MAE 5702 - Probabilidade e Inferência Estatı́stica I
2a Prova - 01/06/2009
1. (7,0 pontos) Sejam X1 , . . . , Xn uma amostra aleatória da distribuição de Pareto com
função densidade de probabilidade dada por
f (x; α; β) =
βαβ
, x ≥ α, α > 0, β > 0.
xβ+1
(a) Obtenha uma estatı́stica conjuntamente suficiente para (α, β) e verifique se ela
é minimal.
(b) Obtenha os estimadores de máxima verossimilhança de α e β.
Suponha agora que α é conhecido.
(c) Mostre que a distribuição de Pareto pertence à famı́lia exponencial e obtenha uma estatı́stica suficiente para β. Essa estatı́stica é minimal e completa?
Justifique.
(d) Obtenha o estimador de máxima verossimilhança de β e verifique se é consistente.
(e) Obtenha o estimador não viciado de variância mı́nima de β e verifique se é
eficiente.
(f) Repita os itens (d) e (e) sendo que agora o interesse é estimar 1/β.
(g) Obtenha o estimador não viciado de variância mı́nima de P (Y1 > k) sendo
Y1 = log Xαi .
Sugestão: mostre que a distribuição de Y1 = log Xαi é exp (β).
2. (3,0 pontos) Sejam X1 , . . . , Xn variáveis aleatórias independentes com Xk tendo
função densidade de probabilidade dada por
fXk (x; θ) = exp {kθ − x} , x ≥ kθ, θ > 0.
(a) Encontre uma estatı́stica suficiente para θ.
(b) Encontre o estimador de máxima verossimilhança de θ e calcule seu viés.
(c) Verifique se o estimador de máxima verossimilhança é consistente.
Observações:
• Obtenha a distribuição de Yk =
Pn
n(n+1)
.
•
k=1 k =
2
Xk
k
− θ.