Campo Conceitual
Campo Conceitual e os PCN de Matemática
“A justificativa para o trabalho conjunto dos problemas
de adição e subtração baseia-se no fato de que eles
compõem uma mesma família”
“Os problemas não se classificam em função
unicamente das operações a eles relacionadas a priori,
e sim em função dos procedimentos utilizados por
quem os seleciona”
A dificuldade de um problema não está diretamente
relacionada à operação requisitada para sua solução,
mas depende em grande parte a questões lógicas de
cada tipo de problema (PCN, 2001)
Campo Conceitual
Campo Conceitual
Conceitos de naturezas diferentes
Conceito
Conceito
Conceito
Conceito
Campos Conceituais
Conjunto de situações cuja
apropriação requer o domínio de
vários conceitos de naturezas
diferentes.
PARADOXO
É necessário o domínio de CONCEITOS
para enfrentar determinadas
situações;
É necessário um conjunto de
SITUAÇÕES distintas para se formar
um conceito.
DIALÉTICA
CONCEITO
SITUAÇÃO
Desafio para o(a) professor(a) que
ensina matemática
Elaborar situações-problema fazendo
escolhas adequadas tanto de
situações didáticas, quanto de
debates, explicações, representações
que auxiliem os alunos
a construírem novos conceitos.
Segundo a teoria dos Campos Conceituas, para se formar
um CONCEITO são necessário situações trabalhada pela
criança a partir de invariantes expressos por representações.
Situação: aquilo com o qual o aluno é confrontado
e que torna o conceito significativo;
Invariante: refere-se a ação do sujeito. São
teoremas em ato e conceitos em ato
utilizados pelo indivíduo para analisar e
dominar a situação.
Representações: representações simbólicas que
podem ser usadas para representar invariantes
e, portanto, representar as situações e os
procedimentos para lidar com elas.
Exemplo:
Situação: Uma criança tinha 3 bombons e sua avó lhe deu
2. Com quantos bombons ela ficou?
Resolução: é utilizado um teorema em ação – representa-se os
bombons pelos dedos e conta-se os dedos.
Invariante: através da estratégia acima, a criança mostra que
compreende de modo implícito que o todo é igual a soma
das partes, não sendo capaz de verbalizar este
conhecimento.
Representação: a utilização dos dedos
Teorema utilizado:
n(AUB) = n(A) +n(B), desde que A  B = ø
Teorema-em-ação um tipo de invariante operacional
Um teorema matemático é utilizado pela criança:
• De modo implícito;
• Sem ser capaz de verbalizá-lo, explicá-lo verbalmente;
• Mostrando-se na ação;
• Servindo para situação pontual.
Esta forma de conhecimento é chamada de “TEOREMA
EM AÇÃO”: são conhecimentos matemáticos que a
criança desenvolve em sua vida diária. É a base sobre a
qual o ensino da matemática deve ser construído.
Competência e Concepção
As competências e concepções dos alunos vão se
desenvolvendo ao longo do tempo, por meio
de experiências com um grande número de
situações, tanto dentro quanto fora da escola.
Em geral, quando se defronta com uma nova
situação, o estudante usa o conhecimento
desenvolvido em sua experiência de situações
anteriores e tenta adaptá-las à nova situação.
Competência e Concepção
DUAS FACES DA MESMA MOEDA
Problemas teóricos e práticos levam a levam a
formação de conceitos, enquanto conceitos
explícitos e conhecimentos implícitos levam a
formação de competência.
Competência é traçada pela ação do aluno diante
das situações (no caso, resolução de problemas)
Concepções pdm ser traçadas por suas expressões
verbais e outras representações simbólicas.
Teorema-em-ação
Domínio de validade restrito
Validade local
Teorema-em-ação: “8 x 2 =16; 8 x 4 = 32, logo toda vez
que multiplicarmos 8 por qualquer número o
resultado sempre será maior do que 8”
Confronto:
8 vezes quanto dá 2?
?
Esquemas de ação e a formação de
conceitos operatórios do
Campo Aditivo (adição e subtração)
Ao ingressar na primeira série a maioria dos
alunos já tem a capacidade de coordenar
ESQUEMAS (invariantes operatórios) de juntar
e separar com a contagem e por isso
conseguem resolver uma diversidade de
problemas.
1. Paula tinha 5 flores. Depois sua mãe lhe deu 8
flores. Quantas flores Paula tem agora?
2. Otávio tinha 12 flores. Deu 2 dessas flores para sua
mãe. Quantas flores Otávio tem agora?
3. Num tanque havia 6 peixes vermelhos e 4
amarelos. Quantos peixes havia no tanque?
4. Carla tinha alguns doces. Ela jogou um jogo e
ganhou 2 doces. Agora ela tem 12 doces. Quantos
doces ela tinha?
5. Numa sala há 9 alunos e 6 cadeiras. A) Há mais
cadeiras ou alunos? B) Quanto alunos a mais?
6. Numa sala há 9 alunos e 6 cadeiras. Quantas
cadeiras temos que buscar para que todos os
alunos possam sentar-se?
Acertos de acordo com os esquemas- 1ª série
%
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Probl. 1
sl4
Probl. 2
Probl. 3
Probl. 4
Probl. 5A Probl. 5B
Probl. 6
O gráfico mostra que:
A) Nos probl. 1, 2 e 3 os alunos precisaram
coordenar as ações de juntar (pb1 e pb3) ou
de retirar (pb2) com a contagem.
Conclusão: foram capazes de coordenar ações
com a contagem (representação simbólica)
O gráfico mostra que:
B) O percentual de acerto no probl. 4 foi de 60%. Perc. abaixo
dos anteriores.
Conclusões:
B.1) A aplicação direta do esquema de ação (juntar ou retirar)
não leva à resolução do problema
Segundo Piaget, as crianças desenvolvem os esquemas de
juntar e separar independente um do outro, sem
compreender a relação entre eles. Para atingir uma
compreensão mais avançada, passando do conhecimento
baseado em ESQUEMAS DE AÇÃO para CONCEITOS
OPERATÓRIOS de adição e subtração, é necessário que o
aluno consiga coordenar os dois esquemas, reconhecendo
a relação inversa que existe entre adição e subtração.
Conclusões:
B.2) Não são as “continhas” que tornam o problema
mas fácil ou mais difíl.
A operação a ser utilizada tanto no prob. 2 quanto
no prob. 4 era 12 – 2, entretanto o índice de
acertos foi bem diferente.
O gráfico mostra que:
C) Os alunos tiveram bem mais dificuldade para resolver
problema que evolveu COMPARAÇÃO. Desempenho
foi no prob. 5b foi de 50%.
Conclusões:
C.1) Os alunos compreenderam o sentido comparativo
da palavra “mais”, pois 99% deles acertaram o item
A do prob 5.
C2) A dificuldade é explicada com o fato dos alunos
identificarem as ideias de adição e subtração com
mudanças nas quantidades. Como nos problemas
comparativos não há mudanças de quantidades, os
alunos não conseguem raciocinar de imediato sobre
as relações quantitativas envolvidas no problema.
O gráfico mostra que:
D) Quando transformamos o prob. 5 – comparação estática –
num problema dinâmico (prob. 6), o índice de acerto subiu
para 90%.
Conclusões:
D1) O alto índice de acerto confirma a constatação anterior de
que os alunos sentem mais dificuldades em racionar com
duas quantidades estáticas. A utilização do prob. 6 pode
ser um caminho intermediário para que a criança possa
compreender problemas comparativos.
D2) Poder-se-ia perguntar: quantos alunos vão ficar sem
cadeira? Nestes casos o índice de acerto é sup. A 90%.
Quando os alunos utilizam “tracinhos” e fazem
correspondência um-a-um, normalmente acertam.
Conceito operatório da adição e subtração
Há três esquemas de ação relacionados ao
raciocínio de aditivo:
JUNTAR
RETIRAR
COLOCAR EM CORRESPONDÊNCIA UM-A-UM
As crianças já utilizam estes esquema antes
mesmo de ingressarem na escola,
MAS...
A maioria das crianças da 1ª série
ainda não desenvolveu meios de
estabelecer relações entre esses três
esquemas de ação e, portanto, não
construiu um conceito operatório de
adição e subtração.
Mudança dos objetivos no
ensino da Matemática no 1º ciclo
• De acordo com as pesquisas na área de
aprendizagem de Matemática no Campo
Aditivo, faz-se necessário mudar o foco:
Ensinar
Adição e
Subtração
Promover a coordenação
dos 3 esquemas de ação
ligados a esses conceitos
Objetivos da Matemática no curso
primário - MEC/1954
• Dotar as crianças de conhecimentos e
habilidades que lhes possibilitem aplicar com
rapidez, exatidão e segurança, a aritmética e a
geometria;
• Formar hábitos que conduzam à maior
eficiência no emprego das técnicas
matemáticas...
Objetivos da Matemática para o EF
expressos nos PCN/MEC 1997
Resolver situações-problema, sabendo validar
estratégias e resultados, desenvolvendo
formas de raciocínios e processos... e
utilizando conceitos e procedimentos
matemáticos.
Nosso desafio
Propor situações adequadas que
promovam a transformação dos
esquemas de ação em conceitos
operatórios.
Próximo Encontro
Um estudo do Campo Aditivo
As três categorias de problemas e
Os cinco níveis de dificuldade
Não percam!