor desse prêmio, em reais, era
de:
a) 2 400,00
b) 2 200,00
c) 2 100,00
d) 1 800,00
e) 1 400,00
Resolução
I) Fazendo x= prêmio, P1, P2 e P3 as três pessoas
P1
P2
P3
1/4 de x
1/3 de x
R$ 1 000,00
=
=
=
1/4.x
1/3.x
1 000
=
=
=
X/4
X/3
1 000
II) Adicionando as três partes obteremos o todo x .
P1 + P2 + P3 = x
x x
+ + 1 000 = x ...o mmc (3 , 4) = 12
4 3
3x + 4x + 12 000
=
12x
12
12
comum aos membros
....simplifique
o
denominador
3x + 4x + 12 000 = 12x ....adicione o termos semelhantes
em x e passe para o
segundo membro
12 000 = 5x ....isole x, passando o multiplicador 5 de x
para a operação inversa, divisão. Execute a operação
de divisão.
Resposta: R$ 2 400
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
TESTES
DEFINIÇÃO
Equação do primeiro grau com uma incógnita, é a
equação que pode ser reduzida à forma:
ax + b = 0
a
4 = 10x + 3
0
Em que:
x é a incógnita
a e b são constantes reais denominadas
coeficientes.
b é o termo independente
RESOLUÇÃO
Nas equações, é costume chamar os valores que
satisfazem as equações de raízes.
Resolver uma
equação significa determinar o seu
conjunto-verdade, isto é, o conjunto de suas raízes.
Para a equação do 1º grau
ax + b = 0
Passe o termo independente para o 2º
membro
ax = - b
Para isolar x, passe o a operando
inversamente.
x = - b/a
O conjunto verdade (raízes) é:
V={ -b/a }
Atualizada 26/06/2008
01. Resolva a equação: 12x
02. (PUC-RJ) A raiz da equação
x 3
7
x 1
é:
4
a) -3/5
b) 3/5
c) -5/3
d) 5/3
03. (FIA-SP) Se 3x =
x
3
4
2
a) 0
b) 1/11
c) 5/11
d) 11
04. (UFU-MG) O valor de x tal que
4x 1
2
2x 1
3
é:
a) 0
b) 5/16
c) 3
d) 16/5
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05. (F. OBJETIVO-SP) Se
x
3
4
5
x 1, então:
a) x = 6
b) x = 8
c) x = -7
d) x = -9
07. (UPNET) A soma de três números naturais
consecutivos é sempre um número
a) par.
b) ímpar.
c) primo.
d) múltiplo de 3.
e) múltiplo de 4.
08. Resolvendo-se a equação 2.(x+4)=4x+11, obtémse:
a) x=-2,4
b) x=-1,5
c) x=-0,5
d) x=1,2
09. (FCC) Qual a idade atual de uma pessoa se daqui
a 8 anos ela terá exatamente o triplo da idade que
tinha há 8 anos atrás?
a) 15 anos.
b) 16 anos.
c) 24 anos.
d) 30 anos.
e) 32 anos.
10. Roberto disse a Valéria: "pense um número,
dobre esse número, some 12 ao resultado, divida o
novo resultado por 2. Quanto deu?". Valéria disse
"15", ao Roberto que imediatamente revelou o
número original que Valéria havia pensado. Calcule
esse número.
11. (FCC) Obter dois números consecutivos inteiros
cuja soma seja igual a 57.
12. (OBM) Renata digitou um número em sua
calculadora, multiplicou-o por 3, somou 12, dividiu o
resultado por 7 e obteve o número 15. O número
digitado foi:
a) 31
b) 7
c) 39
d) 279
e) 27
Atualizada 26/06/2008
13. Dada a proporção:
1
2
=
0,1y
0,4
, determine y
1 0,4y
14. (UPNET) Qual dos números abaixo é solução da
06. (FCC) Um automóvel percorre uma certa distancia
na 1ª hora de seu movimento, 3/4 dela na 2ª hora e a
metade dela na 3ª hora. Ao final da 3ª hora, o
motorista nota que se percorrer mais 75km
completará o percurso que é o triplo do que
percorreu na 1ª hora. Quantos km percorreu na 2ª
hora?
a) 45
b) 50
c) 60
d) 75
e) 80
26
Matemática
equação:
3
5x
8
x
3
4
1
2
x
8
a) -5/16
b) 1
c) -1/2
d) ½
e) 5/16
15. (FCC) Um trabalhador gasta 1/3 de seu salário
com aluguel de casa e 1/5 com transporte. Quanto
resta para outras despesas, se seu salário é de R$
780,00 ?
a) R$ 343,00
b) R$ 364,00
c) R$ 416,00
d) R$ 468,00
e) R$ 585,00
16. (OBJETIVO) Dividindo-se o numero natural n por
17, obtemos o quociente 283 e o resto 6. podemos
afirmar que n é igual a:
a) 4 817
b) 4 917
c) 3 815
d) 4 618
e) 4 418
17. Um número decimal x o resultado da divisão de
73 por 8. Quanto vale x?
18. (FCC) João gasta 1/3 do seu salário no aluguel
do apartamento onde mora e 2/5 do que lhe sobra
em alimentação, ficando com R$ 480,00 para as
demais despesas. Portanto, o salário de João é igual
a:
a) R$ 1 200,00
b) R$ 1 500,00
c) R$ 1 800,00
d) R$ 2 100,00
e) R$ 2 400,00
19. (FCC) Em uma escola, o aluno deve obter média
6,0 em cada disciplina para ser aprovado. Essa
média é calculada dividindo-se o total de pontos que
ele obteve nos quatro bimestres, por quatro.
Portanto, o aluno que não totalizar 24 pontos nos 4
bimestres deverá fazer prova final. Nessa prova, ele
deverá obter, no mínimo, a diferença entre 10,0 e a
sua média anual, para ser aprovado.
As notas de Geografia de um certo aluno foram:
1º bimestre: 5,0
2º bimestre: 6,0
3º bimestre: 2,0
4º bimestre: 5,0
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Logo, a nota mínima que esse aluno deverá obter na
prova final de Geografia é:
a) 4,5
b) 5,0
c) 5,5
d) 6,0
e) 6,5.
20. (FCC) Nos três andares de um prédio de
apartamentos moram 68 pessoas. Sabe-se que: o
número de residentes no segundo andar é o dobro do
número dos que residem no primeiro; os residentes
no terceiro andar excedem em 20 pessoas o número
dos que residem no primeiro andar. Se x, y e z são os
números de residentes no primeiro, segundo e
terceiro andares, respectivamente, então
a) x 15
b) y 25
c) z 36
d) x 12
e) y 20
21. (FGV) Uma cafeteira elétrica tem, no recipiente
onde se coloca a água, um mostrador indicando de 1
a 20 cafezinhos. São gastos 2 minutos para aquecer o
resistor. Aquecido o resistor, a água flui com taxa
constante, misturando-se ao pó e transformando-se
em café. Se o tempo gasto para fazer 8 cafezinhos é
de 6 minutos, qual é o tempo gasto por essa mesma
cafeteira para fazer 4 cafezinhos?
a) 3 min
b) 3 min 15 s
c) 3 min 30 s
d) 4 min
e) 5 min
22. (OBM) Em Tumbólia, um quilograma de moedas
de 50 centavos equivale em dinheiro a dois
quilogramas de moedas de 20 centavos. Sendo 8
gramas o peso de uma moeda de 20 centavos, uma
moeda de 50 centavos pesará:
a) 15 gramas
b) 10 gramas
c) 12 gramas
d) 22 gramas
e) 20 gramas
23. (OBM) Toda a produção mensal de latas de
refrigerante de uma certa fábrica foi vendida a três
lojas. Para a loja A, foi vendida metade da produção;
para a loja B, foram vendidos 2/5da produção e para a
loja C, foram vendidas 2500 unidades. Qual foi a
produção mensal dessa fábrica?
a) 4166 latas
b) 10000 latas
c) 20000 latas
d) 25000 latas
e) 30000 latas
24. (CESGRANRIO) Um prêmio em dinheiro foi
dividido entre 3 pessoas: a primeira recebeu 1/4 do
valor do prêmio, a segunda recebeu 1/3 e a terceira
ganhou R$ 1 000,00. Então, o valor desse prêmio, em
reais, era de:
a) 2 400,00
b) 2 200,00
c) 2 100,00
d) 1 800,00
e) 1 400,00
Atualizada 26/06/2008
Matemática
25. Pedro saiu de casa e fez compras em quatro
lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada uma
gastou a metade do que possuía e a seguir, ainda
pagou R$ 2,00 de estacionamento em cada local. Se
no final ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinha Pedro
ao sair de casa?
a) R$ 220,00
b) R$ 204,00
c) R$ 196,00
d) R$ 188,00
e) R$ 180,00
26. (FGV) Uma empresa, a título de promoção, tira
fotocópias cobrando R$ 0,10 por folha, até um
máximo de 100 folhas; o que exceder 100 folhas a
empresa cobra R$ 0,08 por folha.
Se um cliente deseja tirar 200 fotocópias, qual o
preço total?
27. (FGV) Para uma determinada viagem foi fretado
um avião com 200 lugares. Cada pessoa deve pagar
R$ 300,00 mais uma taxa de R$ 6,00 por cada lugar
que ficar vago. Qual a receita arrecadada se
comparecerem 150 pessoas para a viagem?
28. (UNICAMP-SP)
Em uma empresa, 1/3 dos
funcionários tem idade menor que 30 anos, 1/4 tem
idade entre 30 e 40 anos e 40 funcionários têm mais
de 40 anos.
a) Quantos funcionários tem a referida empresa?
b) Quantos deles têm pelo menos 30 anos?
29. (UNICAMP-SP) Após ter corrido 2/7 de um
percurso e, em seguida, caminhado 5/11 do mesmo
percurso um atleta verificou que ainda faltavam 600
metros para o final do percurso.
a) Qual o comprimento total do percurso?
b) Quantos metros o atleta havia corrido?
c) Quantos metros o atleta havia caminhado?
30. (NC.UFPR) Qual é o valor de x na expressão
1
1
1
?
1
2
1
1 x
3
a)
4
2
b)
3
1
c)
2
3
d)
2
4
e)
3
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31. (NC.UFPR) Qual o valor de x que torna a
0,25 0,4 0,75 x
expressão
0,2
0,5 verdadeira?
a) 0,25
b) 0,15
c) 0
d) 0,5
e) 0,25
32. (OBM) A balança da figura está em equilíbrio com
bolas e saquinhos de areia em cada um de seus
pratos. As bolas são todas iguais e os saquinhos
também. O peso de um saquinho de areia é igual ao
peso de quantas bolas?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 5
e) 6
33. (FGV-SP) O Sr. Eduardo gasta integralmente seu
salário em 4 despesas: moradia, alimentação,
vestuário e transporte. Ele gasta ¼ do salário com
moradia, 35% do salário com alimentação, R$ 400,00
com vestuário e R$ 300,00 com transporte. Sua
despesa com moradia é igual a:
a) R$ 430,00
b) R$ 432,50
c) R$ 435,00
d) R$ 437,50
e) R$ 440,00
34. (UFF-RJ) Um baleiro vende n balas, por R$ 0,30
cada, e obtém L reais. Se vender 15 balas a menos,
por R$ 0,45 cada, obterá os mesmos
L reais.
Determine o valor de n.
35. (ACAFE-SC) Um estudante comprou n canetas
por 300 reais e (n + 4) lapiseiras por 200 reais.
Sabendo que o preço de uma caneta é o dobro do
preço de uma lapiseira, o número de canetas e
lapiseiras, respectivamente, que ele comprou, é:
a) 8 e 12
b) 10 e 14
c) 14 e 18
d) 12 e 16
e) 16 e 20
36. (UFRJ-NCE) Se 2/5 de uma certa quantia
corresponde a R$ 56,00, então 9/7 desta mesma
quantia corresponde a:
a) R$ 22,40
b) R$ 28,80
c) R$ 56,00
d) R$ 72,00
e) R$ 180,00
28
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Matemática
37. (UFRJ-NCE) Uma cooperativa de suco produz
semanalmente 120 garrafas de 3 litros. Se a
capacidade de cada garrafa fosse de 5 litros, o
número de garrafas utilizadas semanalmente seria:
a) 24
b) 72
c) 100
d) 192
e) 200
38. (UF-ES) Antônio compra abacaxis de um
fornecedor ao preço de R$ 1,00 o lote de 3 unidades.
Ele os revende na feira em amarrados com 5
unidades. Se o preço de cada amarrado é R$ 2,00,
quantos abacaxis deverá vender para ter um lucro
de R$ 100,00?
a) 1300
b) 1400
c) 1500
d) 1600
e) 1700
39. (MACK-SP) José possui dinheiro suficiente para
comprar uma televisão de R$ 900,00, e ainda lhe
sobrarem 2/5 da quantia inicial. O valor que sobra
para José é
a) R$ 450,00.
b) R$ 800,00.
c) R$ 600,00.
d) R$ 550,00.
e) R$ 650,00.
GABARITO
EQUAÇÃO DO 1º
GRAU
01
7/2
02
C
03
C
04
B
05
C
06
D
07
D
08
B
09
B
10
9
11
28 e 29
12
A
13
3
14
E
15
B
16
A
17
9,125
18
A
19
C
20
D
21
D
22
B
23
D
24
A
25
D
26
18
27
90 000
28
a) 96
b) 64
29
a) 2 310
b) 660
c) 1 050
30
E
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RESOLUÇÃO POR COMPARAÇÃO
Consiste em isolar a mesma incógnita nas duas
equações e, compará-las pela igualdade.
C
B
D
45
D
E
B
C
C
EXERCÍCIO RESOLVIDO
x + y = 21
x-y= 3
01. Seja o sistema linear:
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
DEFINIÇÃO
Sistema de equações é o conjunto de equações que são
satisfeitas simultaneamente pelos mesmos valores das
incógnitas. As equações que formam um sistema, são
denominadas equações simultâneas.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Sistemas de equações lineares é o conjunto de equações
com todas as incógnitas de expoente 1 (um) ou, também
denominadas de grau 1 (um).
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA
Solução de um sistema é o conjunto de valores, um para
cada incógnita, pelos quais as incógnitas devem ser
substituídas, para que todas as equações se reduzam a
igualdades numéricas ou a identidades algébricas.
Costuma-se dizer que este sistema de valores verifica ou
satisfaz todas as equações. Um sistema de equações
pode ter uma única solução, mais de uma solução ou
não ter nenhuma solução.
SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES LINEARES COM
DUAS INCÓGNITAS
É o sistema formado por duas equações lineares com
duas incógnitas. O sistema neste formato, será estudado
neste capítulo.
RESOLUÇÃO POR ADIÇÃO
Consiste em adicionar termo a termo semelhantes nos
membros, para eliminar uma das incógnitas. Há quatro
casos a considerar conforme a natureza dos coeficientes
da incógnita a eliminar. No estudo para resolução de
sistemas de equações, apresento testes que
possibilitarão fazer contato com os quatro casos.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Seja o sistema linear:
Resolução:
+
Matemática
x + y = 21
x-y= 3
Resolução:
x + y = 21 isolando x
x =21- y (I)
x - y =
x = 3 + y (II)
3
isolando x
Fazendo a comparação ( I ) = ( II ), obtemos a equação:
21
y=3+y
2y= 18
y=9
Substituindo y = 9 em qualquer uma das equações,
obtemos x=12.
Resultado final (12; 9).
RESOLUÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Consiste em isolar uma incógnita arbitrariamente a
eliminar e substituí-la na outra equação.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
x + y = 21
01. Seja o sistema linear:
Resolução:
x-y= 3
x + y = 21 (I) isolando x
x - y = 3 (II)
Substituindo
x =21- y
x =21- y na equação ( II ), obtemos:
(21 - y )- y =3
21 - y - y = 3
-2y = -18
2y = 18
y= 9
Substituindo y=9 em qualquer uma das equações,
obtemos x=12.
Resultado final (12; 9).
x + y = 21
x - y =
2x
3
= 24
x=
24
2
x = 12
02.Geraldo devia R$ 55,00 a seu irmão e pagou a dívida
com notas de R$ 5,00 e de R$ 10,00. Se, ao todo, o
irmão de Geraldo recebeu 7 notas, quantas eram as
notas de R$ 10,00?
Substituindo x=12 em qualquer uma das equações,
obtemos y=9.
Resultado final (12; 9).
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Resolução:
I) Duas grandezas, número de notas e valor das notas
com duas incógnitas número de notas de R$ 5,00 e de
R$ 10,00. Neste caso é possível elaborar um sistema de
duas equações com duas incógnitas.
x = número de notas de R$ 5,00
y = número de notas de R$ 10,00
5x + 10y = 55
x+y=7
...se desejar pode dividir a 1ª equação
por 5
x + 2y = 11
x+y=7
06. (FCC) Uma empresa resolveu aumentar seu
a
quadro de funcionários. Numa 1 etapa contratou 20
mulheres, ficando o número de funcionários na
a
razão de 4 homens para cada 3 mulheres. Numa 2
etapa foram contratados 10 homens, ficando o
número de funcionários na razão de 3 homens para
cada 2 mulheres. Inicialmente, o total de
funcionários dessa empresa era:
a) 90
b) 120
c) 150
d) 180
e) 200
07. (FCC) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num
total de 23 animais e 82 pés. Quantas são as
galinhas e os coelhos?
.......isole o x na 2ª equação
08. (FCC) A soma de dois números é 50 e o maior
deles é igual ao dobro do menor, menos 1. Quais
são os números?
x + 2y = 11
x = 7- y
Matemática
.......substitua x = 7 - y
na 1ª equação x
+ 2y = 11
(7-y) + 2y = 11........7-y + 2y = 11
y = 4.
Resposta: 4 notas de R$ 10,00
TESTES I
Resolva os próximos sistemas lineares:
x + y = 17
01.
10. (FCC) Somando-se os 2/3 de um número x como
os 3/5 do número y, obtém-se 84. Se o número x é
metade do número y, então a diferença y-x é igual a:
a) 18
b) 25
c) 30
d) 45
e) 60
x-y =5
2x + 5y = 18
02.
03.
x = 60 - y
2x - 3y = 3
3x + 2y = 37
04. (CEFET-PR) Sabendo-se que a diferença de preço
entre uma boneca e uma bola é R$ 15,00 e que a
soma dos preços de duas bonecas com duas bolas é
R$ 118,00 , podemos afirmar que o preço de um dos
brinquedos é:
a) R$ 15,00.
b) R$ 80,00.
c) R$ 65,00.
d) R$ 37,00.
e) R$ 10,00.
05. (UFRJ-NCE) André é um ano mais velho que
Bernardo, que é um ano mais velho que Cardoso, que
é um ano mais velho que Demétrio. A soma das
idades dos quatro é 190. Então, daqui a 16 anos
Demétrio terá a seguinte idade:
a) 64;
b) 62;
c) 60;
d) 58;
e) 56.
30
Atualizada 26/06/2008
09. Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos
metade da água fora, seu peso cai para 180g. O peso
do copo vazio é?
a) 20g
b) 25g
c) 35g
d) 40g
e) 45g
11. Cachorro quente com uma salsicha por $
15,00.Cachorro quente com duas salsichas por $
18,00.O gerente sabe quantos sanduíches vendeu
contando os pães. Com essa promoção ele "faturou"
$ 810,00. Quantas salsichas foram consumidas nos
sanduíches sabendo que usou 46 pães?
12. Uma pessoa comprou bicicletas de 2 rodas e
quarda-chuvas de 12 varetas. Se o total de rodas e
varetas é 38 000e o número de guarda-chuvas é o
triplo do de bicicletas, então o número de guardachuvas é.
13. (UNB-CESPE) Se Roberto tivesse 6 anos mais,
ele teria 4/5 da idade do seu irmão. Juntos eles têm
30 anos. A idade de Roberto é:
a) 24
b) 20
c) 16
d) 12
e) 10
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14. Um baleiro vende dois tipos de balas: b1 e b2. Três
balas do tipo b1 custam R$ 0,10 e a unidade da bala
b2 custa R$ 0,15. No final de um dia de trabalho, ele
vendeu 127 balas e arrecadou R$ 5,75. O número de
balas do tipo b1 vendidas foi:
a) 114
b) 113
c) 112
d) 111
e) 110
15. Três latas iguais de massa de tomate mais uma
lata de atum custam, juntas, R$ 3,00. Duas latas de
massa de tomate mais duas latas de atum (todas
iguais às anteriores) custam, juntas, R$ 3,40.Qual é o
preço de uma lata de massa de tomate?
a) R$ 0,65
b) R$ 0,70
c) R$ 0,75
d) R$ 0,80
e) R$ 0,95
16. (OBM) Rafael tem 2/3 da idade de Roberto e é 2
anos mais jovem que Reinaldo. A idade de Roberto
representa 4/3 da idade de Reinaldo. Em anos, a
soma das idades dos três é:
a) 48
b) 72
c) 58
d) 60
e) 34
17. (UNB-CESPE) Se eu gastar R$1.200,00 ficarei com
3/4 da quantia que Paulo possui. Juntos temos R$
4.000,00. Nestas condições, Paulo possui a
importância de R$:
a) 1.200
b) 1.680
c) 1.600
d) 2.320
e) 2.400
18. (FATEC-SP) Uma loja vendeu 112 pneus para 37
veículos entre "Fuscas" e motos. Somente dois
"Fuscas" trocaram também o pneu de estepe.
Quantas motos trocaram pneus?
19. Um cavalo e um burro caminhavam juntos,
carregando cada um pesados sacos. Como o cavalo
reclamava muito de sua pesada carga, respondeu-lhe
o burro: de que te queixas? se me desses um saco,
minha carga seria o dobro da tua, mas se eu te der
um saco tua carga será igual a minha. Quantos sacos
cada um deles levava?
20. (FGV-SP) Num pátio existem automóveis e
bicicletas. O número total de rodas é 130 e o número
de bicicletas é o triplo do número de automóveis.
Então, o número total de veículos que se encontram
no pátio é:
a) 50
b) 42
c) 52
d) 54
e) 62
Atualizada 26/06/2008
Matemática
21. Num pátio existem automóveis e motocicletas. O
número total de rodas é 130 e o número de veículos
é 40. Quantos veículos de cada tipo se encontram no
pátio?
22. (FCC-TRT) Para uma festa de aniversário, foram
comprados 3 centos de salgados e 2 centos de
doces, num custo total de R$ 90,00. Se o cento dos
doces custa R$ 15,00, cada unidade de salgado é,
em reais, igual a:
a) 0,10
b) 0,15
c) 0,20
d) 0,25
e) 0,30
23. (UDESC) Em um treino de basquete, um jogador
ganha 5 pontos por cada cesta que acerta e perde 3
pontos por cada cesta que erra. Em 10 tentativas,
um jogador obteve 26 pontos. Logo, o número de
cestas que ele acertou foi:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
24. (OBM) Ronaldo, sempre que pode, guarda
moedas de 50 centavos ou 1 real. Atualmente, ele
tem 100 moedas, num total de 76 reais. Quantas
moedas de um valor ele tem a mais do que a de
outro valor ?
a) 48
b) 4
c) 8
d) 52
e) 96
25. (BANESPA) Um fazendeiro cria galinhas e
coelhos. Num dado momento, esses animais somam
um total de 50 cabeças e 140 pés. Pode-se concluir
que a razão entre o número de coelhos e o número
de galinhas é:
a) 1/3
b) 1/2
c) 2/3
d) 3/2
e) 3/4
26. (CESGRANRIO-RJ) Geraldo devia R$ 55,00 a seu
irmão e pagou a dívida com notas de R$ 5,00 e de R$
10,00. Se, ao todo, o irmão de Geraldo recebeu 7
notas, quantas eram as notas de R$ 10,00?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
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27.(OCM) Um zoológico tem vários macacos e várias
girafas. Contando os olhos e as pernas dos macacos
e das girafas obtém-se 30 olhos e 44 pernas. Quantos
macacos e quantas girafas há no zoológico? (Um
macaco tem duas pernas.)
a) 8 m e 7 g
b) 9 m e 6 g
c) 7 m e 8 g
d) 6 m e 9 g
e) 8 m e 9 g
28.(ESAF) Um copo completamente cheio de água
pesa 275 gramas. Mas se metade da água for
jogada fora, seu peso cairá para 165 gramas. Então,
o peso deste copo é em gramas:
a) 32,5
b) 42,5
c) 55
d) 75
e) 110
29. (FGV-SP) Em uma prova de 20 questões, o
candidato recebe 4 pontos por cada resposta certa e
perde 1 ponto por cada questão não respondida
corretamente. André obteve 20 pontos. Qual seria a
nota de André, se cada resposta certa valesse 6
pontos e cada resposta errada fizesse com que ele
perdesse 2 pontos?
a) 12
b) 16
c) 20
d) 22
e) 24
30. (OBM) No alvo abaixo, uma certa pontuação é
dada para a flecha que cai na região A e outra para a
flecha que cai na região B. Alberto lançou 3 flechas:
uma caiu em B e duas em A, e obteve 17 pontos.
Carlos também lançou 3 flechas: uma caiu em A e
duas em B, e obteve 22 pontos. Quantos pontos são
atribuídos para uma flecha que cai na região A?
B
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
31. (FCC) Na entrada de um estádio, em um dia de
jogo, 150 pessoas foram revistadas pelos soldados
Mauro, Norberto e Orlando. O número das revistadas
por Mauro correspondeu a 3/4 do número das
revistadas por Orlando, e o número das revistadas
por Orlando correspondeu a 14/13 do número das
revistadas por Norberto. O número de pessoas
revistadas por:
a) Mauro foi 45.
b) Norberto foi 54.
c) Orlando foi 52.
d) Norberto foi 42.
e) Mauro foi 42.
Atualizada 26/06/2008
2
32. (UEL-PR) Fernando fez um pedido de 4 m de um
piso tipo A e alguns metros quadrados de um piso
tipo B. O piso tipo A custa o dobro do piso tipo B.
Ao anotar o pedido, o vendedor trocou os tipos de
2
piso, ou seja, 4 m de piso tipo B e o resto tipo A.
Isso fez o pedido ficar 50% mais caro. A quantidade
de piso tipo B no pedido original era:
a) 32
b) 16
c) 8
d) 6
e) 4
33. (UFF-RJ) Um jogador de basquete fez o seguinte
acordo com o seu clube: cada vez que ele
convertesse um arremesso, receberia R$ 10,00 do
clube e cada vez que ele errasse, pagaria R$ 5,00 ao
clube. Ao final de uma partida em que arremessou
20 vezes, ele recebeu R$ 50,00. Pode-se afirmar que
o número de arremessos convertidos pelo jogador
nesta partida foi:
a) 0
b) 5
c) 10
d) 15
e) 20
34. (CESPE) A diferença entre dois números é 144 e
o quociente entre eles é 5. Um desses números é:
a) 35
b) 180
c) 60
d) 80
35. (UNB-CESPE) A metade da diferença entre dois
números é 325 e o dobro de seu quociente é 28.
Calcule o menor:
a) 28
b) 25
c) 14
d) 50
36.(CESPE) Dois números tais que, multiplicando-se
por 5 e o menor por 6, os produtos são iguais. Se o
maior deles, diminuído de 3 é igual ao menor
aumentado de 1, então um deles é:
a) 4
b) 7
c) 18
d) 24
A
32
Matemática
37. (UNB-CESPE) A quantia de R$ 8,75 é composta
de 42 moedas de, 1 centavo e de 50 centavos. A
diferença entre as quantidades de moedas de 1
centavo e 50 centavos é de:
a) 6 moedas
b) 7 moedas
c) 8 moedas
d) 9 moedas
e) 10 moedas
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Matemática
38. (UNB-CESPE) Dois trabalhadores recebem juntos
R$ 1.080,00 por 20 dias de trabalho. O mais
especializado recebeu R$ 4,00 a mais do que o outro,
por dia de trabalho. A diária do operário menos
especializado foi de:
a) R$ 23,00
b) R$ 23,50
c) R$ 24,00
d) R$ 24,50
e) R$ 25,00
43. (FGV-SP)
2x y 5
39. (FCC-TRF) Um total de 120 caixas de lápis e de
borrachas foi distribuído a alguns setores de uma
empresa. Se o número de caixas de lápis acrescido
de 5 unidades excede a terça parte do número das de
borrachas em 21 unidades, então a quantidade de
caixas de
a) borrachas é 75.
b) lápis é 40.
c) borrachas é 78.
d) lápis é 45.
e) borrachas é 80.
44. (UFSM-RS) Duas vacas e um touro foram
trocados por oito porcos. Em outra ocasião, uma
vaca foi trocada por um touro e um porco. De acordo
com a regra desses dois negócios , uma vaca deve
ser trocada por ___ porcos; um touro, por ___
porcos. Assinale a alternativa que preenche
corretamente os espaços.
a) 3; 2
b) 2; 5
c) 2; 3
d) 3; 4
40. (UFRJ-NCE) Agenor emprestou a Barcelos todos
os cds que tinha com gravações de Frank Sinatra,
pois Barcelos queria dar uma reunião em que apenas
cds do cantor seriam tocados. Barcelos ficou então
com um total de quarenta e cinco gravações do
famoso cantor, contando os seus e os de Agenor.
Barcelos tem sete cds a mais que Agenor com tais
gravações e nenhum dos cds de Barcelos é igual a
algum de Agenor. Então, o produto entre a
quantidade de cds de Frank Sinatra de Agenor e a de
Barcelos é igual a:
a) 234;
b) 258;
c) 290;
d) 324;
e) 494.
45. (CEFET-PR) Para a festa do Natal, uma creche
necessitava de 120 brinquedos.
Recebeu uma
doação de R$ 370,00.
Esperava-se comprar
carrinhos a R$ 2,00 cada, bonecas a R$ 3,00 e bolas
a R$ 3,50. Se o número de bolas deveria ser igual ao
número de bonecas e carrinhos juntos, a solução
seria comprar:
a) 60 bonecas, 30 carrinhos e 30 bolas.
b) 20 bonecas, 40 carrinhos e 60 bolas.
c) 30 bonecas, 30 carrinhos e 60 bolas.
d) 25 bonecas, 45 carrinhos e 70 bolas.
e) 40 bonecas, 20 carrinhos e 60 bolas.
41. (UFRJ-NCE) Um fazendeiro dividirá seu terreno
de modo a plantar soja, trigo e hortaliças. A parte
correspondente à soja terá o dobro da área da parte
em que será plantado trigo que, por sua vez, terá o
dobro da área da parte correspondente às hortaliças.
Sabe-se que a área total desse terreno é de 42 ha,
assim a área em que se irá plantar trigo é de:
a) 6 ha;
b) 12 ha;
c) 14 ha;
d) 18 ha;
e) 24 ha.
42. (EsPCEX) A soma dos valores de x, y e z que
2x y z 5
3x
tornam o sistema
a) 1
b) 3
c) 2
d) 5
e) 4
2y
x
z
z
2
0
verdadeiro é:
2y
z
3x
2y
a)
b)
c)
d)
Se (a, b, c) é solução do sistema
3
z
7
, então a + b + c é igual a
2
2
0
1
46. (OBM) Rafael tem 2/3 da idade de Roberto e é 2
anos mais jovem que Reinaldo. A idade de Roberto
representa 4/3 da idade de Reinaldo. Em anos, a
soma das idades dos três é:
a) 48
b) 72
c) 58
d) 60
e) 34
47. (FCC-TRF) As provas de um certo concurso
público serão aplicadas em 50 cidades dos estados
do Paraná (PR), de Santa Catarina (SC) e do Rio
Grande do Sul (RS), nas seguintes proporções: SC
52% RS, PR 48% RS. Nessas condições, o número
de cidades do Paraná nas quais as provas serão
aplicadas é
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
(CESPE) Uma pessoa comprou 2 unidades do
produto X e 3 unidades do produto Y, pagando pela
compra o total de R$ 55,00. Se essa pessoa
comprasse 5 unidades do produto X e 4 unidades do
produto Y, pagaria o total de R$ 92,00. Com base
nessas informações, é correto afirmar que o preço
da unidade do produto
48. Y é superior a R$ 10,00.
49. X é inferior a 3/5 do preço da unidade do produto Y.
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50. As quantidades dos produtos que Elaine, Pedro e
Carla
compraram
num
mercado
estão
esquematizadas na tabela que segue
produto A produto B produto C
Elaine
1
2
3
Pedro
3
6
2
Carla
2
4
1
Sabendo-se que Pedro gastou R$ 21,00 e Carla R$
13,00, pode-se concluir, necessariamente, que
a) Elaine gastou R$ 10,00.
b) o preço do produto C é R$ 3,00.
c) o preço do produto A é R$ 1,00.
d) o preço do produto B é R$ 3,00.
51. (FAE-PR) Teresa quer distribuir balas, pirulitos e
chocolates para crianças. Ela dispõe de grande
quantidade desses doces e os únicos critérios são
que cada pacote contenha todos os 3 doces, num
total de 10 unidades, e que o número de balas em
cada pacote seja o dobro do número de chocolates.
O número de pacotes diferentes somente pela
quantidade de doces é igual a:
a) 7
b) 8
c) 3
d) 4
e) 5
52. (UNIOESTE-PR) Considerando as leituras
indicadas nas balanças da figura abaixo, é correto
afirmar que:
I ) o objeto A é o de maior massa.
II ) o objeto C é o de menor massa.
III) a soma das massas dos três objetos é igual a 96g.
IV ) a massa do objeto B é igual a 28g.
V ) a massa do objeto B é igual à soma das massas de A
e C.
VI ) a diferença entre as massas de B e C é igual a 40g.
a) FVVFVV
b) VVVVVV
c) FFFFFF
d) FVVFFF
e) VFFVVV
Matemática
54. (UFPR) Certa transportadora possui depósitos
nas cidades de Guarapuava, Maringá e Cascavel.
Três motoristas dessa empresa, que transportam
encomendas apenas entre esses três depósitos,
estavam conversando e fizeram as seguintes
afirmações:
1º motorista: Ontem eu sai de Cascavel, entreguei parte
da carga em Maringá e o restante em Guarapuava. Ao
todo, percorri 568km.
2º motorista: Eu sai de Maringá, entreguei uma
encomenda em Cascavel e depois fui para Guarapuava.
Ao todo, percorri 522km.
3º motorista: Semana passada eu sai de Maringá,
descarreguei parte da carga em Guarapuava e o
restante em Cascavel, percorrendo, ao todo, 550km.
Sabendo que os três motoristas cumpriram
rigorosamente
o
percurso
imposto
pela
transportadora, quantos quilômetros percorreria um
motorista que saísse de Guarapuava, passasse por
Maringá, depois por Cascavel e retornasse a
Guarapuava?
a) 820km
b) 832km
c) 798km
d) 812km
e) 824km
55. (UEL-PR) Um comerciante varejista comprou 80
calças de dois tamanhos diferentes, pequeno e
médio, gastando R$ 4 300,00. Cada calça de
tamanho pequeno custou R$ 50,00 e cada calça de
tamanho médio custou R$ 60,00. Quantas calças de
tamanho pequeno e médio, respectivamente, ele
comprou?
a) 30 e 50
b) 37 e 43
c) 40 e 40
d) 43 e 37
e) 50 e 30
56. (UFRJ-NCE) O ingresso para entrar em um
parque nacional custa R$ 2,00 por criança e R$ 5,00
por adulto. Num dia entraram 57 pessoas no parque,
e foi obtida a receita total de R$ 222,00. Nesse dia, o
valor absoluto da diferença entre o número de
crianças e adultos que entraram no parque foi de:
a) 15;
b) 21;
c) 26;
d) 30;
e) 36.
53. (ENEM) Uma companhia de seguros levantou
dados sobre os carros de determinada cidade e
constatou que são roubados, em média, 150 carros
por ano. O número de carros roubados da marca X é
o dobro do número de carros roubados da marca Y, e
as marcas X e Y, juntas respondem por cerca de 60%
dos carros roubados. O número esperado de carros
roubados da marca Y é:
a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60
34
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GABARITO
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
11 e 6
94 e -34
9e5
D
B
B
18 e 5
17 e 33
C
D
86
3 000
E
A
A
C
C
19
7e5
C
25 e 15
C
E
B
C
C
A
C
E
C
E
B
C
B
D
D
C
E
C
E
B
C
A
A
E
C
A
C
E
B
C
A
B
A
E
A
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Matemática
FUNÇÕES DO 1º GRAU
FUNÇÃO CONSTANTE
Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k ,
onde k é um número real que não depende de x .
Exemplos:
a) f(x) = 9
b) f(x) = -2
Nota : o gráfico de uma função constante é uma reta
paralela ao eixo dos x .
Veja o gráfico a seguir:
FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo
y = ax + b , onde a
0.
Exemplos :
01. f(x) = 2x + 8 ( a = 2 ; b = 8 )
02. f(x) = -5x + 5 (a = -5; b = 5).
CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
I) O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma
reta decrescente quando a<0.
II) O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma
reta crescente quando a>0.
III) Na função f(x) = ax + b ,
se b = 0 , f é dita função linear e
se b 0, f é dita função afim .
IV) O gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação
f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abscissa x = - b/a .
V) O gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b), que
é o termo independente b, onde b é chamado
coeficiente linear .
VI) O valor a é chamado coeficiente angular e dá a
inclinação da reta.
VII) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o
gráfico é uma reta que sempre passa na origem, no
ponto (0, 0).
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06. ( PUC - SP ) O gráfico abaixo é o da reta y = ax +
b, quando :
TESTES
01. (NC.UFPR) Calculando o valor numérico da
expressão
( a b )2
a2
b2
, para
Matemática
a 0,25
e
y
b 0,15,
obtemos o valor:
a) 1,75
b) 4,00
c) 2,50
d) 3,20
e) 3,75
x
0
02. Assinale a alternativa que corresponde a função
de acordo com o gráfico:
y
a) a < 2
b) a < 0
c) a = 0
d) a > 0
e) a = 2
07. ( ITAJUBA-MG ) O gráfico
representar qual das expressões ?
2
abaixo
pode
y
0
4
x
3
a) f(x)= -x+2
b) f(x) = -x/2 + 1
c) f(x)= -x/2 + 2
d) f(x)=4x
e) f(x)= -x
-2
03. Obtenha a função do 1º grau na variável x que
passa pelos pontos ( 0, 1 ) e ( -3, 0):
a) y= x/3
b) y=-x/3 + 1
c) y= 2x
d) y= x/3 +1
e) y= -x
04. O gráfico abaixo representa a função f(x)= ax + b .
Assinale a alternativa correta:
y
0
a) y = 2x - 3
b) y = - 2x + 3
c) y = 1,5 x + 3
d) 3y = - 2x
e) y = - 1,5x + 3
08. ( FGV - SP ) O gráfico da função f(x) = mx + n
passa pelos pontos ( 4, 2 ) e ( -1, 6 ). Assim o valor
de m + n é :
a) 13/5
b) 22/5
c) 7/5
d) 13/5
e) 2,4
o
05. ( UF-MA ) A representação da função y = -3 é uma
reta :
a) paralela aos eixo das ordenadas
b) perpendicular ao eixo das ordenadas
c) perpendicular ao eixo das abscissas
d) que intercepta os dois eixos
e) nda
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x
09. ( PUC - MG ) Uma função do 1 grau é tal que
f(-1) = 5 e f(3)=-3. Então f(0) é igual a :
a) 0
b) 2
c) 3
d) 4
e) -1
x
a) a = 0 ; b = 0
b) a > 0 ; b > 0
c) a < 0 ; b > 0
d) a > 0 ; b = 0
e) a > 0 ; b < 0
36
0
10. ( FUVEST-SP ) A função que representa o valor a
ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x
de uma mercadoria é :
a) f(x)= x-3
b) f(x)= 0,97x
c) f(x)=1,3x
d) f(x)=-3x
e) f(x)= 1,03x
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11. ( UF-RN ) Seja a função linear y = ax - 4 . Se y = 10
para x = -2 então o valor de y para x = -1 é:
a) 3
b) 4
c) -7
d) -11
e) nda
12. ( MACK - SP ) A função f é definida por f(x)= ax + b
Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1) = 1. O valor de f( 3 ) é :
a) 0
b) 2
c) -5
d) -3
e) -1
Matemática
15. (FAE-PR) Dois números inteiros positivos são
tais que a sua soma mais a sua diferença mais o seu
produto é igual a 50. Quantas são as possíveis
soluções para esse problema?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
16. A função f é representada graficamente por
13. ( UNIFOR ) Seja a função f de R em R definida por
f(x) = mx + t representada pelo gráfico abaixo. Nestas
condições:
0
0
x
a
Pode-se concluir que
a) se f(x) < 0 então x > a.
b) se f(x) < 0 então x < 0.
c) se x < a então f(x) < 0.
d) se 0 < b < a e x > b então f(x) > f(b).
y
-1
y
f
x
17. (EPCAR) A reta do gráfico abaixo indica a
quantidade de soro (em ml) que uma pessoa deve
tomar, em função de seu peso (dado em Kgf), num
tratamento de imunização. A quantidade total de
soro a ser tomada será dividida em 10 injeções
idênticas. Quantos ml de soro receberá um indivíduo
de 65 Kgf em cada aplicação?
-2
a) m = 2t
b) t = 2m
c) m = t
d) m + t = 0
e) m - t=4
ml
14. (AFA)
30
Hotel Fazenda B
10
0
Chalés com acomodação para até 10
pessoas.
Diária do Chalé: 80 reais
Refeição opcional (14 reais por dia por
pessoa)
O Sr. Souza, esposa e filhos optaram pelo passeio
acima anunciado e, aproveitando as férias escolares,
passaram 5 dias hospedados no Hotel Fazenda B
fazendo todas as refeições, gastando ao todo 1100
reais, dos quais 280 reais cobriram despesas com
telefone, frigobar e lazer.
É correto afirmar que
a) a família levou 6 filhos.
b) as despesas com refeições totalizaram 400 reais.
c) no chalé sobraram 4 acomodações.
d) se não tivessem ocorrido as despesas extras com
frigobar, telefone e lazer, eles poderiam ter ficado mais 1
dia e teriam economizado ainda 120 reais.
Atualizada 26/06/2008
20
50
80
Kgf
a) 20
b) 2
c) 40
d) 4
18. (EsPCEX) Sabendo que a função y = ax + b,
pode-se afirmar que:
a)O gráfico da função passa sempre pela origem.
b)O gráfico da função corta sempre o eixo das
ordenadas.
c)O zero da função é b/a.
d)A função é crescente para a < 0 .
e)O gráfico da função nunca passa pela origem.
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19. (NC.UF-PR) Qual das histórias melhor se adapta
ao gráfico abaixo?
Matemática
21. (ACAFE-SC) Dois atiradores, A e B, numa série
de 20 tiros num alvo com a forma indicada na figura
abaixo, obtiveram os resultados que estão anotados
no quadro dado.
distância
0
10
20
30
50
0
tempo
a) Saí de casa calmamente, mas quando vi que poderia
me atrasar, comecei a caminhar mais rápido.
b) Eu tinha acabado de sair de casa quando tive a
sensação de ter esquecido as chaves do escritório.
Parei para procurá-las na minha mala, mas não as
encontrei. Voltei para buscá-las, tomei mais um
cafezinho e depois pude seguir para o escritório.
c) Tinha acabado de sair de casa quando o pneu furou.
Como meu carro estava sem estepe, precisei ficar
horas esperando pelo borracheiro. Ele veio, consertou
o pneu, e eu pude seguir viagem.
d) Logo que saí de casa encontrei um amigo que não via
há muito tempo. Parei para conversar um pouco e
depois segui para o escritório.
e) Saí de casa sem destino, dei uma volta na quadra e
resolvi voltar para casa. O tempo estava para chuva e
resolvi não sair mais de casa.
20. (ACAFE-SC) Suponha que uma companhia de
água cobre o consumo residencial pela seguinte
tabela:
Faixa de consumo Valor em reais
3
3
por m
por m
0 - 10
1,20
11 - 25
2,00
mais de 25
2,50
O proprietário de uma residência, que num
3
determinado mês consumiu 27m de água, pagará,
em reais:
a) 55,00
b) 67,50
c) 54,00
d) 45,00
e) 47,00
atiradores 50 30
20 10
0
A
5
4
3
7
1
B
6
2
3
8
1
Observando a média de pontos dos atiradores A e B, a
alternativa correta é:
a) O atirador B superou o atirador A em 2 pontos.
b) O atirador A teve melhor desempenho que o atirador
B.
c) Os atiradores tiveram o mesmo desempenho.
d) A média de pontos do atirador B é de 20 pontos.
e) A média de pontos do atirador A é de 24 pontos.
22. (ACAFE-SC) Dois atletas A e B fazem teste de
Cooper numa pista retilínea, ambos correndo com
velocidade constante. A distância (d) que cada um
percorre é mostrada no gráfico abaixo.
d(m)
B
500
400
300
200
100
0
A
10 20 30
x
t(min)
Com base no gráfico, a alternativa correta é:
a) A é mais veloz que B, pois percorre 600m em 20
min.
b) B percorre 1km em 20 min.
c) B é mais veloz que A, pois percorre 400m em 5 min.
d) A e B correm na mesma velocidade.
e) A percorre 400m em 30 min.
23. (MACK-SP) Considere as funções f (x) = 3 x 5, g
2
2
(x) = 3x + 2x 4 h(x) = x x
e o número real
A
f ( 0 ) g ( 1)
.
h( 2 )
Então 5 . A
a) 1/6
b) 6
c) 6
d) 5
e) 1/5
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Atualizada 26/06/2008
1
vale:
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24. (UFPR) No interior de uma caverna existe uma
estalagmite cuja altura aumenta de modo constante à
razão de 1 cm a cada 10 anos. Nessas condições, a
função h definida por h(t) =
t
,
10
com t
Matemática
26. (VUNESP) O valor de um determinado tipo de
automóvel diminui com o passar do tempo, como
mostra o gráfico.
preço (milhares de reais)
0, relaciona
a altura da estalagmite(em centímetros) com o tempo
t (em anos) decorrido desde o inicio da sua formação.
I) Em um sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais, o gráfico da função h é uma parábola.
II) h(80) = 80
III) São necessários 200 anos para que haja um aumento
de 20 cm na altura da estalagmite.
IV) A altura da estalagmite é diretamente proporcional ao
tempo t.
Assim é correto afirmar:
a) FFVV
b) VVVV
c) FFFF
d) VVFF
e) FVFV
25. O Brasil tem um encontro marcado com o caos. No
o
dia 1 de junho começa o plano de racionamento de
energia.
O modelo energético brasileiro é baseado quase que
exclusivamente em hidrelétricas, que produzem 97% da
energia consumida no país. Sem chuva, entra em
colapso .
Revista Veja 16/05/01
No gráfico abaixo, tem-se o nível da água
armazenada em uma barragem ao longo dos últimos
anos, que foi construída para represar água a fim de
mover as turbinas de uma usina hidrelétrica.
25,5
13,5
0
8
tempo
(anos)
Esse carro não terá valor algum, decorridos
a) 12 anos.
b) 13 anos.
c) 15 anos.
d) 16 anos.
e) 17 anos.
27. (EXPCEX) O crescimento de um vegetal, sob
certas condições e a partir de uma determinada
altura, segue a função do gráfico abaixo. Mantidas
tais condições, pode-se afirmar que a função que
representa o crescimento do vegetal e sua altura no
12° dia são, respectivamente:
O nível máximo
nível (m)
o nível
mínimo
para
gerar
energia
120
80
a) h( t )
30
b) h( t )
10
0
1989
1995
2000
tempo
Analise as alternativas e marque a opção correta.
a) O nível da água permaneceu constante num período
de 8 anos.
b) O nível de 80 metros foi atingido exatamente duas
vezes até o ano 2000.
c) Após o ano de 2000, o nível da água da barragem foi
insuficiente para gerar energia.
d) No período de 1995 a 2000, o nível da água só
diminuiu.
Atualizada 26/06/2008
c) h( t )
d) h( t )
e) h( t )
1
t 5
2
1 5
t
3 3
1
t 1
5
1
t +1
4
t 5
5
e
e
e
e
e
12
cm
15
12
h = cm
5
17
h = cm
5
17
h = cm
5
12
h = cm
15
h=
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28.Um veículo de transporte de passageiro tem seu
valor comercial depreciado linearmente, isto é, seu
valor comercial sofre desvalorização constante por
ano. Veja a figura seguinte.
valor (R$)
0
20
tempo
29. (UEL PR) Uma turma de torcedores de uma time
de futebol quer encomendar camisetas com o
emblema do time para a torcida. Constataram com
um fabricante que deu o seguinte orçamento:
Arte final mais serigrafia: R$ 90,00, independente do
numero de camisetas.
Camiseta costurada, fio 30, de algodão: R$ 6,50 por
camiseta.
Quantas camisetas devem ser encomendadas com o
fabricante para que o custo por camiseta seja de R$
7,00?
a) 18
b) 36
c) 60
d) 180
e) 200
30. (UFRJ-NCE) Observe este gráfico:
y
y = f(x)
x
A única das funções abaixo
representada por este gráfico é:
a) f(x) = 3x 2
b) f(x) = x + 15
c) f(x) = 3x 15
d) f(x) = 2x 5
e) f(x) = x + 4
Atualizada 26/06/2008
31. (CESGRANRIO) Um reservatório com capacidade
para 3.000 litros estava com 300 litros de água
quando uma torneira de vazão constante foi aberta.
O gráfico a seguir mostra a variação do volume de
água, em litros, dentro do reservatório, em função
do tempo, em horas, a partir do instante em que a
torneira foi aberta.
(anos)
Esse veículo foi vendido pelo seu primeiro dono,
após 5 anos de uso, por R$ 24.000,00. Sabendo-se
que o valor comercial do veículo atinge seu valor
mínimo após 20 anos de uso, e que esse valor
mínimo corresponde a 20% do valor que tinha
quando era novo, então esse valor mínimo é, em
reais,
a) menor que 4500
b) maior que 4500 e menor que 7000
c) múltiplo de 7500
d) um número que NÃO divide 12000
40
Matemática
que
pode
ser
Após 4 horas, o volume de água no reservatório, em
litros, era de:
a) 1.950
b) 2.100
c) 2.400
d) 2.550
e) 2.800
GABARITO
FUNÇÃO DO 1º
GRAU
01 B
02 C
03 D
04 E
05 B
06 B
07 C
08 B
09 C
10 B
11 A
12 E
13 C
14 C
15 D
16 A
17 D
18 B
19 B
20 E
21 C
22 B
23 B
24 A
25 C
26 E
27 C
28 B
29 D
30 E
31 B
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Matemática
EXERCÍCIO RESOLVIDO
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
DEFINIÇÃO
É toda a equação que pode ser reduzida à forma:
2
ax + bx + c = 0
a
0
Em que:
x é a incógnita
a, b e c são constantes reais denominadas
coeficientes.
c é o termo independente
RESOLUÇÃO
Nas equações, é costume chamar os valores que
satisfazem as equações de raízes.
Resolver uma
equação significa determinar o seu
conjunto-verdade, isto é, o conjunto de suas raízes.
Para a equação do 2º grau
2
ax + bx + c = 0
Use a formula de Báskara
01. Em certo momento, o número de funcionários
presentes em uma agência bancária era tal que, se
ao seu quadrado somássemos o seu quádruplo, o
resultado obtido seria 572. Se 10 deles saíssem da
agência, o número de funcionários na agência
passaria a ser:
a) 12
O conjunto solução é:
2
2
-b + b - 4ac -b - b - 4ac
S=
;
2a
2a
Considerações
Para a equação do 2º grau, quando o
discriminante da equação, radicando na
fórmula de Báskara:
b2 - 4ac =
III)
d) 15
e) 16
Resolução:
x é o número de funcionários
2
x =quadrado de x
4x=quádruplo de x
(x-10) é o que o teste solicita
I)
2
x +4x=572
2
x +4x-572=0
x=
x=
II)
c) 14
Aplicando a fórmula de Bháskara, temos:
-b ± b2 - 4ac
x=
2a
I)
b) 13
Quando > 0, maior que zero, a equação
tem duas raízes reais e diferentes entre si..
2
2
-b + b - 4ac -b - b - 4ac
S=
;
2a
2a
Quando = 0, igual a zero, a equação tem
duas raízes reais e iguais.
-b -b
S=
;
2a 2a
Quando < 0, menor que zero, a equação
tem duas raízes não reais e diferentes entre
si.
S =
conjunto vazio, as raízes não são
reais.
2
-b ± b - 4ac
2a
2
-(4) ± (4) - 4(1)(-572)
2(1)
x=
-4 ± 48
2
x1=-26 não serve por ser negativo.
x2=22 serve
II) Resposta: (x-10)=(22-10)=12
ENUNCIADO PRINCIPAL
Um grupo de amigos fez, em conjunto, um jogo em
determinada loteria, tendo sido premiado com a
importância de R$ 2.800.000,00 que deveria ser dividida
igualmente entre todos eles. No momento da partilha,
constatou-se que 3 deles não haviam pago a parcela
correspondente ao jogo, e, dessa forma, não faziam juz
ao quinhão do prêmio. Com a retirada dos 3 amigos que
não pagaram o jogo, coube a cada um dos restantes
mais R$ 120.000,00. Considerando a situação hipotética
apresentada, julgue os itens que se seguem.
OBTER AS RAÍZES PELO PRODUTO E SOMA
(RELAÇÕES DE GIRARD)
AFIRMATIVA
Seja a equação:
02. (CESPE-BB) Se x é a quantidade de elementos do
2
1x - Sx + P = 0
a=1
grupo de amigos , então
2 800 000
2 800 000
120 000
x-3
x
e x1 e x2 as raízes da equação, então podemos ter:
soma
produto
x1 + x2 = S
x1 . x 2 = P
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AFIRMATIVA
Matemática
II) Cálculo do x do vértice da função
2
02. (CESPE) RESOLUÇÃO PROVA BB 2007
F(x) = x 3x 70
2
F(x) = ax + bx + c
I) Prêmio sem exclusão dos não pagadores
Pela fórmula x
2 800 000
v
2a
=valor por apostador
x
x
( 3)
v
2(1)
II) Prêmio com exclusão dos não pagadores
x
2 800 000
b
3
v
2
- 120 000 =valor por apostador
x-3
Conclusão: a afirmativa do enunciado está
CORRETA
Com base nos itens I e II, formamos a equação:
2 800 000
=
2 800 000
x
- 120 000
AFIRMATIVA
x-3
04. (CESPE-BB) A quantidade de elementos do grupo
de amigos que fizeram juz ao prêmio é superior a 11.
Conclusão: a afirmativa do enunciado está
ERRADA
04. (CESPE) RESOLUÇÃO PROVA BB 2007
2
F(x) = x 3x 70
2
F(x) = ax + bx + c
AFIRMATIVA
03. (CESPE-BB) Considerando que, em uma função da
2
forma f(x) = Ax + Bx + C, em que A, B, e C são
constantes bem determinadas, a equação f(x) = 0
determina a quantidade de elementos do grupo de
amigos , então é correto afirmar que, para essa função, o
ponto de mínimo é atingido quando x=
3
Calculando os valores de x da equação, obtemos o
número inicial de apostadores.
Fórmula de Bhaskara
.
(b)2 - 4(a)(c)
(b)
x
2(a)
2
03. (CESPE) RESOLUÇÃO PROVA BB 2007
(-3)2 - 4(1)(-70)
(-3)
x
2(1)
I) Formação da equação
2 800 000
- 120 000 =
2 800 000
x-3
-3=
x-3
x
1
70(x 3)
x(x 3)
x
3x(x-3) = 70(x-3)
70x
3x + 9x = 70x
2
42
2
3 17
2
2
20
2
- 14
2
10 serve
- 7 não serve
Conclusão: a afirmativa do enunciado está
ERRADA
210x
Cancelando 70x, dividindo os membros por 3
organizando a equação do 2º grau, obtemos:
3x
2
3 17
Inicialmente são 10 apostadores, incluídos os que não
pagaram a aposta.
Simplificando x(x-3), obtemos:
70x
289
2
3 17
x
x
x(x - 3)
2
3
x
70
70x - 3x(x - 3)
280
2
O múltiplo de x e x-3, é igual ao produto:
x(x-3)
x
9
x
Dividindo os termos por 40 000
70
3
x
e
70 = 0
Atualizada 26/06/2008
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AFIRMATIVA
05. (CESPE-BB) Cada um dos elementos do grupo de
amigos
que
efetivamente
pagou
a
parcela
correspondente ao jogo recebeu uma quantia superior a
R$ 250.000,00.
Matemática
11. A razão entre a soma e o produto das raízes da
2
equação 2x - 7x + 3 = 0.
a) 7/3
b) 7/2
c) 3/2
d) 3/7
e) 2/7
05. (CESPE) RESOLUÇÃO PROVA BB 2007
Total para cada apostador que efetivamente pagou a
aposta.
2 800 000
= 400 000,00
7
Conclusão: a afirmativa do enunciado está
CORRETA
TESTES
01. (FUVEST) O conjunto verdade da equação
x+2
2
-1
+
=
2
x-2 2
02. (UFRJ-NCE) A diferença entre os valores das
2
raízes da equação 2x 26x + 80 = 0 pode ser igual a:
a) 0;
b) 2;
c) 3;
d) 12;
e) 20.
03. 6x
2
x
1=0
2
04. x - 8x + 7 = 0
2
05. x - 6x + 9 = 0
2
2
07. 3x + 12x = 0
2
08. 9 - 4x = 0
2
09. x - 5x + 6 = 0
10. O número de soluções inteiras da equação
a) 0
b)1
c)2
d)3
e) 4
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13. Qual é o menor valor de "x" de modo que a
divisão de 0,5 por "x" tenha o mesmo resultado da
adição de 0,5 com "x"?
a) 0,5
b) 0,5
c) 1
d) 1
e) 0
14. A soma de um número e o seu quadrado é 4032.
Qual é esse número ?
a) 66
b) 61
c) 62
d) 63
e) 64
15. (MACK-SP) Se (x
é igual a:
a) 1
b) 0
c) 10
d) 5
e) 20
y)
2
2
(x + y) =
20, então x . y
16. (ACAFE-SC) Uma torneira deixa cair x gotas de
água a cada 20 segundos. Sabendo-se que esse
número x corresponde à raiz positiva da equação
x( x-2 ) = 21 + 2x, o volume de água que vaza por
hora, supondo que cada gota corresponde a 0,4ml,
é:
a) 504ml
b) 540ml
c) 5040ml
d) 50,4ml
e) 5400ml
06. x - 2x + 5 = 0
x-3 4
4
- =
x - 4 x x(x - 4)
12. Qual o menor número que se deve somar a cada
fator do produto de 5 x 13 , para que este produto ,
aumente de 175 unidades ?
a) 7
b) 25
c) 7
d) 25
e) 13
17. (EsPCEX) Sejam m e n dois números inteiros
positivos tais que m e n são ímpares consecutivos,
com m.n=483. Nestas condições, o valor de m+n é
igual a:
a) 64
b) 52
c) 46
d) 44
e) 32
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18. (FCC-TRT) Numa reunião, o número de mulheres
presentes excede o número de homens em 20
unidades. Se o produto do número de mulheres pelo
de homens é 156, o total de pessoas presentes nessa
reunião é
a) 24
b) 28
c) 30
d))32
e) 36
2
19. (UFF) Num terreno retangular com 104 m de
área, deseja-se construir um jardim,
também
retangular, medindo 9 m por 4 m, contornado por
uma calçada de largura L, como indica a figura.
Terreno
Matemática
24. (UPNET) Foram escalados os soldados Carlos,
Mário, Pedro, Manoel e José para trabalharem na
segurança de um show. Na data marcada, verificouse que só precisariam de 4 homens, ou seja, um dos
soldados seria dispensado. Para não cometer
injustiça, o comandante resolveu que o soldado que
determinasse corretamente as raízes da equação
2
abx
(a + b) x + 1 = 0, onde a e b são números
inteiros, seria dispensado. Os soldados resolveram
a equação e chegaram às seguintes raízes:
Carlos: (1/a) e (-1/a)
Manoel: (a+b)/ab e (a-b)/ab
Mario: (1/a) e (1/b)
José: ab/(a+b) e ab/(a-b)
Pedro: (-1/a) e (-1/b)
Ajuda:
2
2
2
(a + b) = a +b +2ab
2
2
2
(a - b) = a +b -2ab
Calçada
L
(a
Jardim
b)
(a b)
L
Calcule o valor de L.
2
20. (UFRJ-NCE) As raízes da equação x + mx + n = 0
são 5 e 1. A soma dos valores das constantes m e n
é igual a:
a) 9;
b) 5;
c) 0;
d) 1;
e) 5.
21. (UFRJ-NCE) A diferença entre os valores das
2
raízes da equação 2x 26x + 80 = 0 pode ser igual a:
a) 0;
b) 2;
c) 3;
d) 12;
e) 20.
22. (MACK-SP) As x pessoas de um grupo deveriam
contribuir com quantias iguais a fim de arrecadar R$
15 000,00, entretanto 10 delas deixariam de fazê-lo,
ocasionando, para as demais, um acréscimo de R$
50,00 nas respectivas contribuições. Então x vale:
a) 60
b) 80
c) 95
d) 115
e) 120
23. (UNIRIO-RJ) Marta vai se casar e N amigas suas
resolveram comprar-lhe um presente no valor de R$
300,00, cada uma delas contribuindo com a quantia
de X reais. Na hora da compra, entretanto, uma delas
desistiu de participar e as outras tiveram, cada uma,
um acréscimo de R$ 15,00 na quota inicialmente
prevista. Assim, a afirmação correta é:
a) N = 4
b) X = R$ 60,00
c) X = R$ 45,00
d) X = R$ 50,00
e) N = 6
44
Atualizada 26/06/2008
2
2
a
b
a b
O soldado dispensado do serviço foi
a) Carlos.
b) Mário.
c) Pedro.
d) Manoel.
e) José.
25. (UPNET) Determine quantos passageiros viajam
em certo ônibus, sabendo-se que, se dois
passageiros ocuparem cada banco, 26 ficariam em
pé e se três passageiros se sentassem em cada
banco, dois bancos ficariam vazios.
a) 32
b) 26
c) 64
d) 96
e) 90
26. (ESAF-TCI) Determinar a de modo que a
2
equação x + (a
4 ) x + 1 a = 0 tenha duas
raízes iguais.
a) a = 0
b) a = 8 ou a = 0
c) a = 8
d) 8 < a < 0
e) a < 0 ou a > 8
27. (UFRJ-NCE) Um retângulo, cujos lados são
dados pelas expressões: (x+3) e (x-5), tem a mesma
área que o quadrado de lado 3cm. O valor de x é
igual a:
a)5
b)5,5
c) 6
d)7,5
e)8
2
28. (UPNET) A equação do 2º grau px -3px+9=0 terá
duas raízes iguais, se
a) p = 9
b) p = 3
c) p = 0
d) p = 2
e) p = 4
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GABARITO
Matemática
PONTO DE MÍNIMO V( xv , yv )
O ponto de mínimo é ponto de menor ordenada ( yv ) da
função:
EQUAÇÃO DO 2º
GRAU
01 1 e -2
02 C
03 -1/3 e 1/2
04 1 e 7
05 3
06 Vazio em R
07 -4 e 0
08 -3/2 e 3/2
09 2 e 3
10 B
11 A
12 D
13 C
14 D
15 D
16 A
17 D
18 D
19 2
20 A
21 C
22 A
23 B
24 B
25 E
26 B
27 C
28 B
2
f( x ) = ax + bx + c = 0
a>0
2
Obs.: O coeficiente a de x é POSITIVO.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
y
xv
0
x
yv
V
Ponto de
mínimo
CÁCULO DO VÉRTICE DA FUNÇÃO DO 2° GRAU
FUNÇÃO DO 2° GRAU
VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA
Toda a função do 2° grau tem um ponto de máximo ou de
mínimo.
2
f( x ) = ax + bx + c = 0
a
0
PONTO DE MÁXIMO V( xv , yv )
O ponto de máximo é ponto de maior ordenada ( yv ) da
função:
2
f( x ) = ax + bx + c = 0
a<0
2
Obs.: O coeficiente a de x é NEGATIVO.
CÁLCULO DA ABSCISSA xv DO VÉRTICE
xv
b
2 a
Ou também, calculando a média aritmética das raízes (
x1 e x2 ):
xv
x1
yv
Ponto de
máximo
2
CÁLCULO DA ORDENADA yv DO VÉRTICE (MÁXIMO
OU MÍNIMO)
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
y
x2
(b 2 - 4 a c)
4 a
Ou também, substituindo xv na função:
V
f ( x v ) a ( x v )2 b ( x v ) c
yv
IMAGEM DA FUNÇÃO DO 2° GRAU
0
xv
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Imagem
1) Se a > 0
y
yv
2) Se a < 0
y
yv
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Matemática
TESTES RESOLVIDOS
70x - 3x(x - 3)
(CESPE) Um grupo de amigos fez, em conjunto, um
jogo em determinada loteria, tendo sido premiado
com a importância de R$ 2.800.000,00 que deveria ser
dividida igualmente entre todos eles. No momento da
partilha, constatou-se que 3 deles não haviam pago a
parcela correspondente ao jogo, e, dessa forma, não
faziam juz ao quinhão do prêmio. Com a retirada dos
3 amigos que não pagaram o jogo, coube a cada um
dos restantes mais R$ 120.000,00. Considerando a
situação hipotética apresentada, julgue os itens que
se seguem.
x(x - 3)
Simplificando x(x-3), obtemos:
70x
3x(x-3) = 70(x-3)
70x
3x + 9x = 70x
2 800 000
2 800 000
120 000
x-3
x
2
210x
Cancelando 70x, dividindo os membros por 3
organizando a equação do 2º grau, obtemos:
x
2
01. (CESPE-BB) Se x é a quantidade de elementos do
grupo de amigos , então
70(x 3)
x(x 3)
3x
70 = 0
II) Cálculo do x do vértice da função
2
F(x) = x 3x 70
2
F(x) = ax + bx + c
RESOLUÇÃO
Pela fórmula x
I) Prêmio sem exclusão dos não pagadores
2 800 000
x
=valor por apostador
x-3
Com base nos itens I e II, formamos a equação:
=
x
v
- 120 000
2(1)
3
v
2
Calculando os valores de x da equação, obtemos o
número inicial de apostadores.
Fórmula de Bhaskara
Conclusão: a afirmativa do enunciado está
ERRADA
03. (CESPE-BB) Considerando que, em uma função
2
da forma f(x) = Ax + Bx + C, em que A, B, e C são
constantes bem determinadas, a equação f(x) = 0
determina a quantidade de elementos do grupo de
amigos , então é correto afirmar que, para essa
3
.
(b)2 - 4(a)(c)
(b)
x
2(a)
(-3)2 - 4(1)(-70)
(-3)
x
2(1)
2
RESOLUÇÃO
x
RESOLUÇÃO
2
F(x) = x 3x 70
2
F(x) = ax + bx + c
x-3
função, o ponto de mínimo é atingido quando x=
2a
04. (CESPE-BB) A quantidade de elementos do
grupo de amigos que fizeram juz ao prêmio é
superior a 11.
- 120 000 =valor por apostador
2 800 000
v
Conclusão: a afirmativa do enunciado está
CORRETA
II) Prêmio com exclusão dos não pagadores
2 800 000
b
( 3)
x
2 800 000
e
3
x
9
280
2
I) Formação da equação
3
x
2 800 000
- 120 000 =
x-3
70
x-3
-3=
2
3 17
2 800 000
x
x
Dividindo os termos por 40 000
70
x
1
x
O múltiplo de x e x-3, é igual ao produto: x(x-3)
x
289
2
3 17
2
3 17
2
2
20
2
- 14
2
10 serve
- 7 não serve
Inicialmente são 10 apostadores, incluídos os que não
pagaram a aposta.
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Conclusão: a afirmativa do enunciado está
ERRADA
05. (CESPE-BB) Cada um dos elementos do grupo
de amigos que efetivamente pagou a parcela
correspondente ao jogo recebeu uma quantia
superior a R$ 250.000,00.
Matemática
06. (UF-CE) Considere a função f: IR è IR, definida
2
por f(x) = x - 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente
que:
a) vértice do gráfico de f é o ponto (1; 4);
b) f possui dois zeros reais e distintos;
c) f atinge um máximo para x = 1;
d) gráfico de f é tangente ao eixo das abscissas.
e) nda
RESOLUÇÃO
Total para cada apostador que efetivamente pagou a
aposta.
2 800 000
07. (UFF-RJ) Considere f, função real de variável
2
real, definida por f (x) = x + ax + b que possui
uma raiz nula e um máximo para x = 3.
Determine os valores de a e b.
= 400 000,00
7
Conclusão: a afirmativa do enunciado está
CORRETA
08. (UFRJ-NCE) Considere o gráfico da parábola da
figura abaixo.
TESTES
y
2
01. (ACAFE-SC) A função f(x) = x - 2x + 1 tem
mínimo no ponto em que x vale:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
x
02. (PUC-MG) O valor máximo da função
2
f(x) = - x + 2x + 2 é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
A única equação que pode representar este gráfico
é:
2
a) y = x + 3x;
2
b) y = x - 3x;
2
c) y = x ;
2
d) y = x - 3;
2
e) y = x + 3;
03. (CEFET-PR) O maior valor que y pode de assumir
2
na expressão y= - x +2x é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
09. (UEPG-PR) Seja a função f(x) = 3x + 4 definida
para todo x real. Seu conjunto - imagem é:
04. (UEL-PR) Se x e y são as coordenadas do vértice
2
da parábola y= 3x -5x + 9, então x + y é igual a:
a) 5/6
b) 31 /14
c) 83/12
d) 89/18
e) 93/12
05. (UFF-RJ) Um fazendeiro pretende destinar um
terreno retangular à plantação de mudas. Para limitar
o terreno, deverá estender 1000 m de tela ao longo de
três de seus lados, o quarto lado coincidirá com um
muro reto. Nestas condições calcule, em metros
quadrados, a maior área possível de ser limitada.
2
a) {y E IR/y 4}
b) {y E IR/-4<y<4}
c) {y E IR/y>4}
d) {y E IR/y
e) REAIS
4}
10.. Em uma partida de vôlei, um jogador deu um
saque em que a bola atingiu uma altura h em metros,
num tempo t, em segundos, de acordo com a
relação h(t) = -t² + 8t.
a) Em que instante a bola atingiu a altura máxima?
[Nota]: observem o vértice
b) De quantos metros foi a altura máxima alcançada
pela bola?
11. (FGV-SP) O lucro mensal de uma empresa é dado
2
por L = - x + 30x - 5, onde x é a quantidade mensal
vendida. Qual o lucro mensal máximo possível?
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12.
(UNIFAP-FUNDAP)
Segundo
afirmam
os
Fisiologistas, o número N de batimentos cardíacos
por minuto, para um indivíduo sadio e em repouso,
varia em função da temperatura ambiente T, em graus
2
Celsius, e é dado pela função N(T) = (0,1) T
4T+
90.
a) Essa função possui máximo ou mínimo?
b) A que temperatura o número de batimentos cardíacos
por minuto de uma pessoa sadia e em repouso será 90?
c) Se uma pessoa sadia estiver dormindo em um quarto
com refrigeração de 20º C, qual será o número de seus
batimentos cardíacos por minuto?
13. (FAE-PR) Para se produzir x unidades de um
certo produto, uma empresa tem como expressar o
2
seu custo por C(x) = x - 50 x + 2500. Analise as
proposições a seguir:
I. A empresa deve produzir 25 unidades para que o
custo seja mínimo.
II. O custo mínimo da empresa é de R$ 2500,00.
III. O custo de produção de 10 unidades é maior que o
custo de produção de 30 unidades.
Assinale a alternativa correta:
a) Apenas I está correta.
b) Apenas I e II estão corretas.
c) Apenas I e III estão corretas.
d) Apenas II e III estão corretas.
e) Todas estão corretas.
14. (UF-PR) Um grupo de funcionários vai viajar para
participar de um congresso. Eles tiveram a idéia de
fretar um ônibus no qual todos viajariam juntos e
cada um pagaria o preço do fretamento dividido pelo
número de pessoas. Ao pesquisar os preços,
descobriram que uma empresa de turismo só
aceitava grupos de 15 a 40 passageiros para cada
ônibus, e calculava o preço (em reais) do fretamento
2
do ônibus pela fórmula p(x) = x + 70x + 50, onde x
representa o número de passageiros. Considere as
seguintes afirmações a respeito dos preços nessa
empresa.
I. Se viajarem 40 pessoas, cada pessoa pagará mais de
R$ 30,00.
II. Se viajarem 30 pessoas, o preço do fretamento será
menor do que o preço correspondente a 40 pessoas.
III. Existe um número x de pessoas para o qual o preço
do fretamento é igual a R$ 1.150,00.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa I é verdadeira.
b) Somente a afirmativa II é verdadeira.
c) Somente a afirmativa III é verdadeira.
d) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
15. (UFPR) Se a soma de dois números é 14/3 e o
produto é 5/3, então um dos números é:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
48
Atualizada 26/06/2008
Matemática
16. (UFRG) O movimento de um projétil, lançado
para cima verticalmente, é descrito pela equação y=2
40x +200x. Onde y é a altura, em metros, atingida
pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura
máxima atingida e o tempo que esse projétil
permanece no ar corresponde, respectivamente, a:
a) 6,25 m, 5s
b) 250 m, 0 s
c) 250 m, 5s
d) 250 m, 200 s
e) 10.000 m, 5s
17. (EsPCEX) O projétil disparado por um canhão,
posicionado num ponto de altitude igual a 200
metros, atinge um alvo localizado num ponto de
altitude igual a 1200 metros.
Considerando-se que:
I) A trajetória descrita pelo projétil é dada pela equação
y
8
x
3
4 2
x ,
3
II) Com x e y em quilômetros, e referenciada a um
sistema cartesiano com origem no canhão.
III) O alvo é atingido quando o projétil encontra-se no
ramo descendente da sua trajetória.
Nas condições acima descritas, pode-se afirmar que
a distância horizontal entre as posições do canhão e
do alvo é:
a) 0,5 km
b) 1,0 km
c) 1,5 km
d) 2,0 km
e) 2,5 km
18. (EsPCEX) Um curral retangular será construído
aproveitando-se um muro pré-existente no terreno,
por medida de economia. Para cercar os outros três
lados, serão utilizados 600 metros de tela de arame.
Para que a área do curral seja a maior possível, a
razão entre as suas menor e maior dimensões será:
a) 0,25
b) 0,50
c) 0,75
d) 1,00
e) 1,25
19. (EsPCEX) Na criação de um determinado animal
para abate, o criador dispõe de estudos que lhe
informam que o custo da criação evolui no tempo
segundo a relação PC
2 2
t
120
2 2t
200 2 ;
o preço obtido pelo criador ao vender o produto
evolui
no
tempo
segundo
a
relação
PV
2 2
t
120
3 2t
200 2 ;
onde PC e PV
são respectivamente os preços de custo e de venda
da arroba de carne, em reais, e t, o tempo de
engorda, em dias. Nestas condições pode-se afirmar
que o tempo de engorda que fornece maior lucro (PV
PC) é em dias de:
a) 20 .
b) 30 .
c) 90
d) 60
e) 50
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20. (UNB-CESPE) Em um terreno, que tem a forma de
um triângulo retângulo com catetos medindo 30 m e
40 m, deseja-se construir uma casa retangular de
dimensões x e y, como indicado na figura que segue.
Nessas condições, para que a área ocupada pela
casa seja a maior possível, o valor de seu semiperímetro, em metros, deverá ser igual a
Matemática
26. (CESPE-BB) Considerando que, em uma função da
2
forma f(x) = Ax + Bx + C, em que A, B, e C são
constantes bem determinadas, a equação f(x) = 0
determina a quantidade de elementos do grupo de
amigos , então é correto afirmar que, para essa função,
o ponto de mínimo é atingido quando x=
3
.
2
27. (CESPE-BB) A quantidade de elementos do grupo
de amigos que fizeram juz ao prêmio é superior a 11.
28. (CESPE-BB) Cada um dos elementos do grupo de
amigos
que
efetivamente
pagou
a
parcela
correspondente ao jogo recebeu uma quantia superior a
R$ 250.000,00.
2
29. (UFRJ-NCE) As raízes da equação x + mx + n = 0
são 5 e 1. A soma dos valores das constantes m e n
é igual a:
a) 9;
b) 5;
c) 0;
d) 1;
e) 5.
a) 30
b ) 35
c) 40
d) 45
e) 50
A demanda D por um produto que custa p reais é definida
como a quantidade do produto que será vendida quando
se praticar o preço p. A oferta O de um produto ao preço
de p reais é a quantidade do produto que o produtor está
disposto e apto a vender pelo preço p. O preço de
equilíbrio de mercado ocorre quando a demanda e a
oferta coincidem, e a quantidade vendida é chamada
quantidade de equilíbrio. Com base nesses conceitos,
considerando que a demanda por um produto seja dada
2
pela função D(p) = 49 p e que a oferta desse produto
seja dada pela função O(p) = 11p 11, julgue os itens
seguintes.
21. (CESPE-B AM) Existem valores de p para os quais
há mais demanda que oferta.
22. (CESPE-B AM) O preço de equilíbrio ocorre para
algum valor de p tal que 3 < p < 6.
23. (CESPE-B AM) Para os valores de p maiores que o
preço de equilíbrio, existe menos oferta que demanda.
24. (CESPE-B AM) A quantidade de equilíbrio é inferior a
30 unidades.
Um grupo de amigos fez, em conjunto, um jogo em
determinada loteria, tendo sido premiado com a
importância de R$ 2.800.000,00 que deveria ser dividida
igualmente entre todos eles. No momento da partilha,
constatou-se que 3 deles não haviam pago a parcela
correspondente ao jogo, e, dessa forma, não faziam juz
ao quinhão do prêmio. Com a retirada dos 3 amigos que
não pagaram o jogo, coube a cada um dos restantes
mais R$ 120.000,00. Considerando a situação hipotética
apresentada, julgue os itens que se seguem.
GABARITO
FUNÇÃO DO
GRAU
01 B
02 B
03 A
04 E
05 125 000
06 A
07 a = 6
b = 0.
08 A
09 D
10 4 e 16
11 220
12 a) mínimo
b)0 e 40
c) 50
13 C
14 A
15 E
16 C
17 C
18 B
19 B
20 B
21 Correta
22 Correta
23 Errada
24 Errada
25 Errada
26 Correta
27 Errada
28 Correta
29 A
2º
25. (CESPE-BB) Se x é a quantidade de elementos do
grupo de amigos , então
2 800 000
x-3
Atualizada 26/06/2008
2 800 000
120 000
x
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Matemática
06. Resolva em IR a inequação, x
2
5x + 4
0.
07. Resolva em IR a inequação, x
2
4x + 4
0.
08. Resolva em IR a inequação, x
2
4x + 4
0.
Resolver em R, uma inequação do 1º grau, é determinar
o conjunto de todos os valores da variável x para os
quais a desigualdade fique satisfeita.
09. Resolva em IR a inequação, x
2
4x + 4
0.
INEQUAÇÕES DO 2º GRAU
10. Resolva em IR a inequação, -x + 3x - 4
0.
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU
DEFINIÇÃO
Chama-se inequação
aberta do tipo:
ax + b
ax + b
ax + b
ax + b
, onde a
do 1º grau a toda sentença
0
0
0
0
R* e b R.
2
DEFINIÇÃO
Chama-se inequação do 2º grau a toda sentença aberta
do tipo:
2
ax + bx + c
2
ax + bx + c
2
ax + bx + c
2
ax + bx + c
0
0
0
0
com a R*, b R e c R;
Resolver, em R, uma inequação do 2º grau, é determinar
o conjunto de todos os valores da variável x para os
quais a desigualdade fique satisfeita.
EXISTÊNCIA DE UMA FUNÇÃO
Seja y = f(x) uma função de variável x, para as funções
que seguem devemos impor a condição de existência:
1
y
2
y
3
y
1
f( x )
f( x )
P AR
f( x )
1
PAR
0
f( x )
f( x )
0
0
TESTES
10
4.
02. Resolva em IR a inequação, 3x + 5
2.
14. (UFRJ-NCE) Dois números naturais x e y são tais
que 4 < x + y < 10 e 0 < x y < 3. Assinale a opção
que NÃO apresenta valores possíveis para x e y,
respectivamente:
a) 3 e 2;
b) 5 e 4;
c) 4 e 3;
d) 5 e 3;
e) 6 e 3.
03. Resolva em IR a inequação, -x-2 -2 + x.
04. Resolva em IR a inequação, x
05. Resolva em IR a inequação, x
50
Atualizada 26/06/2008
2
12. (FCC-TRE) O conjunto solução da inequação
2
x
6x 8 0 , no universo N dos números
naturais, é
a) { 0 }
b) { 2 }
c)){ 3 }
d) { 7/2 }
e) { 4 }
13. (CESGRANRIO-BNDES) O número de soluções
inteiras do sistema de inequações
x < 4x+3
2x > x +1 é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) infinito
f( x )
01. Resolva em IR a inequação, 2x
11. (FCC) Perguntaram a José quantos anos tinha
sua filha e ele respondeu: "A idade dela é
numericamente igual à maior das solução inteira da
inequação 2x2 31x 90 0."
É correto afirmar que a idade da filha de José é um
número
a) quadrado perfeito.
b) primo.
c) menor que 10.
d) divisível por 4.
e) múltiplo de 6.
3 3-x.
5x + 4
0.
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GABARITO
INEQUAÇÕES
01 x < 7
x 1
02
03
x
0
04
x
3
05
06
x<1 ou x>4
07
08
09
10
11
12
13
14
Reais
Reais
Vazio
Vazio
B
C
E
E
1 x
TERMO
GERAL
ARITMÉTICA (PA)
UMA
PROGRESSÃO
a 2 = a 1 + 1r
a 3 = a 1 + 2r
a 4 = a 1 + 3r
a 5 = a 1 + 4r
a 6 = a 1 + 5r
e assim sucessivamente
{2}
Generalizando para termo de ordem n (n = ao número
de termos da progressão), temos a fórmula geral:
a n = a 1 + ( n-1 )r
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
Uma seqüência (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an) de números
reais, com a1=primeiro termo, a2=segundo termo,
a3=terceiro termo, assim sucessivamente até o último
termo an, é uma progressão aritmética (PA), se a
diferença entre um termo qualquer a partir do segundo,
pelo seu antecessor imediato, produzir um resultado
(resto) constante real, denominado razão ( r ) da
progressão.
= a2
= a3
= a4
.
.
.
= an
- a1
- a2
- a3
.
.
.
- a n-1
-
a1
a2
a3
a4
= 4 2=2
= 6 4=2
= 8 6=2
= 10 8 = 2
A constante 2, obtida pela diferença, conforme mostra
quadro, define a seqüência como uma progressão
aritmética (PA) de razão.
Resolução:
a n = a 1 + ( n-1 )r
a 10 = a 1 + (10 - 1)r
a 10 = 10 + 9(-4)
a 10 = 10 - 36
a 10 = -26
r=a2-a1=6-10 = -4
( x-r, x , x+r )
SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO
ARITMÉTICA
Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progressão
aritmética e Sn a soma desses termos, Sn= a1+ a2+ a3+
a4+a5+ ... +an .
Segue a fórmula para o somatório de qualquer
progressão aritmética.
(a + an )
Sn = 1
n
2
FÓRMULA GERAL DA RAZÃO ( r )
r = a n+1 - a n
01. Na seqüência (10, 6, 2, ...), calcular o décimo
termos.
Forma simplificada para a representação de uma
progressão aritmética com três termos em duas
variáveis.
01. Verificar se a seqüência (2, 4, 6, 8, 10) é uma
progressão aritmética (PA) de razão 2.
Resolução
a2
a3
a4
a5
Por exemplo:
PROGRESSÃO ARITMÉTICA COM TRÊS TERMOS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
=
=
=
=
Podemos ter um termo de ordem n relacionado com
qualquer outro termo antecessor de ordem k. Neste
caso a fórmula do termo geral abrangente, é:
a n = a k + ( n-k )r
DEFINIÇÃO:
r
r
r
r
DE
A definição de progressão aritmética (PA), sugere que:
4
r
r
r
.
.
.
r
Matemática
n é igual ao número
de termos somados.
an é o último termo.
Para todo o n pertencente
aos naturais positivos
CLASSIFICAÇÃO
DE
UMA
PROGRESSÃO
ARITMÉTICA
Seja r a razão de uma progressão aritmética (PA), temos
que:
1 PA estritamente crescente
r>0
2 PA estritamente decrescente r < 0
3 PA constante
r=0
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Matemática
06. Determine o sexto termo de uma seqüência em
que a1=2 e a10=47.
01. Calcular a soma dos 20 primeiros termos de
progressão aritmética (2, 5, 8, ...).
Resolução:
I) Dados para cálculo da soma: a1=2, n=20 e a20 não foi
fornecido, deverá ser calculado, veja item II.
II) Pela fórmula do termo geral,
a n = a 1 + ( n-1 )r
a 20 = a 1 + ( 20-1 )r
a 20 = 2 + 19x3
a 20 = 2 + 57
a 20 = 59
r=a2-a1=5-2=3
07.(UFRJ-NCE) Uma prova de 50 questões objetivas
foi elaborada de tal modo que o nível de dificuldade
é crescente; assim, cada questão vale 2 pontos a
mais que a questão anterior. Se o valor da primeira
questão é 1, o número máximo de pontos que se
pode obter nessa prova é:
a) 1 300;
b) 1 325;
c) 2 475;
d) 2 500;
e) 2 525.
08. Quantos números pares existem entre 43 e 535?
II) A soma dos 20 primeiros termos, S20.
09. Calcule a soma dos 20 primeiros termos
múltiplos de 3 positivos.
(a1 + an )
n
2
(2 + 59)
=
× 20
2
= 61×10
Sn =
S20
S20
S20 = 610
TESTES
01. Complete as seqüências a seguir, mantendo a
formação lógica.
a) ( 2, 4, 6, 8, a5, a6, a7, a8 )
10.(Unifor-CE) Em um restaurante, os preços de três
pratos estão em progressão aritmética de razão R$
12,00. Se o primeiro e o segundo prato custam
juntos R$ 42,00, então o segundo e terceiro prato
custam juntos:
a) R$ 54,00
b) R$ 60,00
c) R$ 66,00
d) R$ 68,00
e) R$ 70,00
11. Determinar x tal que 2x-3, 2x+1, 3x+1, sejam
três termos de uma progressão aritmética.
b) ( 35, 30, 25, 20, a5, a6, a7, a8 )
c) ( 8, 8, 8, 8, a5, a6, a7, a8 )
12. A seqüência: 3y; y+1; 5 é uma progressão
aritmética. Determine a razão.
02. Determine os seis primeiros termos da seqüência
definidos pela lei de formação an = 1+ 2n, com n
pertencente aos números naturais diferentes de zero.
03. Determine o 20º termo da seqüência (26, 31, 36,
41,...).
04. (CESGRANRIO) Quantos números múltiplos de 7
ou de 11 há entre 1 e 1000?
a) 90
b) 142
c) 220
d) 229
e) 232
05.(NC.UFPR) Em uma progressão aritmética, o 11º
termo excede o 2º em 27. Sabendo-se que o 5º termo
é 14, então o 12º é:
a) 33
b) 34
c) 35
d) 36
e) 37
52
Atualizada 26/06/2008
13. Sabendo que a seqüência (1-3x, x-2, 2x+1,...) é
uma PA, então o 10º termo da PA (5-3x, x+7,...), é:
14. Em uma progressão aritmética em que a4=12 e
a9=27. Calcular a5.
15. Numa progressão aritmética com 51 termos, o
o
26 é 2. A soma dos termos dessa progressão é:
a) 13
d) 104
b) 52
e) 112
c) 102
16. A respeito das sucessões A e B, podemos
afirmar que:
A
-8, -6, -4, ....
B
17, 14, 11 ....
a) elas não tem termos iguais.
b) o 10º termo de A e de B são iguais.
c) elas tem cinco termos iguais.
d) o 6º termo de A e de B são iguais.
e) elas tem sete termos iguais.
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17.(UFRJ-NCE)
Seja f uma função definida no
conjunto dos números naturais tal que f(n+2)=f(n)+3,
para todo n N (N=naturais) . Sabendo-se que f(0)=10
e f(1)=5, os valores de f(20) e f(41), são
respectivamente:
a) 40 e 65;
b) 21 e 65;
c) 40 e 62;
d) 21 e 42;
e) 65 e 40.
18. O termo geral de uma progressão aritmética é
dado por an= 3n+7 , n natural positivo. Calcule o valor
de a1 e r.
19. Num programa de condicionamento físico uma
pessoa começa correndo 300 metros num dia, 400
metros no dia seguinte, 500 metros no próximo dia e
assim sucessivamente até chegar aos dois
quilômetros por dia. A partir de que dia ela estará
correndo dois quilômentros por dia?
20. Determine o sexto termo de uma seqüência em
que a1 = 2 e a10 = 47.
21.(UFPR) Os anos bissextos ocorrem de 4 em 4
anos, em geral, mas a sua caracterização exata é a
seguinte: são anos bissextos aqueles que são
divisíveis por 4, mas não por 100; a exceção a essa
regra são os anos divisíveis por 400, que também são
bissextos. Assim, o número de anos bissextos entre
1895 e 2102 é:
a) 50
b) 47
c) 48
d) 49
e) 51
22. (FCC) Assinale a opção que apresenta
corretamente o oitavo termo de uma PA onde a 5 = 6 e
a 17 = 30.
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
Matemática
24. (EsPCEX) Numa modalidade de corrida, ganha a
equipe que percorre uma determinada distância em
menor tempo, revezando seus atletas a cada 800
metros. A equipe Verde utilizou a tática de organizar
seus atletas na ordem crescente de suas
velocidades. Sabe-se que o atleta menos veloz
dessa equipe gastou 5 minutos no revezamento e
que a diferença de tempo entre dois atletas
consecutivos foi sempre de 30 segundos. Sabendo
que a equipe Verde realizou a prova em 26 minutos,
a distância total percorrida foi de
a) 4000 metros.
b) 4160 metros.
c) 6400 metros.
d) 10400 metros.
e) 20800 metros.
25. Numa progressão aritmética com 51 termos, o
o
26 é 2. A soma dos termos dessa progressão é:
a) 13
b) 104
c) 52
d) 112
e) 102
26.(FAE-PR) Um maratonista inicia um treinamento
para uma prova de 50 km, 40 semanas antes de sua
realização. Na primeira semana de treinamento ele
percorre 30 km. Na segunda semana ele percorre ½
km a mais que na semana anterior e assim
sucessivamente. O maratonista:
a) percorrerá 50 km no treino da 37ª semana;
b) percorrerá 50 km no treino da 38ª semana;
c) percorrerá 50 km no treino da 39ª semana;
d) percorrerá 50 km no treino da 40ª semana;
e) percorrerá 50 km no treino da semana da maratona.
27.(FAE-PR) Em um plano especial de consórcio,
uma pessoa pagará 50 prestações, cujos valores
estão em progressão aritmética totalizando R$
11.125,00. Concluída a metade do prazo do plano, o
total pago é de R$ 4.000,00. Com base nessas
informações, qual o valor da primeira prestação?
a) R$ 97,50
b) R$ 100,00
c) R$ 115,00
d) R$ 160,00
e) R$ 222,50
28. (UFSM-RS) Tisiu ficou sem parceiro para jogar
bolita (bola de gude); então pegou sua coleção de
bolitas e formou uma seqüência de T (a inicial de
seu nome), conforme a figura
23. (AFA) Se a soma dos n primeiros termos de uma
progressão aritmética (PA) é dada pela fórmula
Sn
3n
2
n
, então a soma do quarto com o sexto
2
termo dessa PA é
a) 25
b) 28
c) 31
d) 34
Atualizada 26/06/2008
Supondo que o guri conseguiu formar 10 T
completos pode-se, seguindo o mesmo padrão,
afirmar que ele possuía
a) mais de 300 bolitas.
b) pelo menos 230 bolitas.
c) menos de 220 bolitas.
d) exatamente 300 bolitas.
e) exatamente 41 bolitas.
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Matemática
29. Um auditório possui 12 poltronas na primeira fila,
14 na segunda e 16 na terceira. As demais fileiras se
compõem na mesma seqüência. O número de fileiras
necessárias para que o auditório tenha um total de
620 poltronas, é:
a) 20
b) 21
c) 15
d) 19
35.(UTFPR) A progressão aritmética
(x, x + 2, x + 4, x + 6,...) tem a soma de seus 20
termos igual a 2780. Então, o valor de seu oitavo
termo é:
a) 124
b) 126
c) 134
d) 136
e) 240
30. (FCC) Na seqüência de quadriculados abaixo, as
células pretas foram colocadas obedecendo a um
determinado padrão.
36.(PUC-SP) Colocando 120 objetos em linha de
modo que na primeira linha haja um objeto e daí até
a última linha um objeto a mais por linha, teremos
um número total de linhas igual a:
a) 11
b) 13
c) 15
d) 16
e) 19
Mantendo esse padrão, o número de células brancas
na Figura V será :
a) 101
b) 99
c) 97
d) 83
e) 81
37. (UFRJ-NCE) Uma PA crescente de 20 termos tem
razão 3. A diferença entre o último e o terceiro termo
é igual a:
a) 17
b) 19
c) 36
d) 51
e) 54
31. (BACEN) A 11ª figura da seqüência abaixo terá:
a) 10 quadradinhos pretos.
b) 10 quadradinhos brancos.
c) 22 quadradinhos pretos.
d) 86 quadradinhos brancos.
e) 110 quadradinhos brancos.
32.(PUC-SP) Um pêndulo, oscilando, percorre
sucessivamente 18 cm, 15 cm, 12 cm, .... A soma dos
percursos até o repouso é em cm:
a) 45
b) 63
c) 90
d) 126
e) 150
6
9
Considerando a P.A. de razão
, cujo 1º termo é
,
5
5
pode-se afirmar que:
33. a soma dos vinte e sete primeiros termos da
progressão aritmética não é um número inteiro.
34. (CESGRANIO-BNDES) Quantos são os números
inteiros, compreendidos entre 100 e 200, que são
múltiplos de 3 e, simultaneamente, não são múltiplos
de 5?
a) 13
b) 16
c) 21
d) 26
e) 27
54
Atualizada 26/06/2008
38. (CESGRANRIO) Quantos são os números
inteiros, compreendidos entre 100 e 200, que são
múltiplos de 3 e, simultaneamente, não são
múltiplos de 5?
a) 13
b) 16
c) 21
d) 26
e) 27
39. (CESGRANRIO) Em uma fila, a vigésima primeira
pessoa ocupa o lugar central. Quantas pessoas há
nessa fila?
a) 44
b) 43
c) 42
d) 41
e) 40
40. Durante uma feira agropecuária foi realizada
uma campanha para arrecadar alimentos para
famílias pobres. No primeiro dia foi arrecadado x Kg
de alimentos, no segundo dia o dobro de Kg do que
foi arrecadado no primeiro dia; no terceiro dia o
triplo de Kg do que foi arrecadado no primeiro dia; e
assim sucessivamente. Ao final de 20 dias foi
arrecadado um total de 73 500 Kg. A quantidade de
Kg arrecada no primeiro dia foi de:
a) 150 Kg
b) 200 Kg
c) 250 Kg
d) 300 Kg
e) 350 Kg
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41. (CESGRANRIO) Leonardo queria jogar bolinhas
de gude mas, como não tinha com quem brincar,
pegou suas 65 bolinhas e resolveu fazer várias letras
L de tamanhos diferentes, seguindo o padrão
apresentado abaixo.
GABARITO
PROGRESSÃO
ARITMÉTICA
01
Leonardo fez o maior número possível de L e,
assim, sobraram n bolinhas. O valor de n foi igual a:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
42. (CESGRANRIO)
a1
a2
an
2
3
Qual é o 70º
an 1 an 2
termo da seqüência de números (an) definida acima?
a) 2
b) 1
c) 1
d) 2
e) 3
Atualizada 26/06/2008
Matemática
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
a) 10, 12, 14, 16
b) 15, 10, 5, 0
c) 8, 8, 8, 8
(3,5,7,11,13)
121
C
C
27
D
246
630
C
4
7
89
15
C
D
A
10 e 3
18
27
A
B
B
C
E
E
B
B
A
A
E
B
Correta
D
C
C
D
D
D
E
A
D
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PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)
DEFINIÇÃO:
Uma seqüência (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an) de números
reais, com a1=primeiro termo, a2=segundo termo,
a3=terceiro termo, assim sucessivamente até o último
termo an, é uma progressão geométrica (PG), se a
divisão entre um termo qualquer a partir do segundo, pelo
seu antecessor imediato, produzir um resultado
(quociente) constante real, denominado razão ( q ) da
progressão geométrica.
q=
UMA
PROGRESSÃO
1
a 2 = a 1x q
2
a 3= a 1 x q
3
a4 = a1xq
4
a5 = a1xq
5
a6 = a1xq
e assim sucessivamente
n-1
Podemos ter um termo de ordem n relacionado com
qualquer outro termo antecessor de ordem k. Neste
caso a fórmula do termo geral abrangente, é:
a4
a3
an = akx q
n-k
EXERCÍCIO RESOLVIDO
a
q= n
an-1
01. Na seqüência (3, 6, 12, ...), calcular o décimo
termos.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Resolução:
01. Verificar se a seqüência (2, 4, 8, 16, 32) é uma
progressão geométrica (PG).
Resolução
n-1
an = a1xq
10-1
a 10 = a 1 x(q)
9
a 10 = 3 x (2)
a 10 = 3 x 512
a 10 = 1536
r=a2/a1=6/ 3= 2
q=
a2
a1
4
2
2
q=
a4
a3
16
8
2
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA COM TRÊS TERMOS
q=
a3
a2
8
4
2
q=
a5
a4
32
16
2
Forma simplificada para a representação de uma
progressão geométrica com três termos em duas
variáveis.
A constante 2 obtida pela divisão, conforme mostra
quadro, define a seqüência como uma progressão
geométrica (PG) de razão 2.
an
an-1
Para todo o n pertencente
aos naturais positivos
CLASSIFICAÇÃO
GEOMÉTRICA
DE
(
x
, x , x q )
q
SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA FINITA
FÓRMULA GERAL DA RAZÃO ( q )
UMA
Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progressão
geométrica e Sn a soma desses termos, Sn= a1+ a2+ a3+
a4+a5+ ... +an .
Segue a fórmula para o somatório de qualquer
progressão geométrica finita.
PROGRESSÃO
n
Seja q a razão de uma progressão geométrica (PG),
temos que:
1 PG estritamente
crescente
2 PG estritamente
decrescente
3 PG constante
4 PG alternante
56
DE
A definição de progressão geométrica (PG), sugere que:
an = a1x q
.
.
.
q=
TERMO
GERAL
GEOMÉTRICA (PG)
Generalizando para termo de ordem n (n = ao número
de termos da progressão), temos a fórmula geral:
a2
a1
a
q= 3
a2
q=
Matemática
a1 > 0
a1 < 0
a1 > 0
a1 < 0
q=1
a1
0
Atualizada 26/06/2008
e
e
e
e
Sn =
a1 (q - 1)
q-1
n é igual ao número
de termos somados.
an é o último termo.
q > 1 ou
0<q<1
0 < q < 1 ou
q>1
e q<0
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EXERCÍCIO RESOLVIDO
II) A soma dos infinitos (
01. Calcular a soma dos 10 primeiros termos de
progressão geométrica ( 1, 2, 4, ...).
Resolução:
I) Dados para cálculo da soma: a1=1, n=10 e a10 não foi
fornecido, deverá ser calculado, veja item II.
II) Pela fórmula do termo geral,
n-1
an = a1xq
10-1
a 10 = a 1 x q
9
a 10 = 1 x (2)
a 10 = 1 x 512
a 10 = 512
Matemática
r=a2/a1=2-1=2
S =
) termos, S
, é:
a1
1- q
1
1
12
1
S =
1
2
S =2
S =
TESTES
II) A soma dos 10 primeiros termos, S20.
01. Complete as seqüências a seguir, mantendo a
formação lógica.
n
Sn =
a1 (q - 1)
q-1
a) ( 2, 4, 8, 16, a5, a6, a7, a8 )
b) ( 729, 243, 81, 27, a5, a6, a7, a8 )
1× (210 - 1)
2 -1
1× (1024 - 1)
Sn =
2 -1
1023
Sn =
1
Sn = 1023
Sn =
SOMA DOS TERMOS
GEOMÉTRICA INFINITA
c) ( 3, 3, 3, 3, a5, a6, a7, a8 )
d) ( 2, -4, 8, -16, a5, a6, a7, a8 )
02. Determinar o décimo quarto termo da PG de
razão 2 e décimo primeiro termo 2048.
DE
UMA
PROGRESSÃO
Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progressão
geométrica de razão 1<q<1e Sn a soma desses termos,
Sn= a1+ a2+ a3+ a4+a5+ ...
, temos uma forma
simplificada para o somatório de qualquer seqüência
infinita em PG, dada pela fórmula:
S =
= símbolo que
representa o infinito
a1
1- q
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Calcular a soma dos termos da progressão
geométrica ( 1, 1/2, 1/4, ...).
Resolução:
I) Dados para cálculo da soma: a1=1, n=
e a razão não
foi fornecida, deverá ser calculado, veja item II.
II) Pela fórmula do termo geral,
q=
1
2
1
1
x1
2
1
2
03. Obter a razão de uma PG em que, a2+a4+a6=10 e
a3+a5+a7=30.
04. (BB) Numa PG, o quarto termo é 20% do terceiro
termo. Sabendo-se que a1 = 2.000, o valor de a5 é:
a) 20/3
b) 18/7
c) 16/5
d) 14/5
e) 12/7
05. A seqüência ( 4x, 2x+1, x-1,...) é uma PG, calcule
o valor de x.
06.(EPCAR) Se a soma dos n primeiros termos de
2
uma seqüência infinita é 4n + 6n, então a seqüência
é uma
a) seqüência limitada.
b) progressão aritmética.
c) progressão geométrica de razão 8.
d) progressão geométrica decrescente.
07. A seqüência (x, 3, 7) é uma PA, e a seqüência
( x-1, 6, y) é uma PG. Quais são os valores de x e y?
08. Calcule a soma dos 7 primeiros termos da PG
(4, -12, 36,...).
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09. Determine o número que deve ser somado a 2, 4
e 7, a fim de obtermos uma PG?
10. Calcule o número de termos da seqüência (2, 6,
18,...,4374)?
11. Recreações matemáticas já apareciam no papiro
de Ahmes (1650 a.C.). Aos fragmentos do problema
79 deste papiro associa-se a posterior versão da
poesia infantil:
to
Quando ia a S Ives,
encontrei um homem com sete mulheres,
cada mulher tinha sete sacos,
cada saco tinha sete gatos,
cada gato tinha sete gatinhos.
to
Gatinhos, gatos, sacos e mulheres, quantos iam a S
Ives?
(Do livro História da matemática Carl Boyer)
A resposta correta a esta questão é:
4
3
2
3
2
4
3
2
4
3
2
4
3
2
a) 7 + 7 + 7 +7+1
b) 7 + 7 +7+1
c) ( 7 + 7 + 7 )7
d) ( 7 + 7 + 7 +7)7
e) 7 + 7 + 7 +7
12.(UFPR) Três pessoas se reuniram no dia 1º de
janeiro de 2004 para iniciar uma ação de voluntariado
junto a organizações de proteção ao meio ambiente.
Em fevereiro, cada uma daquelas pessoas tinha
conseguido a adesão de um novo voluntário.
Observaram que tinham começado a aplicar uma boa
estratégia para aumentar o grupo de voluntários e
decidiram o seguinte: a cada mês, cada voluntário
traria um novo voluntário para participar do grupo e,
sempre que alguém desistisse, seria substituído.
Assim, o total de voluntários no mês de janeiro de
2005, já incluídos os novos participantes do mês,
será de:
12
12
11
a) 3x2
b) 3+2
c) 3x2
12
11
d) 2
e) 3
13. Uma indústria produziu 74.400 unidades de certo
produto num período de 5 anos. Supondo que a
produção tenha dobrado a cada ano, o número de
unidades produzidas nos dois primeiros anos, foi de:
a) 7400
b) 7200
c) 4800
d) 3600
14.O financiamento de um carro foi feito nos
seguintes moldes. Sem entrada e a
primeira
mensalidade de R$ 1,00, no segundo mês R$ 2,00, no
terceiro mês R$ 4,00, e assim por diante até um total
de 12 prestações. Qual é o custo final do carro.
15. Calcular a soma dos 8 primeiros termos da
seqüência (1, 3, 9,...).
58
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Matemática
16.(FAE-PR) Diz a lenda que um jovem hindu
ofereceu ao seu rei um jogo que inventou para ser
praticado sobre um tabuleiro: o xadrez. O jovem
pediu sua recompensa em grãos de trigo, na
seguinte seqüência: 1 grão de trigo para a primeira
casa do tabuleiro, 2 pela segunda casa, 4 pela
terceira casa, 8 pela quarta casa e assim
sucessivamente, até a sexagésima quarta e última
casa do tabuleiro. O rei riu julgando ser
insignificante o pedido, mas não pôde atendê-lo
quando soube da enorme quantidade de grãos
calculada por seus assessores! Supondo que se
leve 1 s para contar 3 grãos de trigo, qual o tempo
necessário para contar os grãos das dez primeiras
casas do tabuleiro?
a) 17,2 s
b) cerca de 34 s
c) 5 min 41 s
d) 2 min 52 s
e) 17 min 3 s
17. (FCC) Numa PG, o quarto termo é 20% do
terceiro termo. Sabendo-se que a1 = 2.000, o valor de
a5 é:
a) 20/3
b) 18/7
c) 16/5
d) 14/5
e) 12/7
x 4
18. (FCC) A seqüência (x, x
4,
, ...) é uma
3
progressão geométrica decrescente.
O quarto
termo dessa progressão é:
a)2/3
b)4/9
c)1/3
d)2/9
e)1/9
19. Calcule a soma
S
3
3
2
3 3
...
4 8
20.(EPCAR) Se a soma dos n primeiros termos de
2
uma seqüência infinita é 4n + 6n, então a seqüência
é uma
a) seqüência limitada.
b) progressão aritmética.
c) progressão geométrica de razão 8.
d) progressão geométrica decrescente.
21.(EPCAR)
O
valor
9x
3x
x
27
5
5
5
4
de
x
na
é igual a
3
5
5
b)
2
4
c)
3
45
d)
8
a)
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equação
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22. (EsPCEX) Numa progressão geométrica (PG)
crescente de 5 termos, o primeiro e o último
correspondem, respectivamente, às raízes da
2
equação x - 51x + 144 = 0. O valor da soma do
segundo, terceiro e quarto termos dessa PG é
a)12
b)24
c)28
d)36
e)42
23.(ACAFE-SC) O vazamento em um tanque de água
provocou a perda de 2 litros de água no primeiro dia.
Como o orifício responsável pela perda ia
aumentando, no dia seguinte o vazamento foi o dobro
do dia anterior. Se essa perda foi dobrando a cada
dia, o número total de litros de água perdidos, até o
0
10 dia, foi de:
a) 2046
b) 1024
c) 1023
d) 2048
e) 512
24.(UF-MG) Os números 3, a e b são, nessa ordem,
termos consecutivos de uma progressão aritmética
cuja razão é positiva. Por sua vez, os números reais
a, b e 8 são, nessa ordem termos de uma progressão
geométrica. Determinando a e b, obtemos
respectivamente:
a) 9/2 e 6
b) 9 e 3
c) 3 e 9
d) 6 e 9
e) 9/2 e 3
25. (FCC-TRF) Na figura abaixo, tem-se uma
sucessão de figuras que representam números
inteiros chamados "números triangulares", em
virtude de sua representação geométrica.
etc
(1)
(3)
(6)
(10)
(15)
Nessas condições, se an é o termo geral dessa
seqüência de números triangulares, a soma a30 a31
é igual a
a) 784
b) 841
c) 900
d) 961
e) 1 024
26. (FCC-TRF) Para todo número inteiro e positivo
n, an
( 1)n
2n 4 é o termo geral de uma
progressão
a) geométrica de razão 1 .
2
b) geométrica de razão 2.
c) geométrica de razão 1 .
2
d) aritmética de razão 2.
e) aritmética de razão 1 .
2
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Matemática
27.(UFPR). Qual é a soma dos termos da progressão
2 2
2
geométrica ilimitada (2, , ,
, ...)?
3 9 27
a) 5
b) 4
c) 3
53
d)
27
8
e)
3
28.(UFPR) Somando um mesmo número aos
números 5, 7 e 6 nesta ordem, obtem-se uma P.G. O
número somado é:
a) 16/3
b) -19/3c) 17/3
d) -11/3e) 11/3
29.(UFV-MG) Uma bactéria de determinada espécie
divide-se em cada 2 horas. Depois de 24 horas, qual
será o número total de bactérias.
a) 1024
b) 24
c) 4096
d) 12
e) 16777216
GABARITO
PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA
01 a) 32, 64, 128, 256
b) 9, 3, 1, 1/3
c) 3, 3, 3, 3
d) 32, -64, 128, -256
02 16 384
03 3
04 C
05 -1/8
06 B
07 -1 e -18
08 2 188
09 2
10 8
11 E
12 A
13 B
14 4 095
15 3 280
16 C
17 C
18 D
19 B
20 B
21 B
22 E
23 A
24 A
25 D
26 B
27 C
28 B
29 C
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PROPRIEDADES
Produto de potências de mesma base
O produto de duas ou mais potências de mesma base
é uma potência da mesma base, cujo expoente é a soma
dos expoentes dos fatores.
Para duas bases:
a
m
a
n
a
m
n
Expoente zero
A potência de expoente zero provém da divisão de
potências de mesma base, e expoente de cada base,
iguais entre si.
Pela regra da divisão de mesma base, temos:
n
a
n n
0
a
a
n
a
Para três bases:
a
m
n p
a a
a
m
n
Quando o numerador e o denominador forem iguais, o
quociente é igual a 1.
n
a
1
n
a
Comparando os dois resultados, concluímos que:
0
a
1
p
E, assim por diante
P.ex.:
1) b
2) x
2
b
5
x
4
b
4
3
4
5
4
x
b
7
x
9
Divisão de potências de mesma base
A divisão de duas ou mais potências de mesma base é
uma potência da mesma base, cujo expoente é a
diferença do(s) expoente(s) numerador(es) pelo(s)
expoente(s) do(s) denominador(es)..
Para uma base no numerador e uma no denominador:
am
a
an
m
Para duas bases no numerador e uma no denominador:
a
m
n
p
Para uma base no numerador e duas no denominador:
am
am
ap an
ap n
m
(n
P.ex.:
1)
(ab)3
(ab)
(ab)3
de zero.
n
a m an
ap
.
Restrição em potência
0
0 = é uma indeterminação (seu valor não fica
definido)
n
0
1 , para ab diferente
Aplicando a regra da divisão de potência de mesma
base, temos
a
m
(ab)
Expoente negativo
A potência de expoente negativo provém da divisão de
potências de mesma base, quando o expoente do
numerador for menor que o expoente do denominador.
=
p)
3 3
p
a
p
an a
p
=a
a
Aplicadas a outras formações possíveis
= a
p
a
n
p
a
n p
p
a
p (n p)
a0
0 n
an
P.ex.:
1)
x5
x4
x
5
4
x
1
Como
2)
x5
x5
x 4 x3
3)
a
a5 a3
a4
x4
x
3
a5
a4
5
3
a
(4 3)
5
3
= x
4
5 - 7
== a
x
8 - 4
0 n
0 n
a0
an
1
2
a
x2
a
a
4
a
n
=
e
a
0
1 , substituindo em
, obtemos a igualdade:
-n
1
an
P.ex.:
1)
60
Atualizada 26/06/2008
(ab)3
(ab)7
(ab)
3 7
(ab)
4
1
(ab)4
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Potência de uma potência
Toda a potência cujo expoente é um produto de dois ou
mais fatores, pode ser transformada numa potência de
potência, onde os expoentes são os dois ou mais fatores.
Com dois fatores no expoente
m n
m n
a
(a )
Com três fatores no expoente
m n p
mn p
a
((a ) )
E, assim por diante
.
Potência de varias potências
Para elevar um produto de várias potências à uma
potência q, multiplica-se o expoente de cada potência por
q.
Na multiplicação das bases - distributiva
mq nq pq
m n p q
(a
b c )
a
b
c
Na divisão das bases - distributiva
mp
m p
a
a
np
n
b
b
Na divisão e multiplicação das bases - distributiva
q
mq
m
a
a
n p
b c
b
nq
c
Potência n de uma raiz de índice n de uma potência
de expoente p.
n p
a
1)
5
a
4 2
b c
b
3 5
4 5
c
15
a
2 5
n pn
a
pn
a n
a
p
ou também pode ser
n p
a
p
n
n
p
an
an
n
pn
a n
a
p
Raiz de índice n de um produto
Para extrair a raiz n de um produto, extrai-se a raiz n de
cada fator.
n
n n n
a b c
a b
c
ou também
n p q r
a b c
p
p q
3
n
q
=
n p n q n r
a
b
c =
r
= an bn cn
p q
P.ex.:
a
Matemática
b
20
c
p q r
10
p q
a
a
a
p q r
a
QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS
2) (x
2
y
3
4 2
z )
a
22
b
32
c
42
4 6 8
a b c
PROPRIEDADES DAS RADICIAÇÕES
.
Expoente fracionário ( igual a raiz )
Raiz de índice n de uma potência de expoente m
Caso em que o índice n é diferente do expoente m do
radicando.
Para extrair a raiz n de uma potência m, divide-se o
expoente da potência (radicando) pelo índice n da raiz.
m
n
a
m
n
an
a
1
Atualizada 26/06/2008
( a b )2 a 2
b 2 2ab
QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
an
.
Raiz de índice n de uma potência de expoente n
Caso em que o índice n é igual ao expoente n do
radicando.
Para extrair a raiz n de uma potência de expoente n,
divide-se o expoente da potência pelo índice n da raiz.
n n
a
O quadrado da soma de dois termos é igual ao:
- quadrado do primeiro,
- mais o quadrado do segundo e
- MAIS o duplo produto do primeiro pelo segundo.
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao:
- quadrado do primeiro,
- mais o quadrado do segundo e
- MENOS o duplo produto do primeiro pelo segundo.
( a b )2 a 2
b 2 2ab
a
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PRODUTO
( a b ) ( a b ) DA
DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
SOMA
PELA
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual
ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.
Matemática
x
05. Se 2 = 2048, então, x vale :
a) 7
b) 11
c) 13
d) 17
e) 19
2x
(a
a2
b) (a b)
b2
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
x
x
É toda a equação do tipo a 1 = a 2 , em que a base
é um valor real positivo e diferente de 1, x1 e x2 variáveis
reais.
07. Se (7 )
Procedimento para resolver uma equação exponencial
a) 7
b) -9
c) 49
simplifique a base
e iguale os expoentes
x1 = x2
TESTES
x
x-9
x/2
= 16 , então x é igual a:
=
1
1/2
, x valerá:
343
1+x + 1 = 8 , é:
08. A soma das raízes da equação 7
x
7
a)0
b)-1
c)1
d)7
e)8
x
03. O valor de x que satisfaz a equação
3x-1
2x+3
3-x
3
.9
= 27 é:
a) 1
b) 3
c) 5/2
d) 1/3
e) 2/5
2 3
23 e z = 232 , calcule x . y .
04. Sendo x = (2 ) , y = 2
z:
21
a) 2
10
b) 2
23
c) 2
4
d) 2
20
e) 2
62
-x+2
x
x
09. A raiz da equação (7 - 2 10)(7 + 2 10) =9 é um
número:
a) irracional negativo
b) irracional positivo
c) par
d) inteiro negativo
e) inteiro positivo
01. Se 8 = 32, então x é igual a:
a) 5/2
b) 5/3
c) 3/5
d) 2/5
e) 4
02. Se 8
a) 1
b) 3
c) 9
d) 81
e) 27
3
d) 3
e) 1
x
x
a 1= a 2
x
x
a 1 =a 2
1-x
06. ( FCC - BA ) A solução da equação 0,5 = 0,25
é um número x, tal que:
a) 0 < x < 1
b) 1 < x < 2
c) 2 < x < 3
d) x > 3
e) x < 0
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10. Se 3 - 3
a)16
b)15
c)14
d)11
e)6
2-x
3
2
= 2 , então 15 - x vale:
11.(UEPG-PR) A soma das raízes da equação
x x+3
(2 ) = 16 é:
a) -3
b) 4
c) -4
d) 0
e) 3
3+x
x-3
2
-2
12. A expressão
é igual a:
x
x-3
2 +2
x
a) 2
-x
b) 2
-3
c) 2
d) 7
e) 8
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13.(UEL-PR) Para todo x real, a expressão
x
x+1
x+2
x+3
x+4
x+5
3 + 3 +3 +3 +3 +3 é equivalente a:
6 x 15
a) 3
x
b) 5 . 3
x
c) 6 . 3
x
d) 243
x
e) 364 . 3
14.Se x
a)11
b)13
c)15
d)17
e)16
IR e 7
5x
= 243, então 297(7
3x
x
16.(FAE-PR) O montante da aplicação de um capital
de R$ 100,00, por t anos, é dado pela expressão M(t) =
t
100 . (1,5) . Sabendo-se que o montante obtido foi de
R$ 337,50, o tempo durante o qual o capital ficou
aplicado foi de:
a) 9 meses;
b) 12 meses;
c) 18 meses;
d) 24 meses;
e) 36 meses.
O produto das soluções da equação
-x
-x
2 = 5 (1 2 ) é
0
2
1
4
18. (EsPCEX) A soma das raízes da equação
3x
31 x
4 é:
a) 2
b)-2
c) 0
d)-1
e) 1
19. (EsPCEX) O valor da soma das raízes reais da
10
0
1 ,
8x
0,30, o valor de log x é:
16 x
Se
considerando log 2
a) 0,40
b) 0,20
c) 0,10
d) 0,20
e) 0,40
1
então,
22. (UFRJ-NCE) A única das expressões abaixo que
nos fornece um valor correto para a expressão
2
2
(900.000 1.000 ) é:
2
a) 901.000
2
b) (900.000 1.000)
c) 901.000 899.000
2
2
d) 901.000 2000
e) 901.000 2000
GABARITO
EXPONENCIAL
01
B
02
E
03
E
04
C
05
B
06
A
07
D
08
B
09
E
10
D
11
A
12
D
13
E
14
A
15
C
16
E
17
A
18
E
19
A
20
A
21
A
22
C
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Definição
Chama-se logaritmo de um número N>0 numa base a,
com a>0 e a 1 , o expoente x a que se deve elevar a
base a para que a potência obtida seja igual a N.
3x 1
2
equação 10 x 1
21. (FCC-TRF)
) é igual a:
15. Se y = 10 é um número entre 1000 e 100 000,
então x está entre:
a) -1 e 0
b) 2 e 3
c) 3 e 5
d) 5 e 10
e) 10 e 100
17.
x
2
a)
b)
c)
d)
Matemática
é:
a)3
b)1
c)0
d)9
e)2
Simbolicamente
loga N = x
20. (EsPCEX) A soma e o produto das raízes da
equação 9.
3
5
x2 x 9
a) 1 e -12
b) 7 e 12
c) 2 e -8
d) -1 e 12
e) 7 e 10
Atualizada 26/06/2008
243
são, respectivamente:
125
a
x
=N
Condição de existência
N > 0 positivo
a>0ea
1
x qualquer valor real
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Conseqüências da definição
TESTES
1) log a 1 = 0
01.( MACK - SP ) Se log3 1/27 = x, então o valor de x
é:
a)-9
b)-3
c)-1/3
d)1/3
e)3
2) log a a = 1
log a N
3) a
=N
Atenção !
4) log N
1
% existe)
(nao
02. Na base decimal, log 1000, log 10 e log 0,01
valem respectivamente:
a) 2, 1 e -3
b) 1, 0 e -2
c) 3, 1 e -2
d) 4, -2 e -3
e) 3, 0 e -2
% existe)
5) log -a N (nao
% existe)
6) log a (-N) (nao
Propriedades
1) logaM + logaN = logaM × N
2) logaM - logaN = loga
03. Se log ( 2x -5 ) = 0, então x vale:
a)5
b)4
c)3
d)7/3
e)5/2
M
N
p
3) logaN = p × logaN
1
p
4) loga N = × logaN
p
5) a
logaN
N , para N positivo e a positivo e
diferente de 1.
05.(CEFET PR) Se
sistema:
Mudança de base
logaN =
04.( FGV - RJ ) O valor de log9 27 é igual a:
a)2/3
b)3/2
c)2
d)3
e)4
2x =
lognova N
base
2
lognova a
base
I) A nova base deve ser positiva e diferente de um.
II) O N continua sendo logaritmando e, o a passa a ser
logaritmando (deixa de ser base).
são soluções do
então 2a + 2b é igual a:
a) 64.
b) 260.
c) 514.
d) 136.
e) 80.
log 1
3
É toda a equação do tipo log a x1 = loga x 2 , em que a
base é um valor real positivo e diferente de 1, x1 e x2
variáveis reais positivas.
a) -
Procedimento para resolver uma equação exponencial
b)
log a x 1 = loga x 2
c)
simplifique os loga e
iguale os logaritmandos
d)
x1 = x2
e)
Atualizada 26/06/2008
b
06.(UEPG-PR)
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
64
e
log x + log y = 4
2
2
Observe:
log a x1 = loga x2
1
y 10
a
A
3
81 log10 0,001 log10 10 vale:
4
3
4
3
20
3
21
3
19
3
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Matemática
07. ( FEMPAR - PR ) Se 2x - y = 1 e x - 3y = -7,
y
log4 (x +8y) é igual a:
a) 0,5
b) 2,5
c) 2,0
d) 1,5
e) 1,0
16. ( UFPR ) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual
será o valor de log 28 ?
a) 1,146
b) 1,447
c) 1,690
d) 2,107
e) 1,107
08. Seja K a solução da equação log4 ( log2x ) = -1. O
4
valor de k é:
a)1/8
b)1/2
c)1
d)4
e)2
17. Se log 2 = 0,3010 então log 5 é igual a:
a) 0,6990
b) 0,6880
c) 0,6500
d) 0,6770
e) 0,6440
18. Se log2 b - log2 a = 5, então o quociente b/a vale:
a) 10
b) 25
c) 32
d) 64
e)128
09. O número real x, tal que logx ( 9/4 ) = 1/2 é:
a) 81/16
b) -3/2
c) 1/2
d) 3/2
e) -81/16
19. Sendo loga2 = 0,69 e loga 3 = 1,10, o valor de loga
10. Seja loga 8 = - 3/4, a > 0. O valor da base a é:
a)1/16
b)1/8
c)2
d)10
e)16
é:
a) 0,62
b) 0,31
c) -0,48
d) 0,15
e) 0,14
11. O logaritmo de 7 5 na base 1/625 é igual a:
a) 7
b) 5
c)1/7
d)-1/28
e) 8
2
20. O valor de log ( 217,2) - log ( 21,72 ) é:
5
2
12. Se x + y = 20 e x - y = 5 então log ( x - y ) é igual
a:
a) 100
b) 2
c) 25
d) 12,5
e) 15
13. A solução da equação log2 0,5 + log2x - log2
está contida no intervalo :
a) [ 10, 12 ]
b) [ 5, 7 ]
c) [ 2, 4 ]
d) [ 0, 1 ]
e) [ 8, 9 ]
2=2
14. Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, então log 60
vale:
a) 1,77
b) 1,41
c) 1,041
d) 2,141
e) 0,141
15. Considerando que log 2 = 0,3010300, log 125 é:
a) 376,29000
b) 188,15000
c) 1,9030900
d) 2,9818000
e) 2,0969100
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21. Dado log 4 = 0, 602 , o valor de log 32 é:
a) 15,050
b) 13,725
c) 11,050
d) 9,675
e) 7,525
22.Se log 5 = 0,70 o valor de log 250 é:
a) 2,40
b) 2,70
c) 2,80
d) 3,40
e) 3,80
23. Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o valor de log23 é:
a) 1,6
b) 0,8
c) 0,625
d) 0,5
e) 0,275
24. ( ESAL) O valor de x tal que log 64 8 = x é:
a)2
b)3
c)2/3
d)1/2
e)3/2
25. ( CONSART - SP ) A solução da equação
log8x + log8 (3x-2) = 1 é dada por:
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26. O conjunto verdade da equação
2. log x = log 4 +log ( x + 3 ) é:
27. (FCC) Dado log 3 = 0,477, podemos afirmar que o
log 9.000 é:
a) 3,459
b) 3,594
c) 3,954
d) 5,493
e) 5,943
28. (FCC) Que número real é solução da equação
5x-1 5x 5x 1 62? (Considere: log 2 0,30)
a) 3/7
b) 8/7
c) 10/7
d) 12/7
e) 15/7
29. (FGV) Sabendo que log2 = 0,30, assinale a melhor
x
aproximação da solução da equação 2 = 80.
a) 6,1
b) 6,3
c) 6,5
d) 6,6
e) 6,7
30. (UFF-RJ) Determine o valor de x na equação
2
3
18
log x + log x + log x + ... + log x =342.
Matemática
35.(FEM-PR) Se log 2 = P e log 3 =m, com P
o valor de log 5
a)
b)
c)
d)
e)
4
1,
27 é:
3
4(1 P)
4P
4 4P
3m
4(1 P)
4m
3(1 P)
2
3(1 P)
3
36. Determine loga(a ), para todo número real
positivo a, tal que a 1.
37. (PUC-PR) Se 3
5x
=32 ,então 3
-x
é igual a:
1
2
1
b)
4
a)
c)
1
4
d)
31. (FGV-SP) Se x é um número real positivo e
diferente
de
1,
a
solução
da
equação
log x 18,4 log x 2,3 3 é um número real
a) divisor de 12
b) múltiplo de 3
c) menor que 1
d) maior que 5
32. (EPCAR) Sabendo que a, b e c são três números
inteiros e positivos e que log ab = 12,6 e log ac = 0,2,
b
então log
é igual a
c
a) 6,3
b) 2,52
c) 12,8
d) 12,4
33. (FCC-TRF) O número real x que satisfaz a
sentença 1 log2 (x 1) log4 2 é igual a
a) 2 2
1
b) 2 2
1
c)
2
1
d)
2
1
e) 2 2
34. (EsPCEX) Sabendo que log M + log N = 0, pode-se
afirmar que:
a) M e N são nulos
b) M e N têm sinais contrários
c) M é o inverso de N
d) M e N são números inteiros positivos
66
Atualizada 26/06/2008
e)
1
2
38. (FCC) Dado log 3 = 0,477, podemos afirmar que o
log 9.000 é:
a) 3,459
b) 3,594
c) 3,954
d) 5,493
e) 5,943
39. O valor da expressão log3 2 . log4 3 . .... . log10 9
é:
a) 0
d) log3 4
b) log10 2
e) 1
c) log4 3
40. (PUC-SP) log50
a) 1
b) 3
c) 5
d) 10
e) 1000
41. (CESCEM) a
a:
a) N
b) a
c) b
b
d) N
a
e) N
log40
b logaN
log20
log2,5 é igual a:
com a>0 e a1, e n>0, é igual
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42. Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, então log 3
2
vale aproximadamente:
a) 1,77
b) 1,67
c) 1,66
d) 1,75
e) 1,57
LOGARITMOS
01 B
02 C
03 C
04 B
05 D
06 C
07 B
08 E
09 A
10 A
11 D
12 B
13 A
14 A
15 E
16 B
17 A
18 C
19 A
20 1
21 E
22 A
23 A
24 D
25 2
26 6
27 C
28 C
29 B
30 100
31 A
32 D
33 A
34 C
35 C
36 3
37 A
38 C
39 B
40 C
41 D
42 E
43 C
Atualizada 26/06/2008
FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTIMICA
x
Considere a função y = a
, denominada função
exponencial, onde a base a é um número positivo e
diferente de 1, definida para todo x real.
x
43.(ACAFE-SC) Sejam as funções f e g definidas de
x
2
em por f(x) = a e g(x) = loga(2x - 3x + 2), com a >
0 e a 1. O valor de f[g(-2)] é:
a) -4
b) 4
c) 16
d) 12
e) 2
GABARITO
Matemática
Observe que nestas condições, a é um número
positivo, para todo x
R, onde R é o conjunto dos
números reais.
Denotando o conjunto dos números reais positivos por
*
R+ , poderemos escrever a função exponencial como
segue:
f:R
R+ * , 0 a 1
Assim sendo, a função exponencial é BIJETORA e,
portanto, é uma função inversível, ou seja, admite uma
função inversa.
Vamos
determinar
y = a x , onde 0
a
a
função
inversa
da
função
1
Permutando x por y, vem:
x = a y implica y = loga x .
Portanto, a função logarítmica é então:
f : R+ *
R ; y = loga x , 0 a
Mostramos
exponencial
a
seguir,
os
gráficos
y = a x e logarítmica
para os casos a
1 e 0
a
1.
das
funções
y = loga x
,
1.
Observe que, sendo as funções, inversas, os seus
gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do
primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em
relação à reta y = x.
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Considerando essas informações, julgue o item
abaixo.
01.(CESPE-BB) Na situação apresentada, o valor do
3
número real k é tal que 30 < k + k + 1 < 32.
RESOLUÇÃO
y
y
x
y=2
x
f(x)=2
y=x
g(x)=x
y2
y2
56
56
y1
Da simples observação dos gráficos acima, podemos
concluir que:
y1
0
k
2k
x
0
56
x
x1
I) para a 1 , as funções exponencial e logarítmica são
CRESCENTES.
II) para 0
a
1 , elas são DECRESCENTES.
III) o domínio da função
y = loga x é o conjunto R+* .
y = loga x é o
IV)
o conjunto imagem da função
conjunto R dos números reais.
V) o domínio da função
números reais.
I) Dados
Do gráfico da reta y=x (lado direiro):
Substituindo x1 em y=x, obtém-se y1=x1.
Substituindo x2 em y=x, obtém-se y2=x2.
Se x2 - x1 = 56, então y2 - y1 = 56
Do enunciado temos a informação ...foi utilizada a
mesma unidade de medida... , logo, y2 - y1 = 56.
x:
y = a x é o conjunto R dos
VI) o conjunto imagem da função
*
R+ .
x2
y = a x é o conjunto
II) Do gráfico da exponencial y = 2
x
k
Substituindo k em y = 2 , obtém-se y1 = 2 .
x
Substituindo 2k em y = 2 , obtém-se
2k
y2 = 2 .
III) Sabendo que y2-y1=56 (item I) e que,
k
2k
y1 = 2 e y2 = 2 , geramos a equação:
2k
VII) observe que o domínio da função exponencial é
igual ao conjunto imagem da função logarítmica e que o
domínio da função logarítmica é igual ao conjunto
imagem da função exponencial. Isto ocorre porque as
funções são inversas entre si.
k
2 - 2 = 56
k 2
k
(2 ) - 2 = 56 equação exponencial
k
IV) Usando o artifício t = 2 em
k 2
k
(2 ) - 2 = 56, obtém-se:
t
2
t
56 = 0 uma equação do 2º grau com variável t.
TESTES RESOLVIDOS
V) Cálculo das raízes da equação
2
t t 56 = 0.
CESPE - BB
y
y
f(x)=2
Usando a fórmula de Bháskara, obtém-se as raízes:
k
x
t1 = - 7
Não serve, pois em t=2 para todo o k
pertencente ao conjunto dos números reais, a igualdade
k
-7=2 não será verificada.
g(x)=x
t 1= 8 = 2
3
Serve.
3
0
k
2k
x
0
56
x
A figura acima ilustra duas cópias do sistema cartesiano
xOy, em que, no eixo Ox de cada um desses sistemas,
foi utilizada a mesma unidade de medida. No sistema da
x
esquerda, está representado o gráfico da função f(x) = 2 ,
no qual estão marcados os pontos de abcissas x = k e x
= 2k. No sistema da direita, está representado o gráfico
da função g(x) = x e os pontos que têm as mesmas
ordenadas daqueles marcados no gráfico do sistema da
esquerda. Sabe-se que a distância entre as abcissas dos
pontos marcados no gráfico à direita é igual a 56.
68
Atualizada 26/06/2008
k
VI) Substituindo t= 2 em t=2 , obtém-se:
k
2 =2
3
k=3
VII) Substituindo k = 3 em:
3
30 < 3 + 3 + 1 < 32.
30 < 27 + 3 + 1 < 32.
30 < 31 < 32.
Afirmativa correta
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Todo mundo quer ajudar a refrescar o planeta
III) Expressão de CO2 da China em função de n.
Virou moda falar em aquecimento global.
É preciso não esquecer que os recursos naturais da
Terra também estão em perigo.
O outro lado do processo: a China e a Índia, juntas, têm
um terço da população mundial. Caso o consumo dos
dois países chegue aos níveis do consumo da Califórnia,
o estado mais rico dos EUA, o resultado poderá ser
catastrófico para os recursos naturais do planeta.
As tabelas a seguir mostram esses dados.
QuantiConsuEmisConsudade
mo de
são de
de
mo de
água
CO2
petróleo
carros
(em L)
(em t)
(para
(em L)
(per
(per
(per
cada
capita,
capita,
100
capita,
por
por
por dia) pessoas)
dia)
ano)
n
QChina (1 10%)
n
QChina (1 0,10)
QChina 0,90
QChina (
QChina
n
90 n
)
100
90n
100n
IV) Expressão de CO2 da Califórnia em função de n.
n
QCalifórnia (1 15%)
QCalifórnia (1 0,15)
Califórnia
700
China
QCalifórnia 0,85
85
8
70
12
QCalifórnia (
QCalifórnia
0,8
2,5
3,0
n
n
85 n
)
100
85n
100 n
Índia
V) Do enunciado
per capita, por ano, nessas duas regiões tornem-se
iguais.
135
0,4
1,3
1,0
85n
90n
=Q
China
100 n
100 n
85n
90n
=Q
QCalifórnia
China
100 n
100 n
85n
90n
n
12
=3
multiplique por 100
n
n
100
100
QCalifórnia
Okki de Souza In: Veja ed. 2003, 11/04/2007, p. 100-1
(com adaptação).
Califórnia
China
Índia
Área em km
411 mil
9,6 milhões
3,3 milhões
2
população
33.8 milhões
1,3 bilhões
1,08 bilhões
Com referência aos dados do texto e das tabelas
acima, julgue os seguintes itens.
n
n
12.85 = 3.90 divida por 3
n
4.85 = 90
02.(CESPE-BB) Considere que campanhas mundiais de
conscientização e esclarecimento façam que os níveis de
emissão de CO2 caiam, per capita, por ano, 10% na
China e 15% na Califórnia. Nessa situação, assumindose que log 4 = 0,60, log90 = 1,95 e log85 = 1,93, concluise que serão necessários mais de 20 anos para que os
níveis de emissão de CO2, per capita, por ano, nessas
duas regiões tornem-se iguais.
n
Aplique log em ambos os membros
n
log 4.85 = log 90
n
Usando a propriedade de logaritmos
log A.B = log A + log B em log 4.85
n
RESOLUÇÃO
Obtém-se
I) Legenda
QChina = Quantidade de CO2 da China.
QCalifpornia = Quantidade de CO2 da Califórnia.
n
Log 4 + log 85 = log 90
n
Usando a propriedade de logaritmos
II) Dados.
Quantidade de CO2 da China, decresce 10% ao ano.
Quantidade de CO2 da Califórnia, decresce 15% ao
ano.
n = números de anos solicitados.
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n
Log A = n.log A
n
em log 85 e log 90
n
Log 4 + n.log 85 = n.log 90
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06. (FATEC-SP) Qualquer quantidade de massa do
chumbo 210 diminuiu em função do tempo devido à
desintegração radioativa. Essa variação pode ser
descrita pela função exponencial dada por
m =
-xt
mO.2
. Nessa sentença, m é a massa (em
gramas) no tempo t (em anos), mO é a massa inicial
e x é uma constante real.
Sabendo-se que, após 66 anos, tem-se apenas 1/8 da
massa inicial, o valor x é:
a)-3
b)1/3
c)-22
d)1/22
e)1/3
Substituindo log 4 = 0,60, log90 = 1,95 e log85 = 1,93.
0,60 + n.1,93 = n.1,95
0,60 = 0,02.n
n
0,60
0,02
n = 30 anos
VI) Afirmativa da CESPE.
...conclui-se que serão necessários mais de 20 anos
para que os níveis de emissão de CO2, per capita, por
ano, nessas duas regiões tornem-se iguais.
Afirmativa correta
TESTES
1+1/x
01. Se f ( x ) = 16
igual a :
a)11
b)13
c)15
d)17
e)16
, então f ( -1 ) + f ( -2 ) + f ( -4 ) é
x
2 , para - 1
02. Seja a função composta f(x) = 1
, para
x
então f ( 0 ) - f ( 3/2 ) é igual a:
a)5/2
b)5/3
c)1/3
d)-1/3
e)2/3
x
Matemática
1
x >1
x
03. Se y = 10 é um número entre 1000 e 100 000,
então x está entre:
07.(FAE-PR) O número de bactérias B em uma
determinada cultura, após t horas, pode ser
t
determinado por meio da equação B(t) = 800 2 30 .
Após quanto tempo o número de bactérias é o
quíntuplo do número inicial? (Considere log 2 =
0,30)
a) 65 horas;
b) 68 horas;
c) 70 horas;
d) 72 horas;
e) 75 horas.
08.(UNIOESTE-PR) A quantia de R$ 5.000,00 é
aplicada à taxa fixa de 2% ao mês. Em se tratando de
juros compostos e não havendo retirada, o número
de meses necessários para que o montante
ultrapasse R$ 7.000,00 é:
Considere log 102 = 2,008, log 14 = 1,146 e a fórmula
n,
para juros compostos M = C(1+i) com M =
montante, C = capital, i = taxa e n = prazo.
09. (EsPCEX) Considerando o gráfico abaixo, onde:
I - A curva é a representação da função y = log x, para
x 1.
II -Os retângulos sombreados têm um dos vértices sobre
a curva.
a) -1 e 0
b) 2 e 3
c) 3 e 5
d) 5 e 10
e) 10 e 100
x
04. Seja a função f: IR em IR definida por f ( x ) = 2 .
Então f ( a+1) - f (a) é igual a:
a) 2
b) 1
c) f(a)
d) f(1)
e) 2f(a)
05.
(UFPR) Uma cidade cuja população vem
diminuindo sistematicamente tem hoje 30000
habitantes. Se o ritmo de diminuição se mantiver,
então o número de habitantes daqui a t anos, P(t), é
calculado aplicando-se a fórmula: P(t) = 30000 .(0,9) t .
Supondo que o ritmo de diminuição se mantenha, é
correto afirmar:
Daqui a 2 anos, a população será de:
70
Atualizada 26/06/2008
Nas condições apresentadas acima, a área da região
sombreada é:
a) log 24
b) log 18
c) log 12
d) log 9
e) log 6
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11. (FEPAR-PR) Enquanto a caderneta de poupança
proporciona rendimentos próximos a 1% ao mês, o State
Bank oferece uma taxa mensal de 4% para as pessoas
que o procuram para fazer aplicações de suas
economias. O cálculo do capital final se faz pela fórmula:
Cf
t
C i (1 i) , na qual
capital final;
C i = capital inicial;
i = taxa ao mês, em percentagem;
t = tempo de aplicação, em meses.
Para que um capital inicial de R$ 1000,00 resulte
num montante final de R$ 1601,00 no Banco citado, é
necessário
um
período
de
aplicação
de,
aproximadamente:
(Dados: log 1,601 = 0,2043 e log 1,040 = 0,0170)
a) 6 meses
b) 4 meses
c) 12 meses
d) 15 meses
e) 18 meses
12. A fórmula N = 6 . 108 . V -3/2 relaciona, numa dada
sociedade, o número N de indivíduos que possuem
renda anual superior ao valor V, em reais. Nessas
condições, pode-se afirmar que , para pertencer ao
grupo dos 600 indivíduos mais ricos dessa sociedade é
preciso ter no mínimo uma renda anual de
a) R$ 10.000,00.
b) R$ 100.000,00.
c) R$ 1.000.000,00.
d) R$ 10.000.000,00.
e) R$ 100.000.000,00.
13.(UFRN) No plano cartesiano abaixo, estão
x
representados, o gráfico da função y = 2 , os
números a, b, c e suas imagens.
y
y=2
x
2.2a
14. (PUC-SP) Um estudante quer resolver a equação
x
2 = 5, utilizando uma calculadora que possui a tecla
log x. Para obter um valor aproximado de x, o
estudante deverá usar a calculadora para obter os
seguintes números:
a) log 2, log 5 e log 5 log 2
b) log 2, log 5 e log 5 log 2
c) log 2, log 5 e log 25
5
5
d)
e log
2
2
e) 5 e log 5
15.(FGV-SP) Adotando-se os valores log 2
log 3
0,48 , a raiz da equação 5
x
0,30 e
60 vale
aproximadamente:
a) 2,15
b) 2,28
c) 41
d) 2,54
e) 2,67
16. (FAE-PR) O gráfico da função exponencial abaixo
representa o crescimento de uma população de
bactérias durante um determinado período, em
horas.
Número de Bactérias
(B)
10.(NC.UFPR) Experiências feitas com um certo tipo
de bactéria mostraram que o número de indivíduos
numa cultura, em função do tempo, pode ser
0,4.t
aproximado pela expressão F(t) = 50.2 , sendo t o
tempo medido em horas. Após quantas horas essa
cultura terá 800 indivíduos?
a) 10 horas
b) 12 horas
c) 15 horas
d) 18 horas
e) 24 horas
Matemática
20000
15000
10000
5000
2560
1000 1600
0
0
1
2
3
4
5
6
Horas (h)
Com base nas informações contidas no gráfico e
considerando log 2 = 0,30,
calcule o tempo
necessário para que o número de bactérias chegue a
512000.
a) 13 horas
b) 13 horas e 30 minutos
c) 14 horas
d) 14 horas e 30 minutos
e) 15 horas
2a
2a/4
c
a
b
x
Observando a figura, podemos concluir que, em
função de a, os valores de b e c são,
respectivamente:
a) a/2 e 4a
b) a-1 e a+2
c) 2a e a/4
d) a+1 e a-2
e) a e a
Atualizada 26/06/2008
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Todo mundo quer ajudar a refrescar o planeta
Virou moda falar em aquecimento global.
É preciso não esquecer que os recursos naturais da
Terra também estão em perigo.
O outro lado do processo: a China e a Índia, juntas, têm
um terço da população mundial. Caso o consumo dos
dois países chegue aos níveis do consumo da Califórnia,
o estado mais rico dos EUA, o resultado poderá ser
catastrófico para os recursos naturais do planeta.
700
8
70
12
85
0,8
2,5
3,0
Índia
Califórnia
Emissão de
CO2
(em t)
(per
capita,
por
ano)
China
As tabelas a seguir mostram esses dados.
QuantiConsuConsudade
mo de
de
mo de
água
petróleo
carros
(em L)
(para
(em L)
(per
(per
cada
capita,
100
capita,
por
por dia) pessoas)
dia)
135
0,4
1,3
1,0
Okki de Souza In: Veja ed. 2003, 11/04/2007, p. 100-1
(com adaptação).
Califórnia
China
Índia
Área em km
411 mil
9,6 milhões
3,3 milhões
2
população
33.8 milhões
1,3 bilhões
1,08 bilhões
Com referência aos dados do texto e das tabelas
acima, julgue os seguintes itens.
17.(CESPE-BB) Considere que campanhas mundiais de
conscientização e esclarecimento façam que os níveis de
emissão de CO2 caiam, per capita, por ano, 10% na
China e 15% na Califórnia. Nessa situação, assumindose que log 4 = 0,60, log 90 = 1,95 e log 85 = 1,93,
conclui-se que serão necessários mais de 20 anos para
que os níveis de emissão de CO2, per capita, por ano,
nessas duas regiões tornem-se iguais.
18.(PUC-SP) Em 1996, uma indústria iniciou a
fabricação de 6000 unidades de certo produto e,
desde então, sua produção tem crescido à taxa de
20% ao ano. Nessas condições, em que ano a
produção foi igual ao triplo da de 1996?
(Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48)
a) 1998
b) 1999
c) 2000
d) 2001
e) 2002
72
Atualizada 26/06/2008
Matemática
19. (UEL-PR) Em certa cultura de bactérias, o
número de bactérias presentes no instante t é
determinado pela função N (t) = N
0
e k t , onde
N0 é o número inicial de bactérias e k uma constante
positiva. Sabendo-se que o número de bactérias
duplica ao final das duas primeiras horas, calcule o
tempo necessário para que a população de bactérias
atinja 96 N0 .
loge 3
( Use :
1,59 onde e 2,71 )
loge 2
a) 12 horas, 16 minutos e 24 segundos.
b) 12 horas, 58 minutos e 15 segundos.
c) 12 horas e trinta segundos.
d) 13 horas, 10 minutos e 48 segundos.
e) 13 horas e meia.
8
-3/2
20. A fórmula N = 6 . 10 . V
relaciona, numa
dada sociedade, o número N de indivíduos que
possuem renda anual superior ao valor V, em reais.
Nessas condições, pode-se afirmar que , para
pertencer ao grupo dos 600 indivíduos mais ricos
dessa sociedade é preciso ter no mínimo uma renda
anual de
a) R$ 10.000,00.
b) R$ 100.000,00.
c) R$ 1.000.000,00.
d) R$ 10.000.000,00.
e) R$ 100.000.000,00.
GABARITO
FUNÇÕES
EXDPONENCIAIS E
LOGARÍTMICAS
01 B
02 C
03 C
04 C
05 24300
06 D
07 C
08 19
09 A
10 A
11 C
12 A
07 C
08 19
09 E
10 A
11 C
12 D
13 D
14 B
15 D
16 B
17 Correta
18 E
19 D
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Matemática
MEDIANA (Md)
ESTATÍSTICA
MÉDIAS
MÉDIA ARITMÉTICA (MA)
Média aritmética de n parcelas (n>1), é a soma de todas
as
parcelas{x1,x2,x3,...xn},
dividida
pelo
número
(quantidade) dessas parcelas (n).
FÓRMULA
A mediana (Md) ( medida de posição) numa série de
valores organizados em ordem crescente ou
decrescente, é:
- O valor central, se a série tem número ímpar de
valores, ou,
- A média aritmética dos dois valores centrais, se a série
tem número par de valores.
Noções de Estatística
x + x + x + ... + xn
3
MA = 1 2
n
A Estatística trata do conjunto de métodos utilizados
para a obtenção de dados, sua organização em tabelas
e gráficos e a análise desses dados.
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA (MAP)
NOTAÇÕES
Média aritmética ponderada de n (n>1) parcelas
{x1,x2,x3,...xn} e seus respectivos pesos {p1,p2,p3,...pn}, é
igual a soma dos produtos das parcelas com os seus
respectivos pesos, dividida pela soma dos seus pesos.
População é o grupo observado, geralmente numeroso.
Amostra é um subconjunto da população observada.
FÓRMULA
Freqüência absoluta (F) é o número de vezes que a
variável assume valor.
p x + p x + p3 x3 + ... + pn xn
MAP = 1 1 2 2
p1 + p2 + p3 + ... + pn
MÉDIA GEOMÉTRICA (MG)
FREQUÊNCIAS
Freqüência relativa (f) é o quociente entre a freqüência
absoluta e o número de elementos da população
estatística (N). A freqüência relativa geralmente é dada
na forma de porcentagem.
F
fi = i
N
Média geométrica de n parcelas (n>1), é a raiz n-ésima
do produto dos n fatores {x1,x2,x3,...xn}.
FÓRMULA
VARIÂNCIA (V)
MG = n x1x 2 x 3 ...xn
A idéia básica de variância é tomar os desvios dos
valores x; em relação à média aritmética (x, - MA). Mas
a soma desses desvios é igual a 0 (por uma propriedade
da média). Uma opção possível, então, é considerar o
MÉDIA HARMONICA (MH)
n
Média harmônica é o inverso da média aritmética dos
inversos das parcelas n parcelas {x1,x2,x3,...xn}.
total dos quadrados dos desvios
FÓRMULA
expressar a variância (V) como a média dos quadrados
dos desvios absolutos, ou seja:
MH =
1
x
1
+
1
x
2
+
1
1
x
3
n
e
2
(xi - MA)
i=1
V=
n
1
xn
ou
MODA (Mo)
2
Denominamos moda (Mo) o valor que ocorre com maior
freqüência em uma série de valores.
Obs.: Uma série de valores, poderá ter para a moda:
- Nenhum valor da série.
- Um único valor da série.
- Dois ou mais valores da série.
Atualizada 26/06/2008
2
i 1
n
+ ... +
(xi-MA)
V=
2
2
(DA1 ) + (DA 2 ) + (DA 3 ) + ... + (DA n )
2
n
DESVIO ABSOLUTO (DA)
DA = xi - MA
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DESVIO ABSOLUTO MÉDIO (DAM)
DAM =
03. (TTN) A media aritmética da distribuição e igual
a:
Coluna 1
Classe
Peso (kg)
2
4
4
6
6
8
8
10
10
12
x1 - MA + x 2 - MA + x 3 - MA + ... + x n - MA
n
ou
DAM =
DA1 + DA 2 + DA 3 + ... + DA n
n
a) 5,27 kg
d) 5,19 kg
DESVIO PADRÃO (DP)
2
(DP) = V
DP = V
Classe
Peso (kg)
01. Dada a seqüência {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21}, a sua
moda é:
a) 54
b) 5
d) 1
e) 6,75
Resolução
Para responder este teste basta conhecer a definição de
moda, que segue:
Definição: Denominamos MODA o valor que ocorre com
maior freqüência em uma série de valores.
Então, basta de acordo com a definição, procurar o valor
que mais se repete. Na série do enunciado, o valor que
mais se repete é valor 1.
Resposta, letra: D
Matéria
Português
Contabilidade
Estatística
Direito
nota
x1 = 66
x2 = 63
x3 = 70
x4 = 79
peso
p1 = 3
p2 = 3
p3 = 2
p4 = 2
Resolução:
I) Substituindo os dados na fórmula.
p x + p2 x 2 + p3 x 3 + ... + pn xn
MAP = 1 1
p1 + p2 + p3 + ... + pn
4
4
6
6
8
8
10
10
2
4
6
8
10
4
6
8
10
12
4
3
2
4
6
5
2
6
8
7
2
8
10
9
2
10
12
11
2
Coluna 2
Freqüências
Simples
Absolutas
f1 = 9
f2 = 12
f3 = 6
f4 = 2
f5 = 1
Coluna 3
Ponto médio
da classe
x1=3
x2=5
x3=7
x4=9
x5=3
f x + f x + f x + ... + fn xn
MAP = 1 1 2 2 3 3
f + f + f + ... + fn
1 2 3
MAP =
9 × 3 + 12 × 5 + 6 × 7 + 2 × 9 + 1×11
9 + 12 + 6 + 2 + 1
27 + 60 + 42 + 18 + 11
30
198 + 189 + 140 + 158
MAP =
10
27 + 60 + 42 + 18 + 11
30
, finalmente: MAP = 68,5
Atualizada 26/06/2008
2
12
Classe
Peso (kg)
MAP =
3+3+2+2
10
Ponto médio da classe.
III) A seguir a tabela com todas as informações para
obter a média desejada.
3 × 66 + 3 × 63 + 2 × 70 + 2 × 79
685
c) 5,21 kg
Na coluna 2 representa a freqüência (ou peso) que
ocorre cada um dos pontos médios.
Calcule média aritmética ponderada.
74
2
Coluna 1
02. (ICMS-MG-Adaptada) Um candidato obteve, nas
diversas provas de um concurso, as seguintes notas
com os respectivos pesos:
MAP =
b) 5,24 kg
e) 5,30 kg
Simples
I) Para obter a média com intervalo de classe e a
freqüência absoluta, calcule o ponto médio (média
aritmética) de cada intervalo de classe.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
MAP =
Coluna 2
Freqüências
Absolutas
9
12
6
2
1
Resolução:
V=variância
MAP =
Matemática
MAP =
158
finalmente
MAP = 5, 666...
30
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5, 27
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TESTES
01.Calcular a média aritmética entre os números 3, 4,
6, 9 e 13.
02. Calcular a média geométrica entre os números 12,
45 e 50.
03. Calcular a média harmônica entre os números 1, 3
e 6.
04. (FUVEST) Ache a média aritmética dos números
3 13
,
5 4
e
1
.
2
Matemática
11. O número de crianças em 19 famílias foi 0, 1, 1,
2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 10
A mediana é :
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 1
12. O número de crianças em 19 famílias foi 0, 1, 1,
2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 10
A moda é :
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 1
13. Qual a média harmônica entre os números 2 e 3?
05. Sabe-se que os números 2, 5, 7 e 11 têm pesos
iguais a 1, 2, 3 e 5, respectivamente. Qual é média
ponderada entre esses números?
06. (PUC) A média aritmética de um conjunto de 12
números é 9. Se os números 10, 15 e 20 forem
retirados do conjunto, a média aritmética dos
restantes é:
07. (UBERABA) Comprei 5 doces a R$ 1,80 cada um,
3 doces a cada R$ 1,50 cada e 2 doces a R$ 2,50
cada. O preço médio por doce foi de:
08. Um fabricante de café misturou café x de R$
750,00 o Kg com café y de R$ 950,00 o Kg. Qual o
valor do Kg da mistura de 15 kg de café x com 15 kg
de café y.
09. Na tabela a seguir vemos o consumo mensal de
água de uma família durante os 5 primeiros meses de
2003.
3
Meses
Consumo (m )
Janeiro
12,5
Fevereiro
13,8
Março
13,7
Abril
11,4
Maio
12,1
O consumo mensal médio dessa família durante os 5
meses foi:
3
3
3
a) 11,3 m
b) 11,7 m
c) 12,7 m
3
3
d) 63,5 m
e) 317,5 m
14. (SANTA CASA) A média aritmética dos
elementos de um conjunto de 28 números é 27. Se
retirarmos desse conjunto três números, de valores
25, 28 e 30, a média aritmética dos elementos do
novo conjunto é:
15. (FCC) A média aritmética de quatro números é
25. A média aritmética de três desses números é 21.
O número que consta no primeiro grupo de números
e não consta no segundo grupo é:
a) 37
b) 39
c) 47
d) 48
e) 59
16. (OBM) A média aritmética de seis números é 4.
Quando acrescentamos um sétimo número, a nova
média é 5. O número que foi acrescentado é:
a) 5
b) 6
c) 8
d) 10
e) 11
17. (UFPR) Em levantamento feito numa sala de aula
de um curso da UFPR, verificou-se que a média das
idades dos 42 alunos matriculados era de 20,5 anos.
Nesse levantamento foram, considerados apenas os
anos completos e desconsideradas todas as frações
(meses, dias etc.). Passadas algumas semanas, a
coordenação do curso verificou que um aluno havia
desistido, e que a média das idades caiu para 20
anos. Como nesse período nenhum dos alunos da
turma fez aniversário, qual a idade do aluno que
desistiu?
a) 41 anos
b) 25 anos
c) 29 anos
d) 33 anos
e) 37 anos
10. (ICMS/MG) As alturas dos jogadores de basquete
da Seleção Brasileira são 1,98 m; 2,04 m; 2,06 m; 2,02
m e 2,05 m. A média de altura dessa seleção, em m, é
de:
a) 2,01 b) 2,02 c) 2,03 d) 2, 04 e) 2,05
Atualizada 26/06/2008
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
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18.(UFPR) Um automóvel pode ser abastecido com
gasolina e álcool, em qualquer proporção. O
motorista parou num posto em que o preço de um
litro de gasolina era R$ 2,50 e o de álcool era R$ 2,00.
Foram colocados no tanque de combustível 16 litros
de gasolina e 24 litros de álcool. Qual é o preço por
litro
do
combustível
misto
obtido
nesse
abastecimento?
a) R$ 2,45.
b) R$ 2,40.
c) R$ 2,32.
d) R$ 2,20.
e) R$ 2,18.
19. A distribuição dos salários de uma empresa é
dada na seguinte tabela:
Salário em R$
500,00
1.000,00
1.500,00
2.000,00
5.000,00
10.500,00
Número de funcionários
10
5
1
10
4
1
a) Qual é a média dos salários dessa empresa?
20. Dois torneiros, Paulo e João, concorrendo a uma
vaga em uma metalúrgica, submeteram-se ao
seguinte teste de precisão: cada um deles construiu
quatro rodas de ferro, que deveriam ter 5 cm de
diâmetro. A tabela abaixo descreve o desempenho de
cada um.
Paulo
João
Diâmetro
em
cm
Diâmetro
em
cm
Diâmetro
em
cm
Diâmetro
em
cm
4,8
4,7
5,2
5,3
5,0
5,0
5,0
5,0
Média
do
Diâmetro
em
cm
5,0
5,0
Como os diâmetros médios foram iguais, o critério de
desempate foi a regularidade, isto é, quem teve o
desempenho mais regular foi o merecedor da vaga.
a) Calcule o desvio padrão do conjunto de diâmetros
obtidos por Paulo e João.
b) Qual dos dois candidatos teve o desempenho mais
regular?
21. (ICMS-MG) Os tempos gastos por cinco operários
para fazer um trabalho foram: 4 min, 6 min, 7 min, 8
min, 10 min. A variância dessa distribuição é:
a) 4,0 b) 3,5 c) 3,0 d) 2,0 e) 1,0
22. (ICMS-MG) O desvio padrão do conjunto de dados
A = {6, 10, 4, 8, 7} é igual a:
a) 1,25
76
b) 1,5
c) 2,0
Atualizada 26/06/2008
d) 3,0
e) 4,0
Matemática
23. (GDF) Uma empresa que possui 5 máquinas
copiadoras registrou em cada uma delas no último
mês ( em 1.000 unidades): 20, 23, 25, 27 e 30 cópias,
respectivamente. O valor da variância desta
população é:
a) 5
b) 11,6
c) 14,5
d) 25
e) 12
24. (UFRJ-NCE) Agenor está fazendo um curso de
especialização. O curso é dividido em módulos e
cada módulo tem um certo número de créditos,
dependendo da importância do módulo. O
coeficiente de rendimento do aluno é a média
ponderada das notas por ele obtidas nos
respectivos módulos, tendo como pesos os créditos
correspondentes. A tabela a seguir apresenta as
notas obtidas por Agenor e o número de créditos de
cada módulo:
o
Módulo
N de créditos
Nota
I
4
6,0
II
5
7,0
III
5
8,0
IV
3
6,0
V
3
6,0
VI
5
9,0
O coeficiente de rendimento de Agenor no curso é
igual a:
a) 6,4;
b) 6,8,
c) 7,0;
d) 7,2;
e) 7,6.
25.(PUC-SP) O histograma seguinte apresenta a
distribuição de freqüência das faixas salariais numa
pequena empresa.
14
4
2
0
500
1000
1500
2000
2500
Com os dados disponíveis, pode-se concluir que a
média desses salários é, aproximadamente:
a) R$ 420,00
b) R$ 536,00
c) R$ 562,00
d) R$ 640,00
e) R$ 708,00
26. Manoel e Maria, prestaram o vestibular e
obtiveram os seguintes resultados:
Matéria
Manoel
Maria
Matemática
9,0
9,0
Física
9,0
6,0
Química
8,0
6,0
Biologia
5,0
6,0
Português
5,0
8,0
História
5,0
7,0
Geografia
6,0
7,0
Inglês
7,0
6,0
Qual é a média de notas de cada um?
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27. (UFRJ-NCE) O gráfico abaixo mostra o total de
gols marcados por Pedrinho Cai Cai durante um
campeonato em sua cidade natal. Sabemos que
Pedrinho Cai Cai marcou gols em todas as partidas
das quais participou, mas esteve fora de diversos
jogos, devido a contusões.
Matemática
29.(UNICAMP-SP) Para um conjunto X={x1, x2, x3, x4}
a média aritmética de X é definida por:
x
x1 x 2
por: v =
total de gols marcados
x3
x4
e a variância de X é definida
4
1
4
2
2
(x - x) + ... + (x - x) . Dado o conjunto
4
1
X={ 2, 5, 8, 9} e
7,5
2,7 , pede-se:
8
7
6
5
4
3
2
a) Calcular a média aritmética de X.
b) Calcular a variância de X.
c) Calcular o desvio padrão de X.
1
1 2 3 4 5
6 7
8 9 número de jogos realizados
Considere as seguintes afirmativas:
I - Pedrinho Cai Cai não jogou em mais da metade das
partidas realizadas.
II - Em sua melhor performance, Pedrinho Cai Cai
marcou três gols em uma mesma partida.
III - Se considerarmos apenas as partidas de que
Pedrinho Cai Cai participou, podemos dizer que sua
média de gols por partida foi aproximadamente igual a
2,3.
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é/são somente:
a) I;
b) II;
c) III;
d) I e II;
e) II e III.
28. (CESGRANRIO) Para responder à próxima
questão, utilize os dados da tabela abaixo, que
apresenta as freqüências acumuladas das idades de
20 jovens entre 14 e 20 anos.
Uma das medidas de dispersão é a variância
populacional,
n
2
(x i m)
1
que é calculada por
. Sabendo-se que m
n
é a média aritmética dessas idades, qual a variância
das idades na população formada pelos 20 jovens?
a) 0,15
b) 0,20
c) 1,78
d) 3,20
e) 3,35
Atualizada 26/06/2008
30. (UFPR) Considere as seguintes medidas
descritivas das notas finais dos alunos de três
turmas:
Número
Desvio
de
Turma
Média
padrão
alunos
A
15
6,0
1,31
B
15
6,0
3,51
C
14
6,0
2,61
Com base nesses dados, considere as seguintes
afirmativas:
1. Apesar de as médias serem iguais nas três turmas,
as notas dos alunos da turma B foram as que se
apresentaram mais heterogêneas.
2. As três turmas tiveram a mesma média, mas com
variação diferente.
3. As notas da turma A se apresentaram mais dispersas
em torno da média.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa 3 é verdadeira.
b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
31.(NC.UFPR) Em uma escola, para verificação da
aprendizagem em certa disciplina, são aplicadas três
provas, com pesos 2, 3 e 5, respectivamente. Para
um aluno ser aprovado nessa disciplina, deve ser no
mínimo 5,0 a média aritmética ponderada das notas
que ele obtiver nas três provas relativamente aos
pesos mencionados. Se nas duas primeiras provas
um dos alunos obteve notas 4,0 e 3,5,
respectivamente, então, para que seja aprovado, a
nota mínima que ele deve obter na terceira prova é:
a) 6,0
b) 6,1
c) 6,2
d) 6,3
e) 6,4
32.(NC.UFPR) A média aritmética de 3 números (x, y
e z) é 6, e a média aritmética ponderada desses
números relativa aos pesos 1, 3 e 4,
respectivamente, é 6,75. Sabendo-se que z = 6,
então um dos outros dois números é:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
e) 9
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33.( UFPR) Seja Ma a média aritmética de três
números (x, y e z), e seja Mp a média aritmética
ponderada desses números relativa aos pesos 2, 3 e
5, respectivamente. Considere as afirmativas abaixo
relativas às médias Ma e Mp.
I. Se x = y = z, então Ma = Mp.
II. Se x = 1, y = 2 e z = 3, então Ma > Mp.
III. Se z = x + y, então Ma > Mp.
IV. Se Ma = Mp, então 5z = 4x + y.
Assinale a alternativa correta:
a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas II, III e IV são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
34. Uma micro empresa produziu 10.000 unidades de
um certo produto, vendendo-o da seguinte forma: as
primeiras 3.000 unidades, ao preço unitário de R$
20,00 as 5.000 unidades seguintes, ao preço unitário
de R$ 25,00 as últimas 2.000 unidades, ao preço
unitário de R$ 32,00 .
Qual foi o preço médio unitário?
a) R$ 24,60;
d) R$ 32,90;
b) RS 24,90;
e) R$ 33,50
c) R$ 32,00;
35. Determinando a mediana da série, 2, 6, 7, 10, 12,
13, 18, 21, é:
a) 13
b) 12
c) 18
d) 25
e) 11
36. Determinando a mediana da série, 2, 6, 7, 10, 12,
13, 18, 21, é:
a) 7
b) 10
c) 12
d) não existe moda na série.
e) 13
37. Determinando a moda da seqüência,
2, 2, 2, 3, 3, 3, 12, 12, 12, 7, 7, 7, obtemos:
a) Somente 12
b) Somente 2
c) Somente 3
d) Somente 7
e) 2, 3, 12 e 7
38.(UFRJ-NCE) Foi feita uma pesquisa de opinião
sobre qual o gênero de filme preferido pelo público
de um cinema. O resultado é apresentado no gráfico
abaixo:
Matemática
a) o público prefere romance ou terror à ação;
b) mais da metade do público prefere ação;
c) mais de um quarto do público prefere comédia;
d) mais de um terço do público prefere romance ou
terror;
e) menos da metade do público prefere comédia ou
ação.
39.(UFRJ-NCE) A tabela a seguir fornece a cotação
diária de venda e compra do dólar, em reais,
referente aos 6 primeiros dias úteis de outubro de
2005.
Data
Venda
Compra
3/out
2,229
2,227
4/out
2,261
2,259
5/out
2,268
2,266
6/out
2,293
2,291
7/out
2,250
2,248
10/out
2,238
2,236
As cotações medianas de venda e compra do dólar
para esses dias foram, respectivamente:
a) 2,2555 e 2,2535;
b) 2,2565 e 2,2545;
c) 2,2680 e 2,2660;
d) 2,2805 e 2,2785;
e) 2,2930 e 2,2910.
40.(UFRJ-NCE) A média aritmética obtida a partir de
um conjunto de 10 números é M. Se acrescentarmos
dois números, a e b, a esse conjunto, a nova média
será:
a)
10a 10b M
12
b)
a
b 10M
12
c)
a b M
12
d)
e)
a b M
3
a
b 10M
3
41. (UPNET)
No concurso para cabo de uma
Instituição Militar, o candidato é submetido a 4
avaliações: Matemática e Português com peso 2,0,
Avaliação Física com peso 3,0 e Conhecimentos
Específicos com peso 1,0. O soldado Marcelo se
submeteu ao concurso e obteve os seguintes
resultados:
Português: Nota 5,0
Matemática: Nota 8,0
Avaliação física: 3,0
Conhecimentos específicos: Nota 5,0
A média ponderada do soldado Marcelo, no
concurso, foi de
a) 4,0
b) 5,0
c) 4,5
d) 5,5
e) 3,8
Com base nesses dados pode-se afirmar que:
78
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42. (VUNESP) A média aritmética simples de três
números inteiros positivos e consecutivos é 24. O
produto desses números será:
a) 9240
b) 10624
c) 10626
d) 12144
e) 13800
ESTATÍSTICA
01 7
02 30
03 2
04 29/20
05 8
06 7
07 1,85
08 8,50
09 C
10 C
11 B
12 A
13 2,4
14 26,92
15 A
16 E
17 A
18 d
19 2000
20 a) Paulo
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
0,020
DP= 0,045
b) Paulo
A
C
B
D
E
a)Manoel 6,75
e Maria 6,875
B
D
a) 6,0
b) 7,5
c)
D
D
E
C
B
E
D
E
C
A
B
B
E
INTRODUÇÃO AOS CONJUNTOS
No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns
conceitos primitivos, que devem ser entendidos e
aceitos sem definição.
ALGUNS CONCEITOS PRIMITIVOS
1
GABARITO
DP=
João
Matemática
CONJUNTO
i
O conjunto de todos os brasileiros.
ii
O conjunto de todos os números naturais.
iii
O conjunto dos números naturais tal que x<6.
O conjunto é representado por uma letra maiúscula do
alfabeto: A, B, C, ..., Z.
2
ELEMENTO
i
Pelé é um elemento do conjunto dos
brasileiros.
ii
1, 2, 3, . . . são elementos do conjunto dos
números naturais.
iii
1, 2 e 3 é um elemento do conjunto dos
números reais que satisfaz à inequação: x<6.
Em geral, um elemento de um conjunto, é
representado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b,
c, ..., z.
3
PERTINÊNCIA
i
Pelé pertence ao conjunto dos brasileiros.
ii
1 pertence ao conjunto dos números naturais.
iii
-5 pertence ao conjunto de números reais que
satisfaz à inequação: x< 6.
Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o
símbolo
, que lê-se: "pertence" e, caso ele não
pertença utilizamos o símbolo
, que lê-se: não
pertence .
Por exemplo:
Para afirmar que 1 é um número natural N,
escrevemos: 1 N.
Para afirmar que - 5 não é um número natural (N) ,
escrevemos: - 5 N.
ALGUMAS NOTAÇÕES PARA CONJUNTOS
1
7,5
Atualizada 26/06/2008
o
2
o
3
Extensão: Os elementos do conjunto estão dentro
de duas chaves {
}, separados por vírgula ou
ponto e vírgula
i
A = { a, e, i, o, u }
ii
N = { 1; 2; 3; 4; ... }
Compreensão: O conjunto é descrito por uma ou
mais propriedades.
i
A = { x : x é uma vogal}
ii
N = { x : x é um número natural}
Diagrama de Venn-Euler Os conjuntos são
mostrados delimitados por uma região.
A
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SUBCONJUNTOS
Quando todos os elementos de um conjunto A qualquer
pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é
um subconjunto de B, ou seja A
B . Observações:
A
Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja
A;
Matemática
Conjunto vazio: é um conjunto que não possui
elementos. O conjunto vazio é representado por { } ou
.
DIFERENÇA DE CONJUNTOS
O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de
A.
qualquer conjunto, ou seja
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de
todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não
pertencem ao conjunto B.
ALGUNS CONJUNTOS ESPECIAIS
A
CONJUNTO VAZIO: É um conjunto que não possui
elementos. O conjunto vazio é representado por { } ou .
CONJUNTO UNIVERSO: É um conjunto que contém
todos os elementos do contexto no qual estamos
trabalhando e também contém todos os conjuntos desse
contexto. O conjunto universo é representado por uma
letra U.
B
x :x
A e x
B
Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista
como:
A
B
A-B
REUNIÃO DE CONJUNTOS
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os
elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto
B.
A
B
x :x
A ou x
B
A
B
COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO
O complemento do conjunto B contido no conjunto A,
denotado por C A B, é a diferença entre os conjuntos A e
B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que
pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto
B.
C B A
A
B
x :x
A e x
B
Graficamente, o complemento do conjunto B no
conjunto A, é dado por:
A
B
A
B
INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS
A-B
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos
os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto
B.
A
B
x :x
Ae x
A
B
Ou também:
A
B
B
C AB
A
B
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o
conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são
disjuntos.
A
80
Atualizada 26/06/2008
Quando não existe dúvida sobre o universo U em que
trabalhamos, simplesmente utilizamos a letra c posta
como um expoente no conjunto, para indicar o
complemento deste conjunto. Exemplos especiais são:
c
c
Ø =U e U =Ø.
B
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Matemática
DIFERENÇA SIMÉTRICA
TESTES RESOLVIDOS
A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o
conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião
dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos
conjuntos A e B.
A
B
x :x
A
Be x
A
B
A situação gráfica para a diferença simétrica é:
A
B
A
B
OPERADORES E SÍMBOLOS
: pertence
01. (FCC-ICMS-SP) Um seminário foi constituído de
um ciclo de três conferências: uma de manhã, outra
à tarde e a terceira à noite. Do total de inscritos, 144
compareceram de manhã, 168 à tarde e 180 à noite.
Dentre os que compareceram de manhã, 54 não
voltaram mais para o seminário, 16 compareceram
às três conferências e 22 compareceram também à
tarde, mas não compareceram à noite. Sabe-se
também que 8 pessoas compareceram à tarde e à
noite, mas não de manhã. Constatou-se que o
número de ausentes no seminário foi de um oitavo
do total de inscritos.
Nessas condições, é verdade que
a) 387 pessoas compareceram a pelo menos uma das
conferências.
b) 282 pessoas compareceram a somente uma das
conferências.
c) 108 pessoas compareceram a pelo menos duas
conferências.
d)) 54 pessoas inscritas não compareceram ao
seminário.
e) o número de inscritos no seminário foi menor que
420.
: existe
RESOLUÇÃO E COMENTÁRIOS
: não pertence
: está contido
: não existe
:
para
todo
qualquer que seja)
: não está contido
1
: conjunto vazio
: contém
N: conjunto dos números
naturais
: não contém
Z : conjunto dos números
inteiros
/ : tal que
: implica que
se
(ou
Q: conjunto dos números
racionais
Q'=
I:
conjunto
números irracionais
I) Informações fornecidas no enunciado, colocadas na
tabela.
M
144
2
Somente M
3
4
5
6
7
T
N
MeTeN
M e T e não N
T e N e não M
8
Pessoas inscritas
x
9
Não ( M e T e N )
x/8
Das
que
compareceram
pela manhã, 54
não voltaram.
54
168
180
16
22
8
Total de pessoas
inscritas.
Ausentes
no
seminário 1/8 do
total (x ).
dos
: se, e somente R: conjunto dos números
reais
II) Dados da tabela distribuídos no diagrama que segue.
: A intersecção B
: A união B
M
T
54
22
a - b: diferença de A com B
122
a < b: a menor que b
16
= x
52
: a menor ou igual a b
8
a > b: a maior que b
: a maior ou igual a b
:aeb
N
104
x/8
: a ou b
Atualizada 26/06/2008
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- Adicionando todas as partes internas ao retângulo,
obtemos o total de inscritos ( x ).
54 22 122 16 52 8 104
x
8
x
x
x
operando com mmc
8
x 432 total de pessoas inscritas
A- Alemão
F- Francês
I- Inglês
SOMA(A+F+I)
Isole (a+c+e)
-Ausentes no seminário 1/8 do total (x ).
x
432
432
8
8
a+b+c+d+e+f+10
=200
a+b+c+d+e +f=190
III) Totalizando individualmente com base o diagrama
acima, temos:
378
x
Matemática
54
total de pessoas que não compareceram.
Este último cálculo, atende uma das alternativas
disponíveis.
a+b
b + c +d
+ f = 90
= 50
d + e + f = 70
a+2b+c+2d +e + 2f = 210
a+c+e=210 -2b -2d-2f
Substituindo (a+c+e=210-2b-2d-2f) em:
a + b + c + d + e + f + 10 = 200
b + d + f + ( 210 - 2b 2d 2f ) + 10 = 200
b + d + f + 10 = 30
Obtemos: b+d+f+10=30
Resposta: alternativa D
IV) Resposta: Alternativa A
02.(ESAF-AFC-CGU) Uma escola de idiomas oferece
apenas três cursos: um curso de Alemão, um curso
de Francês e um curso de Inglês. A escola possui 200
alunos e cada aluno pode matricular-se em quantos
cursos desejar. No corrente ano, 50% dos alunos
estão matriculados no curso de Alemão, 30% no
curso de Francês e 40% no de Inglês. Sabendo-se
que 5% dos alunos estão matriculados em todos os
três cursos, o número de alunos matriculados em
mais de um curso é igual a:
a) 30
b) 10
c) 15
d) 5
e) 20
TESTES
Para resolver as próximas 8 questões, tome por
base o diagrama abaixo
A
b
a
d
c
j
I) Cálculo das porcentagens.
Alemão
Francês
Inglês
Alemão,
Francês
Inglês
e
A
F
I
A, F
eI
C
50%
30%
40%
5%
200x0,50
200x0,30
200x0,40
200x0,05
=
=
=
=
100
60
80
10
II) Todos os alunos estudam pelo menos um curso.
Deseja-se como diz o enunciado o número de alunos
matriculados em mais de um curso , ou seja: b+d+f+10.
n
l
B
g
f
h
o
p
RESOLUÇÃO
e
i
m
q
r
01. O conjunto A é formado pelos seguintes
elementos:
a) {a, b, c, d}
b) {e, f}
c) {e, f, o, n, p, i}
d) {a, b, c, d, e, f, o, n, p}
e) {a, b, c, d, e, f, o, n, p, i}
02. Assinale a alternativa que representa o conjunto
A
b
a
c
10
f
d
e
82
=200
Atualizada 26/06/2008
B.
a) {e, f, o, n}
b) {e, f, o, n, p, i}
c) {a, b, c, d, g, h}
d) {q, r}
e) {a, b, c, d, e, f, g, h, i, n, o, p}
03. Assinale a alternativa que representa o conjunto
A
B.
a) {e, f, o, n}
b) {e, f, o, n, p, i}
c) {a, b, c, d, g, h}
d) (q, r}
e) {a, b, c, d, e, f, g, h, i, n, o, p}
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04. Assinale a alternativa que representa o conjunto
A B.
a) {e, f, o, n}
b) {e, f, g, h, o, n, i}
c) {a, b, c, d, g, h}
d) (a, b, c, d, p}
e) {a, b, c, d, e, f, g, h, i, n, o, p}
B A.
a) {e, f, o, n}
b) {e, f, o, n, p,}
c) {a, b, c, d, g, h}
d) (g, h, i}
e) {a, b, c, d, e, f, g, h, i, n, o, p}
06. Assinale a alternativa que representa o conjunto
C.
a) {n, o, p}
b) {e, f, o, n, p, i}
c) {a, b, c, d, j, l, m}
d) (i, j, l, m, n, o, p}
e) {a, b, c, d, e, f, j, l, m, n, o, p}
12. (EPPG) Numa pequena cidade com 400
residências, 60% delas têm água encanada, 45%
dispõem de sistema de esgoto e 5% não têm água
encanada nem esgoto. Nessas condições, é verdade
que :
a) 60 residências têm água encanada e esgoto.
b) 120 residências não têm água encanada.
c) 200 residências têm água encanada mas não esgoto.
d) 160 residências têm esgoto mas não água encanada.
e) 360 residências têm água encanada ou esgoto.
13.
(ESAF-TTN)
Uma
pessoa
entre
800
consumidores, sendo 400 homens e 400 mulheres,
mostrou os seguintes resultados:
07. Assinale a alternativa que representa o conjunto
A B C.
a) {e, f, p, i}
b) {e, f, o, n, p, i}
c) {o, n}
d) (q, r}
e) {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, l, m, n, o, p}
08. (ESAF) Considere dois conjuntos, A e B, tais
que A = {4, 8, x, 9, 6} e B = {1, 3, x, 10, y, 6}. Sabendo
que a intersecção dos conjuntos A e B é dada pelo
conjunto {2, 9, 6}, o valor da expressão y - (3x + 3) é
igual a
a) -28
b) -19
c) 32
d) 6
e) 0
09. Dados os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4, 5 }; B = { 4, 5,
6, 7 }; C A = { 7, 8, 9 }; C B = { 3, 8, 9 } e A
B
C = { 4 }, o número de elementos do conjunto C é:
a) 6
b) 7
c) 3
d) 4
e) 5
10. (UFPR) Uma pesquisa sobre animais domésticos
feita em um grupo de 52 pessoas apresentou o
seguinte resultado: 21 têm gato, 28 têm cachorro, 7
têm passarinho, 9 têm gato e cachorro, 3 têm gato e
passarinho, 6 têm cachorro e passarinho, 2 têm gato,
cachorro e passarinho. Quantas pessoas do grupo
NÃO têm animal doméstico?
a) 12.
b) 11.
c) 10.
d) 9.
e) 8.
Atualizada 26/06/2008
11. Uma pesquisa mostrou que 33% dos entrevistados
lêem o Jornal A, 29% lêem o jornal B, 13% lêem A e B,
22% lêem o jornal C e 6% lêem B e C, 14% lêem A e C
e 6% lêem os três jornais.
a) Quanto por cento não lê nenhum desses jornais?
b) Quanto por cento lê os jornais A e B e não lê o C?
c) Quanto por cento lê pelo menos um jornal?
05. Assinale a alternativa que representa o conjunto
A
Matemática
do total de pessoas entrevistadas:
500 assinam o jornal X.
350 têm curso superior.
250 assinam o jornal X e têm curso superior.
do total de mulheres entrevistadas:
200 assinam o jornal X.
150 têm curso superior.
50 assinam o jornal X e têm curso superior
O número de homens entrevistados que não
assinam o jornal X e não tem curso superior é,
portanto, igual a:
a) 50
b) 200
c) 25
d) 0
e) 100
14. (EsPCEX) Numa pesquisa feita junto a 200
universitários sobre o hábito de leitura de dois
jornais (A e B), chegou-se às seguintes conclusões:
(1) 80 universitários lêem apenas um jornal;
(2) o número dos que não lêem nenhum dos jornais é o
dobro do número dos que lêem ambos os jornais.
(3) o número dos que lêem o jornal A é o mesmo dos
que lêem apenas o jornal B.
Com base nesses dados, podemos afirmar que o
número de universitários que lêem o jornal B é:
a) 160
b) 140
c) 120
d) 100
e) 80
15. Na porta de um supermercado foi realizada uma
enquete com 100 pessoas, sobre três produtos. As
respostas foram 10 pessoas compram somente o
produto A, 30 pessoas compram somente o produto B,
15 pessoas compram somente o produto C, 8 pessoas
compram A e B, 5 pessoas compram A e C, 6 pessoas
compram B e C, e 4 compram os três produtos.
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a) Quantas pessoas compram pelo menos um dos três
produtos?
b) Quantas pessoas não compram nenhum desses
produtos?
c) Quantas pessoas compram os produtos A e B e não
compram C?
d) Quantas pessoas compram os produtos A ou B?
e) Quantas pessoas compram o produto A?
f) Quantas pessoas compram o produto B?
20. (PUC-RJ) Um levantamento sócio-econômico
entre os habitantes de uma cidade revelou que,
exatamente:
17% Têm casa própria;
22% Têm automóvel;
8%
Têm casa própria e automóvel.
Qual o percentual dos que não têm casa própria nem
automóvel?
a) 69%
d) 75%
16. (UFPE) Objetivando conhecer a preferência musical
dos seus ouvintes, certa emissora realizou uma pesquisa,
dando como opção três compositores: M, B e S. Os
resultados são:
Votos
27
34
40
16
12
14
6
4
Opções
gostam de B
gostam de M
gostam de S
gostam de B e M
gostam de B e S
gostam de M e S
gostam de B, M e S
não gostam de B, M e S
Considerando esses dados podemos classificar em
verdadeiras (V) ou falsas (F) as seguintes afirmações:
a) 42 não gostam de B.
b) 18 gostam de M e não gostam de B.
c) 20 gostam exclusivamente de S.
d) 24 gostam de exatamente dois compositores.
e) 25 não gostam de M.
17. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique:
a) Se A tem 3 elementos e B tem 4 elementos, então A
B tem 7 elementos.
b) Se A tem 2 elementos e B tem 3 elementos, então A
B tem 2 elementos.
c) Se A
B = . A tem 5 elementos e B tem 4
elementos, então A B tem 9 elementos.
18. Numa pesquisa sobre audiência de tevê entre 125
entrevistados, obteve-se: 60 assistem ao canal X, 40 ao
canal Y, 15 ao canal Z, 25 assistem a X e Y, 8 a Y e Z, 3
a X e Z, e 1 assiste aos três.
a) Quantos não assistem a nenhum desses canais?
b) Quantos assistem somente ao canal X?
c) Quantos não assistem nem a X nem a Y?
19. (ESAF) Numa escola de apenas 800 alunos, é
sabido que 200 deles gostam de pagode, 300 de rock
e 130 de pagode e rock. Quantos alunos não gostam
nem de pagode e nem de rock?
a) 430
d) 730
84
b) 560
e) 800
Atualizada 26/06/2008
c) 670
Matemática
b) 70%
e) 60%
c) 32%
21. Numa escola mista existem 84 meninas, 48
crianças loiras, 26 meninos não loiros e 18 meninos
loiros. Determine o número de crianças:
(CESPE)
Um posto
de abastecimento
de
combustíveis vende gasolina comum (GC), álcool
anidro (AA) e óleo diesel (OD). Em uma pesquisa
realizada com 200 clientes, cada entrevistado
declarou que seus veículos consomem pelo menos
um dos produtos citados, de acordo com a tabela
abaixo. Produto quantidade de clientes proprietários
de veículos que consomem o produto
Produto
GC
AA
GC e OD
AA e OD
GC e AA
GC, AA e OD
Quantidade de clientes
proprietários de veículos
que consomem o produto
120
75
60
50
30
20
Considerando essas informações e que cada veículo
consome apenas um tipo de combustível, é correto
afirmar que
22. 35 clientes
consomem OD.
possuem
apenas
veículos
que
23. pelo menos dois produtos são consumidos pelos
veículos de mais de 120 clientes.
24. 10 clientes possuem mais de um veículo, sendo que
pelo menos um desses veículos consome GC e outro
consome AA, mas não possuem nenhum veículo que
consome OD.
25. (NC.UFPR) Uma pesquisa feita em um universo
de 12000 pessoas apontou que 42% delas preferem
uma marca de cerveja X e 58% preferem uma marca
Y. A fim de que, nesse mesmo universo, a marca X
venha a ter mais do que 50% de preferência, é
necessário que haja mudança de preferência de, no
mínimo:
a) 961 dessas pessoas
b) 1201 dessas pessoas
c) 1441 dessas pessoas
d) 1681 dessas pessoas
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26. (NC.UFPR) Considere as seguintes informações
sobre o número de candidatos em um concurso aos
cargos A e B, sabendo que ninguém podia se
candidatar simultaneamente aos dois cargos: 75% do
total de candidatos escolheram o cargo A; 60% do
total de candidatos eram homens; 30% dos
candidatos ao cargo B eram homens; 2.100 mulheres
se candidataram ao cargo B. Assim, o número de
homens que se candidataram ao cargo A foi de:
a) 7.200
b) 6.300
c) 5.040
d) 2.300
e) 900
27. (NC.UFPR) Em uma creche, há 130 crianças.
Dessas crianças, 56 tomaram só a vacina A, 37
tomaram as vacinas A e B, e 25 não tomaram vacina.
Então, o número de crianças que tomaram somente a
vacina B é:
a) 12
b) 111
c) 86
d) 63
e) 44
28.
Em exames de sangue realizados em 500
moradores de uma região com péssimas condições
sanitárias, foi constatada a presença de três tipos de
vírus A, B e C. O resultado dos exames revelou que
o vírus A estava presente em 210 moradores; o vírus
B, em 230; os vírus A e B, em 80; os vírus A e C, em
90; e os vírus B e C, em 70. Além disso, em 5
moradores não foi detectado nenhum dos três vírus e
o número de moradores infectados pelo vírus C era
igual ao dobro dos infectados apenas pelo vírus B.
Com base nessa situação, julgue os itens abaixo.
I.O número de pessoas contaminadas pelos três vírus
simultaneamente representa 9% do total de pessoas
examinadas.
II.O número de moradores que apresentaram o vírus C é
igual a 230.
III.345 moradores apresentaram somente um dos vírus.
IV.Mais de 140 moradores apresentaram, pelo menos,
dois vírus.
V.O número de moradores que não foram contaminados
pelos vírus B e C representa de 16% do total de pessoas
examinadas.
A quantidade de itens certos é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Atualizada 26/06/2008
Matemática
GABARITO
TEORIA
DOS
CONJUNTOS
01 E
02 E
03 A
04 D
05 D
06 A
07 C
08 E
09 E
10 A
11 a) 43%
b) 7%
c) 57%
12 C
13 E
14 E
15 a) 66
b) 34
c) 4
d) 51
e) 19
f) 40
16 a) V
b) V
c) V
d) V
e) E
17 a) F
b) F
c) V
18 a) 45
b) 33
c) 50
19 A
20 A
21 A
22 Correta
23 Errada
24 Correta
25 A
26 B
27 A
28 C
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Multiplicando entre si os valores da 3ª coluna,
5x4x3x2x1=120, obtemos o total de formações
diferentes possíveis.
ANALISE COMBINATÓRIA
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC)
Se uma decisão d1 pode ser tomada de x maneiras e
se, uma vez tomada à decisão d1, a decisão d2 pode ser
tomada de y maneiras, então, o número de maneiras de
se tomarem às decisões d1 e d2, é igual ao produto x.y.
01
SEM REPETIÇÃO DE ELEMENTOS (PFC)
Determinada formação com k etapas e n
elementos, sem repeti-los nas etapas, o total T de
maneiras em que ocorre a formação é dada por:
T = n(n - 1)(n - 2)(n - 3)...(n - (k - 1))
k fatores
02
k etapas
03
Matemática
COM REPETIÇÃO DE ELEMENTOS (PFC)
Determinada formação com k etapas e n
elementos, podendo repeti-los nas etapas, o total
T de maneiras em que ocorre a formação é dada
por:
Resposta, no máximo obterá 120 senhas.
TESTES
01.Quantos números pares de três algarismos com
algarismos repetidos podem ser formados com os
algarismos 1, 2, 3 e 4?
a) 16
b) 48
c) 64
d) 24
e) 32
02. Quantos números pares de três algarismos com
algarismos sem repetição podem ser formados com
os algarismos 1, 2, 3 e 4?
a) 30
b) 24
c) 16
d) 22
e) 12
03. De quantas formas diferentes podem sentar-se
em linha, alternadamente, quatro rapazes e três
moças ?
k
T = n n n n ... n = n
k fatores
04
k etapas
EXERCÍCIO RESOLVIDO
01. Para ter acesso a um arquivo, um operador de
computador precisa digitar uma seqüência de 5
símbolos distintos, formada de duas letras e três
algarismos. Ele se lembra dos símbolos, mas não da
seqüência em que aparecem. O maior número de
tentativas diferentes que o operador pode fazer para
acessar o arquivo é:
a) 115
b) 120
d) 150
d) 200
I) A senha de acesso é formada por duas letras e três
números, uma formação possível é:
6
7
P
K
9
Considerando que a senha seja a sugerida acima, e
considerando que não pode haver repetição de qualquer
um dos 5 símbolos, é facilmente resolvida pelo princípio
multiplicativo ou por permutação simples.
86
Poderá escolher,
7, 9, P ou K
Poderá escolher,
9, P ou K
Poderá escolher
9 ou K
Poderá escolher
ou K
Só resta o 9
Atualizada 26/06/2008
6,
6,
6,
9
5
4
3
2
1
05. (UCS) Uma prova compõe-se de vinte questões
do tipo múltipla escolha, tendo cada uma quatro
alternativas distintas. Se todas as vinte questões
foram respondidas ao acaso, o número máximo de
maneiras de preencher a folha de respostas será.
e) 249
Resolução
1ª
digitada
2ª
digitada
3ª
digitada
4ª
digitada
5ª
digitada
04. De quantas formas diferentes podemos atribuir
um primeiro, segundo e terceiro prêmios em uma
classe de 5 alunos ?
a) 64
b) 36
c) 240
d) 120
e) 60
Supondo
digitou 7
Supondo
digitou P
Supondo
digitou 6
Supondo
digitou K
que
que
que
que
Única opção
7
P
6
K
9
06. ( FGV - SP) Um restaurante oferece no cardápio 2
saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5
variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes.
Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne,
uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras
a pessoa poderá fazer seu pedido ?
a)90
b)100
c)110
d)130
e)120
07. Do quantos modos pode vestir-se um homem
que tem 2 pares de sapatos, 4 paletós e 6 calças
diferentes, usando sempre uma calca, uma paletó e
um par de sapatos ?
a) 52
b) 86
c) 24
d) 32
e) 48
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Matemática
[
08.(OBM) Na figura abaixo, temos 4 circunferências e
alguns pontos destacados no interior dessas
circunferências. Escolhendo exatamente um desses
pontos dentro de cada uma das circunferências, e
unindo-os por segmentos de reta que não se cruzam,
formamos um quadrilátero. Quantos quadriláteros
diferentes seremos capazes de desenhar nessas
condições?
a) 4
b) 14
c) 60
d) 120
e) 24
09.(OBM) O alfabeto usado no planeta X tem somente
duas letras: X e x. O sobrenome (nome de família) de
cada um de seus habitantes é uma seqüência
formada por 4 letras. Por exemplo, xXxx é um
possível sobrenome utilizado nesse planeta. O maior
número de sobrenomes diferentes que podem ser
dados no planeta X é:
a) 12
b) 14
c) 15
d) 16
e) 18
10. As finalista do concurso Miss Universo, são Miss
Brasil, Miss Japão, Miss Venezuela, Miss Itália e Miss
França. De quantas formas os juizes poderão
escolher o primeiro, o segundo e terceiro lugar neste
concurso ?
11. Qual é o número de anagramas distintos que se
podem ser formados com as letras da palavra
AMOR?
12.(CEFET-PR) Numa reunião definida como Queijos
e Vinhos , estavam disponíveis no buffet 8 tipos de
queijos e 6 tipos de vinhos. Sabendo que Jaime
serve-se de dois tipos diferentes de queijo e um tipo
de vinho cada vez que vai ao buffet , o número total
de opções distintas para servir-se é:
a) 34
b) 62
c) 42
d) 168
e) 336
13. Existem quatro estradas ligando duas cidades A e
B, e três estradas ligando as cidades B e C. De
quantos modos diferentes uma pessoa pode se
deslocar da cidade A até a cidade C?
14. Uma sala possui 3 portas. Quantas possibilidades
existem para que uma pessoa possa entrar e sair
desta sala?
Atualizada 26/06/2008
15. (UFBA) Num determinado país, todo rádioamador possui um prefixo formado por cinco
símbolos, assim disposto: um par de letras, um
algarismo diferente de zero, outro par de letras; por
exemplo: PY-6-CF. O primeiro par de letras é sempre
PY, PT ou PV; o segundo par só pode ser
constituído das dez primeiras letras do alfabeto, não
havendo letras repetidas. Nesse país, o número de
prefixos disponíveis é:
a) 270
b) 1230
c) 2430
d) 2700
e) 3.9.10
16. Sejam A, B, C, D, quatro cidades.
De quantos modos uma pessoa pode ir de A à D
passando pelas cidades B e C.
17. De quantos modos podemos dispor 5 livros de
Matemática, 3 de Física e 2 de Química em uma
prateleira, de modo que os livros do mesmo assunto
fiquem sempre juntos?
18. (TRF) Para entrar na sala da diretoria de uma
empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada
cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada
senha é constituída por 3 algarismos distintos.
Nessas condições, o número máximo de tentativas
para abrir os cadeados é
19. Considere os eixos coordenados x e y e o
conjunto M = { M1, M2, ... , M12 } cujos elementos
estão assinalados na figura abaixo.
O número de quadriláteros convexos que possuem
vértices pertencentes a M e diagonais sobre os
eixos é:
a) 216
d) 36
b) 108
e) 12
c) 72
20. De quantos modos distintos 5 pessoas podem
sentar-se em um banco de jardim com 5 lugares?
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21. O número de anagramas da palavra NÚMERO, em
que nem vogal, nem consoantes fiquem juntas é:
a) 12
b) 36
c) 48
d) 60
e) 72
22. (UFPR) Numa certa rede bancária, cada um dos
clientes possui um cartão magnético e uma senha
formada por seis dígitos. Para aumentar a segurança
e evitar que os clientes utilizem datas de aniversário
como senha, o banco não permite o cadastro de
senhas nas quais os dois dígitos centrais
correspondem aos doze meses do ano, ou seja,
senhas em que os dois dígitos centrais sejam
01,02,...,12 não podem ser cadastradas. Quantas
senhas diferentes podem ser compostas dessa
forma?
a) 880 000
b) 1 000 000
6
2
c) 10 12 . 10
d) 10.9.8.7.6.5
e) 1 000 000 - 12
23. (MACK-SP) Se uma sala tem 8 portas, então o
número de maneiras distintas de se entrar nela e sair
da mesma por uma porta diferente é:
a) 8
b) 16
c) 40
d) 48
e) 56
24. (PUC-SP) Um dia pode ter uma das 7
classificações: MB (muito bom), B (bom), R (regular),
O (ótimo), P (péssimo), S (sofrível) e T(terrível). Os
dias de uma semana são: domingo, segunda-feira,
terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira,
sábado. Duas semanas se dizem distintas se dois
dias de mesmo nome têm classificações distintas.
Quantas semanas distintas, segundo o critério dado,
existem?
a) 7!
2
b) 7
C) 7.7!
7
d) 7
7
e) 7 !
25. (UFRJ-NCE) Cada região da figura abaixo vai ser
pintada de uma cor. Usando quatro cores, o total de
diferentes pinturas da figura é igual a:
Matemática
GABARITO
ANÁLISE
COMBINATÓRIA
01 E
02 E
03 144
04 E
20
05 4
06 E
07 E
08 D
09 D
10 60
11 24
12 E
13 12
14 9
15 C
16 24
17 8 640
18 518 400
19 C
20 120
21 E
22 A
23 E
24 D
25 E
FATORIAL - SÍMBOLO !
Fatorial ! é um operador.
Seja n um número natural N, definimos fatorial de n, e
indicamos por n!, através da relação:
01
02
03
04
n!=n(n-1)(n-2)(n-3)...3.2.1 para (n
2)
2!=2.1=2
3!=3.2.1=6
4!=4.3.2.1=24
5!=5.4.3.2.1=120
6!=6.5.4.3.2.1=720
7!=7.6.5.4.3.2.1=5040
Identidades importantes
0! = 1
1! = 1
Como conseqüência: Se m ! =1, m pode ser igual
a 0 (m = 0) ou 1 (m = 1).
PERMUTAÇÃO - SÍMBOLO P
São agrupamentos com n elementos, que diferem entre
si apenas pela ORDEM dos seus elementos.
A permutação é um caso particular de arranjo em que
n=p.
Se um ou mais elementos aparecem repetidos no total
dos n elementos, o número de repetições de cada
natureza, serão indicadas por: a, b, c, d, ...
a)4
b)8
c) 12
d)16
e)24
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01
Permutação sem repetição P
02
Pn = n!
03
Permutação com repetição P
04
a,b,c,d,...
Pn
=
05
Matemática
COMBINAÇÃO- SÍMBOLO C
São agrupamentos com p (p N) elementos, que diferem
entre si apenas pela NATUREZA dos seus elementos.
n!
a! b! c! d!...
Permutação circular sem repetição PC
01
Combinação sem repetição
02
n!
Cn, p =
(n - p)! p!
PC n (n - 1) !
TESTE PARA IDENTIFICAR A APLICAÇÃO
ARRANJO A OU COMBINAÇÃO C .
Forme um agrupamento conforme orientação do
enunciado.
p)
TESTES RESOLVIDOS
DE
Início do teste
(n
01. (CESPE-BB) Considerando-se apenas os países
da América do Norte e da América Central,
participantes dos Jogos Pan-Americanos, a
quantidade de comitês de 5 países que poderiam ser
constituídos contendo pelo menos 3 países da
América Central é inferior a 180.
RESOLUÇÃO
Troque a ordem de pelo menos dois elementos
(entre si) nesse agrupamento formado e
pergunte.
O
agrupamento
mudou ?
NÃO
SIM
I) Dados
Informado no enunciado principal
AN = América do Norte = 3 países.
AC = América central = 8 países.
Pelo menos 3 países da América Central.
II) Com 3 vagas para a América Central e 2 vagas para
a América do Norte.
Os países da mesma América quando trocados entre si
pela ordem, não alteram o agrupamento, portanto, o
cálculo será obtido aplicando a combinação simples.
e
AC
Use
AC
n=8
p=3
AC
Use
C
n!
n, p
C8,3
56
Fim
AN
AN
n=3
p=2
(n p) ! p !
C3,2
3
x
Fim
Total parcial: 56 x 3 = 168
25.5.
ARRANJO - SÍMBOLO A
São agrupamentos com p (p N) elementos, que diferem
entre si ou pela NATUREZA ou pela ORDEM dos seus
elementos.
01
02
Arranjo sem repetição
A n ,p
(n
p)
n!
( n p) !
03
Arranjo com repetição
04
A n ,p
(n
III) Com 4 vagas para a América Central e 1 vaga para a
América do Norte.
Os países da mesma América quando trocados entre si
pela ordem, não alteram o agrupamento, portanto, o
cálculo será obtido aplicando a combinação simples.
AC
AC
n=8
p=4
p)
C
np
AC
AC
e
AN
n=3
p=1
n!
n, p
(n p) ! p !
C8,4
70
x
C3,1
3
Total parcial: 70 x 3 = 210
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IV) Com todas as 5 vagas para a América Central e
nenhuma vaga para a América do Norte.
Os países da mesma América quando trocados entre si
pela ordem, não alteram o agrupamento, portanto, o
cálculo será obtido aplicando a combinação simples.
AC
AC
C
AC
n=8
p=5
AC
AC
(n p) ! p !
C8,4
56
Total parcial: 56
V) Total geral:
VI) Afirmativa da CESPE
...é inferior a 180.
04. Qual é o número possível de anagramas que se
pode montar com as letras da palavra AMA?
Afirmativa errada
02.
(CESPE-BB)
Considerando-se
que,
em
determinada modalidade esportiva, havia exatamente
1 atleta de cada país da América do Sul participante
dos Jogos Pan-Americanos, então o número de
possibilidades distintas de dois atletas desse
continente competirem entre si é igual a 66.
RESOLUÇÃO
I) Dados
América do Sul = n = 12 países
Dois atletas competem entre si, p = 2.
II) Cálculo
n!
n, p
C
C
C
(n p) ! p !
(12 2) ! 2 !
10 ! 2 !
12 11
12, 2
12 !
12, 2
12 11 10 !
12, 2
2 1
01. O número de anagramas distintos que podem ser
formados com as letras da palavra ALUNO é:
a) 120
b) 30
c) 60
d) 80
e) 100
03. Quantos são os anagramas distintos podem ser
formados com as letras da palavra: MATEMATICA?
168 + 210 + 56 = 434 formações diferentes.
C
TESTES
02. Quantos anagramas distintos podem ser
formados com as letras da palavra PALCO
podemos formar de maneira que as letras A e L
apareçam sempre juntas ?
a) 48
b) 24
c) 96
d) 120
e) 36
n!
n, p
Matemática
C
12, 2
66 duplas
05. Quantos números de cinco algarismos podemos
escrever apenas com os dígitos 1, 1, 2, 2 e 3
respeitadas as repetições apresentadas ?
a) 12
b) 30
c) 6
d) 24
e) 18
06. Quantos anagramas da palavra SUCESSO
começam por S e terminam com O ?
a) 7 !
b) 5 !
c) 30
d) 60
e) 90
07.(UFSM-RS) De quantas maneiras distintas podemse alinhar cinco estacas azuis idênticas, uma
vermelha e uma branca?
a) 12
b) 30
c) 42
d) 240
e) 5040
diferentes
III) Afirmativa da CESPE
...então o número de possibilidades distintas de dois
atletas desse continente competirem entre si é igual a
66.
Afirmativa correta
90
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08. (OCM) Paula e Isis moram numa região cortada
por ruas, conforme o mapa ao lado. Paula mora na
esquina indicada pelo ponto A do mapa e Isis na
esquina do ponto B. Para Paula visitar Isis ela
percorre um
caminho formado por trechos
horizontais ou verticais movendo-se sempre para a
direita ou para cima. Um desses caminhos está
ilustrado no mapa. Determine a quantidade de
caminhos diferentes que Paula pode fazer para visitar
Isis, seguindo esta regra.
B
A
09.(UFRJ-NCE) Uma placa de automóvel é composta
por três letras e quatro algarismos, nessa ordem. O
número de placas que podem ser formadas com as
letras K, Q ou L e cujos dois últimos algarismos são 2
e 6, nessa ordem, é:
a) 540;
b) 600;
c) 2430;
d) 2700;
e) 3000.
10.(UFF-RJ) Cinco casais vão-se sentar em um
banco de 10 lugares, de modo que cada casal
permaneça sempre junto ao sentar-se.
Determine de quantas maneiras distintas todos os
casais podem, ao mesmo tempo, sentar-se no banco
11. Uma prova consta de 15 questões das quais o
aluno deve resolver 10. De quantas formas diferentes
ele poderá escolher as 10 questões?
12.(CESGRANRIO) Para ter acesso a um arquivo, um
operador de computador precisa digitar uma
seqüência de 5 símbolos distintos, formada de duas
letras e três algarismos. Ele se lembra dos símbolos,
mas não da seqüência em que aparecem. O maior
número de tentativas diferentes que o operador pode
fazer para acessar o arquivo é:
a) 115
b) 120
d) 150
d) 200
e) 249
13. Para resolver um assunto entre 6 professores e 4
alunos, desejamos formar comissões contendo 3
professores e 2 alunos. Quantas são as
possibilidades?
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Matemática
(CESPE) Em uma reunião social, cada convidado
cumprimentou uma única vez todos os outros com
um aperto de mão, o que resultou em 45 desses
cumprimentos. Nesse contexto, é correto afirmar
que
14. apenas 12 pessoas participaram da reunião.
15. (UFS) O número de comissões de quatro
pessoas formadas com um grupo de quatro rapazes
e três moças, tendo cada comissão no máximo dois
rapazes, é:
a) 35
b) 22
c) 18
d) 10
e) 28
16. Em uma empresa de 10 sócios, deseja-se formar
diretorias com 4 membros. Quantas diretorias
distintas podem ser formadas.
a) 5040
b) 40
c) 2
d) 210
e) 5400
17. Com um conjunto de 10 peças distintas, o
número de grupos diferentes, de três peças, que
podem ser formadas, é:
a) 3 !
b) 7 !
c) 10 !
d) 720
e) 120
18. O numero de triângulos distintos determinados
por 7 pontos distintos, 4 sobre uma reta e 3 sobre
uma paralela á primeira, é:
a) 60
b) 30
c) 20
d) 10
e) 5
19.(UFF-RJ) A partir de um grupo de 6 alunos e 5
professores será formada uma comissão constituída por
4 pessoas das quais, pelo menos duas devem ser
professores.
Determine de quantas formas distintas tal comissão
pode ser formada.
20. Com seis homens e quatro mulheres, quantas
comissões distintas com quatro pessoas podemos
formar?
21. Com seis homens e quatro mulheres, quantas
comissões de cinco pessoas podemos formar,
constituídas por dois homens e três mulheres?
22. A Diretoria de uma Empresa tem seis membros.
Quantas comissões de quatro membros podem ser
formadas, com a condição de que em cada comissão
figurem sempre o Presidente e o Vice-Presidente?
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23.(ACAFE-SC) Sobre uma reta r se marcam 7 pontos e
sobre uma outra reta s paralela a r, se marcam 4 pontos.
O número de triângulos diferentes que se pode obter,
unindo 3 quaisquer desses pontos, é:
a) 304
b) 152
c) 165
d) 330
e) 126
32. (FUVEST-SP) A figura abaixo representa parte
do mapa de uma cidade onde estão assinaladas as
casa de João (A), de Maria (8), a escola (C) e um
possível caminho que João percorre para, passando
pela casa de Maria, chegar à escola. Qual o número
total de caminhos distintos que João poderá
percorrer, caminhando somente para o Norte ou
leste, para ir de sua casa à escola, passando pela
casa de Maria?
C
O número de países representados nos Jogos PanAmericanos realizados no Rio de Janeiro foi 42,
sendo 8 países da América Central, 3 da América do
Norte, 12 da América do Sul e 19 do Caribe. Com
base nessas informações, julgue os itens que se
seguem.
24. (CESPE-BB) Se determinada modalidade esportiva
foi disputada por apenas 3 atletas, sendo 1 de cada país
da América do Norte participante dos Jogos PanAmericanos, então o número de possibilidades diferentes
de classificação no 1.º, 2.º e 3.º lugares foi igual a 6.
25. (CESPE-BB) Há, no máximo, 419 maneiras distintas
de se constituir um comitê com representantes de 7
países diferentes participantes dos Jogos PanAmericanos, sendo 3 da América do Sul, 2 da América
Central e 2 do Caribe.
26. (CESPE-BB) Considerando-se apenas os países da
América do Norte e da América Central, participantes dos
Jogos Pan-Americanos, a quantidade de comitês de 5
países que poderiam ser constituídos contendo pelo
menos 3 países da América Central é inferior a 180.
27. (CESPE-BB) Considerando-se que, em determinada
modalidade esportiva, havia exatamente 1 atleta de cada
país da América do Sul participante dos Jogos PanAmericanos, então o número de possibilidades distintas
de dois atletas desse continente competirem entre si é
igual a 66.
28. (CESPE-BB) Considere a seguinte situação
hipotética.
Para oferecer a seus empregados cursos de inglês e de
espanhol, uma empresa contratou 4 professores
americanos e 3 espanhóis. Nessa situação, sabendo que
cada funcionário fará exatamente um curso de cada
língua estrangeira, um determinado empregado disporá
de exatamente 7 duplas distintas de professores para
escolher aqueles com os quais fará os seus cursos.
Matemática
B
A
a) 150
b) 120
c) 320
d) 462
e) 624
Dica de segurança: saiba mais sobre o código de
acesso
O código de acesso consiste em uma seqüência de
três letras distintas do alfabeto, gerada automaticamente
pelo sistema e informada ao cliente. Para efetuar
transações a partir de um terminal de auto-atendimento,
esse código de acesso é exigido do cliente pessoa
física, conforme explicado a seguir. É apresentada ao
cliente uma tela em que as 24 primeiras letras do
alfabeto estão agrupadas em 6 conjuntos disjuntos de 4
letras cada. Para entrar com a primeira letra do seu
código de acesso, o cliente deve selecionar na tela
apresentada o único conjunto de letras que a contém.
Após essa escolha, um novo agrupamento das 24
primeiras letras do alfabeto em 6 novos conjuntos é
mostrado ao cliente, que deve então selecionar o único
conjunto que inclui a segunda letra do seu código. Esse
processo é repetido para a entrada da terceira letra do
código de acesso do cliente. A figura abaixo ilustra um
exemplo de uma tela com um possível agrupamento das
24 primeiras letras do alfabeto em 6 conjuntos.
Assinale o que for correto:
29. Com um grupo de 6 pessoas podem ser formadas 15
comissões diferentes de 4 pessoas cada.
30. Com os dígitos 5,6,7,8 podem ser formados 64
números de 3 algarismos.
31. O número de anagramas da palavra CANETA em
que as vogais aparecem juntas é 72.
Com base nessas informações, julgue os itens a
seguir.
33. (CESPE-BB) Considerando que o Banco do Brasil
tenha 15,6 milhões de clientes pessoa física e que todos
possuam um código de acesso como descrito acima,
conclui-se que mais de 1.000 clientes do Banco do
Brasil possuem o mesmo código de acesso.
92
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34. (CESPE-BB) Utilizando-se as 24 primeiras letras do
alfabeto, é possível formar um conjunto de 4 letras
distintas de mais de 10.000 maneiras diferentes.
35.(UFRJ-NCE) A partir de um grupo de 10 pessoas,
deseja-se formar duas equipes de 5 para disputar
uma partida de vôlei de praia. De quantas formas
distintas pode-se formar as equipes?
a) 50
b) 126
c) 252
d) 15120
e) 30240
36.(UFRJ-NCE) Há seis caminhos que ligam o
acampamento A ao acampamento B e há três
caminhos
ligando
o
acampamento
B
ao
acampamento C. Não há caminhos diretos de A para
C. Um grupo de pessoas quer ir de A para C,
passando por B. O número de trajetos diferentes que
podem ser escolhidos é:
a) 6;
b) 9;
c) 12;
d) 18;
e) 30.
37. (UF-SM) Considerando o número de 5 algarismo
distintos [ 2 _ _ 4 _ ], o número de formas possível
para preencher as lacunas, de modo a obter um
múltiplo de 5 é:
a) 2C8,2
b) 2C8,3
c) 2A7,3
d) 2A7,2
e) A8,2
38. (EU-CE) A quantidade de números inteiros
compreendidos entre os números 1000 e 4500 que
podemos formar utilizando somente os algarismos 1,
3, 4, 5 e 7, de modo que não figurem algarismos
repetidos, é:
a) 48
b) 54
c) 60
d) 72
e) 64
39. (OSEC) De um grupo de estudos de vinte
pessoas, onde seis são médicos, deseja-se formar
comissões de dez pessoas, sendo que todos os
médicos devem ser incluídos em cada comissão. O
número de formas para elaborar as comissões pode
ser dado por:
a) A14,4
b) A20,4
c) A2O,6
d) C2O,4
e) C14,4
Matemática
41. (PUC-SP) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e
Ernesto querem formar uma sigla com cinco
símbolos, onde cada símbolo é a primeira letra de
cada nome. O número total de siglas possíveis é:
a) 10
b) 24
c) 30
d) 60
e) 120
GABARITO
ANÁLISE
COMBINATÓRIA
01 A
02 A
03 151 200
04 3
05 B
06 D
07 C
08 35
09 D
10 3 840
11 3 003
12 B
13 120
14 Errada
15 B
16 D
17 E
18 B
19 215
20 210
21 60
22 6
23 E
24 C
25 E
26 E
27 C
28 E
29 C
30 C
31 C
32 A
33 C
34 C
35 C
36 D
37 D
38 C
39 E
40 E
41 C
40. (UNIFOR-CE) Considere todos os números de três
algarismos distintos que podem ser formados com
os elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Quantos
deles são maiores que 300?
a) 30
b) 40
c) 45
d) 60
e) 80
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PROBABILIDADE
Introdução
A teoria da probabilidade é o ramo da matemática que
cria, desenvolve e em geral pesquisa modelos que
podem ser utilizados para estudar experimentos
aleatórios ou não determinísticos.
Matemática
DECORRÊNCIA DA DEFINIÇÃO
I)
II)
III)
IV)
0 P(A)
1
P(A) + P(A) = 1
P( ) = 0
P(S) = 1
= conj. vazio
UNIÃO DE EVENTOS
Experimentos determinísticos
Um experimento é determinístico quando repetido em
condições
semelhantes
conduz
a
resultados
essencialmente idênticos.
A
Experimentos aleatórios
Experimentos que repetidos sob as mesmas condições
produzem resultados geralmente diferentes serão
chamados experimentos aleatórios.
I)
Por exemplo:
II)
01. Um dado de seis faces, numeradas de 1 até 6, ao ser
lançado ao ar, é certo que cairá, mas não é certo que,
digamos apareça voltada para cima à face que está
registrada com o número 3. Em n lançamentos, o número
de sucessos s (apareça a face 3), após feita uma
observação empírica, a freqüência relativa f=s/n, tende a
estabilizar-se quando n tende a um limite.
B
A B
Se A B 0
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
Se A B = 0
P(A B) = P(A) + P(B)
PROBABILIDADE CONDICIONADA
S
Espaço amostral (S).
É o conjunto de todos os elementos possíveis do
experimento.
Nesta etapa, podemos descrever os elementos e/ou
calcular o número de elementos.
Evento (A)
É um subconjunto do espaço amostral.
A probabilidade de ocorrer o evento A, sabendo que já
ocorreu o evento B, é chamada de probabilidade de A
condicionada a B.
Eventos elementares
Denominamos de eventos elementares, quaisquer
elementos do espaço amostral, igualmente prováveis.
Casos favoráveis
É o conjunto do espaço amostral (S).
B
A
P(A/B) =
P(A B)
P(B)
INTERSECÇÃO DE EVENTOS
Casos possíveis
É um subconjunto do espaço amostral (A).
È o conjunto de todos os resultados possíveis de um
experimento.
Um elemento deste conjunto de resultados, é chamado
de ponto amostral.
I)
Se A B = 0
P(A B) = P(A) . P(B)
LEI BINOMIAL DE PROBABILIDADE
Repetindo n vezes uma experiência em que um evento
A tem probabilidade de ocorrer igual a p, a probabilidade
de ocorrer apenas k vezes o evento A, é:
DEFINIÇÃO
A probabilidade do evento A é um subconjunto de um
espaço amostral S.
k
C n, k . p . (1-p)
n-k
EXERCÍCO RESOLVIDO
s
A
P(A) =
94
n(A)
n(S)
n(A)=nº de elementos de A
n(S)=nº de elementos de S
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01. Analisando um lote de 360 peças para
computador, o departamento de controle de
qualidade de uma fábrica constatou que 40 peças
estavam com defeito. Retirando-se uma das 360
peças, ao acaso, a probabilidade de esta peça NÃO
ser defeituosa é:
a) 1/9
b) 2/9 c) 5/9
d) 7/9
e) 8/9
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Resolução
Matemática
05. Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas
bolas brancas. Calcule as probabilidades de:
I) Use S = conjunto dos elementos do espaço amostral,
casos possíveis, e n(s) o número de elementos deste
conjunto.
a) em duas retiradas, sem reposição da primeira bola
retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma bola
branca (B).
Use D = conjunto de elementos das peças defeituosas, e
n(D) o número de elementos deste conjunto.
Use ~D = conjunto dos elementos das peças não
defeituosas, e n(~D) o número de elementos deste
conjunto. Neste caso, é o conjunto dos casos favoráveis.
II) n(S) = 360 , n(D) = 40 e
n(~D) = 320
III) Para calcular a probabilidade de, retirada uma peça
que seja não defeituosa, proceda assim:
n(~ D) 320
........simplifique,
dividindo
P(~ D) =
=
n(S)
360
numerador e denominador por 40
P(~ D) =
n(~ D) 320 ÷ 40 8
=
=
n(S)
360 ÷ 40 9
Resposta: 8/9
TESTES
01. (METODISTA) Numa classe com 32 meninas e 8
meninos, escolhendo um aluno ao acaso, qual a
probabilidade, em termos percentuais, de que este
seja menino?
a) 80%
b) 75%
c) 25%
d) 20%
e) 1/5%
02. O número da chapa do carro é par. A
probabilidade de o algarismo das unidades ser zero
é:
a) 5
b) 1/2
c) 4/9
d) 5/9
e) 1/5
03. (UFPR) Suponha que a chance de um filho nascer
do sexo masculino ou do sexo feminino seja
exatamente igual. Qual é a probabilidade de que
todos os filhos nasçam do mesmo sexo no caso de
um casal que esteja planejando ter quatro filhos?
a) 20%
b) 14,3%
c) 17,5%
d) 16,7%
e) 12,5%
04. (UFRJ-NCE) Um sargento vai atribuir, ao acaso,
cinco tarefas de diferentes níveis de dificuldade a
cinco cabos, um dos quais é o cabo Armênio. A
probabilidade de que o cabo Armênio fique com a
tarefa mais difícil é então de:
a) 10%;
b) 20%;
c) 25%;
d) 40%;
e) 50%.
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b) em duas retiradas, com reposição da primeira bola
retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola
branca.
06. (UNISA-SP) A probabilidade de uma bola branca
aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna
contendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis é:
a) 1/3
b) 1/2
c) 1/4
d) 1/12
e) 1/5
07. (USP) Uma carta é retirada de um baralho
comum, de 52 cartas, e, sem saber qual é a carta, é
misturada com as cartas de um outro baralho
idêntico ao primeiro. Retirando, em seguida, uma
carta do segundo baralho, a probabilidade de se
obter uma dama é:
a) 3/51
b) 5/535
c) 5/676
d) 1/13
e) 5/689
08. (CESGRANRIO) Analisando um lote de 360 peças
para computador, o departamento de controle de
qualidade de uma fábrica constatou que 40 peças
estavam com defeito. Retirando-se uma das 360
peças, ao acaso, a probabilidade de esta peça NÃO
ser defeituosa é:
a) 1/9
b) 2/9
c) 5/9
d) 7/9
e) 8/9
09. (AFA) Uma urna contém 12 peças boas e 5
defeituosas.
Se
3
peças
forem
retiradas
aleatoriamente, sem reposição, qual a probabilidade
de serem 2 (duas) boas e 1 (uma) defeituosa?
a) 1/12
b) 3/17
c) 33/68
d) 33/34
e) 3/7
10. (NC.UFPR) Lança-se um dado. Se ocorrer um
número par, qual a probabilidade de que seja primo?
a) 2/3
b) 3/6
c) 3/2
d) 1/3
e) 1/6
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11. Uma caixa contém três bolas vermelhas e cinco
bolas brancas e outra possui duas bolas vermelhas e
três bolas brancas. Considerando-se que uma bola é
transferida da primeira caixa para a segunda, e que
uma bola é retirada da segunda caixa, podemos
afirmar que a probabilidade de que a bola retirada
seja da cor vermelha é:
a) 18/75
b) 19/45
c) 19/48
d) 18/45
e) 19/75
Matemática
17. (FAE-PR) Num teste de seleção com 10 questões
do tipo verdadeiro ou falso , a probabilidade de um
candidato que responde a todas as questões ao
acaso acertar exatamente 6 questões é igual a:
1
a)
1024
b)
105
512
c)
1
32
(CESPE) Em 2001, no relatório de pesquisa rodoviária
publicado
pela
Confederação
Nacional
de
Transportes, foi divulgada a tabela ao lado, que
mostra as condições de conservação de 45.294
quilômetros de estradas brasileiras. Com base
nesses dados, julgue os itens seguintes.
Estado geral
Ótimo
Bom
deficiente
Ruim
Péssimo
total
Extensão avaliada (km)
1.291
12.864
30.009
980
150
45.294
12. A probabilidade de um viajante que transita nessas
estradas passar por pelo menos 1 km de estrada em
condições ótimas ou boas é maior que 30%.
13. Da extensão total de estradas avaliadas, menos de
3/5 estão em condições deficientes.
14. (UNIMEP) Se escolhermos ao acaso dois números
naturais distintos de 1 a 40, a probabilidade de que o
produto dos números escolhidos seja par é:
a) 1/2
b) 20/78
c) 19/78
d) 59/78
e) 47/78
d)
3
16
e)
1
105
Dica de segurança: saiba mais sobre o código de
acesso
O código de acesso consiste em uma seqüência de
três letras distintas do alfabeto, gerada automaticamente
pelo sistema e informada ao cliente. Para efetuar
transações a partir de um terminal de auto-atendimento,
esse código de acesso é exigido do cliente pessoa
física, conforme explicado a seguir. É apresentada ao
cliente uma tela em que as 24 primeiras letras do
alfabeto estão agrupadas em 6 conjuntos disjuntos de 4
letras cada. Para entrar com a primeira letra do seu
código de acesso, o cliente deve selecionar na tela
apresentada o único conjunto de letras que a contém.
Após essa escolha, um novo agrupamento das 24
primeiras letras do alfabeto em 6 novos conjuntos é
mostrado ao cliente, que deve então selecionar o único
conjunto que inclui a segunda letra do seu código. Esse
processo é repetido para a entrada da terceira letra do
código de acesso do cliente. A figura abaixo ilustra um
exemplo de uma tela com um possível agrupamento das
24 primeiras letras do alfabeto em 6 conjuntos.
15. (FEI-SP) Uma urna contém 10 bolas pretas e 8
bolas vermelhas. Retiramos 3 bolas sem reposição.
Qual é a probabilidade de as duas primeira serem
pretas e a terceira vermelha?
16. (ESAF) De um grupo de 200 estudantes, 80 estão
matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não
estão matriculados nem em Inglês nem em Francês.
Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A
probabilidade de que o estudante selecionado esteja
matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas
(isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a
a) 30/200
b) 130/200
c) 150/200
d) 160/200
e) 190/200
96
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Com base nessas informações, julgue os itens a
seguir.
18. (CESPE-BB) Para um cliente do BB chamado
Carlos, a probabilidade de que todas as letras do seu
código de acesso sejam diferentes das letras que
compõem o seu nome é inferior a 0,5.
19. (CESPE-BB) Para um cliente do BB chamado
Carlos, a probabilidade de que todas as letras do seu
código de acesso estejam incluídas no conjunto das
letras que formam o seu nome é inferior a 0,01.
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
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Matemática
20. (CESPE-BB) Suponha que uma pessoa observe
atentamente um cliente do BB enquanto este digita o seu
código de acesso. Suponha ainda que ela observe que
os três conjuntos de letras em que aparecem no código
do cliente são disjuntos e, tendo memorizado esses três
conjuntos de letras, na ordem em que foram escolhidos,
faça um palpite de qual seria o código de acesso do
cliente. Nessas condições, a probabilidade de que o
palpite esteja certo é inferior a 0,02.
26. (CESGRANRIO-RJ) Um prédio de três andares,
com dois apartamentos por andar, tem apenas três
apartamentos ocupados. A probabilidade de que
cada um dos três andares tenha exatamente um
apartamento ocupado é:
a) 1/2
b) 215
c) 4/5
d) 1/5
e) n,d,a
21. (UFRJ-NCE) Se sortearmos ao acaso uma pessoa
de um grupo de N pessoas, a probabilidade de que
cada pessoa seja escolhida é 1/N. O elenco de uma
equipe de futebol é composto por dois goleiros, oito
zagueiros, seis armadores e quatro atacantes. Se
sortearmos ao acaso um jogador desse elenco, a
probabilidade de que ele seja um armador é de:
a) 25%;
b) 30%;
c) 40%;
d) 50%;
e) 60%.
27. (UNIMEP-SP) Num grupo de 60 pessoas, 10 são
torcedoras do São Paulo, 5 são torcedoras do
Palmeiras e as demais são torcedoras do
Corinthians. Escolhido ao acaso um elemento do
grupo, a probabilidade de ele ser torcedor do São
Paulo ou do Palmeiras é:
a) 0,40
b) 0,25
c) 0,50
d) 0,30
22. (AFA) Uma urna contém 12 peças boas e 5
defeituosas.
Se
3
peças
forem
retiradas
aleatoriamente, sem reposição, qual a probabilidade
de serem 2 (duas) boas e 1 (uma) defeituosa?
a) 1/12
b) 3/17
c) 33/68
d) 33/34
e) 3/7
23. (UNESP)
Lançando-se simultaneamente dois
dados não-viciados, a probabilidade de que suas
superiores exibam soma igual a 7 ou 9 é:
a) 1/6
b) 4/9
c) 2/11
d) 5/18
e) 3/7
24.
(UNISA-SP)
Foram
preparadas
noventa
empadinhas de camarão, sendo que, a pedido,
sessenta delas deveriam ser mais apimentadas. Por
pressa e confusão de última hora, foram todas
colocadas ao acaso, numa mesma travessa, para
serem servidas. A probabilidade de alguém retirar
uma empadinha mais apimentada é:
a) 1/3
b) 1/2
c) 1/60
d) 2/3
e) 1/90
25. (UEM-PR) Um número é escolhido ao acaso entre
os 20 inteiros, de 1 a 20. A probabilidade de o número
escolhido ser primo ou quadrado perfeito é:
a) 1/5
b) 2/25
c) 4/25
d) 2/5
e) 3/5
Atualizada 26/06/2008
28. (FEI-SP) Numa moeda viciada, a probabilidade de
ocorrer face cara num lançamento é igual a quatro
vezes a probabilidade de ocorrer coroa. A
probabilidade de ocorrer cara num lançamento desta
moeda é:
a) 40%
b) 80%
c) 25%
d) 20%
e) 50%
29. Uma moeda é viciada, de forma que as coroas
são cinco vezes mais prováveis de aparecer do que
as caras. Determine a probabilidade de num
lançamento sair coroa.
30. (PUC-SP) Uma urna contém apenas cartões
marcados com números de três algarismos
distintos, escolhidos de 1 a 9. Se, nessa urna, não
há cartões com números repetidos, a probabilidade
de ser sorteado um cartão com um número menor
que 500 é:
a) 3/4
b) 1/2
c) 8/21
d) 4/9
e) 1/3
31. Três estudantes A, B e C estão em uma
competição de natação. A e B têm as mesmas
chances de vencer e, cada um, tem duas vezes
mais chances de vencer do que C. Pede-se
calcular a probabilidades de A ou C vencer.
32. (MACK-SP) De um lote de 20 parafusos, 16 são
perfeitos e 4 têm defeitos. Escolhendo 3 parafusos
ao acaso, a probabilidade de que exatamente 2
sejam perfeitos é igual a:
a) 2/19
b) 4/19
c) 6/19
d) 8/19
e) 14/57
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33. (OSEP) Se um certo casal tem 3 filhos, então a
probabilidade de os três serem do mesmo sexo, dado
que o primeiro filho é homem, vaIe:
a) 1/3
b) 1/2
c) 1/5
d) 1/4
e) 1/6
34. (FGV-SP) No jogo da Sena seis números distintos
são sorteados dentre os números 1, 2, ... , 50. A
probabilidade de que, numa extração, os seis
números
sorteados
sejam
ímpares
vale
aproximadamente:
a) 50%
b) 1%
c) 25%
d) 10%
e) 5%
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
Matemática
C
A
C
D
D
E
B
B
B
5/6
D
3/5
D
D
B
B
TRIÂNGULO RETÂNGULO
35. (CESGRANRIO) Para responder à próxima
questão, utilize os dados da tabela abaixo, que
apresenta as freqüências acumuladas das idades de
20 jovens entre 14 e 20 anos.
ângulo B
B
ângulo C
a
c
C
b
Elementos do triângulo:
Um desses jovens será escolhido ao acaso. Qual a
probabilidade de que o jovem escolhido tenha menos
de 18 anos, sabendo que esse jovem terá 16 anos ou
mais?
a) 8/14
b) 8/16
c) 8/20
d) 3/14
e) 3/16
REPOSTAS
01 D
02 E
03 E
04 B
05 a) 5/21
b) 10/49
06 A
07 D
08 E
09 C
10 D
11 C
12 Correta
13 Errada
14 D
15 5/34
16 D
17 B
18 C
19 C
98
Atualizada 26/06/2008
A
a, b e c são os lados.
A, B e C são os vértices.
A, B e C são os ângulos internos, relativos aos
respectivos vértices.
O ângulo A é igual a 90º .
B + C = 90º
Em relação ao ângulo B , o b é cateto oposto e cateto
c adjacente.
Em relação ao ângulo C , o c é cateto oposto e cateto
b adjacente.
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Os elementos usados nas fórmulas apresentadas a
seguir obedecem a disposição conforme figura inicial
No espaço determinado pelo pontilhado, poderá ser
usado um dos ângulos agudos, B ou C , ajustando
corretamente a razão conforme os dados.
O lado a é a hipotenusa e os lados b e c são os
catetos
Obs.: A hipotenusa é o lado maior. È o lado oposto ao
ângulo reto.
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1
QUADRO DE TRANSFORMAÇÃO
cateto oposto
hipotenusa
sen..... =
2
cos..... =
cateto adjacente
hipotenusa
3
tan..... =
cateto oposto
cateto adjacente
MEDIDAS DE ÂNGULOS
Símbolos
Graus
Segundos
1
Minutos
º
Um giro completo na circunferência tem 360º
2
e um ângulo reto 90º
TEOREMA DE PITÁGORAS
3
O lado a é a hipotenusa e os lados b e c são os catetos
Obs.: A hipotenusa é o lado maior. È o lado oposto ao
ângulo reto.
4
Os elementos usados na fórmula apresentada a seguir
obedecem a disposição conforme figura inicial
(HIP) 2
(CAT) 2
(CAT) 2
a2
b2
c2
TABELA DOS VALORES NOTÁVEIS
C1
C2
L1
L2
Matemática
C3
C4
6
4
3
30 º
45º
60º
2
2
3
2
1
2
60
1 grau
= minutos
1º
60
1 minuto
60
=
1
60
segundos
TESTES
01. Um caminhão sobe uma rampa inclinada de 10º
em relação ao plano horizontal. Se a rampa tem 30 m
de comprimento, a quantos metros o caminhão se
eleva, verticalmente, após percorrer toda a rampa?
Dados: sen10º=0,17, cos10º=0,98 e tan10º=0,18.
02. Uma escada rolante liga dois andares de uma
loja e tem uma inclinação de 30º. Sabendo que a
escada rolante tem 10 m de comprimento, qual é a
altura entre os dois andares?
EQUIVALÊNCIAS ENTRE GRAUS E RADIANOS
03. (UNISINOS-RS) Um avião levanta vôo sob um
ângulo constante de 20º. Após percorrer 2 000
metros em linha reta, a altura atingida pelo avião
será de, aproximadamente:
Dados: sen 20º = 0,342, cos 20º = 0,94 e tan 20º =
0,364.
a) 728 m
b) 1 880 m
c) 1 000 m
d) 1 720 m
e) 684 m
Pela regra de três diretamente proporcional, pode-se
converter graus para radianos ou radianos para graus.
04. (UFRS) Um barco parte de A para atravessar o
rio. A direção de seu deslocamento forma um ângulo
de 120º com a margem do rio.
1
2
L3
sen
L4
cos
3
2
L5
tan
3
3
2
2
1
3
Na proporção que segue, conhecido G (graus) pode-se
obter R (radianos).
Na proporção que segue, conhecido R (radianos) podese obter G (graus).
Graus
180º
G
A
Radianos
está para
assim como
está para
120º
R
B
Importante:
A letra grega
é usada para tornar mais cômodo
quando se deseja escrever o número irracional
3,141592654....
Quando se usa indicado por radianos, entende-se que
o valor a ser considerado é seu valor, 3,141592654....
Sendo a largura do rio 60 metros, a distância, em
metros, percorrida pelo barco foi de:
a) 40 2
b) 45 3
c) 60 3
d) 40 3
e) 50 3
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05. (NC.UFPR) Um avião está a 450m de altura,
quando se vê a cabeceira da pista sob um ângulo de
declive de 30º. A que distância o avião está da
cabeceira da pista?
a) 450m
b) 600m
c) 890m
d) 900m
e) 800m
06. (NC.UFPR) Um prédio está sendo reformado para
abrigar um hospital. Constatou-se que será
necessário construir uma rampa na saída de
emergência do prédio, entre o 1o andar e o nível do
solo. Sabendo que o desnível é de 2,30 m, e que o
ângulo de elevação da rampa em relação à horizontal
deverá ser de 20º, calcule o comprimento aproximado
da rampa. (São dados: sen20º = 0,34; cos20º = 0,94)
a) 4,6 m
b) 5,2 m
c) 5,8 m
d) 6,7 m
e) 7,2 m
07. (UFJF) Um topógrafo foi chamado para obter a
altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um
teodolito (instrumento para medir ângulos) a 200
metros do edifício e mediu um ângulo de 30º, como
indicação na figura abaixo.
30º
Matemática
09. (UFRJ-NCE) Para determinar a altura de um
morro, um topógrafo mediu os ângulos
e
indicados na figura abaixo (a figura não está em
escala) em pontos distantes 100m um do outro.
Sabendo-se que tg = 3,5 e tg = 4,0, a altura do
morro é de :
a) 700m;
b) 1400m;
c) 1800m;
d) 2800m;
e) 2900m.
GABARITO
TRIGONOMETRIA
TRIÂNGULO
RETÂNGULO
01 5,1
02 5
03 E
04 D
05 D
06 D
07 B
08 Correta
09 D
TRIÂNGULO RETÂNGULO
Sabendo que o teodolito está a 1,5 m do solo, podese concluir que, dentre os valores abaixo, o que
melhor aproxima a altura do edifício em metros é:
Dados: sen30º=0,5, cos30º=0,866 e tan30º=0, 577.
a) 112
b) 117
c) 124
d) 115
e) 120
08. Sabendo que tg =1/4 , então a altura do muro
representado na figura abaixo é igual a 3 m.
A
c
B
A = ângulo
reto = 90º
b
h
m
n
C
a
B = ângulo agudo
C = ângulo agudo
Elementos do triângulo:
a, b e c são os lados.
A, B e C são os vértices.
A, B e C são os ângulos internos, relativos aos
respectivos vértices.
O ângulo A é igual a 90º .
B + C = 90º
100
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teorema de Pitágoras
O lado a é a hipotenusa e os lados b e c são os catetos
Obs.: A hipotenusa é o lado maior. È o lado oposto ao
ângulo reto.
Os elementos usados na fórmula apresentada a seguir
obedecem à disposição conforme figura inicial
a
2
b
2
c
Matemática
P
pretence
1º quadrante,
P pretence ao
quadrante,
P pretence ao
quadrante,
P pretence ao
quadrante,
ao
se 0º < P < 90º
2º
se 90º < P < 180º
3º
se 180º < P < 270º
4º
se 270º < P < 360º
Quando o ponto P coincidir com qualquer um dos
pontos: 0º , 90º, 180º, 270º e 360º, dizemos que são
extremos e por isso não pertencem a nenhum quadrante
2
relações métricas para o triângulo retângulo
ARCOS FUNDAMENTAIS POSITVOS
(SENTIDO ANTI-HORÁRIO)
2
ah=bc
2
b =an
h =mn
2
c =am
Circunferência dividida em arcos notáveis.
Em graus
área ( a ) do triângulo retângulo
90º
A
a h
ou
2
A
120º
135º
b c
2
60º
45º
150º
30º
II
perímetro ( 2p )
2p = a + b + c
I
180º
0º
360º
0
III
IV
210º
UNIDADES DE MEDIDAS DE ARCOS E ÂNGULOS
330º
225º
240º
graus símbolo ( º )
315º
300º
270º
Um grau (1º) é definido como uma das unidades de
arco, das 360 partes iguais que a circunferência foi
Em radianos
1
dividida, 1º
/2
360
Um minuto ( 1 ):Cada grau se subdivide em 60
minutos, 1'
1º
.
Um segundo (1
1'
/3
3 /4
/4
5 /6
60
segundos, 1"
2 /3
/6
II I
): Cada minuto se subdivide em 60
0
0
.
III IV
60
7 /6
radianos símbolo ( rad )
11 /6
7 /4
5 /6
5 /4
4 /3
Um radiano ( rad ) é definido como a medida de um arco
igual ao comprimento do raio da circunferência a quem
pertence.
Uma semi-circunferência tem como comprimento de
arco, três raios e mais uma pequena parte do raio (
0,141592... do raio ), totalizando 3,141592...raios. O
número
irracional
3,141592...é
simbolizado
comodamente pela letra grega ( = 3,141592...).
3 /2
CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA
r
A
B
O
divisão em quadrantes
Fixada a origem no ponto 0º, os quadrantes são em
ordem crescente registrados no sentido anti-horário ou
sentido positivo.Considerando um ponto P sobre a
circunferência,
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2
C = perímetro = contorno
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da circunferência
Matemática
LOSANGO
ÁREA A
A
C
PERÍMETRO C
r
N
2
2
a
r
QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS
a
A
B
QUADRADO
a
a
a
a
M
d
Segmento AB = diagonal maior = D
Segmento MN = diagonal menor = d
a
do losango
a
Definição
Quadrado - Todos os lados iguais e ângulos internos
iguais a 90º.
D d
2
ÁREA A
A
PERÍMETRO 2p
2p = 4a
PARALELOGRAMO
do quadrado
b
2
ÁREA A
A
PERÍMETRO 2p
2p = 4a
DIAGONAL d
d
2
a
a
2
a
a
2
a
h
RETÂNGULO
b
a
do paralelogramo
b
d
b
A
ÁREA A
PERÍMETRO 2p
b h
2p = 2a + 2b
TRAPÉZIO
a
do retângulo
A
b
a b
ÁREA A
PERÍMETRO 2p
2p = 2a + 2b
DIAGONAL d
d
2
a
2
b
2
a
c
h
B
Se, a = c o trapézio é isósceles.
Se um dos lados a ( ou c ) é
perpendicular às bases, o trapézio é
retângulo.
102
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do trapézio
Matemática
HEXAGONO REGULAR
(B b ) h
ÁREA A
A
PERÍMETRO 2p
2p = B + b + a + c
a
2
a
a
TRIÂNGULO EQÜILÁTERO
a
a
a
a
a
a
a
h
a
a
a
a
Definição
Hexágono regular - Todos os lados iguais e ângulos
internos iguais.
a
Definição
do hexágono regular
Triângulo eqüilátero - Todos os lados iguais e ângulos
internos iguais a 60º.
ÁREA A
A
PERÍMETRO 2p
2p = 6a
do triângulo eqüilátero
ÁREA A
A
ou
a h
2
a2
ÁREA A
A
PERÍMETRO 2p
2p = 3a
6
a2
2
4
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
2
4
01. Uma rampa de inclinação constante, como a que
dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4
metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa,
tendo começado a subi-la, nota que após caminhar
12,3 metros sobre a rampa está 1,5 metros de altura
em relação ao solo.
TRIÂNGULO ISÓSCELES
a) Fazer uma figura ilustrativa da situação descrita.
b) Calcular quantos metros a pessoa ainda deve
caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa.
Resolução:
a)
a
a
h
x
4
1,5
12,3
b
do triângulo isósceles
x 12,3
49,2
12,3
Resposta x 20,5m
b)
a h
2
ÁREA A
A
PERÍMETRO 2p
2p = 2a + b
Atualizada 26/06/2008
4
1,5
1,5x 18,45
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02. Na figura a seguir são dados dois setores
circulares com vértices em A e C e um quadrado com
16 cm de perímetro. Calcule a área sombreada.
B
02. (UFRJ-NCE) Na figura abaixo, PQ é o diâmetro
da circunferência.
C
O raio dos setores circulares valem metade da diagonal
do quadrado.
O valor de
a) 60º
b) 90º
c) 120º
d) 180º
e) 360º
d
03. (CESPE)
A
R
D
2
d
2
d 16 2
R
AS
2
+
é:
8 2 cm
A Sombreada
AS = 16
Matemática
2.
A Quadrado
2 A Setor
(8 2)2
4
256 64
Resposta:
AS
64.(4
)cm2
TESTES
01. (FPP) Um círculo de raio 1 cm rola no interior de
um quadrado de lado 6 cm, tocando os quatros lados
do quadrado. A distância em cm percorrida pelo
centro do círculo, quando ele dá uma volta completa,
sem parar, forma uma outra figura.
Um estudante precisou confeccionar, em papel, a
bandeira do estado do Pará. Para isso, ele desenhou
o retângulo ABCD, conforme ilustra a figura acima, e
traçou, em seguida, o segmento de reta EF, de modo
que o ângulo DEF medisse 120º. Nessa situação, se
ele prolongasse o segmento EF para além do ponto
F, marcando, no prolongamento, o ponto G, o
estudante obteria um ângulo AFG de medida igual a
a) 120º.
b) 130º.
c) 140º.
d) 150º.
04. (UFRJ-NCE) Considere a figura abaixo:
.
Calculando a soma da área com o perímetro dessa
nova figura formada, obtemos:
a) 26
b) 48
c) 32
d) 120
e) 64
104
Atualizada 26/06/2008
A área da região hachureada é de:
2
a) 60 m
2
b) 84 m
2
c) 92 m
2
d) 100 m
2
e) 156 m
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05. (OBM) Joãozinho brinca de formar quadrados
com palitos de fósforo como na figura a seguir.
Matemática
09. (OBM) São dados um tabuleiro e uma peça, como
mostra a figura 1.
tabuleiro
A quantidade de palitos necessária para fazer 100
quadrados é:
a) 296
b) 293
c) 297
d) 301
e) 28
06. (MACK-SP) Se a circunferência de um círculo tiver
o seu comprimento aumentado em 100%, a área do
círculo ficará aumentada em:
a) 300%
b) 400%
c) 250%
d) 100%
e) 200%
07. (FAE-PR) A figura representa uma peça de metal
na qual se quer fazer três furos de mesmo diâmetro,
espaçados igualmente um do outro. Qual a distância
entre os centros dos furos?
Figura 1
De quantas maneiras diferentes podemos colocar a
peça no tabuleiro, de modo que cubra
completamente 3 casas?
a) 16
b) 24
c) 36
d) 48
e) 60
10. (OBM) As 4 colorações a seguir são
consideradas iguais por coincidirem por rotação de
90º no sentido anti-horário.
De quantos modos diferentes é possível colorir as
casas de um tabuleiro 2 2 de branco ou preto de
modo que não existam dois tabuleiros que
coincidam por rotação?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
11. (OCM) A figura abaixo é um quadrado de área
igual a 9 unidades. Ache a área da parte sombreada,
sabendo-se que os lados do quadrado estão
divididos em três partes iguais.
r = 10 cm
a)
10 3
b) 5
c) 16
a) 4,5
3
c) 9
d) 6
e) 12
12. (OBM) Dezoito quadrados iguais são construídos
e sombreados como mostra a figura. Qual fração da
área total é sombreada?
25 3
2
29
e)
2
d)
08. (OBM) Quantos são os retângulos que têm os
pontos A e B como vértices, e cujos vértices estão
entre os pontos de interseção das 9 retas horizontais
com as 9 retas verticais da figura abaixo?
A
b) 4
a)7/18
b)4/9
c)1/3
d)5/9
e)1/2
2
13. (VUNESP) A área, em cm , de um triângulo
isósceles cuja base mede 8 cm e o perímetro 18 cm
é:
a) 7,5
b) 10
c) 12
d) 15
e) 48
B
a) 3
b) 4
c) 7
Atualizada 26/06/2008
d) 9
e) 5
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14. Quantos quadrados há na figura abaixo?
Matemática
17. (OBM)
Com a parte destacada da folha
retangular ao lado, pode-se montar um cubo. Se a
2
área da folha é 300cm , qual é o volume desse cubo,
3
em cm ?
15. (OBMEP) As duas peças de madeira a seguir são
iguais.
Pode-se juntar essas
duas peças para formar uma peça maior, como
18. (OBM) No quadriculado
2
quadradinho tem 1 cm de área.
a
seguir,
cada
mostra o seguinte exemplo.
Qual
das figuras abaixo representa uma peça que NÃO
pode ser formada com as duas peças dadas?
a)
d)
b)
e)
Qual é a área e o perímetro da figura formada pelos
quadradinhos pintados de cinza?
c)
16. (OBM) A figura a seguir representa um Tangram,
quebra-cabeças chinês formado por 5 triângulos, 1
paralelogramo e 1 quadrado. Sabendo que a área do
2
2
Tangram a seguir é 64 cm , qual é a área, em cm , da
região sombreada?
19. (UFRJ-NCE) Duas retas co-planares e paralelas
são interceptadas por uma terceira reta, como
mostra a figura:
35º
a) 7,6
b) 8
c) 10,6
d) 12
e) 21,3
106
Atualizada 26/06/2008
O ângulo
a) 35º
b) 45º
c) 90º
d) 120º
e) 145º
indicado na figura é então de:
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Matemática
20. (UFRJ-NCE) O retângulo ABCD da figura abaixo
tem 10 cm2 de área. Foi desenhado nele o
quadrilátero MNOP, tal que MO // BC e PN // AB. Se
recortamos MNOP, a área que restará do retângulo é:
O
A
B
P
N
a)
b)
D
C
M
2
a) 2,5 cm ;
2
b) 4 cm ;
2
c) 5 cm ;
2
d) 7,5 cm ;
e) não há dados suficientes para calcular o seu valor.
c)
21. (CESPE)
d)
e)
2
23. (UFF) Num terreno retangular com 104 m de
área, deseja-se construir um jardim,
também
retangular, medindo 9 m por 4 m, contornado por
uma calçada de largura L, como indica a figura.
Na figura acima, a reta AB é paralela à reta DE, e a
reta DC é paralela à reta EF. Se o menor ângulo entre
as retas AB e CD é 62º, então o ângulo x, marcado na
figura, mede
a) 105º.
b) 115º.
c) 118º.
d) 128º.
22. (OBMEP) José colou uma bandeirinha em cada
um dos dois discos dentados que formam uma
engrenagem, como mostra a figura ao lado:
Terreno
Calçada
L
Jardim
L
Calcule o valor de L.
24. Os diâmetros dos três semicírculos estão sobre
o segmento AB, que mede 20cm. Sendo O centro do
semicírculo maior e ponto de tangência dos dois
menores e sabendo que AO OB, calcule a área da
região assinalada.
Os dois discos são exatamente iguais. José girou a
engrenagem, e é claro que as bandeirinhas mudaram
de posição. Qual é a nova posição das duas
bandeirinhas?
A
Atualizada 26/06/2008
O
B
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25. O lado do quadrado da figura a seguir mede 4 cm
e os semicírculos se tangenciam no centro do
quadrado. Calcule a área sombreada.
26. (ACAFE-SC) No trapézio da figura a seguir, o
perímetro, em unidades de comprimento, mede:
Matemática
29. (FGV-SP) Uma pizzaria vende pizzas com preços
proporcionais às suas áreas. Se a pizza média tiver
raio igual a 80% do raio da grande, seu preço será:
a) 59% do preço da grande.
b) 64% do preço da grande.
c) 69% do preço da grande.
d) 74% do preço da grande.
e) 80% do preço da grande.
30. A figura a seguir mostra duas circunferências
concêntricas. A corda AB mede 8 cm e é tangente à
circunferência menor. Calcule a área da coroa
circular.
A
X+6
3
1
+
+
X
X
B
X
a)
b)
c)
d)
e)
31. (FUVEST) Aumentando-se os lados a e b de um
retângulo de 15% e 20% respectivamente, a área do
retângulo é aumentada de:
32
28
30
38
18
27. (ACAFE-SC) Um terreno tem a forma e as medidas
indicadas na figura a seguir. Querendo gramar 3/7
desse terreno, sendo que cada placa de grama cobre
2
2,5m do mesmo, o número de placas que se deve
usar é:
60m
40m
a) 35%
b) 30%
c) 3,5%
d) 3,8%
e) 38%
32. (UEPG-PR) Sobre as sete figuras abaixo,
considerando que a menor delas tem 1 u.a. de área e
4 u.c. de perímetro, assinale o que for correto.
60m
30m
a)
b)
c)
d)
e)
480
720
600
800
1200
28. (FUVEST)
Na figura a seguir, ABCD é um
quadrado e BCE é um triângulo eqüilátero. A medida
do ângulo EAD, em graus, é:
a) 15
b) 30
c) 60
d) 75
e) 90
A
(
)
II)
III)
(
(
)
)
IV)
(
)
V)
(
)
VI)
(
)
D
D
B
108
I)
Atualizada 26/06/2008
O perímetro do losango é de 8
u.c.
A área do retângulo é de 6 u.a.
O
comprimento
da
circunferência é de 4 u.c.
A área do paralelogramo é de 4
u.a.
O perímetro do maior quadrado
é de 9 u.c.
A área do triângulo é de 6
u.a.
C
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33. A figura abaixo representa um esquema de 17cm
por 21cm, elaborado como modelo para a confecção
de uma colcha de retalhos de tecidos. As regiões
indicadas na figura por A, B, C e D correspondem às
cores dos tecidos a serem utilizados: A- verde; Bazul; C- amarela; D- branca. As demais regiões serão
feitas com tecido de cor bege.
Matemática
As figuras abaixo também são formadas por cinco
quadrados iguais. Quantas delas possuem pelo
menos um eixo de simetria?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Sobre esse esquema, é correto afirmar:
1) A área que corresponde ao tecido de cor verde é
2
128cm .
2) O comprimento de um fio dourado a ser colocado no
contorno externo do tecido de cor amarela é menor que
18 2 cm.
3) A área correspondente ao tecido de cor branca é
2
menor do que 20cm .
4) Se o tamanho da colcha for de 1,70m por 2,10m e ela
for confeccionada mediante uma ampliação do esquema,
então, nessa ampliação, a área do tecido de cor azul será
2
de 800cm .
5) Para alterar a distribuição de cores no esquema,
existem 16 possibilidades de troca daquelas mesmas 4
cores nas regiões A, B, C e D.
As afirmativas corretas são:
a) 1, 2, 3, 4 e 5
b) 1, 2, 3 e 4
c) 1, 3, 4 e 5
d) 1, 3 e 4
e) 2, 3, 4 e 5
34. (OBMEP) As duas figuras a seguir são formadas
por cinco quadrados iguais.
Observe que elas possuem eixos de simetria,
conforme assinalado a seguir.
Atualizada 26/06/2008
35. (OBMEP) A figura mostra um polígono ABCDEF
no qual dois lados consecutivos quaisquer são
perpendiculares. O ponto G está sobre o lado CD e
sobre a reta que passa por A e E. Os comprimentos
de alguns lados estão indicados em centímetros.
Qual é a área do polígono ABCG ?
2
a) 36 cm
2
b) 37 cm
2
c) 38 cm
2
d) 39 cm
2
e) 40 cm
36. (OBMEP) Uma folha de papel retangular, de 10
cm de largura por 24 cm de comprimento, foi
dobrada de forma a obter uma folha dupla, de 10 cm
de largura por 12 cm de comprimento. Em seguida, a
folha dobrada foi cortada ao meio, paralelamente à
dobra, obtendo-se assim três pedaços retangulares.
Qual é a área do maior desses pedaços?
2
a) 30 cm
2
b) 60 cm
2
c) 120 cm
2
d) 180 cm
2
e) 240 cm
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37. (OBMEP) Qual é a medida do menor ângulo
formado pelos ponteiros de um relógio quando ele
marca 12 horas e 30 minutos?
Matemática
41. (OBMEP)
Uma escola resolveu construir uma
pista de corrida, formada por dois trechos retos de
comprimento C e dois trechos semicirculares de raio
igual a 10 metros, conforme indicado na figura (não
se leva em conta a largura da pista).
C
20
a) 90º
b) 120º
c) 135º
d) 150º
e) 165º
C
38. (OBMEP) Uma formiga está no ponto A da malha
mostrada na figura. A malha é formada por
retângulos de 3 cm de largura por 4 cm de
comprimento. A formiga só pode caminhar sobre os
lados ou sobre as diagonais dos retângulos. Qual é a
menor distância que a formiga deve percorrer para ir
de A até B?
B
3
Os alunos da escola propuseram cinco valores para
C: 20 m, 25 m, 30 m, 35 m e 40 m. Para qual desses
valores de C a soma dos comprimentos dos trechos
retos está mais próxima da soma dos comprimentos
dos trechos semicirculares?
a) 20 m
b) 25 m
c) 30 m
d) 35 m
e) 40 m
42. (OBMEP) O topo de uma escada de 25 m de
comprimento está encostado na parede vertical de
um edifício. O pé da escada está a 7 m de distância
da base do edifício, como na figura. Se o topo da
escada escorregar 4 m para baixo ao longo da
parede, qual será o deslocamento do pé da escada?
3
A
4
4
4
a) 12 cm
b) 14 cm
c) 15 cm
d) 17 cm
e) 18 cm
39. Os quatro círculos da figura a seguir tem 10cm
de raio e são tangentes entre si. Calcule a área
sombreada.
a) 4 m
b) 8 m
c) 9 m
d) 13 m
e) 15 m
43. (OBMEP) A figura mostra um polígono ABCDEF
no qual dois lados consecutivos quaisquer são
perpendiculares. O ponto G está sobre o lado CD e
sobre a reta que passa por A e E. Os comprimentos
de alguns lados estão indicados em centímetros.
Qual é o perímetro do polígono ABCG ?
40. (OBMEP) Para cercar um terreno retangular de
60 metros quadrados com uma cerca formada por
dois fios de arame foram usados 64 metros de arame.
Qual é a diferença entre o comprimento e a largura do
terreno?
a) 4 m
b) 7 m
c) 11 m
d) 17 m
e) 28 m
110
Atualizada 26/06/2008
a) 22 cm
d) 25 cm
b) 23 cm
e) 26 cm
c) 24 cm
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44. A diagonal do quadrado inscrito no círculo mede
4cm, calcule a área da região sombreada.
45. (FCC) Uma pessoa distrai-se usando palitos para
construir hexágonos regulares, na seqüência
mostrada na figura abaixo.
Matemática
48. (OBMEP) A figura ao lado mostra uma grade
formada por quadrados de lado 1cm . Qual é a razão
entre a área sombreada e a área não sombreada.
a)1/4
b) 1/5
c) 1/6
d) 2/5
e) 2/7
49. (FCC) Uma pessoa sai do ponto A e, passando
por B e C, percorre um total de 270 m até chegar ao
ponto D, como indicado na figura abaixo.
50 m
B
Se ela dispõe de uma caixa com 190 palitos e usar a
maior quantidade possível deles para construir os
hexágonos, quantos palitos restarão na caixa?
a) 2
b) 4
c) 8
d) 16
e) 31
46. (VUNESP) Num triângulo retângulo, a hipotenusa
mede 10 cm e um dos catetos mede 8 cm. A medida
do outro cateto, em centímetros, é:
a) 36
b) 24
c) 12
d) 6
e) 3
A
50 m
C
D
Se essa pessoa saísse de A e fosse diretamente
para o ponto D, a distância total percorrida, em
metros, seria de:
a) 100 b) 110 c) 120 d) 130
e) 150
50. (OBM) Seis retângulos idênticos são reunidos
para formar um retângulo maior conforme indicado
na figura. Qual é a área deste retângulo maior?
47. (OBMEP) Na figura abaixo vemos uma mesa de
sinuca quadriculada e parte da trajetória de uma bola,
tacada a partir de um canto da mesa, de modo que,
sempre, ao bater em uma das bordas da mesa, segue
seu movimento formando ângulos de 45° com a
borda.
21 cm
2
a) 210 cm
2
b) 280 cm
2
c) 430 cm
2
d) 504 cm
2
e) 588 cm
51. (UFF-RJ) Considere o retângulo ABCD de
dimensões BC
3 m e CD
4 m.
A
B
D
C
Em qual das quatro caçapas a bola cairá?
Calcule a diagonal do retângulo.
Atualizada 26/06/2008
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52. (FGV-SP) Uma corda AB de um circulo mede 6
cm e a distância desta corda ao centro do circulo é
de 3 cm. O raio do circulo, em centímetros, é
a) 5 3
Matemática
56. (AFA) Na figura, A e B são os centros de duas
circunferências tangentes exteriormente. Os raios
são R = 1 m e R = 4 m. CD é uma tangente comum
às duas curvas.
2
A área do trapézio ABCD, medida em m , é igual a
b) 3 2
c) 8
d) 3
53. (FCC) Um triângulo tem lados que medem,
respectivamente, 6m, 8m e 10m. Um segundo
triângulo, que é um triângulo semelhante ao primeiro,
tem perímetro igual a 12m. A área do segundo
triângulo será igual a:
2
a)
6m
A
B
D
2
b)
c)
d)
12 m
2
24 m
2
48 m
e)
60 m
C
2
54. (OBM) Na figura, todas as circunferências
menores têm o mesmo raio r e os centros das
circunferências que tocam a circunferência maior são
vértices de um quadrado. Sejam a e b as áreas cinzas
indicadas na figura. Então a razão
a
é igual a:
b
b
a
a) 8
b) 12
c) 10
d) 16
57. (ESAF) Se o lado do quadrado é aumentado em
50%, então a área do quadrado é aumentada em:
a) 100%
b) 125%
c) 175%
d) 225%
e) 250%
58. (UFRJ-NCE) No pentágono regular da figura, as
diagonais que ligam D a B e E a B serão traçadas.
1
2
2
b)
3
a)
c) 1
d) 3
2
e) 2
55. (UNB-CESPE) Sobre uma rampa de inclinação
constante, que tem 6 m de altura na sua parte mais
alta, uma pessoa notou que, após caminhar 15 m,
estava a 1,5 m de altura em relação ao solo, conforme
mostra a figura que segue. Nessas condições, a
distância que essa pessoa ainda terá de caminhar
para chegar ao ponto mais alto dessa rampa é igual a
O menor ângulo do triângulo DBE terá a seguinte
medida:
a) 36º
b) 52º
c) 64º
d) 84º
e) 116º
59. (UFRJ-NCE) De cada vértice de um hexágono
regular saem três diagonais, como mostra a figura:
6 m
15 m
1,5 m
a)
b)
c)
d)
e)
30 m
38 m
45 m
35 m
40 m
112
Atualizada 26/06/2008
O número total de diagonais de um hexágono é
então igual a:
a) 18;
b) 16;
c) 12;
d) 9;
e) 6.
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(CESPE) Julgue os itens seguintes.
60. (CESPE) A interseção entre o conjunto dos múltiplos
positivos de 6 e o conjunto dos divisores positivos de 60
tem 3 elementos.
61. (CESPE)
Uma caixa com a forma de um
paralelepípedo retângulo e dimensões iguais a 8 cm, 10
cm e 15 cm, tem volume igual a 12 dm³.
62. (CESPE) Se três números inteiros e positivos são
proporcionais a 4, 6 e 10, então um desses números é
igual à soma dos outros dois.
63. (CESPE) A área de um losango que possui o
perímetro igual a 52 cm e que tem uma das diagonais
medindo 10 cm de comprimento é igual a 120 cm².
(CESPE) Uma sala retangular de um fórum terá o piso
substituído. Sabe-se que o perímetro da sala é de 40,8 m
e que as dimensões largura e comprimento estão na
proporção 5:12. Julgue os itens que se seguem, a
respeito dessa sala.
64. (CESPE) O comprimento da diagonal da sala é
inferior a 15 m.
65. (CESPE) Uma das dimensões da sala supera a outra
em mais de 8 m.
GABARITO
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
C
B
D
D
D
A
A
E
C
C
A
B
C
14
E
D
125
20 e 34
E
C
B
A
2
25
16-4
D
B
A
B
16
E
FVVVFV
D
B
Atualizada 26/06/2008
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
Matemática
A
C
E
B
400-100
A
C
B
D
4 -8
B
D
D
A
D
E
5
B
A
C
C
C
B
A
D
E
E
C
C
E
C
GEOMETRIA ESPACIAL
CUBO OU HAXAEDRO
a
a
a
a
a
D
a
d
a
a
dos triângulos retângulos em destaque na figura
acima
d
2
D
D
2
2
a
2
2
d
2
a
a
2
a
a
2
2
ou
a
2
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Matemática
PIRÂMIDE RETA
CUBO OU HAXAEDRO PLANIFICADO
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
H
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Fórmulas para: CUBO OU HEXAEDRO
2
A b= a
F1 Área da base
2
Al =4a
F2 Área lateral
2
At =6a
F3 Área total
3
V = a
F4 Volume
al
H
al
ap
PARALELEPÍPEDO RETO
a
c
a
c
D
d
PIRÂMIDE RETA PLANIFICADA
b
a
PARALELEPÍPEDO RETO PLANIFICADO
ap
ap
ap
ap
a
a
a
a
c
a
c
b
b
a
c
a
a
c
b
c
b
b
a
a
Atualizada 26/06/2008
a
c
b
Fórmulas para: PARALELEPÍPEDO RETO
A b = há três possíveis
Área
F1
bases.Depende
da
da base
informação do enunciado
A l = há três possíveis
laterais.Depende
da
F2 Área lateral
informação do enunciado
A t = 2ab+2ac+2bc
F3 Área total
V = abc
F4 Volume
114
a
PIRÂMIDE RETA - DERIVATIVOS
c
c
base
H
a
a
d/2
a
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do triângulo Pitagórico em destaque na figura acima
al
2
A cisterna está ocupada com metade (altura 25 cm) do
total (altura 50 cm).
2
d
2
H
3
II) Use a equivalência, 1 dm = 1 litro.
Para melhor relacionar volume com capacidade,
converta as medidas em cm para dm, assim:
2
Altura
Largura
Frente
H
O
ap
a
a/2
IV) Para cada litro de água utilize 2 gotas de hipoclorito
de sódio, como orientado no enunciado.
do triângulo Pitagórico em destaque na figura acima
a
p
a
2
80 litros x 2 gotas = 160 gotas
Resposta: letra D
2
Fórmulas para: PIRÂMIDE RETA
A b = depende do
F1 Área da base
formato da base
A l = número de lados
da base, vezes, a
F2 Área lateral
área de um triângulo
isósceles.
A t = Ab + Al
F3 Área total
F4
desse paralelepípedo
V = largura x comprimento x altura
V = 2,5 dm x 4,0 dm x 8,0 dm
3
V = 80 dm
equivalente a
V = 80 litros
a
2
H
25 cm = 2,5 dm
40 cm = 4,0 dm
80 cm = 8,0 dm
III) Calcule o volume (V)
retângulo.
a/2
a
2
Matemática
Volume
V=
1
Ab H
3
TESTES E EXERCÍCIOS
01. Para tratar a água armazenada em cisternas, a
recomendação do Ministério da Saúde é usar duas
gotas de hipoclorito de sódio para cada litro de água
e deixar repousar por 30 minutos antes de consumir.
Seguindo esta recomendação, quantas gotas de
hipoclorito de sódio deverão ser utilizadas para tratar
a água armazenada num reservatório no formato de
paralelepípedo de 80 cm de frente, por 40 cm de
altura e 50 cm de largura, no momento em que ele
está com metade de sua capacidade total?
a) 120
b) 240
c) 80
d) 160
e) 320
02. Procura-se construir um cubo grande
empilhando cubos pequenos e todos iguais.
Quando se coloca um certo número de cubos
pequenos em cada aresta, sobram cinco; se se
tentasse acrescentar um cubo a mais em cada
aresta, ficariam faltando trinta e dois. Quantos são
os cubos pequenos?
Resolução:
3
3
a + 5 = (a + 1) 32
3
3
2
a
3
a + 5 = a + 3 a + 3 + 1 32
2
3 a + 3a + 36 = 0
2
a + a + 12 = 0
raízes:
a = - 4 (não serve)
a = 3
3
3
Então, como temos a + 5 = (a + 1)
= 3, teremos 32 cubos
32, substituindo a
03. O transporte de um determinado cereal para
exportação é feito em vagões que têm a forma de um
paralelepípedo
retângulo
com
4,00m
de
comprimento, 2,20m de largura e 0,80m de altura.
Sabendo-se que o volume útil aproveitável de cada
vagão é de 80% de seu volume total, o número de
3
vagões necessários para transportar 140,80m de
cereais é:
RESOLUÇÃO
I) Cisterna
25
cm
50 cm
40 cm
80 cm
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Resolução:
3
Volume Total do Vagão = 4,00 x 2,20 x 0,80 = 7,04 m
Volume Útil do Vagão = 7,04 x 80% =
3
= 5,63 m
Sendo n o número de vagões temos:
n
140,80
5,632
Resposta:
n 25
04. Na figura a seguir, o cubo tem aresta igual a 9 cm
e a pirâmide tem um vértice no centro de uma face e
3
como base o centro da face oposta. Se V cm é o
volume da pirâmide, determine
1 V.
3
Resolução:
9
9
1 2
9 9
3
V
243
a) 36
b) 37
c) 38
d) 40
e) 42
02. (MACK-SP) Dispondo-se de uma folha de
cartolina medindo 50 cm de comprimento por 30 cm
de largura, pode-se construir uma caixa aberta,
cortando-se um quadrado de 8 cm de lado em cada
canto da folha. O volume dessa caixa, em cm3, será:
a) 1244
b) 1828
c) 2324
d) 3808
e) 12000
03. (UF-PR ) Considere uma caixa de vidro, fechada,
cujo formato interno é o de um paralelepípedo retoretângulo, de dimensões 20 cm, 20 cm e 50 cm. A
caixa contém líquido que atinge a altura de 16 cm
quando uma face não quadrada está no plano
horizontal. É correto afirmar que:
I. A área total do interior da caixa é igual a 4800cm2.
II. O volume do líquido contido na caixa é de 16 litros.
III. Se for alterada a posição da caixa, de modo que uma
face quadrada fique no plano horizontal, então a altura
do líquido será 40 cm.
9
V
Matemática
04. (UFSC).Usando um pedaço retangular de
papelão, de dimensões 12cm e 16cm, desejo
construir uma caixa sem tampa, cortando, em seus
cantos, quadrados iguais de
2cm
de lado e
dobrando, convenientemente, a parte restante. A
3
terça parte do volume da caixa, em cm , é:
243
1
3
V = 81 cm3
05. (FAE-PR) Um depósito tem a forma de um prisma
reto trapezoidal de dimensões internas conforme a
figura abaixo:
TESTES
01. (UEL) Em uma unidade de atendimento a
adolescentes será feito o revestimento completo das
quatro paredes da cozinha com azulejos. Cada
azulejo tem 0,25m de comprimento por 0,20m de
largura. A cozinha possui a forma e as dimensões
representadas a seguir.
10
25
10
10
22 m
Nessa cozinha as duas portas medem 1,00m por
2,00m cada uma e as duas janelas 2,50m por 1,20m
cada. Considerando que deve ser acrescentado 5%
do valor da área a ser azulejada para perdas com
quebras de azulejos e que cada caixa de azulejos
vem com 30 peças, quantas caixas serão necessárias
para executar o serviço? Despreze o espaçamento de
rejunte.
116
Atualizada 26/06/2008
Deseja-se saber o custo da pintura interna das
paredes laterais, frontal, dos fundos e teto,
2
desprezando-se portas e janelas. Qual a área, em m ,
dessa superfície?
a) 1006
b) 1556
c) 878
d) 1428
e) 1070
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06. (VUNESP-SP) Uma piscina retangular de 10 m X
15 m e fundo horizontal está com água até a altura de
1,5 m. Um produto químico em pó deve ser misturado
à água à razão de um pacote para cada 4500 litros. O
número de pacotes a serem usados é:
a) 45
b) 50
c) 55
d) 60
e) 75
07. (NC.UF-PR) A caixa de água de um certo prédio
possui o formato de um prisma reto de base
quadrada com 1,6 m de altura e aresta da base
medindo 2,5 m. Quantos litros de água há nessa
caixa no instante em que 3/5 de sua capacidade estão
ocupados?
a) 2400 litros
b) 4800 litros
c) 5600 litros
d) 6000 litros
e) 7200 litros
08. (CEFET-PR) Considere um quadrado de papelão
com 18 cm de lado. Cortando quadradinhos de lado
x, iguais nos quatro cantos, pode-se montar uma
caixa sem tampa, em forma de paralelepípedo com
288 cm2 de área. Com base nessa informação,
calcule o lado do quadradinho cortado em cm:
a) 10
b) 3
c) 16
d) 9
e) 4
Matemática
10. (FEPAR PR) O transporte de um determinado
cereal para exportação é feito em vagões que têm a
forma de um paralelepípedo retângulo com 4,00 m
de comprimento, 2,20 m de largura e 0,80 m de
altura. Sabendo-se que o volume útil aproveitável de
cada vagão é de 80% de seu volume total, o número
de vagões necessários para transportar 140,80 m3
de cereais é:
a) 14
b) 18
c) 20
d) 24
e) 25
11. (OBMEP) Um bloco retangular de madeira tem
320cm de comprimento, 60cm de largura e 75cm de
altura. O bloco é cortado várias vezes, com cortes
paralelos às suas faces, de modo a subdividi-lo em
blocos também retangulares de 80cm de
comprimento por 30cmde largura por 15cm de
altura.
a) Quantas peças foram obtidas?
09. (CEFET-PR) "Para cada peixinho ornamental,
você vai precisar de um litro de água", informou o
vendedor. Luana deseja construir um aquário em
forma de paralelepípedo retângulo para 40 peixinhos.
Se a base tiver dimensões 40 cm e 20 cm. A medida
da altura será igual a:
a) 6 dm
b) 7 dm
c) 8 cm
d) 5 dm
e) 12 dm
b) Um metro cúbico dessa
aproximadamente 900 quilogramas.
madeira
pesa
Qual é o peso de cada uma dessas peças?
12. Calcule e marque a única opção correta.
O volume ocupado por três caixas cúbicas que
3
estão empilhadas em um depósito é de 0,192 m . A
altura, em metros, da pilha de caixas é:
a) 0,4
b) 0,8
c) 1,2
d) 1,6
e) 2,4
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13.(CEFET-PR) Sigmund Sorofsof, artista um tanto
eclético e temperamental, resolveu fazer uma
escultura usando apenas caixas de fósforos (5 cm x 4
cm x altura = ?). Chamou sua obra de 3 litros ,
justificando que esse era o volume da mesma.
Observando o esquema básico da escultura, na
figura abaixo, podemos concluir que a altura h da
escultura é de:
h
5cm
?
4cm
5cm
a) 75 cm.
b) 15 cm.
c) 150 cm.
d) 225 cm.
e) 450 cm.
14. (MACK-SP) Um prisma reto de base quadrada teve
os lados da base e a altura diminuídos em 50%. O seu
volume ficou diminuído de:
a) 87,5%
b) 50%
c) 85%
d) 60%
e) 75%
Matemática
GABARITO
01 D
02 D
03 VVV
04 64
05 A
06 B
07 D
08 B
09 D
10 E
11 a) 40
b) 32,4
12 A
13 A
14 A
15 D
16 D
GEOMETRIA ESPACIAL
CILINDRO RETO
r
H
15. (CESGRANRIO)
r
CILINDRO RETO PLANIFICADO
A figura ilustra um conjunto de cubos todos iguais cujos
volumes valem 1m3. É correto afirmar que o volume do
conjunto, incluindo os cubos não visíveis, em m3, vale:
a) 8
b) 10
c) 11
d) 12
e) 13
16. (OBMEP) Na casa de Manoel há uma caixa d água
vazia com capacidade de 2 metros cúbicos. Manoel vai
encher a caixa trazendo água de um rio próximo, em
uma lata cuja base é um quadrado de lado 30 cm e cuja
altura é 40 cm, como na figura. No mínimo, quantas
vezes Manoel precisará ir ao rio até encher
completamente a caixa d água?
A1
r
A0
comprimento 2
A2
r
A3
2 r
H
H
área lateral
2 r
r
r
2 r
área lateral
H
2 r
a) 53
d) 56
118
b) 54
e) 57
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c) 55
r
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H
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Fórmulas para: CILÍNDRO RETO
2
F1 Área da base
A b= r
F2 Área lateral
A l= 2 r H
A t = 2 Ab + Al
F3 Área total
V = Ab H
F4 Volume
ESFERA
Matemática
02. (PUC-SP) Se triplicarmos o raio da base de um
cilindro, mantendo a altura, o volume do cilindro fica
multiplicado por:
a) 3
b) 6
c) 9
d) 12
e) 15
03. (PUC-SP) O retângulo ABCD seguinte,
representado num sistema de coordenadas
cartesianas ortogonais, é tal que A = (2; 8), B = (4; 8),
C = (4; 0) e D = (2; 0).
R
diâmetro = 2R
Girando-se esse retângulo em torno do eixo das
ordenadas, obtém-se um sólido de revolução cujo
volume é:
a) 24
b) 32
c) 36
d) 48
e) 96
HEMISFÉRIOS ESFÉRICOS
04. (UEM - PR) Um barril de bebida tem a forma de
um cilindro, cuja altura mede 28 cm e o raio da base
mede 10 cm. Se dois consumidores bebem,
diariamente 25 ml cada um, do conteúdo do barril,
o tempo gasto, em dias, para esvaziarem o barril
será de...
Hemisfério
superior
R
O
R
O
Hemisfério
inferior
Fórmulas para: ESFERA
2
F1 Área total
A = 4 R
F2 Volume
1
3
V= 4 R
3
TESTES E EXERCÍCIOS
01. (NC.UF-PR) Se aumentarmos o diâmetro de um
cilindro em 20%, quanto aumentará seu volume?
a) 44%
b) 40%
c) 33%
d) 24%
e) 20%
Atualizada 26/06/2008
05. (UDESC) Uma caixa d água tem a forma de um
cilindro, medindo internamente 60 dm de diâmetro e
15 dm de altura. Estando a água até 2/3 da altura
interna, quantos litros de água estão na caixa?
(Dados: = 3,14 e 1litro = 1 dm3)
a) 113.040
b) 2.826
c) 28.260
d) 11.304
e) 6.280
06. (FUVEST-SP) Dois blocos de alumínio, em forma
de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm são
levados juntos à fusão e em seguida o alumínio
líquido é moldado como um paralelepípedo reto de
arestas 8 cm, 8 cm e x cm. O valor de x é:
a) 16
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20
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07. (UEL PR) Certa peça de um motor é feita de aço
maciço e tem a forma de três cilindros retos, de
alturas iguais, um sobre o outro. Se a peça for
seccionada por um plano contendo os centros das
bases dos cilindros, tem-se a situação abaixo
ilustrada:
a = 9cm
30 cm
altura total
Raio = c
Raio = b
b=
2
a
3
c=
2
b
3
Matemática
11. (UFTPR) A indústria de bolas de borracha
Cilimbola quer produzir embalagens cilíndricas para
colocar 3 bolas com 3 cm de raio cada, conforme a
figura. A quantidade total de material utilizado para o
2
fabrico da embalagem, incluindo a tampa, em cm ,
será de:
a) 126 .
b) 108
c) 127 .
d) 72
e) 90
Raio = a
O volume dessa peça, em centímetros cúbicos, é:
a) 1580
b) 1330
c) 1170
d) 970
e) 190
12. (UFRJ-NCE) Um silo para armazenar grãos
possui a forma de um cilindro de raio 30m e altura
50m com uma semi-esfera no topo, conforme a
figura abaixo. A capacidade desse silo é de:
08. (FUVEST-SP) No jogo de bocha, disputado num
terreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola
de raio 8 o mais próximo possível de uma bola
menor, de raio 2. Num lançamento, um jogador
conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem
encostadas, conforme ilustra a figura abaixo. A
distância entre os pontos A e B, em que as bolas
tocam o chão, é:
H
R
3
A
a) 8
d) 34
b) 26
e) 36
a) 1500 m ;
3
b) 45000 m ;
3
c) 63000 m ;
3
d) 76000 m ;
3
e) 90000 m ;
B
c) 28
3
09. (UFAL) Se o volume de uma esfera é 288 cm , a
medida de seu diâmetro é, em cm, igual a:
a) 6
b) 12
c) 6 6
d) 12 6
e) 24 6
13. (FAE-PR) O basquetebol é um esporte muito
praticado em escolas, clubes e praças públicas.
Suponha, para simplificação dos cálculos, que o
diâmetro interno do aro da cesta meça 44 cm e tenha
circunferência 10% maior que a da bola. Nessa
situação, qual seria a área da superfície da bola?
400
2
cm
3
1600
2
b)
cm
3
a)
2
10. (FAE-PR) Um fabricante de extintores produz um
modelo pequeno, cujo corpo é um cilindro circular reto
de altura 22 cm e diâmetro das bases 8cm, nas quais
há semi-esferas de diâmetro também 8cm. Adotando3
se
= 3, qual a capacidade, em cm , desse extintor?
a) 1248
b) 1312
c) 1632
d) 1696
e) 6272
120
Atualizada 26/06/2008
c) 100 cm
2
d) 400 cm
2
e) 1600 cm
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14. Uma empresa de transporte armazena seu
combustível em um reservatório cilíndrico enterrado
horizontalmente. Seu conteúdo é medido com uma
vara graduada em vinte intervalos, de modo que a
distância entre duas graduações consecutivas
representa sempre o mesmo volume.
A ilustração que melhor representa a distribuição das
graduações na vara é:
(A)
(B)
(C)
(E)
(D)
GABARITO
01 A
02 C
03 E
04 112
05 C
06 D
07 B
08 A
09 B
10 B
11 A
12 C
13 E
14 A
RACIOCÍNIO LÓGICO
01. (CESGRANRIO) Sejam a, b e c números reais
distintos, sobre os quais afirma-se:
I - Se b > a e c > b, então c é o maior dos três números.
II - Se b > a e c > a, então c é o maior dos três números.
III - Se b > a e c > a, então a é o menor dos três
números.
É(São) correta(s) a(s) afirmativa(s):
a) I, somente.
b) II, somente.
c) III, somente.
d) I e III, somente.
e) I, II e III.
02. (AFR-ICMS-SP) Cinco ciclistas apostaram uma
corrida.
- A chegou depois de B.
- C e E chegaram juntos.
- D chegou antes de B.
- Quem ganhou, chegou sozinho.
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
Atualizada 26/06/2008
Matemática
03.(CESGRANRIO)
Considere
as
seguintes
afirmações: W > Z, U < X, Z < Y e Z > X, a partir das
quais, pode-se dizer com certeza que:
I. W > U
II. W > Y
III. Y > U
Analise a veracidade das afirmações e assinale a
alternativa correta.
a) Somente a afirmação I é verdadeira.
b) As afirmações I e III são verdadeiras.
c) As afirmações I e II são verdadeiras.
d) Somente a afirmação III é verdadeira.
04. (AFR-ICMS-SP) Marta corre tanto quanto Rita e
menos do que Juliana, Fátima corre tanto quanto
Juliana. Logo:
a) Fátima corre menos que Rita.
b) Marta corre mais do que Juliana.
c) Juliana corre menos do que Rita.
d) Fátima corre mais do que Marta.
e) Juliana corre manos do que Marta.
05.(FCC) Cinco times
Antares, Bilbao, Cascais,
Deli e Elite disputam um campeonato de basquete
e, no momento, ocupam as cinco primeiras posições
na classificação geral. Sabe-se que:
- Antares está em primeiro lugar e Bilbao está em
quinto;
- Cascais está na posição intermediária entre Antares e
Bilbao;
- Deli está à frente do Bilbao, enquanto que o Elite está
imediatamente atrás do Cascais.
Nessas condições, é correto afirmar que
a) Cascais está em segundo lugar.
b) Deli está em quarto lugar.
c))Deli está em segundo lugar.
d) Elite está em segundo lugar.
e) Elite está em terceiro lugar.
06. (AFR-ICMS-SP) Cátia é mais gorda do que
Bruna. Vera é menos gorda do que Bruna. Logo:
a) Vera é mais gorda do que Bruna.
b) Cátia é menos gorda do que Bruna.
c) Bruna é mais gorda do que Cátia.
d) Vera é menos gorda do que Cátia.
e) Bruna é menos gorda do que Vera.
07. (ESAF) Quatro meninas que formam uma fila
estão usando blusas de cores diferentes, amarelo,
verde, azul e preto. A menina que está
imediatamente antes da menina que veste blusa azul
é menor do que a que está imediatamente depois da
menina de blusa azul. A menina que está usando
blusa verde é a menor de todas e está depois da
menina de blusa azul. A menina de blusa amarela
está depois da menina que veste blusa preta. As
cores das blusas da primeira e da segunda menina
da fila são, respectivamente:
a) amarelo e verde
b) azul e verde
c) preto e azul
d) verde e preto
e) preto e amarelo
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08. (VUNESP) Hoje, o preço do quilograma de feijão é
mais alto que o preço do quilograma de arroz. O
dinheiro que Leo possui não é suficiente para
comprar 5 quilogramas de arroz. Baseando- se
apenas nessas informações, pode-se concluir que o
dinheiro de Leo
a) é suficiente para comprar 4 quilogramas de feijão.
b) é suficiente para comprar 4 quilogramas de arroz.
c) não é suficiente para comprar 3 quilogramas de feijão.
d) não é suficiente para comprar 2 quilogramas de arroz.
e) não é suficiente para comprar 5 quilogramas de feijão.
09. (OBM) A respeito da resposta de um problema,
Maurício, Paulo, Eduardo e Carlos fizeram as
seguintes afirmações:
I) Maurício: É maior que 5.
II) Paulo: É menor que 10.
III) Eduardo: É um número primo.
IV) Carlos: É maior que 12.
Entre as afirmações acima, quantas, no máximo,
podem ser verdadeiras?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
10. (FCC) Em um dia de trabalho no escritório, em
relação aos funcionários Ana, Cláudia, Luís, Paula e
João, sabe-se que:
- Ana chegou antes de Paula e Luís.
- Paula chegou antes de João.
- Cláudia chegou antes de Ana.
- João não foi o último a chegar.
Nesse dia, o terceiro a chegar no escritório para o
trabalho foi:
a) Ana.
b) Cláudia.
c) João.
d) Luís.
e) Paula.
11 . (FCC)
O diagrama indica percursos que
interligam as cidades A, B, C, D e E, com as
distâncias dadas em quilômetros:
A
10
8
C
4
4
B
7
3
7
6
3
5
D
13
9
14
E
Partindo-se de A e passando por E, C e D, nessa
ordem, sem passar duas vezes pela mesma cidade, a
menor distância que poderá ser percorrida para
chegar a B é, em quilômetros,
a) 68
b) 69
c) 70
d) 71
e) 72
122
Atualizada 26/06/2008
Matemática
12. (FCC) Em um concurso, João, Pedro e Lígia
tentam adivinhar um número selecionado entre os
números naturais de 1 a 9. Ganha o concurso aquele
que mais se aproximar do número sorteado. Se João
escolheu o número 4, e Pedro o número 7, a melhor
escolha que Lígia pode fazer para maximizar sua
chance de vitória é o número
a) 2
b) 3
c) 5
d) 6
e) 8
13. (FCC) Com relação a três funcionários do
Tribunal, sabe-se queI. João é mais alto que o
recepcionista;II. Mário é escrivão;III. Luís não é o
mais baixo dos três;IV. um deles é escrivão, o outro
recepcionista
e
o
outro
segurança.Sendo
verdadeiras as quatro afirmações, é correto dizer
que:
a) João é mais baixo que Mário.
b) Luís é segurança.
c) Luís é o mais alto dos três.
d) João é o mais alto dos três.
e) Mário é mais alto que Luís.
14. (VUNESP) Fábio, Antonio, Joaquim e Bernardo
moram em casas separadas, todas localizadas no
mesmo lado de uma rua retilínea. Sabe-se que a
casa de Fábio localiza-se entre a casa de Joaquim e
a casa de Bernardo. Sabe-se também que a casa de
Joaquim localiza-se entre a casa de Bernardo e a
casa de Antonio. Logo, a casa de
a) Fábio fica entre as casas de Antonio e de Joaquim.
b) Joaquim fica entre as casas de Fábio e de Bernardo.
c) Bernardo fica entre as casas de Joaquim e de Fábio.
d) Antonio fica entre as casas de Bernardo e de Fábio.
e) Joaquim fica entre as casas de Antonio e de Fábio.
15. (UEL)
Cada um dos três assessores
administrativos de uma prefeitura (Paulo, Cristiano e
Lucas) recebeu uma tarefa diferente. O prefeito
solicitou um orçamento para o novo dos três. Lucas
recebeu a tarefa de elaborar um parecer. Ao Paulo,
que não é o mais velho, não foi solicitado que
fizesse um orçamento. A partir dessas informações,
é correto afirmar:
a) O prefeito solicitou um orçamento para Paulo.
b) Lucas não é o mais velho.
c) Paulo é o mais novo.
d) Cristiano recebeu do prefeito a solicitação de um
orçamento.
e) Cristiano é o mais velho.
16. (OBM) Quatro carros, de cores amarela, verde,
azul e preta, estão em fila. Sabe-se que o carro que
está imediatamente antes do carro azul é menor do
que o que está imediatamente depois do carro azul;
que o carro verde é o menor de todos; que o carro
verde está depois do carro azul; e que o carro
amarelo está depois do preto. O primeiro carro da
fila:
a) é amarelo.
b) é azul.
c) é preto.
d) é verde.
e) não pode ser determinado apenas com esses
dados.
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17. (VUNESP) Considere a seguinte afirmação:
Todos os irmãos de André têm mais de 180 cm
altura.
Dessa afirmação, pode-se concluir que
a) se Bernardo é irmão de André, então a altura
Bernardo é menor que 180 cm.
b) se a altura de Caetano é maior que 180 cm, então
é irmão de André.
c) se a altura de Dario é menor que 180 cm, então
não é irmão de André.
d) a altura de André é maior que 180 cm.
e) a altura de André é menor que 180 cm.
de
21. (OBMEP) Na reta abaixo estão representados os
cinco números a, b, m, n, p e q.
de
ele
q
p
0
ele
18. Um grupo de 4 pessoas, Andréia, Bruna, Carla e
Daniela chegam em um carro à casa de uma amiga
que está dando uma grande festa. Está chovendo
muito e o grupo é forçado a estacionar a quatro
quadras de distância por causa do grande número de
carros das pessoas da festa. O grupo tem apenas um
guarda-chuva que terá que ser utilizado por todas.
Sabendo que Andréia é a mais rápida e faz o
percurso do carro até a casa ou da casa até o carro
em 1 minuto, Bruna leva 2 minutos, Carla leva 5
minutos e Daniela 10 minutos, e que apenas duas
pessoas podem usar o guarda-chuva por percurso,
qual o tempo mínimo para que o grupo todo saia do
carro e chegue à festa? Qual a ordem usada para
obter este tempo?
19. (ESAF) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis,
obtiveram os quatro primeiros lugares em um
concurso de oratória julgado por uma comissão de
três juízes. Ao comunicarem a classificação final,
cada juiz anunciou duas colocações, sendo uma
delas verdadeira e a outra falsa:
Juiz 1: André foi o primeiro; Beto foi o segundo
Juiz 2: André foi o segundo; Dênis foi o terceiro
Juiz 3: Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto
Sabendo que não houve empates, o primeiro, o
segundo, o terceiro e o quarto colocados foram,
respectivamente,
a) André, Caio, Beto, Dênis
b) André, Caio, Dênis, Beto
c) Beto, André, Dênis, Caio
d) Beto, André, Caio, Dênis
e) Caio, Beto, Dênis, André
20. (OBMEP) Luíza, Maria, Antônio e Júlio são irmãos.
Dois deles têm a mesma altura. Sabe-se que:
- Luíza é maior que Antônio
- Maria é menor que Luíza
- Antônio é maior do que Júlio
- Júlio é menor do que Maria.
Quais deles têm a mesma altura?
a) Maria e Júlio
b) Júlio e Luíza
c) Antônio e Luíza
d) Antônio e Júlio
e) Antônio e Maria
Atualizada 26/06/2008
Matemática
a
1/2
b
m
1
n
2
Então os números que melhor representam , a+ b,
a- b e ab são, respectivamente,
a) m, p e q
b) m, q e p
c) n, q e p
d) n, p e q
e) q, m e p
22. (OBM) Um feirante vende batatas e, para pesar,
utiliza uma balança de dois pratos, um peso de 1 kg,
um peso de 3 kg e um peso de 10 kg. Considere a
seguinte afirmação: Este feirante consegue pesar
(com uma pesagem) n quilogramas de batatas .
Quantos valores positivos de n tornam essa
afirmação verdadeira, supondo que ele pode colocar
pesos nos dois pratos?
a) 7
b) 10
c) 12
d)13
e)14
23. (FCC) Para fazer pesagens, um comerciante
dispõe de uma balança de pratos, um peso de ½ kg,
um de 2 kg e um de 3 kg.
Com os instrumentos disponíveis, o comerciante
conseguiu medir o peso de um pacote de açúcar. O
total de possibilidades diferentes para o peso desse
pacote de açúcar é:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
24. (FCC) Uma pessoa tem 7 bolas de mesmo peso
e, para calcular o peso de cada uma, colocou 5 bolas
em um dos pratos de uma balança e o restante junto
com uma barra de ferro de 546 gramas, no outro
prato. Com isso, os pratos da balança ficaram
totalmente equilibrados. O peso de cada bola, em
gramas, é um número
a) maior que 190.
b) entre 185 e 192.
c) entre 178 e 188.
d) entre 165 e 180.
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25. (ENEM) Um armazém recebe sacos de açúcar de
24 kg para que sejam empacotados em embalagens
menores. O único instrumento disponível para
pesagem é uma balança de dois pratos, sem os
pesos metálicos. Realizando uma única pesagem, é
possível montar pacotes de:
a) 3 kg
b) 4 kg
c) 6 kg
d) 8 kg
e) 12 kg
26. (ENEM) Um armazém recebe sacos de açúcar de
24 kg para que sejam empacotados em embalagens
menores. O único instrumento disponível para
pesagem é uma balança de dois pratos, sem os
pesos metálicos. Realizando exatamente duas
pesagem, os pacotes que podem ser feitos são os de:
a) 3 kg, 6 kg e 12 kg
b) 3 kg e 6 kg
c) 6 kg, 12 kg e 18 kg
d) 4 kg e 8 kg
e) 4 kg, 6 kg e 8 kg
27. (OBM) Um feirante vende batatas e, para pesar,
utiliza uma balança de dois pratos, um peso de 1 kg,
um peso de 3 kg e um peso de 10 kg. Considere a
seguinte afirmação: Este feirante consegue pesar
(com uma pesagem) n quilogramas de batatas .
Quantos valores positivos de n tornam essa
afirmação verdadeira, supondo que ele pode colocar
pesos nos dois pratos?
a) 7
b) 10
c) 12
d)13
e)14
Matemática
30. (FCC) O desenho seguinte mostra a planificação
de um cubo que apresenta um número pintado em
cada face, como é mostrado na figura que segue.
A partir dessa planificação, qual dos seguintes
cubos pode ser montado?
a)
b)
c)
d)
e)
31. (FCC) Um dado é feito com pontos colocados
nas faces de um cubo, em correspondência com os
números de 1 a 6, de tal maneira que a somados
pontos que ficam em cada par de faces opostas é
sempre sete. Dentre as três planificações indicadas,
a(s) única(s) que permite(m) formar, apenas com
dobras, um dado com as características descritas é
(são):
28. (FCC) Observe a figura seguinte:
Qual figura é igual à figura acima representada?
a)
b)
c)
d)
e)
29. (FCC) No retângulo abaixo, cada um dos quatro
símbolos diferentes representa um número natural.
Os números indicados fora do retângulo representam
as respectivas somas dos símbolos na linha 2 e nas
colunas 2 e 4:
Conclui-se das informações
representa o número:
a) 3
b) 5
c) 7
d) 8
e) 9
124
Atualizada 26/06/2008
que
o
símbolo
X
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Matemática
34. (OBM) A figura abaixo foi desenhada em
cartolina e dobrada de modo a formar um cubo.
a)
b)
c)
d)
e)
Qual das alternativas mostra o cubo assim formado?
I
I e lI.
I e III.
II e III.
I, II, III
32. (FCC) Em um dado convencional os pontos que
correspondem aos números de 1 a 6 são colocados
nas faces de um cubo, de tal maneira que a soma dos
pontos que ficam em cada par de faces opostas é
sempre igual a sete. Considere que a figura seguinte
indica dois dados convencionais, e que suas faces
em contato não possuem quantidades de pontos
iguais.
A soma dos pontos que estão nas faces em contato
dos dois dados é:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 11
e) 12
33 . Na figura, as faces em contato de dois dados
possuem o mesmo número.
Se a soma dos números nas faces opostas de cada
dado é sempre igual a 7, a maior soma possível dos
números nas três faces sombreadas da figura é:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 11
e) 15
a)
b)
c)
d)
e)
35. (OBMEP) Para montar um cubo, Guilherme
recortou um pedaço de cartolina branca e pintou de
cinza algumas partes, como na figura ao lado. Qual
das figuras abaixo representa o cubo construído por
Guilherme?
a)
d)
b)
e)
c)
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36. (OBMEP) As doze faces de dois cubos foram
marcadas com números de 1 a 12, de modo que a
soma dos números de duas faces opostas em
qualquer um dos cubos é sempre a mesma.
Joãozinho colou duas faces com números pares,
obtendo a figura ao lado. Qual o produto dos
números das faces coladas?
Matemática
39. (FCC) Um mágico pede que um voluntário conte
o total de palitos de uma caixa de fósforo, como a da
figura. Em seguida, ele pede que a pessoa subtraia
do total encontrado a soma do dígito da unidade
com o da dezena.
CABEÇA
QUENTE
fósforo
a) 42
b) 48
c) 60
d) 70
e) 72
37. (CESGRANRIO) Um certo jogo consiste em
colocar onze pessoas em círculo e numerá-las de 1 a
11. A partir da pessoa que recebeu o número 1,
incluindo-a, conta-se de 3 em 3, na ordem natural dos
a
números, e cada 3 pessoa é eliminada, ou seja, são
eliminadas as pessoas de números 3, 6 etc. Depois
de iniciada, a contagem não será interrompida, ainda
que se complete uma volta. Nesse caso, a contagem
continua normalmente com aqueles que ainda não
foram eliminados. Vence quem sobrar. O vencedor é
a pessoa de número:
a) 2
b) 5
c) 7
d) 9
e) 11
38. (FCC)
Em um corredor há 30 armários,
numerados de 1 a 30, inicialmente todos fechados.
Suponha que 30 pessoas, numeradas de 1 a 30,
passem
sucessivamente
por
esse
corredor,
comportando-se da seguinte maneira: a pessoa de
número k reverte o estado de todos os armários
cujos números são múltiplos de k. Por exemplo, a de
número 3 reverte o estado dos armários de números
3, 6, 9, 12, ..., 30, abrindo os que encontra fechados e
fechando os que encontra abertos. Nessas
condições, após todas as pessoas passarem uma
única vez pelo corredor, o total de armários que
estarão abertos é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Se o mágico pretende afirmar algo necessariamente
correto sobre o número final obtido após os
cálculos do voluntário, poderá dizer que o número é:
a) múltiplo de 4.
b) múltiplo de 9.
c) divisível por 6.
d) ímpar.
e) primo.
40. (ESAF-MPU) Ana guarda suas blusas em uma
única gaveta em seu quarto. Nela encontram-se sete
blusas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes
e três vermelhas. Uma noite, no escuro, Ana abre a
gaveta e pega algumas blusas. O número mínimo de
blusas que Ana deve pegar para ter certeza de ter
pegado ao menos duas blusas da mesma cor é
a) 6.
b) 4.
c) 2.
d) 8.
e) 10.
41. (OBM) Numa caixa havia várias bolas, sendo 5
azuis, 4 amarelas, 3 vermelhas, 2 brancas e 1 preta.
Renato retirou 3 bolas da caixa. Sabendo que
nenhuma delas era azul, nem amarela, nem preta,
podemos afirmar a respeito dessas 3 bolas que:
a) são da mesma cor.
b) são vermelhas.
c) uma é vermelha e duas são brancas.
d) uma é branca e duas são vermelhas.
e) pelo menos uma é vermelha.
42. (OBM) Numa gaveta há 6 meias pretas e 6 meias
brancas. Qual é o número mínimo de meias a se
retirar (no escuro) para garantir que:
As meias retiradas contenham um par da mesma
cor?
a) 5
b) 6
c) 2
d) 3
e) 7
43. (OBM) Numa gaveta há 6 meias pretas e 6 meias
brancas. Qual é o número mínimo de meias a se
retirar (no escuro) para garantir que:
As meias retiradas contenham um par de cor
branca?
a) 8
126
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b) 6
c) 5
d) 4
e) 7
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44. (FCC-TRF) Nas figuras seguintes têm-se três
malhas quadriculadas, nas quais cada número
assinalado indica o total de caminhos distintos para
atingir o respectivo ponto, caminhando sobre a rede
de cima para baixo, a partir do ponto A.
rede 3 x 3
rede 2 x 2
A
rede 1 x 1
A
1
1
A
1
1
3
2
1
1
2
1
1
3
1
1
2
Matemática
a) (EHUV)
b) (EGUT)
c) (EGVU)
d) (EHUT)
e) (EHVU)
50. (AFR-ICMS-SP) Observe a figura a seguir e
verifique que a faixa é formada por três linhas de
quadradinhos em que a primeira e terceira linhas
são apenas por quadradinhos brancos. A segunda
linha alterna quadradinhos brancos e pretos.
3
3
6
B
Raciocinando dessa maneira, quantos caminhos
diferentes podem ser percorridos na rede 3 x 3, para
se atingir o ponto B?
a) 10
b) 15
c) 20
d) 35
e) 70
45. (FCC) Uma propriedade lógica define a sucessão
das seguintes cidades sergipanas: JAPARATUBA,
ITAPORANGA, LAGARTO, CARMÓPOLIS, X. Escolha
a alternativa que substitui X dentro da lógica do
problema:
a) ARAUÁ
b) ESTÂNCIA
c) BOQUIM
d) ITABAIANA
e) CRISTINÁPOLIS
46. (FCC) Atente para os vocábulos que formam a
sucessão lógica:
HOMERO, DEPOIS, TEATRO, DEVEIS, COITO,
..............
Determine a alternativa que preenche logicamente a
lacuna:
a) PÉS
b) MÃO
c) COSTAS
d) BRAÇO
e) TRONCO
O número de quadradinhos brancos necessários
para uma faixa completa, de acordo com a figura,
mas contendo 60 quadradinhos pretos é:
a) 292
b) 297
c) 300
d) 303
e) 480
51. (FCC) Observe atentamente a tabela:
De acordo com o padrão estabelecido, o espaço em
branco na última coluna da tabela deve ser
preenchido com o número:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
52. (FCC) Na figura abaixo tem-se um conjunto de
ruas paralelas às direções Ie II indicadas.
47. Na seqüência (1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...) o número
que sucede 22 é:
a) 28
b) 29
c) 30
d) 31
e) 32
48. (FCC) Atente para os vocábulos que formam a
sucessão lógica, escolhendo a alternativa que
substitui X" corretamente: LEIS, TEATRO, POIS, X".
a) Camarão.
b) Casa.
c) Homero.
d) Zeugma.
e) Eclipse.
49. (FCC) São dados três grupos de 4 letras cada um:
(MNAB) : (MODC) :: (EFRS) :
Se a ordem alfabética adotada exclui as letras K,W e
Y, então o grupo de quatro letras que deve ser
colocado à direita do terceiro grupo e que preserva a
relação que o segundo tem com o primeiro é
Atualizada 26/06/2008
Sabe-se que 64 pessoas partem de P: metade delas
na direção I, a outra metade na direção II. Continuam
a caminhada e, em cada cruzamento, todos os que
chegam se dividem prosseguindo metade na direção
I e metade na direção II. O número de pessoas que
chegarão nos cruzamentos A e B são,
respectivamente,
a) 15 e 20
b) 6 e 20
c) 6 e 15
d) 1 e 15
e) 1 e 6
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53. (FCC) Na figura abaixo, as letras foram dispostas
em forma de um triângulo segundo determinado
critério.
Considerando que as letras K, W e Y não fazem parte
do alfabeto oficial, então, de acordo com o critério
estabelecido, a letra que deve substituir o ponto de
interrogação é a) P
b) Q
c) R
d) S
e) T
54.(FCC) A figura a seguir apresenta algumas letras
disposta em triângulo, segundo determinado critério.
I
L
J
H
G
F
?
__
N
__
E
D
C
B
A
Considerando que na ordem alfabética usada são
excluídas as letras K, Y e W, a letra que substitui
corretamente o ponto de interrogação é:
a) P
b) O
c) N
d) M
e) L
Matemática
56. (FCC) Em cada linha do quadro abaixo, as
figuras foram desenhadas obedecendo um mesmo
padrão de construção:
a)
d)
b)
e)
c)
57.(FCC) Observe que as figuras abaixo foram
dispostas, linha a linha, segundo um determinado
padrão.
55. (FCC) Observe que a sucessão seguinte os
números foram colocados obedecendo um lei de
formação.
4
4
8
5
X
7
14
11
12
10
Y
28
84
82
?
Os números X e Y, obtidos segundo essa lei, são tais
que X + Y é igual a:
a) 40
b) 42
c) 44
d) 46
e) 48
128
Segundo o padrão estabelecido, a figura que
substitui corretamente o ponto de interrogação é:
a)
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b)
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c)
Matemática
61. (FCC) A figura indica um quadrado de 3 linhas e
3 colunas contendo três símbolos diferentes:
d)
e)
58. (FCC) Quando somamos um número da tabuada
do 4 com um número da tabuada do 6,
necessariamente obtemos um número da tabuada do:
a) 2
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
59. (FCC) Um funcionário executa uma tarefa a cada
4 dias de trabalho. A primeira vez que fez essa tarefa
foi em uma quinta-feira, a segunda vez foi em uma
quarta-feira, a terceira em uma terça-feira, a quarta
em um sábado, e assim por diante. Sabendo-se que
não houve feriados no período indicado e que o
funcionário folga sempre no(s) mesmo(s) dia(s) da
semana, é correto afirmar que sua(s) folga(s)
ocorre(m) apenas:
a) segunda-feira.
b) sexta-feira.
c) domingo.
d) domingo e sexta-feira.
e) domingo e segunda-feira.
60. (FCC)
Sabe-se que:
3- cada símbolo representa um número;
- a soma dos correspondentes números representados
na 1ª linha é 16;
- a soma dos correspondentes números representados
na 3ª coluna é 18;
- a soma de todos os correspondentes números no
quadrado é 39.
Nas condições dadas, o valor numérico do
símbolo
a) 8
b) 6
c) 5
d) 3
e) 2
é
62. (FCC) Tem-se abaixo o algoritmo da
multiplicação de dois números inteiros, no qual
alguns algarismos foram substituídos pelas letras X,
Y, Z e T.
3 X 1
Y
1 5 2 6
2 6 Z 1 T
2 8 2 3 8
x
+
6
4
4
4
Para que o resultado esteja correto, os algarismos X,
Y, Z e T devem ser tais que
a) X
c) Y
e) Z
3T
3T
2Y
Y Z
X Z
3X Z
b) X
d) Y
2Y
2T
3T
2X
Z
Z
63. (OBM) Para fazer 12 bolinhos, preciso
exatamente de 100g de açúcar, 50g de manteiga,
meio litro de leite e 400g de farinha. A maior
quantidade desses bolinhos que serei capaz de fazer
com 500g de açúcar, 300g de manteiga, 4 litros de
leite e 5 quilogramas de farinha é:
Então o produto entre uma bola, um triângulo e um
quadrado, é:
a) 160
b) 135
c) 120 d) 108 e) 100
a) 48
c) 72
d) 54
e) 42
64. (OBM) A prefeitura de uma certa cidade fez
uma campanha que permite trocar 4 garrafas de 1
litro vazias por uma garrafa de 1 litro cheia de leite.
Até quantos litros de leite pode obter uma pessoa
que possua 43 dessas garrafas vazias?
a) 11
Atualizada 26/06/2008
b) 60
b) 12
c) 13
d) 14
e) 15
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65. .Um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo. Quanto
pesa um tijolo e meio?
66. (ESAF) Nos sistemas de numeração posicional,
cada dígito da seqüência que representa o número
pode ser interpretado como o coeficiente de uma
potência da base, onde o valor do expoente depende
da posição do dígito na seqüência. Entre tais
sistemas, um dos mais importantes é o binário, ou de
base 2, que utiliza apenas os dígitos 0 e 1 na notação
dos números. Por exemplo, o número que
corresponde ao 11 do sistema decimal, é indicado
por 1011 no sistema binário, pois 11 (decimal) é igual
3
2
1
0
a (1 x 2 ) + (0 x 2 ) + (1 x 2 ) + (1 x 2 )
Assim, o resultado, expresso no sistema decimal, da
adição dos números binários 1011 e 101 será igual a
a) 15
b) 13
c) 14
d) 12
e) 16
67. Chiquinha escreveu a palavra
ATRAPALHA
repetidamente,
justapondo
letras
maiúsculas
conforme indicado abaixo:
ATRAPALHAATRAPALHAATRAPALHAATRAPALHAA
TRAPALHAAT...
Cansada de repetir, parou na milésima letra. Não se
atrapalhe, e calcule quantas letras A escreveu.
a) 434
b) 454
c) 445
d) 554
e) 444
68. (FCC) Os dois pares de palavras foram formadas
segundo um determinado critério.
lacração
---cal
amostra
---soma
lavra
---?
Segundo o mesmo critério, a palavra que deverá
ocupar o ponto de interrogação é:
a) alar
b) rala
c) ralar
d) larva
e) arval
130
Atualizada 26/06/2008
Matemática
GABARITO
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
D
D
B
D
C
D
C
E
D
E
E
B
D
E
D
C
C
17
B
E
B
D
E
C
E
C
D
D
A
B
D
A
E
B
C
C
C
B
B
A
E
D
A
C
C
A
B
C
B
D
B
B
E
A
A
B
C
A
E
B
E
A
E
D
3
E
C
E
Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores