INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Prova pública para passagem à categoria de equiparado a
professor adjunto
DETERMINAÇÃO DE ARMADURAS TRANSVERSAIS EM
ALMAS DE VIGAS-CAIXÃO
Unidade curricular: Pontes e viadutos
Secção 6 — Dimensionamento de estruturas
LUCIANO ALBERTO DO CARMO JACINTO
N.º mecanográfico: 1584
Abril de 2009
Índice
1. Introdução ............................................................................................................ 1
2. Formulação geral da resistência ao corte segundo o EC2..................................... 2
3. Determinação do fluxo de corte............................................................................ 4
3.1. Vigas de altura variável ......................................................................................... 4
3.2. Vigas sujeitas a esforço transverso mais torção...................................................... 5
4. Interacção entre esforço transverso e flexão transversal ...................................... 6
5. Exemplo ................................................................................................................ 9
6. Conclusões .......................................................................................................... 10
i
ii
DETERMINAÇÃO DE ARMADURAS TRANSVERSAIS EM
ALMAS DE VIGAS-CAIXÃO
Resumo
Nesta comunicação apresenta-se uma metodologia para a determinação de armaduras
transversais em almas de vigas-caixão tendo em conta os diversos factores intervenientes,
como seja a influência da variação da altura, a presença de torção e a interacção com a
flexão transversal. Na parte final mostra-se a aplicação da metodologia desenvolvida
através de um exemplo.
1. Introdução
Os tipos de secção mais usuais em tabuleiros de pontes são as secções Π (lê-se secção pi)
— secção constituída por um banzo superior e duas almas longitudinais, e as secções em
caixão unicelular, também constituídas por duas almas. As secções Π são económicas e
muito fáceis de construir, mas apresentam uma fraca resistência a momentos negativos, o
que limita a sua aplicação a vãos relativamente moderados, inferiores a 50 m como ordem
de grandeza. Quando os momentos negativos são elevados, seja porque os vãos são
significativos, seja porque o processo construtivo a isso obriga (como é o caso da
construção por avanços em consola), é conveniente conceber um banzo inferior de
compressão, transformando a secção Π numa secção em caixão. Além da boa resistência a
momentos negativos, a secção em caixão possui uma excelente resistência à torção, o que a
torna particularmente adequada em tabuleiros com curvatura significativa em planta.
As almas das vigas-caixão têm uma função dupla: (1) na direcção longitudinal resistem
aos esforços de corte provocados pelo esforço transverso e torção e (2) na direcção
transversal resistem aos momentos flectores associados à deformação transversal da secção.
Assim, como se esquematiza na Figura 1, a armadura a dispor nas almas (estribos) é
solicitada quer pelo corte quer pela flexão transversal. Nesta comunicação explica-se como
se pode calcular a armadura transversal tendo em conta o efeito conjunto dos esforços de
flexão e corte.
1
m
v
Figura 1 — Os estribos nas almas são solicitados pelo corte (v) e pela flexão (m).
Relativamente ao esforço de corte apresenta-se uma formulação inteiramente
consistente com a formulação do Eurocódigo 2 (EN 1992, 2004). Porém, a formulação será
apresentada em termos de fluxo de corte [KN/m] que, na opinião do autor, é mais intuitiva
quando se junta a torção e quando se considera a interacção com a flexão transversal.
Começa-se então por resumir as disposições do EC2 (Eurocódigo 2) relativas ao esforço
transverso em vigas.
2. Formulação geral da resistência ao corte segundo o EC2
De acordo com o EC2 e considerando o caso mais comum de estribos verticais, a armadura
necessária numa secção com esforço transverso actuante de calculo igual a Vsd é dada por:
Asw
Vsd
=
,
s
zfsyd cotgθ
(2.1)
onde z representa o braço das forças internas, fsyd o valor de cálculo da tensão de
cedência do aço e θ o ângulo que as bielas fazem a horizontal (Figura 2).
Vsd
z
d
θ
Figura 2 — Modelo de treliça para a resistência ao esforço transverso.
Relativamente ao braço z , é usual considerar-se z = 0.9d . No caso especifico de
tabuleiros de ponte com secção em caixão é mais frequente, porém, tomar-se para z a
distância entre as linhas médias dos banzos superior e inferior. Segundo o EC2, a
inclinação das bielas θ deve estar compreendida entre 22 e 45º. Em estruturas de betão
pré-esforçado é usual adoptar-se θ = 30º .
Considerando que o factor Vsd / z representa o fluxo de corte em estado limite último, a
Eq. (2.1) pode ser escrita com a forma seguinte:
Asw
vsd
=
,
s
fsyd cotgθ
2
(2.2)
em que:
vsd =
Vsd
.
z
(2.3)
No caso específico de secções de duas almas, como é o caso das secções em caixão
(unicelular), o fluxo de corte em cada alma é igual a metade do fluxo total, isto é, se Vsd
representar o esforço transverso actuante na secção, o fluxo de corte em cada alma é dada
por:
vsd =
Vsd
.
2z
(2.4)
Uma vez calculado o fluxo de corte vsd , a Eq. (2.2) permite calcular a armadura a
dispor na alma. Deve notar-se, porém, que as equações acima são válidas apenas para vigas
com altura constante. Quando a altura da viga é variável as forças nos banzos são
inclinadas, possuindo uma componente vertical que afecta a resistência ao esforço
transverso, podendo ser favorável ou desfavorável. A forma mais simples de tratar este
problema é corrigir o fluxo de corte actuante. Uma vez corrigido o fluxo de corte, a Eq.
(2.2) pode continuar a ser usada para o calculo da armadura necessária. Se existir torção
associada ao esforço transverso, bastará adicionar o fluxo de corte provocado por este
esforço.
Estes aspectos serão tratados na próxima secção. Antes, porém, é conveniente recordar
que a verificação da segurança ao esforço transverso só está completa depois de se
comprovar que a compressão nas bielas de betão não excede a sua capacidade resistente.
Segundo o EC2 e adoptando a formulação em termos de fluxo de corte, esta verificação
consiste em garantir que:
vsd ≤
αc ν fcdbw
,
cotgθ + tgθ
(2.5)
onde αc traduz a influência favorável de eventuais esforços normais de compressão. Como
αc ≥ 1 , está-se do lado da segurança se se tomar αc = 1 . O factor ν é um factor de
redução da resistência do betão para ter em conta o facto de se tratar de betão com
fissuras de esforço transverso e é dado por:
⎛
f ⎞
ν = 0.60 ⎜⎜⎜1 − ck ⎟⎟⎟ ,
250 ⎟⎠
⎝
(2.6)
onde fck denota o valor característico da resistência do betão referida a provetes cilíndricos
e expressa em MPa. O factor bw representa a largura da alma. Chama-se a atenção para
que a Eq. (2.5) é válida para estribos verticais.
Vejamos então como determinar o fluxo de corte tendo em conta a influência da
variação de altura da secção e da presença de torção.
3
3. Determinação do fluxo de corte
3.1. Vigas de altura variável
A figura seguinte mostra um troço elementar de viga-caixão com altura variável.
z −dz
dx
z
V
M +dM
Fc
Fc+dFc
V +dV
i >0
dz =idx
dx
ALÇADO DA VIGA
DIAGRAMA DE CORPO LIVRO DO
BANZO SUPERIOR
Figura 3 — Viga-caixão com altura variável — cálculo do fluxo de corte nas almas.
Estude-se o equilíbrio do banzo superior. Ora, de acordo com a figura, tem-se:
Fc + 2vdx = Fc + dFc ⇔ v =
dFc
(3.1)
2dx
Por outro lado, sabe-se que em estado limite último:
Fc =
M
M + dM
; e que Fc + dFc =
. Destas duas equações tira-se que:
z
z − idx
dFc =
M ⋅ i ⋅ dx / z + dM
.
z
Substituindo esta Eq. na Eq. (3.1) e considerando que V = dM / dx , obtém-se a Eq.
pretendida:
M
1 ⎛V
vsd = ⎜⎜⎜ sd + sd
2 ⎜⎝ z
z2
⎟⎞
i ⎟⎟
⎟⎠
(3.2)
onde:
– vsd representa o fluxo de corte actuante em cada alma;
– Vsd e M sd representam os valores de cálculo de, respectivamente, esforço transverso e
momento flector na secção em estudo;
– z representa o braço das forças internas;
– i representa a inclinação do banzo inferior, considerado positiva quando a altura
diminui quando se caminha da esquerda para a direita e negativa no caso contrário.
As diferentes grandezas intervenientes na Eq. (3.2) devem ser introduzidas com o
verdadeiro sinal. Haverá secções onde a inclinação do banzo é favorável, isto é reduz o
4
fluxo de corte, e secções onde é desfavorável, isto é, aumenta o fluxo de corte. A Figura 4
mostra uma situação típica de viga de altura variável, pondo em evidência as zonas onde a
inclinação do banzo é favorável e as zonas onde é desfavorável.
i favorável
i desfavorável
i favorável
Figura 4 — Zonas onde a inclinação do banzo é favorável ou desfavorável do ponto de vista do
esforço tranverso.
É interessante notar que no exemplo típico mostrado na Figura 4 pode concluir-se que a
inclinação do banzo é globalmente favorável, pois na zona em que é desfavorável (zona do
vão) os esforços transversos são pequenos.
3.2. Vigas sujeitas a esforço transverso com torção
Conforme é sabido, nas secções em caixão a torção é principalmente resistida por um fluxo
de corte fechado com valor constante ao longo do perímetro médio das paredes do caixão,
sendo perfeitamente desprezável a contribuição das consolas. O fluxo de corte provocado
pelo momento torsor é dado pela fórmula seguinte, conhecida como primeira fórmula de
Bredt:
vsd =
Tsd
2A0
(3.3)
,
onde, como indicado na Figura 5, a área A0 denota a área delimitada pelas linhas médias
das paredes que compõem o caixão.
A0
Msd
Tsd
z
Vsd
vsd
i
Figura 5 — Secção em caixão sujeita a flexão, esforço transverso e torção.
Para determinar o fluxo de corte total, basta adicionar o fluxo provocado pelo esforço
transverso (Eq. (3.2)) com o fluxo provocado pela torção (Eq. (3.3)), ou seja:
vsd =
T ⎞⎟
1 ⎛⎜Vsd M sd
⎜⎜
+ 2 i + sd ⎟⎟ .
A0 ⎠⎟
2 ⎜⎝ z
z
5
(3.4)
4. Interacção entre esforço transverso e flexão transversal
Nas secções anteriores viu-se como calcular a área dos estribos na hipótese de corte puro,
isto é, corte sem flexão transversal. Apresenta-se de seguida um método de cálculo dessas
armaduras tendo em conta o efeito conjunto do corte e da flexão transversal baseado em
Menn (1990). Calcular as armaduras para cada esforço em separado e adicioná-las depois
não é um procedimento correcto, pois não leva em conta o comportamento da alma em
estado limite último.
A Figura 6 representa o modelo de treliça de um troço de viga, admitindo estribos
verticais e bielas com inclinação genérica θ . A força de compressão nas bielas é denotada
por Fb .
z
Fb
Vsd
θ
vsd
cotgθ
z cotgθ
z cotgθ
Figura 6 — Modelo de treliça de um troço genérico de viga.
Por razões de equilíbrio facilmente se observa que a componente vertical de Fb é igual a
Vsd . Por outro lado, como mostrado na figura, o comprimento de influência da biela é igual
a zcotgθ . Portanto, dividindo a componente vertical da força na biela por zcotgθ , obtémse Vsd / (zcotgθ) . Mas Vsd / z é o fluxo de corte vsd . Assim, conclui-se que a compressão
vertical na alma distribuída ao longo da direcção longitudinal é igual a vsd / cotgθ (Ver
Figura 7)
vsd
cotgθ
Figura 7 — Componente vertical da compressão na alma devida ao corte.
Ora, acontece que esta compressão não mobiliza a largura total da alma, visto que, por
razões construtivas (facilidade de betonagem, espaço para alojar cabos e ancoragens de préesforço) a largura adoptada para as almas é, regra geral, superior à largura mínima
requerida para o não esmagamento das bielas de betão. A parte excedentária pode ser
aproveitada para a resistência à flexão transversal, conforme vai ser explicado.
Começa-se por determinar a largura mínima requerida para o não esmagamento das
bielas de betão, denotada por bw ,req . De acordo com a Eq. (2.5) e tomando αc = 1 , tem-se:
6
bw ,req =
vsd
ν fcd
(cotgθ + tgθ ) .
(4.1)
Pode considerar-se que a componente vertical da compressão na alma mobiliza apenas a
largura bw ,req . Numa situação de corte puro, isto é, não havendo flexão transversal, esta
força é centrada com o eixo da alma, podendo estabelecer-se o equilíbrio mostrado na
Figura 8.
vsd
cotgθ
fse
bw,req
fsi
Figura 8 — Equilíbrio de um troço de alma sem flexão transversal.
As forças fse e fsi designam, respectivamente, a força no ramo exterior e a força no
ramo interior dos estribos. Portanto, não havendo flexão transversal, as forças nos ramos
são idênticas e iguais a:
fse = fsi =
vsd
2cotgθ
(4.2)
.
Se deslocarmos agora o bloco comprimido para um dos lados, consegue-se um momento
flector, mesmo sem alterar as forças nos estribos. Determine-se, então, o momento
resistente, mRd ,1 , que se consegue obter deslocando o bloco comprimido o mais para a
esquerda possível, sem alterar as forças nos estribos (Figura 9).
bw
mRd,1
c
c
vsd
cotgθ
0
bw,req
fsi
fse
Figura 9 — Cálculo de mRd ,1 .
Por equilíbrio obtém-se:
mRd ,1 =
vsd
2cotgθ
(bw − bw,req ) .
(4.3)
Aumente-se agora este momento fazendo variar a força nos estribos até que a força no
estribo exterior se anule. Esta situação limite, a que corresponde o momento mRd ,2 , está
representada na Figura 10:
7
bw
mRd,2
c
vsd
cotgθ
bw,req
fsi
Figura 10 — Cálculo de mRd ,2 .
Novamente, por equilíbrio obtém-se:
mRd ,2 =
vsd
(b − 0.5bw,req − c ) .
cotgθ w
(4.4)
Posto isto, pode esquematizar-se o procedimento para o cálculo da força nos estribos em
função do fluxo de corte na alma vsd e do momento flector transversal msd :
1) Se msd ≤ mRd ,1 , então:
vsd
fse = fsi =
2cotgθ
(4.5)
.
2) Se mRd ,1 < msd ≤ mRd ,2 , então:
fsi =
msd +
vsd
0.5bw,req − c
cotgθ
;
bw − 2c
(
)
fse =
vsd
cotgθ
− fsi .
(4.6)
Se msd > mRd ,2 , significa que se tem de recorrer a compressão adicional no betão.
Entretanto, a força no estribo exterior já se anulou (Figura 11).
bw
c
msd
vsd
cotgθ
νfcd
x
bw,req
fsi
Figura 11 — Cálculo de fsi quando msd > mRd ,2 .
Por equilíbrio, facilmente se conclui que:
fsi =
onde x =
vsd
cotgθ
(4.7)
+ ν fcd x ,
−b '± b '2 − 4a ' c '
, e:
2a '
a ' = 0.50ν fcd ; b ' =
vsd
cotgθ
− ν fcd (bw − c );
c ' = msd −
8
vsd
cotgθ
(bw − 0.5bw,req − c ) .
5. Exemplo
Considere-se a secção representada na Figura 12 com as características geométricas, esforços
e materiais aí indicados. Os dados são reais.
1
Msd
Tsd
bw
z
Geometria:
z = 7.15 m
b0 = 6.40 m
bw = 0.40 m
i = 0.125 m
c = 0.043 m
(Recobrimento dos
estribos a eixo)
1
Vsd
i
b0
Esforços:
Msd
Vsd
Tsd
msd
=
=
=
=
-1360000 KNm
43784 KN
378 KNm
137 KNm (Secção 1)
Materiais:
Betão: C40/50 (fcd =26.7 MPa)
Aço:
A500 (fsyd =435 MPa)
Figura 12 — Dados da secção do exemplo.
Pretende-se determinar as áreas dos estribos, exterior e interior, na secção 1, assinalada na
figura.
Resolução:
Começa-se por determinar o fluxo de corte na alma esquerda da secção:
⎞⎟ 1
1 ⎛ 43784 −1360000
378
⎟ = (6123.6 − 3325 + 8.3) = 1404 KN/m.
+
0.125 +
vsd = ⎜⎜⎜
2 ⎝ 7.15
6.40 × 7.15 ⎟⎠⎟ 2
7.152
Repare-se o benefício de considerar a influência da inclinação do banzo: o fluxo de corte
reduz-se sensivelmente para metade.
Em seguida determina-se a largura mínima da alma requerida para o não esmagamento das
bielas de betão:
⎛
40 ⎟⎞
⎟ = 0.50 ;
ν = 0.60 ⎜⎜1 −
⎜⎝
250 ⎟⎟⎠
bw ,req =
1404
0.50 × 26.7 × 103
(cotg30º +tg30º) = 0.243 .
Adoptando bielas a 30º, o momento resistente da alma sem alteração da força nos estribos
é igual a:
mRd ,1 =
1404
(0.40 − 0.243) = 63.6 KNm.
2 × 1.732
mRd ,2 =
1404
(0.40 − 0.5 × 0.243 − 0.043) = 190.9 KNm.
1.732
Portanto, mRd ,1 < msd < mRd ,2 . Assim, usando as expressões apropriadas para esta situação
tem-se:
fsi =
137 +
1404
(0.5 × 0.243 − 0.043)
1.732
= 639 KN/m;
0.40 − 2 × 0.043
9
Asi
= 639 / 43.5 = 14.7 cm2 /m
s
fse =
1404
− 639 = 172 KN/m;
1.732
Ase
s
= 172 / 43.5 = 3.9 cm2 /m ;
Se não existisse flexão transversal, a armadura necessária seria:
Asw
s
=
1404
= 18.6 cm2 /m , e portanto 9.3 cm2 em cada ramo.
43.5 × 1.732
6. Conclusões
Analisou-se nesta comunicação, um procedimento para o cálculo das armaduras
transversais em almas de vigas-caixão baseado no conceito de fluxo de corte e na
interacção com a flexão transversal. Para além das características geométricas da seção, os
dados necessários são os esforços longitudinais Vsd , Msd e Tsd e ainda o momento
transversal msd . Resume-se de seguida a sequência da análise:
1) Começa-se por determinar o fluxo de corte na alma:
vsd =
a) Corte simples:
1 Vsd
.
2 z
M
1 ⎛V
b) Quando a viga é de altura variável: vsd = ⎜⎜⎜ sd + sd
2 ⎜⎝ z
z2
vsd =
c) Quando existe momento torsor:
⎞⎟
i ⎟⎟ .
⎠⎟
T ⎞⎟
1 ⎛⎜Vsd M sd
⎜⎜
+ 2 i + sd ⎟⎟ .
A0 ⎟⎠
2 ⎜⎝ z
z
2) Se não existir flexão transversal a armadura necessária é dada por:
Asw
vsd
=
s
fsyd cotgθ
3) Se existir flexão transversal, determina-se a largura mínima da alma requerida para
o não esmagamento das bielas de betão:
bw ,req =
vsd
ν fcd
(cotgθ + tgθ ) .
4) Determinam-se os momentos:
mRd ,1 =
mRd ,2 =
vsd
2cotgθ
vsd
cotgθ
(bw − bw,req )
(bw − 0.5bw,req − c )
5) Finalmente, em função da posição relativa de msd face a mRd ,1 e mRd ,2 ,
determinam-se as forças nos estribos e as correspondentes áreas de armadura,
usando as fórmulas apropriadas apresentadas na comunicação.
Refere-se que os banzos superior e inferior do caixão também estão sujeitos a corte e a
flexão transversal, podendo determinar-se as armaduras transversais por um procedimento
exactamente igual. Em geral nos banzos, particularmente o banzo superior, a flexão
10
costuma ser dominante face ao corte, enquanto que nas almas o corte costuma ser
dominante.
Finalmente, como última nota, refere-se que o peso do banzo inferior (e eventuais
sobrecargas que nele actuem), está suspenso nas almas, pelo que é necessário adicionar à
armadura das almas calculada pelo procedimento explicado, a armadura de suspensão.
Bibliografia
EN 1992-1-1 (2004). Eurocode 2: Design of concrete structures - Part 1-1: General
rules and rules for buildings. Comité Européen de Normalization (CEN), Brussels.
Menn, C. (1994). Prestressed Concrete Bridges. Birkhäuser Verlag, Basel.
11