ANO LECTIVO 2001/2002
1ª Fase, 1ª Chamada 2002
3. Doses terapêuticas iguais de um certo antibiótico são administradas, pela primeira vez, a duas
pessoa: a Ana e o Carlos.
Admita que, durante as doze primeiras horas após a tomada simultânea do medicamento pela
Ana e pelo Carlos, as concentrações de antibiótico, medidas em miligramas por litro de sangue,
são dadas, respectivamente, por
A( t ) = 4t 3 e − t
C (t ) = 2t 3 e −0.7t
A variável t designa o tempo, medido em horas, que decorre desde o instante em que o
medicamento é tomado ( t ∈ [0,12] ).
3.1. Recorrendo a métodos analíticos e utilizando a calculadora para efectuar cálculos
numéricos, resolva as duas alíneas seguintes:
3.1.1. Determine o valor da concentração deste antibiótico no sangue da Ana, quinze
minutos depois de ele o ter tomado. Apresente o resultado, em miligramas por litro de
sangue, arredondado às centésimas.
Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no
mínimo, três casas decimais.
3.1.2. No instante em que as duas pessoas tomam o medicamento, as concentrações
são iguais (por serem nulas). Determine quanto tempo depois as concentrações voltam a
ser iguais. Apresente o resultado em horas e minutos (minutos arredondados às
unidades).
Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no
mínimo, três casas decimais
3.2. Considere as seguintes questões:
1. Quando a concentração ultrapassa 7,5 miligramas por litro de sangue, o medicamento
pode ter efeitos secundários indesejáveis. Esta situação ocorrerá neste caso, com alguma
destas duas pessoas? Caso afirmativo, com quem? E em quantos miligramas por litro o
referido limiar será ultrapassado?
2. Depois de atingir o nível máximo, a concentração começa a diminuir. Quando fica inferior
a 1 miligrama por litro de sangue, é necessário tomar nova dose do medicamento. Quem
deve tomá-la em primeiro lugar, a Ana ou o Carlos? E quanto tempo antes do outro?
Utiliza as capacidades gráficas da sua calculadora para investigar estas duas questões.
Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explicite as conclusões a que
chegou, justificando devidamente. Apresente, na sua resposta, os elementos recolhidos na
utilização da calculadora: gráficos e coordenadas de alguns pontos (coordenadas
arredondadas às décimas).
Proposta de Resolução
3.1. Apesar desta alínea ter de ser resolvida de forma analítica, a calculadora pode ajudar na
confirmação dos resultados.
3.1.1. Para se determinar o valor da concentração deste antibiótico no sangue da Ana passado
15 minutos, teremos que calcular A(0.25), pois 15 minutos é ¼ de uma hora
A ( 0 . 25 ) = 4 ( 0 . 25 ) 3 e ( − 0 . 25 ) = 0 . 048675049
Nota: Efectue este calculo no menu RUN
Arredondado a 3 casas decimais teremos 0.05g/litro
Para obtermos a confirmação pela calculadora podemos utilizar o menu gráfico.
No menu das funções introduza as duas funções:
Vamos estudar a evolução dos valores na tabela, para se poder definir a janela de visualização.
Rode o menu (F6) para ter acesso às funções da tabela.
Definimos o intervalo de saída de valores pressionando a tecla F2 (RANG)
Pressione a tecla ESC para retornar ao editor de equações e pressione a tecla F5 (TABL) para
visualizar a tabela.
Examinando a evolução dos valores das duas funções editadas em Y1 e em Y2, através da
tabela, podemos observar que quando o valor de t está compreendido entre 0 e 12, os
respectivos valores de A(t) e de C(t) estão compreendidos, respectivamente, entre 0 e 5,4 e
entre 0 e 7,8.
Tendo em conta esta última observação podemos escolher a seguinte janela de visualização
(SHIFT + OPTN):
Regresse ao editor de equações, pressionando a tecla ESC. Rode o menu para ter acesso à
barra de ferramentas dos gráficos e pressione a tecla F5 (DRAW) para desenhar o gráfico.
Utilize a opção F4(G-SLV), para ter acesso à opção 6 (Y-Cal), que lhe permite calcular o valor de
y, dado um determinado valor para x.
Deverá seleccionar a função desejada. Com as setas do cursor, seleccione a função
A(t ) = 4t 3 e − t que se encontra editada em Y1. Introduza o valor para x (0,25) e pressione a
tecla EXE.
O resultado é apresentado automaticamente.
3.1.2. Para esta questão é necessário calcular o ponto de intercepção das duas funções.
Analiticamente:
A(t ) = C (t )
4t 3e − t = 2t 3e − 0.7 t
4t 3e − t
=1
2t 3e − t
2 e − 0 .3 t = 1
1
e − 0 .3 t =
2
1
log e = −0.3t
2
1
ln = −0.3t
2
1
ln
2 = 2,31 = 2h18m37 s
t=
− 0.3
Efectue o calculo no menu RUN. Pode visualizar o resultado em horas, minutos e segundo. Para
transformar o resultado deverá pressionar a tecla OPTN para aceder à opção que faz a
respectiva transformação.
Nota: 2º 18’ 37. 77’’ (horas; minutos; segundos; milésimos de segundos)
A confirmação também pode ser obtida através do menu gráfico.
Escolha a opção 5 (Isect), para calcular o ponto de intercepção das duas equações.
O ponto de intercepção será calculado automaticamente.
3.2
1. Depois de desenhar o gráfico, utilize a opção 2 (MAX) do menu G-SOLV para calcular o nível
máximo de concentração de antibiótico no sangue da Ana e do Carlos.
Para a Ana
Pressione a tecla EXE para escolher a função Y1, que corresponde à concentração de
antibiótico no sangue da Ana.
Para o Carlos
Pressione a tecla direccional para baixo, para seleccionar a segunda função que corresponde ao
nível de concentração de antibiótico no sangue do Carlos.
Observamos que o máximo da função A e o máximo da função C correspondem,
respectivamente, às ordenadas dos pontos de coordenadas (3; 5,4) e (4,3; 7,8). Isto permite-nos
concluir que apenas o Carlos corre riscos de sofrer efeitos secundários indesejáveis, uma vez
que a concentração máxima do medicamento no sangue, igual a 7,8 miligramas por litro, excede
em 3 décimos de miligrama por litro o limiar fixado.
2. Coloque em Y3 a equação y=1
Utilize a opção 5 (ISECT) do menu G-SLV para calcular o ponto de intercepção da função que
representa o nível de antibiótico no sangue da Ana e do Carlos com a equação y=1.
Para a Ana
Depois de escolher a opção ISECT, deverá escolher as duas funções que pretende visualizar a
intercepção. No canto superior esquerdo do ecrã pode visualizar a equação que está
seleccionada. Para confirmar a sua escolha pressione a tecla EXE. Para escolher a segunda
função, pressione a tecla direccional para baixo até seleccionar a equação y3.
A calculadora irá mostrar a primeira intercepção das duas equações. Para visualizara segunda
intercepção, pressione a tecla direccional para a direita.
Para o Carlos
Seleccione a equação y2 e y3.
Para visualizara segunda intercepção, pressione a tecla direccional para a direita.
Observamos que os gráficos das funções A e C intersectam a recta de equação y = 1 nos pontos
de abcissa 7,4 e 11,4, respectivamente. Assim, a Ana deve tomar nova dose de medicamento 7h
24 min após a ingestão da dose anterior, isto é, 4 h antes do Carlos o fazer.